Hubungan antara fungsi trigonometri asas - sinus, kosinus, tangen dan kotangen - diberikan rumus trigonometri. Dan kerana terdapat banyak hubungan antara fungsi trigonometri, ini menerangkan banyaknya formula trigonometri. Beberapa formula bersambung fungsi trigonometri sudut yang sama, yang lain ialah fungsi berbilang sudut, yang lain membenarkan anda mengurangkan darjah, dan yang lain membenarkan anda menyatakan semua fungsi dari segi tangen separuh sudut, dsb.
Dalam artikel ini kami akan menyenaraikan dalam susunan semua yang utama rumus trigonometri, yang mencukupi untuk menyelesaikan sebahagian besar masalah trigonometri. Untuk kemudahan hafalan dan penggunaan, kami akan mengumpulkannya mengikut tujuan dan memasukkannya ke dalam jadual.
Navigasi halaman.
Identiti asas trigonometri
asas identiti trigonometri mentakrifkan hubungan antara sinus, kosinus, tangen dan kotangen bagi satu sudut. Mereka mengikuti dari definisi sinus, kosinus, tangen dan kotangen, serta konsep bulatan unit. Mereka membenarkan anda untuk menyatakan satu fungsi trigonometri dari segi yang lain.
Untuk penerangan terperinci tentang formula trigonometri ini, terbitan dan contoh penggunaannya, lihat artikel.
Formula pengurangan
Formula pengurangan ikut daripada sifat sinus, kosinus, tangen dan kotangen, iaitu, ia mencerminkan sifat berkala fungsi trigonometri, sifat simetri, serta sifat anjakan mengikut sudut yang diberi. Formula trigonometri ini membolehkan anda beralih daripada bekerja dengan sudut sewenang-wenang kepada bekerja dengan sudut antara sifar hingga 90 darjah.
Rasional untuk formula ini ialah peraturan mnemonik untuk mengingati mereka dan contoh penggunaannya boleh dipelajari dalam artikel.
Formula tambahan
Formula penambahan trigonometri tunjukkan bagaimana fungsi trigonometri hasil tambah atau beza dua sudut dinyatakan dalam sebutan fungsi trigonometri bagi sudut tersebut. Rumus ini berfungsi sebagai asas untuk mendapatkan formula trigonometri berikut.
Formula untuk double, triple, dsb. sudut
Formula untuk double, triple, dsb. sudut (ia juga dipanggil formula berbilang sudut) menunjukkan bagaimana fungsi trigonometri bagi dua, tiga, dsb. sudut () dinyatakan dalam sebutan fungsi trigonometri bagi satu sudut. Derivasi mereka adalah berdasarkan formula penambahan.
Maklumat yang lebih terperinci dikumpulkan dalam formula artikel untuk double, triple, dsb. sudut
Formula separuh sudut
Formula separuh sudut tunjukkan bagaimana fungsi trigonometri bagi separuh sudut dinyatakan dalam sebutan kosinus bagi sudut keseluruhan. Rumus trigonometri ini mengikuti dari rumus sudut berganda.
Kesimpulan dan contoh aplikasi mereka boleh didapati dalam artikel.
Formula pengurangan darjah
Formula trigonometri untuk mengurangkan darjah bertujuan untuk memudahkan peralihan daripada darjah semula jadi fungsi trigonometri kepada sinus dan kosinus hingga darjah pertama, tetapi berbilang sudut. Dalam erti kata lain, ia membolehkan anda mengurangkan kuasa fungsi trigonometri kepada yang pertama.
Formula untuk jumlah dan perbezaan fungsi trigonometri
Tujuan utama formula untuk jumlah dan perbezaan fungsi trigonometri adalah untuk pergi ke produk fungsi, yang sangat berguna apabila memudahkan ungkapan trigonometri. Formula ini juga digunakan secara meluas dalam penyelesaian persamaan trigonometri, kerana ia membenarkan anda memfaktorkan jumlah dan perbezaan sinus dan kosinus.
Formula untuk hasil darab sinus, kosinus dan sinus dengan kosinus
Peralihan daripada hasil darab fungsi trigonometri kepada jumlah atau perbezaan dijalankan menggunakan formula hasil darab sinus, kosinus dan sinus dengan kosinus.
Hak cipta oleh pelajar pandai
Semua hak terpelihara.
Dilindungi oleh undang-undang hak cipta. Tiada bahagian dari www.site, termasuk bahan dalaman dan penampilan, boleh diterbitkan semula dalam apa jua bentuk atau digunakan tanpa kebenaran bertulis terlebih dahulu daripada pemegang hak cipta.
Jika kita membina bulatan unit dengan pusat di tempat asal, dan set nilai sewenang-wenangnya hujah x 0 dan kira dari paksi lembu sudut x 0, maka sudut ini pada bulatan unit sepadan dengan titik tertentu A(Gamb. 1) dan unjurannya ke paksi Oh akan ada satu titik M. Panjang bahagian OM sama dengan nilai mutlak titik absis A. Nilai hujah yang diberi x 0 nilai fungsi dipetakan y=kos x 0 seperti titik absis A. Sehubungan itu, titik DALAM(x 0 ;di 0) tergolong dalam graf fungsi di=kos X(Gamb. 2). Jika titik A berada di sebelah kanan paksi Oh, Sinus semasa akan menjadi positif, tetapi jika ke kiri ia akan menjadi negatif. Tetapi bagaimanapun, tempoh A tidak boleh meninggalkan bulatan. Oleh itu, kosinus terletak dalam julat dari -1 hingga 1:
–1 = cos x = 1.
Putaran tambahan pada sebarang sudut, gandaan 2 hlm, titik pulangan A ke tempat yang sama. Oleh itu fungsi y = cos xhlm:
cos( x+ 2hlm) = cos x.
Jika kita mengambil dua nilai hujah, sama dalam nilai mutlak, tetapi bertentangan dalam tanda, x Dan - x, cari titik yang sepadan pada bulatan itu A x Dan A -x. Seperti yang dapat dilihat dalam Rajah. 3 unjuran mereka ke paksi Oh adalah titik yang sama M. sebab tu
cos(– x) = cos ( x),
mereka. kosinus – malah berfungsi, f(–x) = f(x).
Ini bermakna kita boleh meneroka sifat-sifat fungsi tersebut y=kos X pada segmen , dan kemudian mengambil kira pariti dan berkalanya.
Pada X= 0 mata A terletak pada paksi Oh, absisnya ialah 1, dan oleh itu cos 0 = 1. Dengan peningkatan X titik A bergerak mengelilingi bulatan ke atas dan ke kiri, unjurannya, secara semula jadi, hanya ke kiri, dan pada x = hlm/2 kosinus menjadi sama dengan 0. Titik A pada masa ini meningkat kepada ketinggian maksimum, dan kemudian terus bergerak ke kiri, tetapi sudah menurun. Abscissanya terus berkurangan sehingga mencapai nilai terendah, sama dengan –1 pada X= hlm. Oleh itu, pada selang fungsi di=kos X menurun secara monoton daripada 1 kepada –1 (Rajah 4, 5).
Daripada pariti kosinus ia mengikuti bahawa pada selang [– hlm, 0] fungsi meningkat secara monoton daripada –1 kepada 1, mengambil nilai sifar pada x =–hlm/2. Jika anda mengambil beberapa tempoh, anda mendapat lengkung beralun (Gamb. 6).
Jadi fungsinya y=kos x mengambil nilai sifar pada titik X= hlm/2 + kp, di mana k – sebarang integer. Maksimum sama dengan 1 dicapai pada mata X= 2kp, iaitu dalam langkah 2 hlm, dan minimum bersamaan dengan –1 pada titik X= hlm + 2kp.
Fungsi y = sin x.
Pada sudut bulatan unit x 0 sepadan dengan titik A(Gamb. 7), dan unjurannya ke paksi Oh akan ada satu titik N.Z nilai fungsi y 0 = dosa x 0 ditakrifkan sebagai ordinat bagi sesuatu titik A. titik DALAM(sudut x 0 ,di 0) tergolong dalam graf fungsi y= dosa x(Gamb. 8). Adalah jelas bahawa fungsi y = dosa x berkala, tempohnya ialah 2 hlm:
dosa( x+ 2hlm) = dosa ( x).
Untuk dua nilai hujah, X Dan - , unjuran mata yang sepadan A x Dan A -x setiap paksi Oh terletak secara simetri berbanding titik TENTANG. sebab tu
dosa (– x) = –dosa ( x),
mereka. sinus ialah fungsi ganjil, f(– x) = –f( x) (Gamb. 9).
Jika titik A berputar relatif kepada satu titik TENTANG pada satu sudut hlm/2 lawan jam (dengan kata lain, jika sudut X meningkat sebanyak hlm/2), maka ordinatnya dalam kedudukan baru akan sama dengan abscissa dalam yang lama. Maksudnya
dosa( x+ hlm/2) = cos x.
Jika tidak, sinus ialah kosinus "lewat" oleh hlm/2, kerana sebarang nilai kosinus akan "diulang" dalam sinus apabila hujah bertambah sebanyak hlm/2. Dan untuk membina graf sinus, cukup untuk mengalihkan graf kosinus dengan hlm/2 ke kanan (Gamb. 10). melampau harta yang penting sinus dinyatakan dengan kesamaan
Makna geometri kesamaan boleh dilihat daripada Rajah. 11. Di sini X - ini separuh lengkok AB, satu dosa X - separuh daripada kord yang sepadan. Adalah jelas bahawa apabila mata semakin hampir A Dan DALAM panjang kord semakin menghampiri panjang lengkok. Daripada angka yang sama adalah mudah untuk memperoleh ketaksamaan
|dosa x| x|, benar untuk mana-mana X.
Ahli matematik memanggil formula (*) had yang luar biasa. Daripadanya, khususnya, ia mengikuti dosa itu X» X pada kecil X.
Fungsi di= tg x, y=ctg X. Dua lagi fungsi trigonometri, tangen dan kotangen, paling mudah ditakrifkan sebagai nisbah sinus dan kosinus yang telah kita ketahui:
Seperti sinus dan kosinus, tangen dan kotangen adalah fungsi berkala, tetapi tempohnya adalah sama hlm, iaitu ia adalah separuh saiz sinus dan kosinus. Sebabnya adalah jelas: jika sinus dan kosinus kedua-duanya menukar tanda, maka nisbahnya tidak akan berubah.
Oleh kerana penyebut tangen mengandungi kosinus, tangen tidak ditakrifkan pada titik di mana kosinus ialah 0 - apabila X= hlm/2 +kp. Pada semua titik lain ia meningkat secara monoton. Langsung X= hlm/2 + kp untuk tangen ialah asimtot menegak. Pada titik kp tangen dan cerun ialah 0 dan 1, masing-masing (Rajah 12).
Kotangen tidak ditakrifkan di mana sinus ialah 0 (apabila x = kp). Pada titik lain ia menurun secara monoton, dan garis lurus x = kp – miliknya asimtot menegak. Pada titik x = p/2 +kp kotangen menjadi 0, dan cerun pada titik ini ialah –1 (Rajah 13).
Pariti dan berkala.
Fungsi dipanggil walaupun f(–x) = f(x). Fungsi kosinus dan sekan adalah genap, dan fungsi sinus, tangen, kotangen dan kosekan adalah ganjil:
| dosa (–α) = – dosa α | tan (–α) = – tan α |
| cos (–α) = cos α | ctg (–α) = – ctg α |
| sec (–α) = sec α | cosec (–α) = – cosec α |
Sifat pariti mengikuti dari simetri titik P a dan R- a (Gamb. 14) relatif kepada paksi X. Dengan simetri sedemikian, ordinat titik berubah tanda (( X;di) pergi ke ( X; –у)). Semua fungsi - berkala, sinus, kosinus, sekan dan kosekan mempunyai tempoh 2 hlm, dan tangen dan kotangen - hlm:
| dosa (α + 2 kπ) = dosa α | cos(α+2 kπ) = cos α |
| tg(α+ kπ) = tan α | katil bayi(α+ kπ) = cotg α |
| saat (α + 2 kπ) = saat α | cosec(α+2 kπ) = cosec α |
Keberkalaan sinus dan kosinus berikutan daripada fakta bahawa semua titik P a+2 kp, Di mana k= 0, ±1, ±2,…, bertepatan, dan keberkalaan tangen dan kotangen adalah disebabkan oleh fakta bahawa titik P a + kp bergilir-gilir jatuh kepada dua secara diametrik titik bertentangan bulatan yang memberikan titik yang sama pada paksi tangen.
Sifat utama fungsi trigonometri boleh diringkaskan dalam jadual:
| Fungsi | Domain definisi | Pelbagai makna | pariti | Kawasan monotoni ( k= 0, ± 1, ± 2,…) |
| dosa x | –Ґ x Ґ | [–1, +1] | ganjil | meningkat dengan x O((4 k – 1) hlm /2, (4k + 1) hlm/2), berkurangan pada x O((4 k + 1) hlm /2, (4k + 3) hlm/2) |
| cos x | –Ґ x Ґ | [–1, +1] | malah | Meningkat dengan x O((2 k – 1) hlm, 2kp), berkurangan pada x O(2 kp, (2k + 1) hlm) |
| tg x | x № hlm/2 + p k | (–Ґ , +Ґ ) | ganjil | meningkat dengan x O((2 k – 1) hlm /2, (2k + 1) hlm /2) |
| ctg x | x № p k | (–Ґ , +Ґ ) | ganjil | berkurangan pada x TENTANG ( kp, (k + 1) hlm) |
| sec x | x № hlm/2 + p k | (–Ґ , –1] DAN [+1, +Ґ ) | malah | Meningkat dengan x O(2 kp, (2k + 1) hlm), berkurangan pada x O((2 k– 1) hlm , 2 kp) |
| cosec x | x № p k | (–Ґ , –1] DAN [+1, +Ґ ) | ganjil | meningkat dengan x O((4 k + 1) hlm /2, (4k + 3) hlm/2), berkurangan pada x O((4 k – 1) hlm /2, (4k + 1) hlm /2) |
Formula pengurangan.
Menurut formula ini, nilai fungsi trigonometri bagi hujah a, di mana hlm/2 a p , boleh dikurangkan kepada nilai fungsi hujah a , di mana 0 a p /2, sama ada sama atau pelengkap kepadanya.
| Hujah b |  -a |
+ a | hlm-a | hlm+ a | + a | + a | 2hlm-a |
| dosa b | cos a | cos a | dosa a | –dosa a | – cos a | – cos a | –dosa a |
| cos b | dosa a | –dosa a | – cos a | – cos a | –dosa a | dosa a | cos a |
Oleh itu, dalam jadual fungsi trigonometri, nilai diberikan hanya untuk sudut tajam, dan sudah cukup untuk menghadkan diri kita, sebagai contoh, kepada sinus dan tangen. Jadual menunjukkan hanya formula yang paling biasa digunakan untuk sinus dan kosinus. Daripada ini adalah mudah untuk mendapatkan formula untuk tangen dan kotangen. Apabila menghantar fungsi daripada hujah borang kp/2 ± a, di mana k– integer, kepada fungsi hujah a:
1) nama fungsi disimpan jika k genap, dan berubah kepada "pelengkap" jika k ganjil;
2) tanda di sebelah kanan bertepatan dengan tanda fungsi boleh dikurangkan pada titik kp/2 ± a jika sudut a adalah akut.
Contohnya, apabila menghantar ctg (a – hlm/2) kami memastikan bahawa a – hlm/2 pada 0 a p /2 terletak pada kuadran keempat, di mana kotangen adalah negatif, dan, mengikut peraturan 1, kita menukar nama fungsi: ctg (a – hlm/2) = –tg a .
Formula tambahan.
Formula untuk pelbagai sudut.
Formula ini diperoleh secara langsung daripada formula penambahan:
sin 2a = 2 sin a cos a ;
cos 2a = cos 2 a – sin 2 a = 2 cos 2 a – 1 = 1 – 2 sin 2 a ;
dosa 3a = 3 dosa a – 4 dosa 3 a;
cos 3a = 4 cos 3 a – 3 cos a ;
Formula untuk cos 3a telah digunakan oleh François Viète semasa menyelesaikan persamaan padu. Dia adalah orang pertama yang mencari ungkapan untuk cos n a dan dosa n a , yang kemudiannya diperolehi lebih banyak dengan cara yang mudah daripada formula Moivre.
Jika dalam formula hujah berganda gantikan a dengan /2, ia boleh ditukar kepada formula separuh sudut:
Formula penggantian sejagat.
Menggunakan formula ini, ungkapan yang melibatkan fungsi trigonometri yang berbeza bagi hujah yang sama boleh ditulis semula sebagai ungkapan rasional daripada satu fungsi tg (a /2), ini boleh berguna apabila menyelesaikan beberapa persamaan:
 |
|
 |
 |
Formula untuk menukar jumlah kepada produk dan produk kepada jumlah.
Sebelum kemunculan komputer, formula ini digunakan untuk memudahkan pengiraan. Pengiraan dibuat menggunakan jadual logaritma, dan kemudian - peraturan slaid, kerana logaritma paling sesuai untuk mendarab nombor, jadi semua ungkapan asal dibawa ke bentuk yang sesuai untuk logaritma, i.e. untuk bekerja, contohnya:
2 dosa a sin b = cos ( a–b) – cos ( a+b);
2cos a cos b=cos( a–b) + cos ( a+b);
2 dosa a cos b= dosa ( a–b) + dosa ( a+b).
Formula untuk fungsi tangen dan kotangen boleh didapati daripada perkara di atas.
Formula pengurangan darjah.
Daripada pelbagai formula hujah, formula berikut diperoleh:
| sin 2 a = (1 – cos 2a)/2; | cos 2 a = (1 + cos 2a )/2; |
| sin 3 a = (3 sin a – sin 3a)/4; | cos 3 a = (3 cos a + cos 3 a )/4. |
Dengan menggunakan formula ini, persamaan trigonometri boleh dikurangkan kepada persamaan darjah yang lebih rendah. Dengan cara yang sama, kita boleh mendapatkan formula pengurangan untuk lebih banyak lagi darjat tinggi sinus dan kosinus.
| Terbitan dan kamiran bagi fungsi trigonometri | |
| (dosa x)` = cos x; | (cos x)` = –dosa x; |
| (tg x)` = ; | (ctg x)` = – ; |
| t berdosa x dx= –cos x + C; | t cos x dx= dosa x + C; |
| t tg x dx= –ln|cos x| + C; | t ctg x dx = ln|dosa x| + C; |
Setiap fungsi trigonometri pada setiap titik domain definisinya adalah berterusan dan boleh dibezakan secara tak terhingga. Selain itu, terbitan bagi fungsi trigonometri ialah fungsi trigonometri, dan apabila disepadukan, fungsi trigonometri atau logaritmanya juga diperoleh. Kamiran daripada gabungan rasional fungsi trigonometri sentiasa merupakan fungsi asas.
Perwakilan fungsi trigonometri dalam bentuk siri kuasa dan produk tak terhingga.
Semua fungsi trigonometri boleh dikembangkan dalam siri kuasa. Dalam kes ini, fungsi berdosa x bcos x dibentangkan dalam baris. konvergen untuk semua nilai x:
Siri ini boleh digunakan untuk mendapatkan ungkapan anggaran untuk dosa x dan cos x pada nilai yang kecil x:
di | x| p/2;
pada 0 x| hlm
(B n – nombor Bernoulli).
fungsi dosa x dan cos x boleh diwakili dalam bentuk produk tak terhingga:
Sistem trigonometri 1, cos x,dosa x, cos 2 x, dosa 2 x,¼,cos nx,dosa nx, ¼, membentuk pada segmen [– hlm, hlm] sistem ortogonal fungsi, yang memungkinkan untuk mewakili fungsi dalam bentuk siri trigonometri.
ditakrifkan sebagai kesinambungan analitik bagi fungsi trigonometri yang sepadan bagi hujah sebenar ke dalam satah kompleks. Ya, dosa z dan cos z boleh ditakrifkan menggunakan siri untuk dosa x dan cos x, jika sebaliknya x meletakkan z:
Siri-siri ini berkumpul di seluruh satah, jadi dosa z dan cos z- fungsi keseluruhan.
Tangen dan kotangen ditentukan oleh formula:
fungsi tg z dan ctg z– fungsi meromorfik. tg tiang z dan sek z– mudah (perintah pertama) dan terletak di titik z = p/2 + pn, tiang ctg z dan cosec z– juga mudah dan terletak pada titik z = p n, n = 0, ±1, ±2,…
Semua formula yang sah untuk fungsi trigonometri hujah sebenar juga sah untuk yang kompleks. khususnya,
dosa (– z) = –dosa z,
cos(– z) = cos z,
tg(– z) = –tg z,
ctg(– z) = –ctg z,
mereka. pariti genap dan ganjil dikekalkan. Formula juga disimpan
dosa( z + 2hlm) = dosa z, (z + 2hlm) = cos z, (z + hlm) = tg z, (z + hlm) = ctg z,
mereka. berkala juga dipelihara, dan tempoh adalah sama seperti untuk fungsi hujah sebenar.
Fungsi trigonometri boleh dinyatakan dalam sebutan fungsi eksponen bagi hujah khayalan semata-mata:
belakang, e iz dinyatakan dalam bentuk kos z dan dosa z mengikut formula:
e iz=kos z + i dosa z
Formula ini dipanggil formula Euler. Leonhard Euler mengembangkannya pada tahun 1743.
Fungsi trigonometri juga boleh dinyatakan dalam bentuk fungsi hiperbolik:
z = –i sh iz, cos z = ch iz, z = –i th iz.
dengan sh, ch dan th ialah sinus hiperbolik, kosinus dan tangen.
Fungsi trigonometri bagi hujah kompleks z = x + iy, Di mana x Dan y – nombor nyata, boleh dinyatakan melalui fungsi trigonometri dan hiperbolik bagi hujah sebenar, contohnya:
dosa( x + iy) = dosa x ch y + i cos x sh y;
cos( x + iy) = cos x ch y + i dosa x sh y.
Sinus dan kosinus hujah yang kompleks boleh diambil nilai sebenar, melebihi 1 dalam nilai mutlak. Contohnya:
Jika sudut yang tidak diketahui memasuki persamaan sebagai hujah fungsi trigonometri, maka persamaan itu dipanggil trigonometri. Persamaan sedemikian adalah sangat biasa sehingga kaedah mereka penyelesaiannya sangat terperinci dan direka dengan teliti. DENGAN dengan bantuan pelbagai teknik dan formula mengurangkan persamaan trigonometri kepada persamaan bentuk f(x)=a, Di mana f– mana-mana fungsi trigonometri termudah: sinus, kosinus, tangen atau kotangen. Kemudian nyatakan hujah x fungsi ini melalui nilai yang diketahui A.
Oleh kerana fungsi trigonometri adalah berkala, sama A daripada julat nilai terdapat banyak nilai hujah yang tidak terhingga, dan penyelesaian kepada persamaan tidak boleh ditulis sebagai fungsi tunggal A. Oleh itu, dalam domain takrifan setiap fungsi trigonometri utama, bahagian dipilih di mana ia mengambil semua nilainya, setiap satu hanya sekali, dan fungsi songsang kepadanya ditemui dalam bahagian ini. Fungsi sedemikian dilambangkan dengan menambah arka awalan (arka) pada nama fungsi asal, dan dipanggil trigonometri songsang fungsi atau hanya fungsi arka.
Fungsi trigonometri songsang.
Untuk dosa X, cos X, tg X dan ctg X boleh ditentukan fungsi songsang. Mereka dilambangkan dengan sewajarnya oleh arcsin X(baca "arcsine" x"), arcos x, arctan x dan arcctg x. Mengikut definisi, arcsin X terdapat nombor sedemikian y, apa
dosa di = X.
Begitu juga untuk fungsi trigonometri songsang yang lain. Tetapi definisi ini mengalami beberapa ketidaktepatan.
Jika anda mencerminkan dosa X, cos X, tg X dan ctg X berbanding dengan pembahagi dua sukuan pertama dan ketiga satah koordinat, maka fungsinya, disebabkan keberkalaannya, menjadi samar-samar: sinus yang sama (kosinus, tangen, kotangen) sepadan dengan nombor tak terhingga sudut
Untuk menghilangkan kekaburan, bahagian lengkung dengan lebar hlm, dalam kes ini adalah perlu bahawa surat-menyurat satu dengan satu dikekalkan antara hujah dan nilai fungsi. Kawasan berhampiran asal koordinat dipilih. Untuk sinus dalam Sebagai "selang satu dengan satu" kami mengambil segmen [– hlm/2, hlm/2], di mana sinus monotonik meningkat daripada –1 kepada 1, untuk kosinus – segmen, untuk tangen dan kotangen, masing-masing, selang (– hlm/2, hlm/2) dan (0, hlm). Setiap lengkung pada selang dipantulkan relatif kepada pembahagi dua dan kini fungsi trigonometri songsang boleh ditentukan. Sebagai contoh, biarkan nilai hujah diberikan x 0 , supaya 0 Ј x 0 Ј 1. Kemudian nilai fungsi y 0 = arcsin x 0 hanya akan ada satu makna di 0 , sedemikian rupa sehingga - hlm/2 Ј di 0 Ј hlm/2 dan x 0 = dosa y 0 .
Oleh itu, arcsine ialah fungsi arcsin A, ditakrifkan pada selang [–1, 1] dan sama bagi setiap satu A kepada nilai sedemikian, - hlm/2 a p /2 bahawa sin a = A. Sangat mudah untuk mewakilinya menggunakan bulatan unit (Rajah 15). Apabila | a| 1 pada bulatan terdapat dua titik dengan ordinat a, simetri tentang paksi u. Salah satunya sepadan dengan sudut a= arcsin A, dan satu lagi adalah sudut p - a. DENGAN mengambil kira periodicity sinus, penyelesaian persamaan dosa x= A direkodkan seperti berikut:
x =(–1)n arcsin a + 2p n,
di mana n= 0, ±1, ±2,...
Persamaan trigonometri mudah lain boleh diselesaikan dengan cara yang sama:
cos x = a, –1 =a= 1;
x =±arcos a + 2p n,
di mana n= 0, ±1, ±2,... (Rajah 16);
tg X = a;
x= arctan a + hlm n,
di mana n = 0, ±1, ±2,... (Gamb. 17);
ctg X= A;
X= arcctg a + hlm n,
di mana n = 0, ±1, ±2,... (Gamb. 18).
Sifat asas fungsi trigonometri songsang:
arcsin X(Rajah 19): domain definisi – segmen [–1, 1]; julat – [– hlm/2, hlm/2], fungsi meningkat secara monoton;
arccos X(Gamb. 20): domain definisi – segmen [–1, 1]; julat nilai – ; fungsi menurun secara monotoni;
arctg X(Gamb. 21): domain definisi – semua nombor nyata; julat nilai – selang (– hlm/2, hlm/2); fungsi meningkatkan monotoni; lurus di= –hlm/2 dan y = p /2 – asimtot mendatar;
arcctg X(Gamb. 22): domain definisi – semua nombor nyata; julat nilai – selang (0, hlm); fungsi menurun secara monotoni; lurus y= 0 dan y = p– asimtot mendatar.
Untuk sesiapa sahaja z = x + iy, Di mana x Dan y ialah nombor nyata, ketaksamaan kekal
½| e\e y–e-y| ≤|dosa z|≤½( e y +e-y),
½| e y–e-y| ≤|cos z|≤½( e y +e -y),
daripadanya di y® Ґ formula asimptotik mengikuti (seragam berkenaan dengan x)
|dosa z| » 1/2 e |y| ,
|cos z| » 1/2 e |y| .
Fungsi trigonometri pertama kali muncul berkaitan dengan penyelidikan dalam astronomi dan geometri. Nisbah segmen dalam segi tiga dan bulatan, yang pada asasnya adalah fungsi trigonometri, sudah ditemui pada abad ke-3. BC e. dalam karya ahli matematik Yunani Purba – Euclid, Archimedes, Apollonius dari Perga dan lain-lain, bagaimanapun, hubungan ini bukan objek kajian bebas, jadi mereka tidak mengkaji fungsi trigonometri seperti itu. Mereka pada mulanya dianggap sebagai segmen dan dalam bentuk ini digunakan oleh Aristarchus (akhir ke-4 - separuh ke-2 abad ke-3 SM), Hipparchus (abad ke-2 SM), Menelaus (abad ke-1 Masihi ) dan Ptolemy (abad ke-2 Masihi). menyelesaikan segi tiga sfera. Ptolemy menyusun jadual kord pertama untuk sudut akut setiap 30" dengan ketepatan 10 –6. Ini adalah jadual sinus pertama. Sebagai nisbah, fungsi sin a sudah ditemui dalam Aryabhata (akhir abad ke-5). Fungsi tg a dan ctg a terdapat dalam al- Battani (separuh ke-2 abad ke-9 - awal abad ke-10) dan Abul-Vefa (abad ke-10), yang juga menggunakan sec a dan cosec a Aryabhata sudah mengetahui formulanya (sin 2 a + cos 2 a) = 1, serta formula dosa dan kos separuh sudut, dengan bantuannya saya membina jadual sinus untuk sudut setiap 3°45"; berdasarkan nilai yang diketahui fungsi trigonometri untuk hujah termudah. Bhaskara (abad ke-12) memberi kaedah untuk membina jadual dari segi 1 menggunakan rumus tambah. Formula untuk menukar jumlah dan perbezaan fungsi trigonometri pelbagai hujah kepada produk telah diterbitkan oleh Regiomontanus (abad ke-15) dan J. Napier berkaitan dengan ciptaan logaritma (1614) yang terakhir. Regiomontan memberikan jadual nilai sinus dalam 1". Peluasan fungsi trigonometri kepada siri kuasa diperolehi oleh I. Newton (1669). Dalam bentuk moden teori fungsi trigonometri telah diperkenalkan oleh L. Euler (abad ke-18). Dia memiliki definisi mereka untuk hujah-hujah yang sebenar dan kompleks, simbolisme yang diterima pada masa ini, penubuhan hubungan dengan fungsi eksponen dan keortogonan sistem sinus dan kosinus.
Jadual nilai fungsi trigonometri
Nota. Jadual nilai fungsi trigonometri ini menggunakan tanda √ untuk menunjukkan punca kuasa dua. Untuk menunjukkan pecahan, gunakan simbol "/".
Lihat juga bahan berguna:
Untuk menentukan nilai fungsi trigonometri, cari di persimpangan garis yang menunjukkan fungsi trigonometri. Sebagai contoh, sinus 30 darjah - kita mencari lajur dengan tajuk dosa (sinus) dan mencari persimpangan lajur jadual ini dengan baris "30 darjah", di persimpangan mereka kita membaca hasilnya - separuh. Begitu juga kita dapati kosinus 60 ijazah, sinus 60 darjah (sekali lagi, di persimpangan dosa lajur (sinus) dan baris 60 darjah kita dapati nilai dosa 60 = √3/2), dsb. Nilai sinus, kosinus dan tangen sudut "popular" lain ditemui dengan cara yang sama.
Pi sinus, pi kosinus, pi tangen dan sudut lain dalam radian
Jadual di bawah bagi kosinus, sinus dan tangen juga sesuai untuk mencari nilai fungsi trigonometri yang hujahnya diberikan dalam radian. Untuk melakukan ini, gunakan lajur kedua nilai sudut. Terima kasih kepada ini, anda boleh menukar nilai sudut popular daripada darjah kepada radian. Sebagai contoh, mari kita cari sudut 60 darjah pada baris pertama dan baca nilainya dalam radian di bawahnya. 60 darjah sama dengan π/3 radian.
Nombor pi menyatakan dengan jelas pergantungan lilitan pada ukuran darjah sudut. Oleh itu, radian pi adalah sama dengan 180 darjah.
Sebarang nombor yang dinyatakan dalam sebutan pi (radian) boleh dengan mudah ditukar kepada darjah dengan menggantikan pi (π) dengan 180.
Contoh:
1. Pi sinus.
sin π = sin 180 = 0
oleh itu, sinus pi adalah sama dengan sinus 180 darjah dan ia sama dengan sifar.
2. Pi kosinus.
cos π = cos 180 = -1
oleh itu, kosinus pi adalah sama dengan kosinus 180 darjah dan ia sama dengan tolak satu.
3. Pi tangen
tg π = tg 180 = 0
oleh itu, tangen pi adalah sama dengan tangen 180 darjah dan ia sama dengan sifar.
Jadual nilai sinus, kosinus, tangen untuk sudut 0 - 360 darjah (nilai sepunya)
|
nilai sudut α (darjah) |
nilai sudut α (melalui pi) |
dosa (resdung) |
cos (kosinus) |
tg (tangen) |
ctg (kotangen) |
sec (bahagian) |
cosec (cosecan) |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | - | 1 | - |
| 15 | π/12 | 2 - √3 | 2 + √3 | ||||
| 30 | π/6 | 1/2 | √3/2 | 1/√3 | √3 | 2/√3 | 2 |
| 45 | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 | 1 | √2 | √2 |
| 60 | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 | 1/√3 | 2 | 2/√3 |
| 75 | 5π/12 | 2 + √3 | 2 - √3 | ||||
| 90 | π/2 | 1 | 0 | - | 0 | - | 1 |
| 105 | 7π/12 |
- |
- 2 - √3 | √3 - 2 | |||
| 120 | 2π/3 | √3/2 | -1/2 | -√3 | -√3/3 | ||
| 135 | 3π/4 | √2/2 | -√2/2 | -1 | -1 | -√2 | √2 |
| 150 | 5π/6 | 1/2 | -√3/2 | -√3/3 | -√3 | ||
| 180 | π | 0 | -1 | 0 | - | -1 | - |
| 210 | 7π/6 | -1/2 | -√3/2 | √3/3 | √3 | ||
| 240 | 4π/3 | -√3/2 | -1/2 | √3 | √3/3 | ||
| 270 | 3π/2 | -1 | 0 | - | 0 | - | -1 |
| 360 | 2π | 0 | 1 | 0 | - | 1 | - |
Jika dalam jadual nilai fungsi trigonometri, sengkang ditunjukkan dan bukannya nilai fungsi (tangen (tg) 90 darjah, kotangen (ctg) 180 darjah), maka untuk nilai tertentu ukuran darjah sudut fungsi tidak mempunyai nilai tertentu. Jika tiada sengkang, sel itu kosong, bermakna kita masih belum masuk nilai yang dikehendaki. Kami berminat dengan pertanyaan apa yang pengguna datang kepada kami dan menambah jadual dengan nilai baharu, walaupun pada hakikatnya data semasa tentang nilai kosinus, sinus dan tangen bagi nilai sudut yang paling biasa cukup memadai untuk menyelesaikan kebanyakan masalah.
Jadual nilai fungsi trigonometri sin, cos, tg untuk sudut yang paling popular
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 darjah
(nilai angka "mengikut jadual Bradis")
| nilai sudut α (darjah) | nilai sudut α dalam radian | dosa (sinus) | cos (kosinus) | tg (tangen) | ctg (kotangen) |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | ||||
| 15 |
0,2588 |
0,9659
|
0,2679 |
||
| 30 |
0,5000 |
0,5774 |
|||
| 45 |
0,7071 |
||||
|
0,7660 |
|||||
| 60 |
0,8660 |
0,5000
|
1,7321 |
||
|
7π/18 |
Konsep sinus (), kosinus (), tangen (), kotangen () berkait rapat dengan konsep sudut. Untuk memahami ini dengan baik, pada pandangan pertama, konsep yang kompleks(yang menyebabkan keadaan seram dalam ramai pelajar sekolah), dan untuk memastikan bahawa "syaitan tidak seram seperti yang dilukis," mari kita mulakan dari awal lagi dan memahami konsep sudut.
Konsep sudut: radian, darjah
Jom tengok gambar. Vektor telah "berpusing" relatif kepada titik dengan jumlah tertentu. Jadi ukuran putaran ini berbanding dengan kedudukan awal adalah sudut.
Apa lagi yang anda perlu tahu tentang konsep sudut? Sudah tentu, unit sudut!
Sudut, dalam kedua-dua geometri dan trigonometri, boleh diukur dalam darjah dan radian.
Sudut (satu darjah) dipanggil sudut pusat dalam bulatan, berdasarkan lengkok bulat yang sama dengan sebahagian daripada bulatan. Oleh itu, keseluruhan bulatan terdiri daripada "kepingan" lengkok bulat, atau sudut yang diterangkan oleh bulatan adalah sama.
Iaitu, rajah di atas menunjukkan sudut yang sama dengan, iaitu, sudut ini terletak pada lengkok bulat sebesar lilitan.
Sudut dalam radian ialah sudut pusat dalam bulatan yang dicangkum oleh lengkok bulat yang panjangnya sama dengan jejari bulatan. Nah, adakah anda memikirkannya? Jika tidak, mari kita fikirkan daripada lukisan itu.
Jadi, angka itu menunjukkan sudut yang sama dengan radian, iaitu, sudut ini terletak pada lengkok bulat, yang panjangnya sama dengan jejari bulatan (panjangnya sama dengan panjang atau jejari sama panjang arka). Oleh itu, panjang lengkok dikira dengan formula:
Di manakah sudut pusat dalam radian.
Nah, mengetahui perkara ini, bolehkah anda menjawab berapa banyak radian yang terkandung dalam sudut yang diterangkan oleh bulatan? Ya, untuk ini anda perlu mengingati formula untuk lilitan. Inilah dia:
Nah, sekarang mari kita kaitkan kedua-dua formula ini dan mendapati bahawa sudut yang diterangkan oleh bulatan adalah sama. Iaitu, dengan mengaitkan nilai dalam darjah dan radian, kita mendapatnya. Masing-masing, . Seperti yang anda lihat, tidak seperti "darjah", perkataan "radian" ditinggalkan, kerana unit ukuran biasanya jelas daripada konteks.
Berapakah jumlah radian yang ada? betul!
faham? Kemudian teruskan dan betulkan:
Mengalami kesukaran? lepas tu tengok jawapan:
Segitiga kanan: sinus, kosinus, tangen, kotangen sudut
Jadi, kami mengetahui konsep sudut. Tetapi apakah sinus, kosinus, tangen, dan kotangen bagi sudut? Mari kita fikirkan. Untuk ini ia akan membantu kita segi tiga tepat.
Apakah sisi segi tiga tepat dipanggil? Betul, hipotenus dan kaki: hipotenus ialah sisi yang terletak bertentangan dengan sudut kanan (dalam contoh kita ini adalah sisi); kaki adalah dua sisi yang tinggal dan (yang bersebelahan dengan sudut tepat), dan jika kita menganggap kaki relatif kepada sudut, maka kaki adalah kaki bersebelahan, dan kaki adalah bertentangan. Jadi, sekarang mari kita jawab soalan: apakah sinus, kosinus, tangen dan kotangen bagi sudut?
Sinus sudut- ini ialah nisbah kaki bertentangan (jauh) kepada hipotenus.
Dalam segitiga kami.
Kosinus sudut- ini ialah nisbah kaki bersebelahan (dekat) dengan hipotenus.
Dalam segitiga kami.
Tangen sudut- ini ialah nisbah bahagian yang bertentangan (jauh) kepada yang bersebelahan (dekat).
Dalam segitiga kami.
Kotangen sudut- ini adalah nisbah kaki bersebelahan (dekat) dengan bertentangan (jauh).
Dalam segitiga kami.
Definisi ini adalah perlu ingat! Untuk menjadikannya lebih mudah untuk mengingati kaki mana yang hendak dibahagikan kepada apa, anda perlu memahami dengan jelasnya tangen Dan kotangen hanya kaki duduk, dan hipotenus hanya muncul di dalam resdung Dan kosinus. Dan kemudian anda boleh membuat rangkaian persatuan. Sebagai contoh, yang ini:
Kosinus→sentuh→sentuh→bersebelahan;
Cotangent→sentuh→sentuh→bersebelahan.
Pertama sekali, anda perlu ingat bahawa sinus, kosinus, tangen dan kotangen kerana nisbah sisi segitiga tidak bergantung pada panjang sisi ini (pada sudut yang sama). Tidak percaya saya? Kemudian pastikan dengan melihat gambar:
Pertimbangkan, sebagai contoh, kosinus sudut. Mengikut definisi, dari segi tiga: , tetapi kita boleh mengira kosinus sudut daripada segi tiga: . Anda lihat, panjang sisi adalah berbeza, tetapi nilai kosinus satu sudut adalah sama. Oleh itu, nilai sinus, kosinus, tangen dan kotangen bergantung semata-mata pada magnitud sudut.
Jika anda memahami takrifannya, teruskan dan satukan definisi tersebut!
Untuk segi tiga yang ditunjukkan dalam rajah di bawah, kita dapati.
Nah, adakah anda mendapatnya? Kemudian cuba sendiri: hitung yang sama untuk sudut.
Unit (trigonometri) bulatan
Memahami konsep darjah dan radian, kami menganggap bulatan dengan jejari sama dengan. Bulatan sedemikian dipanggil bujang. Ia akan sangat berguna apabila mempelajari trigonometri. Oleh itu, mari kita lihat dengan lebih terperinci.
Seperti yang anda lihat, bulatan yang diberi terbina dalam Sistem kartesian koordinat Jejari bulatan sama dengan satu, manakala pusat bulatan terletak pada asal, kedudukan permulaan Vektor jejari ditetapkan sepanjang arah positif paksi (dalam contoh kami, ini adalah jejari).
Setiap titik pada bulatan sepadan dengan dua nombor: koordinat paksi dan koordinat paksi. Apakah nombor koordinat ini? Dan secara umum, apakah kaitan mereka dengan topik yang sedang dibincangkan? Untuk melakukan ini, kita perlu ingat tentang segi tiga tepat yang dianggap. Dalam rajah di atas, anda boleh melihat dua segi tiga tepat keseluruhan. Pertimbangkan segitiga. Ia adalah segi empat tepat kerana ia berserenjang dengan paksi.
Apakah segi tiga sama dengan? betul tu. Di samping itu, kita tahu bahawa jejari bulatan unit, yang bermaksud . Mari kita gantikan nilai ini ke dalam formula kita untuk kosinus. Inilah yang berlaku:
Apakah segi tiga sama dengan? Sudah tentu! Gantikan nilai jejari ke dalam formula ini dan dapatkan:
Jadi, bolehkah anda memberitahu apakah koordinat titik kepunyaan bulatan? Nah, tidak mungkin? Bagaimana jika anda menyedarinya dan hanya nombor? Koordinat yang manakah ia sepadan? Sudah tentu, koordinat! Dan koordinat apa yang sesuai dengannya? Betul, koordinat! Oleh itu, tempoh.
Apakah itu dan sama dengan? Betul, mari kita gunakan takrifan yang sepadan bagi tangen dan kotangen dan dapatkannya, a.
Bagaimana jika sudut lebih besar? Sebagai contoh, seperti dalam gambar ini:
Apa yang telah berubah dalam dalam contoh ini? Mari kita fikirkan. Untuk melakukan ini, mari kita pusing lagi ke segi tiga tepat. Pertimbangkan segi tiga tegak: sudut (bersebelahan dengan sudut). Apakah nilai sinus, kosinus, tangen dan kotangen bagi suatu sudut? Betul, kami mematuhi takrifan fungsi trigonometri yang sepadan:
Nah, seperti yang anda lihat, nilai sinus sudut masih sepadan dengan koordinat; nilai kosinus sudut - koordinat; dan nilai tangen dan kotangen kepada nisbah yang sepadan. Oleh itu, hubungan ini digunakan untuk sebarang putaran vektor jejari.
Telah disebutkan bahawa kedudukan awal vektor jejari adalah di sepanjang arah positif paksi. Setakat ini kita telah memutarkan vektor ini mengikut arah jam, tetapi apa yang berlaku jika kita memutarkannya mengikut arah jam? Tiada apa-apa yang luar biasa, anda juga akan mendapat sudut nilai tertentu, tetapi hanya ia akan menjadi negatif. Oleh itu, apabila memutarkan vektor jejari lawan jam, kita dapat sudut positif, dan apabila berputar mengikut arah jam - negatif.
Jadi, kita tahu bahawa seluruh revolusi vektor jejari di sekeliling bulatan ialah atau. Adakah mungkin untuk memutarkan vektor jejari ke atau ke? Sudah tentu anda boleh! Dalam kes pertama, oleh itu, vektor jejari akan membuat satu pusingan penuh dan berhenti pada kedudukan atau.
Dalam kes kedua, iaitu, vektor jejari akan membuat tiga pusingan penuh dan berhenti pada kedudukan atau.
Oleh itu, daripada contoh di atas kita boleh membuat kesimpulan bahawa sudut yang berbeza dengan atau (di mana ada sebarang integer) sepadan dengan kedudukan vektor jejari yang sama.
Rajah di bawah menunjukkan satu sudut. Imej yang sama sepadan dengan sudut, dsb. Senarai ini boleh diteruskan selama-lamanya. Semua sudut ini boleh ditulis dengan formula am atau (di mana terdapat sebarang integer)
Sekarang, mengetahui takrifan fungsi trigonometri asas dan menggunakan bulatan unit, cuba jawab apakah nilainya:
Berikut ialah bulatan unit untuk membantu anda:
Mengalami kesukaran? Kemudian mari kita fikirkan. Jadi kita tahu bahawa:
Dari sini, kami menentukan koordinat titik yang sepadan dengan ukuran sudut tertentu. Baiklah, mari kita mulakan mengikut urutan: sudut pada sepadan dengan titik dengan koordinat, oleh itu:
Tidak wujud;
Selanjutnya, mematuhi logik yang sama, kami mendapati bahawa sudut dalam sepadan dengan titik dengan koordinat, masing-masing. Mengetahui ini, adalah mudah untuk menentukan nilai fungsi trigonometri dalam mata yang sepadan. Cuba sendiri dahulu, dan kemudian semak jawapannya.
Jawapan:
tidak wujud
tidak wujud
tidak wujud
tidak wujud
Oleh itu, kita boleh membuat jadual berikut:
Tidak perlu mengingati semua nilai ini. Cukup untuk mengingati korespondensi antara koordinat titik pada bulatan unit dan nilai fungsi trigonometri:
Tetapi nilai-nilai fungsi trigonometri sudut dalam dan, diberikan dalam jadual di bawah, mesti diingat:
Jangan takut, sekarang kami akan tunjukkan satu contoh agak mudah untuk mengingati nilai yang sepadan:
Untuk menggunakan kaedah ini, adalah penting untuk mengingati nilai sinus untuk ketiga-tiga ukuran sudut (), serta nilai tangen sudut. Mengetahui nilai-nilai ini, agak mudah untuk memulihkan keseluruhan jadual - nilai kosinus dipindahkan mengikut anak panah, iaitu:
Mengetahui ini, anda boleh memulihkan nilai untuk. Pengangka " " akan sepadan dan penyebut " " akan sepadan. Nilai kotangen dipindahkan mengikut anak panah yang ditunjukkan dalam rajah. Jika anda memahami perkara ini dan mengingati rajah dengan anak panah, maka sudah cukup untuk mengingati semua nilai dari jadual.
Koordinat titik pada bulatan
Adakah mungkin untuk mencari titik (koordinatnya) pada bulatan, mengetahui koordinat pusat bulatan, jejari dan sudut putarannya?
Sudah tentu anda boleh! Mari kita keluarkan formula am untuk mencari koordinat sesuatu titik.
Sebagai contoh, berikut ialah bulatan di hadapan kita:
Kami diberi bahawa titik adalah pusat bulatan. Jejari bulatan adalah sama. Ia adalah perlu untuk mencari koordinat titik yang diperoleh dengan memutarkan titik mengikut darjah.
Seperti yang dapat dilihat dari rajah, koordinat titik sepadan dengan panjang segmen. Panjang segmen sepadan dengan koordinat pusat bulatan, iaitu, ia adalah sama. Panjang segmen boleh dinyatakan menggunakan definisi kosinus:
Kemudian kita mempunyai itu untuk koordinat titik.
Menggunakan logik yang sama, kita mencari nilai koordinat y untuk titik itu. Oleh itu,
Jadi, dalam pandangan umum koordinat titik ditentukan oleh formula:
Koordinat pusat bulatan,
Jejari bulatan,
Sudut putaran jejari vektor.
Seperti yang anda lihat, untuk bulatan unit yang sedang kita pertimbangkan, formula ini dikurangkan dengan ketara, kerana koordinat pusat adalah sama dengan sifar dan jejari adalah sama dengan satu:
Baiklah, mari cuba formula ini dengan berlatih mencari titik pada bulatan?
1. Cari koordinat titik pada bulatan unit yang diperoleh dengan memutarkan titik pada.
2. Cari koordinat titik pada bulatan unit yang diperoleh dengan memutarkan titik pada.
3. Cari koordinat titik pada bulatan unit yang diperoleh dengan memutarkan titik pada.
4. Titik ialah pusat bulatan. Jejari bulatan adalah sama. Ia adalah perlu untuk mencari koordinat titik yang diperoleh dengan memutarkan vektor jejari awal dengan.
5. Titik ialah pusat bulatan. Jejari bulatan adalah sama. Ia adalah perlu untuk mencari koordinat titik yang diperoleh dengan memutarkan vektor jejari awal dengan.
Menghadapi masalah mencari koordinat titik pada bulatan?
Selesaikan lima contoh ini (atau pandai menyelesaikannya) dan anda akan belajar mencarinya!
1.
Anda boleh perasan itu. Tetapi kita tahu apa yang sepadan dengan revolusi penuh titik permulaan. Oleh itu, titik yang dikehendaki akan berada dalam kedudukan yang sama seperti semasa menghidupkan. Mengetahui ini, kami dapati koordinat titik yang diperlukan:
2. Bulatan unit berpusat pada satu titik, yang bermaksud kita boleh menggunakan formula yang dipermudahkan:
Anda boleh perasan itu. Kami tahu apa yang sepadan dengan dua kelajuan penuh titik permulaan. Oleh itu, titik yang diingini akan berada dalam kedudukan yang sama seperti semasa beralih ke. Mengetahui ini, kami dapati koordinat titik yang diperlukan:
Sinus dan kosinus ialah nilai jadual. Kami mengingat kembali maknanya dan mendapat:
Oleh itu, titik yang dikehendaki mempunyai koordinat.
3. Bulatan unit berpusat pada satu titik, yang bermaksud kita boleh menggunakan formula yang dipermudahkan:
Anda boleh perasan itu. Mari kita gambarkan contoh yang dipersoalkan dalam rajah:
Jejari membuat sudut sama dengan dan dengan paksi. Mengetahui bahawa nilai jadual kosinus dan sinus adalah sama, dan setelah menentukan bahawa kosinus di sini mengambil nilai negatif, dan sinus adalah positif, kita mempunyai:
Butiran lanjut contoh yang serupa difahami apabila mengkaji formula untuk mengurangkan fungsi trigonometri dalam topik.
Oleh itu, titik yang dikehendaki mempunyai koordinat.
4.
Sudut putaran jejari vektor (mengikut keadaan)
Untuk menentukan tanda-tanda sinus dan kosinus yang sepadan, kami membina bulatan dan sudut unit:
Seperti yang anda lihat, nilai, iaitu, adalah positif, dan nilai, iaitu, adalah negatif. Mengetahui nilai jadual bagi fungsi trigonometri yang sepadan, kami memperoleh bahawa:
Mari gantikan nilai yang diperoleh ke dalam formula kami dan cari koordinat:
Oleh itu, titik yang dikehendaki mempunyai koordinat.
5. Untuk menyelesaikan masalah ini, kami menggunakan formula dalam bentuk umum, di mana
Koordinat pusat bulatan (dalam contoh kita,
Jejari bulatan (mengikut keadaan)
Sudut putaran jejari vektor (mengikut keadaan).
Mari kita gantikan semua nilai ke dalam formula dan dapatkan:
dan - nilai jadual. Mari kita ingat dan gantikannya ke dalam formula:
Oleh itu, titik yang dikehendaki mempunyai koordinat.
RINGKASAN DAN FORMULA ASAS
Sinus suatu sudut ialah nisbah kaki (jauh) bertentangan dengan hipotenus.
Kosinus sudut ialah nisbah kaki (dekat) bersebelahan dengan hipotenus.
Tangen sudut ialah nisbah sisi bertentangan (jauh) dengan sisi bersebelahan (dekat).
Kotangen suatu sudut ialah nisbah sisi bersebelahan (dekat) dengan sisi bertentangan (jauh).
Menyelesaikan persamaan trigonometri mudah.
Menyelesaikan persamaan trigonometri bagi sebarang tahap kerumitan akhirnya bermuara kepada penyelesaian persamaan trigonometri yang paling mudah. Dan dalam ini penolong terbaik sekali lagi ia menjadi bulatan trigonometri.
Mari kita ingat semula definisi kosinus dan sinus.
Kosinus sudut ialah absis (iaitu, koordinat sepanjang paksi) titik pada bulatan unit sepadan dengan putaran melalui sudut tertentu.
Sinus suatu sudut ialah koordinat (iaitu, koordinat sepanjang paksi) suatu titik pada bulatan unit yang sepadan dengan putaran melalui sudut tertentu.
Arah positif pergerakan pada bulatan trigonometri adalah lawan jam. Putaran 0 darjah (atau 0 radian) sepadan dengan titik dengan koordinat (1;0)
Kami menggunakan takrifan ini untuk menyelesaikan persamaan trigonometri mudah.
1. Selesaikan persamaan
Persamaan ini dipenuhi dengan semua nilai sudut putaran yang sepadan dengan titik pada bulatan yang ordinatnya sama dengan .
Mari kita tandakan titik dengan ordinat pada paksi ordinat:
Mari kita laksanakan garisan mendatar selari dengan paksi-x sehingga ia bersilang dengan bulatan. Kami mendapat dua mata yang terletak pada bulatan dan mempunyai ordinat. Titik ini sepadan dengan sudut putaran dalam dan radian:
Jika kita, meninggalkan titik yang sepadan dengan sudut putaran oleh radian, pergi sekeliling bulatan penuh, maka kita akan tiba pada titik yang sepadan dengan sudut putaran setiap radian dan mempunyai ordinat yang sama. Iaitu, sudut putaran ini juga memenuhi persamaan kami. Kita boleh membuat seberapa banyak revolusi "terbiar" yang kita suka, kembali ke titik yang sama, dan semua nilai sudut ini akan memenuhi persamaan kita. Bilangan pusingan "terbiar" akan dilambangkan dengan huruf (atau). Memandangkan kita boleh membuat revolusi ini dalam kedua-dua arah positif dan negatif, (atau) boleh mengambil sebarang nilai integer.
Iaitu, siri pertama penyelesaian kepada persamaan asal mempunyai bentuk:
, , - set integer (1)
Begitu juga, siri kedua penyelesaian mempunyai bentuk:
, Di mana , . (2)
Seperti yang anda duga, siri penyelesaian ini adalah berdasarkan titik pada bulatan yang sepadan dengan sudut putaran dengan .
Kedua-dua siri penyelesaian ini boleh digabungkan menjadi satu entri:
Jika kita dalam ini mari ambil nota(iaitu, genap), maka kita mendapat siri pertama penyelesaian.
Jika kita ambil (iaitu ganjil) dalam entri ini, maka kita mendapat penyelesaian siri kedua.
2. Sekarang mari kita selesaikan persamaan
Oleh kerana ini adalah absis titik pada bulatan unit yang diperoleh dengan berputar melalui sudut, kami menandakan titik dengan absis pada paksi:
Mari kita laksanakan garis menegak selari dengan paksi sehingga ia bersilang dengan bulatan. Kami akan mendapat dua mata yang terletak pada bulatan dan mempunyai absis. Titik ini sepadan dengan sudut putaran dalam dan radian. Ingat bahawa apabila bergerak mengikut arah jam kita mendapat sudut putaran negatif:
Mari kita tulis dua siri penyelesaian:
,
,
(Kita sampai ke titik yang dikehendaki dengan pergi dari bulatan penuh utama, iaitu.
Mari gabungkan dua siri ini menjadi satu entri:
3. Selesaikan persamaan
Garis tangen melalui titik dengan koordinat (1,0) bulatan unit selari dengan paksi OY
Mari kita tandakan titik di atasnya dengan ordinat sama dengan 1 (kita sedang mencari tangen yang sudutnya sama dengan 1):
Mari kita sambungkan titik ini kepada asal koordinat dengan garis lurus dan tandakan titik persilangan garis dengan bulatan unit. Titik persilangan garis lurus dan bulatan sepadan dengan sudut putaran pada dan :
Oleh kerana titik yang sepadan dengan sudut putaran yang memenuhi persamaan kita terletak pada jarak radian antara satu sama lain, kita boleh menulis penyelesaiannya dengan cara ini:
4. Selesaikan persamaan
Garisan kotangen melalui titik dengan koordinat bulatan unit selari dengan paksi.
Mari kita tandai titik dengan abscissa -1 pada garisan kotangen:
Mari kita sambungkan titik ini dengan asal garis lurus dan teruskan sehingga ia bersilang dengan bulatan. Garis lurus ini akan memotong bulatan pada titik yang sepadan dengan sudut putaran dalam dan radian:
Oleh kerana titik-titik ini dipisahkan antara satu sama lain dengan jarak yang sama dengan , maka penyelesaian umum Kita boleh menulis persamaan ini seperti ini:
Dalam contoh yang diberikan yang menggambarkan penyelesaian persamaan trigonometri yang paling mudah, nilai jadual fungsi trigonometri telah digunakan.
Walau bagaimanapun, jika sebelah kanan persamaan mengandungi nilai bukan jadual, maka kita menggantikan nilai tersebut ke dalam penyelesaian umum persamaan:
PENYELESAIAN KHAS:
Mari kita tandai titik-titik pada bulatan yang ordinatnya ialah 0:
Mari kita tandakan satu titik pada bulatan yang ordinatnya ialah 1:
Mari kita tandakan satu titik pada bulatan yang ordinatnya sama dengan -1:
Oleh kerana kebiasaan untuk menunjukkan nilai yang paling hampir dengan sifar, kami menulis penyelesaiannya seperti berikut:
Mari kita tandai titik-titik pada bulatan yang absisnya sama dengan 0:
5.
Mari kita tandakan satu titik pada bulatan yang absisnya sama dengan 1:
Mari kita tandakan satu titik pada bulatan yang absisnya sama dengan -1:
Dan contoh yang lebih kompleks:
1.
Sinus adalah sama dengan satu jika hujahnya sama dengan
Hujah sinus kita adalah sama, jadi kita dapat:
Mari bahagikan kedua-dua belah kesamaan dengan 3:
Jawapan:
2.
Kosinus adalah sifar jika hujah kosinus ialah
Hujah kosinus kita adalah sama dengan , jadi kita dapat:
Mari kita nyatakan , untuk melakukan ini kita mula-mula bergerak ke kanan dengan tanda yang bertentangan:
Mari kita permudahkan bahagian kanan:
Bahagikan kedua-dua belah dengan -2:
Ambil perhatian bahawa tanda di hadapan istilah tidak berubah, kerana k boleh mengambil sebarang nilai integer.
Jawapan:
Dan akhirnya, tonton video tutorial “Memilih punca dalam persamaan trigonometri menggunakan bulatan trigonometri"
Ini menyimpulkan perbualan kami tentang menyelesaikan persamaan trigonometri mudah. Lain kali kita akan bercakap tentang bagaimana untuk membuat keputusan.