Geometria nie jest nauką prostą. Może być przydatna zarówno w szkolnym programie nauczania, jak i w prawdziwym życiu. Znajomość wielu wzorów i twierdzeń uprości obliczenia geometryczne. Jedną z najprostszych figur w geometrii jest trójkąt. Jedna z odmian trójkątów, równoboczna, ma swoje własne cechy.
Cechy trójkąta równobocznego
Z definicji trójkąt to wielościan, który ma trzy kąty i trzy boki. Jest to płaska dwuwymiarowa figura, jej właściwości są badane w szkole średniej. W zależności od rodzaju kąta rozróżnia się trójkąty ostre, rozwarte i prostokątne. Trójkąt prostokątny to figura geometryczna, w której jeden z kątów ma miarę 90°. Taki trójkąt ma dwie nogi (tworzą kąt prosty) i jedną przeciwprostokątną (jest przeciwna do kąta prostego). W zależności od znanych wielkości istnieją trzy proste sposoby obliczenia przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego.
Pierwszy sposób polega na znalezieniu przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego. twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Pitagorasa jest najstarszym sposobem obliczania dowolnego boku trójkąta prostokątnego. Brzmi to tak: „W trójkącie prostokątnym kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów nóg”. Zatem, aby obliczyć przeciwprostokątną, należy wyprowadzić pierwiastek kwadratowy z sumy dwóch nóg do kwadratu. Dla przejrzystości podano wzory i schemat.
Drugi sposób. Obliczanie przeciwprostokątnej przy użyciu 2 znanych wielkości: nogi i kąta przyległego
Jedna z właściwości trójkąta prostokątnego mówi, że stosunek długości przyprostokątnej do długości przeciwprostokątnej jest równy cosinusowi kąta między tą nogą a przeciwprostokątną. Nazwijmy znany nam kąt α. Teraz, dzięki dobrze znanej definicji, można łatwo sformułować wzór na obliczenie przeciwprostokątnej: Przeciwprostokątna = noga/cos(α)
Trzeci sposób. Obliczanie przeciwprostokątnej przy użyciu 2 znanych wielkości: nogi i kąta przeciwnego
Jeśli znany jest kąt przeciwny, można ponownie skorzystać z właściwości trójkąta prostokątnego. Stosunek długości nogi do przeciwprostokątnej jest równy sinusowi przeciwnego kąta. Nazwijmy jeszcze raz znany kąt α. Teraz do obliczeń użyjemy nieco innego wzoru:
Przeciwprostokątna = noga/grzech (α)
Przykłady pomagające zrozumieć formuły
Aby lepiej zrozumieć każdą z formuł, należy rozważyć przykłady ilustrujące. Załóżmy więc, że masz trójkąt prostokątny, w którym znajdują się następujące dane:
- Nogawka – 8 cm.
- Przyległy kąt cosα1 wynosi 0,8.
- Przeciwny kąt sinα2 wynosi 0,8.
Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa: Przeciwprostokątna = pierwiastek kwadratowy z (36+64) = 10 cm.
W zależności od wielkości nogi i przylegającego kąta: 8/0,8 = 10 cm.
W zależności od wielkości nogi i przeciwnego kąta: 8/0,8 = 10 cm.
Gdy zrozumiesz wzór, możesz łatwo obliczyć przeciwprostokątną na podstawie dowolnych danych.
Wideo: Twierdzenie Pitagorasa
„I mówią nam, że noga jest krótsza od przeciwprostokątnej…” Te wersety ze słynnej piosenki, którą usłyszano w filmie fabularnym „Przygody elektroniki” są rzeczywiście poprawne w geometrii Euklidesa. W końcu nogi to dwa boki tworzące kąt, którego miara stopnia wynosi 90 stopni. A przeciwprostokątna to najdłuższy „rozciągnięty” bok, który łączy dwie nogi prostopadle do siebie i leży naprzeciwko kąta prostego. Dlatego przeciwprostokątną przy nogach można znaleźć tylko w trójkącie prostokątnym, a gdyby noga była dłuższa od przeciwprostokątnej, to taki trójkąt by nie istniał.
Jak znaleźć przeciwprostokątną za pomocą twierdzenia Pitagorasa, jeśli znane są obie strony
Twierdzenie stwierdza, że kwadrat przeciwprostokątnej to nic innego jak suma kwadratów nóg: x^2+y^2=z^2, gdzie:
- x – pierwszy mecz;
- y – druga noga;
- z – przeciwprostokątna.
Ale wystarczy znaleźć przeciwprostokątną, a nie jej kwadrat. Aby to zrobić, wyodrębnij root.
Algorytm znajdowania przeciwprostokątnej przy użyciu dwóch znanych nóg:
- Wskaż sobie, gdzie są nogi i gdzie jest przeciwprostokątna.
- Wyrównaj pierwszą nogę.
- Wyprostuj drugą nogę.
- Dodaj otrzymane wartości.
- Wyodrębnij pierwiastek liczby uzyskanej w kroku 4.
Jak znaleźć przeciwprostokątną przez sinus, jeśli znana jest noga i kąt ostry naprzeciwko niej
Stosunek znanej nogi do leżącego naprzeciw niej kąta ostrego jest równy wartości przeciwprostokątnej: a/sin A = c. Jest to konsekwencja definicji sinusa:
Stosunek przeciwprostokątnej do przeciwprostokątnej: sin A = a/c, gdzie:
- a – pierwszy mecz;
- A – kąt ostry przeciwny do nogi;
- c- przeciwprostokątna.
Algorytm znajdowania przeciwprostokątnej za pomocą twierdzenia o sinusie:
- Wskaż sobie znaną nogę i kąt do niej przeciwny.
- Podziel nogę w przeciwległy róg.
- Zdobądź przeciwprostokątną.
Jak znaleźć przeciwprostokątną przez cosinus, jeśli znana jest noga i przylegający do niej kąt ostry
Stosunek znanej nogi do przylegającego kąta ostrego jest równy wartości przeciwprostokątnej a/cos B = c. Jest to konsekwencja definicji cosinusa: stosunek przyprostokątnej sąsiedniej do przeciwprostokątnej: cos B= a/c, gdzie:
- a – druga noga;
- B – kąt ostry przylegający do drugiej nogi;
- c- przeciwprostokątna.
Algorytm znajdowania przeciwprostokątnej za pomocą twierdzenia o cosinusie:
- Wskaż sobie znaną nogę i sąsiedni kąt.
- Podziel nogę przez sąsiedni kąt.
- Zdobądź przeciwprostokątną.
Jak znaleźć przeciwprostokątną za pomocą trójkąta egipskiego
„Trójkąt egipski” to trio liczb, wiedząc, które z nich pozwalają zaoszczędzić czas na znalezieniu przeciwprostokątnej lub nawet innej nieznanej nogi. Trójkąt ma taką nazwę, ponieważ w Egipcie niektóre liczby symbolizowały bogów i były podstawą do budowy piramid i innych różnorodnych konstrukcji.
- Pierwsze trzy liczby: 3-4-5. Nogi tutaj są równe 3 i 4. Wtedy przeciwprostokątna na pewno będzie równa 5. Sprawdź: (9+16=25).
- Druga trójka liczb: 5-12-13. Tutaj również nogi są równe 5 i 12. Zatem przeciwprostokątna będzie równa 13. Sprawdź: (25+144=169).
Takie liczby pomagają nawet wtedy, gdy są dzielone lub mnożone przez dowolną liczbę. Jeśli nogi mają 3 i 4, wówczas przeciwprostokątna będzie równa 5. Jeśli pomnożysz te liczby przez 2, przeciwprostokątna również zostanie pomnożona przez 2. Na przykład potrójna liczba 6-8-10 również będzie pasować twierdzenie Pitagorasa i nie musisz obliczać przeciwprostokątnej, jeśli pamiętasz te trójki liczb. 
Istnieją zatem 4 sposoby znalezienia przeciwprostokątnej przy użyciu znanych nóg. Najlepszą opcją jest twierdzenie Pitagorasa, ale nie zaszkodzi też zapamiętać trójki liczb tworzące „trójkąt egipski”, ponieważ możesz zaoszczędzić dużo czasu, jeśli natkniesz się na takie wartości.
Wśród licznych obliczeń wykonywanych w celu obliczenia różnych różnych wielkości znajduje się przeciwprostokątna trójkąta. Przypomnijmy, że trójkąt to wielościan, który ma trzy kąty. Poniżej znajduje się kilka sposobów obliczania przeciwprostokątnej różnych trójkątów.
Najpierw przyjrzyjmy się, jak znaleźć przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego. Dla tych, którzy zapomnieli, trójkąt o kącie 90 stopni nazywa się trójkątem prostokątnym. Bok trójkąta znajdujący się po przeciwnej stronie kąta prostego nazywa się przeciwprostokątną. Ponadto jest to najdłuższy bok trójkąta. W zależności od znanych wartości długość przeciwprostokątnej oblicza się w następujący sposób:
- Długości nóg są znane. Przeciwprostokątną w tym przypadku oblicza się za pomocą twierdzenia Pitagorasa, które brzmi następująco: kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów nóg. Jeśli weźmiemy pod uwagę trójkąt prostokątny BKF, gdzie BK i KF to nogi, a FB to przeciwprostokątna, to FB2= BK2+ KF2. Z powyższego wynika, że przy obliczaniu długości przeciwprostokątnej każdą z wartości nóg należy po kolei podnieść do kwadratu. Następnie dodaj poznane liczby i wyodrębnij pierwiastek kwadratowy z wyniku.
Rozważmy przykład: dany trójkąt ma kąt prosty. Jedna noga ma 3 cm, druga 4 cm. Znajdź przeciwprostokątną. Rozwiązanie wygląda tak.
FB2= BK2+ KF2= (3cm)2+(4cm)2= 9cm2+16cm2=25cm2. Wyodrębnij i uzyskaj FB=5cm.
- Znana jest noga (BK) i przylegający do niej kąt, który tworzy przeciwprostokątna i ta noga. Jak znaleźć przeciwprostokątną trójkąta? Oznaczmy znany kąt α. Zgodnie z własnością, która stwierdza, że stosunek długości nogi do długości przeciwprostokątnej jest równy cosinusowi kąta między tą nogą a przeciwprostokątną. Biorąc pod uwagę trójkąt, można to zapisać w następujący sposób: FB= BK*cos(α).
- Znana jest noga (KF) i ten sam kąt α, tyle że teraz będzie on przeciwny. Jak znaleźć przeciwprostokątną w tym przypadku? Przejdźmy do tych samych właściwości trójkąta prostokątnego i dowiedzmy się, że stosunek długości nogi do długości przeciwprostokątnej jest równy sinusowi kąta przeciwnego do nogi. Oznacza to, że FB= KF * grzech (α).
Spójrzmy na przykład. Biorąc pod uwagę ten sam trójkąt prostokątny BKF z przeciwprostokątną FB. Niech kąt F będzie równy 30 stopni, drugi kąt B odpowiada 60 stopniom. Znana jest również noga BK, której długość odpowiada 8 cm, wymaganą wartość można obliczyć w następujący sposób:
FB = BK /cos60 = 8 cm.
FB = BK /sin30 = 8 cm.
- Znany (R), opisany wokół trójkąta o kącie prostym. Jak znaleźć przeciwprostokątną, rozważając taki problem? Z właściwości okręgu opisanego na trójkącie pod kątem prostym wiadomo, że środek takiego okręgu pokrywa się z punktem przeciwprostokątnej, dzieląc go na pół. Krótko mówiąc, promień odpowiada połowie przeciwprostokątnej. Zatem przeciwprostokątna jest równa dwóm promieniom. FB=2*R. Jeśli masz podobny problem, w którym znany jest nie promień, ale mediana, to powinieneś zwrócić uwagę na właściwość koła opisanego na trójkącie pod kątem prostym, która mówi, że promień jest równy narysowanej środkowej do przeciwprostokątnej. Korzystając ze wszystkich tych właściwości, problem rozwiązuje się w ten sam sposób.
Jeśli pytanie brzmi, jak znaleźć przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego równoramiennego, musisz zwrócić się do tego samego twierdzenia Pitagorasa. Ale przede wszystkim pamiętaj, że trójkąt równoramienny to trójkąt, który ma dwa identyczne boki. W przypadku trójkąta prostokątnego boki są równe. Mamy FB2= BK2+ KF2, ale ponieważ BK= KF mamy: FB2=2 BK2, FB= BK√2
Jak widać, znając twierdzenie Pitagorasa i właściwości trójkąta prostokątnego, rozwiązanie problemów, w których konieczne jest obliczenie długości przeciwprostokątnej, jest bardzo proste. Jeśli trudno jest zapamiętać wszystkie właściwości, naucz się gotowych wzorów, podstawiając znane wartości, na które możesz obliczyć żądaną długość przeciwprostokątnej.
Instrukcje
Wideo na ten temat
notatka
Przy obliczaniu boków trójkąta prostokątnego rolę może odegrać znajomość jego cech:
1) Jeśli noga kąta prostego leży naprzeciwko kąta 30 stopni, to jest równa połowie przeciwprostokątnej;
2) Przeciwprostokątna jest zawsze dłuższa niż którakolwiek z nóg;
3) Jeśli wokół trójkąta prostokątnego opisano okrąg, to jego środek musi znajdować się w środku przeciwprostokątnej.
Przeciwprostokątna to bok trójkąta prostokątnego, który leży naprzeciw kąta 90 stopni. Aby obliczyć jego długość, wystarczy znać długość jednej z nóg oraz wielkość jednego z kątów ostrych trójkąta.
Instrukcje
Podaj nam jedną z nóg i kąt do niej przylegający. Mówiąc konkretnie, niech to będzie bok |AB| i kąt α. Następnie możemy skorzystać ze wzoru na trygonometryczny stosunek cosinus - cosinus sąsiedniej nogi. Te. w naszym zapisie cos α = |AB| / |AC|. Z tego otrzymujemy długość przeciwprostokątnej |AC| = |AB| / cos α.
Jeśli znamy bok |BC| i kąt α, wówczas ze wzoru obliczymy sinus kąta – sinus kąta jest równy stosunkowi przeciwprostokątnej do przeciwprostokątnej: sin α = |BC| / |AC|. Ustalamy, że długość przeciwprostokątnej wynosi |AC| = |BC| / cos α.
Dla jasności spójrzmy na przykład. Niech będzie podana długość nogi |AB|. = 15. I kąt α = 60°. Otrzymujemy |AC| = 15 / cos 60° = 15 / 0,5 = 30.
Przyjrzyjmy się, jak sprawdzić wynik za pomocą twierdzenia Pitagorasa. Aby to zrobić, musimy obliczyć długość drugiej nogi |BC|. Korzystając ze wzoru na tangens kąta tan α = |BC| / |AC|, otrzymujemy |BC| = |AB| * tan α = 15 * tan 60° = 15 * √3. Następnie stosujemy twierdzenie Pitagorasa i otrzymujemy 15^2 + (15 * √3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900. Sprawdzanie zakończone.
Pomocna rada
Po obliczeniu przeciwprostokątnej sprawdź, czy otrzymana wartość spełnia twierdzenie Pitagorasa.
Źródła:
- Tabela liczb pierwszych od 1 do 10000
Nogi to dwa krótkie boki trójkąta prostokątnego tworzące wierzchołek, którego rozmiar wynosi 90°. Trzeci bok takiego trójkąta nazywa się przeciwprostokątną. Wszystkie te boki i kąty trójkąta są połączone pewnymi zależnościami, które umożliwiają obliczenie długości nogi, jeśli znanych jest kilka innych parametrów.
Instrukcje
Skorzystaj z twierdzenia Pitagorasa dla nogi (A), jeśli znasz długość pozostałych dwóch boków (B i C) trójkąta prostokątnego. Twierdzenie to stwierdza, że suma kwadratów długości nóg jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej. Wynika z tego, że długość każdej nogi jest równa pierwiastkowi kwadratowemu z długości przeciwprostokątnej i drugiej nogi: A=√(C²-B²).
Skorzystaj z definicji prostej funkcji trygonometrycznej „sinus” dla kąta ostrego, jeśli znasz wielkość kąta (α) leżącego naprzeciw obliczanej nogi i długość przeciwprostokątnej (C). Oznacza to, że sinus tego znanego stosunku długości pożądanej nogi do długości przeciwprostokątnej. Oznacza to, że długość pożądanej nogi jest równa iloczynowi długości przeciwprostokątnej i sinusa znanego kąta: A=C∗sin(α). Dla tych samych znanych wielkości można również użyć cosecans i obliczyć wymaganą długość, dzieląc długość przeciwprostokątnej przez cosecans znanego kąta A=C/cosec(α).
Skorzystaj z definicji bezpośredniej funkcji cosinus trygonometrycznej, jeśli oprócz długości przeciwprostokątnej (C) znana jest również wielkość kąta ostrego (β) sąsiadującego z pożądanym. Cosinus tego kąta jest stosunkiem długości pożądanej nogi i przeciwprostokątnej i z tego możemy wywnioskować, że długość nogi jest równa iloczynowi długości przeciwprostokątnej i cosinusa znanego kąta: A=C∗cos(β). Możesz skorzystać z definicji funkcji siecznej i obliczyć żądaną wartość, dzieląc długość przeciwprostokątnej przez secans znanego kąta A=C/s(β).
Wyprowadź wymagany wzór z podobnej definicji pochodnej funkcji trygonometrycznej tangens, jeśli oprócz wartości kąta ostrego (α) leżącego naprzeciw żądanej nogi (A) znana jest długość drugiej nogi (B) . Tangens kąta przeciwnego do żądanej nogi to stosunek długości tej nogi do długości drugiej nogi. Oznacza to, że pożądana wartość będzie równa iloczynowi długości znanego ramienia i tangensa znanego kąta: A=B∗tg(α). Z tych samych znanych wielkości można wyprowadzić inny wzór, jeśli skorzystamy z definicji funkcji cotangens. W tym przypadku do obliczenia długości ramienia konieczne będzie znalezienie stosunku długości znanego ramienia do cotangensu znanego kąta: A=B/ctg(α).
Wideo na ten temat
Słowo „kathet” pochodzi z języka rosyjskiego z języka greckiego. W dokładnym tłumaczeniu oznacza to linię pionu, czyli prostopadłą do powierzchni ziemi. W matematyce nogi to boki tworzące kąt prosty trójkąta prostokątnego. Strona przeciwna do tego kąta nazywana jest przeciwprostokątną. Termin „katet” stosowany jest także w architekturze i technologii spawalniczej.
Sieczną tego kąta oblicza się dzieląc przeciwprostokątną przez sąsiednią nogę, czyli secCAB = c/b. Wynik jest odwrotnością cosinusa, co oznacza, że można go wyrazić za pomocą wzoru secCAB=1/cosSAB.
Cosecans jest równy ilorazowi przeciwprostokątnej podzielonej przez przeciwną stronę i jest odwrotnością sinusa. Można to obliczyć korzystając ze wzoru cosecCAB=1/sinCAB
Obie nogi są połączone ze sobą i kotangensem. W tym przypadku styczna będzie stosunkiem strony a do strony b, to znaczy strony przeciwnej do strony sąsiedniej. Zależność tę można wyrazić wzorem tgCAB=a/b. Odpowiednio, odwrotnym stosunkiem będzie kotangens: ctgCAB=b/a.
Zależność między rozmiarami przeciwprostokątnej i obu nóg została określona przez starożytnego greckiego Pitagorasa. Ludzie nadal używają tego twierdzenia i jego imienia. Mówi, że kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów nóg, czyli c2 = a2 + b2. W związku z tym każda noga będzie równa pierwiastkowi kwadratowemu różnicy między kwadratami przeciwprostokątnej i drugiej nogi. Wzór ten można zapisać jako b=√(c2-a2).
Długość nogi można również wyrazić za pomocą znanych Ci zależności. Zgodnie z twierdzeniami o sinusach i cosinusach noga jest równa iloczynowi przeciwprostokątnej i jednej z tych funkcji. Można to wyrazić jako i lub cotangens. Odnogę a można znaleźć na przykład za pomocą wzoru a = b*tan CAB. Dokładnie w ten sam sposób, w zależności od zadanej stycznej lub, wyznacza się drugą nogę.
Termin „cathet” jest również używany w architekturze. Nakłada się go na kapitel joński i przechodzi przez środek grzbietu. Oznacza to, że w tym przypadku wyraz ten jest prostopadły do danej linii.
W technologii spawania istnieje „noga spoiny pachwinowej”. Podobnie jak w innych przypadkach jest to najkrótsza odległość. Mówimy tutaj o szczelinie pomiędzy jedną ze spawanych części a krawędzią szwu znajdującego się na powierzchni drugiej części.
Wideo na ten temat
Źródła:
- czym jest noga i przeciwprostokątna w 2019 roku
W tłumaczeniu z języka greckiego przeciwprostokątna oznacza „ciasno”. Aby poprawnie zrozumieć, wyobraź sobie łuk, który łączy dwa końce giętkiego drążka. Podobnie w trójkącie prostokątnym najdłuższym bokiem jest przeciwprostokątna, która leży naprzeciwko kąta prostego. Działa jako łącznik do pozostałych dwóch stron, zwanych nogami. Aby dowiedzieć się, jak długi jest ten „sznurek”, musisz mieć długości nóg, czyli wielkość dwóch ostrych kątów. Łącząc te dane, możesz obliczyć żądaną wartość za pomocą wzorów.
Jak znaleźć przeciwprostokątną na nogach
Najprostszym sposobem obliczenia jest znajomość rozmiaru dwóch nóg (oznaczmy jedną jako A, drugą jako B). Na ratunek przychodzi sam Pitagoras i jego znane na całym świecie twierdzenie. Mówi nam, że jeśli podniesiemy długość nóg do kwadratu i dodamy obliczone wartości, to w rezultacie otrzymamy kwadratową wartość długości przeciwprostokątnej. Z powyższego wnioskujemy: aby znaleźć wartość przeciwprostokątnej, należy wyodrębnić pierwiastek kwadratowy z całkowitej sumy kwadratów nóg C = √ (A² + B²). Przykład: bok A=10 cm, bok B=20 cm Przeciwprostokątna wynosi 22,36 cm Obliczenia są następujące: √(10²+20²)=√(100+400)= √500≈22,36.
Jak znaleźć przeciwprostokątną pod kątem
Nieco trudniej jest obliczyć długość przeciwprostokątnej pod danym kątem. Jeśli znasz rozmiar jednej z dwóch nóg (oznaczony przez A) i wielkość kąta (oznaczonego przez α) leżącego naprzeciw niej, wówczas wielkość przeciwprostokątnej określa się za pomocą trygonometrii, a konkretnie sinusa. Wszystko, co musisz zrobić, to podzielić wartość znanej nogi przez sinus kąta. C=A/sin(α). Przykład: długość nogi A = 30 cm, kąt leżący naprzeciw niej wynosi 45°, przeciwprostokątna wyniesie 42,25 cm Obliczenia są następujące: 30/sin(45°) = 30/0,71 = 42,25.
Innym sposobem jest znalezienie rozmiaru przeciwprostokątnej za pomocą cosinusa. Stosuje się go, jeśli znany jest rozmiar nogi (oznaczony jako B) i kąt ostry (oznaczony przez α), który do niej przylega. Wszystko, co musisz zrobić, to podzielić wartość nogi przez sinus kąta. С=В/ cos(α). Przykład: długość nogi B = 30 cm, kąt leżący naprzeciw niej wynosi 45°, przeciwprostokątna wyniesie 42,25 cm Obliczenia są następujące: 30/cos(45°) = 30/0,71 = 42,25.
Jak znaleźć przeciwprostokątną trójkąta równoramiennego
Każde szanujące się dziecko w wieku szkolnym wie, że trójkąt jest równoramienny, pod warunkiem, że dwa z trzech boków są sobie równe. Boki te nazywane są bocznymi, a ta, która pozostaje, nazywana jest podstawą. Jeśli jeden z kątów ma miarę 90°, to mamy trójkąt prostokątny równoramienny.
Znalezienie przeciwprostokątnej w takim trójkącie jest proste, ponieważ ma kilka właściwości, które pomogą. Kąty przylegające do podstawy mają taką samą wartość, całkowita suma wartości kątów wynosi 180°. Oznacza to, że kąt prosty leży naprzeciw podstawy, co oznacza, że podstawą jest przeciwprostokątna, a boki to nogi.