Hva er den deriverte av en kompleks funksjon. Regler for beregning av derivater

I «gamle» lærebøker kalles det også «kjede»-regelen. Så hvis y = f (u), og u = φ (x), det er

y = f (φ (x))

kompleks - sammensatt funksjon (sammensetning av funksjoner) da

Hvor , etter beregning er vurdert kl u = φ(x).

Legg merke til at her tok vi "forskjellige" komposisjoner fra de samme funksjonene, og resultatet av differensiering viste seg naturligvis å avhenge av rekkefølgen på "blanding".

Kjederegelen strekker seg naturligvis til sammensetninger av tre eller flere funksjoner. I dette tilfellet vil det være tre eller flere "lenker" i "kjeden" som utgjør derivatet. Her er en analogi med multiplikasjon: "vi har" en tabell med deriverte; "der" - multiplikasjonstabell; "hos oss" er kjederegelen og "der" er multiplikasjonsregelen for "kolonne". Når man beregner slike "komplekse" derivater, introduseres selvfølgelig ingen hjelpeargumenter (u¸v, etc.), men etter å ha notert seg selv antallet og rekkefølgen av funksjoner som er involvert i sammensetningen, blir de tilsvarende koblingene "strengt" i den angitte rekkefølgen.

. Her, med "x" for å oppnå verdien av "y", utføres fem operasjoner, det vil si at det er en sammensetning av fem funksjoner: "ekstern" (den siste av dem) - eksponentiell - e  ; lenger inn omvendt rekkefølge beroligende. (♦) 2 ; trigonometrisk synd(); beroligende. () 3 og til slutt logaritmisk ln.(). Derfor

Med de følgende eksemplene vil vi "drepe et par fluer i en smekk": vi vil øve på å differensiere komplekse funksjoner og legge til tabellen over derivater av elementære funksjoner. Så:

4. For en potensfunksjon - y = x α - omskriver den ved å bruke den velkjente "grunnleggende logaritmisk identitet" - b=e ln b - i formen x α = x α ln x vi får

5. Gratis eksponentiell funksjon bruke samme teknikk som vi vil ha

6. For en vilkårlig logaritmisk funksjon, ved å bruke den velkjente formelen for overgang til en ny base, oppnår vi konsekvent

7. For å differensiere tangenten (cotangens), bruker vi regelen for å differensiere kvotienter:

For å oppnå deriverte av inverse trigonometriske funksjoner, bruker vi relasjonen som tilfredsstilles av deriverte av to gjensidig inverse funksjoner, det vil si funksjonene φ (x) og f (x) relatert av relasjonene:

Dette er forholdet

Det er fra denne formelen for gjensidig inverse funksjoner

Og
,

Til slutt, la oss oppsummere disse og noen andre derivater som også enkelt kan oppnås i følgende tabell.

Hvis du følger definisjonen, er den deriverte av en funksjon i et punkt grensen for forholdet mellom økningen av funksjonen Δ y til argumentøkningen Δ x:

Alt ser ut til å være klart. Men prøv å bruke denne formelen til å beregne for eksempel den deriverte av funksjonen f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x synd x. Hvis du gjør alt per definisjon, vil du bare sovne etter et par sider med beregninger. Derfor finnes det enklere og mer effektive måter.

Til å begynne med merker vi at fra hele utvalget av funksjoner kan vi skille de såkalte elementære funksjonene. Det er relativt enkle uttrykk, hvis derivater lenge har vært beregnet og oppført i tabellen. Slike funksjoner er ganske enkle å huske - sammen med deres derivater.

Derivater av elementære funksjoner

Elementære funksjoner er alle de som er oppført nedenfor. Derivatene av disse funksjonene må være kjent utenat. Dessuten er det slett ikke vanskelig å huske dem - det er derfor de er elementære.

Så, derivater av elementære funksjoner:

Navn	Funksjon	Derivat
Konstant	f(x) = C, C ∈ R	0 (ja, null!)
Kraft med rasjonell eksponent	f(x) = x n	n · x n − 1
Sinus	f(x) = synd x	cos x
Cosinus	f(x) = cos x	−synd x(minus sinus)
Tangent	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Cotangens	f(x) = ctg x	− 1/synd 2 x
Naturlig logaritme	f(x) = logg x	1/x
Vilkårlig logaritme	f(x) = logg en x	1/(x ln en)
Eksponentiell funksjon	f(x) = e x	e x(ingenting endret seg)

Hvis en elementær funksjon multipliseres med en vilkårlig konstant, beregnes også den deriverte av den nye funksjonen:

(C · f)’ = C · f ’.

Generelt kan konstanter tas ut av tegnet til den deriverte. For eksempel:

(2x 3)' = 2 · ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Det er klart at elementære funksjoner kan legges til hverandre, multipliseres, deles – og mye mer. Slik vil nye funksjoner fremstå, ikke lenger spesielt elementære, men også differensierbare mht visse regler. Disse reglene er omtalt nedenfor.

Derivert av sum og differanse

La funksjonene være gitt f(x) Og g(x), hvis derivater er kjent for oss. For eksempel kan du ta de elementære funksjonene som er diskutert ovenfor. Deretter kan du finne den deriverte av summen og differansen av disse funksjonene:

(f + g)’ = f ’ + g ’
(f − g)’ = f ’ − g ’

Så den deriverte av summen (forskjellen) av to funksjoner er lik summen (forskjellen) av de deriverte. Det kan være flere vilkår. For eksempel, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Strengt tatt er det ikke noe begrep om "subtraksjon" i algebra. Det er et konsept " negativt element" Derfor forskjellen f − g kan skrives om som en sum f+ (−1) g, og da gjenstår bare én formel - den deriverte av summen.

f(x) = x 2 + sin x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Funksjon f(x) er summen av to elementære funksjoner, derfor:

f ’(x) = (x 2 + synd x)’ = (x 2)’ + (synd x)’ = 2x+ cos x;

Vi resonnerer på samme måte for funksjonen g(x). Bare det er allerede tre begreper (fra algebras synspunkt):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Svar:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Derivat av produktet

Matematikk er en logisk vitenskap, så mange tror at hvis den deriverte av en sum er lik summen av deriverte, så er den deriverte av produktet streik">lik produktet av derivater. Men tull! Den derivative av et produkt beregnes ved hjelp av en helt annen formel. Nemlig:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formelen er enkel, men den blir ofte glemt. Og ikke bare skoleelever, men også studenter. Resultatet er feil løste problemer.

Oppgave. Finn deriverte av funksjoner: f(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Funksjon f(x) er produktet av to elementære funksjoner, så alt er enkelt:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)' cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (-synd x) = x 2 (3cos x − x synd x)

Funksjon g(x) den første faktoren er litt mer komplisert, men generell ordning dette endrer seg ikke. Tydeligvis den første faktoren til funksjonen g(x) er et polynom og dens deriverte er den deriverte av summen. Vi har:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)’ · e x + (x 2 + 7x− 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Svar:
f ’(x) = x 2 (3cos x − x synd x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Vær oppmerksom på at i siste trinn blir den deriverte faktorisert. Formelt sett trenger ikke dette å gjøres, men de fleste derivater beregnes ikke på egen hånd, men for å undersøke funksjonen. Dette betyr at videre vil den deriverte bli likestilt til null, dens fortegn vil bli bestemt, og så videre. For et slikt tilfelle er det bedre å få et uttrykk faktorisert.

Hvis det er to funksjoner f(x) Og g(x), og g(x) ≠ 0 på settet vi er interessert i, kan vi definere ny funksjon h(x) = f(x)/g(x). For en slik funksjon kan du også finne den deriverte:

Ikke svak, ikke sant? Hvor kom minuset fra? Hvorfor g 2? Og sånn! Dette er en av de mest komplekse formler- Du kan ikke finne ut av det uten en flaske. Derfor er det bedre å studere det på spesifikke eksempler.

Oppgave. Finn deriverte av funksjoner:

Telleren og nevneren for hver brøk inneholder elementære funksjoner, så alt vi trenger er formelen for den deriverte av kvotienten:

I følge tradisjonen, la oss faktorisere telleren - dette vil i stor grad forenkle svaret:

En kompleks funksjon er ikke nødvendigvis en halv kilometer lang formel. For eksempel er det nok å ta funksjonen f(x) = synd x og erstatte variabelen x, si, på x 2 + ln x. Det ordner seg f(x) = synd ( x 2 + ln x) - dette er en kompleks funksjon. Den har også et derivat, men det vil ikke være mulig å finne det ved å bruke reglene diskutert ovenfor.

Hva burde jeg gjøre? I slike tilfeller hjelper det å erstatte variabelen og den deriverte formelen kompleks funksjon:

f ’(x) = f ’(t) · t', hvis x er erstattet av t(x).

Som regel er situasjonen med å forstå denne formelen enda mer trist enn med den deriverte av kvotienten. Derfor er det også bedre å forklare det med konkrete eksempler, med Detaljert beskrivelse hvert steg.

Oppgave. Finn deriverte av funksjoner: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = synd ( x 2 + ln x)

Merk at hvis i funksjonen f(x) i stedet for uttrykk 2 x+ 3 vil være enkelt x, så ordner det seg elementær funksjon f(x) = e x. Derfor gjør vi en erstatning: la 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Vi ser etter den deriverte av en kompleks funksjon ved å bruke formelen:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

Og nå - oppmerksomhet! Vi utfører omvendt erstatning: t = 2x+ 3. Vi får:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

La oss nå se på funksjonen g(x). Det er klart at det må skiftes ut x 2 + ln x = t. Vi har:

g ’(x) = g ’(t) · t’ = (synd t)’ · t’ = cos t · t ’

Omvendt erstatning: t = x 2 + ln x. Deretter:

g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)' = cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

Det er alt! Som man kan se av siste uttrykk, ble hele problemet redusert til å beregne den deriverte summen.

Svar:
f ’(x) = 2 · e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) fordi ( x 2 + ln x).

Svært ofte i timene mine, i stedet for begrepet "derivat", bruker jeg ordet "prime". For eksempel en prime fra beløpet lik summen slag. Er det klarere? Vel, det er bra.

Dermed kommer beregning av derivatet ned til å bli kvitt de samme slagene i henhold til reglene diskutert ovenfor. Som siste eksempel La oss gå tilbake til den deriverte potensen med en rasjonell eksponent:

(x n)’ = n · x n − 1

De færreste vet det i rollen n kan godt handle et brøktall. For eksempel er roten x 0,5. Hva om det er noe fancy under roten? Igjen vil resultatet bli en kompleks funksjon – de gir gjerne slike konstruksjoner til tester og eksamener.

Oppgave. Finn den deriverte av funksjonen:

La oss først omskrive roten som en potens med en rasjonell eksponent:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Nå gjør vi en erstatning: la x 2 + 8x − 7 = t. Vi finner den deriverte ved å bruke formelen:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)’ · t' = 0,5 · t−0,5 · t ’.

La oss gjøre omvendt erstatning: t = x 2 + 8x− 7. Vi har:

f ’(x) = 0,5 · ( x 2 + 8x− 7) −0,5 · ( x 2 + 8x− 7)' = 0,5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Til slutt, tilbake til røttene:

Etter foreløpig artilleriforberedelse vil eksempler med 3-4-5 hekker av funksjoner være mindre skumle. Kanskje de følgende to eksemplene vil virke kompliserte for noen, men hvis du forstår dem (noen vil lide), så vil nesten alt annet i differensialregning Det vil virke som en barnespøk.

Eksempel 2

Finn den deriverte av en funksjon

Som allerede nevnt, når du finner derivatet av en kompleks funksjon, er det først og fremst nødvendig Ikke sant FORSTÅ investeringene dine. I tilfeller der det er tvil minner jeg deg på nyttig triks: vi tar den eksperimentelle verdien av "x", for eksempel, og prøver (mentalt eller i et utkast) å erstatte gitt verdi til et "forferdelig uttrykk".

1) Først må vi beregne uttrykket, som betyr at summen er den dypeste innebyggingen.

2) Deretter må du beregne logaritmen:

4) Deretter kuber cosinus:

5) På det femte trinnet er forskjellen:

6) Og til slutt, den ytterste funksjonen er Kvadratrot:

Formel for å differensiere en kompleks funksjon vil bli brukt i omvendt rekkefølge, fra de fleste ekstern funksjon, til det innerste. Vi bestemmer:

Det virker uten feil:

1) Ta den deriverte av kvadratroten.

2) Ta den deriverte av differansen ved å bruke regelen

3) Den deriverte av en trippel er null. I andre ledd tar vi den deriverte av graden (kuben).

4) Ta derivatet av cosinus.

6) Og til slutt tar vi derivatet av den dypeste innebyggingen.

Det kan virke for vanskelig, men dette er ikke det mest brutale eksemplet. Ta for eksempel Kuznetsovs samling, og du vil sette pris på all skjønnheten og enkelheten til det analyserte derivatet. Jeg la merke til at de liker å gi en lignende ting i en eksamen for å sjekke om en student forstår hvordan man finner den deriverte av en kompleks funksjon eller ikke forstår.

Følgende eksempel er for uavhengig avgjørelse.

Eksempel 3

Finn den deriverte av en funksjon

Hint: Først bruker vi linearitetsreglene og produktdifferensieringsregelen

Full løsning og svar på slutten av timen.

Det er på tide å gå videre til noe mindre og finere.
Det er ikke uvanlig at et eksempel viser produktet av ikke to, men tre funksjoner. Hvordan finne den deriverte av produkter av tre multiplikatorer?

Eksempel 4

Finn den deriverte av en funksjon

Først ser vi, er det mulig å gjøre produktet av tre funksjoner til produktet av to funksjoner? For eksempel, hvis vi hadde to polynomer i produktet, så kunne vi åpne parentesene. Men i eksemplet under vurdering er alle funksjonene forskjellige: grad, eksponent og logaritme.

I slike tilfeller er det nødvendig sekvensielt bruke produktdifferensieringsregelen to ganger

Trikset er at vi med "y" betegner produktet av to funksjoner: , og med "ve" betegner vi logaritmen: . Hvorfor kan dette gjøres? Er det virkelig - dette er ikke et produkt av to faktorer og regelen fungerer ikke?! Det er ikke noe komplisert:

Nå gjenstår det å bruke regelen en gang til til brakett:

Du kan fortsatt være pervers og ta noe ut av parentes, men inn i dette tilfellet Det er bedre å la svaret være i dette skjemaet - det vil være lettere å sjekke.

Det betraktede eksemplet kan løses på den andre måten:

Begge løsningene er helt like.

Eksempel 5

Finn den deriverte av en funksjon

Dette er et eksempel på en uavhengig løsning i utvalget det er løst ved hjelp av den første metoden.

La oss se på lignende eksempler med brøker.

Eksempel 6

Finn den deriverte av en funksjon

Det er flere måter du kan gå her:

Eller slik:

Men løsningen vil skrives mer kompakt hvis vi først bruker regelen om differensiering av kvotienten , tar for hele telleren:

I prinsippet er eksemplet løst, og hvis det blir stående som det er, vil det ikke være en feil. Men hvis du har tid, er det alltid lurt å sjekke et utkast for å se om svaret kan forenkles?

La oss redusere uttrykket til telleren til fellesnevner og bli kvitt den tre-etasjers brøken:

Ulempen med ytterligere forenklinger er at det er en risiko for å gjøre feil ikke når man finner den deriverte, men under banale skoletransformasjoner. På den annen side avviser lærere ofte oppgaven og ber om å "minne det på det" avledet.

Et enklere eksempel å løse på egen hånd:

Eksempel 7

Finn den deriverte av en funksjon

Vi fortsetter å mestre metodene for å finne den deriverte, og nå vil vi vurdere et typisk tilfelle når en "forferdelig" logaritme foreslås for differensiering

Første nivå

Derivert av en funksjon. Omfattende guide (2019)

La oss forestille oss en rett vei som går gjennom et kupert område. Det vil si at den går opp og ned, men svinger ikke til høyre eller venstre. Hvis aksen er rettet horisontalt langs veien og vertikalt, vil veilinjen være veldig lik grafen til en kontinuerlig funksjon:

Aksen er et visst nivå på null høyde; i livet bruker vi havnivået som det.

Når vi beveger oss fremover langs en slik vei, beveger vi oss også opp eller ned. Vi kan også si: når argumentet endres (bevegelse langs abscisseaksen), endres verdien av funksjonen (bevegelse langs ordinataksen). La oss nå tenke på hvordan vi bestemmer "brattheten" på veien vår? Hva slags verdi kan dette være? Det er veldig enkelt: hvor mye høyden vil endre seg når du beveger deg en viss avstand fremover. Tross alt, på ulike områder veier som beveger seg fremover (langs x-aksen) med én kilometer, vil vi stige eller falle forbi forskjellige mengder meter i forhold til havnivået (langs ordinataksen).

La oss betegne fremgang (les "delta x").

Den greske bokstaven (delta) brukes ofte i matematikk som et prefiks som betyr "endring". Det vil si - dette er en endring i mengde, - en endring; så hva er det? Det stemmer, en endring i størrelsesorden.

Viktig: et uttrykk er en enkelt helhet, én variabel. Aldri skille "delta" fra "x" eller noen annen bokstav! Det er for eksempel.

Så vi har beveget oss fremover, horisontalt, ved. Hvis vi sammenligner veiens linje med grafen til funksjonen, hvordan betegner vi da stigningen? Gjerne,. Det vil si at når vi beveger oss fremover, stiger vi høyere.

Verdien er lett å beregne: hvis vi i begynnelsen var i en høyde, og etter å ha flyttet vi befant oss i en høyde, da. Hvis sluttpunkt viste seg å være lavere enn den opprinnelige, vil den være negativ - dette betyr at vi ikke stiger opp, men synker.

La oss gå tilbake til "bratthet": dette er en verdi som viser hvor mye (bratt) høyden øker når du beveger deg en avstandsenhet fremover:

La oss anta at på en del av veien, når man beveger seg en kilometer fremover, stiger veien opp med en kilometer. Da er helningen på dette stedet lik. Og hvis veien, mens den beveget seg fremover med m, sank med km? Da er helningen lik.

La oss nå se på toppen av en ås. Hvis du tar begynnelsen av strekningen en halv kilometer før toppen, og slutten en halv kilometer etter den, kan du se at høyden er nesten den samme.

Det vil si, ifølge vår logikk viser det seg at helningen her er nesten lik null, noe som tydeligvis ikke stemmer. Litt over en strekning på kilometer kan mye endre seg. Mindre områder må vurderes for mer adekvate og nøyaktig vurdering bratthet. Hvis du for eksempel måler høydeendringen når du beveger deg én meter, vil resultatet bli mye mer nøyaktig. Men selv denne nøyaktigheten er kanskje ikke nok for oss - tross alt, hvis det er en stolpe midt på veien, kan vi ganske enkelt passere den. Hvilken avstand skal vi velge da? Centimeter? Millimeter? Mindre er bedre!

I det virkelige livÅ måle avstander til nærmeste millimeter er mer enn nok. Men matematikere streber alltid etter perfeksjon. Derfor ble konseptet oppfunnet uendelig liten, det vil si at den absolutte verdien er mindre enn et hvilket som helst tall vi kan navngi. For eksempel sier du: en trilliondel! Hvor mye mindre? Og du deler dette tallet på - og det blir enda mindre. Og så videre. Hvis vi vil skrive at en mengde er uendelig, skriver vi slik: (vi leser «x har en tendens til null»). Det er veldig viktig å forstå at dette tallet ikke er null! Men veldig nærme det. Dette betyr at du kan dele på det.

Konseptet motsatt til infinitesimal er uendelig stort (). Du har sikkert allerede kommet over det da du jobbet med ulikheter: dette tallet er modulo større enn noe tall du kan tenke deg. Hvis du kommer opp med det størst mulige tallet, multipliserer du det med to og du får et enda større tall. Og fortsatt uendelig Dessuten hva som vil skje. Faktisk er det uendelig store og det uendelig små det motsatte av hverandre, det vil si at, og omvendt: at.

La oss nå gå tilbake til veien vår. Den ideelt beregnede helningen er helningen beregnet for et infinitesimalt segment av banen, det vil si:

Jeg legger merke til at med en uendelig forskyvning vil høydeendringen også være uendelig. Men la meg minne deg på at infinitesimal ikke betyr lik null. Hvis du deler infinitesimale tall med hverandre, kan du få ganske vanlig nummer, For eksempel, . Det vil si at en liten verdi kan være nøyaktig ganger større enn en annen.

Hva er alt dette for noe? Veien, brattheten... Vi skal ikke på bilrally, men vi underviser i matematikk. Og i matematikk er alt nøyaktig det samme, bare kalt annerledes.

Konseptet avledet

Den deriverte av en funksjon er forholdet mellom økningen av funksjonen og økningen av argumentet for en uendelig inkrement av argumentet.

Inkrementelt i matematikk kaller de endring. I hvilken grad argumentet () endres når det beveger seg langs aksen kalles argumentøkning og angis hvor mye funksjonen (høyden) har endret seg når man beveger seg en avstand fremover langs aksen funksjonsøkning og er utpekt.

Så den deriverte av en funksjon er forholdet til når. Vi betegner den deriverte med samme bokstav som funksjonen, bare med et primtall øverst til høyre: eller ganske enkelt. Så la oss skrive den deriverte formelen ved å bruke disse notasjonene:

Som i analogien med veien, her når funksjonen øker, er den deriverte positiv, og når den avtar, er den negativ.

Kan den deriverte være lik null? Sikkert. For eksempel, hvis vi kjører på en flat horisontal vei, er brattheten null. Og det er sant, høyden endres ikke i det hele tatt. Slik er det med den deriverte: den deriverte av en konstant funksjon (konstant) er lik null:

siden økningen av en slik funksjon er lik null for en hvilken som helst.

La oss huske eksempelet på en bakketopp. Det viste seg at det var mulig å arrangere endene av segmentet langs forskjellige sider fra toppen, slik at høyden i endene er den samme, det vil si at segmentet er parallelt med aksen:

Men store segmenter er et tegn på unøyaktig måling. Vi vil heve segmentet vårt opp parallelt med seg selv, så vil lengden minke.

Til slutt, når vi er uendelig nær toppen, vil lengden på segmentet bli uendelig liten. Men samtidig forble den parallelt med aksen, det vil si at høydeforskjellen i endene er lik null (den har ikke en tendens til, men er lik). Så den deriverte

Dette kan forstås slik: når vi står helt øverst, endrer en liten forskyvning til venstre eller høyre høyden vår ubetydelig.

Det er også en rent algebraisk forklaring: til venstre for toppunktet øker funksjonen, og til høyre avtar den. Som vi fant ut tidligere, når en funksjon øker, er den deriverte positiv, og når den avtar, er den negativ. Men den endrer seg jevnt, uten hopp (siden veien ikke endrer helningen kraftig noe sted). Derfor, mellom negativ og positive verdier det må definitivt være. Det vil være der funksjonen verken øker eller minker - ved toppunktet.

Det samme gjelder for trauet (området der funksjonen til venstre avtar og til høyre øker):

Litt mer om økninger.

Så vi endrer argumentet til størrelsesorden. Vi endrer fra hvilken verdi? Hva har det (argumentet) blitt til nå? Vi kan velge hvilket som helst punkt, og nå skal vi danse fra det.

Tenk på et punkt med en koordinat. Verdien av funksjonen i den er lik. Så gjør vi det samme trinnet: vi øker koordinaten med. Hva er argumentet nå? Meget lett: . Hva er verdien av funksjonen nå? Der argumentet går, gjør også funksjonen: . Hva med funksjonsøkning? Ikke noe nytt: Dette er fortsatt beløpet som funksjonen har endret seg med:

Øv på å finne trinn:

Finn økningen til funksjonen på et punkt når økningen av argumentet er lik.
Det samme gjelder funksjonen på et punkt.

Løsninger:

I forskjellige punkter med samme argument inkrement vil funksjonen inkrement være annerledes. Dette betyr at den deriverte på hvert punkt er forskjellig (vi diskuterte dette helt i begynnelsen - brattheten til veien er forskjellig på forskjellige punkter). Derfor, når vi skriver en derivert, må vi indikere på hvilket tidspunkt:

Power funksjon.

En potensfunksjon er en funksjon der argumentet til en viss grad er (logisk, ikke sant?).

Dessuten - i noen grad: .

Den enkleste saken- dette er når eksponenten:

La oss finne dens deriverte på et punkt. La oss huske definisjonen av et derivat:

Så argumentasjonen endres fra til. Hva er økningen av funksjonen?

Inkrement er dette. Men en funksjon til enhver tid er lik argumentet. Derfor:

Den deriverte er lik:

Den deriverte av er lik:

b) Vurder nå kvadratisk funksjon (): .

La oss nå huske det. Dette betyr at verdien av økningen kan neglisjeres, siden den er uendelig liten, og derfor ubetydelig på bakgrunn av det andre begrepet:

Så vi kom opp med en annen regel:

c) Vi fortsetter den logiske rekken: .

Dette uttrykket kan forenkles på forskjellige måter: åpne den første parentesen ved å bruke formelen for forkortet multiplikasjon av kuben av summen, eller faktoriser hele uttrykket ved å bruke formelen for forskjellen av terninger. Prøv å gjøre det selv ved å bruke en av de foreslåtte metodene.

Så jeg fikk følgende:

Og igjen la oss huske det. Dette betyr at vi kan neglisjere alle termer som inneholder:

Vi får: .

d) Lignende regler kan oppnås for store makter:

e) Det viser seg at denne regelen kan generaliseres for en potensfunksjon med en vilkårlig eksponent, ikke engang et heltall:

(2)

Regelen kan formuleres med ordene: "graden fremføres som en koeffisient, og deretter reduseres med ."

Vi vil bevise denne regelen senere (nesten helt på slutten). La oss nå se på noen få eksempler. Finn den deriverte av funksjonene:

(på to måter: ved formel og ved å bruke definisjonen av derivert - ved å beregne økningen av funksjonen);

. Tro det eller ei, dette er en kraftfunksjon. Hvis du har spørsmål som "Hvordan er dette? Hvor er graden?", husk emnet ""!
Ja, ja, roten er også en grad, bare brøk: .
Dette betyr at kvadratroten vår bare er en potens med en eksponent:
.
Vi ser etter den deriverte ved å bruke den nylig lærte formelen:
Hvis det på dette tidspunktet blir uklart igjen, gjenta emnet ""!!! (omtrent grad med negativ indikator)
. Nå eksponenten:
Og nå gjennom definisjonen (har du glemt ennå?):
;
.
Nå, som vanlig, neglisjerer vi begrepet som inneholder:
.
. Kombinasjon av tidligere saker: .

Trigonometriske funksjoner.

Her skal vi bruke ett faktum fra høyere matematikk:

Med uttrykk.

Du vil lære beviset i det første året på instituttet (og for å komme dit må du bestå Unified State Exam godt). Nå skal jeg bare vise det grafisk:

Vi ser at når funksjonen ikke eksisterer - kuttes punktet på grafen ut. Men jo nærmere verdien, desto nærmere er funksjonen. Dette er det som "måler".

I tillegg kan du sjekke denne regelen ved hjelp av en kalkulator. Ja, ja, ikke vær sjenert, ta en kalkulator, vi er ikke på Unified State Exam ennå.

Så la oss prøve: ;

Ikke glem å bytte kalkulatoren til Radians-modus!

etc. Vi ser at jo mindre, jo nærmere verdi forhold til

a) Vurder funksjonen. Som vanlig, la oss finne økningen:

La oss gjøre forskjellen på sinus til et produkt. For å gjøre dette bruker vi formelen (husk emnet ""): .

Nå den deriverte:

La oss gjøre en erstatning: . Så for infinitesimal er det også infinitesimal: . Uttrykket for har formen:

Og nå husker vi det med uttrykket. Og også, hva om en uendelig mengde kan neglisjeres i summen (det vil si at).

Så vi får neste regel:den deriverte av sinus er lik cosinus:

Dette er grunnleggende ("tabellform") derivater. Her er de i en liste:

Senere vil vi legge til noen flere til dem, men disse er de viktigste, siden de brukes oftest.

Øve på:

Finn den deriverte av funksjonen i et punkt;
Finn den deriverte av funksjonen.

Løsninger:

La oss først finne den deriverte i generelt syn, og erstatte deretter verdien:
;
.
Her har vi noe lignende strømfunksjon. La oss prøve å bringe henne til
normal visning:
.
Flott, nå kan du bruke formelen:
.
.
. Eeeeeee….. Hva er dette????

Ok, du har rett, vi vet ennå ikke hvordan vi finner slike derivater. Her har vi en kombinasjon av flere typer funksjoner. For å jobbe med dem, må du lære noen flere regler:

Eksponent og naturlig logaritme.

Det er en funksjon i matematikk hvis deriverte for en hvilken som helst verdi er lik verdien av selve funksjonen på samme tid. Det kalles "eksponent", og er en eksponentiell funksjon

Grunnlaget for denne funksjonen er en konstant - den er uendelig desimal, det vil si et irrasjonelt tall (som f.eks.). Det kalles "Euler-nummeret", som er grunnen til at det er angitt med en bokstav.

Så, regelen:

Veldig lett å huske.

Vel, la oss ikke gå langt, la oss se på det med en gang invers funksjon. Hvilken funksjon er inversen til eksponentialfunksjonen? Logaritme:

I vårt tilfelle er basen tallet:

En slik logaritme (det vil si en logaritme med en base) kalles "naturlig", og vi bruker en spesiell notasjon for den: vi skriver i stedet.

Hva er det lik? Selvfølgelig, .

Den deriverte av den naturlige logaritmen er også veldig enkel:

Eksempler:

Finn den deriverte av funksjonen.
Hva er den deriverte av funksjonen?

Svar: Utstiller og naturlig logaritme- funksjoner er unikt enkle når det gjelder derivater. Eksponentielle og logaritmiske funksjoner med en hvilken som helst annen base vil ha en annen derivert, som vi vil analysere senere, etter la oss gå gjennom reglene differensiering.

Regler for differensiering

Regler for hva? En gang til nytt begrep, en gang til?!...

Differensiering er prosessen med å finne den deriverte.

Det er alt. Hva annet kan du kalle denne prosessen med ett ord? Ikke derivert... Matematikere kaller differensialet det samme inkrementet til en funksjon ved. Dette begrepet kommer fra det latinske differentia - forskjell. Her.

Når vi utleder alle disse reglene, vil vi bruke to funksjoner, for eksempel og. Vi trenger også formler for trinnene deres:

Det er 5 regler totalt.

Konstanten tas ut av det deriverte tegnet.

Hvis - noen konstant antall(konstant), da.

Selvfølgelig fungerer denne regelen også for forskjellen: .

La oss bevise det. La det være, eller enklere.

Eksempler.

Finn de deriverte av funksjonene:

på et tidspunkt;
på et tidspunkt;
på et tidspunkt;
på punktet.

Løsninger:

(Den deriverte er den samme på alle punkter, siden dette lineær funksjon, husker du?);

Derivat av produktet

Alt er likt her: la oss introdusere en ny funksjon og finne dens økning:

Derivat:

Eksempler:

Finn de deriverte av funksjonene og;
Finn den deriverte av funksjonen i et punkt.

Løsninger:

Derivert av en eksponentiell funksjon

Nå er kunnskapen din nok til å lære hvordan du finner den deriverte av en hvilken som helst eksponentiell funksjon, og ikke bare eksponenter (har du glemt hva det er ennå?).

Så, hvor er et tall.

Vi kjenner allerede den deriverte av funksjonen, så la oss prøve å redusere funksjonen vår til en ny base:

Til dette vil vi bruke enkel regel: . Deretter:

Vel, det fungerte. Prøv nå å finne den deriverte, og ikke glem at denne funksjonen er kompleks.

Skjedd?

Her, sjekk deg selv:

Formelen viste seg å være veldig lik den deriverte av en eksponent: som den var, forblir den den samme, bare en faktor dukket opp, som bare er et tall, men ikke en variabel.

Eksempler:
Finn de deriverte av funksjonene:

Svar:

Dette er bare et tall som ikke kan beregnes uten en kalkulator, det vil si at det ikke kan skrives ned mer i enkel form. Derfor lar vi det stå i denne formen i svaret.

Derivert av en logaritmisk funksjon

Det er likt her: du kjenner allerede den deriverte av den naturlige logaritmen:

Derfor, for å finne en vilkårlig logaritme med en annen base, for eksempel:

Vi må redusere denne logaritmen til basen. Hvordan endrer du basen til en logaritme? Jeg håper du husker denne formelen:

Først nå vil vi skrive i stedet:

Nevneren er ganske enkelt en konstant (et konstant tall, uten en variabel). Deriverten oppnås veldig enkelt:

Derivater av eksponentiell og logaritmiske funksjoner vises nesten aldri i Unified State Examination, men det ville ikke skade å kjenne dem.

Derivat av en kompleks funksjon.

Hva er en "kompleks funksjon"? Nei, dette er ikke en logaritme, og ikke en arctangent. Disse funksjonene kan være vanskelige å forstå (selv om du synes logaritmen er vanskelig, les emnet "Logarithms" så går det bra), men fra et matematisk synspunkt betyr ikke ordet "kompleks" "vanskelig".

Se for deg et lite transportbånd: to personer sitter og gjør noen handlinger med noen gjenstander. For eksempel pakker den første en sjokoladeplate inn i en innpakning, og den andre binder den med et bånd. Resultatet er en sammensatt gjenstand: en sjokoladeplate pakket inn og bundet med et bånd. For å spise sjokolade, må du gjøre reversere handlinger i omvendt rekkefølge.

La oss lage en lignende matematisk rørledning: først vil vi finne cosinus til et tall, og deretter kvadrere det resulterende tallet. Så vi får et tall (sjokolade), jeg finner dens cosinus (omslag), og deretter firer du det jeg har (bind det med et bånd). Hva skjedde? Funksjon. Dette er et eksempel på en kompleks funksjon: når vi, for å finne verdien, utfører den første handlingen direkte med variabelen, og deretter en andre handling med det som ble resultatet av den første.

Vi kan enkelt gjøre de samme trinnene i omvendt rekkefølge: først kvadrerer du det, og så ser jeg etter cosinus til det resulterende tallet: . Det er lett å gjette at resultatet nesten alltid vil være annerledes. Viktig funksjon komplekse funksjoner: når rekkefølgen av handlinger endres, endres funksjonen.

Med andre ord, en kompleks funksjon er en funksjon hvis argument er en annen funksjon: .

For det første eksemplet, .

Andre eksempel: (samme). .

Handlingen vi gjør sist vil bli kalt "ekstern" funksjon, og handlingen utført først - tilsvarende "intern" funksjon(dette er uformelle navn, jeg bruker dem kun for å forklare stoffet på et enkelt språk).

Prøv selv å finne ut hvilken funksjon som er ekstern og hvilken intern:

Svar:Å skille indre og ytre funksjoner er veldig likt å endre variabler: for eksempel i en funksjon

Hvilken handling vil vi utføre først? La oss først beregne sinusen, og først deretter kube den. Dette betyr at det er en intern funksjon, men en ekstern.
Og den opprinnelige funksjonen er deres sammensetning: .
Internt: ; ekstern: .
Eksamen:.
Internt: ; ekstern: .
Eksamen:.
Internt: ; ekstern: .
Eksamen:.
Internt: ; ekstern: .
Eksamen:.

Vi endrer variabler og får en funksjon.

Vel, nå skal vi trekke ut sjokoladebaren vår og se etter derivatet. Prosedyren er alltid reversert: først ser vi etter den deriverte av den eksterne funksjonen, deretter multipliserer vi resultatet med den deriverte intern funksjon. I forhold til det originale eksemplet ser det slik ut:

Et annet eksempel:

Så la oss til slutt formulere den offisielle regelen:

Algoritme for å finne den deriverte av en kompleks funksjon:

Det virker enkelt, ikke sant?

La oss sjekke med eksempler:

Løsninger:

1) Internt: ;

Ekstern: ;

2) Internt: ;

(Bare ikke prøv å kutte det nå! Ingenting kommer ut under kosinus, husker du?)

3) Internt: ;

Ekstern: ;

Det er umiddelbart klart at dette er en kompleks funksjon på tre nivåer: tross alt er dette allerede en kompleks funksjon i seg selv, og vi trekker også ut roten fra den, det vil si at vi utfører den tredje handlingen (vi legger sjokoladen i en innpakning og med et bånd i kofferten). Men det er ingen grunn til å være redd: vi vil fortsatt "pakke ut" denne funksjonen i samme rekkefølge som vanlig: fra slutten.

Det vil si at vi først differensierer roten, deretter cosinus, og først deretter uttrykket i parentes. Og så multipliserer vi det hele.

I slike tilfeller er det praktisk å nummerere handlingene. Det vil si, la oss forestille oss hva vi vet. I hvilken rekkefølge vil vi utføre handlinger for å beregne verdien av dette uttrykket? La oss se på et eksempel:

Jo senere handlingen utføres, jo mer "ekstern" vil den tilsvarende funksjonen være. Rekkefølgen av handlinger er den samme som før:

Her er hekkingen generelt 4-nivå. La oss bestemme handlingsforløpet.

1. Radikalt uttrykk. .

2. Rot. .

3. Sinus. .

4. Firkantet. .

5. Sette det hele sammen:

DERIVAT. KORT OM DE VIKTIGSTE TINGENE

Derivert av en funksjon- forholdet mellom økningen av funksjonen og økningen av argumentet for en uendelig inkrement av argumentet:

Grunnleggende derivater:

Regler for differensiering:

Konstanten tas ut av det deriverte tegnet:

Avledet av summen:

Avledet av produktet:

Derivat av kvotienten:

Derivert av en kompleks funksjon:

Algoritme for å finne den deriverte av en kompleks funksjon:

Vi definerer den "interne" funksjonen og finner dens deriverte.
Vi definerer den "eksterne" funksjonen og finner dens deriverte.
Vi multipliserer resultatene av det første og andre punktet.

Det er gitt eksempler på beregning av deriverte ved bruk av formelen for den deriverte av en kompleks funksjon.

Her gir vi eksempler på beregning av derivater av følgende funksjoner:
; ; ; ; .

Hvis en funksjon kan representeres som en kompleks funksjon i følgende skjema:
,
da bestemmes dens deriverte av formelen:
.
I eksemplene nedenfor vil vi skrive denne formelen som følger:
.
Hvor .
Her angir de nedskrevne eller , plassert under det deriverte tegnet, variablene som differensiering utføres med.

Vanligvis, i tabeller med deriverte, er deriverte av funksjoner fra variabelen x gitt. Imidlertid er x en formell parameter. Variabelen x kan erstattes av en hvilken som helst annen variabel. Derfor, når vi differensierer en funksjon fra en variabel, endrer vi ganske enkelt, i tabellen over deriverte, variabelen x til variabelen u.

Enkle eksempler

Eksempel 1

Finn den deriverte av en kompleks funksjon
.

Løsning

La oss skrive det ned gitt funksjon i tilsvarende form:
.
I tabellen over derivater finner vi:
;
.

I henhold til formelen for den deriverte av en kompleks funksjon, har vi:
.
Her .

Svar

Eksempel 2

Finn den deriverte
.

Løsning

Vi tar konstanten 5 ut av det deriverte tegnet og fra tabellen med deriverte finner vi:
.

.
Her .

Svar

Eksempel 3

Finn den deriverte
.

Løsning

Vi tar ut en konstant -1 for tegnet til den deriverte og fra tabellen over deriverte finner vi:
;
Fra tabellen over derivater finner vi:
.

Vi bruker formelen for den deriverte av en kompleks funksjon:
.
Her .

Svar

Mer komplekse eksempler

I mer komplekse eksempler vi bruker regelen for å differensiere en kompleks funksjon flere ganger. I dette tilfellet beregner vi den deriverte fra slutten. Det vil si at vi bryter funksjonen inn i dens komponentdeler og finner de deriverte av de enkleste delene ved hjelp av tabell over derivater. Vi bruker også regler for differensiering av summer, produkter og fraksjoner. Deretter gjør vi substitusjoner og bruker formelen for den deriverte av en kompleks funksjon.

Eksempel 4

Finn den deriverte
.

Løsning

La oss fremheve det meste enkel del formel og finn dens deriverte. .

.
Her har vi brukt notasjonen
.

Vi finner den deriverte av neste del av den opprinnelige funksjonen ved å bruke de oppnådde resultatene. Vi bruker regelen for å skille summen:
.

Nok en gang bruker vi regelen om differensiering av komplekse funksjoner.

.
Her .

Svar

Eksempel 5

Finn den deriverte av funksjonen
.

Løsning

La oss velge den enkleste delen av formelen og finne dens deriverte fra tabellen over deriverte. .

Vi bruker regelen om differensiering av komplekse funksjoner.
.
Her
.