Kurs wideo „Zdobądź piątkę” obejmuje wszystkie tematy niezbędne do osiągnięcia sukcesu zdanie jednolitego egzaminu państwowego z matematyki na 60-65 punktów. Kompletnie wszystkie zadania 1-13 Profil Ujednolicony egzamin państwowy matematyka. Nadaje się również do zdania podstawowego jednolitego egzaminu państwowego z matematyki. Jeśli chcesz zdać Unified State Exam z 90-100 punktami, musisz rozwiązać część 1 w 30 minut i bez błędów!
Kurs przygotowawczy do Jednolitego Egzaminu Państwowego dla klas 10-11, a także dla nauczycieli. Wszystko, czego potrzebujesz, aby rozwiązać część 1 egzaminu państwowego Unified State Exam z matematyki (pierwsze 12 zadań) i zadanie 13 (trygonometria). A to ponad 70 punktów na egzaminie Unified State Exam i ani 100-punktowy student, ani student nauk humanistycznych nie mogą się bez nich obejść.
Wszystko konieczna teoria. Szybkie sposoby rozwiązania, pułapki i tajemnice Unified State Exam. Przeanalizowano wszystkie aktualne zadania części 1 z Banku Zadań FIPI. Kurs w pełni odpowiada wymogom Unified State Exam 2018.
Kurs zawiera 5 duże tematy, 2,5 godziny każdy. Każdy temat jest podany od podstaw, prosto i przejrzyście.
Setki zadań z egzaminu Unified State Exam. Problemy ze słowami i teoria prawdopodobieństwa. Proste i łatwe do zapamiętania algorytmy rozwiązywania problemów. Geometria. Teoria, materiał referencyjny, analiza wszystkich typów zadań Unified State Examation. Stereometria. Podstępne rozwiązania, przydatne ściągawki, rozwój wyobraźnię przestrzenną. Trygonometria od podstaw do zadania 13. Zrozumienie zamiast wkuwania. Wizualne wyjaśnienie złożone koncepcje. Algebra. Pierwiastki, potęgi i logarytmy, funkcja i pochodna. Podstawa rozwiązania złożone zadania 2 części jednolitego egzaminu państwowego.
Decydując problemy geometryczne w przestrzeni często zdarzają się takie, w których konieczne jest obliczenie kątów pomiędzy różnymi obiektami przestrzennymi. W tym artykule rozważymy kwestię znajdowania kątów między płaszczyznami oraz między nimi a linią prostą.
Linia prosta w przestrzeni
Wiadomo, że absolutnie dowolną linię prostą na płaszczyźnie można zdefiniować za pomocą następującej równości:
Tutaj a i b to pewne liczby. Jeśli za pomocą tego samego wyrażenia wyobrazimy sobie linię prostą w przestrzeni, otrzymamy płaszczyznę równoległą do osi z. Dla definicja matematyczna prostej przestrzennej stosuje się inny sposób rozwiązania niż w przypadku dwuwymiarowym. Polega ona na wykorzystaniu pojęcia „wektora kierunku”.
Przykłady rozwiązywania problemów z wyznaczaniem kąta przecięcia płaszczyzn
Wiedząc, jak znaleźć kąt między płaszczyznami, rozwiążemy następujący problem. Mając dane dwie płaszczyzny, których równania mają postać:
3 * x + 4 * y - z + 3 = 0;
X - 2 * y + 5 * z +1 = 0
Jaki jest kąt między płaszczyznami?
Aby odpowiedzieć na pytanie, należy pamiętać, że współczynniki związane ze zmiennymi w ogólnym równaniu płaszczyzny są współrzędnymi wektora prowadzącego. Dla tych płaszczyzn mamy następujące współrzędne ich normalnych:
n 1 ¯(3; 4; -1);
n 2 ¯(-1; -2; 5)
Teraz znajdujemy iloczyn skalarny tych wektorów i ich modułów, mamy:
(n 1 ¯ * n 2 ¯) = -3 -8 -5 = -16;
|n 1 ¯| = √(9 + 16 + 1) = √26;
|n 2 ¯| = √(1 + 4 + 25) = √30
Teraz możesz zastąpić znalezione liczby podanymi w poprzedni akapit formuła. Otrzymujemy:
α = arccos(|-16 | / (√26 * √30) ≈ 55,05 o
Wynikowa wartość odpowiada ostremu kątowi przecięcia płaszczyzn określonych w opisie problemu.
Spójrzmy teraz na inny przykład. Dane są dwie płaszczyzny:
Czy się przecinają? Zapiszmy wartości współrzędnych ich wektorów kierunkowych i obliczmy produkt skalarny one i moduły:
n 1 ¯(1; 1; 0);
n 2 ¯(3; 3; 0);
(n 1 ¯ * n 2 ¯) = 3 + 3 + 0 = 6;
|n 1 ¯| = √2;
|n 2 ¯| = √18
Wtedy kąt przecięcia wynosi:
α = arccos(|6| / (√2 * √18) =0 o .
Kąt ten wskazuje, że płaszczyzny nie przecinają się, ale są równoległe. To, że nie pokrywają się ze sobą, łatwo sprawdzić. Aby to zrobić, weź dowolny punkt należący do pierwszego z nich, na przykład P(0; 3; 2). Podstawiając jego współrzędne do drugiego równania otrzymujemy:
3 * 0 +3 * 3 + 8 = 17 ≠ 0
Oznacza to, że punkt P należy tylko do pierwszej płaszczyzny.
Zatem dwie płaszczyzny są równoległe, gdy ich normalne są takie.
Płaskie i proste
W przypadku rozważenia względne położenie Istnieje nieco więcej opcji między płaszczyzną a linią prostą niż w przypadku dwóch płaszczyzn. Fakt ten wynika z faktu, że linia prosta jest obiektem jednowymiarowym. Linią prostą i płaszczyzną mogą być:
- wzajemnie równoległe, w tym przypadku płaszczyzna nie przecina linii;
- ta ostatnia może należeć do płaszczyzny, ale jednocześnie będzie do niej równoległa;
- oba obiekty mogą przecinać się pod pewnym kątem.
Rozważmy najpierw ostatni przypadek, gdyż wymaga wprowadzenia pojęcia kąta przecięcia.
Prosta i płaszczyzna, wartość kąta między nimi
Jeśli płaszczyzna przecina linię prostą, nazywa się ją nachyloną względem niej. Punkt przecięcia nazywany jest zwykle podstawą linii ukośnej. Aby wyznaczyć kąt pomiędzy tymi obiektami geometrycznymi, konieczne jest obniżenie prostej prostopadłej z dowolnego punktu na płaszczyznę. Wtedy punkt przecięcia prostopadłej z płaszczyzną i przecięcia z nią prostej ukośnej tworzą linię prostą. To ostatnie nazywa się rzutem pierwotnej linii na rozważaną płaszczyznę. Ostry i jego projekcja jest pożądana.
Nieco mylącą definicję kąta między płaszczyzną a nachyloną wyjaśni poniższy rysunek.
Tutaj kąt ABO jest kątem pomiędzy prostą AB i płaszczyzną a.
Aby zapisać wzór, rozważ przykład. Niech będzie prosta i płaszczyzna, które opisują równania:
(x; y; z) = (x 0; y 0; z 0) + λ * (a; b; c);
A * x + B * x + C * x + D = 0
Możesz łatwo obliczyć żądany kąt dla tych obiektów, jeśli znajdziesz iloczyn skalarny między wektorami kierunkowymi linii prostej i płaszczyzny. Otrzymane ostry róg należy odjąć od 90 o, wówczas otrzymamy pomiędzy prostą a płaszczyzną.
Powyższy rysunek przedstawia opisany algorytm znajdowania rozpatrywanego kąta. Tutaj β jest kątem między normalną a prostą, a α znajduje się między linią a jej rzutem na płaszczyznę. Widać, że ich suma wynosi 90 o.
Powyżej został przedstawiony wzór odpowiadający na pytanie jak znaleźć kąt pomiędzy płaszczyznami. Teraz podajemy odpowiednie wyrażenie dla przypadku prostej i płaszczyzny:
α = arcsin(|a * A + b * B + do * C| / (√(a 2 + b 2 + do 2) * √(A 2 + B 2 + C 2)))
Moduł we wzorze pozwala obliczyć tylko kąty ostre. Zamiast arccosinusa pojawiła się funkcja arcsinus dzięki zastosowaniu odpowiedniego wzoru redukcyjnego pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi (cos(β) = sin(90 o-β) = sin(α)).
Problem: samolot przecina linię
Teraz pokażemy jak pracować z podanym wzorem. Rozwiążmy problem: musimy obliczyć kąt między osią Y a płaszczyzną, dane równaniem:
Płaszczyzna ta jest pokazana na rysunku.
Można zauważyć, że przecina osie y i z odpowiednio w punktach (0; -12; 0) i (0; 0; 12) i jest równoległy do osi x.
Wektor kierunkowy linii prostej y ma współrzędne (0; 1; 0). Wektor prostopadły dany samolot, charakteryzujące się współrzędnymi (0; 1; -1). Stosujemy wzór na kąt przecięcia prostej z płaszczyzną i otrzymujemy:
α = arcsin(|1| / (√1 * √2)) = arcsin(1 / √2) = 45 o
Problem: linia równoległa do płaszczyzny
Teraz rozwiążmy podobny poprzednie zadanie, którego pytanie zostało postawione inaczej. Znane są równania płaszczyzny i prostej:
x + y - z - 3 = 0;
(x; y; z) = (1; 0; 0) + λ * (0; 2; 2)
Konieczne jest sprawdzenie, czy te obiekty geometryczne są równolegle do siebie do kolegi.
Mamy dwa wektory: linia kierująca jest równa (0; 2; 2) i płaszczyzna kierująca jest równa (1; 1; -1). Znajdujemy ich iloczyn skalarny:
0 * 1 + 1 * 2 - 1 * 2 = 0
Otrzymane zero wskazuje, że kąt pomiędzy tymi wektorami wynosi 90 o, co świadczy o równoległości prostej i płaszczyzny.
Sprawdźmy teraz, czy ta prosta jest tylko równoległa, czy też leży na płaszczyźnie. Aby to zrobić, wybierz dowolny punkt na prostej i sprawdź, czy należy on do płaszczyzny. Weźmy na przykład λ = 0, wówczas punkt P(1; 0; 0) należy do prostej. Podstawiamy płaszczyznę P do równania:
Punkt P nie należy do płaszczyzny, a zatem cała prosta nie leży na niej.
Gdzie istotna jest znajomość kątów pomiędzy rozważanymi obiektami geometrycznymi?
Powyższe wzory i przykłady rozwiązywania problemów mają znaczenie nie tylko teoretyczne. Często używa się ich do określenia ważnych wielkości fizyczne prawdziwy figury wolumetryczne takie jak pryzmaty lub piramidy. Przy obliczaniu objętości figur i pól ich powierzchni ważna jest umiejętność określenia kąta między płaszczyznami. Co więcej, jeśli w przypadku prostego pryzmatu nie można użyć tych wzorów do określenia wskazanych wielkości, to dla każdego rodzaju piramidy ich użycie okazuje się nieuniknione.
Poniżej rozważymy przykład wykorzystania podanej teorii do określenia narożników piramidy o kwadratowej podstawie.
Piramida i jej rogi
Poniższy rysunek przedstawia piramidę, u podstawy której leży kwadrat o boku a. Wysokość figury to h. Musisz znaleźć dwa kąty:
- pomiędzy powierzchnią boczną a podstawą;
- pomiędzy żebrem bocznym a podstawą.
Aby rozwiązać problem, należy najpierw wprowadzić układ współrzędnych i określić parametry odpowiednich wierzchołków. Rysunek pokazuje, że początek pokrywa się z punktem środkowym podstawa kwadratowa. W tym przypadku płaszczyznę bazową opisuje równanie:
Oznacza to, że dla dowolnych x i y wartość trzeciej współrzędnej jest zawsze równa zero. Płaszczyzna boczna ABC przecina oś z w punkcie B(0; 0; h) i oś y w punkcie o współrzędnych (0; a/2; 0). Nie przecina osi x. Oznacza to, że równanie płaszczyzny ABC można zapisać jako:
y/(a/2) + z/h = 1 lub
2 * godz * y + a * z - a * godz = 0
Wektor AB¯ jest krawędzią boczną. Współrzędne jego początku i końca są równe: A(a/2; a/2; 0) i B(0; 0; h). Następnie współrzędne samego wektora:
Znaleźliśmy wszystkie niezbędne równania i wektory. Teraz pozostaje skorzystać z rozważanych formuł.
Najpierw obliczmy kąt w piramidzie pomiędzy płaszczyznami podstawy i boku. Odpowiednie wektory normalne są równe: n 1 ¯(0; 0; 1) i n 2 ¯(0; 2*h; a). Wtedy kąt będzie wynosił:
α = arccos(a / √(4 * h 2 + a 2))
Kąt pomiędzy płaszczyzną a krawędzią AB będzie równy:
β = arcsin(h / √(a 2 / 2 + h 2))
Pozostaje tylko zastąpić konkretne wartości boki podstawy a i wysokość h, aby uzyskać wymagane kąty.
Ten artykuł dotyczy kąta między płaszczyznami i sposobu jego znalezienia. Najpierw podano definicję kąta między dwiema płaszczyznami i podano ilustrację graficzną. Następnie przeanalizowano zasadę wyznaczania kąta pomiędzy dwiema przecinającymi się płaszczyznami metodą współrzędnych i uzyskano wzór pozwalający obliczyć kąt pomiędzy przecinającymi się płaszczyznami przy wykorzystaniu znanych współrzędnych wektorów normalnych tych płaszczyzn. Podsumowując, zostało to pokazane szczegółowe rozwiązania charakterystyczne zadania.
Nawigacja strony.
Kąt między płaszczyznami - definicja.
Przedstawmy argumenty, które pozwolą nam stopniowo zbliżać się do wyznaczania kąta pomiędzy dwiema przecinającymi się płaszczyznami.
Daj nam mieć dwie przecinające się płaszczyzny i . Płaszczyzny te przecinają się na linii prostej, którą oznaczamy literą c. Skonstruujmy płaszczyznę przechodzącą przez punkt M prostej c i prostopadłą do prostej c. W tym przypadku płaszczyzna przetnie płaszczyzny i. Oznaczmy linię prostą, wzdłuż której płaszczyzny przecinają się, jako a, a linię prostą, wzdłuż której przecinają się płaszczyzny jako b. Oczywiście proste aib przecinają się w punkcie M.
Łatwo pokazać, że kąt pomiędzy przecinającymi się prostymi a i b nie zależy od położenia punktu M na prostej c, przez którą przechodzi płaszczyzna.
Skonstruujmy płaszczyznę prostopadłą do prostej c i różną od płaszczyzny. Płaszczyzna przecina się płaszczyznami i liniami prostymi, które oznaczamy odpowiednio jako 1 i b 1.
Z sposobu konstruowania płaszczyzn wynika, że linie a i b są prostopadłe do linii c, a linie a 1 i b 1 są prostopadłe do linii c. Ponieważ linie a i a 1 leżą w tej samej płaszczyźnie i są prostopadłe do linii c, to są one równoległe. Podobnie linie b i b 1 leżą w tej samej płaszczyźnie i są prostopadłe do linii c, a zatem są równoległe. Więc możesz to zrobić transfer równoległy płaszczyzna do płaszczyzny, w której prosta a 1 pokrywa się z prostą a, a prosta b z prostą b 1. Dlatego kąt między dwiema przecinającymi się liniami a 1 i b 1 równy kątowi pomiędzy przecinającymi się liniami a i b.
Dowodzi to, że kąt pomiędzy przecinającymi się prostymi a i b leżącymi w przecinających się płaszczyznach nie zależy od wyboru punktu M, przez który przechodzi płaszczyzna. Dlatego logiczne jest przyjęcie tego kąta jako kąta między dwiema przecinającymi się płaszczyznami.
Teraz możesz wyrazić definicję kąta między dwiema przecinającymi się płaszczyznami i.
Definicja.
Kąt między dwiema płaszczyznami przecinającymi się na linii prostej i- jest to kąt pomiędzy dwiema przecinającymi się liniami a i b, wzdłuż których płaszczyzny i przecinają się z płaszczyzną prostopadłą do prostej c.
Definicję kąta między dwiema płaszczyznami można podać nieco inaczej. Jeżeli na prostej c, wzdłuż której przecinają się płaszczyzny i, zaznacz punkt M i poprowadź przez niego proste a i b, prostopadłe do prostej c i leżące w płaszczyznach, i odpowiednio kąt między prostymi a oraz b jest kątem pomiędzy płaszczyznami i. Zwykle w praktyce właśnie takie konstrukcje wykonuje się w celu uzyskania kąta pomiędzy płaszczyznami.
Ponieważ kąt pomiędzy przecinającymi się prostymi nie przekracza , z podanej definicji wynika, że miara stopnia wyrażany jest kąt między dwiema przecinającymi się płaszczyznami prawdziwy numer z interwału. W tym przypadku nazywane są przecinające się płaszczyzny prostopadły, jeśli kąt między nimi wynosi dziewięćdziesiąt stopni. Kąt pomiędzy płaszczyzny równoległe albo w ogóle jej nie określają, albo uważają ją za równą zeru.
Znalezienie kąta między dwiema przecinającymi się płaszczyznami.
Zwykle, szukając kąta pomiędzy dwiema przecinającymi się płaszczyznami, należy najpierw wykonać dodatkowe konstrukcje, aby zobaczyć przecinające się proste, których kąt jest równy żądanemu kątowi, a następnie połączyć ten kąt z danymi pierwotnymi za pomocą testów równości, podobieństwa testy, twierdzenie cosinus czy definicje sinusa, cosinusa i tangensa kąta. W trakcie geometrii Liceum występują podobne problemy.
Jako przykład podamy rozwiązanie Zadania C2 z Unified State Exam in Mathematics za rok 2012 (warunek został celowo zmieniony, ale nie wpływa to na zasadę rozwiązania). W nim wystarczyło znaleźć kąt między dwiema przecinającymi się płaszczyznami.
Przykład.
Rozwiązanie.
Najpierw zróbmy rysunek.
Wykonajmy dodatkowe konstrukcje, żeby „zobaczyć” kąt pomiędzy płaszczyznami.
Najpierw zdefiniujmy linię prostą, wzdłuż której przecinają się płaszczyzny ABC i BED 1. Punkt B jest jednym z ich punktów wspólnych. Znajdźmy drugi wspólny punkt tych płaszczyzn. Proste DA i D 1 E leżą w tej samej płaszczyźnie ADD 1 i nie są równoległe, więc się przecinają. Natomiast prosta DA leży w płaszczyźnie ABC, a prosta D 1 E - w płaszczyźnie BED 1, zatem punktem przecięcia prostych DA i D 1 E będzie wspólny punkt Samoloty ABC i ŁÓŻKO 1. Kontynuujmy więc linie DA i D 1 E do ich przecięcia, oznaczając punkt ich przecięcia literą F. Wtedy BF jest prostą, wzdłuż której przecinają się płaszczyzny ABC i BED 1.
Pozostaje skonstruować dwie proste leżące odpowiednio w płaszczyznach ABC i BED 1, przechodzące przez jeden punkt na prostej BF i prostopadłe do prostej BF - kąt pomiędzy tymi prostymi z definicji będzie równy pożądanemu kątowi pomiędzy samoloty ABC i BED 1. Zróbmy to.
Kropka A jest rzutem punktu E na płaszczyznę ABC. Narysujmy prostą przecinającą linię BF pod kątem prostym w punkcie M. Wtedy prosta AM jest rzutem prostej EM na płaszczyznę ABC i na podstawie twierdzenia o trzech prostopadłych.
Zatem wymagany kąt pomiędzy płaszczyznami ABC i BED 1 wynosi .
Z tego możemy wyznaczyć sinus, cosinus lub tangens tego kąta (a zatem i samego kąta). trójkąt prostokątny AEM, jeśli znamy długości jego dwóch boków. Z warunku łatwo wyznaczyć długość AE: skoro punkt E dzieli bok AA 1 w stosunku 4 do 3, licząc od punktu A, a długość boku AA 1 wynosi 7, to AE = 4. Znajdźmy długość AM.
Aby to zrobić, rozważmy trójkąt prostokątny ABF z kątem prostym A, gdzie AM jest wysokością. Według warunku AB = 2. Długość boku AF możemy wyznaczyć z podobieństwa trójkątów prostokątnych DD 1 F i AEF: 
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, znajdujemy z trójkąta ABF. Znajdujemy długość AM przez obszar trójkąta ABF: z jednej strony pole trójkąta ABF jest równe 
, z drugiej strony 
, Gdzie 
.
Zatem z trójkąta prostokątnego AEM mamy 
.
Wtedy wymagany kąt pomiędzy płaszczyznami ABC i BED 1 jest równy (zwróć uwagę, że 
).
Odpowiedź:
W niektórych przypadkach, aby znaleźć kąt między dwiema przecinającymi się płaszczyznami, wygodnie jest ustawić Oxyz i zastosować metodę współrzędnych. Zatrzymajmy się na tym.
Ustalmy zadanie: znaleźć kąt pomiędzy dwiema przecinającymi się płaszczyznami i . Oznaczmy żądany kąt jako .
Zakładamy, że w danym prostokątnym układzie współrzędnych Oxyz znamy współrzędne wektorów normalnych przecinających się płaszczyzn i/lub mamy możliwość ich znalezienia. Pozwalać 
jest wektorem normalnym płaszczyzny, oraz 
jest wektorem normalnym płaszczyzny. Pokażemy, jak znaleźć kąt między przecinającymi się płaszczyznami i poprzez współrzędne wektorów normalnych tych płaszczyzn.
Oznaczmy linię prostą, wzdłuż której płaszczyzny i przecinają się jako c. Przez punkt M na prostej c rysujemy płaszczyznę prostopadłą do prostej c. Płaszczyzna przecina płaszczyzny i odpowiednio linie a i b przecinają się w punkcie M. Z definicji kąt między przecinającymi się płaszczyznami i jest równy kątowi między przecinającymi się liniami a i b.
Narysujmy wektory i płaszczyzny normalne oraz z punktu M na płaszczyźnie. W tym przypadku wektor leży na prostej prostopadłej do prostej a, a wektor leży na prostej prostopadłej do prostej b. Zatem w płaszczyźnie wektor jest wektorem normalnym linii a, jest wektorem normalnym linii b.
W artykule o znalezieniu kąta między przecinającymi się prostymi otrzymaliśmy wzór, który pozwala nam obliczyć cosinus kąta między przecinającymi się prostymi przy użyciu współrzędnych wektorów normalnych. Zatem cosinus kąta między liniami a i b, a co za tym idzie, cosinus kąta pomiędzy przecinającymi się płaszczyznami i można go znaleźć za pomocą wzoru gdzie I są wektorami normalnymi płaszczyzn i, odpowiednio. Następnie oblicza się to jako 
.
Rozwiążmy poprzedni przykład za pomocą metody współrzędnych.
Przykład.
Mając dany równoległościan prostokątny ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, w którym AB = 2, AD = 3, AA 1 = 7 i punkt E dzieli bok AA 1 w stosunku 4 do 3, licząc od punktu A. Znajdź kąt pomiędzy płaszczyznami ABC i BED 1.
Rozwiązanie.
Od boków prostokątny równoległościan gdy jeden wierzchołek jest parami prostopadły, wygodnie jest to wprowadzić układ prostokątny współrzędne Oxyz w ten sposób: początek jest wyrównany z wierzchołkiem C i osie współrzędnych Wół, Oy i Oz skierowane są odpowiednio na boki CD, CB i CC 1.
Kąt pomiędzy płaszczyznami ABC i BED 1 można znaleźć poprzez współrzędne wektorów normalnych tych płaszczyzn, korzystając ze wzoru , gdzie i są wektorami normalnymi odpowiednio płaszczyzn ABC i BED 1. Wyznaczmy współrzędne wektorów normalnych.
\(\blacktriangleright\) Kąt dwuścienny to kąt utworzony przez dwie półpłaszczyzny i linię prostą \(a\), która jest ich wspólną granicą.
\(\blacktriangleright\) Aby znaleźć kąt pomiędzy płaszczyznami \(\xi\) i \(\pi\) , musisz znaleźć kąt liniowy(I pikantny Lub prosty) kąt dwuścienny, utworzony przez płaszczyzny \(\xi\) i \(\pi\) :
Krok 1: niech \(\xi\cap\pi=a\) (linia przecięcia płaszczyzn). Na płaszczyźnie \(\xi\) zaznaczamy dowolny punkt \(F\) i rysujemy \(FA\perp a\) ;
Krok 2: wykonaj \(FG\perp \pi\) ;
Krok 3: zgodnie z TTP (\(FG\) – prostopadła, \(FA\) – ukośna, \(AG\) – rzut) mamy: \(AG\perp a\) ;
Krok 4: Kąt \(\angle FAG\) nazywany jest kątem liniowym kąta dwuściennego utworzonego przez płaszczyzny \(\xi\) i \(\pi\) .
Zauważ, że trójkąt \(AG\) jest prostokątny.
Zauważ też, że tak skonstruowana płaszczyzna \(AFG\) jest prostopadła do obu płaszczyzn \(\xi\) i \(\pi\) . Dlatego możemy to powiedzieć inaczej: kąt między płaszczyznami\(\xi\) i \(\pi\) to kąt pomiędzy dwiema przecinającymi się liniami \(c\in \xi\) i \(b\in\pi\) tworzącymi płaszczyznę prostopadłą do i \(\xi\ ) i \(\pi\) .
Zadanie 1 #2875
Poziom zadania: Trudniejszy niż ujednolicony egzamin państwowy
Dana czworokątna piramida, którego wszystkie krawędzie są równe, a podstawą jest kwadrat. Znajdź \(6\cos \alpha\) , gdzie \(\alpha\) jest kątem pomiędzy sąsiednimi ścianami bocznymi.
Niech \(SABCD\) – tę piramidę(\(S\) to wierzchołek), którego krawędzie są równe \(a\) . Dlatego wszystko boczne twarze są równe trójkąty równoboczne. Znajdźmy kąt pomiędzy ścianami \(SAD\) i \(SCD\) .
Zróbmy \(CH\perp SD\) . Ponieważ \(\trójkąt SAD=\trójkąt SCD\), wówczas \(AH\) będzie także wysokością \(\triangle SAD\) . Dlatego z definicji \(\angle AHC=\alpha\) jest kątem liniowym kąta dwuściennego pomiędzy ścianami \(SAD\) i \(SCD\) .
Ponieważ podstawą jest kwadrat, wówczas \(AC=a\sqrt2\) . Zauważ również, że \(CH=AH\) to wysokość trójkąt równoboczny z bokiem \(a\) , zatem \(CH=AH=\frac(\sqrt3)2a\) .
Następnie, zgodnie z twierdzeniem cosinus z \(\triangle AHC\) : \[\cos \alpha=\dfrac(CH^2+AH^2-AC^2)(2CH\cdot AH)=-\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad 6\cos\alpha=-2.\]
Odpowiedź: -2
Zadanie 2 #2876
Poziom zadania: Trudniejszy niż ujednolicony egzamin państwowy
Płaszczyzny \(\pi_1\) i \(\pi_2\) przecinają się pod kątem, którego cosinus jest równy \(0,2\). Płaszczyzny \(\pi_2\) i \(\pi_3\) przecinają się pod kątem prostym, a linia przecięcia płaszczyzn \(\pi_1\) i \(\pi_2\) jest równoległa do linii przecięcia płaszczyzny \(\pi_2\) i \(\ pi_3\) . Znajdź sinus kąta pomiędzy płaszczyznami \(\pi_1\) i \(\pi_3\) .
Niech linia przecięcia \(\pi_1\) i \(\pi_2\) będzie linią prostą \(a\), linia przecięcia \(\pi_2\) i \(\pi_3\) będzie prostą linia \(b\), oraz linia przecięcia \(\pi_3\) i \(\pi_1\) – prosta \(c\) . Ponieważ \(a\równoległy b\) , to \(c\równoległy a\równoległy b\) (zgodnie z twierdzeniem z części podręcznika teoretycznego „Geometria w przestrzeni” \(\rightarrow\) „Wprowadzenie do stereometrii, równoległość").
Zaznaczmy punkty \(A\in a, B\in b\) tak, aby \(AB\perp a, AB\perp b\) (jest to możliwe, ponieważ \(a\równoległe b\) ). Zaznaczmy \(C\in c\) tak, że \(BC\perp c\) , zatem \(BC\perp b\) . Następnie \(AC\perp c\) i \(AC\perp a\) .
Rzeczywiście, ponieważ \(AB\perp b, BC\perp b\) , to \(b\) jest prostopadłe do płaszczyzny \(ABC\) . Ponieważ \(c\równoległy a\równoległy b\), to proste \(a\) i \(c\) są również prostopadłe do płaszczyzny \(ABC\), a zatem do dowolnej prostej z tej płaszczyzny, w szczególności , linia \ (AC\) .
Wynika, że \(\kąt BAC=\kąt (\pi_1, \pi_2)\), \(\kąt ABC=\kąt (\pi_2, \pi_3)=90^\circ\), \(\kąt BCA=\kąt (\pi_3, \pi_1)\). Okazuje się, że \(\trójkąt ABC\) jest prostokątny, co oznacza \[\sin \angle BCA=\cos \angle BAC=0.2.\]
Odpowiedź: 0,2
Zadanie 3 #2877
Poziom zadania: Trudniejszy niż ujednolicony egzamin państwowy
Dane proste \(a, b, c\) przecinają się w jednym punkcie, a kąt między dowolnymi dwoma z nich jest równy \(60^\circ\) . Znajdź \(\cos^(-1)\alpha\) , gdzie \(\alpha\) jest kątem pomiędzy płaszczyzną utworzoną przez linie \(a\) i \(c\) a płaszczyzną utworzoną przez linie \( b\ ) i \(c\) . Podaj odpowiedź w stopniach.
Niech linie przecinają się w punkcie \(O\) . Ponieważ kąt między dowolnymi dwoma jest równy \(60^\circ\), to wszystkie trzy proste nie mogą leżeć w tej samej płaszczyźnie. Zaznaczmy punkt \(A\) na prostej \(a\) i narysujmy \(AB\perp b\) i \(AC\perp c\) . Następnie \(\trójkąt AOB=\trójkąt AOC\) jako prostokątny wzdłuż przeciwprostokątnej i kąta ostrego. Dlatego \(OB=OC\) i \(AB=AC\) .
Zróbmy \(AH\perp (BOC)\) . Następnie z twierdzenia o trzech prostopadłych \(HC\perp c\) , \(HB\perp b\) . Ponieważ \(AB=AC\) , zatem \(\trójkąt AHB=\trójkąt AHC\) jako prostokątny wzdłuż przeciwprostokątnej i nogi. Dlatego \(HB=HC\) . Oznacza to, że \(OH\) jest dwusieczną kąta \(BOC\) (ponieważ punkt \(H\) jest w równej odległości od boków kąta).
Zauważ, że w ten sposób skonstruowaliśmy również kąt liniowy kąta dwuściennego, utworzony przez samolot, utworzoną przez linie \(a\) i \(c\) oraz płaszczyznę utworzoną przez linie \(b\) i \(c\) . To jest kąt \(ACH\) .
Znajdźmy ten kąt. Ponieważ wybraliśmy punkt \(A\) arbitralnie, wybierzmy go tak, aby \(OA=2\) . Następnie w prostokącie \(\trójkąt AOC\): \[\sin 60^\circ=\dfrac(AC)(OA) \quad\Rightarrow\quad AC=\sqrt3 \quad\Rightarrow\quad OC=\sqrt(OA^2-AC^2)=1.\ ] Ponieważ \(OH\) jest dwusieczną, to \(\angle HOC=30^\circ\) , zatem w prostokącie \(\triangle HOC\) : \[\mathrm(tg)\,30^\circ=\dfrac(HC)(OC)\quad\Rightarrow\quad HC=\dfrac1(\sqrt3).\] Następnie z prostokąta \(\trójkąt ACH\) : \[\cos\angle \alpha=\cos\angle ACH=\dfrac(HC)(AC)=\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad \cos^(-1)\alpha=3.\]
Odpowiedź: 3
Zadanie 4 #2910
Poziom zadania: Trudniejszy niż ujednolicony egzamin państwowy
Płaszczyzny \(\pi_1\) i \(\pi_2\) przecinają się wzdłuż linii prostej \(l\), na której leżą punkty \(M\) i \(N\). Odcinki \(MA\) i \(MB\) są prostopadłe do prostej \(l\) i leżą odpowiednio w płaszczyznach \(\pi_1\) i \(\pi_2\), a \(MN = 15 \) , \(AN = 39\) , \(BN = 17\) , \(AB = 40\) . Znajdź \(3\cos\alpha\) , gdzie \(\alpha\) jest kątem pomiędzy płaszczyznami \(\pi_1\) i \(\pi_2\) .
Trójkąt \(AMN\) jest prostokątny, \(AN^2 = AM^2 + MN^2\), skąd \ Trójkąt \(BMN\) jest prostokątny, \(BN^2 = BM^2 + MN^2\), z czego \Zapisujemy twierdzenie cosinus dla trójkąta \(AMB\): \ Następnie \ Ponieważ kąt \(\alpha\) pomiędzy płaszczyznami jest kątem ostrym, a \(\angle AMB\) okazał się rozwarty, to \(\cos\alpha=\dfrac5(12)\) . Następnie \
Odpowiedź: 1,25
Zadanie 5 #2911
Poziom zadania: Trudniejszy niż ujednolicony egzamin państwowy
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) jest równoległościanem, \(ABCD\) jest kwadratem o boku \(a\), punkt \(M\) jest podstawą prostopadłej spuszczonej z punktu \(A_1\) na płaszczyznę \ ((ABCD)\) , ponadto \(M\) jest punktem przecięcia przekątnych kwadratu \(ABCD\) . Wiadomo, że \(A_1M = \dfrac(\sqrt(3))(2)a\). Znajdź kąt pomiędzy płaszczyznami \((ABCD)\) i \((AA_1B_1B)\) . Podaj odpowiedź w stopniach.
Skonstruujmy \(MN\) prostopadle do \(AB\), jak pokazano na rysunku.
Ponieważ \(ABCD\) jest kwadratem o boku \(a\) i \(MN\perp AB\) i \(BC\perp AB\) , to \(MN\równoległy BC\) . Ponieważ \(M\) jest punktem przecięcia przekątnych kwadratu, to \(M\) jest środkiem \(AC\), zatem \(MN\) jest Środkowa linia I \(MN =\frac12BC= \frac(1)(2)a\).
\(MN\) jest rzutem \(A_1N\) na płaszczyznę \((ABCD)\), a \(MN\) jest prostopadłe do \(AB\), wówczas, zgodnie z twierdzeniem o trzech prostopadłych, \ (A_1N\) jest prostopadła do \(AB \) i kąt pomiędzy płaszczyznami \((ABCD)\) i \((AA_1B_1B)\) wynosi \(\kąt A_1NM\) .
\[\mathrm(tg)\, \angle A_1NM = \dfrac(A_1M)(NM) = \dfrac(\frac(\sqrt(3))(2)a)(\frac(1)(2)a) = \sqrt(3)\qquad\Rightarrow\qquad\kąt A_1NM = 60^(\circ)\]
Odpowiedź: 60
Zadanie 6 #1854
Poziom zadania: Trudniejszy niż ujednolicony egzamin państwowy
W kwadracie \(ABCD\): \(O\) – punkt przecięcia przekątnych; \(S\) – nie leży w płaszczyźnie kwadratu, \(SO \perp ABC\) . Znajdź kąt pomiędzy płaszczyznami \(ASD\) i \(ABC\) jeśli \(SO = 5\) i \(AB = 10\) .
Trójkąty prostokątne \(\triangle SAO\) i \(\triangle SDO\) są równe w dwóch bokach i kącie między nimi (\(SO \perp ABC\) \(\Rightarrow\) \(\kąt SOA = \kąt SOD = 90^\circ\); \(AO = DO\) , ponieważ \(O\) – punkt przecięcia przekątnych kwadratu, \(SO\) – wspólna strona) \(\Strzałka w prawo\) \(AS = SD\) \(\Strzałka w prawo\) \(\trójkąt ASD\) – równoramienny. Punkt \(K\) jest środkiem \(AD\), wówczas \(SK\) jest wysokością w trójkącie \(\trójkąt ASD\), a \(OK\) jest wysokością w trójkącie \( AOD\) \(\ Rightarrow\) płaszczyzna \(SOK\) jest prostopadła do płaszczyzn \(ASD\) i \(ABC\) \(\Rightarrow\) \(\angle SKO\) – kąt liniowy równy żądanemu kąt dwuścienny.
W \(\trójkąt SKO\): \(OK = \frac(1)(2)\cdot AB = \frac(1)(2)\cdot 10 = 5 = SO\)\(\Rightarrow\) \(\trójkąt SOK\) – trójkąt równoramienny \(\Rightarrow\) \(\kąt SKO = 45^\circ\) .
Odpowiedź: 45
Zadanie 7 #1855
Poziom zadania: Trudniejszy niż ujednolicony egzamin państwowy
W kwadracie \(ABCD\): \(O\) – punkt przecięcia przekątnych; \(S\) – nie leży w płaszczyźnie kwadratu, \(SO \perp ABC\) . Znajdź kąt pomiędzy płaszczyznami \(ASD\) i \(BSC\) jeśli \(SO = 5\) i \(AB = 10\) .
Trójkąty prostokątne \(\triangle SAO\) , \(\triangle SDO\) , \(\triangle SOB\) i \(\triangle SOC\) są równe po dwóch bokach i kąt między nimi (\(SO \perp ABC \) \(\Prawa strzałka\) \(\angle SOA = \angle SOD = \angle SOB = \angle SOC = 90^\circ\); \(AO = OD = OB = OC\), ponieważ \(O\) – punkt przecięcia przekątnych kwadratu, \(SO\) – wspólny bok) \(\Rightarrow\) \(AS = DS = BS = CS\) \(\Rightarrow\) \( \triangle ASD\) i \(\triangle BSC\) są równoramiennymi. Punkt \(K\) jest środkiem \(AD\), wówczas \(SK\) jest wysokością w trójkącie \(\trójkąt ASD\), a \(OK\) jest wysokością w trójkącie \( AOD\) \(\ Strzałka w prawo\) płaszczyzna \(SOK\) jest prostopadła do płaszczyzny \(ASD\) . Punkt \(L\) jest środkiem \(BC\), wówczas \(SL\) jest wysokością w trójkącie \(\trójkąt BSC\), a \(OL\) jest wysokością w trójkącie \( BOC\) \(\ Rightarrow\) płaszczyzna \(SOL\) (inaczej płaszczyzna \(SOK\)) jest prostopadła do płaszczyzny \(BSC\) . W ten sposób otrzymujemy, że \(\kąt KSL\) jest kątem liniowym równym żądanemu kątowi dwuściennemu.
\(KL = KO + OL = 2\cdot OL = AB = 10\)\(\Strzałka w prawo\) \(OL = 5\) ; \(SK = SL\) – równe wysokości trójkąty równoramienne, które można znaleźć korzystając z twierdzenia Pitagorasa: \(SL^2 = SO^2 + OL^2 = 5^2 + 5^2 = 50\). Można to zauważyć \(SK^2 + SL^2 = 50 + 50 = 100 = KL^2\)\(\Strzałka w prawo\) dla trójkąta \(\trójkąt KSL\) odwrotne twierdzenie Pitagorasa zachodzi w \(\Strzałka w prawo\) \(\trójkąt KSL\) – trójkąt prostokątny \(\Strzałka w prawo\) \(\kąt KSL = 90 ^\około\) .
Odpowiedź: 90
Przygotowanie uczniów do zdania Unified State Exam z matematyki rozpoczyna się z reguły od powtórzenia podstawowych wzorów, w tym tych, które pozwalają wyznaczyć kąt między płaszczyznami. Pomimo tego, że ta sekcja geometrii jest omówiona wystarczająco szczegółowo program nauczania wielu absolwentów musi powtarzać podstawowy materiał. Rozumiejąc, jak znaleźć kąt między płaszczyznami, uczniowie szkół średnich będą mogli szybko obliczyć poprawną odpowiedź przy rozwiązywaniu problemu i liczyć na uzyskanie przyzwoitych wyników w wynikach zdania ujednoliconego egzaminu państwowego.
Główne niuanse
Aby mieć pewność, że pytanie o znalezienie kąta dwuściennego nie sprawi trudności, zalecamy skorzystanie z algorytmu rozwiązania, który pomoże Ci poradzić sobie z zadaniami Unified State Examination.
Najpierw musisz określić linię prostą, wzdłuż której przecinają się płaszczyzny.
Następnie musisz wybrać punkt na tej linii i narysować do niego dwie prostopadłe.
Następny krok- znalezienie funkcja trygonometryczna kąt dwuścienny utworzony przez prostopadłe. Najwygodniej to zrobić za pomocą powstałego trójkąta, którego częścią jest kąt.
Odpowiedzią będzie wartość kąta lub jego funkcja trygonometryczna.
Przygotowanie do egzaminu testowego z Shkolkovo to klucz do Twojego sukcesu
Podczas zajęć w przededniu zdania Jednolitego Egzaminu Państwowego wiele uczniów staje przed problemem znalezienia definicji i wzorów, które pozwolą im obliczyć kąt między 2 płaszczyznami. Podręcznik szkolny Nie zawsze jest pod ręką dokładnie wtedy, gdy jest potrzebny. I znaleźć niezbędne formuły oraz przykłady ich prawidłowego wykorzystania, w tym do wyszukiwania kąta między płaszczyznami w Internecie, co czasami wymaga poświęcenia dużej ilości czasu.
Portal matematyczny „Shkolkovo” oferuje nowe podejście przygotować się do egzaminu państwowego. Zajęcia na naszej stronie pomogą uczniom zidentyfikować dla siebie najtrudniejsze fragmenty i uzupełnić braki wiedzy.
Przygotowaliśmy i przejrzyście przedstawiliśmy cały niezbędny materiał. Podstawowe definicje i wzory przedstawiono w części „Informacje teoretyczne”.
Aby lepiej zrozumieć materiał, sugerujemy również przećwiczenie odpowiednich ćwiczeń. Duży wybór zadań różnym stopniu na przykład złożoność jest przedstawiona w sekcji „Katalog”. Wszystkie zadania zawierają szczegółowy algorytm znajdowania prawidłowej odpowiedzi. Lista ćwiczeń na stronie jest na bieżąco uzupełniana i aktualizowana.
Ćwicząc rozwiązywanie problemów wymagających znalezienia kąta między dwiema płaszczyznami, uczniowie mają możliwość zapisania dowolnego zadania online jako „Ulubionych”. Dzięki temu będą mogli do niego wrócić wymagana ilość czas i omówić z nim postęp w podejmowaniu decyzji nauczyciel szkoły lub korepetytor.
Miarą kąta między płaszczyznami jest kąt ostry utworzony przez dwie proste leżące w tych płaszczyznach i poprowadzone prostopadle do linii ich przecięcia.
Algorytm konstrukcji
- Z dowolny punkt K narysuj prostopadłe do każdej z podanych płaszczyzn.
- Obracając się wokół linii poziomu, wyznacza się kąt γ° z wierzchołkiem w punkcie K.
- Oblicz kąt pomiędzy płaszczyznami ϕ° = 180 – γ°, pod warunkiem, że γ° > 90°. Jeśli γ°< 90°, то ∠ϕ° = ∠γ°.
Na rysunku przedstawiono przypadek, gdy płaszczyzny α i β są podane śladami. Wszystkie niezbędne konstrukcje zostały wykonane zgodnie z algorytmem i zostały opisane poniżej.
Rozwiązanie
- W dowolnym miejscu na rysunku zaznacz punkt K. Z niego obniżamy odpowiednio prostopadłe m i n do płaszczyzn α i β. Kierunek występów m i n jest następujący: m""⊥f 0α , m"⊥h 0α , n""⊥f 0β , n"⊥h 0β .
- Rzeczywisty rozmiar ∠γ° wyznaczamy pomiędzy liniami m i n. W tym celu wokół czoła f obracamy płaszczyznę kąta z wierzchołkiem K do położenia równoległego do przedniej płaszczyzny rzutu. Promień skrętu R punktu K równa wartości przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego O""K""K 0, którego bok to K""K 0 = y K – y O.
- Pożądany kąt to ϕ° = ∠γ°, ponieważ ∠γ° jest ostre.
Poniższy rysunek przedstawia rozwiązanie zadania polegającego na znalezieniu kąta γ° pomiędzy płaszczyznami α i β, wyznaczonego odpowiednio przez proste równoległe i przecinające się.
Rozwiązanie
- Określamy kierunek rzutów poziomych h 1, h 2 i frontów f 1, f 2, należące do samolotówα i β, w kolejności wskazanej strzałkami. Z dowolnego punktu K na kwadracie. α i β pomijamy prostopadłe e i k. W tym przypadku e""⊥f"" 1 , e"⊥h" 1 i k""⊥f"" 2 , k"⊥h" 2 .
- Definiujemy ∠γ° pomiędzy liniami e i k. Aby to zrobić, narysuj poziomą linię h 3 i wokół niej obracamy punkt K do pozycji K 1, w której △CKD stanie się równoległe do płaszczyzny poziomej i odbije się na niej w naturalnym rozmiarze - △C"K" 1 D „. Rzut środka obrotu O” znajduje się na narysowanym do h” 3 prostopadle do K”O”. Promień R wyznacza się z trójkąta prostokątnego O”K”K 0, którego bok K”K 0 = Z O – Z K.
- Wartość pożądanej wartości wynosi ∠ϕ° = ∠γ°, ponieważ kąt γ° jest ostry.