Animowany dowód twierdzenia Pitagorasa - jeden z fundamentalny twierdzenia geometrii euklidesowej ustalające zależność pomiędzy bokami trójkąta prostokątnego. Uważa się, że udowodnił to grecki matematyk Pitagoras, od którego pochodzi nazwa (istnieją inne wersje, w szczególności alternatywna opinia, że twierdzenie to w ogólnej formie sformułował pitagorejski matematyk Hippasus).
Twierdzenie stwierdza:
W trójkącie prostokątnym pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej jest równe sumie pól kwadratów zbudowanych na nogach.
Wyznaczanie długości przeciwprostokątnej trójkąta C, i długości nóg są podobne A I B, otrzymujemy następujący wzór:
Zatem twierdzenie Pitagorasa ustanawia zależność, która pozwala określić bok trójkąta prostokątnego, znając długości pozostałych dwóch. Twierdzenie Pitagorasa jest szczególnym przypadkiem twierdzenia cosinus, które określa relację między bokami dowolnego trójkąta.
Udowodniono również stwierdzenie odwrotne (zwane także odwrotnością twierdzenia Pitagorasa):
Dla dowolnych trzech liczb dodatnich a, b i c takich, że a? + b? = c?, istnieje trójkąt prostokątny o nogach a i b oraz przeciwprostokątnej c.
Wizualne dowody na istnienie trójkąta (3, 4, 5) z księgi „Chu Pei” 500-200 p.n.e. Historię twierdzenia można podzielić na cztery części: znajomość liczb Pitagorasa, znajomość stosunku boków w trójkącie prostokątnym, znajomość stosunku sąsiednich kątów oraz dowód twierdzenia.
Struktury megalityczne około 2500 roku p.n.e. w Egipcie i Europie Północnej zawierają trójkąty prostokątne o bokach będących liczbami całkowitymi. Bartel Leendert van der Waerden postawił hipotezę, że w tamtym czasie liczby pitagorejskie znajdowano algebraicznie.
Napisane między 2000 a 1876 rokiem p.n.e. papirus z Królestwa Środkowego Egiptu Berlina 6619 zawiera problem, którego rozwiązaniem są liczby Pitagorasa.
Tablica babilońska za panowania Hammurabiego Wielkiego Plimptona 322, spisane pomiędzy 1790 a 1750 rokiem p.n.e. zawiera wiele haseł ściśle powiązanych z liczbami pitagorejskimi.
W sutrach Budhajany, które są różnie datowane na VIII lub II wiek p.n.e. w Indiach, zawiera liczby pitagorasa wyprowadzone algebraicznie, stwierdzenie twierdzenia Pitagorasa i dowód geometryczny na trójkąt równoboczny.
Sutry Apastamba (około 600 rpne) zawierają numeryczny dowód twierdzenia Pitagorasa za pomocą obliczeń powierzchni. Van der Waerden uważa, że bazował na tradycjach swoich poprzedników. Według Alberta Burco jest to oryginalny dowód twierdzenia i sugeruje on, że Pitagoras odwiedził Arakon i go skopiował.
Pitagoras, którego lata życia zwykle podaje się na 569–475 p.n.e. jak wynika z komentarzy Proklowa do Euklidesa, stosuje metody algebraiczne do obliczania liczb pitagorejskich. Proclus jednak żył między 410 a 485 rokiem naszej ery. Według Thomasa Guise'a nic nie wskazuje na autorstwo twierdzenia aż do pięciu wieków po Pitagorasie. Kiedy jednak autorzy tacy jak Plutarch czy Cyceron przypisują twierdzenie Pitagorasowi, robią to tak, jakby autorstwo było powszechnie znane i pewne.
Około 400 roku p.n.e Według Proklusa Platon podał metodę obliczania liczb pitagorejskich, która łączyła algebrę i geometrię. Około 300 roku p.n.e., w Początki Euklidesa mamy najstarszy dowód aksjomatyczny, który przetrwał do dziś.
Napisane gdzieś pomiędzy 500 rokiem p.n.e. i 200 rpne chińska książka matematyczna „Chu Pei” (???), daje wizualny dowód twierdzenia Pitagorasa, zwanego w Chinach twierdzeniem Gugu (????), dla trójkąta o bokach (3, 4 , 5). W czasach dynastii Han, od 202 roku p.n.e. do 220 r. n.e Liczby pitagorejskie pojawiają się w książce „Dziewięć gałęzi sztuki matematycznej” wraz z wzmianką o trójkątach prostokątnych.
Pierwsze odnotowane użycie tego twierdzenia miało miejsce w Chinach, gdzie jest znane jako twierdzenie Gugu (????), oraz w Indiach, gdzie jest znane jako twierdzenie Bhaskara.
Powszechnie dyskutowano, czy twierdzenie Pitagorasa zostało odkryte raz, czy wielokrotnie. Boyer (1991) uważa, że wiedza zawarta w Sutrze Szulba może pochodzić z Mezopotamii.
Dowód algebraiczny 
Kwadraty powstają z czterech trójkątów prostokątnych. Znanych jest ponad sto dowodów twierdzenia Pitagorasa. Oto dowód oparty na twierdzeniu o istnieniu pola figury:
Umieśćmy cztery identyczne trójkąty prostokątne, jak pokazano na rysunku.
Czworokąt z bokami C jest kwadratem, ponieważ suma dwóch kątów ostrych wynosi , a kąt prosty wynosi .
Pole całej figury jest z jednej strony równe polu kwadratu o boku „a + b”, a z drugiej strony sumie pól czterech trójkątów i kwadratu wewnętrznego .
To właśnie trzeba udowodnić.
Przez podobieństwo trójkątów 
Używanie podobnych trójkątów. Pozwalać ABC- trójkąt prostokątny, w którym kąt C prosto, jak pokazano na rysunku. Narysujmy wysokość od punktu C, i zadzwońmy H punkt przecięcia z bokiem AB. Tworzy się trójkąt ACH podobny do trójkąta ABC, ponieważ oba są prostokątne (z definicji wysokości) i mają wspólny kąt A, Oczywiście trzeci kąt w tych trójkątach również będzie taki sam. Podobny do pokoju, trójkąta CBH również podobny do trójkąta ABC. Z podobieństwem trójkątów: Jeśli
Można to zapisać jako
Jeśli dodamy te dwie równości, otrzymamy
HB + c razy AH = c razy (HB + AH) = do ^ 2, ! Src = "http://upload.wikimedia.org/math/7/0/9/70922f59b11b561621c245e11be0b61b.png" />
Inaczej mówiąc, twierdzenie Pitagorasa:
Dowód Euklidesa 
Dowód Euklidesa w „Elementach” euklidesowych, twierdzenie Pitagorasa dowodzi się metodą równoległoboków. Pozwalać A, B, C wierzchołki trójkąta prostokątnego o kącie prostym A. Rzućmy prostopadłą z punktu A do strony przeciwnej przeciwprostokątnej w kwadracie zbudowanym na przeciwprostokątnej. Linia dzieli kwadrat na dwa prostokąty, z których każdy ma takie samo pole jak kwadraty zbudowane po bokach. Główną ideą dowodu jest to, że górne kwadraty zamieniają się w równoległoboki o tej samej powierzchni, a następnie wracają i zamieniają się w prostokąty w dolnym kwadracie i ponownie o tej samej powierzchni.
Narysujmy segmenty CF I OGŁOSZENIE. otrzymujemy trójkąty BCF I BDA
Kąty TAKSÓWKA I TORBA- prosty; odpowiednio punkty C, A I G– współliniowy. Również B, A I H.
Kąty CBD I FBA– obie są liniami prostymi, potem kąt ABD równy kątowi FBC, ponieważ oba są sumą kąta prostego i kąta ABC.
Trójkąt ABD I FBC poziom po obu stronach i kąt między nimi.
Od punktów A, K I L– współliniowy, pole prostokąta BDLK jest równe dwóm obszarom trójkąta ABD (BDLK = BAGF = AB 2)
Podobnie otrzymujemy CKL = ACIH = AK 2
Z jednej strony teren CBDE równa sumie pól prostokątów BDLK I CKL, a po drugiej stronie obszar placu 2 pne, Lub AB 2 + AK 2 = p.n.e. 2.
Korzystanie z różnic 
Stosowanie różnic. Twierdzenie Pitagorasa można wyprowadzić badając, jak wzrost boku wpływa na wielkość przeciwprostokątnej, jak pokazano na rysunku po prawej stronie, i stosując niewielkie obliczenia.
W wyniku wzrostu strony A, trójkątów podobnych dla nieskończenie małych przyrostów
Całkując otrzymujemy
Jeśli A= 0 w takim razie C = B, więc jest „stała”. b 2. Następnie
Jak widać, kwadraty wynikają z proporcji między przyrostami i bokami, natomiast suma jest wynikiem niezależnego udziału przyrostów boków, nieoczywistego na podstawie dowodów geometrycznych. W tych równaniach da I DC– odpowiednio nieskończenie małe przyrosty boków A I C. Ale czego używamy zamiast tego? A I? C, wówczas granica stosunku, jeśli zmierzają do zera, wynosi da / DC, pochodna i jest również równa C / A, stosunek długości boków trójkątów, w wyniku czego otrzymujemy równanie różniczkowe.
W przypadku ortogonalnego układu wektorów zachodzi równość, zwana także twierdzeniem Pitagorasa:
Jeżeli – Są to rzuty wektora na osie współrzędnych, to wzór ten pokrywa się z odległością euklidesową i oznacza, że długość wektora jest równa pierwiastkowi kwadratowemu z sumy kwadratów jego składowych.
Analogię tej równości w przypadku nieskończonego układu wektorów nazywamy równością Parsevala.
Jednego możesz być pewien w stu procentach: na pytanie, ile wynosi kwadrat przeciwprostokątnej, każdy dorosły śmiało odpowie: „Suma kwadratów nóg”. Twierdzenie to jest mocno zakorzenione w umysłach każdej wykształconej osoby, wystarczy jednak poprosić kogoś, aby je udowodnił, a mogą pojawić się trudności. Dlatego pamiętajmy i rozważmy różne sposoby udowodnienia twierdzenia Pitagorasa.
Krótka biografia
Twierdzenie Pitagorasa jest znane prawie każdemu, ale z jakiegoś powodu biografia osoby, która sprowadziła je na świat, nie jest tak popularna. Można to naprawić. Dlatego zanim zaczniesz odkrywać różne sposoby udowadniania twierdzenia Pitagorasa, musisz krótko poznać jego osobowość.
Pitagoras – filozof, matematyk, myśliciel pochodzący z Dziś bardzo trudno odróżnić jego biografię od legend, które powstały na pamiątkę tego wielkiego człowieka. Ale jak wynika z dzieł jego zwolenników, Pitagoras z Samos urodził się na wyspie Samos. Jego ojciec był zwykłym kamieniarzem, ale jego matka pochodziła z rodziny szlacheckiej.
Sądząc po legendzie, narodziny Pitagorasa przepowiedziała kobieta o imieniu Pytia, na cześć której nazwano chłopca. Według jej przewidywań narodzony chłopiec miał przynieść ludzkości wiele korzyści i dobra. I właśnie to zrobił.
Narodziny twierdzenia
W młodości Pitagoras przeprowadził się do Egiptu, aby spotkać się tam ze słynnymi egipskimi mędrcami. Po spotkaniu z nimi pozwolono mu na studia, gdzie poznał wszystkie wielkie osiągnięcia egipskiej filozofii, matematyki i medycyny.
Prawdopodobnie to w Egipcie Pitagoras zainspirował się majestatem i pięknem piramid i stworzył swoją wielką teorię. Może to zszokować czytelników, ale współcześni historycy uważają, że Pitagoras nie udowodnił swojej teorii. Ale przekazał swoją wiedzę jedynie swoim naśladowcom, którzy później dokonali wszystkich niezbędnych obliczeń matematycznych.
Tak czy inaczej, dzisiaj nie jest znana jedna metoda udowodnienia tego twierdzenia, ale kilka na raz. Dziś możemy się tylko domyślać, jak dokładnie starożytni Grecy przeprowadzali swoje obliczenia, dlatego tutaj przyjrzymy się różnym sposobom udowodnienia twierdzenia Pitagorasa.
twierdzenie Pitagorasa
Zanim zaczniesz jakiekolwiek obliczenia, musisz dowiedzieć się, jaką teorię chcesz udowodnić. Twierdzenie Pitagorasa brzmi następująco: „W trójkącie, w którym jeden z kątów wynosi 90°, suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej”.
Istnieje w sumie 15 różnych sposobów udowodnienia twierdzenia Pitagorasa. Jest to dość duża liczba, dlatego zwrócimy uwagę na najpopularniejsze z nich.
Metoda pierwsza
Najpierw zdefiniujmy, co nam dano. Dane te będą dotyczyć także innych metod dowodzenia twierdzenia Pitagorasa, dlatego warto od razu zapamiętać wszystkie dostępne oznaczenia.
Załóżmy, że mamy trójkąt prostokątny o nogach a, b i przeciwprostokątnej równej c. Pierwsza metoda dowodu opiera się na fakcie, że trzeba narysować kwadrat z trójkąta prostokątnego.
Aby to zrobić, musisz dodać odcinek równy nodze b do długości nogi a i odwrotnie. Powinno to skutkować dwoma równymi bokami kwadratu. Pozostaje tylko narysować dwie równoległe linie i kwadrat jest gotowy.
Wewnątrz powstałej figury musisz narysować kolejny kwadrat o boku równym przeciwprostokątnej pierwotnego trójkąta. Aby to zrobić, z wierzchołków ас i св należy narysować dwa równoległe odcinki równe с. W ten sposób otrzymujemy trzy boki kwadratu, z których jeden jest przeciwprostokątną pierwotnego trójkąta prostokątnego. Pozostaje tylko narysować czwarty segment.
Na podstawie otrzymanej figury możemy stwierdzić, że pole zewnętrznego kwadratu wynosi (a + b) 2. Jeśli zajrzysz do wnętrza figury, zobaczysz, że oprócz wewnętrznego kwadratu istnieją cztery trójkąty prostokątne. Powierzchnia każdego wynosi 0,5av.
Dlatego pole jest równe: 4 * 0,5ab + c 2 = 2av + c 2
Stąd (a+c) 2 =2ab+c 2
I dlatego c 2 = a 2 + b 2
Twierdzenie zostało udowodnione.
Metoda druga: podobne trójkąty
Ten wzór na dowód twierdzenia Pitagorasa został wyprowadzony na podstawie stwierdzenia z części geometrii o trójkątach podobnych. Stwierdza, że noga trójkąta prostokątnego jest średnią proporcjonalną do jego przeciwprostokątnej i odcinka przeciwprostokątnej wychodzącego z wierzchołka kąta 90°.
Dane początkowe pozostają takie same, więc zacznijmy od razu od dowodu. Narysujmy odcinek CD prostopadły do boku AB. Na podstawie powyższego stwierdzenia boki trójkątów są równe:
AC=√AB*AD, SV=√AB*DV.
Aby odpowiedzieć na pytanie, jak udowodnić twierdzenie Pitagorasa, dowód należy zakończyć podnosząc obie nierówności do kwadratu.
AC 2 = AB * AD i CB 2 = AB * DV
Teraz musimy dodać powstałe nierówności.
AC 2 + CB 2 = AB * (AD * DV), gdzie AD + DV = AB
Okazało się, że:
AC 2 + CB 2 =AB*AB
I dlatego:
AC 2 + CB 2 = AB 2
Dowód twierdzenia Pitagorasa i różne metody jego rozwiązywania wymagają wszechstronnego podejścia do tego problemu. Jednak ta opcja jest jedną z najprostszych.
Inna metoda obliczeniowa
Opisy różnych metod dowodzenia twierdzenia Pitagorasa mogą nic nie znaczyć, dopóki nie zaczniesz ćwiczyć samodzielnie. Wiele technik obejmuje nie tylko obliczenia matematyczne, ale także konstrukcję nowych figur z oryginalnego trójkąta.
W takim przypadku konieczne jest uzupełnienie kolejnego trójkąta prostokątnego VSD od boku BC. Zatem teraz istnieją dwa trójkąty ze wspólną nogą BC.
Wiedząc, że pola figur podobnych mają stosunek równy kwadratom ich podobnych wymiarów liniowych, wówczas:
S avs * c 2 - S avd * in 2 = S avd * a 2 - S vsd * a 2
S avs *(od 2 - do 2) = a 2 *(S avd -S vsd)
od 2 - do 2 =a 2
do 2 = za 2 + b 2
Ponieważ spośród różnych metod dowodzenia twierdzenia Pitagorasa dla klasy 8 ta opcja jest mało odpowiednia, możesz zastosować następującą metodę.
Najłatwiejszy sposób udowodnienia twierdzenia Pitagorasa. Opinie
Według historyków metodę tę po raz pierwszy zastosowano do udowodnienia twierdzenia w starożytnej Grecji. Jest najprostszy, gdyż nie wymaga absolutnie żadnych obliczeń. Jeśli poprawnie narysujesz rysunek, dowód twierdzenia, że a 2 + b 2 = c 2 będzie wyraźnie widoczny.
Warunki tej metody będą nieco inne od poprzedniej. Aby udowodnić twierdzenie, załóżmy, że trójkąt prostokątny ABC jest równoramienny.
Przyjmujemy przeciwprostokątną AC jako bok kwadratu i rysujemy jego trzy boki. Ponadto konieczne jest narysowanie dwóch ukośnych linii w powstałym kwadracie. Aby w środku znalazły się cztery trójkąty równoramienne.
Musisz także narysować kwadrat do nóg AB i CB i w każdej z nich narysować jedną ukośną linię prostą. Pierwszą linię rysujemy z wierzchołka A, drugą z C.
Teraz musisz dokładnie przyjrzeć się wynikowemu rysunkowi. Ponieważ na przeciwprostokątnej AC znajdują się cztery trójkąty równe pierwotnemu, a po bokach są dwa, wskazuje to na prawdziwość tego twierdzenia.
Nawiasem mówiąc, dzięki tej metodzie udowadniania twierdzenia Pitagorasa narodziło się słynne zdanie: „Spodnie Pitagorasa są równe we wszystkich kierunkach”.
Dowód J. Garfielda
James Garfield jest dwudziestym prezydentem Stanów Zjednoczonych Ameryki. Oprócz tego, że jako władca Stanów Zjednoczonych zapisał się w historii, był także utalentowanym samoukiem.
Na początku swojej kariery był zwykłym nauczycielem w szkole publicznej, ale wkrótce został dyrektorem jednej z wyższych uczelni. Chęć samorozwoju pozwoliła mu zaproponować nową teorię udowadniającą twierdzenie Pitagorasa. Twierdzenie i przykład jego rozwiązania są następujące.
Najpierw musisz narysować dwa trójkąty prostokątne na kartce papieru, aby noga jednego z nich była kontynuacją drugiego. Wierzchołki tych trójkątów należy połączyć, aby ostatecznie utworzyć trapez.
Jak wiadomo, pole trapezu jest równe iloczynowi połowy sumy jego podstaw i wysokości.
S=a+b/2 * (a+b)
Jeśli rozważymy powstały trapez jako figurę składającą się z trzech trójkątów, wówczas jego pole można znaleźć w następujący sposób:
S=śr/2 *2 + s2 /2
Teraz musimy wyrównać dwa oryginalne wyrażenia
2ab/2 + c/2=(a+b) 2 /2
do 2 = za 2 + b 2
O twierdzeniu Pitagorasa i metodach jego dowodzenia można napisać więcej niż jeden tom podręczników. Ale czy jest sens, gdy tej wiedzy nie da się zastosować w praktyce?
Praktyczne zastosowanie twierdzenia Pitagorasa
Niestety, współczesne programy nauczania przewidują stosowanie tego twierdzenia jedynie w zagadnieniach geometrycznych. Absolwenci wkrótce opuszczą szkołę, nie wiedząc, jak wykorzystać swoją wiedzę i umiejętności w praktyce.
Tak naprawdę każdy może używać twierdzenia Pitagorasa w życiu codziennym. I to nie tylko w czynnościach zawodowych, ale także w zwykłych pracach domowych. Rozważmy kilka przypadków, w których twierdzenie Pitagorasa i metody jego udowadniania mogą być niezwykle potrzebne.
Związek twierdzenia z astronomią
Wydawałoby się, jak można połączyć gwiazdy i trójkąty na papierze. W rzeczywistości astronomia jest dziedziną nauki, w której szeroko stosowane jest twierdzenie Pitagorasa.
Rozważmy na przykład ruch wiązki światła w przestrzeni. Wiadomo, że światło porusza się w obu kierunkach z tą samą prędkością. Nazwijmy trajektorię AB, po której porusza się promień światła l. I powiedzmy połowę czasu potrzebnego światłu na przedostanie się z punktu A do punktu B T. I prędkość wiązki - C. Okazało się, że: c*t=l
Jeśli spojrzymy na ten sam promień z innej płaszczyzny, na przykład z liniowca kosmicznego poruszającego się z prędkością v, to obserwując w ten sposób ciała, ich prędkość będzie się zmieniać. W takim przypadku nawet elementy stacjonarne zaczną poruszać się z prędkością v w przeciwnym kierunku.
Załóżmy, że linijka komiksowa płynie w prawo. Następnie punkty A i B, pomiędzy którymi przebiega wiązka, zaczną przesuwać się w lewo. Co więcej, gdy wiązka przemieszcza się z punktu A do punktu B, punkt A ma czas na przemieszczenie się i odpowiednio światło dotrze już do nowego punktu C. Aby znaleźć połowę odległości, o którą przesunął się punkt A, należy pomnożyć prędkość wykładziny o połowę czasu podróży belki (t „).
Aby dowiedzieć się, jak daleko może przebyć promień światła w tym czasie, należy zaznaczyć połowę drogi nową literą s i uzyskać następujące wyrażenie:
Jeśli wyobrazimy sobie, że punkty świetlne C i B oraz wkładka kosmiczna są wierzchołkami trójkąta równoramiennego, to odcinek od punktu A do wkładki podzieli go na dwa trójkąty prostokątne. Dlatego dzięki twierdzeniu Pitagorasa można znaleźć odległość, jaką może przebyć promień światła.
Ten przykład oczywiście nie jest najbardziej udany, ponieważ tylko nieliczni mogą mieć szczęście wypróbować go w praktyce. Dlatego rozważmy bardziej przyziemne zastosowania tego twierdzenia.
Zasięg transmisji sygnału mobilnego
Nie można już sobie wyobrazić współczesnego życia bez smartfonów. Ale jak bardzo by się przydały, gdyby nie mogły łączyć abonentów za pośrednictwem komunikacji mobilnej?!
Jakość komunikacji mobilnej zależy bezpośrednio od wysokości, na której znajduje się antena operatora komórkowego. Aby obliczyć, jak daleko od wieży mobilnej telefon może odebrać sygnał, możesz zastosować twierdzenie Pitagorasa.
Załóżmy, że musisz znaleźć przybliżoną wysokość stacjonarnej wieży, aby mogła rozprowadzać sygnał w promieniu 200 kilometrów.
AB (wysokość wieży) = x;
BC (promień transmisji sygnału) = 200 km;
OS (promień globu) = 6380 km;
OB=OA+ABOB=r+x
Stosując twierdzenie Pitagorasa, dowiadujemy się, że minimalna wysokość wieży powinna wynosić 2,3 km.
Twierdzenie Pitagorasa w życiu codziennym
Co ciekawe, twierdzenie Pitagorasa może przydać się nawet w codziennych sprawach, jak na przykład określenie wysokości szafy. Na pierwszy rzut oka nie ma potrzeby stosowania tak skomplikowanych obliczeń, ponieważ pomiary można po prostu wykonać za pomocą taśmy mierniczej. Jednak wiele osób zastanawia się, dlaczego podczas montażu pojawiają się pewne problemy, skoro wszystkie pomiary zostały wykonane więcej niż dokładnie.
Faktem jest, że szafę montuje się w pozycji poziomej, a dopiero potem podnosi i montuje przy ścianie. Dlatego podczas podnoszenia konstrukcji bok szafy musi swobodnie poruszać się zarówno wzdłuż wysokości, jak i po przekątnej pomieszczenia.
Załóżmy, że mamy szafę o głębokości 800 mm. Odległość od podłogi do sufitu - 2600 mm. Doświadczony producent mebli powie, że wysokość szafki powinna być o 126 mm mniejsza niż wysokość pomieszczenia. Ale dlaczego dokładnie 126 mm? Spójrzmy na przykład.
Mając idealne wymiary szafki, sprawdźmy działanie twierdzenia Pitagorasa:
AC =√AB 2 +√BC 2
AC=√2474 2 +800 2 =2600 mm - wszystko pasuje.
Powiedzmy, że wysokość szafki nie wynosi 2474 mm, ale 2505 mm. Następnie:
AC=√2505 2 +√800 2 =2629 mm.
Dlatego ta szafka nie nadaje się do montażu w tym pomieszczeniu. Ponieważ podniesienie go do pozycji pionowej może spowodować uszkodzenie jego korpusu.
Być może, po rozważeniu różnych sposobów udowadniania twierdzenia Pitagorasa przez różnych naukowców, możemy stwierdzić, że jest to więcej niż prawda. Teraz możesz wykorzystać otrzymane informacje w swoim codziennym życiu i mieć całkowitą pewność, że wszystkie obliczenia będą nie tylko przydatne, ale także poprawne.
Kiedy po raz pierwszy zacząłeś uczyć się pierwiastków kwadratowych i rozwiązywania równań niewymiernych (równości z niewiadomą pod pierwiastkiem), prawdopodobnie po raz pierwszy posmakowałeś ich praktycznych zastosowań. Umiejętność wyciągania pierwiastka kwadratowego z liczb jest również niezbędna do rozwiązywania problemów z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa. Twierdzenie to dotyczy długości boków dowolnego trójkąta prostokątnego.
Niech długości nóg trójkąta prostokątnego (te dwa boki spotykające się pod kątem prostym) zostaną oznaczone literami i, a długość przeciwprostokątnej (najdłuższy bok trójkąta położony naprzeciwko kąta prostego) zostanie oznaczona przez litera. Następnie odpowiednie długości są powiązane zależnością:
To równanie pozwala znaleźć długość boku trójkąta prostokątnego, gdy znane są długości jego pozostałych dwóch boków. Ponadto pozwala określić, czy dany trójkąt jest trójkątem prostokątnym, pod warunkiem, że znane są z góry długości wszystkich trzech boków.
Rozwiązywanie problemów z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa
Aby skonsolidować materiał, rozwiążemy następujące problemy za pomocą twierdzenia Pitagorasa.
Zatem biorąc pod uwagę:
- Długość jednej z nóg wynosi 48, przeciwprostokątna 80.
- Długość nogi wynosi 84, przeciwprostokątna 91.
Przejdźmy do rozwiązania:
a) Podstawienie danych do powyższego równania daje następujące wyniki:
48 2 + B 2 = 80 2
2304 + B 2 = 6400
B 2 = 4096
B= 64 lub B = -64
Ponieważ długości boku trójkąta nie można wyrazić liczbą ujemną, druga opcja zostaje automatycznie odrzucona.
Odpowiedź na pierwsze zdjęcie: B = 64.
b) Długość ramienia drugiego trójkąta oblicza się w ten sam sposób:
84 2 + B 2 = 91 2
7056 + B 2 = 8281
B 2 = 1225
B= 35 lub B = -35
Podobnie jak w poprzednim przypadku, decyzję negatywną odrzuca się.
Odpowiedź na drugie zdjęcie: B = 35
Dano nam:
- Długości mniejszych boków trójkąta wynoszą odpowiednio 45 i 55, a większych boków 75.
- Długości mniejszych boków trójkąta wynoszą odpowiednio 28 i 45, a większych boków 53.
Rozwiążmy problem:
a) Należy sprawdzić, czy suma kwadratów długości krótszych boków danego trójkąta jest równa kwadratowi długości większego:
45 2 + 55 2 = 2025 + 3025 = 5050
Zatem pierwszy trójkąt nie jest trójkątem prostokątnym.
b) Wykonuje się tę samą operację:
28 2 + 45 2 = 784 + 2025 = 2809
Zatem drugi trójkąt jest prostokątny.
Najpierw znajdźmy długość największego odcinka utworzonego przez punkty o współrzędnych (-2, -3) i (5, -2). Aby to zrobić, używamy dobrze znanego wzoru na znalezienie odległości między punktami w prostokątnym układzie współrzędnych:
Podobnie znajdujemy długość odcinka zawartego pomiędzy punktami o współrzędnych (-2, -3) i (2, 1):
Na koniec wyznaczamy długość odcinka pomiędzy punktami o współrzędnych (2, 1) i (5, -2):
Ponieważ zachodzi równość:
wówczas odpowiedni trójkąt jest prostokątny.
W ten sposób możemy sformułować odpowiedź na pytanie: skoro suma kwadratów boków o najkrótszej długości jest równa kwadratowi boku o najdłuższej długości, to punkty są wierzchołkami trójkąta prostokątnego.
Podstawa (ułożona ściśle poziomo), ościeżnica (umieszczona ściśle pionowo) i kabel (rozciągnięty po przekątnej) tworzą odpowiednio trójkąt prostokątny, aby znaleźć długość kabla, można zastosować twierdzenie Pitagorasa:
Zatem długość kabla wyniesie około 3,6 metra.
Dane: odległość od punktu R do punktu P (noga trójkąta) wynosi 24, od punktu R do punktu Q (przeciwprostokątna) wynosi 26.
Pomóżmy więc Vicie rozwiązać problem. Ponieważ boki trójkąta pokazanego na rysunku mają tworzyć trójkąt prostokątny, możesz skorzystać z twierdzenia Pitagorasa, aby obliczyć długość trzeciego boku:
Tak więc szerokość stawu wynosi 10 metrów.
Siergiej Waleriewicz
twierdzenie Pitagorasa- jedno z podstawowych twierdzeń geometrii euklidesowej, ustalające zależność
pomiędzy bokami trójkąta prostokątnego.
Uważa się, że udowodnił to grecki matematyk Pitagoras, od którego pochodzi nazwa.
Geometryczne sformułowanie twierdzenia Pitagorasa.
Twierdzenie zostało pierwotnie sformułowane w następujący sposób:
W trójkącie prostokątnym pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej jest równe sumie pól kwadratów,
zbudowany na nogach.
Algebraiczne sformułowanie twierdzenia Pitagorasa.
W trójkącie prostokątnym kwadrat długości przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów długości nóg.
To znaczy, oznaczając długość przeciwprostokątnej trójkąta przez C i długości nóg A I B:
Obydwa preparaty twierdzenie Pitagorasa są równoważne, ale drugie sformułowanie jest bardziej elementarne, tak nie jest
wymaga pojęcia obszaru. Oznacza to, że drugie stwierdzenie można zweryfikować, nie wiedząc nic o obszarze i
mierząc jedynie długości boków trójkąta prostokątnego.
Odwrotne twierdzenie Pitagorasa.
Jeżeli kwadrat jednego boku trójkąta jest równy sumie kwadratów dwóch pozostałych boków, to
trójkąt prostokątny.
Lub innymi słowy:
Dla każdej trójki liczb dodatnich A, B I C, takie że
istnieje trójkąt prostokątny z nogami A I B i przeciwprostokątna C.
Twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta równoramiennego.
Twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta równobocznego.
Dowody twierdzenia Pitagorasa.
Obecnie w literaturze naukowej odnotowano 367 dowodów tego twierdzenia. Prawdopodobnie twierdzenie
Pitagoras to jedyne twierdzenie z tak imponującą liczbą dowodów. Taka różnorodność
można wyjaśnić jedynie podstawowym znaczeniem twierdzenia dla geometrii.
Oczywiście koncepcyjnie wszystkie można podzielić na niewielką liczbę klas. Najbardziej znany z nich:
dowód metoda obszarowa, aksjomatyczny I egzotyczny dowód(Na przykład,
używając równania różniczkowe).
1. Dowód twierdzenia Pitagorasa przy użyciu trójkątów podobnych.
Poniższy dowód sformułowania algebraicznego jest najprostszym ze skonstruowanych dowodów
bezpośrednio z aksjomatów. W szczególności nie wykorzystuje pojęcia pola figury.
Pozwalać ABC istnieje trójkąt prostokątny z kątem prostym C. Narysujmy wysokość z C i oznaczać
jego fundament poprzez H.
Trójkąt ACH podobny do trójkąta AB C w dwóch rogach. Podobnie trójkąt CBH podobny ABC.
Wprowadzając oznaczenie:
otrzymujemy:
,
co odpowiada -
Fałdowy A 2 i B 2, otrzymujemy:
lub , co należało udowodnić.
2. Dowód twierdzenia Pitagorasa metodą powierzchniową.
Poniższe dowody, pomimo pozornej prostoty, wcale nie są takie proste. Wszyscy
wykorzystać właściwości pola, których dowody są bardziej złożone niż dowód samego twierdzenia Pitagorasa.
- Dowód poprzez ekwikomplementarność.
Ułóżmy cztery równe prostokąty
trójkąt, jak pokazano na rysunku
po prawej.
Czworokąt z bokami C- kwadrat,
ponieważ suma dwóch kątów ostrych wynosi 90°, oraz
kąt rozłożenia - 180°.
Pole całej figury jest z jednej strony równe
pole kwadratu o boku ( a+b), a z drugiej strony suma pól czterech trójkątów i
co było do okazania
3. Dowód twierdzenia Pitagorasa metodą nieskończenie małą.
Patrząc na rysunek pokazany na rysunku i
obserwując zmianę stronyA, możemy
napisz poniższą zależność dla nieskończoności
mały przyrosty boczneZ I A(używając podobieństwa
trójkąty):
Stosując metodę separacji zmiennych, znajdujemy:
Bardziej ogólne wyrażenie na zmianę przeciwprostokątnej w przypadku przyrostów po obu stronach:
Całkując to równanie i korzystając z warunków początkowych, otrzymujemy:
W ten sposób dochodzimy do pożądanej odpowiedzi:
Jak łatwo zauważyć, zależność kwadratowa w ostatecznym wzorze wynika z liniowości
proporcjonalność między bokami trójkąta i przyrostami, podczas gdy suma jest odniesiona do niezależności
składki z przyrostu różnych nóg.
Prostszy dowód można uzyskać, jeśli założymy, że jedna z nóg nie ulega wzrostowi
(w tym przypadku noga B). Następnie dla stałej całkowania otrzymujemy:
twierdzenie Pitagorasa: Suma pól kwadratów spoczywających na nogach ( A I B), równy polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej ( C).
Wzór geometryczny:
Twierdzenie zostało pierwotnie sformułowane w następujący sposób:
Sformułowanie algebraiczne:
To znaczy, oznaczając długość przeciwprostokątnej trójkąta przez C i długości nóg A I B :
A 2 + B 2 = C 2Oba sformułowania twierdzenia są równoważne, ale drugie sformułowanie jest bardziej elementarne i nie wymaga pojęcia pola. Oznacza to, że drugie stwierdzenie można zweryfikować, nie wiedząc nic o polu i mierząc jedynie długości boków trójkąta prostokątnego.
Odwrotne twierdzenie Pitagorasa:
Dowód
Obecnie w literaturze naukowej odnotowano 367 dowodów tego twierdzenia. Prawdopodobnie twierdzenie Pitagorasa jest jedynym twierdzeniem z tak imponującą liczbą dowodów. Taką różnorodność można wytłumaczyć jedynie zasadniczym znaczeniem twierdzenia dla geometrii.
Oczywiście koncepcyjnie wszystkie można podzielić na niewielką liczbę klas. Najsłynniejsze z nich: dowody metodą powierzchniową, dowody aksjomatyczne i egzotyczne (np. z wykorzystaniem równań różniczkowych).
Przez podobne trójkąty
Poniższy dowód sformułowania algebraicznego jest najprostszym z dowodów, zbudowanym bezpośrednio z aksjomatów. W szczególności nie wykorzystuje pojęcia pola figury.
Pozwalać ABC istnieje trójkąt prostokątny z kątem prostym C. Narysujmy wysokość z C i oznacz jego podstawę przez H. Trójkąt ACH podobny do trójkąta ABC w dwóch rogach. Podobnie trójkąt CBH podobny ABC. Wprowadzając notację
dostajemy
Co jest równoważne
Dodając to, otrzymujemy
Dowody metodą powierzchniową
Poniższe dowody, pomimo pozornej prostoty, wcale nie są takie proste. Wszyscy posługują się właściwościami pola, których dowód jest bardziej złożony niż dowód samego twierdzenia Pitagorasa.
Dowód poprzez ekwidopełnienie
- Ułóżmy cztery równe trójkąty prostokątne, jak pokazano na rysunku 1.
- Czworokąt z bokami C jest kwadratem, ponieważ suma dwóch kątów ostrych wynosi 90°, a kąt prosty wynosi 180°.
- Pole całej figury jest równe z jednej strony polu kwadratu o boku (a + b), a z drugiej strony sumie pól czterech trójkątów i dwóch wewnętrznych kwadraty.
co było do okazania
Dowody poprzez równoważność
Elegancki dowód z użyciem permutacji
Przykład jednego z takich dowodów pokazano na rysunku po prawej stronie, na którym kwadrat zbudowany na przeciwprostokątnej zostaje przestawiony na dwa kwadraty zbudowane po bokach.
Dowód Euklidesa
Rysunek do dowodu Euklidesa
Ilustracja do dowodu Euklidesa
Idea dowodu Euklidesa jest następująca: spróbujmy udowodnić, że połowa pola kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej jest równa sumie połówek pól kwadratów zbudowanych na nogach, a następnie pól duży i dwa małe kwadraty są równe.
Spójrzmy na rysunek po lewej stronie. Na nim zbudowaliśmy kwadraty po bokach trójkąta prostokątnego i wyciągnęliśmy promień s z wierzchołka kąta prostego C prostopadle do przeciwprostokątnej AB, przecina on zbudowany na przeciwprostokątnej kwadrat ABIK na dwa prostokąty - BHJI i HAKJ, odpowiednio. Okazuje się, że pola tych prostokątów są dokładnie równe obszarom kwadratów zbudowanych na odpowiednich nogach.
Spróbujmy udowodnić, że pole kwadratu DECA jest równe polu prostokąta AHJK.W tym celu skorzystamy z obserwacji pomocniczej: Pole trójkąta o tej samej wysokości i podstawie co dany prostokąt jest równy połowie pola danego prostokąta. Jest to konsekwencja określenia pola trójkąta jako połowy iloczynu podstawy i wysokości. Z tej obserwacji wynika, że pole trójkąta ACK jest równe polu trójkąta AHK (niepokazanego na rysunku), które z kolei jest równe połowie pola prostokąta AHJK.
Udowodnimy teraz, że pole trójkąta ACK jest również równe połowie pola kwadratu DECA. Jedyne, co należy w tym celu zrobić, to udowodnić równość trójkątów ACK i BDA (ponieważ pole trójkąta BDA jest równe połowie pola kwadratu zgodnie z powyższą właściwością). Równość jest oczywista, trójkąty są równe po obu stronach i kąt między nimi. Mianowicie - AB=AK,AD=AC - równość kątów CAK i BAD łatwo udowodnić metodą ruchu: obracamy trójkąt CAK o 90° przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, wtedy jest oczywiste, że odpowiednie boki dwóch trójkątów w pytanie będzie zbieżne (ponieważ kąt przy wierzchołku kwadratu wynosi 90°).
Rozumowanie równości pól kwadratu BCFG i prostokąta BHJI jest całkowicie podobne.
W ten sposób udowodniliśmy, że pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej składa się z pól kwadratów zbudowanych na nogach. Ideę tego dowodu dodatkowo ilustruje powyższa animacja.
Dowód Leonarda da Vinci
Dowód Leonarda da Vinci
Głównymi elementami dowodu są symetria i ruch.
Rozważmy rysunek, jak widać z symetrii, segment CI przecina kwadrat ABHJ na dwie identyczne części (ponieważ trójkąty ABC I JHI jednakowe konstrukcyjnie). Stosując obrót o 90 stopni w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, widzimy równość zacieniowanych figur CAJI I GDAB . Teraz jest jasne, że pole zacienionej przez nas figury jest równe sumie połowy pól kwadratów zbudowanych na nogach i pola pierwotnego trójkąta. Z drugiej strony jest on równy połowie pola kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej plus pole pierwotnego trójkąta. Ostatni krok dowodu pozostawiamy czytelnikowi.
Dowód metodą nieskończenie małą
Poniższy dowód wykorzystujący równania różniczkowe przypisuje się często słynnemu angielskiemu matematykowi Hardy’emu, który żył w pierwszej połowie XX wieku.
Patrząc na rysunek pokazany na rysunku i obserwując zmianę strony A, możemy zapisać następującą zależność dla nieskończenie małych przyrostów boku Z I A(używając podobieństwa trójkątów):
Dowód metodą nieskończenie małą
Stosując metodę separacji zmiennych, znajdujemy
Bardziej ogólne wyrażenie zmiany przeciwprostokątnej w przypadku przyrostów po obu stronach
Całkując to równanie i korzystając z warunków początkowych, otrzymujemy
C 2 = A 2 + B 2 + stała.W ten sposób dochodzimy do pożądanej odpowiedzi
C 2 = A 2 + B 2 .Jak łatwo zauważyć, zależność kwadratowa w ostatecznym wzorze pojawia się na skutek liniowej proporcjonalności pomiędzy bokami trójkąta a przyrostami, natomiast suma jest powiązana z niezależnymi wkładami przyrostów różnych nóg.
Prostszy dowód można uzyskać, jeśli założymy, że jedna z nóg nie doznaje przyrostu (w tym przypadku noga B). Następnie dla stałej całkowania otrzymujemy
Odmiany i uogólnienia
- Jeśli zamiast kwadratów skonstruujemy po bokach inne podobne figury, wówczas prawdziwe jest następujące uogólnienie twierdzenia Pitagorasa: W trójkącie prostokątnym suma pól podobnych figur zbudowanych na bokach jest równa powierzchni figury zbudowanej na przeciwprostokątnej. W szczególności:
- Suma pól trójkątów foremnych zbudowanych na nogach jest równa powierzchni trójkąta foremnego zbudowanego na przeciwprostokątnej.
- Suma pól półkola zbudowanego na nogach (jak na średnicy) jest równa polu półkola zbudowanego na przeciwprostokątnej. Na tym przykładzie wykazano właściwości figur ograniczonych łukami dwóch okręgów i zwanych lunulami Hipokratesa.
Fabuła
Chu-pei 500–200 pne. Po lewej stronie napis: suma kwadratów długości wysokości i podstawy jest kwadratem długości przeciwprostokątnej.
Starożytna chińska książka Chu-pei mówi o trójkącie pitagorejskim o bokach 3, 4 i 5: W tej samej książce znajduje się rysunek, który pokrywa się z jednym z rysunków hinduskiej geometrii Bashary.
Cantor (największy niemiecki historyk matematyki) uważa, że równość 3² + 4² = 5² była znana Egipcjanom już około 2300 roku p.n.e. e. za czasów króla Amenemheta I (według papirusu 6619 z Muzeum Berlińskiego). Według Cantora harpedonapty, czyli „przeciągacze lin”, budowali kąty proste za pomocą trójkątów prostokątnych o bokach 3, 4 i 5.
Bardzo łatwo jest odtworzyć sposób ich budowy. Weźmy linę o długości 12 m i przywiążmy do niej kolorowy pasek w odległości 3 m. z jednego końca i 4 metry od drugiego. Kąt prosty będzie zawarty pomiędzy bokami o długości 3 i 4 metrów. Można by zarzucić harpedonaptianom, że ich metoda budowy staje się zbędna, jeśli użyje się na przykład drewnianego kwadratu, którego używają wszyscy stolarze. Rzeczywiście znane są rysunki egipskie, w których znajduje się takie narzędzie, na przykład rysunki przedstawiające warsztat stolarski.
Nieco więcej wiadomo na temat twierdzenia Pitagorasa wśród Babilończyków. W jednym tekście sięgającym czasów Hammurabiego, czyli roku 2000 p.n.e. e. podano przybliżone obliczenie przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego. Z tego możemy wywnioskować, że w Mezopotamii przynajmniej w niektórych przypadkach byli w stanie wykonywać obliczenia z trójkątami prostokątnymi. Opierając się z jednej strony na obecnym stanie wiedzy o matematyce egipskiej i babilońskiej, a z drugiej na krytycznym badaniu źródeł greckich, Van der Waerden (matematyk holenderski) doszedł do następującego wniosku:
Literatura
Po rosyjsku
- Skopets Z. A. Miniatury geometryczne. M., 1990
- Elenski Szch.Śladami Pitagorasa. M., 1961
- Van der Waerden B. L. Przebudzenie nauki. Matematyka starożytnego Egiptu, Babilonu i Grecji. M., 1959
- Glazer G.I. Historia matematyki w szkole. M., 1982
- W. Litzman, „Twierdzenie Pitagorasa” M., 1960.
- Strona o twierdzeniu Pitagorasa z dużą liczbą dowodów, materiał zaczerpnięty z książki V. Litzmanna, duża liczba rysunków zaprezentowanych w formie oddzielnych plików graficznych.
- Twierdzenie Pitagorasa i trójki pitagorasa rozdział z książki D. V. Anosowa „Spojrzenie na matematykę i coś z niej”
- O twierdzeniu Pitagorasa i metodach jego dowodzenia G. Glaser, akademik Rosyjskiej Akademii Pedagogicznej, Moskwa
Po angielsku
- Twierdzenie Pitagorasa w WolframMathWorld
- Cut-The-Knot, sekcja dotycząca twierdzenia Pitagorasa, około 70 dowodów i obszerne informacje dodatkowe (w języku angielskim)
Fundacja Wikimedia. 2010.