Sistem ortogon dan ortonormal.

Definisi 1. ) dipanggil ortogon jika semua elemennya berpasangan ortogon:

Teorem 1. Sistem ortogon bagi vektor bukan sifar adalah bebas secara linear.

(Andaikan sistem bergantung secara linear: dan, yang pasti, Marilah kita darabkan kesamaan secara skalar dengan . Dengan mengambil kira ortogonal sistem, kami memperoleh: }

Definisi 2. Sistem vektor ruang Euclidean ( ) dipanggil ortonormal jika ia ortogon dan norma setiap unsur adalah sama dengan satu.

Ia serta-merta mengikuti Teorem 1 bahawa sistem ortonormal unsur sentiasa bebas linear. Dari sini ia mengikuti, seterusnya, bahawa dalam n– dalam ruang Euclidean berdimensi sistem ortonormal daripada n vektor membentuk asas (contohnya, ( i, j, k ) pada pukul 3 X– ruang dimensi) Sistem sedemikian dipanggil asas ortonormal, dan vektornya ialah vektor asas.

Koordinat vektor dalam asas ortonormal boleh dikira dengan mudah menggunakan hasil skalar: jika Sesungguhnya, memperbanyakkan persamaan pada , kami memperoleh formula yang ditunjukkan.

Secara umum, semua kuantiti asas: hasil darab skalar vektor, panjang vektor, kosinus sudut antara vektor, dsb. mempunyai bentuk termudah dalam asas ortonormal. Mari kita pertimbangkan produk skalar: , sejak

Dan semua istilah lain adalah sama dengan sifar. Dari sini kami segera mendapat: ,

* Pertimbangkan asas sewenang-wenangnya. Hasil kali skalar dalam asas ini akan sama dengan:

(Di sini α i Dan β j – koordinat vektor dalam asas ( f), dan merupakan hasil kali skalar bagi vektor asas).

Kuantiti γ ij membentuk matriks G, dipanggil Matriks gram. Hasil kali skalar dalam bentuk matriks akan kelihatan seperti: *

Teorem 2. Dalam mana-mana n– dalam ruang Euclidean berdimensi terdapat asas ortonormal. Bukti teorem adalah bersifat membina dan dipanggil

9. Proses ortogonalisasi Gram–Schmidt.

biarkan ( a 1 ,...,a n ) − asas sewenang-wenangnya n– ruang Euclidean dimensi (kewujudan asas sedemikian adalah disebabkan oleh n– dimensi ruang). Algoritma untuk membina ortonormal berdasarkan asas tertentu adalah seperti berikut:

1.b 1 =a 1, e 1 = b 1/|b 1|, |e 1|= 1.

2.b 2^e 1, kerana (e 1, a 2)- unjuran a 2 pada e 1 , b 2 = a 2 -(e 1, a 2)e 1 , e 2 = b 2/|b 2|, |e 2|= 1.

3.b 3^a 1, b 3^a 2 , b 3 = a 3 -(e 1, a 3)e 1 -(e 2 , a 3)e 2 , e 3 = b 3/|b 3|, |e 3|= 1.

.........................................................................................................

k. b k^a 1 ,..., b k^a k-1 , b k = a k - S i=1k(e i , a k)e i , e k = b k/|b k|, |e k|= 1.

Meneruskan proses, kami memperoleh asas ortonormal ( e 1 ,...,e n }.

Nota 1. Menggunakan algoritma yang dipertimbangkan, adalah mungkin untuk membina asas ortonormal untuk mana-mana cangkerang linear, contohnya, asas ortonormal untuk cangkerang linear sistem yang mempunyai pangkat tiga dan terdiri daripada vektor lima dimensi.

Contoh.x =(3,4,0,1,2), y =(3,0,4,1,2), z =(0,4,3,1,2)

Nota 2. Kes khas

Proses Gram-Schmidt juga boleh digunakan pada jujukan tak terhingga bagi vektor bebas linear.

Di samping itu, proses Gram-Schmidt boleh digunakan untuk vektor bergantung secara linear. Dalam kes ini ia isu 0 (vektor sifar) pada langkah j , Jika a j ialah gabungan linear vektor a 1 ,...,a j -1 . Jika ini boleh berlaku, maka untuk mengekalkan keortogonan vektor keluaran dan untuk mengelakkan pembahagian dengan sifar semasa ortonormalisasi, algoritma mesti menyemak vektor nol dan membuangnya. Bilangan vektor yang dihasilkan oleh algoritma akan sama dengan dimensi subruang yang dijana oleh vektor (iaitu, bilangan vektor bebas linear yang boleh dibezakan antara vektor asal).

10. Ruang vektor geometri R1, R2, R3.

Kami menekankan bahawa hanya ruang mempunyai makna geometri langsung

R 1, R 2, R 3. Ruang R n untuk n > 3 ialah objek matematik yang abstrak.

1) Biarkan sistem dua vektor diberikan a Dan b . Jika sistem bergantung secara linear, maka salah satu vektor, katakan a , dinyatakan secara linear melalui yang lain:

a= k b.

Dua vektor yang disambungkan oleh pergantungan sedemikian, seperti yang telah disebutkan, dipanggil kolinear. Jadi, sistem dua vektor adalah bergantung secara linear jika dan sahaja

apabila vektor ini adalah kolinear. Ambil perhatian bahawa kesimpulan ini digunakan bukan sahaja untuk R3, tetapi juga untuk mana-mana ruang linear.

2) Biarkan sistem dalam R3 terdiri daripada tiga vektor a, b, c . Kebergantungan linear bermakna bahawa salah satu vektor, katakan a , dinyatakan secara linear melalui selebihnya:

A= k b+ l c . (*)

Definisi. Tiga vektor a, b, c dalam R 3 terletak dalam satah yang sama atau selari dengan satah yang sama dipanggil koplanar

(dalam rajah di sebelah kiri vektor ditunjukkan a, b, c dari satu satah, dan di sebelah kanan vektor yang sama diplot dari asal yang berbeza dan hanya selari dengan satu satah).

Jadi, jika tiga vektor dalam R3 bersandar secara linear, maka ia adalah koplanar. Sebaliknya juga benar: jika vektor a, b, c daripada R3 ialah coplanar, maka ia adalah bersandar secara linear.

Karya seni vektor vektor a, kepada vektor b dalam ruang dipanggil vektor c , memenuhi keperluan berikut:

Jawatan:

Pertimbangkan tiga tertib vektor bukan koplanar a, b, c dalam ruang tiga dimensi. Mari kita gabungkan asal-usul vektor ini pada titik A(iaitu, kita memilih titik sewenang-wenangnya dalam ruang A dan gerakkan setiap vektor secara selari supaya asalnya bertepatan dengan titik A). Hujung vektor digabungkan dengan permulaannya pada satu titik A, jangan terletak pada baris yang sama, kerana vektor bukan koplanar.

Memesan tiga kali ganda vektor bukan koplanar a, b, c dalam ruang tiga dimensi dipanggil betul, jika dari hujung vektor c pusingan terpendek dari vektor a kepada vektor b kelihatan kepada pemerhati mengikut arah lawan jam. Sebaliknya, jika pusingan terpendek dilihat mengikut arah jam, maka tiga kali ganda dipanggil kiri.

Definisi lain berkaitan dengan tangan kanan orang (lihat gambar), dari mana nama itu berasal.

Semua tiga kali ganda vektor tangan kanan (dan kidal) dipanggil berorientasikan identik.

Sama dengan sifar:

Sistem ortogonal, jika lengkap, boleh digunakan sebagai asas untuk ruang. Dalam kes ini, penguraian mana-mana unsur boleh dikira menggunakan formula: , di mana .

Kes apabila norma semua unsur dipanggil sistem ortonormal.

Ortogonalisasi

Mana-mana sistem bebas linear yang lengkap dalam ruang dimensi terhingga adalah asas. Dari asas yang mudah, oleh itu, seseorang boleh pergi ke asas ortonormal.

Penguraian ortogon

Apabila mengurai vektor ruang vektor mengikut asas ortonormal, pengiraan hasil skalar dipermudahkan: , di mana dan .

Lihat juga

Yayasan Wikimedia.

2010.

Lihat apa "Sistem ortogonal" dalam kamus lain: 1) Oh...

Ensiklopedia Matematik - (Greek orthogonios segi empat tepat) sistem terhingga atau boleh dikira fungsi kepunyaan (boleh diasingkan) ruang Hilbert L2(a,b) (fungsi boleh sepadu kuadratik) dan memenuhi syarat F ction g(x) dipanggil. seberat O. s. f.,* bermaksud... ...

Ensiklopedia fizikal Sistem fungsi??n(x)?, n=1, 2,..., dinyatakan pada segmen TRANSFORMASI ORTOGONAL transformasi linear ruang vektor Euclidean, mengekalkan panjang tidak berubah atau (yang bersamaan dengan ini) hasil skalar vektor . ..

Kamus Ensiklopedia Besar Sistem fungsi (φn(x)), n = 1, 2, ..., dinyatakan pada selang [a, b] dan memenuhi keadaan ortogonal berikut: untuk k≠l, dengan ρ(x) ialah beberapa fungsi dipanggil berat. Sebagai contoh, sistem trigonometri ialah 1, sin x, cos x, sin 2x,... ...

Sistem fungsi ((фn(х)), n=1, 2, ..., ditakrifkan pada selang [a, b] dan memenuhi surih, keadaan ortogonal untuk k tidak sama dengan l, di mana p(x ) ialah fungsi tertentu , dipanggil berat Contohnya, sistem trigonometri 1, cosх, sin 2x,... O.s.f. Sains semula jadi. Kamus Ensiklopedia

Sistem fungsi ((φn (x)), n = 1, 2,..., ortogon dengan berat ρ (x) pada segmen [a, b], iaitu, supaya Contoh. Sistem trigonometri 1, cos nx , sin nx; n = 1, 2,..., O. f. Ensiklopedia Soviet yang Hebat

Koordinat ortogon ialah koordinat di mana tensor metrik mempunyai bentuk pepenjuru. di mana d Dalam sistem koordinat ortogon q = (q1, q², …, qd) permukaan koordinat adalah ortogon antara satu sama lain. Khususnya, dalam sistem koordinat Cartesian... ... Wikipedia

sistem berbilang saluran ortogon- - [L.G. Sumenko. Kamus Inggeris-Rusia mengenai teknologi maklumat. M.: State Enterprise TsNIIS, 2003.] Topik teknologi maklumat secara am EN orthogonal multiplex ...

sistem koordinat imej (fotogrammetrik).- Sistem koordinat spatial ortogon kanan, ditetapkan pada imej fotogrametri dengan imej tanda fidusial. [GOST R 51833 2001] Topik: fotogrametri... Panduan Penterjemah Teknikal

sistem- Sistem 4.48: Gabungan elemen berinteraksi yang dianjurkan untuk mencapai satu atau lebih matlamat yang ditentukan. Nota 1 Sistem boleh dianggap sebagai produk atau perkhidmatan yang disediakannya. Nota 2 Dalam amalan... ... Buku rujukan kamus istilah dokumentasi normatif dan teknikal

Definisi. vektora Danb dipanggil ortogonal (berserenjang) antara satu sama lain jika hasil skalarnya sama dengan sifar, i.e.a × b = 0.

Untuk vektor bukan sifar a Dan b kesamaan hasil skalar kepada sifar bermakna cos j= 0, i.e. . Vektor sifar adalah ortogon kepada mana-mana vektor, kerana a × 0 = 0.

Bersenam. Biarkan dan menjadi vektor ortogon. Maka adalah wajar untuk mempertimbangkan pepenjuru segi empat tepat dengan sisi dan . Buktikan itu

mereka. Kuasa dua panjang pepenjuru segi empat tepat adalah sama dengan hasil tambah kuasa dua panjang dua sisi tidak selarinya.(Teorem Pythagoras).

Definisi. Sistem vektora 1 ,…, a m dipanggil ortogon jika mana-mana dua vektor sistem ini adalah ortogon.

Oleh itu, untuk sistem vektor ortogon a 1 ,…,a m persamaan itu benar: a i × a j= 0 pada i¹ j, i= 1,…, m; j= 1,…,m.

Teorem 1.5. Sistem ortogon yang terdiri daripada vektor bukan sifar adalah bebas secara linear. .

□ Kami melaksanakan pembuktian melalui percanggahan. Katakan bahawa sistem ortogon bagi vektor bukan sifar a 1 , …, a m bergantung secara linear. Kemudian

l 1 a 1 + …+ l ma m= 0 , pada masa yang sama. (1.15)

Biarkan, sebagai contoh, l 1 ¹ 0. Darab dengan a 1 kedua-dua belah kesamarataan (1.15):

l 1 a 1× a 1 + …+ l m a m × a 1 = 0.

Semua sebutan kecuali yang pertama adalah sama dengan sifar disebabkan oleh keortogonan sistem a 1 , …, a m. Kemudian l 1 a 1× a 1 =0, yang berikut a 1 = 0 , yang bercanggah dengan syarat tersebut. Andaian kami ternyata meleset. Ini bermakna sistem ortogon bagi vektor bukan sifar adalah bebas secara linear. ■

Teorem berikut berlaku.

Teorem 1.6. Dalam ruang Rn sentiasa terdapat asas yang terdiri daripada vektor ortogon (asas ortogon)
(tiada bukti).

Tapak ortogon adalah mudah terutamanya kerana pekali pengembangan vektor sewenang-wenang ke atas tapak tersebut hanya ditentukan.

Katakan kita perlu mencari penguraian vektor arbitrari b secara ortogonal e 1 ,…,e n. Mari kita buat pengembangan vektor ini dengan pekali pengembangan yang masih tidak diketahui untuk asas ini:

Mari kita darabkan kedua-dua belah kesamaan ini secara skalar dengan vektor e 1. Berdasarkan aksiom 2° dan 3° hasil darab skalar vektor, kita memperoleh

Sejak vektor asas e 1 ,…,e n adalah saling ortogon, maka semua hasil skalar bagi vektor asas, kecuali yang pertama, adalah sama dengan sifar, i.e. pekali ditentukan oleh formula

Mendarab kesamaan (1.16) satu demi satu dengan vektor asas yang lain, kami memperoleh formula mudah untuk mengira pekali pengembangan vektor b :

. (1.17)

Formula (1.17) masuk akal kerana .

Definisi. vektora dipanggil ternormal (atau unit) jika panjangnya sama dengan 1, iaitu (a , a )= 1.

Mana-mana vektor bukan sifar boleh dinormalisasi. biarlah a ¹ 0 . Kemudian , dan vektor ialah vektor ternormal.

Definisi. Sistem vektor e 1 ,…,e n dikatakan ortonormal jika ia ortogon dan panjang setiap vektor sistem adalah sama dengan 1, iaitu

(1.18)

Oleh kerana sentiasa ada asas ortogon dalam ruang Rn dan vektor asas ini boleh dinormalisasi, maka sentiasa ada asas ortonormal dalam Rn.

Contoh asas ortonormal bagi ruang R n ialah sistem vektor e 1 ,=(1,0,…,0),…, e n=(0,0,…,1) dengan hasil skalar yang ditakrifkan oleh kesamaan (1.9). Secara ortonormal e 1 ,=(1,0,…,0),…, e n=(0,0,…,1) formula (1.17) untuk menentukan koordinat penguraian vektor b mempunyai bentuk yang paling mudah:

biarlah a Dan b – dua vektor arbitrari ruang R n dengan asas ortonormal e 1 ,=(1,0,…,0),…, e n=(0,0,…,1). Mari kita nyatakan koordinat bagi vektor a Dan b dalam asas e 1 ,…,e n sewajarnya melalui a 1 ,…,a n Dan b 1 ,…, b n dan cari ungkapan untuk hasil skalar bagi vektor ini melalui koordinatnya dalam asas ini, i.e. andaikan itu

, .

Daripada kesamaan terakhir, berdasarkan aksiom dan hubungan hasil skalar (1.18), kita memperoleh

Akhirnya kita ada

. (1.19)

Oleh itu, dalam asas ortonormal, hasil darab skalar mana-mana dua vektor adalah sama dengan hasil tambah hasil koordinat yang sepadan bagi vektor ini.

Sekarang mari kita pertimbangkan asas arbitrari sepenuhnya (secara amnya, bukan ortonormal) dalam ruang Euclidean n-dimensi R n dan cari ungkapan untuk hasil darab skalar dua vektor arbitrari a Dan b melalui koordinat vektor ini dalam asas yang ditentukan.

sistem fungsi ((φ n(x)}, n= 1, 2,..., ortogonal dengan berat ρ ( X) pada segmen [ A, b], iaitu sedemikian

Contoh. sistem trigonometri 1, cos nx,dosa nx; n= 1, 2,..., - O.s. f. dengan berat 1 pada selang [-π, π]. Fungsi Bessel n = 1, 2,..., J ν ( x), bentuk untuk setiap ν > - 1/2 O. s. f. dengan berat X pada segmen.

Jika setiap fungsi φ ( X) daripada O. s. f. adakah itu x) mengikut nombor

Kajian sistematik O. s. f. telah dimulakan berkaitan dengan kaedah Fourier untuk menyelesaikan masalah nilai sempadan persamaan fizik matematik. Kaedah ini membawa, sebagai contoh, kepada mencari penyelesaian kepada masalah Sturm-Liouville (Lihat masalah Sturm-Liouville) untuk persamaan [ρ( X) y" ]" + q(x) y = λ di, memenuhi syarat sempadan di(A) + hy"(a) = 0, y(b) + Hy"(b) = 0, di mana h Dan N- kekal. Keputusan ini adalah yang dipanggil. fungsi eigen masalah membentuk O.s. f. dengan berat ρ ( X) pada segmen [ a, b].

Kelas O. s yang sangat penting. f. - Polinomial ortogonal - ditemui oleh P. L. Chebyshev dalam kajiannya mengenai interpolasi dengan kaedah kuasa dua terkecil dan masalah momen. Pada abad ke-20 penyelidikan tentang O. s. f. dijalankan terutamanya berdasarkan teori kamiran dan ukuran Lebesgue. Ini menyumbang kepada pemisahan kajian ini kepada cabang matematik yang bebas. Salah satu tugas utama teori O. s. f. - masalah penguraian fungsi f(x) dalam satu siri bentuk p ( X)) - O. s. f. Jika kita letak secara formal p( X)) - dinormalkan O. s. f., dan membenarkan kemungkinan penyepaduan istilah demi sebutan, kemudian, darabkan siri ini dengan φ n(X) ρ( X) dan menyepadukan daripada A kepada b, kita dapat:

Kemungkinan S hlm, dipanggil pekali Fourier bagi fungsi relatif kepada sistem (φ n(x)), mempunyai sifat ekstrem berikut: bentuk linear x):

mempunyai nilai terkecil berbanding ralat yang diberikan untuk yang sama n ungkapan linear bentuk yang lain

Siri ∑ ∞ n=1 C n φ n (x) dengan kemungkinan S hlm, dikira menggunakan formula (*), dipanggil siri Fourier bagi fungsi tersebut f(x) mengikut O. s yang dinormalkan. f. (φ n(x)). Untuk aplikasi, persoalan kepentingan utama ialah sama ada fungsi itu ditakrifkan secara unik f(x) dengan pekali Fourier mereka. O.S. f., yang mana ini berlaku, dipanggil lengkap, atau tertutup. Syarat untuk O. s tertutup. f. boleh diberikan dalam beberapa bentuk yang setara. 1) Sebarang fungsi berterusan f(x) boleh dianggarkan secara purata dengan sebarang darjah ketepatan oleh kombinasi linear fungsi φ k(x), iaitu, C n φ n (x) menumpu secara purata kepada fungsi f(x)]. 2) Untuk sebarang fungsi f(x), yang kuasa duanya kita integrasikan berkenaan dengan berat ρ( X), keadaan penutupan Lyapunov-Steklov dipenuhi:

3) Tiada fungsi bukan sifar dengan boleh diintegrasikan pada selang [ a, b] segi empat sama ortogon kepada semua fungsi φ n(x), n = 1, 2,....

Jika kita menganggap fungsi dengan segi empat sama boleh integrasi sebagai elemen ruang Hilbert (Lihat ruang Hilbert), maka O.S yang dinormalkan. f. akan menjadi sistem vektor unit koordinat ruang ini, dan pengembangan siri dalam O.s ternormal. f. - pengembangan vektor dalam vektor unit. Dengan pendekatan ini, banyak konsep teori sistem operasi normal. f. memperoleh makna geometri yang jelas. Sebagai contoh, formula (*) bermaksud unjuran vektor pada vektor unit adalah sama dengan hasil darab skalar bagi vektor dan unit unit; kesamaan Lyapunov-Steklov boleh ditafsirkan sebagai teorem Pythagoras untuk ruang dimensi tak terhingga: kuasa dua panjang vektor adalah sama dengan jumlah kuasa dua unjurannya pada paksi koordinat; pengasingan O. s. f. bermakna subruang tertutup terkecil yang mengandungi semua vektor sistem ini bertepatan dengan keseluruhan ruang, dsb.

Lit.: Tolstov G.P., Siri Fourier, ed. ke-2, M., 1960; Natanson I.P., Teori konstruktif fungsi, M. - L., 1949; oleh beliau, Teori fungsi pembolehubah nyata, ed. ke-2, M., 1957; Jackson D., siri Fourier dan polinomial ortogon, terj. daripada English, M., 1948; Kaczmarz S., Shteingauz G., Teori siri ortogon, terj. dari German, M., 1958.

- kumpulan semua transformasi linear ruang vektor n-dimensi V di atas medan k, mengekalkan bentuk kuadratik tetap tidak merosot Q pada V)=Q untuk sebarang)...
Ensiklopedia Matematik
- matriks di atas gelang komutatif R dengan unit 1, yang mana matriks terpindah bertepatan dengan songsang. Penentu O. m adalah sama dengan +1...
Ensiklopedia Matematik
- rangkaian di mana tangen pada titik tertentu ke garisan keluarga yang berbeza adalah ortogon. Contoh sistem operasi: rangkaian asimptotik pada permukaan minimum, rangkaian kelengkungan garis. A.V. Ivanov...
Ensiklopedia Matematik
- 1) Oh....
Ensiklopedia Matematik
- tatasusunan ortogon, OA - matriks bersaiz kx N, unsur-unsurnya ialah nombor 1, 2, .....
Ensiklopedia Matematik
- lihat trajektori Isogonal...
Ensiklopedia Matematik
- sistem ortonormal fungsi (j) bagi ruang Hilbert H tertentu supaya dalam H tidak wujud fungsi ortogon kepada semua fungsi keluarga tertentu...
Ensiklopedia Matematik
- lihat Unjuran...
Kamus Besar Politeknik Ensiklopedia
- penentuan subordinasi fungsi pelbagai objek...
Kamus istilah perniagaan
- pengukuhan fungsi, salah satu daripada Ch. cara transformasi progresif organ semasa evolusi haiwan. I.f. biasanya dikaitkan dengan komplikasi struktur organ dan badan secara keseluruhan...
Kamus ensiklopedia biologi
- pengukuhan fungsi, salah satu cara utama transformasi progresif organ semasa evolusi haiwan. I.f. dikaitkan dengan komplikasi struktur organ dan membawa kepada peningkatan umum dalam tahap aktiviti penting...
- pesanan n Matriks...
Ensiklopedia Soviet yang Hebat
- kes khas unjuran selari, apabila paksi atau satah unjuran berserenjang dengan arah unjuran...
Ensiklopedia Soviet yang Hebat
- sistem fungsi (), n = 1, 2,..., ortogonal dengan berat ρ pada segmen, iaitu, supaya Contoh. Sistem trigonometri 1, cos nx, sin nx; n = 1, 2,..., - O.s. f. dengan berat 1 pada segmen...
Ensiklopedia Soviet yang Hebat
- sistem fungsi sedemikian Ф = (φ), ditakrifkan pada selang, bahawa tiada fungsi f yang mana,...
Ensiklopedia Soviet yang Hebat
- sistem FUNGSI ORTOGONAL - sistem fungsi??n?, n=1, 2,.....
Kamus ensiklopedia besar

"Sistem fungsi ortogon" dalam buku

Perenggan XXIV Sistem lama peperangan parit dan sistem perarakan moden

Daripada buku Strategy and Tactics in the Art of War pengarang Zhomini Genrikh Veniaminovich

Perenggan XXIV Sistem Lama Peperangan Kedudukan dan Sistem Perarakan Moden Dengan sistem kedudukan bermaksud kaedah lama untuk menjalankan peperangan berkaedah, dengan tentera tidur di dalam khemah, mempunyai bekalan di tangan, terlibat dalam memerhati satu sama lain; satu tentera

19. Konsep "sistem cukai Persekutuan Rusia". Hubungan antara konsep "sistem cukai" dan "sistem cukai"

Daripada buku Undang-undang Cukai pengarang Mikidze S G

19. Konsep "sistem cukai Persekutuan Rusia". Hubungan antara konsep "sistem cukai" dan "sistem cukai" Sistem cukai ialah satu set cukai persekutuan, cukai serantau dan tempatan yang ditubuhkan di Persekutuan Rusia. Strukturnya termaktub dalam Seni. 13–15 Kod Cukai Persekutuan Rusia Selaras dengan

Daripada buku How It Really Happened. Pembinaan semula sejarah sebenar pengarang Nosovsky Gleb Vladimirovich

23. Sistem geosentrik Ptolemy dan sistem heliosentrik Tycho Brahe (dan Copernicus) Sistem dunia menurut Tycho Brahe ditunjukkan dalam Rajah. 90. Di tengah-tengah dunia ialah Bumi, di mana Matahari beredar. Walau bagaimanapun, semua planet lain sudah mengorbit Matahari. Tepat sekali

23. Sistem geosentrik Ptolemy dan sistem heliosentrik Tycho Brahe (dan Copernicus)

Dari buku penulis

Sistem fungsi yang lengkap

Dari buku Great Soviet Encyclopedia (PO) oleh pengarang TSB

Matriks ortogon

TSB

Unjuran ortografik

Daripada buku Great Soviet Encyclopedia (OR) oleh pengarang TSB

Sistem fungsi ortogon

Daripada buku Great Soviet Encyclopedia (OR) oleh pengarang TSB

Petua 46: Hantar objek fungsi kepada algoritma dan bukannya fungsi

Daripada buku Menggunakan STL Secara Berkesan oleh Meyers Scott

Petua 46: Hantar Objek Fungsi kepada Algoritma Daripada Fungsi Ia sering dikatakan bahawa meningkatkan tahap abstraksi bahasa peringkat tinggi menyebabkan kod yang dihasilkan menjadi kurang cekap. Alexander Stepanov, pencipta STL, pernah membangunkan kompleks kecil

12.3.5. Penyesuai Fungsi untuk Objek Fungsi

Dari buku C++ untuk pemula oleh Lippman Stanley

12.3.5. Penyesuai Fungsi untuk Objek Fungsi Pustaka standard juga mengandungi beberapa penyesuai fungsi untuk mengkhusus dan memanjangkan kedua-dua objek fungsi unari dan binari. Penyesuai ialah kelas khas yang dibahagikan kepada dua berikut

19/11/2. Memanggil fungsi daripada fail fungsi

Dari buku Linux dan UNIX: pengaturcaraan shell. Panduan Pembangun. oleh Tainsley David

19/11/2. Memanggil Fungsi daripada Fail Fungsi Kami telah melihat bagaimana fungsi dipanggil daripada baris arahan. Jenis fungsi ini biasanya digunakan oleh utiliti yang mencipta mesej sistem Sekarang mari kita gunakan fungsi yang diterangkan di atas sekali lagi, tetapi dalam kes ini

Sistem undang-undang objektif (positif) dan sistem perundangan: hubungan konsep

Daripada buku Fiqh pengarang Mardaliev R. T.

Sistem undang-undang objektif (positif) dan sistem perundangan: hubungan konsep Sistem undang-undang objektif (positif) ialah struktur dalaman undang-undang, membahagikannya kepada cabang, sub-sektor dan institusi mengikut subjek dan kaedah. dari segi undang-undang

31. Sistem kerajaan Perancis, hak mengundi dan sistem pilihan raya

Daripada buku Undang-undang Perlembagaan Negara Asing pengarang Imasheva E G

31. Sistem kerajaan Perancis, hak mengundi dan sistem pilihan raya Di Perancis, terdapat kerajaan republik campuran (atau separuh presiden). Sistem pemerintahan di Perancis dibina berdasarkan prinsip pemisahan kuasa Perancis Moden

Pergerakan terapeutik untuk memulihkan fungsi motor dan untuk sakit belakang Pemulihan fungsi motor

Dari buku Ensiklopedia pergerakan terapeutik untuk pelbagai penyakit pengarang Astashenko Oleg Igorevich

Pergerakan terapeutik untuk memulihkan fungsi motor dan untuk sakit belakang Memulihkan fungsi motor Terdapat banyak latihan untuk memulihkan tulang belakang. Anda boleh membuat sendiri atau mencarinya dalam pelbagai jenis gimnastik. Namun, ringkas

Pergerakan terapeutik untuk memulihkan fungsi motor dan untuk fungsi motor sakit belakang

Dari buku Overhaul untuk tulang belakang pengarang Astashenko Oleg Igorevich

Pergerakan terapeutik untuk memulihkan fungsi motor dan fungsi motor untuk sakit belakang Memulihkan fungsi motor Terdapat banyak latihan untuk memulihkan tulang belakang. Anda boleh membuat sendiri atau mencarinya dalam pelbagai jenis gimnastik.

x =λ 0 e +z, di mana L. Untuk mengira λ 0, kita darab secara skalar kedua-dua belah kesamaan dengan e. Oleh kerana (z,e) = 0, kita dapat (x,e) =λ 0 (e,e) =λ 0.

Sistem ortogon dan ortonormal

Definisi 5.5. Jika L ialah subruang bagi ruang Hilbert H, maka himpunan M semua unsur dari H yang ortogon ke L dipanggil

pelengkap ortogon kepada L.

Mari kita buktikan bahawa M juga adalah subruang.

1) Daripada sifat 3) untuk unsur ortogon, ia mengikuti bahawa M ialah subset linear bagi ruang H.

2) Biarkan z n M dan z n → z . Mengikut takrifan, M z n y untuk mana-mana y L , dan dengan sifat 4) untuk unsur ortogon kita mempunyai z y . Oleh itu, z M dan M ditutup.

Untuk mana-mana x H, mengikut Teorem 5.3 terdapat pengembangan unik

daripada bentuk x =y +z, di mana y L,z M, i.e. subruang L dan bentuk M

penguraian ortogon ruang H.

Lemma 5.1. Biarkan set terhingga atau boleh dikira subruang ortogon berpasangan L n diberikan dan biarkan unsur x H diwakili dalam bentuk

x = ∑ y n , di mana y L . Maka perwakilan sedemikian adalah unik dan y n = Pr L n x .

Definisi 5.6. Sistem subruang ortogon L n dipanggil lengkap jika dalam ruang H tiada unsur bukan sifar ortogon kepada semua L n .

Definisi 5.7. Sistem unsur terhingga atau boleh dikira h n ruang Hilbert H dipanggil ortogonal jika h n h m untuk n ≠m Definisi 5.8. Sistem ortogonal h n dipanggil ortonormal, jika ||h n || = 1.

Definisi 5.9. Sistem ortogonal h n dipanggil lengkap jika tiada unsur bukan sifar x H sehingga x h n untuk semua n .

Anda boleh menyemak itu unsur bukan sifar sistem ortogon adalah bebas linear.

Contoh sistem ortonormal lengkap dalam l 2 ialah sistem semua vektor unit koordinat.


Dihasilkan oleh unsur h n	satu dimensi		subruang L n
ortogon. Unjuran elemen				subruang
dikira dengan formula		x = anhn.
	PrL n
Nombor α n = (x ,h n ) dipanggil	pekali			Unsur Fourierx
relatif kepada sistem unsur h n.

Teorem 5.4. Jika unsur x H boleh diwakili sebagai

x = ∑ λ n h n , maka perwakilan ini adalah unik dan pekali λ n adalah sama

Ini adalah persembahan x dipanggil pengembangan Fourier (pengembangan ortogon) unsur x ke dalam unsur hn.

Teorem 5.5. Agar sebarang unsur x H diwakili oleh pengembangan Fouriernya ke atas unsur h n sistem ortonormal, adalah perlu dan mencukupi bahawa sistem ini lengkap.

Daripada teorem ini, ia mengikuti bahawa dalam ruang Hilbert n-dimensi, sistem ortonormal yang lengkap mesti terdiri daripada n unsur. Sebaliknya, jika dalam ruang Hilbert n-dimensi asas sewenang-wenangnya diberikan, yang terdiri daripada unsur ortogon berpasangan, maka ia mengikuti daripada Teorem 5.5 bahawa sistem ini lengkap.

Definisi 5.10. Sistem ortogon lengkap unsur dipanggil

asas ortonormal ruang Hilbert.

Definisi 5.11. Nisbah

	∑ α n 2=
	∑ α n 2=

di mana α n	– Pekali Fourier bagi unsur x, dipanggil persamaan
pengasingan.

Teorem 5.6.

Untuk sistem ortonormal arbitrari (h n ), pernyataan berikut mengenai unsur x H adalah setara:

1) untuk unsur x H pengembangan Fourier (5.7) adalah sah;

2) unsur x H termasuk dalam subruang yang dijana oleh set unsur (h n);

3) untuk unsur x H persamaan ketertutupan (5.8) dipenuhi. Daripada Teorem 5.5 dan 5.6 ia mengikuti bahawa untuk sistem ortonormal menjadi lengkap, adalah perlu dan mencukupi bahawa

bagi mana-mana x H persamaan ketertutupan telah dipenuhi.

Teorem 5.7. Jika unsur x H boleh diwakili oleh pengembangan Fouriernya (5.7) ke atas unsur-unsur sistem ortonormal (h n ), maka untuk sebarang y H

(x ,y )= ∑ α n β n ,

dengan α n ialah pekali Fourier bagi unsurx, β n ialah pekali Fourier bagi unsur relatif kepada sistem (h n).

Teorem 5.8. Ruang bernorma dimensi terhingga boleh dipisahkan. Mana-mana ruang dengan asas boleh dikira boleh diasingkan.

Daripada Teorem 5.8 dan 5.9 ia menunjukkan bahawa asas ortonormal terhingga atau boleh dikira boleh wujud hanya dalam ruang yang boleh diasingkan.

Ortogonalisasi sistem unsur bebas linear

Biarkan sistem terhingga atau boleh dikira bagi unsur bebas linear g 1 ,g 2 , ... diberikan dalam ruang Hilbert H , ... Mari kita bina sistem ortonormal unsur h 1 , h 2 , ... supaya setiap h n mempunyai bentuk

h n =μ n 1 g 1 +μ n 2 g 2 +...+μ nn g n ,
dan setiap g n mempunyai bentuk
g n =ν n 1 h 1 +ν n 2 h 2 +...+ν nn h n .

Mula-mula, mari kita bina sistem ortogon bagi unsur f 1 , f 2 , ... , dengan mengandaikan secara berurutan

k = 1

Pekali λ ik mesti dipilih sedemikian rupa sehingga unsur f 1 , f 2 , ... adalah ortogonal berpasangan. Biarkan pekali λ ik bagi unsur f 1 , f 2 , ..., f n- 1 telah pun ditemui. Kemudian apabila saya

n− 1		n− 1
(f n ,f i ) = (g n –∑ λ nk f k ,f i ) = (g n ,f i ) –∑ λ nk (f k ,f i ).
k = 1		k = 1
Sejak f 1 ,f 2 , ..., f n- 1 sudah	adalah ortogon, maka (f k ,f i ) = 0 untuk		k ≠ i,
kita dapat	F i ) = (g n ,f i ) –λ ni \|\|f i \|\|2 .
(fn	F i ) = (g n ,f i ) –λ ni \|\|f i \|\|2 .
Oleh kerana setiap elemen		ialah gabungan linear secara linear
unsur bebas g 1,	g 2 , ...,g n , dan pekali		di g n

kesatuan, maka f n ≠ 0. Agar keadaan (f n ,f i ) = 0 dipenuhi, pekali λ ni mesti ditentukan oleh formula

λni=	g n,	f i)

Kami telah membina sistem ortogonal f 1 ,f 2 , .... Sekarang mari letak

h n=

Unsur h 1 ,h 2 , ... adalah ortogon berpasangan, ||h n || = 1 dan setiap unsur h n ialah gabungan linear unsur g 1 ,g 2 , ...,g n , oleh itu, mempunyai bentuk yang diperlukan (5.9). Sebaliknya, daripada formula (5.11) jelas bahawa setiap g n ialah gabungan linear bagi unsur f 1, f 2, ..., f n, dan oleh itu unsur h 1, h 2, ..., h n , iaitu mempunyai bentuk (5.10). Oleh itu, kami telah memperoleh sistem ortonormal yang diperlukan.

Selain itu, jika sistem asal (gn) adalah tidak terhingga, maka proses ortogonalisasi terdiri daripada bilangan langkah yang tidak terhingga, dan sistem (hn) juga akan menjadi tidak terhingga. Jika sistem asal terdiri daripada m elemen, maka sistem yang terhasil akan mempunyai nombor yang sama.

Perhatikan bahawa daripada keadaan (5.9) dan (5.10) ia berikutan bahawa cangkerang linear sistem unsur (gn) dan (hn) bertepatan.

Jika L ialah subruang dimensi terhingga bagi ruang H, dan g 1 ,g 2 , ...,g n ialah asas arbitrarinya, maka dengan menggunakan proses pengortogonan pada sistem (g n ), kita akan membina asas ortonormal bagi ruang kecil itu

Isomorfisme bagi ruang Hilbert yang boleh dipisahkan sewenang-wenangnya dengan ruang l²

Teorem 5.10. Dalam ruang Hilbert H yang boleh dipisahkan yang mengandungi unsur bukan sifar, wujud asas ortonormal terhingga atau boleh dikira.

Bukti.

Mengikut takrifan kebolehpisahan, terdapat set padat A yang boleh dikira di mana-mana dalam H. Mari kita nombor semula semua elemen set A. Marilah kita memilih daripada A sistem terhingga atau boleh dikira B bagi elemen bebas linear, yang rentang linearnya bertepatan dengan rentang linear set A. Dalam kes ini, semua elemen yang dibuang daripada A adalah gabungan linear bagi elemen sistem B. Kami akan menundukkan sistem B kepada proses ortogonalisasi dan membina sistem ortonormal terhingga atau boleh dikira unsur h n . Jom buktikan

bahawa ia penuh.

Biarkan x H adalah ortogon kepada semua h n . Oleh kerana unsur-unsur sistem B ialah gabungan linear unsur h n , tox adalah ortogon kepada semua unsur

sistem B. Set A berbeza daripada B kerana ia mengandungi beberapa lagi elemen yang diwakili sebagai gabungan linear unsur sistem B. Oleh itu, x adalah ortogon kepada semua elemen set A. Tetapi oleh kerana A tumpat di mana-mana dalamH, maka x = 0 dengan sifat 5) untuk unsur ortogon. Oleh itu, kesempurnaan sistem unsur h n terbukti.

Mari kita pindahkan takrif isomorfisme algebra dan isometri untuk ruang Euclidean kepada mana-mana ruang bernorma.

Definisi 5.12. Dua ruang bernorma E dan E 1 dipanggil

secara algebra isomorfik dan isometrik , jika surat-menyurat satu dengan satu boleh diwujudkan antara elemen mereka supaya:

a) operasi algebra pada unsur dari E sepadan dengan operasi yang sama pada imej mereka dalam E 1 ;

b) norma unsur yang sepadan dari E dan dari E 1 adalah sama.

Teorem 5.11. Setiap ruang Hilbert boleh dipisahkan berdimensi tak terhingga H secara algebra isomorfik dan isometrik kepada ruang l 2 .

Bukti.

Mengikut Teorem 5.10, terdapat asas ortonormal boleh dikira dalam H: h 1 ,h 2 , ..., h n , .... Dengan Teorem 5.5, bagi mana-mana x H pengembangan ke dalam

x = ∑ α n hn .

setanding

n= 1

jujukan pekalinya

(α n ), iaitu.

n= 1

Vektor a dan akan dipanggil imej unsur.

Jika α n ialah pekali Fourier bagi unsur, dan β n ialah pekali

hasil tambah imej bagi unsur x dan y. Begitu juga, ia disahkan bahawa jika a ialah imej unsur, maka λ a ialah imej unsur λ x. Ini bermakna bahawa operasi algebra pada elemen dariH sepadan dengan operasi yang sama pada imej mereka inl 2.

Mari kita tunjukkan bahawa setiap vektor a = (α n )l 2 ialah imej bagi sesetengahnya

x H . Untuk melakukan ini, memandangkan nilai yang diberikan, kami menyusun siri ∑ α n h n . Sejak ahli siri

adalah ortogonal berpasangan, dan		n= 1
adalah ortogonal berpasangan, dan

∑ \|\|α n h n \|\|2 =	∑ α n 2< +∞,
n= 1	n= 1

maka dengan Teorem 5.2 siri itu menumpu. Jika kita menyatakan jumlahnya dengan x, maka dengan Teorem 5.4α n akan menjadi pekali Fourier bagi ini, oleh itu,

vektor yang diberi a akan menjadi imejnya.

Sekarang mari kita periksa bahawa surat-menyurat yang telah ditetapkan antara elemen dari H dan vektor dari l 2 adalah satu-dengan-satu. Sesungguhnya, jika vektor a dan b ialah imej unsur dalam y, maka, dengan apa yang telah dibuktikan, a – b ialah imej unsur – y dan oleh (5.12) a − b = x − y. Oleh itu, jikax ≠ y, maka ia ≠ b.

Dengan kata lain, jika sistem ortonormal lengkap, dan dua unsur x dan y masing-masing mempunyai pekali Fourier yang sama, maka x = y. Ini tidak benar untuk sistem yang tidak lengkap.

Oleh itu, kami telah mewujudkan korespondensi antara unsur dari H dan vektor dari l 2, yang mewakili isomorfisme algebra dan, mengikut (5.12), isometrik. Teorem telah terbukti.

Sekarang kita membuktikan bahawa isomorfisme antara H dan l 2 juga ditubuhkan dengan

mengekalkan nilai hasil skalar.

Teorem 5.12. Dengan isomorfisme antara ruang H dan l 2 yang ditubuhkan dalam Teorem 5.11, hasil darab skalar mana-mana dua unsur H . adalah sama dengan hasil darab skalar imej mereka dalam l 2 .

Bukti . Biarkan vektor a dan b ialah imej unsur uy,


sewajarnya, a= (α n),b= (β n). Kemudian: x = ∑ α n h n ,y =∑ β n h n .
n= 1	n= 1

Dengan mengambil kira Teorem 5.7 dan takrifan hasil kali skalar dalam l 2, kita dapati