Vi har allerede lært hvordan vi løser andregradsligninger. La oss nå utvide de studerte metodene til rasjonelle ligninger.

Hva er et rasjonelt uttrykk? Vi har allerede møtt dette konseptet. Rasjonelle uttrykk er uttrykk som består av tall, variabler, deres potenser og symboler for matematiske operasjoner.

Følgelig er rasjonelle ligninger ligninger av formen: , hvor - rasjonelle uttrykk.

Tidligere vurderte vi bare de rasjonelle ligningene som kan reduseres til lineære. La oss nå se på de rasjonelle ligningene som kan reduseres til andregradsligninger.

Eksempel 1

Løs ligningen:.

Løsning:

En brøk er lik 0 hvis og bare hvis telleren er lik 0 og nevneren ikke er lik 0.

Vi får følgende system:

Den første ligningen i systemet er kvadratisk ligning. Før vi løser det, la oss dele alle koeffisientene med 3. Vi får:

Vi får to røtter: ; .

Siden 2 aldri er lik 0, må to betingelser være oppfylt: . Siden ingen av røttene til ligningen oppnådd ovenfor faller sammen med ugyldige verdier variabler som ble oppnådd ved å løse den andre ulikheten, er begge løsninger gitt ligning.

Svar:.

Så la oss formulere en algoritme for å løse rasjonelle ligninger:

1. Overfør alle vilkår til venstre side, slik at høyre side viser seg å være 0.

2. Transformer og forenkle venstre side, reduser alle brøker til fellesnevner.

3. Lik den resulterende brøken til 0 ved å bruke følgende algoritme: .

4. Skriv ned de røttene som ble oppnådd i den første ligningen og tilfredsstiller den andre ulikheten i svaret.

La oss se på et annet eksempel.

Eksempel 2

Løs ligningen: .

Løsning

Helt i begynnelsen, la oss flytte alle vilkårene til venstre side, slik at 0 forblir på høyre side.

La oss nå bringe venstre side av ligningen til en fellesnevner:

Denne ligningen tilsvarer systemet:

Den første ligningen i systemet er en andregradsligning.

Koeffisienter for denne ligningen: . Vi beregner diskriminanten:

Vi får to røtter: ; .

La oss nå løse den andre ulikheten: produktet av faktorer er ikke lik 0 hvis og bare hvis ingen av faktorene er lik 0.

To betingelser må være oppfylt: . Vi finner at av de to røttene til den første ligningen, er det bare en som passer - 3.

Svar:.

I denne leksjonen husket vi hva et rasjonelt uttrykk er, og lærte også hvordan vi løser rasjonelle ligninger, som reduserer til andregradsligninger.

I neste leksjon skal vi se på rasjonelle ligninger som modeller av virkelige situasjoner, og også se på bevegelsesproblemer.

Bibliografi

1. Bashmakov M.I. Algebra, 8. klasse. - M.: Utdanning, 2004.
2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. og andre Algebra, 8. 5. utg. - M.: Utdanning, 2010.
3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra, 8. klasse. Opplæring for utdanningsinstitusjoner. - M.: Utdanning, 2006.

1. Festival pedagogiske ideer "Offentlig leksjon" ().
2. School.xvatit.com ().
3. Rudocs.exdat.com ().

Hjemmelekser

Smirnova Anastasia Yurievna

Leksjonstype: leksjon med å lære nytt materiale.

Organisasjonsform pedagogiske aktiviteter : frontal, individuell.

Hensikten med leksjonen: å introdusere en ny type ligninger - rasjonelle brøklikninger, for å gi en ide om algoritmen for å løse rasjonelle brøklikninger.

Leksjonens mål.

Pedagogisk:

• dannelse av konseptet med en rasjonell brøkligning;
• vurdere en algoritme for å løse rasjonelle brøklikninger, inkludert betingelsen om at brøken er lik null;
• lære å løse rasjonelle brøklikninger ved hjelp av en algoritme.

Utviklingsmessig:

• skape forutsetninger for å utvikle ferdigheter i å anvende ervervet kunnskap;
• fremme utvikling kognitiv interesse studenter til faget;
• utvikle elevenes evne til å analysere, sammenligne og trekke konklusjoner;
• utvikling av ferdigheter for gjensidig kontroll og selvkontroll, oppmerksomhet, hukommelse, muntlig og skriving, selvstendighet.

Utdanning:

• fremme kognitiv interesse for emnet;
• fremme uavhengighet i beslutningstaking pedagogiske oppgaver;
• pleie vilje og utholdenhet for å oppnå endelige resultater.

Utstyr: lærebok, tavle, fargestifter.

Lærebok "Algebra 8". Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, redigert av S.A. Telyakovsky. Moskva "Opplysningstiden". 2010

På dette emnet fem timer er tildelt. Dette er den første leksjonen. Hovedsaken er å studere algoritmen for å løse rasjonelle brøklikninger og praktisere denne algoritmen i øvelser.

I løpet av timene

1. Organisatorisk øyeblikk.

Hei folkens! I dag vil jeg starte leksjonen vår med et kvad:
For å gjøre livet enklere for alle,
Hva ville bli bestemt, hva ville være mulig,
Smil, lykke til alle sammen,
Slik at det ikke er noen problemer,
Vi smilte til hverandre og skapte godt humør og startet arbeidet.

Det er skrevet ligninger på tavlen, se nøye på dem. Kan du løse alle disse ligningene? Hvilke er det ikke og hvorfor?

Ligninger der venstre og høyre side er brøkdeler rasjonelle uttrykk, kalles rasjonelle brøklikninger. Hva tror du vi skal studere i klassen i dag? Formuler temaet for leksjonen. Så åpne notatbøkene dine og skriv ned emnet for leksjonen "Løse rasjonelle brøklikninger."

2. Oppdatering av kunnskap. Frontal undersøkelse, muntlig arbeid med klasse.

Og nå vil vi gjenta det viktigste teoretiske materialet vi trenger å studere nytt emne. Vennligst svar på følgende spørsmål:

1. Hva er en ligning? ( Likhet med en variabel eller variabler.)
2. Hva heter ligning nummer 1? ( Lineær.) Løsning lineære ligninger. (Flytt alt med det ukjente til venstre side av ligningen, alle tall til høyre. Gi lignende vilkår. Finn ukjent faktor).
3. Hva heter ligning nummer 3? ( Torget.) Metoder for å løse andregradsligninger. (S om formler)
4. Hva er proporsjon? ( Likhet mellom to forhold.) Hovedegenskapen til proporsjoner. ( Hvis andelen er riktig, er produktet av de ekstreme leddene lik produktet av de midterste leddene.)
5. Hvilke egenskaper brukes når man løser ligninger? ( 1. Hvis du flytter et ledd i en likning fra en del til en annen, og endrer fortegn, vil du få en likning tilsvarende den gitte. 2. Hvis begge sider av ligningen multipliseres eller divideres med samme tall som ikke er null, får du en ligning tilsvarende den gitte.)
6. Når er en brøk lik null? ( En brøk er lik null når telleren lik null, og nevneren er ikke null.)

3. Forklaring av nytt materiale.

Løs ligning nr. 2 i notatbøkene og på tavlen.

Svar: 10.

Hvilken brøkdel rasjonell ligning Kan du prøve å løse ved å bruke den grunnleggende egenskapen proporsjon? (nr. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6

x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8

Løs ligning nr. 4 i notatbøkene og på tavlen.

Svar: 1,5.

Hvilken rasjonell brøklikning kan du prøve å løse ved å multiplisere begge sider av ligningen med nevneren? (nr. 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1›0, x 1 =3, x 2 =4.

Svar: 3;4.

Vi skal se på å løse ligninger som ligning nr. 7 i de følgende leksjonene.

Forklar hvorfor dette skjedde? Hvorfor er det tre røtter i det ene tilfellet og to i det andre? Hvilke tall er røttene til denne rasjonelle brøklikningen?

Til nå har ikke elevene møtt begrepet en fremmed rot, det er virkelig vanskelig for dem å forstå hvorfor dette skjedde. Hvis ingen i klassen kan gi en klar forklaring på denne situasjonen, stiller læreren ledende spørsmål.

• Hvordan skiller ligning nr. 2 og 4 seg fra ligning nr. 5 og 6? ( I ligning nr. 2 og 4 er det tall i nevneren, nr. 5-6 - uttrykk med variabel.)
• Hva er roten til en ligning? ( Verdien av variabelen der ligningen blir sann.)
• Hvordan finne ut om et tall er roten til en ligning? ( Gjør en sjekk.)

Ved testing legger noen elever merke til at de må dele på null. De konkluderer med at tallene 0 og 5 ikke er røttene til denne ligningen. Spørsmålet oppstår: er det en måte å løse rasjonelle brøklikninger på som lar oss eliminere denne feilen? Ja, denne metoden er basert på betingelsen om at brøken er lik null.

La oss prøve å formulere en algoritme for å løse rasjonelle brøklikninger på denne måten. Barna formulerer algoritmen selv.

Algoritme for å løse rasjonelle brøklikninger:

1. Flytt alt til venstre side.
2. Reduser brøker til en fellesnevner.
3. Lag et system: en brøk er lik null når telleren er lik null og nevneren ikke er lik null.
4. Løs ligningen.
5. Sjekk ulikhet for å utelukke fremmede røtter.
6. Skriv ned svaret.

4. Innledende forståelse av nytt materiale.

Arbeid i par. Elevene velger selv hvordan de skal løse likningen avhengig av type likning. Oppgaver fra læreboken “Algebra 8”, Yu.N. Makarychev, 2007: nr. 600(b,c); nr. 601(a,e). Læreren overvåker gjennomføringen av oppgaven, svarer på eventuelle spørsmål som dukker opp, og gir bistand til elever som ikke presterer dårlig. Selvtest: svar skrives på tavlen.

b) 2 - fremmed rot. Svar: 3.

c) 2 - fremmed rot. Svar: 1.5.

a) Svar: -12.5.

5. Sette lekser.

1. Les avsnitt 25 fra læreboken, analyser eksempel 1-3.
2. Lær en algoritme for å løse rasjonelle brøklikninger.
3. Løs i notatbøker nr. 600 (d, d); nr. 601(g,h).

6. Oppsummering av leksjonen.

Så i dag i leksjonen ble vi kjent med rasjonelle brøklikninger, lærte hvordan vi løser disse ligningene forskjellige måter. Uansett hvordan du løser rasjonelle brøklikninger, hva bør du huske på? Hva er "sluen" med rasjonelle brøklikninger?

Takk alle sammen, leksjonen er over.

Løsning rasjonelle brøklikninger

Referanseguide

Rasjonelle ligninger er ligninger der både venstre og høyre side er rasjonelle uttrykk.

(Husk: rasjonelle uttrykk er heltall og brøkuttrykk uten radikaler, som involverer addisjons-, subtraksjons-, multiplikasjons- eller divisjonsoperasjoner - for eksempel: 6x; (m – n)2; x/3y osv.)

Fraksjonelle rasjonelle ligninger reduseres vanligvis til formen:

Hvor P(x) Og Q(x) er polynomer.

For å løse slike ligninger, multipliser begge sider av ligningen med Q(x), noe som kan føre til at det dukker opp fremmede røtter. Derfor, når du løser rasjonelle brøklikninger, er det nødvendig å sjekke røttene som er funnet.

En rasjonell ligning kalles hel, eller algebraisk, hvis den ikke deler med et uttrykk som inneholder en variabel.

Eksempler på en hel rasjonell ligning:

5x – 10 = 3(10 – x)

3x
- = 2x – 10
4

Hvis det i en rasjonell ligning er en divisjon med et uttrykk som inneholder en variabel (x), kalles ligningen brøkrasjonal.

Eksempel på en rasjonell brøkligning:

15
x + - = 5x – 17
x

Fraksjonelle rasjonelle ligninger løses vanligvis på følgende måte:

1) finn fellesnevneren til brøkene og multipliser begge sider av ligningen med den;

2) løse den resulterende hele ligningen;

3) ekskluder fra røttene de som reduserer fellesnevneren til brøkene til null.

Eksempler på løsning av heltalls- og brøkrasjonelle ligninger.

Eksempel 1. La oss løse hele ligningen

x – 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6

Løsning:

Finne laveste fellesnevner. Dette er 6. Del 6 på nevneren og gang det resulterende resultatet med telleren for hver brøk. Vi får en ligning tilsvarende dette:

3(x – 1) + 4x 5x
------ = --
6 6

For på venstre og høyre side samme nevner, kan det utelates. Da får vi en enklere ligning:

3(x – 1) + 4x = 5x.

Vi løser det ved å åpne parentesene og kombinere lignende termer:

3x – 3 + 4x = 5x

3x + 4x – 5x = 3

Eksempelet er løst.

Eksempel 2. Løs en rasjonell brøkligning

x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x – 5 x x(x – 5)

Å finne en fellesnevner. Dette er x(x – 5). Så:

x 2 – 3x x – 5 x + 5
--- + --- = ---
x(x – 5) x(x – 5) x(x – 5)

Nå kvitter vi oss med nevneren igjen, siden den er lik for alle uttrykk. Vi reduserer lignende ledd, setter likhetstegn mellom ligningen til null og får en kvadratisk ligning:

x 2 – 3x + x – 5 = x + 5

x 2 – 3x + x – 5 – x – 5 = 0

x 2 – 3x – 10 = 0.

Etter å ha løst den kvadratiske ligningen finner vi røttene: –2 og 5.

La oss sjekke om disse tallene er røttene til den opprinnelige ligningen.

Ved x = –2 forsvinner ikke fellesnevneren x(x – 5). Dette betyr -2 er roten til den opprinnelige ligningen.

Ved x = 5 går fellesnevneren til null, og to av tre uttrykk blir meningsløse. Dette betyr at tallet 5 ikke er roten til den opprinnelige ligningen.

Svar: x = –2

Flere eksempler

Eksempel 1.

x 1 = 6, x 2 = - 2,2.

Svar: -2,2;6.

Eksempel 2.

Funksjoner kompleks type passer ikke alltid til definisjonen kompleks funksjon. Hvis det er en funksjon av formen y = sin x - (2 - 3) · a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11, så kan den ikke anses som kompleks, i motsetning til y = sin 2 x.

Denne artikkelen vil vise konseptet med en kompleks funksjon og dens identifikasjon. La oss jobbe med formler for å finne den deriverte med eksempler på løsninger i konklusjonen. Bruken av derivattabellen og differensieringsreglene reduserer tiden for å finne derivatet betydelig.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Grunnleggende definisjoner

Definisjon 1

En kompleks funksjon er en hvis argument også er en funksjon.

Det er betegnet på denne måten: f (g (x)). Vi har at funksjonen g (x) betraktes som et argument f (g (x)).

Definisjon 2

Hvis det er en funksjon f og det er en cotangensfunksjon, så er g(x) = ln x den naturlige logaritmefunksjonen. Vi finner at den komplekse funksjonen f (g (x)) vil bli skrevet som arctg(lnx). Eller en funksjon f, som er en funksjon hevet til 4. potens, der g (x) = x 2 + 2 x - 3 regnes som et heltall rasjonell funksjon, finner vi at f (g (x)) = (x 2 + 2 x - 3) 4 .

Tydeligvis kan g(x) være kompleks. Fra eksemplet y = sin 2 x + 1 x 3 - 5 er det klart at verdien av g er kubikkrot med en brøkdel. Dette uttrykket tillatt å bli betegnet som y = f (f 1 (f 2 (x))) . Fra der vi har at f er en sinusfunksjon, og f 1 er en funksjon som ligger under kvadratrot, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 - rasjonell brøkfunksjon.

Definisjon 3

Hekkegraden bestemmes av evt naturlig tall og skrives som y = f (f 1 (f 2 (f 3 (... (f n (x))))))).

Definisjon 4

Konseptet funksjonssammensetning refererer til antall nestede funksjoner i henhold til betingelsene for problemet. For å løse, bruk formelen for å finne den deriverte av en kompleks funksjon av formen

(f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x)

Eksempler

Eksempel 1

Finn den deriverte av en kompleks funksjon av formen y = (2 x + 1) 2.

Løsning

Betingelsen viser at f er en kvadreringsfunksjon, og g(x) = 2 x + 1 regnes som en lineær funksjon.

La oss bruke den deriverte formelen for en kompleks funksjon og skrive:

f " (g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1); g " (x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 x " + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 (2 x + 1) 2 = 8 x + 4

Det er nødvendig å finne den deriverte med en forenklet opprinnelig form av funksjonen. Vi får:

y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

Herfra har vi det

y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 (x 2) " + 4 (x) " + 0 = = 4 · 2 · x 2 - 1 + 4 · 1 · x 1 - 1 = 8 x + 4

Resultatene var de samme.

Når du skal løse problemer av denne typen, er det viktig å forstå hvor funksjonen til formen f og g (x) vil ligge.

Eksempel 2

Du bør finne de deriverte av komplekse funksjoner av formen y = sin 2 x og y = sin x 2.

Løsning

Den første funksjonsnotasjonen sier at f er kvadratingsfunksjonen og g(x) er sinusfunksjonen. Da får vi det

y " = (sin 2 x) " = 2 sin 2 - 1 x (sin x) " = 2 sin x cos x

Den andre oppføringen viser at f er en sinusfunksjon, og g(x) = x 2 angir en potensfunksjon. Det følger at vi skriver produktet av en kompleks funksjon som

y " = (sin x 2) " = cos (x 2) (x 2) " = cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)

Formelen for den deriverte y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))) vil bli skrevet som y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (.). . ( f n (x)))) · f 1 " (f 2 (f 3 (. . )) )) · . . . fn "(x)

Eksempel 3

Finn den deriverte av funksjonen y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)).

Løsning

Dette eksemplet viser vanskelighetene med å skrive og bestemme plasseringen av funksjoner. Da angir y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) hvor f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) er sinusfunksjonen, funksjonen for å heve til 3 grader, funksjon med logaritme og base e, arctangent og lineær funksjon.

Fra formelen for å definere en kompleks funksjon har vi det

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4) (x)) f 3" (f 4 (x)) f 4" (x)

Vi får det vi trenger å finne

1. f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) som den deriverte av sinus i henhold til tabellen med deriverte, deretter f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 () x)))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
2. f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) som den deriverte av en potensfunksjon, deretter f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) .
3. f 2 " (f 3 (f 4 (x))) som en logaritmisk derivert, deretter f 2 " (f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
4. f 3 " (f 4 (x)) som derivatet av arctangensen, deretter f 3 " (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
5. Når du finner den deriverte f 4 (x) = 2 x, fjern 2 fra tegnet til den deriverte ved å bruke formelen for den deriverte av en potensfunksjon med en eksponent lik 1, deretter f 4 " (x) = (2 x) " = 2 x " = 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

Vi kombinerer mellomresultatene og får det

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4) (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

Analyse av slike funksjoner minner om hekkende dukker. Differensieringsregler kan ikke alltid brukes eksplisitt ved å bruke en derivattabell. Ofte må du bruke en formel for å finne deriverte av komplekse funksjoner.

Det er noen forskjeller mellom komplekst utseende og komplekse funksjoner. Med en klar evne til å skille dette vil det være spesielt enkelt å finne derivater.

Eksempel 4

Må vurderes ved casting lignende eksempel. Hvis det er en funksjon av formen y = t g 2 x + 3 t g x + 1, kan den betraktes som en kompleks funksjon av formen g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 . Åpenbart er det nødvendig å bruke formelen for et komplekst derivat:

f " (g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " = (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " = = 2 · g 2 - 1 (x) + 3 g " (x) + 0 = 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) = = 2 g (x) + 3 = 2 t g x + 3; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 ) · 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

En funksjon av formen y = t g x 2 + 3 t g x + 1 regnes ikke som kompleks, siden den har summen av t g x 2, 3 t g x og 1. Imidlertid regnes t g x 2 som en kompleks funksjon, da får vi en potensfunksjon av formen g (x) = x 2 og f, som er en tangentfunksjon. For å gjøre dette, differensier etter beløp. Det skjønner vi

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 cos 2 x

La oss gå videre til å finne den deriverte av en kompleks funksjon (t g x 2) ":

f " (g (x)) = (t g (g (x))) " = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g " (x) = (x 2) " = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 x cos 2 (x 2)

Vi får at y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

Funksjoner av en kompleks type kan inkluderes i komplekse funksjoner, og komplekse funksjoner i seg selv kan være komponenter av funksjoner av en kompleks type.

Eksempel 5

Tenk for eksempel på en kompleks funksjon av formen y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)

Denne funksjonen kan representeres som y = f (g (x)), hvor verdien av f er en funksjon av logaritmen med base 3, og g (x) regnes som summen av to funksjoner på formen h (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 og k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) . Åpenbart er y = f (h (x) + k (x)).

Tenk på funksjonen h(x). Dette er forholdet l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 til m (x) = e x 2 + 3 3

Vi har at l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) er summen av to funksjoner n (x) = x 2 + 7 og p ( x) = 3 cos 3 (2 x + 1) , hvor p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) er en kompleks funksjon med numerisk koeffisient 3, og p 1 er en kubefunksjon, p 2 ved en cosinusfunksjon, p 3 (x) = 2 x + 1 ved en lineær funksjon.

Vi fant at m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) er summen av to funksjoner q (x) = e x 2 og r (x) = 3 3, hvor q (x) = q 1 (q 2 (x)) - kompleks funksjon, q 1 - funksjon med eksponent, q 2 (x) = x 2 - strømfunksjon.

Dette viser at h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3) (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

Når man går over til et uttrykk på formen k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) = s (x) · t (x), er det tydelig at funksjonen presenteres i form av et kompleks s ( x) = ln 2 x = s 1 ( s 2 (x)) med et rasjonelt heltall t (x) = x 2 + 1, hvor s 1 er en kvadreringsfunksjon, og s 2 (x) = ln x er logaritmisk med base e.

Det følger at uttrykket vil ha formen k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x).

Da får vi det

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

Basert på strukturene til funksjonen ble det klart hvordan og hvilke formler som må brukes for å forenkle uttrykket når man differensierer det. Til informasjon lignende oppgaver og for konseptet med å løse dem, er det nødvendig å vende seg til poenget med å differensiere en funksjon, det vil si å finne dens deriverte.

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter

Derivat av en kompleks funksjon. Eksempler på løsninger

I denne leksjonen lærer vi hvordan du finner avledet av en kompleks funksjon. Leksjonen er en logisk fortsettelse av leksjonen Hvordan finne den deriverte?, hvor vi undersøkte de enkleste derivatene, og ble også kjent med reglene for differensiering og noen tekniske metoder finne derivater. Derfor, hvis du ikke er veldig god med avledede funksjoner eller noen punkter i denne artikkelen ikke er helt klare, så les først leksjonen ovenfor. Vær så snill å kom i seriøs stemning - materialet er ikke enkelt, men jeg vil likevel prøve å presentere det enkelt og tydelig.

I praksis må du forholde deg til den deriverte av en kompleks funksjon veldig ofte, jeg vil til og med si, nesten alltid, når du får oppgaver med å finne deriverte.

Vi ser på tabellen ved regelen (nr. 5) for å differensiere en kompleks funksjon:

La oss finne ut av det. Først av alt, la oss ta hensyn til oppføringen. Her har vi to funksjoner – og , og funksjonen, billedlig talt, er nestet i funksjonen . En funksjon av denne typen (når en funksjon er nestet i en annen) kalles en kompleks funksjon.

Jeg vil kalle funksjonen ekstern funksjon, og funksjonen – intern (eller nestet) funksjon.

! Disse definisjonene er ikke teoretiske og skal ikke fremkomme i den endelige utformingen av oppgavene. jeg søker uformelle uttrykk « ekstern funksjon", "intern" funksjon kun for å gjøre det lettere for deg å forstå materialet.

For å avklare situasjonen, vurder:

Eksempel 1

Finn den deriverte av en funksjon

Under sinusen har vi ikke bare bokstaven "X", men et helt uttrykk, så det vil ikke fungere å finne den deriverte med en gang fra tabellen. Vi legger også merke til at det er umulig å bruke de fire første reglene her, det ser ut til å være en forskjell, men faktum er at sinusen ikke kan "reves i stykker":

I i dette eksemplet Det er allerede intuitivt klart fra mine forklaringer at en funksjon er en kompleks funksjon, og polynomet er en intern funksjon (embedding), og en ekstern funksjon.

Første skritt det du må gjøre når du finner den deriverte av en kompleks funksjon er å forstå hvilken funksjon som er intern og hvilken som er ekstern.

Når enkle eksempler Det virker klart at et polynom er innebygd under sinusen. Men hva om alt ikke er åpenbart? Hvordan bestemme nøyaktig hvilken funksjon som er ekstern og hvilken som er intern? For å gjøre dette foreslår jeg å bruke følgende teknikk, som kan gjøres mentalt eller i et utkast.

La oss forestille oss at vi må beregne verdien av uttrykket på en kalkulator (i stedet for en kan det være et hvilket som helst tall).

Hva skal vi beregne først? Først av alt du må utføre følgende handling: , derfor vil polynomet være en intern funksjon:

for det andre må finnes, så sinus – vil være en ekstern funksjon:

Etter vi UTSOLGT Med interne og eksterne funksjoner er det på tide å bruke regelen om differensiering av komplekse funksjoner.

La oss begynne å bestemme oss. Fra klassen Hvordan finne den deriverte? vi husker at utformingen av en løsning til en hvilken som helst derivat alltid begynner slik - vi omslutter uttrykket i parentes og setter et strøk øverst til høyre:

Først finn den deriverte av den ytre funksjonen (sinus), se på tabellen med deriverte elementære funksjoner og det merker vi. Alle tabellformler kan også brukes hvis "x" erstattes med et komplekst uttrykk, V i dette tilfellet:

Vær oppmerksom på at den indre funksjonen har ikke endret seg, vi rører den ikke.

Vel, det er ganske åpenbart det

Det endelige resultatet av å bruke formelen ser slik ut:

Konstant multiplikator vanligvis plassert i begynnelsen av uttrykket:

Hvis det er noen misforståelser, skriv ned løsningen på papir og les forklaringene på nytt.

Eksempel 2

Finn den deriverte av en funksjon

Eksempel 3

Finn den deriverte av en funksjon

Som alltid skriver vi ned:

La oss finne ut hvor vi har en ekstern funksjon og hvor vi har en intern. For å gjøre dette prøver vi (mentalt eller i et utkast) å beregne verdien av uttrykket ved . Hva bør du gjøre først? Først av alt må du beregne hva basen er lik: derfor er polynomet den interne funksjonen:

Og først da utføres eksponentieringen, derfor er potensfunksjonen en ekstern funksjon:

I henhold til formelen må du først finne den deriverte av den eksterne funksjonen, i dette tilfellet graden. Leter etter i tabellen den nødvendige formelen: . Vi gjentar igjen: noen tabellformel gyldig ikke bare for "x", men også for komplekse uttrykk. Dermed er resultatet av å bruke regelen for å differensiere en kompleks funksjon som følger:

Jeg understreker igjen at når vi tar den deriverte av den eksterne funksjonen, endres ikke vår interne funksjon:

Nå gjenstår det bare å finne en veldig enkel avledning av den interne funksjonen og justere resultatet litt:

Eksempel 4

Finn den deriverte av en funksjon

Dette er et eksempel for uavhengig avgjørelse(svar på slutten av timen).

For å konsolidere din forståelse av den deriverte av en kompleks funksjon, vil jeg gi et eksempel uten kommentarer, prøve å finne ut av det på egen hånd, begrunne hvor den eksterne og hvor den interne funksjonen er, hvorfor oppgavene løses på denne måten?

Eksempel 5

a) Finn den deriverte av funksjonen

b) Finn den deriverte av funksjonen

Eksempel 6

Finn den deriverte av en funksjon

Her har vi en rot, og for å skille roten må den representeres som en kraft. Derfor bringer vi først funksjonen til den formen som passer for differensiering:

Ved å analysere funksjonen kommer vi til at summen av de tre leddene er en intern funksjon, og å heve til en potens er en ekstern funksjon. Vi bruker regelen om differensiering av komplekse funksjoner:

Vi representerer igjen graden som en radikal (rot), og for den deriverte av den interne funksjonen bruker vi en enkel regel for å differensiere summen:

Klar. Du kan også redusere uttrykket til en fellesnevner i parentes og skrive alt ned som én brøk. Det er selvfølgelig vakkert, men når du får tungvinte lange derivater, er det bedre å ikke gjøre dette (det er lett å bli forvirret, gjøre en unødvendig feil, og det vil være upraktisk for læreren å sjekke).

Eksempel 7

Finn den deriverte av en funksjon

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd (svar på slutten av leksjonen).

Det er interessant å merke seg at noen ganger i stedet for regelen for å differensiere en kompleks funksjon, kan du bruke regelen for å differensiere en kvotient , men en slik løsning vil se ut som en morsom perversjon. Her er et typisk eksempel:

Eksempel 8

Finn den deriverte av en funksjon

Her kan du bruke regelen om differensiering av kvotienten , men det er mye mer lønnsomt å finne den deriverte gjennom regelen for differensiering av en kompleks funksjon:

Vi forbereder funksjonen for differensiering - vi flytter minus ut av det deriverte tegnet, og hever cosinus til telleren:

Cosinus er en intern funksjon, eksponentiering er en ekstern funksjon.
La oss bruke vår regel:

Vi finner den deriverte av den interne funksjonen og tilbakestiller cosinus:

Klar. I det betraktede eksemplet er det viktig å ikke bli forvirret i skiltene. Forresten, prøv å løse det ved å bruke regelen , må svarene samsvare.

Eksempel 9

Finn den deriverte av en funksjon

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd (svar på slutten av leksjonen).

Så langt har vi sett på tilfeller der vi kun hadde én hekking i en kompleks funksjon. I praktiske oppgaver kan du ofte finne derivater, der, som hekkende dukker, den ene inne i den andre, 3 eller til og med 4-5 funksjoner er nestet på en gang.

Eksempel 10

Finn den deriverte av en funksjon

La oss forstå vedleggene til denne funksjonen. La oss prøve å beregne uttrykket ved å bruke den eksperimentelle verdien. Hvordan vil vi regne med en kalkulator?

Først må du finne , som betyr at arcsine er den dypeste innebyggingen:

Denne arcsinen til en skal da kvadratisk:

Og til slutt hever vi syv til en makt:

Det vil si at i dette eksemplet har vi tre ulike funksjoner og to embeddings, der den innerste funksjonen er arcsine og den ytterste funksjonen er den eksponentielle funksjonen.

La oss begynne å bestemme oss

I henhold til regelen må du først ta den deriverte av den eksterne funksjonen. Vi ser på tabellen over deriverte og finner den deriverte eksponentiell funksjon: Den eneste forskjellen er at vi har i stedet for "X". komplekst uttrykk, som ikke opphever gyldigheten av denne formelen. Så resultatet av å bruke regelen for å differensiere en kompleks funksjon er som følger:

Under slaget har vi igjen en kompleks funksjon! Men det er allerede enklere. Det er lett å verifisere at den indre funksjonen er arcsine, den ytre funksjonen er graden. I henhold til regelen for å differensiere en kompleks funksjon, må du først ta den deriverte av potensen.