Dwa kąty leżące na tej samej prostej i mające ten sam wierzchołek nazywane są sąsiadującymi.
W przeciwnym razie, jeśli suma dwóch kątów na jednej prostej wynosi 180 stopni i mają one jeden bok wspólny, to są to kąty sąsiednie.
1 sąsiedni kąt + 1 sąsiedni kąt = 180 stopni.
Kąty sąsiadujące to dwa kąty, w których jedna strona jest wspólna, a pozostałe dwie strony na ogół tworzą linię prostą.
Suma dwóch sąsiednich kątów wynosi zawsze 180 stopni. Na przykład, jeśli jeden kąt wynosi 60 stopni, drugi będzie koniecznie równy 120 stopni (180-60).
Kąty AOC i BOC są kątami przyległymi, ponieważ spełnione są wszystkie warunki dotyczące charakterystyki kątów sąsiednich:
1.OS - wspólna strona dwóch rogów
2.AO - strona narożnika AOS, OB - strona narożnika BOS. Razem te boki tworzą linię prostą AOB.
3. Istnieją dwa kąty, a ich suma wynosi 180 stopni.
Pamiętając szkolny kurs geometrii, o sąsiednich kątach możemy powiedzieć co następuje:
sąsiednie kąty mają jeden bok wspólny, a pozostałe dwa boki należą do tej samej linii prostej, to znaczy leżą na tej samej linii prostej. Jeśli zgodnie z rysunkiem, kąty SOV i BOA są sąsiadującymi kątami, których suma jest zawsze równa 180, ponieważ dzielą kąt prosty, a kąt prosty jest zawsze równy 180.
Kąty sąsiadujące są łatwym pojęciem w geometrii. Kąty sąsiadujące, kąt plus kąt, sumują się do 180 stopni.
Dwa sąsiednie kąty będą jednym kątem rozłożonym.
Jest jeszcze kilka właściwości. W przypadku sąsiadujących kątów problemy są łatwe do rozwiązania i udowodnienia twierdzeń.
Kąty sąsiadujące tworzy się poprzez narysowanie promienia z dowolnego punktu na linii prostej. Następnie ten dowolny punkt okazuje się wierzchołkiem kąta, promień jest wspólną stroną sąsiednich kątów, a linia prosta, z której rysowany jest promień, to dwa pozostałe boki sąsiednich kątów. Kąty sąsiadujące mogą być takie same w przypadku belki prostopadłej lub różne w przypadku belki nachylonej. Łatwo zrozumieć, że suma sąsiednich kątów jest równa 180 stopni lub po prostu linii prostej. Inaczej kąt ten można wytłumaczyć prostym przykładem - najpierw szedłeś w jednym kierunku po linii prostej, potem zmieniłeś zdanie, zdecydowałeś się zawrócić i obracając się o 180 stopni, ruszyłeś po tej samej prostej w przeciwnym kierunek.
Czym zatem jest kąt przyległy? Definicja:
Dwa kąty o wspólnym wierzchołku i jednym wspólnym boku nazywane są sąsiadującymi, a pozostałe dwa boki tych kątów leżą na tej samej linii prostej.
I krótka lekcja wideo, która w rozsądny sposób pokazuje o kątach przyległych, kątach pionowych oraz o liniach prostopadłych, które są szczególnym przypadkiem kątów przyległych i kątów pionowych
Kąty sąsiadujące to kąty, w których jedna strona jest wspólna, a druga to jedna linia.
Kąty sąsiednie to kąty zależne od siebie. Oznacza to, że jeśli wspólny bok zostanie lekko obrócony, wówczas jeden kąt zmniejszy się o kilka stopni, a drugi kąt automatycznie zwiększy się o tę samą liczbę stopni. Ta właściwość sąsiednich kątów pozwala rozwiązywać różne problemy z geometrii i przeprowadzać dowody różnych twierdzeń.
Całkowita suma sąsiednich kątów wynosi zawsze 180 stopni.
Z kursu geometrii (o ile pamiętam w 6. klasie) dwa kąty nazywane są sąsiadującymi, w których jedna strona jest wspólna, a pozostałe boki są dodatkowymi promieniami, suma sąsiednich kątów wynosi 180. Każdy z dwóch sąsiednie kąty uzupełniają drugi, tworząc kąt rozszerzony. Przykład sąsiednich kątów:
Kąty przyległe to dwa kąty o wspólnym wierzchołku, z których jeden jest wspólny, a pozostałe leżą na tej samej linii prostej (nie pokrywają się). Suma sąsiednich kątów wynosi sto osiemdziesiąt stopni. Ogólnie rzecz biorąc, wszystko to bardzo łatwo znaleźć w Google lub podręczniku geometrii.
Dwa kąty nazywane są sąsiadującymi, jeśli mają wspólny wierzchołek i jeden bok, a pozostałe dwa boki tworzą linię prostą. Suma kątów przyległych wynosi 180 stopni.
Na rysunku kąty AOB i BOC sąsiadują ze sobą.
Kąty sąsiadujące to te, które mają wspólny wierzchołek, jeden wspólny bok, a pozostałe boki są wzajemnymi kontynuacjami i tworzą kąt rozciągnięty. Niezwykłą właściwością sąsiednich kątów jest to, że suma tych kątów jest zawsze równa 180 stopni.
Kąty o wspólnym wierzchołku i jednym wspólnym boku w geometrii nazywane są sąsiadującymi
Suma kątów sąsiednich wynosi 180 stopni
Należy zauważyć, że sąsiednie kąty mają równe sinusy
Aby dowiedzieć się więcej o sąsiednich kątach, przeczytaj tutaj
Pierwsze kroki z kątami
Dajmy sobie dwa dowolne promienie. Połóżmy je jeden na drugim. Następnie
Definicja 1
Kąt nazwiemy dwoma promieniami o tym samym pochodzeniu.
Definicja 2
Punkt będący początkiem promieni w ramach definicji 3 nazywany jest wierzchołkiem tego kąta.
Kąt będziemy oznaczać przez jego trzy punkty: wierzchołek, punkt na jednej z półprostych i punkt na drugiej półprostej, przy czym wierzchołek kąta wpisany jest w środku jego oznaczenia (ryc. 1).
Ustalmy teraz, jaka jest wielkość kąta.
Aby to zrobić, musimy wybrać jakiś kąt „odniesienia”, który przyjmiemy jako jednostkę. Najczęściej jest to kąt równy części $\frac(1)(180)$ kąta rozłożonego. Wielkość ta nazywana jest stopniem. Po wybraniu takiego kąta porównujemy z nim kąty, których wartość należy znaleźć.
Istnieją 4 rodzaje kątów:
Definicja 3
Kąt nazywamy ostrym, jeśli jest mniejszy niż 90^0$.
Definicja 4
Kąt nazywa się rozwartym, jeśli jest większy niż 90^0$.
Definicja 5
Kąt nazywa się rozwiniętym, jeśli jest równy 180^0$.
Definicja 6
Kąt nazywa się prostym, jeśli jest równy 90^0$.
Oprócz opisanych powyżej rodzajów kątów, możemy wyróżnić rodzaje kątów względem siebie, czyli kąty pionowe i kąty przyległe.
Sąsiednie kąty
Rozważmy kąt odwrócony $COB$. Z jego wierzchołka rysujemy półprostą $OA$. Promień ten podzieli pierwotny promień na dwa kąty. Następnie
Definicja 7
Dwa kąty nazwiemy sąsiadującymi, jeśli jedna para ich boków jest kątem rozwiniętym, a druga para pokrywa się (ryc. 2).
W tym przypadku kąty $COA$ i $BOA$ sąsiadują ze sobą.
Twierdzenie 1
Suma sąsiednich kątów wynosi 180^0$.
Dowód.
Spójrzmy na rysunek 2.
Z definicji 7 kąt $COB$ w nim będzie równy $180^0$. Ponieważ druga para boków sąsiednich kątów pokrywa się, promień $OA$ podzieli kąt rozłożony przez 2, zatem
$∠COA+∠BOA=180^0$
Twierdzenie zostało udowodnione.
Rozważmy rozwiązanie problemu za pomocą tej koncepcji.
Przykład 1
Znajdź kąt $C$ z poniższego rysunku
Z definicji 7 wynika, że kąty $BDA$ i $ADC$ sąsiadują ze sobą. Dlatego z Twierdzenia 1 otrzymujemy
$∠BDA+∠ADC=180^0$
$∠ADC=180^0-∠BDA=180〗0-59^0=121^0$
Z twierdzenia o sumie kątów w trójkącie mamy
$∠A+∠ADC+∠C=180^0$
$∠C=180^0-∠A-∠ADC=180^0-19^0-121^0=40^0$
Odpowiedź: 40^0$.
Pionowe kąty
Rozważmy kąty rozłożone $AOB$ i $MOC$. Wyrównajmy ze sobą ich wierzchołki (czyli nałożymy punkt $O"$ na punkt $O$) tak, aby żaden bok tych kątów się nie pokrywał.
Definicja 8
Dwa kąty nazwiemy pionowymi, jeśli pary ich boków są kątami rozłożonymi, a ich wartości pokrywają się (ryc. 3).
W tym przypadku kąty $MOA$ i $BOC$ są pionowe, a kąty $MOB$ i $AOC$ są również pionowe.
Twierdzenie 2
Kąty pionowe są sobie równe.
Dowód.
Spójrzmy na rysunek 3. Udowodnijmy na przykład, że kąt $MOA$ jest równy kątowi $BOC$.
Jak znaleźć sąsiedni kąt?
Matematyka jest najstarszą nauką ścisłą, której nauka jest obowiązkowa w szkołach, na uczelniach, w instytutach i na uniwersytetach. Jednak podstawowa wiedza jest zawsze przekazywana w szkole. Czasem dziecko dostaje dość skomplikowane zadania, ale rodzice nie są w stanie mu pomóc, bo po prostu zapomniało pewnych rzeczy z matematyki. Na przykład, jak znaleźć sąsiedni kąt na podstawie wielkości głównego kąta itp. Problem jest prosty, ale może powodować trudności w rozwiązaniu z powodu niewiedzy, które kąty nazywamy sąsiadującymi i jak je znaleźć.
Przyjrzyjmy się bliżej definicji i właściwościom sąsiednich kątów, a także sposobom ich obliczenia na podstawie danych zawartych w zadaniu.
Definicja i właściwości kątów sąsiednich
Dwa promienie wychodzące z jednego punktu tworzą figurę zwaną „kątem płaskim”. W tym przypadku punkt ten nazywany jest wierzchołkiem kąta, a promienie są jego bokami. Jeśli będziesz kontynuować jeden z promieni poza punktem początkowym w linii prostej, powstanie kolejny kąt, który nazywa się sąsiednim. Każdy kąt w tym przypadku ma dwa sąsiednie kąty, ponieważ boki kąta są równoważne. Oznacza to, że zawsze istnieje sąsiadujący kąt 180 stopni.
Główne właściwości sąsiednich kątów obejmują
- Sąsiednie kąty mają wspólny wierzchołek i jeden bok;
- Suma sąsiednich kątów jest zawsze równa 180 stopni lub Pi, jeśli obliczenia przeprowadza się w radianach;
- Sinusy sąsiednich kątów są zawsze równe;
- Cosinusy i tangensy sąsiednich kątów są równe, ale mają przeciwne znaki.
Jak znaleźć sąsiednie kąty
Zwykle podaje się trzy odmiany problemów, aby znaleźć wielkość sąsiednich kątów
- Podawana jest wartość kąta głównego;
- Podano stosunek kąta głównego i sąsiedniego;
- Podawana jest wartość kąta pionowego.
Każda wersja problemu ma swoje własne rozwiązanie. Przyjrzyjmy się im.
Podawana jest wartość kąta głównego
Jeśli zadanie określa wartość kąta głównego, to znalezienie kąta sąsiedniego jest bardzo proste. Aby to zrobić, wystarczy odjąć wartość kąta głównego od 180 stopni, a otrzymasz wartość kąta sąsiedniego. Rozwiązanie to opiera się na własności kąta przyległego - suma kątów przyległych jest zawsze równa 180 stopni.
Jeżeli wartość kąta głównego podana jest w radianach, a zadanie wymaga znalezienia kąta przyległego w radianach, to od liczby Pi należy odjąć wartość kąta głównego, gdyż wartość kąta pełnego rozłożonego wynosi 180 stopni jest równa liczbie Pi.
Podano stosunek kąta głównego do kąta przyległego
Problem może dać stosunek kąta głównego i sąsiednich zamiast stopni i radianów kąta głównego. W tym przypadku rozwiązanie będzie wyglądać jak równanie proporcji:
- Proporcję kąta głównego oznaczamy jako zmienną „Y”.
- Ułamek związany z sąsiednim kątem jest oznaczony jako zmienna „X”.
- Liczba stopni przypadająca na każdą proporcję będzie oznaczona na przykład przez „a”.
- Ogólna formuła będzie wyglądać następująco - a*X+a*Y=180 lub a*(X+Y)=180.
- Wspólny czynnik równania „a” znajdujemy ze wzoru a=180/(X+Y).
- Następnie mnożymy wynikową wartość wspólnego współczynnika „a” przez ułamek kąta, który należy określić.
W ten sposób możemy znaleźć wartość sąsiedniego kąta w stopniach. Jeśli jednak chcesz znaleźć wartość w radianach, wystarczy przekonwertować stopnie na radiany. Aby to zrobić, pomnóż kąt w stopniach przez Pi i podziel wszystko przez 180 stopni. Wynikowa wartość będzie wyrażona w radianach.
Podawana jest wartość kąta pionowego
Jeżeli w zadaniu nie jest podana wartość kąta głównego, ale podana jest wartość kąta pionowego, to kąt przyległy można obliczyć korzystając z tego samego wzoru, co w akapicie pierwszym, gdzie podana jest wartość kąta głównego.
Kąt pionowy to kąt, który ma swój początek w tym samym punkcie co główny, ale jest skierowany dokładnie w przeciwnym kierunku. W rezultacie uzyskujemy lustrzane odbicie. Oznacza to, że kąt pionowy jest równy wielkości głównemu. Z kolei kąt przyległy kąta pionowego jest równy kątowi przyległemu kąta głównego. Dzięki temu można obliczyć kąt przyległy kąta głównego. Aby to zrobić, po prostu odejmij wartość pionową od 180 stopni i uzyskaj wartość sąsiedniego kąta kąta głównego w stopniach.
Jeśli wartość jest podana w radianach, to od liczby Pi należy odjąć wartość kąta pionowego, gdyż wartość pełnego kąta rozłożonego o 180 stopni jest równa liczbie Pi.
Możesz także przeczytać nasze przydatne artykuły i.
W trakcie studiowania kursu geometrii dość często pojawiają się pojęcia „kąta”, „kątów pionowych”, „kątów sąsiadujących”. Zrozumienie każdego z terminów pomoże Ci zrozumieć problem i poprawnie go rozwiązać. Co to są kąty przyległe i jak je wyznaczać?
Kąty sąsiadujące - definicja pojęcia
Terminem „kąty sąsiadujące” charakteryzuje się dwa kąty utworzone przez wspólną półprostą i dwie dodatkowe półproste leżące na tej samej prostej. Wszystkie trzy promienie wychodzą z tego samego punktu. Wspólna półprosta jest jednocześnie bokiem jednego i drugiego kąta.
Kąty przyległe - podstawowe właściwości
1. Na podstawie wzoru na kąty sąsiednie łatwo zauważyć, że suma takich kątów tworzy zawsze kąt odwrócony, którego miara stopnia wynosi 180°:
- Jeśli μ i η są sąsiadującymi kątami, to μ + η = 180°.
- Znając wielkość jednego z sąsiednich kątów (na przykład μ), możesz łatwo obliczyć miarę drugiego kąta (η) za pomocą wyrażenia η = 180° – μ.
2. Ta właściwość kątów pozwala nam wyciągnąć następujący wniosek: kąt sąsiadujący z kątem prostym będzie również prosty.
3. Rozważając funkcje trygonometryczne (sin, cos, tg, ctg) w oparciu o wzory redukcyjne dla sąsiednich kątów μ i η, prawdziwe jest stwierdzenie:
- sinη = sin(180° – μ) = sinμ,
- cosη = cos(180° – μ) = -cosμ,
- tgη = tg(180° – μ) = -tgμ,
- ctgη = ctg(180° – μ) = -ctgμ.
Kąty sąsiednie - przykłady
Przykład 1
Dany trójkąt o wierzchołkach M, P, Q – ΔMPQ. Znajdź kąty sąsiadujące z kątami ∠QMP, ∠MPQ, ∠PQM.
- Przedłużmy każdy bok trójkąta linią prostą.
- Wiedząc, że sąsiednie kąty uzupełniają się aż do kąta odwróconego, dowiadujemy się, że:
sąsiadujący z kątem ∠QMP to ∠LMP,
sąsiadujący z kątem ∠MPQ wynosi ∠SPQ,
sąsiadujący z kątem ∠PQM wynosi ∠HQP.
Przykład 2
Wartość jednego sąsiedniego kąta wynosi 35°. Jaka jest miara stopnia drugiego sąsiedniego kąta?
- Dwa sąsiednie kąty sumują się do 180°.
- Jeżeli ∠μ = 35°, to sąsiadujące z nim ∠η = 180° – 35° = 145°.
Przykład 3
Określ wartości sąsiednich kątów, jeśli wiadomo, że miara stopnia jednego z nich jest trzykrotnie większa niż miara stopnia drugiego kąta.
- Oznaczmy wielkość jednego (mniejszego) kąta przez – ∠μ = λ.
- Wtedy, zgodnie z warunkami zadania, wartość drugiego kąta będzie równa ∠η = 3λ.
- Z podstawowej właściwości sąsiednich kątów wynika, że μ + η = 180°
λ + 3λ = μ + η = 180°,
λ = 180°/4 = 45°.
Oznacza to, że pierwszy kąt wynosi ∠μ = λ = 45°, a drugi kąt wynosi ∠η = 3λ = 135°.
Umiejętność posługiwania się terminologią, a także znajomość podstawowych właściwości sąsiednich kątów, pomoże Ci rozwiązać wiele problemów geometrycznych.
2) Ile punktów wspólnych mogą mieć 2 proste?
3) Wyjaśnij, czym jest segment?
4) Wyjaśnij, czym jest promień. Jak nazywa się promienie?
5) Jaką figurę nazywamy kątem? Wyjaśnij, co to jest wierzchołek i boki kąta?
6) Który kąt nazywa się rozłożonym?
7) Które liczby nazywane są równymi?
8) Wyjaśnij, jak porównać 2 segmenty
9) Jaki punkt nazywa się środkiem odcinka?
10) Wyjaśnij, jak porównać 2 kąty.
11) Który półprosty nazywa się dwusieczną kąta?
12) Punkt C dzieli odcinek AB na 2 odcinki. Jak obliczyć długość odcinka AB, jeśli znane są długości odcinków AC i CB?
13) Jakich narzędzi używa się do pomiaru odległości?
14) Jaka jest miara stopnia kąta?
15) Ray OS dzieli kąt AOB na 2 kąty. Jak znaleźć miarę stopnia kąta AOB, jeśli znane są miary stopnia kątów AOC i COB?
16) Który kąt nazywa się ostrym, prawda?
17) Jakie kąty nazywamy sąsiadującymi? Jaka jest suma kątów przyległych?
18) Jakie kąty nazywamy pionowymi? Jakie właściwości mają kąty pionowe?
19) Które linie nazywamy prostopadłymi?
20) Wyjaśnij, dlaczego 2 linie prostopadłe do trzeciej nie przecinają się?
21) Jakich przyrządów używa się do konstruowania kątów prostych na ziemi?
2Ile punktów wspólnych mogą mieć dwie proste?
3wyjaśnij, co to jest segment
4wyjaśnij, co to jest promień. Jak oznacza się promienie?
5Jaka figura nazywa się kątem? Wyjaśnij, co to jest wierzchołek i bok kąta
6Który kąt nazywa się kątem prostym?
7 jakie liczby nazywane są równymi
8wyjaśnij, jak porównać dwa segmenty
9Jaki punkt nazywa się środkiem odcinka
10wyjaśnij, jak porównać dwa kąty
11który półprosty nazywa się dwusieczną kąta
12 punkt c dzieli odcinek ab na dwa odcinki. Jak znaleźć długość odcinka ab, jeśli znane są długości odcinków ac i sb
13 jakich narzędzi używa się do pomiaru odległości
14Jaki jest stopień miary kąta?
15 promień oc dzieli kąt aob na dwa kąty. Jak znaleźć miarę kąta aob, jeśli znane są miary kątów aoc
16Jaki kąt nazywamy ostrym?, prawda?, rozwartym?.
17Jakie kąty nazywamy sąsiadującymi? Jaka jest suma kątów przyległych?
18Jakie kąty nazywamy pionowymi? Jakie właściwości mają kąty pionowe?
19które linie nazywamy prostopadłymi
20wyjaśnij, dlaczego dwie proste prostopadłe do trzeciej nie przecinają się
21Jakich przyrządów używa się do konstruowania kątów prostych na ziemi?
jaką właściwość mają kąty pionowe? 5)
Prosimy o pomoc!! proszę=**7. Udowodnij, że jeśli dwie proste równoległe przecina trzecia prosta, to przecinające się kąty wewnętrzne są równe, a suma jednostronnych kątów wewnętrznych wynosi 180 stopni.
8. Udowodnić, że dwie proste prostopadłe do trzeciej są równoległe. Jeżeli prosta jest prostopadła do jednej z dwóch równoległych linii, to jest także prostopadła do drugiej.
9. Udowodnić, że suma kątów w trójkącie wynosi 180 stopni.
10. Udowodnij, że każdy trójkąt ma co najmniej dwa kąty ostre.
11. Jaki jest kąt zewnętrzny trójkąta?
12. Udowodnij, że kąt zewnętrzny trójkąta jest równy sumie dwóch kątów wewnętrznych, które do niego nie przylegają.
13. Udowodnij, że kąt zewnętrzny trójkąta jest większy od dowolnego kąta wewnętrznego, który do niego nie przylega.
14. Który trójkąt nazywa się trójkątem prostokątnym?
15. Jaka jest suma kątów ostrych w trójkącie prostokątnym?
16. Który bok trójkąta prostokątnego nazywa się przeciwprostokątną? Które strony nazywamy nogami?
17. Sformułuj test na równość trójkątów prostokątnych wzdłuż przeciwprostokątnej i nogi.
18. Udowodnić, że z dowolnego punktu nie leżącego na danej prostej można wyprowadzić prostopadłą do tej prostej i tylko jedną.
19. Jak nazywa się odległość punktu od prostej?
20. Wyjaśnij, jaka jest odległość między liniami równoległymi.