Oto pytanie: "Równoległościan. Wyjaśnij, gdzie jest jego sześć ścian?" Jeśli matematycy nie byli w stanie jasno wytłumaczyć Ci budowy równoległościanu, to spróbuję to zrobić. Porozmawiamy tylko o ścianach równoległościanu, bez zagłębiania się w inne szczegóły konstrukcyjne tego modelu matematycznego, ponieważ nie jesteśmy w salonie samochodowym i nie jestem menadżerem próbującym sprzedać wam przestarzały model równoległościanu.
A więc wyobraź sobie, że jak gdyby nic się nie stało, zasnąłeś w swoim prostokątnym (to wyjaśnienie jest bardzo ważne) pokoju. A w środku nocy budzisz się w działającym modelu równoległościanu naturalnej wielkości! Nie ma powodu do paniki. Spokojnie zaczynamy liczyć aspekty tego matematycznego cudu. Ściana z oknem to pierwszy aspekt. Ściana naprzeciwko okna to druga strona. Ściany po lewej i prawej stronie okna to trzecia i czwarta ściana. Płeć to piąty aspekt. Sufit to szósty i ostatni aspekt. Wielkie odkrycie matematyczne: liczba twarzy nie zależy od kolejności ich liczenia, najważniejsze jest, aby niczego nie przeoczyć.
Jeśli jeszcze nie zasnąłeś, kolejne pytanie brzmi: co dalej? Rozłóż w myślach matematyczny papirus zatytułowany „Teoria mnogości”, poszukaj rozdziału „Nieskończony matematyczny zbiór baranów” i zacznij liczyć. Ludzie mówią, że ta procedura matematyczna jest bardzo dobra na bezsenność.
Chcę od razu szczerze przyznać, że trochę Cię okłamałem. To nie prostokątne pomieszczenie jest działającym modelem prostokątnego równoległościanu, ale wręcz odwrotnie – jest to matematyczny model pomieszczenia. Jest to szczególnie wyraźnie widoczne podczas. Powierzchnia ścian będzie powierzchnią bocznych ścian prostokątnego równoległościanu. Powierzchnię podłogi lub sufitu określa się w taki sam sposób, jak powierzchnię podstawy w równoległościanie. Oczywiście budowniczowie wprowadzili własne niuanse do matematycznych zasad określania obszarów, ale nie będziemy ich teraz wyjaśniać.
Nawiasem mówiąc, prostokątność pomieszczenia zależy całkowicie od jakości konstrukcji. Dopiero w starożytnej Grecji matematyka była tak rozwinięta, że słynna budowla Partenonu w Atenach została zbudowana niemal bez kątów prostych i linii prostych. Tam architektura budynku opierała się nie na matematycznej doskonałości, ale na złudzeniach optycznych. Obawiam się, że współcześni matematycy nie są już w stanie podjąć się takiego zadania – są za wysoko w chmurach. Ale jesteśmy nieco odwróceni od ścian równoległościanu.
Jeśli chcemy liczyć boki równoległościanu w dzień, a nie w nocy, to z szafy wyciągamy prostokątne pudełko z butami. Dno pudełka to jedna ściana, jest to jednocześnie dolna podstawa równoległościanu. Pokrywa pudełka to druga ściana, zwana także górną podstawą. Cztery ściany pudełka po butach mają twarze od trzeciego do szóstego.
Powyżej przyjrzeliśmy się sześciu ścianom prostokątnego równoległościanu. A co jeśli kąty nie są proste, ale zakrzywione? W tym przypadku mamy do czynienia ze zwykłym równoległościanem, a nie prostokątnym. Nie wpływa to w żaden sposób na liczbę krawędzi. Pomyśl tylko, że równoległościan był lekko wgnieciony. Swoją drogą, jak matematycy wyginają prostokątne równoległościany lub wyrównują zwykłe? Interesuje mnie algebra procesu. Jednak dla matematyków wszystko jest proste: powiedzieli święte zaklęcie „Daj nam równoległościan” i teraz jest już biały od kredy na tablicy. Wszystko w życiu jest bardziej skomplikowane. Istnieje wiele sposobów zginania i prostowania równoległościanów - od ciężkiego młota po zalotne „No proszę!” Nie musisz nawet pytać o algebrę tych metod.
Poważnie mówiąc, algebra zarówno prostokątnych, jak i zwykłych równoległościanów jest dokładnie taka sama. Równoległościan jest zakrzywiony i wyrównany za pomocą sinusów kątów między krawędziami. Równoległościany prostokątne mają wszystkie kąty proste, a ich sinusy są równe jeden. Leniwi matematycy po prostu nie zapisują tych sinusów we wzorach. W zwykłych równoległościanach sinusy kątów są mniejsze niż jeden, więc chcąc nie chcąc, matematycy muszą zapisywać je we wzorach.
Podsumowując, jak lubią mawiać nauczyciele, skonsolidujmy przerabiany materiał. Jako utrwalacz używamy prostej kolorowanki dla dzieci, na której malujemy wszystkie sześć ścian równoległościanu.
Ryż. 1
Czyli: mamy dwa równe równoległoboki ABCD i A1 B1 C1 D1 (podstawy), leżą one w równoległych płaszczyznach tak, że boczne krawędzie AA1, BB1, DD1, CC1 są równoległe. Zatem powierzchnię złożoną z równoległoboków nazywa się równoległościanem.
Właściwości równoległościanu.
1. Przeciwległe ściany równoległościanu są równoległe i równe.
(kształty są równe, to znaczy można je łączyć poprzez zachodzenie na siebie)
Na przykład:
ABCD = A1 B1 C1 D1 (z definicji równe równoległoboki),
AA1 B1 B = DD1 C1 C (ponieważ AA1 B1 B i DD1 C1 C są przeciwległymi ścianami równoległościanu),
AA1 D1 D = BB1 C1 C (ponieważ AA1 D1 D i BB1 C1 C są przeciwległymi ścianami równoległościanu).
2. Przekątne równoległościanu przecinają się w jednym punkcie i są przez ten punkt podzielone na pół.
Przekątne AC1, B1 D, A1 C, D1 B przecinają się w jednym punkcie O i każda przekątna jest przez ten punkt dzielona na pół (rys. 2).
Ryż. 2
3. Istnieją trzy poczwórne krawędzie równe i równoległe: 1 – AB, A1 B1, D1 C1, DC, 2 – AD, A1 D1, B1 C1, BC, 3 – AA1, BB1, CC1, DD1.
Definicja . Równoległościan nazywamy prostym, jeśli jego boczne krawędzie są prostopadłe do podstaw.
Niech boczna krawędź AA1 będzie prostopadła do podstawy (ryc. 3). Oznacza to, że prosta AA1 jest prostopadła do prostych AD i AB, które leżą w płaszczyźnie podstawy. Oznacza to, że ściany boczne zawierają prostokąty. A podstawy zawierają dowolne równoległoboki. Oznaczmy ∠BAD = φ, kąt φ może być dowolny.
Ryż. 3
Definicja . Równoległościan nazywamy prostokątnym, jeśli jego boczne krawędzie są prostopadłe do podstawy. Podstawą są prostokąty.
Równoległościan ABCDA1 B1 C1 D1 jest prostokątny (ryc. 4), jeżeli:
1. AA1 ⊥ ABCD (krawędź boczna prostopadła do płaszczyzny podstawy, czyli prosty równoległościan).
2. ∠BAD = 90°, czyli podstawą jest prostokąt.
Ryż. 4
Prostokątny równoległościan ma wszystkie właściwości dowolnego równoległościanu. Istnieją jednak dodatkowe właściwości wynikające z definicji prostopadłościanu.
1. W prostopadłościanie prostokątnym wszystkie sześć ścian jest prostokątami.
ABCD i A1 B1 C1 D1 są z definicji prostokątami.
2. Żebra boczne są prostopadłe do podstawy. Oznacza to, że wszystkie ściany boczne są prostokątami.
3. Wszystkie kąty dwuścienne równoległościanu prostokątnego są proste.
Rozważmy na przykład kąt dwuścienny z krawędzią AB, czyli kąt dwuścienny pomiędzy płaszczyznami ABB1 i ABC.
AB jest krawędzią, punkt A1 leży w jednej płaszczyźnie - w płaszczyźnie ABB1, a punkt D w drugiej - w płaszczyźnie A1 B1 C1 D1. Wtedy rozważany kąt dwuścienny można również zapisać w następujący sposób: ∠A1 ABD.
Weźmy punkt A na krawędzi AB. AA1 jest prostopadła do krawędzi AB w płaszczyźnie АВВ1, AD jest prostopadła do krawędzi AB w płaszczyźnie ABC. Oznacza to, że ∠A1 AD jest kątem liniowym danego kąta dwuściennego. ∠A1 AD = 90°, co oznacza, że kąt dwuścienny przy krawędzi AB wynosi 90°.