Zbiory samopodobne o niezwykłych właściwościach w matematyce

Od końca XIX wieku w matematyce pojawiają się przykłady obiektów samopodobnych o właściwościach patologicznych z punktu widzenia analizy klasycznej. Należą do nich:

• Zbiór Cantora jest zbiorem doskonałym, nigdzie gęstym i niepoliczalnym. Modyfikując procedurę, można również otrzymać nigdzie gęsty zbiór o dodatniej długości;
• trójkąt Sierpińskiego („obrus”) i dywan Sierpińskiego są odpowiednikami Cantora ustawionego na samolocie;
• Gąbka Mengera jest odpowiednikiem Cantora osadzonego w trójwymiarowej przestrzeni;
• przykłady Weierstrassa i van der Waerdena nigdzie różniczkowalnej funkcji ciągłej;
• Krzywa Kocha to nieprzecinająca się ciągła krzywa o nieskończonej długości, która w żadnym punkcie nie ma stycznej;
• Krzywa Peano - ciągła krzywa przechodząca przez wszystkie punkty kwadratu;
• trajektoria cząstki Browna również nigdzie nie jest różniczkowalna z prawdopodobieństwem 1. Jego wymiar Hausdorffa wynosi dwa [ ] .

Procedura rekurencyjna otrzymywania krzywych fraktalnych

Fraktale jako punkty stałe mapowań kompresyjnych

Właściwość samopodobieństwa można wyrazić matematycznie ściśle w następujący sposób. Pozwolić być mapowaniami skurczowymi płaszczyzny. Rozważmy następujące odwzorowanie na zbiorze wszystkich zwartych (zamkniętych i ograniczonych) podzbiorów płaszczyzny: Ψ : K ↦ ∪ ja = 1 n ψ ja (K) (\ Displaystyle \ Psi \ dwukropek K \ mapsto \ puchar _ (i = 1) ^ (n) \ psi _ (i) (K))

Można wykazać, że mapowanie Ψ (\ displaystyle \ Psi) jest mapą skurczu na zbiorze zwartych z metryką Hausdorffa. Dlatego, zgodnie z twierdzeniem Banacha, to odwzorowanie ma unikalny punkt stały. Ten stały punkt będzie naszym fraktalem.

Opisana powyżej procedura rekurencyjna uzyskiwania krzywych fraktalnych jest szczególnym przypadkiem tej konstrukcji. Zawiera wszystkie wyświetlacze ψ ja , ja = 1 , … , n (\ Displaystyle \ psi _ (i), \, i = 1, \ kropki, n)- wyświetlacze podobieństwa i n (\ displaystyle n)- liczba łączy generatora.

Popularne jest tworzenie pięknych obrazów graficznych opartych na złożonej dynamice poprzez kolorowanie punktów płaszczyzny w zależności od zachowania odpowiednich układów dynamicznych. Na przykład, aby uzupełnić zbiór Mandelbrota, możesz pokolorować punkty w zależności od szybkości aspiracji z n (\ displaystyle z_ (n)) do nieskończoności (zdefiniowanej, powiedzmy, jako najmniejsza liczba n (\ displaystyle n), w którym | z n | (\ displaystyle | z_ (n) |) przekroczy ustaloną dużą wartość A (\ displaystyle A)).

Biomorfy to fraktale zbudowane w oparciu o złożoną dynamikę i przypominające organizmy żywe.

Fraktale stochastyczne

Obiekty naturalne często mają kształt fraktalny. Do ich modelowania można wykorzystać stochastyczne (losowe) fraktale. Przykłady fraktali stochastycznych:

• trajektoria ruchu Browna na płaszczyźnie i w przestrzeni;
• granica trajektorii ruchu Browna na płaszczyźnie. W 2001 roku Lawler, Schramm i Werner udowodnili hipotezę Mandelbrota, że ​​jego wymiar wynosi 4/3.
• Ewolucje Schramma-Löwnera to konformalnie niezmienne krzywe fraktalne powstające w krytycznych dwuwymiarowych modelach mechaniki statystycznej, takich jak model Isinga i perkolacja.
• różnego rodzaju fraktale losowe, czyli fraktale otrzymywane metodą rekurencyjną, do której na każdym kroku wprowadzany jest losowy parametr. Plazma jest przykładem wykorzystania takiego fraktala w grafice komputerowej.

Obiekty naturalne o właściwościach fraktalnych

Obiekty naturalne ( quasi-fraktale) różnią się od idealnych abstrakcyjnych fraktali niekompletnością i niedokładnością powtórzeń struktury. Większość struktur fraktalnych występujących w przyrodzie (granice chmur, linie brzegowe, drzewa, liście roślin, korale itp.) to quasi-fraktale, ponieważ w małej skali struktura fraktalna zanika. Struktury naturalne nie mogą być doskonałymi fraktalami ze względu na ograniczenia narzucone przez wielkość żywej komórki i ostatecznie wielkość cząsteczek.

• U dzikiej przyrody:
  • Rozgwiazdy i jeżowce
  • Kwiaty i rośliny (brokuły, kapusta)
  • Korony drzew i liście roślin
  • Owoce (ananas)
  • Układ krążenia i oskrzela ludzi i zwierząt
• W przyrodzie nieożywionej:
  • Granice obiektów geograficznych (krajów, regionów, miast)
  • Mroźne wzory na szybie okiennej
  • Stalaktyty, stalagmity, heliktyty.

Aplikacja

Nauki przyrodnicze

W fizyce fraktale naturalnie powstają podczas modelowania procesów nieliniowych, takich jak turbulentny przepływ płynu, złożone procesy dyfuzyjno-adsorpcyjne, płomienie, chmury i tym podobne. Fraktale wykorzystuje się do modelowania materiałów porowatych, np. w przemyśle petrochemicznym. W biologii służą do modelowania populacji i opisu układów narządów wewnętrznych (układu naczyń krwionośnych). Po utworzeniu krzywej Kocha zaproponowano jej wykorzystanie przy obliczaniu długości linii brzegowej.

Inżynieria radiowa

Anteny fraktalne

Wykorzystanie geometrii fraktalnej w projektowaniu

Fraktale są znane od niemal stulecia, są dobrze zbadane i mają liczne zastosowania w życiu. Zjawisko to opiera się na bardzo prostym pomyśle: nieskończoną liczbę pięknych i różnorodnych kształtów można uzyskać ze stosunkowo prostych projektów za pomocą zaledwie dwóch operacji - kopiowania i skalowania

Pojęcie to nie ma ścisłej definicji. Dlatego słowo „fraktal” nie jest terminem matematycznym. Jest to zazwyczaj nazwa nadana figurze geometrycznej, która spełnia jedną lub więcej z następujących właściwości:

• ma złożoną strukturę przy dowolnym powiększeniu;
• jest (w przybliżeniu) samopodobny;
• ma ułamkowy wymiar Hausdorffa (fraktalny), który jest większy od wymiaru topologicznego;
• można konstruować za pomocą procedur rekurencyjnych.

Na przełomie XIX i XX wieku badanie fraktali miało charakter bardziej epizodyczny niż systematyczny, gdyż wcześniej matematycy badali głównie „dobre” obiekty, które można było badać ogólnymi metodami i teoriami. W 1872 roku niemiecki matematyk Karl Weierstrass skonstruował przykład funkcji ciągłej, która nie jest nigdzie różniczkowalna. Jednak jego konstrukcja była całkowicie abstrakcyjna i trudna do zrozumienia. Dlatego w 1904 roku Szwed Helge von Koch wymyślił ciągłą krzywą, która nie ma nigdzie stycznej i jest dość łatwa do narysowania. Okazało się, że ma właściwości fraktala. Jeden z wariantów tej krzywej nazywany jest „płatkiem śniegu Kocha”.

Ideę samopodobieństwa postaci podjął Francuz Paul Pierre Levy, przyszły mentor Benoita Mandelbrota. W 1938 roku ukazał się jego artykuł pt. „Krzywe płaskie i przestrzenne oraz powierzchnie składające się z części podobnych do całości”, w którym opisał kolejny fraktal – krzywą C-Lévy’ego. Wszystkie wymienione powyżej fraktale można warunkowo zaliczyć do jednej klasy fraktali konstrukcyjnych (geometrycznych).

Inną klasą są fraktale dynamiczne (algebraiczne), do których zalicza się zbiór Mandelbrota. Pierwsze badania w tym kierunku datowane są na początek XX wieku i kojarzone są z nazwiskami francuskich matematyków Gastona Julii i Pierre’a Fatou. W 1918 roku Julia opublikowała prawie dwustustronicową pracę na temat iteracji złożonych funkcji wymiernych, w której opisała zbiory Julii – całą rodzinę fraktali ściśle powiązaną ze zbiorem Mandelbrota. Praca ta została nagrodzona nagrodą Akademii Francuskiej, nie zawierała jednak ani jednej ilustracji, dlatego nie sposób było docenić piękna otwartych obiektów. Mimo że praca ta rozsławiła Julię wśród ówczesnych matematyków, szybko została zapomniana.

Zwrócenie uwagi na twórczość Julii i Fatou ponownie nastąpiło dopiero pół wieku później, wraz z pojawieniem się komputerów: to oni uwidocznili bogactwo i piękno świata fraktali. Przecież Fatou nigdy nie mogłaby spojrzeć na obrazy, które obecnie znamy jako obrazy zbioru Mandelbrota, ponieważ wymaganej liczby obliczeń nie można wykonać ręcznie. Pierwszą osobą, która użyła do tego komputera, był Benoit Mandelbrot.

W 1982 roku ukazała się książka Mandelbrota „Fractal Geometry of Nature”, w której autor zebrał i usystematyzował niemal wszystkie dostępne wówczas informacje o fraktalach i przedstawił je w łatwy i przystępny sposób. Mandelbrot w swoim przedstawieniu główny nacisk położył nie na ciężkie wzory i konstrukcje matematyczne, ale na geometryczną intuicję czytelników. Dzięki ilustracjom uzyskanym za pomocą komputera oraz opowiadaniom historycznym, którymi autor umiejętnie rozwodnił część naukową monografii, książka stała się bestsellerem, a fraktale stały się znane szerszej publiczności. Ich sukces wśród nie-matematyków wynika w dużej mierze z faktu, że za pomocą bardzo prostych konstrukcji i wzorów, które może zrozumieć nawet uczeń szkoły średniej, uzyskuje się obrazy o niesamowitej złożoności i pięknie. Kiedy komputery osobiste stały się wystarczająco potężne, pojawił się nawet cały kierunek w sztuce - malarstwo fraktalne i mógł to zrobić prawie każdy właściciel komputera. Teraz w Internecie można łatwo znaleźć wiele stron poświęconych temu tematowi.

Co mają wspólnego drzewo, brzeg morza, chmura lub naczynia krwionośne w naszej dłoni? Na pierwszy rzut oka może się wydawać, że wszystkie te obiekty nie mają ze sobą nic wspólnego. Jednak w rzeczywistości istnieje jedna właściwość struktury, która jest nieodłączna dla wszystkich wymienionych obiektów: są one samopodobne. Z gałęzi, podobnie jak z pnia drzewa, wychodzą mniejsze pędy, z nich jeszcze mniejsze itd., czyli gałąź jest podobna do całego drzewa. Układ krążenia ma podobną budowę: od tętnic odchodzą tętniczki, a od nich najmniejsze naczynia włosowate, przez które tlen dostaje się do narządów i tkanek. Spójrzmy na zdjęcia satelitarne wybrzeża morskiego: zobaczymy zatoki i półwyspy; Spójrzmy na to, ale z lotu ptaka: zobaczymy zatoki i przylądki; Teraz wyobraź sobie, że stoimy na plaży i patrzymy na swoje stopy: zawsze znajdą się kamyki, które wystają głębiej do wody niż pozostałe. Oznacza to, że linia brzegowa po powiększeniu pozostaje podobna do siebie. Amerykański (choć dorastał we Francji) matematyk Benoit Mandelbrot nazwał tę właściwość obiektów fraktalnością, a same obiekty – fraktalami (od łac. fractus – złamane).

Pojęcie to nie ma ścisłej definicji. Dlatego słowo „fraktal” nie jest terminem matematycznym. Zazwyczaj fraktal to figura geometryczna, która spełnia jedną lub więcej z następujących właściwości: Ma złożoną strukturę przy dowolnym zwiększeniu skali (w przeciwieństwie do na przykład linii prostej, której jakakolwiek część jest najprostszą figurą geometryczną - odcinkiem ). Jest (w przybliżeniu) samopodobny. Ma ułamkowy wymiar Hausdorffa (fraktalny), który jest większy od wymiaru topologicznego. Można je skonstruować za pomocą procedur rekurencyjnych.

Geometria i algebra

Badanie fraktali na przełomie XIX i XX wieku miało charakter bardziej epizodyczny niż systematyczny, gdyż wcześniej matematycy badali głównie „dobre” obiekty, które można było badać ogólnymi metodami i teoriami. W 1872 roku niemiecki matematyk Karl Weierstrass skonstruował przykład funkcji ciągłej, która nie jest nigdzie różniczkowalna. Jednak jego konstrukcja była całkowicie abstrakcyjna i trudna do zrozumienia. Dlatego w 1904 roku Szwed Helge von Koch wymyślił ciągłą krzywą, która nie ma nigdzie stycznej i jest dość łatwa do narysowania. Okazało się, że ma właściwości fraktala. Jeden z wariantów tej krzywej nazywany jest „płatkiem śniegu Kocha”.

Ideę samopodobieństwa postaci podjął Francuz Paul Pierre Levy, przyszły mentor Benoita Mandelbrota. W 1938 roku ukazał się jego artykuł pt. „Krzywe płaskie i przestrzenne oraz powierzchnie składające się z części podobnych do całości”, w którym opisał kolejny fraktal – krzywą Levy’ego C. Wszystkie wymienione powyżej fraktale można warunkowo zaliczyć do jednej klasy fraktali konstrukcyjnych (geometrycznych).

Inną klasą są fraktale dynamiczne (algebraiczne), do których zalicza się zbiór Mandelbrota. Pierwsze badania w tym kierunku rozpoczęły się na początku XX wieku i kojarzą się z nazwiskami francuskich matematyków Gastona Julii i Pierre'a Fatou. W 1918 roku Julia opublikowała prawie dwustustronicowe wspomnienia na temat iteracji złożonych funkcji wymiernych, w których opisała zbiory Julii, całą rodzinę fraktali blisko spokrewnionych ze zbiorem Mandelbrota. Praca ta została nagrodzona nagrodą Akademii Francuskiej, nie zawierała jednak ani jednej ilustracji, dlatego nie sposób było docenić piękna otwartych obiektów. Mimo że praca ta rozsławiła Julię wśród ówczesnych matematyków, szybko została zapomniana. Zwrócono na to uwagę ponownie dopiero pół wieku później wraz z pojawieniem się komputerów: to one uwidoczniły bogactwo i piękno świata fraktali.

Wymiary fraktalne

Jak wiadomo wymiar (liczba wymiarów) figury geometrycznej to liczba współrzędnych niezbędnych do określenia położenia punktu leżącego na tej figurze.
Na przykład położenie punktu na krzywej wyznacza jedna współrzędna, na powierzchni (niekoniecznie płaszczyźnie) dwie współrzędne, a w przestrzeni trójwymiarowej trzy współrzędne.
Z bardziej ogólnego matematycznego punktu widzenia wymiar można zdefiniować w ten sposób: zwiększenie wymiarów liniowych, powiedzmy dwukrotnie, dla obiektów jednowymiarowych (z topologicznego punktu widzenia) (segmentu) prowadzi do zwiększenie rozmiaru (długości) dwukrotnie, dla dwuwymiarowych (kwadrat ) ten sam wzrost wymiarów liniowych prowadzi do 4-krotnego wzrostu rozmiaru (powierzchni) dla trójwymiarowego (sześcianu) - o 8 razy. Oznacza to, że wymiar „rzeczywisty” (tzw. Hausdorffa) można obliczyć jako stosunek logarytmu wzrostu „rozmiaru” obiektu do logarytmu wzrostu jego rozmiaru liniowego. Oznacza to, że dla odcinka D=log (2)/log (2)=1, dla płaszczyzny D=log (4)/log (2)=2, dla objętości D=log (8)/log (2 )=3.
Obliczmy teraz wymiar krzywej Kocha, aby skonstruować odcinek jednostkowy, który dzielimy na trzy równe części, a środkowy przedział zastępujemy trójkątem równobocznym bez tego odcinka. Gdy wymiary liniowe minimalnego odcinka wzrosną trzykrotnie, długość krzywej Kocha wzrasta o log (4)/log (3) ~ 1,26. Oznacza to, że wymiar krzywej Kocha jest ułamkowy!

Nauka i sztuka

W 1982 roku ukazała się książka Mandelbrota „Fractal Geometry of Nature”, w której autor zebrał i usystematyzował niemal wszystkie dostępne wówczas informacje o fraktalach i przedstawił je w łatwy i przystępny sposób. Mandelbrot w swoim przedstawieniu główny nacisk położył nie na ciężkie wzory i konstrukcje matematyczne, ale na geometryczną intuicję czytelników. Dzięki ilustracjom uzyskanym za pomocą komputera oraz opowiadaniom historycznym, którymi autor umiejętnie rozwodnił część naukową monografii, książka stała się bestsellerem, a fraktale stały się znane szerszej publiczności. Ich sukces wśród nie-matematyków wynika w dużej mierze z faktu, że za pomocą bardzo prostych konstrukcji i wzorów, które może zrozumieć nawet uczeń szkoły średniej, uzyskuje się obrazy o niesamowitej złożoności i pięknie. Kiedy komputery osobiste stały się wystarczająco potężne, pojawił się nawet cały kierunek w sztuce - malarstwo fraktalne i mógł to zrobić prawie każdy właściciel komputera. Teraz w Internecie można łatwo znaleźć wiele stron poświęconych temu tematowi.

Schemat uzyskania krzywej Kocha

Wojna i pokój

Jak wspomniano powyżej, jednym z obiektów naturalnych mających właściwości fraktalne jest linia brzegowa. Wiąże się z nim ciekawa historia, a dokładniej próba pomiaru jego długości, która stała się podstawą artykułu naukowego Mandelbrota i opisana jest także w jego książce „Fraktalna geometria natury”. Mówimy o eksperymencie przeprowadzonym przez Lewisa Richardsona, niezwykle utalentowanego i ekscentrycznego matematyka, fizyka i meteorologa. Jednym z kierunków jego badań była próba znalezienia matematycznego opisu przyczyn i prawdopodobieństwa wystąpienia konfliktu zbrojnego między dwoma krajami. Wśród parametrów, które brał pod uwagę, była długość wspólnej granicy obu walczących krajów. Kiedy zbierał dane do eksperymentów numerycznych, odkrył, że dane dotyczące wspólnej granicy Hiszpanii i Portugalii znacznie różnią się od różnych źródeł. To doprowadziło go do następującego odkrycia: długość granic państwa zależy od władcy, którym je mierzymy. Im mniejsza skala, tym dłuższa granica. Wynika to z faktu, że przy większym powiększeniu możliwe staje się uwzględnienie coraz większej liczby nowych zakrętów wybrzeża, które wcześniej były ignorowane ze względu na zgrubność pomiarów. A jeśli przy każdym zwiększeniu skali odkryją się wcześniej nieuwzględnione załamania linii, to okaże się, że długość granic jest nieskończona! To prawda, że ​​​​tak się nie dzieje - dokładność naszych pomiarów ma skończoną granicę. Paradoks ten nazywany jest efektem Richardsona.

Konstruktywne (geometryczne) fraktale

Algorytm konstruowania fraktala konstrukcyjnego w ogólnym przypadku jest następujący. Przede wszystkim potrzebujemy dwóch odpowiednich kształtów geometrycznych, nazwijmy je podstawą i fragmentem. W pierwszym etapie przedstawiana jest podstawa przyszłego fraktala. Następnie część jego fragmentów zostaje zastąpiona fragmentem wykonanym w odpowiedniej skali – jest to pierwsza iteracja konstrukcji. Następnie otrzymana figura ponownie zamienia niektóre części na figury podobne do fragmentu itp. Jeśli będziemy kontynuować ten proces w nieskończoność, to w granicy otrzymamy fraktal.

Przyjrzyjmy się temu procesowi na przykładzie krzywej Kocha (patrz pasek boczny na poprzedniej stronie). Za podstawę krzywej Kocha można przyjąć dowolną krzywą (w przypadku „płatka śniegu Kocha” jest to trójkąt). Ale ograniczymy się do najprostszego przypadku - segmentu. Fragment to linia przerywana, pokazana na górze rysunku. Po pierwszej iteracji algorytmu, w tym przypadku pierwotny segment zbiegnie się z fragmentem, następnie każdy z jego segmentów składowych zostanie zastąpiony linią przerywaną podobną do fragmentu itd. Rysunek przedstawia pierwsze cztery kroki tego proces.

W języku matematyki: fraktale dynamiczne (algebraiczne).

Fraktale tego typu powstają podczas badania nieliniowych układów dynamicznych (stąd nazwa). Zachowanie takiego układu można opisać złożoną funkcją nieliniową (wielomianem) f (z). Weźmy punkt początkowy z0 na płaszczyźnie zespolonej (patrz pasek boczny). Rozważmy teraz taki nieskończony ciąg liczb na płaszczyźnie zespolonej, z których każdy kolejny wynika z poprzedniego: z0, z1=f (z0), z2=f (z1), ... zn+1=f (zn ). W zależności od punktu początkowego z0 taki ciąg może zachowywać się różnie: dążyć do nieskończoności jako n -> ∞; zbiegają się do jakiegoś punktu końcowego; cyklicznie przyjmuj serię stałych wartości; Możliwe są również bardziej złożone opcje.

Liczby zespolone

Liczba zespolona to liczba składająca się z dwóch części - rzeczywistej i urojonej, czyli sumy formalnej x + iy (tutaj x i y są liczbami rzeczywistymi). jestem tzw jednostka urojona, czyli liczba spełniająca równanie ja^ 2 = -1. Zdefiniowano podstawowe działania matematyczne na liczbach zespolonych: dodawanie, mnożenie, dzielenie, odejmowanie (nie zdefiniowano jedynie operacji porównania). Aby wyświetlić liczby zespolone, często stosuje się reprezentację geometryczną - na płaszczyźnie (nazywa się to złożoną) część rzeczywista jest wykreślana wzdłuż osi odciętych, a część urojona jest wykreślana wzdłuż osi rzędnych, a liczba zespolona będzie odpowiadać punkt o współrzędnych kartezjańskich x i y.

Zatem dowolny punkt z płaszczyzny zespolonej zachowuje się podczas iteracji funkcji f (z), a cała płaszczyzna jest dzielona na części. Ponadto punkty leżące na granicach tych części mają następującą właściwość: przy dowolnie małym przemieszczeniu charakter ich zachowania gwałtownie się zmienia (takie punkty nazywane są punktami bifurkacji). Okazuje się więc, że zbiory punktów, które mają jeden konkretny typ zachowania, a także zbiory punktów bifurkacji, często mają właściwości fraktalne. Są to zbiory Julii dla funkcji f (z).

Rodzina smoków

Zmieniając bazę i fragment, możesz uzyskać oszałamiającą różnorodność konstruktywnych fraktali.
Ponadto podobne operacje można wykonywać w przestrzeni trójwymiarowej. Przykładami fraktali wolumetrycznych są „gąbka Mengera”, „piramida Sierpińskiego” i inne.
Rodzina smoków jest również uważana za konstruktywny fraktal. Czasami nazywane są po imieniu swoich odkrywców „smokami Heavey-Hartera” (swoim kształtem przypominają chińskie smoki). Istnieje kilka sposobów skonstruowania tej krzywej. Najprostszy i najbardziej wizualny z nich jest taki: musisz wziąć dość długi pasek papieru (im cieńszy papier, tym lepiej) i zgiąć go na pół. Następnie zegnij go ponownie na pół w tym samym kierunku, co za pierwszym razem. Po kilku powtórzeniach (zwykle po pięciu, sześciu zakładkach pasek staje się zbyt gruby, aby można go było delikatnie zagiąć), należy go zagiąć i spróbować utworzyć w zagięciach kąt 90˚. Następnie z profilu otrzymasz krzywiznę smoka. Oczywiście będzie to tylko przybliżenie, jak wszystkie nasze próby zobrazowania obiektów fraktalnych. Komputer pozwala na zobrazowanie znacznie większej liczby etapów tego procesu, w wyniku czego powstaje bardzo piękna figura.

Zbiór Mandelbrota jest skonstruowany nieco inaczej. Rozważmy funkcję fc (z) = z 2 +c, gdzie c jest liczbą zespoloną. Skonstruujmy ciąg tej funkcji z z0=0, w zależności od parametru c może ona różnić się w nieskończoność lub pozostać ograniczona. Co więcej, wszystkie wartości c, dla których ta sekwencja jest ograniczona, tworzą zbiór Mandelbrota. Został on szczegółowo zbadany przez samego Mandelbrota i innych matematyków, którzy odkryli wiele interesujących właściwości tego zbioru.

Można zauważyć, że definicje zbiorów Julii i Mandelbrota są do siebie podobne. W rzeczywistości te dwa zestawy są ze sobą ściśle powiązane. Mianowicie zbiór Mandelbrota to wszystkie wartości złożonego parametru c, dla których zbiór Julii fc (z) jest połączony (zbiór nazywa się spójnym, jeśli nie można go podzielić na dwie rozłączne części, z pewnymi dodatkowymi warunkami).

Fraktale i życie

Obecnie teoria fraktali jest szeroko stosowana w różnych obszarach działalności człowieka. Oprócz czysto naukowego przedmiotu badań i wspomnianego już malarstwa fraktalnego, fraktale wykorzystywane są w teorii informacji do kompresji danych graficznych (wykorzystuje się tu głównie właściwość samopodobieństwa fraktali – w końcu do zapamiętania małego fragmentu obrazu i przekształcenia, za pomocą których można uzyskać pozostałe części, potrzeba znacznie mniej pamięci niż do przechowywania całego pliku). Dodając przypadkowe zakłócenia do wzorów definiujących fraktal, można otrzymać stochastyczne fraktale, które w bardzo prawdopodobny sposób oddają pewne rzeczywiste obiekty - elementy reliefowe, powierzchnię zbiorników, niektóre rośliny, co z powodzeniem wykorzystuje się w fizyce, geografii i grafice komputerowej do osiągnięcia większych podobieństwo obiektów symulowanych do rzeczywistych. W elektronice radiowej w ostatniej dekadzie zaczęto produkować anteny o kształcie fraktalnym. Zajmując niewiele miejsca, zapewniają wysoką jakość odbioru sygnału. Ekonomiści używają fraktali do opisu krzywych wahań kursów walut (właściwość tę odkrył Mandelbrot ponad 30 lat temu). Na tym kończy się ta krótka wycieczka do zadziwiająco pięknego i różnorodnego świata fraktali.

Pojęcia fraktali i geometrii fraktalnej, które pojawiły się pod koniec lat 70., od połowy lat 80. ugruntowały się wśród matematyków i programistów. Słowo fraktal pochodzi od łacińskiego słowa fractus i oznacza składanie się z fragmentów. Zostało zaproponowane przez Benoita Mandelbrota w 1975 roku w odniesieniu do nieregularnych, ale samopodobnych struktur, którymi się zajmował. Narodziny geometrii fraktalnej kojarzone są zwykle z publikacją książki Mandelbrota „The Fractal Geometry of Nature” w 1977 r. W jego pracach korzystano z wyników naukowych innych naukowców, którzy pracowali w latach 1875-1925 w tej samej dziedzinie (Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff Ale dopiero w naszych czasach udało się połączyć ich prace w jeden system.
Rola fraktali w grafice komputerowej jest dziś dość duża. Przychodzą z pomocą np. wtedy, gdy za pomocą kilku współczynników konieczne jest zdefiniowanie linii i powierzchni o bardzo skomplikowanych kształtach. Z punktu widzenia grafiki komputerowej geometria fraktalna jest niezbędna przy generowaniu sztucznych chmur, gór i powierzchni morza. W rzeczywistości znaleziono sposób na łatwe przedstawienie złożonych obiektów nieeuklidesowych, których obrazy są bardzo podobne do naturalnych.
Jedną z głównych właściwości fraktali jest samopodobieństwo. W najprostszym przypadku niewielka część fraktala zawiera informację o całym fraktalu. Definicja fraktala według Mandelbrota brzmi: „Fraktal to struktura składająca się z części, które są w pewnym sensie podobne do całości”.

Istnieje duża liczba obiektów matematycznych zwanych fraktalami (trójkąt Sierpińskiego, płatek śniegu Kocha, krzywa Peano, zbiór Mandelbrota i atraktory Lorentza). Fraktale opisują z dużą dokładnością wiele zjawisk fizycznych i formacji realnego świata: góry, chmury, przepływy turbulentne (wirowe), korzenie, gałęzie i liście drzew, naczynia krwionośne, co dalekie jest od prostych figur geometrycznych. Po raz pierwszy Benoit Mandelbrot mówił o fraktalnej naturze naszego świata w swoim przełomowym dziele „Fractal Geometry of Nature”.
Termin fraktal został wprowadzony przez Benoita Mandelbrota w 1977 roku w jego podstawowym dziele Fractals, Form, Chaos and Dimension. Według Mandelbrota słowo fraktal pochodzi od łacińskich słów fractus – fractus – fractal i frangere – łamać, co oddaje istotę fraktala jako „połamanego”, nieregularnego zbioru.

Klasyfikacja fraktali.

Aby przedstawić całą różnorodność fraktali, wygodnie jest odwołać się do ich ogólnie przyjętej klasyfikacji. Istnieją trzy klasy fraktali.

1. Fraktale geometryczne.

Fraktale tej klasy są najbardziej wizualne. W przypadku dwuwymiarowym uzyskuje się je za pomocą linii łamanej (lub powierzchni w przypadku trójwymiarowym), zwanej generatorem. W jednym kroku algorytmu każdy z segmentów tworzących polilinię zostaje zastąpiony polilinią generującą w odpowiedniej skali. W wyniku niekończącego się powtarzania tej procedury uzyskuje się geometryczny fraktal.

Rozważmy przykład jednego z takich obiektów fraktalnych - triadycznej krzywej Kocha.

Konstrukcja triadycznej krzywej Kocha.

Weźmy odcinek prosty o długości 1. Nazwijmy to nasionko. Podzielmy ziarno na trzy równe części o długości 1/3, odrzućmy środkową część i zastąpmy ją przerywaną linią dwóch ogniw o długości 1/3.

Otrzymamy linię przerywaną składającą się z 4 ogniw o łącznej długości 4/3 – tzw pierwsza generacja.

Aby przejść do kolejnej generacji krzywej Kocha, należy odrzucić i zastąpić środkową część każdego ogniwa. Odpowiednio długość drugiej generacji będzie wynosić 16/9, trzecia - 64/27. jeśli będziemy kontynuować ten proces w nieskończoność, wynikiem będzie triadyczna krzywa Kocha.

Rozważmy teraz właściwości triadycznej krzywej Kocha i dowiedzmy się, dlaczego fraktale nazywano „potworami”.

Po pierwsze, krzywa ta nie ma długości – jak widzieliśmy, wraz z liczbą pokoleń jej długość dąży do nieskończoności.

Po drugie, nie da się zbudować stycznej do tej krzywej – każdy jej punkt jest punktem przegięcia, w którym pochodna nie istnieje – krzywa ta nie jest gładka.

Długość i gładkość to podstawowe właściwości krzywych, które bada zarówno geometria euklidesowa, jak i geometria Łobaczewskiego i Riemanna. Tradycyjne metody analizy geometrycznej okazały się nieadekwatne do triadycznej krzywej Kocha, zatem krzywa Kocha okazała się potworem – „potworem” wśród gładkich mieszkańców tradycyjnych geometrii.

Budowa „smoka” Hartera-Haithawaya.

Aby uzyskać kolejny obiekt fraktalny, należy zmienić zasady konstrukcji. Niech elementem tworzącym będą dwa równe segmenty połączone pod kątem prostym. W generacji zerowej zastępujemy segment jednostkowy tym elementem generującym tak, aby kąt był na górze. Można powiedzieć, że przy takiej wymianie następuje przesunięcie środka ogniwa. Przy konstruowaniu kolejnych generacji obowiązuje zasada: już pierwsze ogniwo z lewej strony zastępuje się elementem formującym tak, aby środek ogniwa przesunął się w lewo od kierunku ruchu, a przy wymianie kolejnych ogniw kierunki przemieszczenie środków segmentów musi się zmieniać. Na rysunku przedstawiono kilka pierwszych generacji oraz 11. generację krzywej zbudowanej według zasady opisanej powyżej. Krzywa, w której n zmierza do nieskończoności, nazywana jest smokiem Hartera-Haithwaya.
W grafice komputerowej wykorzystanie fraktali geometrycznych jest konieczne przy uzyskiwaniu obrazów drzew i krzewów. Dwuwymiarowe fraktale geometryczne służą do tworzenia trójwymiarowych tekstur (wzorów na powierzchni obiektu).

2.Fraktale algebraiczne

To największa grupa fraktali. Uzyskuje się je za pomocą procesów nieliniowych w przestrzeniach n-wymiarowych. Najczęściej badane są procesy dwuwymiarowe. Interpretując nieliniowy proces iteracyjny jako dyskretny układ dynamiczny, można posłużyć się terminologią teorii tych układów: portret fazowy, proces w stanie ustalonym, atraktor itp.
Wiadomo, że nieliniowe układy dynamiczne mają kilka stanów stabilnych. Stan, w jakim znajdzie się układ dynamiczny po określonej liczbie iteracji, zależy od jego stanu początkowego. Dlatego każdy stan stabilny (lub, jak mówią, atraktor) ma pewien obszar stanów początkowych, z których układ koniecznie przejdzie do rozważanych stanów końcowych. W ten sposób przestrzeń fazowa układu jest podzielona na obszary przyciągania atraktorów. Jeżeli przestrzeń fazowa jest przestrzenią dwuwymiarową, to kolorując obszary przyciągania różnymi kolorami, można uzyskać kolorowy portret fazowy tego układu (proces iteracyjny). Zmieniając algorytm wyboru koloru, można uzyskać złożone wzory fraktalne z dziwacznymi wzorami wielokolorowymi. Niespodzianką dla matematyków była możliwość generowania bardzo złożonych, nietrywialnych struktur przy użyciu prymitywnych algorytmów.

Zbiór Mandelbrota.

Jako przykład rozważmy zbiór Mandelbrota. Algorytm jego konstrukcji jest dość prosty i opiera się na prostym wyrażeniu iteracyjnym: Z = Z[i] * Z[i] + C, Gdzie Zi I C- zmienne złożone. Iteracje są wykonywane dla każdego punktu początkowego z obszaru prostokątnego lub kwadratowego – podzbioru płaszczyzny zespolonej. Proces iteracyjny trwa do Z[i] nie wyjdzie poza okrąg o promieniu 2, którego środek leży w punkcie (0,0), (oznacza to, że atraktor układu dynamicznego jest w nieskończoności) lub po odpowiednio dużej liczbie iteracji (np. , 200-500) Z[i] zbiegnie się w pewnym punkcie okręgu. W zależności od liczby iteracji, podczas których Z[i] pozostał wewnątrz okręgu, możesz ustawić kolor punktu C(Jeśli Z[i] pozostaje wewnątrz okręgu przez odpowiednio dużą liczbę iteracji, proces iteracji zostaje zatrzymany, a ten punkt rastrowy zostaje zamalowany na czarno).

3. Fraktale stochastyczne

Inną dobrze znaną klasą fraktali są fraktale stochastyczne, które powstają w wyniku losowej zmiany niektórych ich parametrów w procesie iteracyjnym. W tym przypadku powstałe obiekty są bardzo podobne do naturalnych - asymetryczne drzewa, nierówne wybrzeża itp. Dwuwymiarowe fraktale stochastyczne wykorzystuje się do modelowania terenu i powierzchni mórz.
Istnieją inne klasyfikacje fraktali, na przykład dzieląc fraktale na deterministyczne (algebraiczne i geometryczne) i niedeterministyczne (stochastyczne).

O zastosowaniu fraktali

Przede wszystkim fraktale to dziedzina niesamowitej sztuki matematycznej, kiedy za pomocą najprostszych formuł i algorytmów uzyskuje się obrazy o niezwykłej urodzie i złożoności! W konturach skonstruowanych obrazów często widoczne są liście, drzewa i kwiaty.

Niektóre z najpotężniejszych zastosowań fraktali znajdują się w grafice komputerowej. Po pierwsze, jest to fraktalna kompresja obrazów, po drugie, konstruowanie krajobrazów, drzew, roślin i generowanie fraktalnych tekstur. Współczesna fizyka i mechanika dopiero zaczyna badać zachowanie obiektów fraktalnych. I oczywiście fraktale są wykorzystywane bezpośrednio w samej matematyce.
Zaletami algorytmów kompresji obrazu fraktalnego są bardzo mały rozmiar spakowanego pliku i krótki czas odzyskiwania obrazu. Obrazy upakowane fraktalnie można skalować bez powodowania pikselizacji. Ale proces kompresji zajmuje dużo czasu i czasami trwa godzinami. Algorytm fraktalnego pakowania stratnego pozwala ustawić poziom kompresji, podobny do formatu JPEG. Algorytm opiera się na wyszukiwaniu dużych fragmentów obrazu, które są podobne do niektórych małych fragmentów. I tylko to, który fragment jest podobny do którego, jest zapisywane w pliku wyjściowym. Podczas kompresji zwykle stosuje się siatkę kwadratową (kawałki są kwadratami), co prowadzi do niewielkiej kanciastości podczas przywracania obrazu; siatka sześciokątna nie ma tej wady.
Firma Iterated opracowała nowy format obrazu „Sting”, który łączy w sobie bezstratną kompresję fraktalną i „falową” (np. JPEG). Nowy format umożliwia tworzenie obrazów z możliwością późniejszego skalowania w wysokiej jakości, a objętość plików graficznych wynosi 15-20% objętości nieskompresowanych obrazów.
Tendencję fraktali do przypominania gór, kwiatów i drzew wykorzystują niektóre edytory graficzne, np. chmury fraktalne ze studia 3D MAX, góry fraktalne w World Builder. Fraktalne drzewa, góry i całe krajobrazy definiowane są prostymi wzorami, są łatwe w programowaniu i nie rozpadają się pod wpływem zbliżenia na osobne trójkąty i sześciany.
Nie można ignorować wykorzystania fraktali w samej matematyce. W teorii mnogości zbiór Cantora dowodzi istnienia doskonałych zbiorów nigdzie gęstych; w teorii miary funkcja samoafiniczna „Drabina Cantora” jest dobrym przykładem funkcji rozkładu miary osobliwej.
W mechanice i fizyce fraktale wykorzystuje się ze względu na ich unikalną właściwość polegającą na powtarzaniu konturów wielu obiektów naturalnych. Fraktale pozwalają na aproksymację drzew, powierzchni górskich i pęknięć z większą dokładnością niż aproksymacje z wykorzystaniem zbiorów segmentów lub wielokątów (przy tej samej ilości przechowywanych danych). Modele fraktalne, podobnie jak obiekty naturalne, mają „chropowatość” i ta właściwość zostaje zachowana niezależnie od tego, jak duże jest powiększenie modelu. Obecność jednolitej miary na fraktalach pozwala na zastosowanie integracji, teorii potencjału i wykorzystanie ich zamiast standardowych obiektów w już badanych równaniach.
Dzięki podejściu fraktalnemu chaos przestaje być niebieskim nieporządkiem i zyskuje delikatną strukturę. Nauka fraktalna jest wciąż bardzo młoda i ma przed sobą wielką przyszłość. Piękno fraktali jeszcze się nie wyczerpało i przyniesie nam jeszcze wiele arcydzieł – tych, które cieszą oko i tych, które sprawiają prawdziwą przyjemność umysłowi.

O konstruowaniu fraktali

Metoda kolejnych aproksymacji

Patrząc na ten obrazek, nietrudno zrozumieć, jak można zbudować samopodobny fraktal (w tym przypadku piramidę Sierpińskiego). Musimy wziąć regularną piramidę (czworościan), a następnie wyciąć jej środek (ośmiościan), w wyniku czego powstaną cztery małe piramidy. Z każdym z nich wykonujemy tę samą operację itp. Jest to nieco naiwne, ale jasne wyjaśnienie.

Rozważmy istotę metody bardziej szczegółowo. Niech będzie jakiś system IFS, tj. system mapowania kompresji S=(S 1 ,...,S m ) S i:R n ->R n (na przykład dla naszej piramidy odwzorowania mają postać S i (x)=1/2*x+o i , gdzie o i są wierzchołki czworościanu, i=1,..,4). Następnie wybieramy jakiś zbiór zwarty A 1 w R n (w naszym przypadku wybieramy czworościan). I definiujemy przez indukcję ciąg zbiorów A k:A k+1 =S 1 (A k) U...U S m (A k). Wiadomo, że zbiory A k wraz ze wzrostem k coraz lepiej przybliżają się do pożądanego atraktora układu S.

Należy pamiętać, że każda z tych iteracji jest atraktorem rekurencyjny system iterowanych funkcji(termin angielski Digraf IFS, RIFS i również IFS kierowany graficznie) i dlatego można je łatwo zbudować za pomocą naszego programu.

Metoda punkt po punkcie lub probabilistyczna

Jest to najłatwiejsza metoda do wdrożenia na komputerze. Dla uproszczenia rozważymy przypadek płaskiego zbioru samoafinicznego. Więc

) - jakiś system skurczów afinicznych. Wyświetl S

reprezentowany jako: S

Naprawiono rozmiar matrycy 2x2 i o

Dwuwymiarowa kolumna wektorowa.

• Przyjmijmy stały punkt pierwszego odwzorowania S 1 jako punkt początkowy:
  x:= o1;
  Wykorzystujemy tutaj fakt, że wszystkie stałe punkty kompresji S 1 ,..,S m należą do fraktala. Możesz wybrać dowolny punkt jako punkt początkowy, a wygenerowana przez niego sekwencja punktów zostanie narysowana do fraktala, ale wtedy na ekranie pojawi się kilka dodatkowych punktów.
• Zaznaczmy bieżący punkt x=(x 1 ,x 2) na ekranie:
  putpixel(x 1,x 2,15);
• Wybierzmy losowo liczbę j od 1 do m i przeliczmy współrzędne punktu x:
  j:=Losowy(m)+1;
  x:=Sj(x);
• Przechodzimy do kroku 2 lub, jeśli wykonaliśmy odpowiednio dużą liczbę iteracji, zatrzymujemy się.

Notatka. Jeżeli współczynniki kompresji odwzorowań S i będą różne, wówczas fraktal zostanie wypełniony punktami nierównomiernie. Jeśli odwzorowania S i są podobne, można tego uniknąć, nieco komplikując algorytm. W tym celu w trzecim kroku algorytmu należy wybrać liczbę j od 1 do m z prawdopodobieństwami p 1 =r 1 s,..,p m =r m s, gdzie r i oznaczają współczynniki kompresji odwzorowań Si, oraz liczbę s (zwaną wymiarem podobieństwa) wyznaczamy z równania r 1 s +...+r m s =1. Rozwiązanie tego równania można znaleźć na przykład metodą Newtona.

O fraktalach i ich algorytmach

Fractal pochodzi od łacińskiego przymiotnika „fractus” i w tłumaczeniu oznacza składanie się z fragmentów, a odpowiadający mu łaciński czasownik „frangere” oznacza łamać, czyli tworzyć nieregularne fragmenty. Pojęcia fraktali i geometrii fraktalnej, które pojawiły się pod koniec lat 70., od połowy lat 80. ugruntowały się wśród matematyków i programistów. Termin ten został ukuty przez Benoita Mandelbrota w 1975 roku w odniesieniu do nieregularnych, ale samopodobnych struktur, którymi się zajmował. Narodziny geometrii fraktalnej zwykle kojarzone są z publikacją książki Mandelbrota „The Fractal Geometry of Nature” w 1977 roku. W swoich pracach wykorzystywał dorobek naukowy innych naukowców, którzy pracowali w latach 1875-1925 w tej samej dziedzinie (Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff).

Korekty

Pozwolę sobie wprowadzić pewne poprawki do algorytmów zaproponowanych w książce H.-O. Peitgen i P.H. Richter „The Beauty of Fractals” M. 1993 wyłącznie w celu wyeliminowania literówek i ułatwienia zrozumienia procesów, ponieważ po ich przestudiowaniu wiele pozostało dla mnie tajemnicą. Niestety te „zrozumiałe” i „proste” algorytmy prowadzą bujny tryb życia.

Konstrukcja fraktali opiera się na pewnej nieliniowej funkcji złożonego procesu ze sprzężeniem zwrotnym z => z 2 +c ponieważ z i c są liczbami zespolonymi, to z = x + iy, c = p + iq należy to rozłożyć na x i y, aby przejść do płaszczyzny bardziej realistycznej dla zwykłego człowieka:

x(k+1)=x(k) 2 -y(k) 2 + p,
y(k+1)=2*x(k)*y(k) + q.

Płaszczyznę składającą się ze wszystkich par (x, y) można rozpatrywać jak dla wartości stałych p i q i dynamicznych. W pierwszym przypadku przechodząc przez wszystkie punkty (x, y) płaszczyzny zgodnie z prawem i kolorując je w zależności od liczby powtórzeń funkcji niezbędnej do wyjścia z procesu iteracyjnego lub nie kolorując ich (kolor czarny) gdy przekroczone zostanie dopuszczalne maksimum powtórzeń, otrzymamy wyświetlenie zbioru Julii. Jeżeli natomiast ustalimy początkową parę wartości (x,y) i prześledzimy jej losy kolorystyczne przy dynamicznie zmieniających się wartościach parametrów p i q, wówczas otrzymamy obrazy zwane zbiorami Mandelbrota.

W kwestii algorytmów kolorowania fraktali.

Zwykle korpus zestawu jest przedstawiany jako czarne pole, chociaż jest oczywiste, że czarny kolor można zastąpić dowolnym innym, ale jest to również trochę interesujący wynik. Uzyskanie obrazu zestawu pokolorowanego we wszystkich kolorach jest zadaniem, którego nie można rozwiązać za pomocą operacji cyklicznych, ponieważ liczba iteracji zbiorów tworzących bryłę jest równa maksymalnej możliwej i jest zawsze taka sama. Możliwe jest pokolorowanie zestawu różnymi kolorami, wykorzystując wynik sprawdzenia warunku wyjścia z pętli (z_magnitude) lub coś podobnego, ale za pomocą innych operacji matematycznych, jako liczbę koloru.

Zastosowanie „mikroskopu fraktalnego”

wykazać zjawiska graniczne.

Atraktory to ośrodki prowadzące walkę o dominację na płaszczyźnie. Pomiędzy atraktorami pojawia się granica przedstawiająca kwiecisty wzór. Zwiększając skalę rozważań w granicach zbioru, można uzyskać nietrywialne wzorce odzwierciedlające stan deterministycznego chaosu – zjawisko powszechne w świecie przyrody.

Obiekty badane przez geografów tworzą system o bardzo skomplikowanych granicach, dlatego ich identyfikacja nie jest prostym zadaniem praktycznym. Kompleksy naturalne mają typowe rdzenie, które działają jak atraktory i tracą swój wpływ na terytorium w miarę jego oddalania się.

Wykorzystując mikroskop fraktalny do zbiorów Mandelbrota i Julii, można stworzyć wyobrażenie o procesach i zjawiskach granicznych, które są równie złożone niezależnie od skali rozważań i w ten sposób przygotować percepcję specjalisty na spotkanie z dynamicznym i pozornie chaotycznym obiektem naturalnym w przestrzeni i czasie, dla zrozumienia natury geometrii fraktalnej. Wielobarwne kolory i fraktalna muzyka z pewnością pozostawią głęboki ślad w umysłach uczniów.

Fraktalom poświęcone są tysiące publikacji i ogromne zasoby Internetu, jednak dla wielu specjalistów dalekich od informatyki termin ten wydaje się zupełnie nowy. Fraktale, jako obiekty zainteresowania specjalistów z różnych dziedzin wiedzy, powinny znaleźć odpowiednie miejsce na zajęciach z informatyki.

Przykłady

Siatka Siepińskiego

Jest to jeden z fraktali, z którymi Mandelbrot eksperymentował podczas opracowywania koncepcji wymiarów fraktalnych i iteracji. Trójkąty utworzone przez połączenie środków większego trójkąta są wycinane z głównego trójkąta, tworząc trójkąt z większą liczbą otworów. W tym przypadku inicjatorem jest duży trójkąt, a szablonem operacja wycięcia trójkątów podobnych do większego. Trójwymiarową wersję trójkąta można również uzyskać, używając zwykłego czworościanu i wycinając małe czworościany. Wymiar takiego fraktala wynosi ln3/ln2 = 1,584962501. Pozyskać Dywan Sierpińskiego, weź kwadrat, podziel go na dziewięć kwadratów i wytnij środkowy. To samo zrobimy z resztą, mniejszymi kwadratami. Ostatecznie powstaje płaska siatka fraktalna, która nie ma powierzchni, ale ma nieskończoną liczbę połączeń. W swojej przestrzennej formie gąbka Sierpińskiego przekształca się w system form od końca do końca, w którym każdy element od końca do końca jest stale zastępowany przez swój własny rodzaj. Struktura ta jest bardzo podobna do fragmentu tkanki kostnej. Któregoś dnia takie powtarzalne struktury staną się elementem konstrukcji budowlanych. Mandelbrot uważa, że ​​ich statyka i dynamika zasługują na dokładne zbadanie.

KRZYWA KOCHA

Krzywa Kocha jest jednym z najbardziej typowych fraktali deterministycznych. Został wynaleziony w XIX wieku przez niemieckiego matematyka Helge von Kocha, który studiując prace Georga Kontora i Karla Weierstrasse, natknął się na opisy dziwnych krzywych o nietypowym zachowaniu. Inicjatorem jest linia prosta. Generator jest trójkątem równobocznym, którego boki są równe jednej trzeciej długości większego odcinka. Te trójkąty są dodawane do środka każdego segmentu w kółko. W swoich badaniach Mandelbrot intensywnie eksperymentował z krzywymi Kocha i stworzył figury, takie jak Wyspy Kocha, Krzyże Kocha, Płatki śniegu Kocha, a nawet trójwymiarowe reprezentacje krzywej Kocha, używając czworościanu i dodając mniejsze czworościany do każdej z jego ścian. Krzywa Kocha ma wymiar ln4/ln3 = 1,261859507.

FRAKTAL MANDELBROTA

To NIE jest zbiór Mandelbrota, który widuje się dość często. Zbiór Mandelbrota opiera się na równaniach nieliniowych i jest złożonym fraktalem. Jest to również odmiana krzywej Kocha, chociaż obiekt ten nie jest do niej podobny. Inicjator i generator również różnią się od tych używanych do tworzenia fraktali w oparciu o zasadę krzywej Kocha, ale idea pozostaje ta sama. Zamiast łączyć trójkąty równoboczne z odcinkiem krzywej, kwadraty są łączone w kwadrat. Z uwagi na to, że fraktal ten w każdej iteracji zajmuje dokładnie połowę przydzielonej przestrzeni, ma on prosty wymiar fraktalny równy 3/2 = 1,5.

ODWAŻNIE PENTAGON

Fraktal wygląda jak kilka ściśniętych razem pięciokątów. W rzeczywistości powstaje on poprzez użycie pięciokąta jako inicjatora i trójkątów równoramiennych, w których stosunek większego boku do mniejszego jest dokładnie równy tzw. złotemu podziałowi (1,618033989 lub 1/(2cos72)) jako generatorowi . Trójkąty te są wycinane ze środka każdego pięciokąta, co daje kształt przypominający 5 małych pięciokątów przyklejonych do jednego dużego. Wariant tego fraktala można uzyskać, używając sześciokąta jako inicjatora. Ten fraktal nazywany jest Gwiazdą Dawida i jest dość podobny do sześciokątnej wersji płatka śniegu Kocha. Wymiar fraktalny pięciokąta Darera wynosi ln6/ln(1+g), gdzie g jest stosunkiem długości większego boku trójkąta do długości mniejszego. W tym przypadku g jest złotym podziałem, więc wymiar fraktalny wynosi w przybliżeniu 1,86171596. Wymiar fraktalny Gwiazdy Dawida ln6/ln3 lub 1,630929754.

Złożone fraktale

W rzeczywistości, jeśli powiększysz mały obszar dowolnego złożonego fraktala, a następnie zrobisz to samo z małym obszarem tego obszaru, oba powiększenia będą znacząco się od siebie różnić. Obydwa obrazy będą bardzo podobne w szczegółach, ale nie będą całkowicie identyczne.

Rysunek 1. Przybliżenie zbioru Mandelbrota

Porównaj na przykład pokazane tutaj zdjęcia zbioru Mandelbrota, z których jeden uzyskano poprzez powiększenie pewnego obszaru drugiego. Jak widać, nie są one absolutnie identyczne, chociaż na obu widzimy czarny okrąg, z którego w różnych kierunkach wystają płonące macki. Elementy te powtarzają się w nieskończoność w zbiorze Mandelbrota w malejących proporcjach.

Fraktale deterministyczne są liniowe, podczas gdy fraktale złożone nie. Ponieważ są one nieliniowe, fraktale te są generowane przez to, co Mandelbrot nazwał nieliniowymi równaniami algebraicznymi. Dobrym przykładem jest proces Zn+1=ZnI + C, będący równaniem używanym do konstrukcji zbioru Mandelbrota i Julii drugiego stopnia. Rozwiązywanie tych równań matematycznych obejmuje liczby zespolone i urojone. Gdy równanie zinterpretuje się graficznie na płaszczyźnie zespolonej, otrzymuje się dziwną figurę, w której linie proste stają się krzywymi, a efekty samopodobieństwa pojawiają się, choć nie bez deformacji, na różnych poziomach skali. Jednocześnie cały obraz jako całość jest nieprzewidywalny i bardzo chaotyczny.

Jak widać patrząc na zdjęcia, złożone fraktale są rzeczywiście bardzo złożone i nie można ich utworzyć bez pomocy komputera. Aby uzyskać kolorowe wyniki, komputer ten musi być wyposażony w wydajny koprocesor matematyczny i monitor o wysokiej rozdzielczości. W przeciwieństwie do fraktali deterministycznych, fraktale złożone nie są obliczane w 5-10 iteracjach. Prawie każdy punkt na ekranie komputera jest jak oddzielny fraktal. Podczas przetwarzania matematycznego każdy punkt traktowany jest jako osobny rysunek. Każdy punkt odpowiada określonej wartości. Równanie jest wbudowane dla każdego punktu i wykonywane jest np. 1000 iteracji. Aby uzyskać w miarę niezniekształcony obraz w czasie akceptowalnym dla komputerów domowych, możliwe jest wykonanie 250 iteracji dla jednego punktu.

Większość fraktali, które dzisiaj widzimy, jest pięknie zabarwiona. Być może obrazy fraktalne zyskują tak duże znaczenie estetyczne właśnie ze względu na kolorystykę. Po obliczeniu równania komputer analizuje wyniki. Jeśli wyniki pozostają stabilne lub oscylują wokół określonej wartości, kropka zwykle staje się czarna. Jeśli wartość w tym czy innym kroku zmierza do nieskończoności, punkt jest malowany na inny kolor, na przykład niebieski lub czerwony. Podczas tego procesu komputer przypisuje kolory do wszystkich prędkości ruchu.

Zwykle szybko poruszające się kropki są kolorowane na czerwono, a wolniejsze na żółto i tak dalej. Ciemne plamy są prawdopodobnie najbardziej stabilne.

Złożone fraktale różnią się od deterministycznych fraktali w tym sensie, że są nieskończenie złożone, ale nadal można je wygenerować za pomocą bardzo prostego wzoru. Deterministyczne fraktale nie wymagają wzorów ani równań. Po prostu weź trochę papieru do rysowania i możesz bez żadnych trudności zbudować sito Sierpińskiego do 3 lub 4 iteracji. Wypróbuj to z dużą ilością Julii! Łatwiej jest zmierzyć długość wybrzeża Anglii!

ZESTAW MANDELBROTA

Ryc. 2. Zbiór Mandelbrota

Zbiory Mandelbrota i Julii są prawdopodobnie dwoma najpopularniejszymi wśród złożonych fraktali. Można je znaleźć w wielu czasopismach naukowych, okładkach książek, pocztówkach i wygaszaczach ekranu komputerów. Zbiór Mandelbrota, skonstruowany przez Benoita Mandelbrota, jest prawdopodobnie pierwszym skojarzeniem, jakie pojawia się u ludzi, gdy słyszy słowo fraktal. Ten fraktal, przypominający zgrzeblarkę z przymocowanymi do niego płonącymi, przypominającymi drzewa i okrągłymi obszarami, jest generowany za pomocą prostego wzoru Zn+1=Zna+C, gdzie Z i C są liczbami zespolonymi, a a jest liczbą dodatnią.

Zbiór Mandelbrota, który najczęściej można zobaczyć, to zbiór Mandelbrota drugiego stopnia, czyli a = 2. Wielu wprowadził w błąd fakt, że zbiór Mandelbrota to nie tylko Zn+1=ZnІ+C, ale fraktal, którego wskaźnikiem we wzorze może być dowolna liczba dodatnia. Na tej stronie widać przykład zbioru Mandelbrota dla różnych wartości wykładnika a.
Rysunek 3. Pojawienie się pęcherzyków przy a=3,5

Popularny jest także proces Z=Z*tg(Z+C). Uwzględniając funkcję styczną, wynikiem jest zbiór Mandelbrota otoczony obszarem przypominającym jabłko. Przy zastosowaniu funkcji cosinus uzyskuje się efekt pęcherzyków powietrza. Krótko mówiąc, istnieje nieskończona liczba sposobów skonfigurowania zbioru Mandelbrota w celu uzyskania różnych pięknych obrazów.

DUŻO JULII

Co zaskakujące, zbiory Julii powstają według tego samego wzoru, co zbiór Mandelbrota. Zbiór Julia został wynaleziony przez francuskiego matematyka Gastona Julię, od którego pochodzi nazwa zbioru. Pierwsze pytanie, które pojawia się po wizualnej znajomości zbiorów Mandelbrota i Julii brzmi: „jeśli oba fraktale są generowane według tego samego wzoru, to dlaczego są tak różne?” Najpierw spójrzcie na zdjęcia zestawu Julii. Co dziwne, istnieją różne rodzaje zestawów Julii. Podczas rysowania fraktala przy użyciu różnych punktów początkowych (w celu rozpoczęcia procesu iteracji) generowane są różne obrazy. Dotyczy to tylko zestawu Julia.

Rysunek 4. Zestaw Julii

Choć na zdjęciu tego nie widać, fraktal Mandelbrota to tak naprawdę wiele połączonych ze sobą fraktali Julii. Każdy punkt (lub współrzędna) zbioru Mandelbrota odpowiada fraktalowi Julii. Zbiory Julii można wygenerować wykorzystując te punkty jako wartości początkowe w równaniu Z=ZI+C. Ale to nie znaczy, że jeśli wybierzesz punkt na fraktalu Mandelbrota i go powiększysz, możesz otrzymać fraktal Julii. Te dwa punkty są identyczne, ale tylko w sensie matematycznym. Jeśli weźmiesz ten punkt i obliczysz go za pomocą tego wzoru, możesz otrzymać fraktal Julii odpowiadający pewnemu punktowi fraktala Mandelbrota.

Najbardziej pomysłowe odkrycia nauki mogą radykalnie zmienić życie człowieka. Wynaleziona szczepionka może uratować miliony ludzi, wręcz przeciwnie, odbiera im życie. Niedawno (w skali ewolucji człowieka) nauczyliśmy się „oswajać” elektryczność - i teraz nie możemy sobie wyobrazić życia bez tych wszystkich wygodnych urządzeń wykorzystujących energię elektryczną. Ale zdarzają się też odkrycia, do których niewiele osób przywiązuje wagę, choć i one mają ogromny wpływ na nasze życie.

Jednym z takich „niepozornych” odkryć są fraktale. Prawdopodobnie słyszałeś już to chwytliwe słowo, ale czy wiesz, co ono oznacza i ile ciekawych informacji kryje się w tym określeniu?

Każdy człowiek ma naturalną ciekawość, chęć zrozumienia otaczającego go świata. W tym przedsięwzięciu człowiek stara się przestrzegać logiki w swoich osądach. Analizując procesy zachodzące wokół niego, stara się odnaleźć logikę tego, co się dzieje i wyprowadzić jakiś wzór. Największe umysły na planecie są zajęte tym zadaniem. Z grubsza rzecz biorąc, naukowcy szukają wzorca tam, gdzie nie powinno go być. Jednak nawet w chaosie można znaleźć powiązania między zdarzeniami. A to połączenie jest fraktalem.

Nasza córeczka, czteroipółletnia, jest teraz w tym cudownym wieku, kiedy pojawia się coraz więcej pytań „Dlaczego?” wielokrotnie przekracza liczbę odpowiedzi, jakich potrafią udzielić dorośli. Nie tak dawno temu, oglądając gałąź podniesioną z ziemi, moja córka nagle zauważyła, że ​​ta gałąź, wraz ze swoimi gałązkami i gałęziami, sama w sobie wygląda jak drzewo. I oczywiście następowało zwykłe pytanie „Dlaczego?”, na które rodzice musieli szukać prostego wyjaśnienia, zrozumiałego dla dziecka.

Odkryte przez dziecko podobieństwo pojedynczej gałęzi do całego drzewa jest bardzo trafną obserwacją, która po raz kolejny świadczy o zasadzie rekurencyjnego samopodobieństwa w przyrodzie. Wiele form organicznych i nieorganicznych w przyrodzie powstaje w podobny sposób. Chmury, muszelki, „domek” ślimaka, kora i korona drzew, układ krążenia itd. – przypadkowe kształty wszystkich tych obiektów można opisać algorytmem fraktalnym.

⇡ Benoit Mandelbrot: ojciec geometrii fraktalnej

Samo słowo „fraktal” pojawiło się dzięki genialnemu naukowcowi Benoitowi B. Mandelbrotowi.

Sam ukuł ten termin w latach 70. XX wieku, zapożyczając z łaciny słowo fractus, które dosłownie oznacza „złamany” lub „zmiażdżony”. Co to jest? Dziś słowo „fraktal” najczęściej oznacza graficzne przedstawienie struktury, która w większej skali jest do siebie podobna.

Matematyczne podstawy powstania teorii fraktali położono wiele lat przed narodzinami Benoita Mandelbrota, ale mogły się one rozwinąć dopiero wraz z pojawieniem się urządzeń komputerowych. Na początku swojej kariery naukowej Benoit pracował w centrum badawczym IBM. W tym czasie pracownicy centrum pracowali nad przesyłaniem danych na odległość. W trakcie badań naukowcy stanęli przed problemem dużych strat powstałych na skutek zakłóceń hałasowych. Benoit stanął przed trudnym i bardzo ważnym zadaniem – zrozumieć, jak przewidzieć występowanie zakłóceń szumowych w obwodach elektronicznych, gdy metoda statystyczna okazuje się nieskuteczna.

Przeglądając wyniki pomiarów hałasu, Mandelbrot zauważył jedną dziwną prawidłowość – wykresy hałasu w różnych skalach wyglądały tak samo. Identyczny wzór zaobserwowano niezależnie od tego, czy był to wykres szumu dla jednego dnia, tygodnia czy godziny. Konieczna była zmiana skali wykresu i obraz za każdym razem się powtarzał.

W ciągu swojego życia Benoit Mandelbrot wielokrotnie powtarzał, że nie studiuje formuł, ale po prostu bawi się obrazkami. Człowiek ten myślał bardzo obrazowo i przełożył każdy problem algebraiczny na dziedzinę geometrii, gdzie według niego prawidłowa odpowiedź jest zawsze oczywista.

Nic dziwnego, że to człowiek o tak bogatej wyobraźni przestrzennej stał się ojcem geometrii fraktalnej. W końcu świadomość istoty fraktali pojawia się właśnie wtedy, gdy zaczynasz studiować rysunki i zastanawiać się nad znaczeniem dziwnych wzorów wirowych.

Wzór fraktalny nie ma identycznych elementów, ale jest podobny w dowolnej skali. Wcześniej ręczne skonstruowanie takiego obrazu o dużej szczegółowości było po prostu niemożliwe; wymagało to ogromnej ilości obliczeń. Na przykład francuski matematyk Pierre Joseph Louis Fatou opisał ten zbiór ponad siedemdziesiąt lat przed odkryciem Benoita Mandelbrota. Jeśli mówimy o zasadach samopodobieństwa, to wspominano o nich w dziełach Leibniza i Georga Cantora.

Jednym z pierwszych rysunków fraktalnych była graficzna interpretacja zbioru Mandelbrota, która powstała dzięki badaniom Gastona Maurice’a Julii.

Gaston Julia (zawsze w masce - kontuzja podczas I wojny światowej)

Ten francuski matematyk zastanawiał się, jak wyglądałby zbiór, gdyby został zbudowany z prostego wzoru iterowanego w pętli sprzężenia zwrotnego. Jeśli wyjaśnimy to „na palcach”, oznacza to, że dla konkretnej liczby za pomocą wzoru znajdujemy nową wartość, po czym ponownie ją podstawimy do wzoru i otrzymamy inną wartość. Rezultatem jest duża sekwencja liczb.

Aby uzyskać pełny obraz takiego zestawu, trzeba wykonać ogromną liczbę obliczeń - setki, tysiące, miliony. Po prostu nie dało się tego zrobić ręcznie. Kiedy jednak matematycy udostępnili potężne urządzenia obliczeniowe, mogli na nowo spojrzeć na formuły i wyrażenia, które od dawna były przedmiotem zainteresowania. Mandelbrot jako pierwszy użył komputera do obliczenia klasycznego fraktala. Po przetworzeniu sekwencji składającej się z dużej liczby wartości Benoit naniósł wyniki na wykres. To właśnie dostał.

Następnie obraz ten został pokolorowany (na przykład jedną z metod kolorowania jest liczba iteracji) i stał się jednym z najpopularniejszych obrazów, jakie kiedykolwiek stworzył człowiek.

Jak głosi starożytne powiedzenie przypisywane Heraklitowi z Efezu: „Nie można dwa razy wejść do tej samej rzeki”. Doskonale nadaje się do interpretacji geometrii fraktali. Nieważne, jak szczegółowo przyjrzymy się obrazowi fraktalnemu, zawsze zobaczymy podobny wzór.

Ci, którzy chcą zobaczyć, jak wyglądałby obraz przestrzeni Mandelbrota po wielokrotnym powiększeniu, mogą to zrobić, pobierając animowany GIF.

⇡ Lauren Carpenter: sztuka stworzona przez naturę

Teoria fraktali szybko znalazła praktyczne zastosowanie. Ponieważ jest ona ściśle powiązana z wizualizacją obrazów samopodobnych, nic dziwnego, że algorytmy i zasady konstruowania nietypowych form jako pierwsi przyjęli artyści.

Przyszły współzałożyciel legendarnego studia Pixar, Loren C. Carpenter, rozpoczął pracę w 1967 roku w Boeing Computer Services, będącym jednym z oddziałów słynnej korporacji opracowującej nowe samoloty.

W 1977 roku stworzył prezentacje prototypowych modeli latających. Do obowiązków Lorena należało opracowywanie obrazów projektowanego samolotu. Musiał tworzyć zdjęcia nowych modeli, pokazując przyszłe samoloty z różnych perspektyw. W pewnym momencie przyszły założyciel Pixar Animation Studios wpadł na twórczy pomysł wykorzystania obrazu gór jako tła. Dziś każdy uczeń jest w stanie rozwiązać taki problem, jednak pod koniec lat siedemdziesiątych ubiegłego wieku komputery nie radziły sobie z tak skomplikowanymi obliczeniami – nie było edytorów graficznych, nie mówiąc już o aplikacjach do grafiki 3D. W 1978 roku Lauren przypadkowo zobaczyła w sklepie książkę Benoita Mandelbrota Fractals: Form, Chance and Dimension. W tej książce jego uwagę przykuło to, że Benoit podał wiele przykładów kształtów fraktalnych występujących w prawdziwym życiu i argumentował, że można je opisać za pomocą wyrażeń matematycznych.

Matematyk wybrał tę analogię nieprzypadkowo. Fakt jest taki, że gdy tylko opublikował swoje badania, musiał stawić czoła całej lawinie krytyki. Najważniejszą rzeczą, za którą zarzucali mu koledzy, była bezużyteczność opracowywanej teorii. „Tak” – odpowiedzieli – „to piękne zdjęcia, ale nic więcej. Teoria fraktali nie ma praktycznej wartości.” Byli też tacy, którzy powszechnie wierzyli, że wzory fraktalne są po prostu produktem ubocznym pracy „diabelskich maszyn”, co pod koniec lat siedemdziesiątych wydawało się wielu osobom zbyt skomplikowane i niezbadane, aby można było w pełni im zaufać. Mandelbrot próbował znaleźć oczywiste zastosowania teorii fraktali, ale w ogólnym rozrachunku nie było mu to potrzebne. W ciągu następnych 25 lat zwolennicy Benoita Mandelbrota udowodnili ogromne korzyści płynące z takiej „ciekawości matematycznej”, a Lauren Carpenter jako jedna z pierwszych wypróbowała metodę fraktalną w praktyce.

Po przestudiowaniu książki przyszły animator poważnie przestudiował zasady geometrii fraktalnej i zaczął szukać sposobu na jej wdrożenie w grafice komputerowej. W ciągu zaledwie trzech dni pracy Lauren była w stanie odtworzyć na swoim komputerze realistyczny obraz systemu górskiego. Innymi słowy, za pomocą formuł namalował całkowicie rozpoznawalny górski krajobraz.

Zasada, którą Lauren zastosowała, aby osiągnąć swój cel, była bardzo prosta. Polegało to na podzieleniu większej figury geometrycznej na mniejsze elementy, a te z kolei zostały podzielone na podobne figury o mniejszych rozmiarach.

Używając większych trójkątów, Carpenter podzielił je na cztery mniejsze, a następnie powtarzał ten proces w kółko, aż uzyskał realistyczny krajobraz górski. Tym samym udało mu się zostać pierwszym artystą, który zastosował algorytm fraktalny do konstruowania obrazów w grafice komputerowej. Gdy tylko wiadomość o dziele stała się znana, entuzjaści na całym świecie podchwycili ten pomysł i zaczęli używać algorytmu fraktalnego do imitowania realistycznych, naturalnych kształtów.

Jedna z pierwszych wizualizacji 3D wykorzystujących algorytm fraktalny

Zaledwie kilka lat później Lauren Carpenter mogła zastosować swoje rozwiązania w znacznie większym projekcie. Animator stworzył z nich dwuminutowe demo Vol Libre, które w 1980 roku zostało pokazane na platformie Siggraph. Ten film zszokował wszystkich, którzy go obejrzeli, a Lauren otrzymała zaproszenie od Lucasfilm.

Animacja została wyrenderowana na komputerze VAX-11/780 firmy Digital Equipment Corporation z zegarem pięciu megaherców, a renderowanie każdej klatki trwało około pół godziny.

Pracując dla Lucasfilm Limited, animator stworzył trójwymiarowe krajobrazy, korzystając z tego samego schematu, w drugim pełnometrażowym filmie z sagi Star Trek. W Gniewie Khana Carpenter był w stanie stworzyć całą planetę, korzystając z tej samej zasady fraktalnego modelowania powierzchni.

Obecnie wszystkie popularne aplikacje do tworzenia krajobrazów 3D wykorzystują podobną zasadę do generowania obiektów naturalnych. Terragen, Bryce, Vue i inne edytory 3D opierają się na algorytmie fraktalnym do modelowania powierzchni i tekstur.

⇡ Anteny fraktalne: mniej znaczy więcej

W ciągu ostatniego półwiecza życie zaczęło się gwałtownie zmieniać. Większość z nas uważa postępy nowoczesnych technologii za coś oczywistego. Bardzo szybko przyzwyczajasz się do wszystkiego, co czyni życie wygodniejszym. Rzadko kiedy ktoś zadaje sobie pytanie: „Skąd to się wzięło?” i „Jak to działa?” Kuchenka mikrofalowa podgrzewa śniadanie – świetnie, smartfon daje możliwość rozmowy z drugą osobą – świetnie. Wydaje nam się to oczywistą możliwością.

Ale życie mogłoby potoczyć się zupełnie inaczej, gdyby człowiek nie szukał wyjaśnienia zachodzących wydarzeń. Weźmy na przykład telefony komórkowe. Pamiętacie chowane anteny w pierwszych modelach? Ingerowali, zwiększali rozmiar urządzenia, a na koniec często się psuli. Wierzymy, że popadły w zapomnienie na zawsze, a jedną z przyczyn tego są… fraktale.

Fraktalne wzory fascynują swoim wzornictwem. Zdecydowanie przypominają obrazy obiektów kosmicznych - mgławic, gromad galaktyk i tak dalej. Jest zatem całkiem naturalne, że kiedy Mandelbrot przedstawił swoją teorię fraktali, jego badania wzbudziły zwiększone zainteresowanie wśród badaczy astronomii. Jeden z takich amatorów, Nathan Cohen, po wykładzie Benoita Mandelbrota w Budapeszcie zainspirował się ideą praktycznego zastosowania zdobytej wiedzy. To prawda, że ​​zrobił to intuicyjnie, a przypadek odegrał ważną rolę w jego odkryciu. Jako radioamator Nathan poszukiwał anteny o możliwie najwyższej czułości.

Jedynym znanym wówczas sposobem na poprawę parametrów anteny było zwiększenie jej wymiarów geometrycznych. Jednak właściciel wynajmowanej przez Nathana nieruchomości w centrum Bostonu kategorycznie sprzeciwiał się instalowaniu na dachu dużych urządzeń. Następnie Nathan zaczął eksperymentować z różnymi kształtami anten, starając się uzyskać maksymalny wynik przy minimalnym rozmiarze. Zainspirowany ideą form fraktalnych Cohen, jak mówią, losowo wykonał z drutu jeden z najsłynniejszych fraktali - „płatek śniegu Kocha”. Szwedzki matematyk Helge von Koch wymyślił tę krzywą w 1904 roku. Uzyskuje się go poprzez podzielenie odcinka na trzy części i zastąpienie środkowego odcinka trójkątem równobocznym bez boku pokrywającego się z tym odcinkiem. Definicja jest trochę trudna do zrozumienia, ale na rysunku wszystko jest jasne i proste.

Istnieją również inne odmiany krzywej Kocha, ale przybliżony kształt krzywej pozostaje podobny

Kiedy Nathan podłączył antenę do odbiornika radiowego, był bardzo zaskoczony – czułość wzrosła dramatycznie. Po serii eksperymentów przyszły profesor Uniwersytetu Bostońskiego stwierdził, że antena wykonana według wzoru fraktalnego charakteryzuje się dużą wydajnością i pokrywa znacznie szerszy zakres częstotliwości w porównaniu z klasycznymi rozwiązaniami. Dodatkowo kształt anteny w postaci krzywej fraktalnej pozwala na znaczne zmniejszenie wymiarów geometrycznych. Nathan Cohen wysunął nawet twierdzenie udowadniające, że aby stworzyć antenę szerokopasmową, wystarczy nadać jej kształt samopodobnej krzywej fraktalnej.

Autor opatentował swoje odkrycie i założył firmę zajmującą się opracowywaniem i projektowaniem anten fraktalnych Fractal Antenna Systems, słusznie wierząc, że w przyszłości dzięki jego odkryciu telefony komórkowe będą mogły pozbyć się nieporęcznych anten i stać się bardziej kompaktowe.

W zasadzie tak się stało. To prawda, że ​​​​nathan do dziś toczy spór prawny z dużymi korporacjami, które nielegalnie wykorzystują jego odkrycie do produkcji kompaktowych urządzeń komunikacyjnych. Niektórzy znani producenci urządzeń mobilnych, jak np. Motorola, osiągnęli już polubowne porozumienie z wynalazcą anteny fraktalnej.

⇡ Wymiary fraktalne: nie da się tego zrozumieć umysłem

Benoit zapożyczył to pytanie od słynnego amerykańskiego naukowca Edwarda Kasnera.

Ten ostatni, podobnie jak wielu innych znanych matematyków, uwielbiał komunikować się z dziećmi, zadając im pytania i otrzymując nieoczekiwane odpowiedzi. Czasami prowadziło to do zaskakujących konsekwencji. Na przykład dziewięcioletni bratanek Edwarda Kasnera wymyślił dobrze znane obecnie słowo „googol”, oznaczające jedynkę i sto zer. Wróćmy jednak do fraktali. Amerykański matematyk lubił zadawać pytanie, jak długa jest linia brzegowa USA. Po wysłuchaniu opinii swojego rozmówcy sam Edward udzielił prawidłowej odpowiedzi. Jeśli zmierzysz długość na mapie za pomocą połamanych segmentów, wynik będzie niedokładny, ponieważ linia brzegowa ma dużą liczbę nieregularności. Co się stanie, jeśli zmierzymy tak dokładnie, jak to możliwe? Będziesz musiał wziąć pod uwagę długość każdej nierówności - będziesz musiał zmierzyć każdy przylądek, każdą zatokę, skałę, długość skalistej półki, leżącego na niej kamienia, ziarenko piasku, atom i tak dalej. Ponieważ liczba nieprawidłowości zmierza do nieskończoności, zmierzona długość linii brzegowej będzie wzrastać do nieskończoności podczas pomiaru każdej nowej nieprawidłowości.

Im mniejsza miara podczas pomiaru, tym dłuższa zmierzona długość

Co ciekawe, dzieci, podążając za podpowiedziami Edwarda, znacznie szybciej niż dorośli podali prawidłowe rozwiązanie, podczas gdy ci drudzy mieli trudności z przyjęciem tak niewiarygodnej odpowiedzi.

Na przykładzie tego problemu Mandelbrot zaproponował zastosowanie nowego podejścia do pomiarów. Ponieważ linia brzegowa jest zbliżona do krzywej fraktalnej, oznacza to, że można do niej zastosować parametr charakteryzujący – tzw. wymiar fraktalny.

To, czym jest regularny wymiar, jest jasne dla każdego. Jeśli wymiar jest równy jeden, otrzymujemy linię prostą, jeśli dwa - płaską figurę, trzy - objętość. Jednak takie rozumienie wymiaru w matematyce nie sprawdza się w przypadku krzywych fraktalnych, gdzie ten parametr ma wartość ułamkową. Wymiar fraktalny w matematyce można umownie uznać za „chropowatość”. Im większa chropowatość krzywej, tym większy jest jej wymiar fraktalny. Krzywa, która według Mandelbrota ma wymiar fraktalny większy od wymiaru topologicznego, ma przybliżoną długość niezależną od liczby wymiarów.

Obecnie naukowcy znajdują coraz więcej obszarów zastosowań teorii fraktali. Za pomocą fraktali można analizować wahania cen giełdowych, badać wszelkiego rodzaju procesy naturalne, takie jak wahania liczby gatunków, czy symulować dynamikę przepływów. Algorytmy fraktalne można wykorzystać do kompresji danych, na przykład kompresji obrazu. A swoją drogą, żeby uzyskać piękny fraktal na ekranie komputera, wcale nie trzeba mieć doktoratu.

⇡ Fractal w przeglądarce

Być może jednym z najłatwiejszych sposobów uzyskania wzoru fraktalnego jest użycie internetowego edytora wektorów autorstwa młodego, utalentowanego programisty Toby'ego Schachmana. Narzędzia tego prostego edytora graficznego opierają się na tej samej zasadzie samopodobieństwa.

Do Twojej dyspozycji są tylko dwa najprostsze kształty – czworokąt i okrąg. Można je dodawać do obszaru roboczego, skalować (aby przeskalować wzdłuż jednej z osi, należy przytrzymać klawisz Shift) oraz obracać. Nakładając się na siebie zgodnie z zasadą dodawania logicznego, te najprostsze elementy tworzą nowe, mniej trywialne formy. Te nowe kształty można następnie dodać do projektu, a program będzie powtarzał generowanie tych obrazów w nieskończoność. Na każdym etapie pracy nad fraktalem możesz wrócić do dowolnego elementu złożonego kształtu i edytować jego położenie oraz geometrię. Zabawne zajęcie, zwłaszcza jeśli weźmie się pod uwagę, że jedynym narzędziem, które musisz stworzyć, jest przeglądarka. Jeśli nie rozumiesz zasady pracy z tym rekurencyjnym edytorem wektorów, radzimy obejrzeć film na oficjalnej stronie projektu, który szczegółowo pokazuje cały proces tworzenia fraktala.

⇡ XaoS: fraktale na każdy gust

Wiele edytorów graficznych posiada wbudowane narzędzia do tworzenia wzorów fraktalnych. Jednak narzędzia te są zwykle drugorzędne i nie pozwalają na precyzyjne dostrojenie wygenerowanego wzoru fraktalnego. W przypadkach, gdy konieczne jest skonstruowanie matematycznie dokładnego fraktala, na ratunek przyjdzie wieloplatformowy edytor XaoS. Program ten umożliwia nie tylko budowanie samopodobnego obrazu, ale także wykonywanie na nim różnych manipulacji. Na przykład w czasie rzeczywistym możesz „spacerować” po fraktalu, zmieniając jego skalę. Animowany ruch wzdłuż fraktala można zapisać jako plik XAF, a następnie odtworzyć w samym programie.

XaoS może załadować losowy zestaw parametrów, a także skorzystać z różnych filtrów przetwarzania obrazu - dodać efekt rozmycia ruchu, wygładzić ostre przejścia pomiędzy punktami fraktalnymi, symulować obraz 3D i tak dalej.

⇡ Fractal Zoomer: kompaktowy generator fraktali

W porównaniu do innych generatorów obrazów fraktalnych ma kilka zalet. Po pierwsze, jest bardzo mały i nie wymaga instalacji. Po drugie, implementuje możliwość określenia palety kolorów obrazu. Możesz wybrać odcienie w modelach kolorów RGB, CMYK, HVS i HSL.

Bardzo wygodne jest także skorzystanie z możliwości losowego doboru odcieni kolorów oraz funkcji odwracania wszystkich kolorów na obrazie. Aby dostosować kolor, dostępna jest funkcja cyklicznego doboru odcieni - po włączeniu odpowiedniego trybu program animuje obraz, cyklicznie zmieniając na nim kolory.

Fractal Zoomer może wizualizować 85 różnych funkcji fraktalnych, a formuły są wyraźnie widoczne w menu programu. W programie znajdują się filtry do późniejszej obróbki obrazu, choć w małych ilościach. Każdy przypisany filtr można w każdej chwili anulować.

⇡ Mandelbulb3D: edytor fraktali 3D

Kiedy używany jest termin „fraktal”, najczęściej odnosi się on do płaskiego, dwuwymiarowego obrazu. Jednak geometria fraktalna wykracza poza wymiar 2D. W naturze można znaleźć zarówno przykłady płaskich form fraktalnych, powiedzmy geometrii błyskawicy, jak i trójwymiarowych figur wolumetrycznych. Powierzchnie fraktalne mogą być trójwymiarowe, a bardzo wyraźną ilustracją fraktali 3D w życiu codziennym jest główka kapusty. Być może najlepszym sposobem na zobaczenie fraktali jest odmiana Romanesco, hybryda kalafiora i brokułów.

Można też zjeść ten fraktal

Program Mandelbulb3D potrafi tworzyć trójwymiarowe obiekty o podobnym kształcie. Aby uzyskać powierzchnię 3D za pomocą algorytmu fraktalnego, autorzy tej aplikacji, Daniel White i Paul Nylander, przekonwertowali zbiór Mandelbrota na współrzędne sferyczne. Stworzony przez nich program Mandelbulb3D to prawdziwy trójwymiarowy edytor modelujący powierzchnie fraktalne o różnych kształtach. Ponieważ w przyrodzie często obserwujemy wzory fraktalne, sztucznie stworzony fraktalny trójwymiarowy obiekt wydaje się niezwykle realistyczny, a nawet „żywy”.

Może przypominać roślinę, może przypominać dziwne zwierzę, planetę lub coś innego. Efekt ten jest wzmocniony przez zaawansowany algorytm renderowania, który pozwala uzyskać realistyczne odbicia, obliczyć przezroczystość i cienie, symulować efekt głębi ostrości i tak dalej. Mandelbulb3D ma ogromną liczbę ustawień i opcji renderowania. Możesz kontrolować odcienie źródeł światła, wybrać tło i poziom szczegółowości symulowanego obiektu.

Edytor fraktali Incendia obsługuje podwójne wygładzanie obrazu, zawiera bibliotekę pięćdziesięciu różnych trójwymiarowych fraktali oraz posiada osobny moduł do edycji podstawowych kształtów.

Aplikacja wykorzystuje skrypty fraktalne, za pomocą których możesz samodzielnie opisywać nowe typy projektów fraktalnych. Incendia posiada edytory tekstur i materiałów, a silnik renderujący pozwala na wykorzystanie wolumetrycznych efektów mgły i różnorodnych shaderów. W programie zaimplementowano opcję zapisywania bufora podczas długotrwałego renderowania oraz wspiera tworzenie animacji.

Incendia umożliwia eksport modelu fraktalnego do popularnych formatów grafiki 3D - OBJ i STL. Incendia zawiera małe narzędzie o nazwie Geometrica, specjalne narzędzie do konfigurowania eksportu powierzchni fraktalnej do modelu 3D. Za pomocą tego narzędzia można określić rozdzielczość powierzchni 3D i określić liczbę iteracji fraktalnych. Wyeksportowane modele można wykorzystać w projektach 3D podczas pracy z edytorami 3D, takimi jak Blender, 3ds max i inne.

Ostatnio prace nad projektem Incendia nieco zwolniły. W tej chwili autor poszukuje sponsorów, którzy pomogą mu w rozwoju programu.

Jeśli nie masz wystarczającej wyobraźni, aby narysować piękny trójwymiarowy fraktal w tym programie, nie ma to znaczenia. Użyj biblioteki parametrów, która znajduje się w folderze INCENDIA_EX\parameters. Korzystając z plików PAR, możesz szybko znaleźć najbardziej niezwykłe kształty fraktali, w tym animowane.

⇡ Aural: jak śpiewają fraktale

Zwykle nie mówimy o projektach, nad którymi dopiero pracujemy, ale w tym przypadku musimy zrobić wyjątek, ponieważ jest to bardzo nietypowa aplikacja. Projekt o nazwie Aural wymyśliła ta sama osoba, która stworzyła Incendię. Jednak tym razem program nie wizualizuje zestawu fraktalnego, ale go odtwarza, zamieniając go w muzykę elektroniczną. Pomysł jest bardzo interesujący, szczególnie biorąc pod uwagę niezwykłe właściwości fraktali. Aural to edytor audio generujący melodie za pomocą algorytmów fraktalnych, czyli w istocie jest to syntezator-sekwenser audio.

Sekwencja dźwięków wytwarzanych przez ten program jest niezwykła i... piękna. Może przydać się do pisania współczesnych rytmów, a szczególnie, naszym zdaniem, nadaje się do tworzenia ścieżek dźwiękowych do wygaszaczy ekranu programów telewizyjnych i radiowych, a także „pętli” podkładu muzycznego do gier komputerowych. Ramiro nie udostępnił jeszcze wersji demonstracyjnej swojego programu, ale obiecuje, że kiedy to zrobi, aby pracować z Aural, nie będziesz musiał studiować teorii fraktali – wystarczy pobawić się parametrami algorytmu generowania sekwencji notatek. Posłuchaj, jak brzmią fraktale i.

Fraktale: muzyczna przerwa

W rzeczywistości fraktale mogą pomóc w pisaniu muzyki nawet bez oprogramowania. Ale może to zrobić tylko ktoś, kto jest naprawdę przepojony ideą naturalnej harmonii i kto nie stał się nieszczęsnym „kujonem”. Warto wziąć przykład z muzyka Jonathana Coultona, który pisze między innymi kompozycje dla magazynu Popular Science. I w przeciwieństwie do innych wykonawców, Colton publikuje wszystkie swoje utwory na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne, która (w przypadku wykorzystania do celów niekomercyjnych) zapewnia bezpłatne kopiowanie, rozpowszechnianie, przekazywanie utworu innym osobom, a także jego modyfikację ( tworzenie dzieł zależnych), aby dostosować je do swoich zadań.

Jonathan Colton ma oczywiście piosenkę o fraktalach.

⇡ Wniosek

We wszystkim, co nas otacza, często widzimy chaos, ale tak naprawdę nie jest to przypadek, ale idealna forma, którą fraktale pomagają nam dostrzec. Natura jest najlepszym architektem, idealnym budowniczym i inżynierem. Jest to bardzo logicznie skonstruowane i jeśli nie widzimy gdzieś prawidłowości, to znaczy, że trzeba jej szukać w innej skali. Ludzie rozumieją to coraz lepiej, próbując na wiele sposobów naśladować formy naturalne. Inżynierowie projektują systemy głośników w kształcie muszli, tworzą anteny w kształcie płatków śniegu i tak dalej. Jesteśmy pewni, że fraktale wciąż skrywają wiele tajemnic, a wiele z nich nie zostało jeszcze odkrytych przez człowieka.