Formula asas trigonometri. Pelajaran No 1
Bilangan formula yang digunakan dalam trigonometri agak besar (dengan "formula" kami tidak bermaksud takrifan (contohnya, tgx=sinx/cosx), tetapi kesamaan yang sama seperti sin2x=2sinxcosx). Untuk menjadikannya lebih mudah untuk mengemudi formula yang banyak ini dan tidak memenatkan pelajar dengan kerumitan yang tidak bermakna, adalah perlu untuk menyerlahkan yang paling penting di kalangan mereka. Terdapat sedikit daripada mereka - hanya tiga. Semua yang lain mengikuti daripada tiga formula ini. Ini ialah identiti dan formula trigonometri asas untuk sinus dan kosinus hasil tambah dan perbezaan:
Dosa 2 x+cos 2 x=1 (1)
Sin(x±y)=sinxkosy±sinycosx (2)
Cos(x±y)=cosxcosy±sinxsiny (3)
Daripada ketiga-tiga formula ini, ikuti sepenuhnya semua sifat sinus dan kosinus (perioditi, nilai tempoh, nilai sinus 30 0 = π/6=1/2, dll.) Dari sudut pandangan ini, banyak maklumat berlebihan yang tidak diperlukan secara rasmi adalah digunakan dalam kurikulum sekolah. Jadi, formula "1-3" adalah penguasa kerajaan trigonometri. Mari kita beralih kepada formula akibat:
1) Sinus dan kosinus berbilang sudut
Jika kita menggantikan nilai x=y ke dalam (2) dan (3), kita dapat:
Sin2x=2sinxcosх; sin0=sinxcosx-sinxcosx=0
Cos2x=cos 2 x-sin 2 x; cos0=cos 2 x+sin 2 x=1
Kami menyimpulkan bahawa sin0=0; cos0=1, tanpa menggunakan tafsiran geometri sinus dan kosinus. Begitu juga, dengan menggunakan formula "2-3" dua kali, kita boleh memperoleh ungkapan untuk sin3x; cos3x; sin4x; cos4x, dsb.
Sin3x = sin(2x+x) = sin2xcosx+sinxcos2x = 2sinxcos 2 x+sinx(cos 2 x-sin 2 x) = 2sinx(1-sin 2 x)+sinx(1-2sin 2 x) = 3sinx-4sin 3 x
Tugasan untuk pelajar: terbitkan ungkapan yang serupa untuk cos3x; sin4x; cos4x
2) Formula pengurangan darjah
Selesaikan masalah songsang dengan menyatakan kuasa sinus dan kosinus dari segi kosinus dan sinus berbilang sudut.
Contohnya: cos2x=cos 2 x-sin 2 x=2cos 2 x-1, maka: cos 2 x=1/2+cos2x/2
Cos2x=cos 2 x-sin 2 x=1-2sin 2 x, maka: sin 2 x=1/2-cos2x/2
Formula ini sangat kerap digunakan. Untuk memahaminya dengan lebih baik, saya menasihati anda untuk melukis graf bahagian kiri dan kanan mereka. Graf bagi segi empat sama kosinus dan sinus “membalut” di sekeliling graf garis lurus “y=1/2” (ini ialah nilai purata bagi cos 2 x dan sin 2 x dalam banyak tempoh). Dalam kes ini, kekerapan ayunan berganda berbanding dengan asal (tempoh fungsi cos 2 x sin 2 x bersamaan dengan 2π /2=π), dan amplitud ayunan dibelah dua (pekali 1/2 sebelum cos2x) .
Masalah: Nyatakan dosa 3 x; cos 3 x; dosa 4 x ; cos 4 x melalui kosinus dan sinus berbilang sudut.
3) Formula pengurangan
Mereka menggunakan keberkalaan fungsi trigonometri, membolehkan nilai mereka dikira dalam mana-mana suku bulatan trigonometri daripada nilai pada suku pertama. Formula pengurangan adalah kes yang sangat istimewa bagi formula “utama” (2-3 Contohnya: cos(x+π/2)=cosxcos π/2-sinxsin π/2=cosx*0-sinx*1=sinx).
Jadi Cos(x+ π/2) =sinx
Tugas: terbitkan formula pengurangan untuk sin(x+ π/2); cos(x+ 3 π/2)
4) Formula yang menukar jumlah atau perbezaan kosinus dan sinus kepada produk dan sebaliknya.
Mari kita tulis formula untuk sinus hasil tambah dan beza dua sudut:
Sin(x+y) = sinxcosy+sinycosx (1)
Sin(x-y) = sinxcosy-sinycosx (2)
Mari tambahkan sisi kiri dan kanan kesamaan ini:
Sin(x+y) +sin(x-y) = sinxcosy +sinycosx +sinxcosy –sinycosx
Istilah serupa membatalkan, jadi:
Sin(x+y) +sin(x-y) = 2sinxcosy (*)
a) apabila membaca (*) dari kanan ke kiri, kita dapat:
Sinxcosy= 1/2(sin(x+y) + sin(x-y)) (4)
Hasil darab sinus dua sudut adalah sama dengan separuh jumlah sinus hasil tambah dan perbezaan sudut ini.
b) apabila membaca (*) dari kiri ke kanan, adalah mudah untuk menandakan:
x-y = c. Dari sini kita akan dapati X Dan di melalui r Dan Dengan, menambah dan menolak sisi kiri dan kanan kedua-dua kesamaan ini:
x = (p+c)/2, y = (p-c)/2, menggantikan (*) bukannya (x+y) dan (x-y) pembolehubah baharu terbitan r Dan Dengan, mari bayangkan jumlah sinus melalui produk:
sinp + sinc =2sin(p+c)/2cos(p-c)/2 (5)
Jadi, akibat langsung dari formula asas untuk sinus hasil tambah dan perbezaan sudut ternyata menjadi dua hubungan baru (4) dan (5).
c) sekarang, daripada menambah sisi kiri dan kanan kesamaan (1) dan (2), kita akan menolaknya antara satu sama lain:
sin(x+y) – sin(x-y) = 2sinycosx (6)
Membaca identiti ini dari kanan ke kiri membawa kepada formula yang serupa dengan (4), yang ternyata tidak menarik, kerana kita sudah tahu bagaimana untuk menguraikan hasil darab sinus dan kosinus kepada jumlah sinus (lihat (4)). Pembacaan (6) dari kiri ke kanan memberikan formula yang meruntuhkan perbezaan sinus ke dalam produk:
sinp – sinc = 2sin((p-c)/2) * cos((p+c)/2) (7)
Jadi, daripada satu identiti asas sin (x±y) = sinxcosy±sinycosx, kami mendapat tiga yang baharu (4), (5), (7).
Kerja serupa dilakukan dengan identiti asas lain cos (x±y) = cosxcosy±sinxsiny sudah membawa kepada empat yang baharu:
Cosxcosy = ½ (cos(x+y) + cos (x-y)); cosp + cosc = 2cos((p+c)/2)cos((p-c)/2);
Sinxsiny = ½ (cos(x-y) – cos(x+y)); cosp-cosc = -2sin((p-c)/2)sin((p+c)/2)
Tugas: menukar jumlah sinus dan kosinus kepada hasil:
Sinx +selesa = ? Penyelesaian: jika anda cuba untuk tidak mendapatkan formula, tetapi segera lihat jawapan dalam beberapa jadual formula trigonometri, maka anda mungkin tidak menemui hasil yang sudah siap. Pelajar harus memahami bahawa tidak perlu menghafal dan memasukkan ke dalam jadual formula lain untuk sinx+cosy = ..., kerana sebarang kosinus boleh diwakili sebagai sinus dan, sebaliknya, menggunakan formula pengurangan, contohnya: sinx = cos ( π/2 – x), selesa = sin (π/2 – y). Oleh itu: sinx+cosy = sinx + sin (π/2 – y) = 2sin ((x+π/2 – y)/2)cos((x - π/2 + y)/2.
Rumus trigonometri asas ialah formula yang mewujudkan hubungan antara fungsi trigonometri asas. Sinus, kosinus, tangen dan kotangen saling berkaitan oleh banyak hubungan. Di bawah ini kami membentangkan formula trigonometri utama, dan untuk kemudahan kami akan mengumpulkannya mengikut tujuan. Menggunakan formula ini anda boleh menyelesaikan hampir semua masalah daripada kursus trigonometri standard. Mari kita segera ambil perhatian bahawa di bawah hanya formula itu sendiri, dan bukan kesimpulannya, yang akan dibincangkan dalam artikel berasingan.
Identiti asas trigonometri
Identiti trigonometri memberikan hubungan antara sinus, kosinus, tangen dan kotangen bagi satu sudut, membolehkan satu fungsi dinyatakan dalam sebutan yang lain.
Identiti trigonometri
sin 2 a + cos 2 a = 1 t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α t g α c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , c t g 2 α + 1 = 1 sin 2 α
Identiti ini mengikut terus daripada takrifan bulatan unit, sinus (sin), kosinus (cos), tangen (tg) dan kotangen (ctg).
Formula pengurangan
Formula pengurangan membolehkan anda beralih daripada bekerja dengan sudut besar sewenang-wenangnya dan sewenang-wenangnya kepada bekerja dengan sudut antara 0 hingga 90 darjah.
Formula pengurangan
sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + 2 π z = - sin α , cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z = cos α , cos π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = - sin α , cos π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z = sin α , cos π - α + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 - α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α
Formula pengurangan adalah akibat daripada keberkalaan fungsi trigonometri.
Formula penambahan trigonometri
Formula penambahan dalam trigonometri membolehkan anda menyatakan fungsi trigonometri hasil tambah atau perbezaan sudut dari segi fungsi trigonometri sudut ini.
Formula penambahan trigonometri
sin α ± β = sin α · cos β ± cos α · sin β cos α + β = cos α · cos β - sin α · sin β cos α - β = cos α · cos β + sin α · sin β t g α ± β = t g α ± t g β 1 ± t g α t g β c t g α ± β = - 1 ± c t g α c t g β c t g α ± c t g β
Berdasarkan formula penambahan, formula trigonometri untuk pelbagai sudut diterbitkan.
Formula untuk berbilang sudut: dua, tiga, dsb.
Formula sudut dua dan tiga sudutsin 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α , cos 2 α = 1 - 2 sin 2 α , cos 2 α = 2 cos 2 α - 1 t g 2 α = 2 · t g α 1 - t g 2 α dengan t g 2 α = dengan t g 2 α - 1 2 · dengan t g α sin 3 α = 3 sin α · cos 2 α - sin 3 α , sin 3 α = 3 sin α - 4 sin 3 α cos 3 α = cos 3 α - 3 sin 2 α · cos α , cos 3 α = - 3 cos α + 4 cos 3 α t g 3 α = 3 t g α - t g 3 α 1 - 3 t g 2 α c t g 3 α = c t g 3 α - 3 c t g α 3 c t g 2 α - 1
Formula separuh sudut
Rumus separuh sudut dalam trigonometri adalah akibat daripada rumus dua sudut dan menyatakan hubungan antara fungsi asas separuh sudut dan kosinus keseluruhan sudut.
Formula separuh sudut
sin 2 α 2 = 1 - cos α 2 cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 t g 2 α 2 = 1 - cos α 1 + cos α c t g 2 α 2 = 1 + cos α 1 - cos α
Formula pengurangan darjah
Formula pengurangan darjahsin 2 α = 1 - cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 α = 3 sin α - sin 3 α 4 cos 3 α = 3 cos α + cos 3 α 4 sin 4 α = 3 - 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8
Selalunya menyusahkan untuk bekerja dengan kuasa yang menyusahkan semasa membuat pengiraan. Formula pengurangan darjah membolehkan anda mengurangkan darjah fungsi trigonometri daripada besar sewenang-wenangnya kepada yang pertama. Inilah pandangan umum mereka:
Pandangan umum formula pengurangan darjah
untuk walaupun n
sin n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 (- 1) n 2 - k · C k n · cos ((n - 2 k) α) cos n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 C k n cos ((n - 2 k) α)
untuk ganjil n
sin n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 (- 1) n - 1 2 - k C k n sin ((n - 2 k) α) cos n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 C k n cos ((n - 2 k) α)
Jumlah dan perbezaan fungsi trigonometri
Perbezaan dan jumlah fungsi trigonometri boleh diwakili sebagai hasil darab. Memfaktorkan perbezaan sinus dan kosinus adalah sangat mudah digunakan semasa menyelesaikan persamaan trigonometri dan memudahkan ungkapan.
Jumlah dan perbezaan fungsi trigonometri
sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2 cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 sin α - β 2 , cos α - cos β = 2 sin α + β 2 sin β - α 2
Hasil darab fungsi trigonometri
Jika formula untuk jumlah dan perbezaan fungsi membolehkan seseorang pergi ke hasil mereka, maka formula untuk hasil darab fungsi trigonometri menjalankan peralihan terbalik - daripada hasil darab kepada jumlah. Formula untuk hasil darab sinus, kosinus dan sinus dengan kosinus dipertimbangkan.
Formula untuk hasil darab fungsi trigonometri
sin α · sin β = 1 2 · (cos (α - β) - cos (α + β)) cos α · cos β = 1 2 · (cos (α - β) + cos (α + β)) sin α cos β = 1 2 (sin (α - β) + sin (α + β))
Penggantian trigonometri sejagat
Semua fungsi trigonometri asas - sinus, kosinus, tangen dan kotangen - boleh dinyatakan dalam sebutan tangen separuh sudut.
Penggantian trigonometri sejagat
sin α = 2 t g α 2 1 + t g 2 α 2 cos α = 1 - t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 t g α = 2 t g α 2 1 - t g 2 α 2 c t g α = 1 - t g 2 α 2 2 t g α 2
Jika anda melihat ralat dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter