Berhubung dengan
tugas mencari mana-mana tiga nombor daripada dua nombor lain yang diberi boleh ditetapkan. Jika a dan kemudian N diberi, ia didapati dengan eksponen. Jika N dan kemudian a diberikan dengan mengambil punca darjah x (atau menaikkannya kepada kuasa). Sekarang pertimbangkan kes apabila, diberi a dan N, kita perlu mencari x.
Biarkan nombor N positif: nombor a positif dan tidak sama dengan satu: .
Definisi. Logaritma nombor N ke pangkalan a ialah eksponen yang a mesti dinaikkan untuk mendapatkan nombor N; logaritma dilambangkan dengan
Oleh itu, dalam kesamaan (26.1) eksponen didapati sebagai logaritma N kepada asas a. Catatan
mempunyai sama maksud. Kesamaan (26.1) kadangkala dipanggil identiti utama teori logaritma; sebenarnya ia menyatakan definisi konsep logaritma. Oleh takrifan ini Asas logaritma a sentiasa positif dan berbeza daripada kesatuan; nombor logaritma N adalah positif. Nombor negatif dan sifar tidak mempunyai logaritma. Ia boleh dibuktikan bahawa mana-mana nombor dengan asas tertentu mempunyai logaritma yang jelas. Oleh itu kesaksamaan memerlukan . Perhatikan bahawa syarat penting di sini adalah sebaliknya kesimpulan tidak akan dibenarkan, kerana kesamaan adalah benar untuk sebarang nilai x dan y.
Contoh 1. Cari
Penyelesaian. Untuk mendapatkan nombor, anda mesti menaikkan asas 2 kepada kuasa Oleh itu.
Anda boleh membuat nota apabila menyelesaikan contoh sedemikian dalam bentuk berikut:
Contoh 2. Cari .
Penyelesaian. Kami ada
Dalam contoh 1 dan 2, kita dengan mudah mencari logaritma yang dikehendaki dengan mewakili nombor logaritma sebagai kuasa asas dengan penunjuk rasional. DALAM kes am, sebagai contoh, untuk dsb., ini tidak boleh dilakukan, kerana logaritma mempunyai makna yang tidak rasional. Mari kita perhatikan satu isu yang berkaitan dengan kenyataan ini. Dalam perenggan 12 kami memberikan konsep kemungkinan untuk menentukan mana-mana ijazah sebenar diberi nombor positif. Ini adalah perlu untuk pengenalan logaritma, yang, secara amnya, boleh menjadi nombor tidak rasional.
Mari kita lihat beberapa sifat logaritma.
Sifat 1. Jika nombor dan asas adalah sama, maka logaritma sama dengan satu, dan, sebaliknya, jika logaritma adalah sama dengan satu, maka nombor dan asas adalah sama.
Bukti. Biar Dengan takrifan logaritma yang kita ada dan dari mana
Sebaliknya, biarkan Kemudian mengikut definisi
Sifat 2. Logaritma satu kepada sebarang tapak adalah sama dengan sifar.
Bukti. Mengikut takrifan logaritma ( darjah sifar sebarang asas positif adalah sama dengan satu, lihat (10.1)). Dari sini
Q.E.D.
Pernyataan sebaliknya juga benar: jika , maka N = 1. Sesungguhnya, kita mempunyai .
Sebelum merumuskan sifat logaritma seterusnya, marilah kita bersetuju untuk mengatakan bahawa dua nombor a dan b terletak pada sisi yang sama bagi nombor ketiga c jika kedua-duanya lebih besar daripada c atau kurang daripada c. Jika satu daripada nombor ini lebih besar daripada c, dan satu lagi kurang daripada c, maka kita akan mengatakan bahawa mereka terletak di sepanjang sisi yang berbeza dari kampung
Harta 3. Jika nombor dan tapak terletak pada sisi yang sama dari satu, maka logaritmanya adalah positif; Jika nombor dan tapak terletak pada sisi bertentangan satu, maka logaritmanya adalah negatif.
Bukti harta 3 adalah berdasarkan fakta bahawa kuasa a adalah lebih besar daripada satu jika asas lebih besar daripada satu dan eksponen positif atau asas kurang daripada satu dan eksponen negatif. Kuasa adalah kurang daripada satu jika asas lebih besar daripada satu dan eksponen negatif atau asas kurang daripada satu dan eksponen positif.
Terdapat empat kes untuk dipertimbangkan:
Kami akan mengehadkan diri kami untuk menganalisis yang pertama daripada mereka;
Biarkan dalam kesamaan eksponen tidak boleh negatif mahupun sama dengan sifar, oleh itu, ia adalah positif, iaitu, seperti yang diperlukan untuk dibuktikan.
Contoh 3. Ketahui yang manakah logaritma di bawah adalah positif dan yang mana negatif:
Penyelesaian, a) kerana nombor 15 dan asas 12 terletak pada sisi yang sama dari satu;
b) memandangkan 1000 dan 2 terletak pada satu sisi unit; dalam kes ini, tidak penting bahawa asas lebih besar daripada nombor logaritma;
c) kerana 3.1 dan 0.8 terletak pada sisi yang bertentangan perpaduan;
G); kenapa?
d); kenapa?
Sifat berikut 4-6 sering dipanggil peraturan logaritma: mereka membenarkan, mengetahui logaritma beberapa nombor, untuk mencari logaritma hasil darab, hasil bagi, dan kuasa setiap satu daripadanya.
Sifat 4 (peraturan logaritma produk). Logaritma hasil darab beberapa nombor positif oleh asas ini sama dengan jumlah logaritma nombor ini kepada asas yang sama.
Bukti. Biarkan nombor yang diberi adalah positif.
Untuk logaritma produk mereka, kami menulis kesamaan (26.1) yang mentakrifkan logaritma:
Dari sini kita akan dapati
Membandingkan pangkat pertama dan ungkapan terakhir, kami memperoleh kesaksamaan yang diperlukan:
Perhatikan bahawa syarat itu penting; logaritma hasil darab dua nombor negatif masuk akal, tetapi dalam kes ini kita dapat
Secara umum, jika hasil darab beberapa faktor adalah positif, maka logaritmanya adalah sama dengan jumlah logaritma nilai mutlak faktor-faktor ini.
Sifat 5 (peraturan untuk mengambil logaritma hasil bagi). Logaritma hasil bagi nombor positif adalah sama dengan perbezaan antara logaritma dividen dan pembahagi, dibawa ke pangkalan yang sama. Bukti. Kami secara konsisten mencari
Q.E.D.
Harta 6 (peraturan logaritma kuasa). Logaritma kuasa beberapa nombor positif sama dengan logaritma nombor ini didarab dengan eksponen.
Bukti. Mari kita tulis semula identiti utama (26.1) untuk nombor:
Q.E.D.
Akibat. Logaritma punca nombor positif adalah sama dengan logaritma radikal dibahagikan dengan eksponen punca:
Kesahihan akibat ini boleh dibuktikan dengan membayangkan bagaimana dan menggunakan harta 6.
Contoh 4. Ambil logaritma kepada asas a:
a) (diandaikan bahawa semua nilai b, c, d, e adalah positif);
b) (diandaikan bahawa ).
Penyelesaian, a) Adalah mudah untuk pergi ke kuasa pecahan dalam ungkapan ini:
Berdasarkan kesamaan (26.5)-(26.7), kita kini boleh menulis:
Kami perhatikan bahawa operasi yang lebih mudah dilakukan pada logaritma nombor daripada pada nombor itu sendiri: apabila mendarab nombor, logaritma mereka ditambah, apabila membahagi, mereka ditolak, dsb.
Itulah sebabnya logaritma digunakan dalam amalan pengkomputeran (lihat perenggan 29).
Tindakan songsang logaritma dipanggil potentiation, iaitu: potentiation ialah tindakan di mana nombor itu sendiri ditemui daripada logaritma tertentu nombor. Pada asasnya, potentiasi bukanlah sebarang tindakan khas: ia datang untuk meningkatkan asas kepada kuasa ( sama dengan logaritma nombor). Istilah "potentiation" boleh dianggap sinonim dengan istilah "exponentiation".
Apabila mempotensikan, anda mesti menggunakan peraturan songsang kepada peraturan logaritma: gantikan jumlah logaritma dengan logaritma hasil darab, perbezaan logaritma dengan logaritma hasil bagi, dsb. Khususnya, jika terdapat faktor di hadapan daripada tanda logaritma, maka semasa potensiasi ia mesti dipindahkan ke darjah eksponen di bawah tanda logaritma.
Contoh 5. Cari N jika diketahui bahawa
Penyelesaian. Berhubung dengan peraturan potensiasi yang dinyatakan, kami akan memindahkan faktor 2/3 dan 1/3 yang berdiri di hadapan tanda logaritma di sebelah kanan kesamaan ini kepada eksponen di bawah tanda logaritma ini; kita mendapatkan
Sekarang kita gantikan perbezaan logaritma dengan logaritma hasil bagi:
untuk mendapatkan pecahan terakhir dalam rantaian kesamaan ini, kami membebaskan pecahan sebelumnya daripada ketidakrasionalan dalam penyebut (fasal 25).
Harta 7. Jika tapak lebih besar daripada satu, maka bilangan yang lebih besar mempunyai logaritma yang lebih besar (dan nombor yang lebih kecil mempunyai yang lebih kecil), jika asasnya kurang daripada satu, maka nombor yang lebih besar mempunyai logaritma yang lebih kecil (dan nombor yang lebih kecil mempunyai yang lebih besar).
Sifat ini juga dirumuskan sebagai peraturan untuk mengambil logaritma ketaksamaan, kedua-dua belahnya adalah positif:
Apabila mengambil logaritma ketaksamaan ke pangkalan, lebih besar daripada satu, tanda ketaksamaan dikekalkan, dan apabila mengambil logaritma kepada asas kurang daripada satu, tanda ketaksamaan berubah kepada sebaliknya (lihat juga perenggan 80).
Buktinya adalah berdasarkan sifat 5 dan 3. Pertimbangkan kes apabila Jika , maka dan, dengan mengambil logaritma, kita memperoleh
(a dan N/M terletak pada sisi perpaduan yang sama). Dari sini
Kes a berikut, pembaca akan memikirkannya sendiri.
Mengikuti dari definisinya. Dan jadi logaritma nombor itu b berdasarkan A ditakrifkan sebagai eksponen yang mana nombor mesti dinaikkan a untuk mendapatkan nombor b(logaritma hanya wujud untuk nombor positif).
Daripada rumusan ini berikutan bahawa pengiraan x=log a b, adalah bersamaan dengan menyelesaikan persamaan a x =b. Sebagai contoh, log 2 8 = 3 kerana 8 = 2 3 . Perumusan logaritma memungkinkan untuk mewajarkan bahawa jika b=a c, kemudian logaritma nombor itu b berdasarkan a sama Dengan. Jelas juga bahawa topik logaritma berkait rapat dengan topik tersebut kuasa sesuatu nombor.
Dengan logaritma, seperti mana-mana nombor, anda boleh lakukan operasi tambah, penolakan dan berubah dalam setiap cara yang mungkin. Tetapi disebabkan fakta bahawa logaritma bukan nombor biasa sepenuhnya, peraturan khas mereka sendiri terpakai di sini, yang dipanggil sifat utama.
Menambah dan menolak logaritma.
Mari kita ambil dua logaritma dengan atas alasan yang sama: log a x Dan log a y. Kemudian adalah mungkin untuk melakukan operasi tambah dan tolak:
log a x+ log a y= log a (x·y);
log a x - log a y = log a (x:y).
log a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = log a x 1 + log a x 2 + log a x 3 + ... + log a x k.
daripada teorem hasil bagi logaritma Satu lagi sifat logaritma boleh diperolehi. Umum mengetahui bahawa log a 1= 0, oleh itu
log a 1 /b=log a 1 - log a b= -log a b.
Ini bermakna terdapat persamaan:
log a 1 / b = - log a b.
Logaritma dua nombor salingan atas sebab yang sama akan berbeza antara satu sama lain semata-mata oleh tanda. Jadi:
Log 3 9= - log 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.
Apakah logaritma?
Perhatian!
Ada tambahan
bahan dalam Seksyen Khas 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak sangat..."
Dan bagi mereka yang “sangat…”)
Apakah logaritma? Bagaimana untuk menyelesaikan logaritma? Soalan-soalan ini mengelirukan ramai graduan. Secara tradisinya, topik logaritma dianggap kompleks, tidak dapat difahami dan menakutkan. Terutamanya persamaan dengan logaritma.
Ini sama sekali tidak benar. Sudah tentu! Tidak percaya saya? baiklah. Kini, hanya dalam 10 - 20 minit anda:
1. Faham apa itu logaritma.
2. Belajar menyelesaikan keseluruhan kelas persamaan eksponen. Walaupun anda tidak pernah mendengar apa-apa tentang mereka.
3. Belajar mengira logaritma mudah.
Selain itu, untuk ini anda hanya perlu mengetahui jadual pendaraban dan cara menaikkan nombor kepada kuasa...
Saya rasa awak ada keraguan... Baik, okey, tandakan masanya! Pergi!
Pertama, selesaikan persamaan ini di kepala anda:
Jika anda suka laman web ini...
By the way, saya ada beberapa lagi tapak yang menarik untuk anda.)
Anda boleh berlatih menyelesaikan contoh dan mengetahui tahap anda. Menguji dengan pengesahan segera. Mari belajar - dengan minat!)
Anda boleh berkenalan dengan fungsi dan derivatif.
Arahan
Tuliskan yang diberikan ungkapan logaritma. Jika ungkapan menggunakan logaritma 10, maka tatatandanya dipendekkan dan kelihatan seperti ini: lg b ialah logaritma perpuluhan. Jika logaritma mempunyai nombor e sebagai asasnya, maka tulis ungkapan: ln b – logaritma semula jadi. Difahamkan bahawa hasil mana-mana adalah kuasa di mana nombor asas mesti dinaikkan untuk mendapatkan nombor b.
Apabila mencari jumlah dua fungsi, anda hanya perlu membezakannya satu demi satu dan menambah keputusan: (u+v)" = u"+v";
Apabila mencari terbitan hasil darab dua fungsi, adalah perlu untuk mendarabkan terbitan bagi fungsi pertama dengan kedua dan menambah terbitan bagi fungsi kedua didarab dengan fungsi pertama: (u*v)" = u"*v +v"*u;
Untuk mencari terbitan hasil bagi dua fungsi, adalah perlu untuk menolak daripada hasil darab terbitan dividen yang didarab dengan fungsi pembahagi hasil darab terbitan pembahagi didarab dengan fungsi dividen, dan membahagikan. semua ini dengan fungsi pembahagi kuasa dua. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;
Jika diberi fungsi kompleks, maka adalah perlu untuk mendarab terbitan bagi fungsi dalaman dan terbitan dari luar. Biarkan y=u(v(x)), kemudian y"(x)=y"(u)*v"(x).
Menggunakan keputusan yang diperoleh di atas, anda boleh membezakan hampir semua fungsi. Jadi mari kita lihat beberapa contoh:
y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;
y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Terdapat juga masalah yang melibatkan pengiraan derivatif pada satu titik. Biarkan fungsi y=e^(x^2+6x+5) diberikan, anda perlu mencari nilai fungsi pada titik x=1.
1) Cari terbitan bagi fungsi: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).
2) Kira nilai fungsi dalam titik yang diberikan y"(1)=8*e^0=8
Video mengenai topik
Ketahui jadual terbitan asas. Ini akan menjimatkan masa dengan ketara.
Sumber:
- terbitan pemalar
Jadi, apa bezanya? ir persamaan rasional dari rasional? Jika pembolehubah yang tidak diketahui berada di bawah tanda punca kuasa dua, maka persamaan itu dianggap tidak rasional.
Arahan
Kaedah utama untuk menyelesaikan persamaan tersebut ialah kaedah membina kedua-dua belah persamaan ke dalam segi empat sama. Namun begitu. ini adalah semula jadi, perkara pertama yang anda perlu lakukan ialah menyingkirkan tanda itu. Kaedah ini tidak sukar secara teknikal, tetapi kadangkala ia boleh membawa kepada masalah. Sebagai contoh, persamaan ialah v(2x-5)=v(4x-7). Dengan mengkuadratkan kedua-dua belah anda mendapat 2x-5=4x-7. Menyelesaikan persamaan sedemikian tidak sukar; x=1. Tetapi nombor 1 tidak akan diberikan persamaan. kenapa? Gantikan satu ke dalam persamaan dan bukannya nilai x Dan bahagian kanan dan kiri akan mengandungi ungkapan yang tidak masuk akal, iaitu. Nilai ini tidak sah untuk punca kuasa dua. Oleh itu 1 ialah akar luar, dan oleh itu persamaan yang diberikan tidak mempunyai akar.
Jadi, persamaan tidak rasional diselesaikan menggunakan kaedah mengkuadratkan kedua-dua belahnya. Dan setelah menyelesaikan persamaan, adalah perlu untuk memotong akar luar. Untuk melakukan ini, gantikan punca yang ditemui ke dalam persamaan asal.
Pertimbangkan satu lagi.
2х+vх-3=0
Sudah tentu, persamaan ini boleh diselesaikan menggunakan persamaan yang sama seperti yang sebelumnya. Gerakkan Sebatian persamaan, yang tidak mempunyai punca kuasa dua, ke sebelah kanan dan kemudian gunakan kaedah kuasa dua. selesaikan persamaan dan punca rasional yang terhasil. Tetapi juga satu lagi, lebih elegan. Masukkan pembolehubah baharu; vх=y. Sehubungan itu, anda akan menerima persamaan bentuk 2y2+y-3=0. Iaitu, yang biasa persamaan kuadratik. Cari akarnya; y1=1 dan y2=-3/2. Seterusnya, selesaikan dua persamaan vх=1; vх=-3/2. Persamaan kedua tidak mempunyai punca; dari yang pertama kita dapati bahawa x=1. Jangan lupa periksa akarnya.
Menyelesaikan identiti agak mudah. Untuk melakukan ini anda perlu lakukan transformasi identiti sehingga matlamat tercapai. Oleh itu, dengan bantuan yang paling mudah operasi aritmetik tugas di tangan akan diselesaikan.
Anda perlu
- - kertas;
- - pen.
Arahan
Penjelmaan yang paling mudah ialah pendaraban singkatan algebra (seperti kuasa dua jumlah (perbezaan), perbezaan kuasa dua, jumlah (perbezaan), kubus hasil tambah (perbezaan)). Di samping itu, terdapat banyak rumus trigonometri, yang pada asasnya adalah identiti yang sama.
Sesungguhnya kuasa dua hasil tambah dua sebutan sama dengan segi empat sama tambah pertama dua kali ganda hasil darab yang pertama dengan yang kedua dan tambah kuasa dua kedua, iaitu (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab +b^2.
Permudahkan kedua-duanya
Prinsip umum penyelesaian
Ulang mengikut buku teks analisis matematik atau matematik yang lebih tinggi, yang merupakan kamiran pasti. Seperti yang diketahui, penyelesaiannya kamiran pasti terdapat fungsi yang terbitannya memberikan kamiran. Fungsi ini dipanggil antiderivatif. Oleh prinsip ini dan membina kamiran utama.Tentukan dengan bentuk kamiran dan kamiran jadual yang manakah sesuai dalam kes ini. Ia tidak selalu mungkin untuk menentukan ini dengan segera. Selalunya, bentuk jadual menjadi ketara hanya selepas beberapa transformasi untuk memudahkan integrand.
Kaedah Penggantian Pembolehubah
Jika fungsi integrand ialah fungsi trigonometri, yang hujahnya mengandungi beberapa polinomial, kemudian cuba gunakan kaedah penggantian pembolehubah. Untuk melakukan ini, gantikan polinomial dalam hujah integrand dengan beberapa pembolehubah baharu. Berdasarkan hubungan antara pembolehubah baharu dan lama, tentukan had pengamiran baharu. Pembezaan ungkapan yang diberikan cari pembezaan baharu dalam . Jadi anda akan dapat jenis baru daripada kamiran sebelumnya, hampir atau sepadan dengan mana-mana satu jadual.Menyelesaikan kamiran jenis kedua
Jika kamiran ialah kamiran jenis kedua, bentuk vektor kamiran, maka anda perlu menggunakan peraturan untuk peralihan daripada kamiran ini kepada kamiran berskala. Satu peraturan sedemikian ialah hubungan Ostrogradsky-Gauss. undang-undang ini membolehkan anda beralih daripada fluks pemutar beberapa fungsi vektor kepada kamiran tiga kali ganda atas perbezaan medan vektor tertentu.Penggantian had integrasi
Selepas mencari antiterbitan, adalah perlu untuk menggantikan had penyepaduan. Pertama, gantikan nilai had atas ke dalam ungkapan untuk antiterbitan. Anda akan mendapat beberapa nombor. Seterusnya, tolak daripada nombor yang terhasil nombor lain yang diperoleh daripada had bawah ke dalam antiterbitan. Jika salah satu had integrasi ialah infiniti, maka apabila menggantikannya menjadi fungsi antiderivatif adalah perlu untuk pergi ke had dan mencari apa yang diperjuangkan oleh ungkapan itu.Jika kamiran adalah dua dimensi atau tiga dimensi, maka anda perlu mewakili had kamiran secara geometri untuk memahami cara menilai kamiran. Malah, dalam kes, katakan, kamiran tiga dimensi, had penyepaduan boleh menjadi keseluruhan satah yang mengehadkan isipadu yang disepadukan.