Секвенци и нивните типови. Дефинирање на броена низа

Редоследот на броеви.

Прво, да размислиме за самиот збор: што е низа? Редоследот е кога нешто следи нешто. На пример, низа дејства, низа од сезони. Или кога некој се наоѓа зад некого. На пример, низа луѓе во редица, низа слонови на патеката до дупка за наводнување.

Веднаш да разјасниме карактеристични карактеристикисеквенци. Прво, членови на низатасе наоѓаат строго во по одреден редослед . Значи, ако две лица во редот се заменети, тогаш ова веќе ќе биде другипоследователна секвенца. Второ, сите член на низатаМожете да доделите сериски број:

Исто е и со бројките. Нека на секојприродна вредност според некое правилоусогласен реален број. Потоа велат дека е дадена нумеричка низа.

Да, во математички проблемиЗа разлика од животни ситуациинизата речиси секогаш содржи бескрајно многуброеви.

При што:

Се јави првиот членсеквенци;

– втор членсеквенци;

– трет членсеквенци;

– n-тиили заеднички членсеквенци;

Во пракса, низата обично се дава формула за заеднички термин, На пример:

– низа од позитивни парни броеви:

Така, записот уникатно ги одредува сите членови на низата - ова е правилото (формулата) според кое природните вредности броевите се ставаат во кореспонденција. Затоа, низата често се означува накратко со заеднички термин, а наместо „x“ може да се користат други писма, На пример:

Низа на позитивни непарни броеви:

Друга вообичаена секвенца:

Како што многумина веројатно забележале, променливата „en“ игра улога на еден вид бројач.

Всушност, се занимававме со низи на броеви уште во средно училиште. Да се потсетиме аритметичка прогресија. Нема да ја препишувам дефиницијата, ајде да ја допреме суштината со конкретен пример. Нека биде првиот мандат, и - чекор аритметичка прогресија. Потоа:

– вториот термин од оваа прогресија;

– третиот мандат од оваа прогресија;

- четврто;

- петти;

И, очигледно, n-тиот член е даден повторливиформула

Забелешка: В рекурентна формуласекој следен член се изразува преку претходниот член или дури преку цела група на претходни членови.

Резултирачката формула е мала корист во пракса - за да се добие, да речеме, до , треба да ги поминете сите претходни услови. И во математиката, изведен е попогоден израз за n-ти член на аритметичка прогресија: . Во нашиот случај:

Заменете ги природните броеви во формулата и проверете ја точноста на конструираната погоре броена низа.

Може да се направат слични пресметки за геометриска прогресија, чиј n-ти член е даден со формулата , каде е првиот член и - именителпрогресија. Во задачите по математика, првиот член е често еднаков на еден.

Примери:

прогресијата ја поставува низата ;

прогресија ја поставува низата;

прогресија ја поставува низата ;

прогресија ја поставува низата .

Се надевам дека сите знаат дека –1 на непарна моќност е еднаква на –1, а на парна моќност – една.

Прогресијата се нарекува бескрајно се намалува, ако (последните два случаи).

Ајде да додадеме двајца нови пријатели на нашата листа, од кои едниот штотуку тропна на матрицата на мониторот:

Низата во математички жаргон се нарекува „трепкач“:

Така, членовите на низата може да се повторат. Значи, во разгледаниот пример, низата се состои од два бесконечно наизменични броја.

Дали се случува низата да се состои од идентични броеви? Секако. На пример, прашува бесконечен број„три“. За естетите, постои случај кога „ен“ сè уште формално се појавува во формулата:

Факториски:

Само кондензирана снимка од делото:

Воопшто не е графоманија, ќе биде корисно за задачи;-) Ви препорачувам да го разберете, да го запомните, па дури и да го препишете во тетратка. ...На ум ми падна едно прашање: зошто никој не создава толку корисни графити? Човек се вози во воз, гледа низ прозорецот и проучува фактори. Панковите се одмараат =)

Можеби некои читатели сè уште не разбираат целосно како да ги опишат членовите на низата, знаејќи го заедничкиот член. Тоа редок случај, кога контролната снимка ќе се врати во живот:

Ајде да се справиме со низата .

Прво, да ја замениме вредноста во n-тиот член и внимателно да ги извршиме пресметките:

Потоа го приклучуваме следниот број:

Четири:

Па, сега нема срам да заработите одлична оценка:

Концептот на граница на низа.

За подобро да ги разберете следните информации, препорачливо е да РАЗБЕРЕТЕ што е тоа граница на функција. Се разбира, во стандардниот курс математичка анализапрво ја разгледуваат границата на низата па дури потоа границата на функцијата, но факт е дека веќе детално зборував за самата суштина на границата. Згора на тоа, во теорија, бројната низа се смета за посебен случај на функција, а луѓето кои се запознаени со границата на функцијата ќе се забавуваат многу повеќе.

Ајде да поканиме едноставен пријател да танцува:

Што се случува кога „en“ се зголемува до бесконечност? Очигледно, членовите на низата ќе бидат бескрајно блискупријде на нула. Ова е границата на оваа низа, која е напишана на следниов начин:

Ако границата на низата еднаква на нула, тогаш се нарекува бесконечно мало.

Во теоријата на математичката анализа е дадена строго дефинирање на границата на низатапреку таканареченото ипсилон маало. Следната статија ќе биде посветена на оваа дефиниција, но засега да го погледнеме неговото значење:

Дозволете ни да ги прикажеме на бројната линија условите на низата и симетричното соседство во однос на нула (граница):

Сега штипнете ја сината област со рабовите на дланките и почнете да ја намалувате, повлекувајќи ја кон границата (црвена точка). Бројот е граница на низата ако ЗА БИЛО претходно избрано -соседство (колку што сакате)ќе биде внатре во неа бескрајно многучленови на низата, а НАДВОР од неа - само конечнаброј на членови (или воопшто нема). Односно, соседството на ипсилон може да биде микроскопско, па дури и помало, но „бесконечната опашка“ на низата мора порано или подоцна целосно да влезе во ова соседство.

Постои дури и таква задача - докажете ја границата на низата користејќи ја дефиницијата.

Низата е исто така бесконечно мала: со таа разлика што нејзините членови не скокаат напред-назад, туку се приближуваат до границата исклучиво од десно.

Секако, границата може да биде еднаква на која било друга конечен број, елементарен пример:

Овде фракцијата се стреми кон нула, и соодветно на тоа, границата е еднаква на „два“.

Ако низата постои конечна граница , тогаш се нарекува конвергентен(особено, бесконечно малона ). ВО во спротивно – дивергентни, во овој случај можни се две опции: или лимитот воопшто не постои, или е бесконечна. ВО вториот случајсе нарекува низата бескрајно голем. Ајде да галопираме низ примерите од првиот пасус:

Секвенци се бескрајно голем, додека нивните членови самоуверено се движат кон „плус бесконечност“:

Аритметичката прогресија со првиот член и чекор е исто така бескрајно голема:

Патем, секоја аритметичка прогресија се разминува, со исклучок на случајот со нула чекор - кога да конкретен бројсе додава бескрајно. Границата на таквата низа постои и се совпаѓа со првиот член.

Секвенците имаат слична судбина:

Секоја бескрајно намалена геометриска прогресија, како што е јасно од името, бескрајно мал:

Ако именителот на геометриската прогресија е , тогаш низата е бесконечно голема:

Ако, на пример, тогаш границата воопшто не постои, бидејќи членовите неуморно скокаат или на „плус бесконечност“ или на „минус бесконечност“. А Здрав разуми теоремите на Матан сугерираат дека ако нешто се стреми некаде, тогаш ова е единственото негувано место.

По мало откровение станува јасно дека „светлечката светлина“ е виновна за неконтролираното фрлање, кое, патем, самото се разминува.

Навистина, за низа лесно е да се избере -соседство кое, да речеме, само го прицврстува бројот -1. Како резултат на тоа, бесконечен број членови на низата („плус оние“) ќе останат надвор од оваа населба. Но, по дефиниција, „бесконечната опашка“ на низата од одреден момент (природен број) мора полноодете во БИЛО БИЛО БЛИЗИНА до вашата граница. Заклучок: небото е граница.

Факторски е бескрајно големниза:

Згора на тоа, тој расте со скокови и граници, па затоа е број кој има повеќе од 100 цифри (цифри)! Зошто точно 70? На него мојот инженерски микрокалкулатор моли за милост.

Со контролен шут, сè е малку покомплицирано, а ние штотуку дојдовме до практичниот дел од предавањето, во кој ќе анализираме борбени примери:

Како да ја пронајдете границата на низата.

Но, сега е неопходно да може да се решат границите на функциите, барем на ниво од два основни лекции: Граници. Примери на решенијаИ Прекрасни граници. Бидејќи многу методи на решение ќе бидат слични. Но, пред сè, да ги анализираме основните разлики помеѓу границата на низата и границата на функцијата:

Во границата на низата, „динамичката“ променлива „en“ може да има тенденција да само до „плус бесконечност“– кон зголемување на природните броеви .

Во границата на функцијата, „x“ може да се насочи насекаде - до „плус/минус бесконечност“ или до произволен реален број.

Последователија дискретни(неконтинуирано), односно се состои од поединечни изолирани членови. Еден, два, три, четири, пет, зајчето излезе на прошетка. Аргументот на функцијата се карактеризира со континуитет, односно „X“ непречено, без инциденти, се стреми кон една или друга вредност. И, соодветно, вредностите на функциите исто така постојано ќе се приближуваат до нивната граница.

Поради дискретноство секвенците има свој потпис, како што се факториел, „трепкачки светла“, прогресии итн. И сега ќе се обидам да ги анализирам границите што се специфични за секвенците.

Да почнеме со прогресија:

Пример 1

Решение: нешто слично на бескрајно опаѓачка геометриска прогресија, но дали е навистина тоа? За јасност, да ги запишеме првите неколку термини:

Оттогаш зборуваме за износуслови на бесконечно опаѓачка геометриска прогресија, која се пресметува со формулата.

Ајде да донесеме одлука:

Ја користиме формулата за збир на геометриска прогресија која бескрајно се намалува: . ВО во овој случај: – првиот член, – именителот на прогресијата.

Главната работа е да се справите со четирикатна дропка:

Јадете.

Пример 2

Напишете ги првите четири члена од низата и пронајдете ја нејзината граница

Ова е пример за независна одлука. За да ја елиминирате неизвесноста во броителот, ќе треба да ја примените формулата за збирот на првите членови на аритметичката прогресија:

, каде што е првиот и a е n-тиот член од прогресијата.

Бидејќи во низите „en“ секогаш се стреми кон „плус бесконечност“, не е изненадувачки што неизвесноста е една од најпопуларните.
И многу примери се решаваат на ист начин како и функционалните граници!

Како да се пресметаат овие граници? Видете ги Примерите бр. 1-3 од лекцијата Граници. Примери на решенија.

Или можеби нешто покомплицирано како ? Проверете го примерот бр. 3 од статијата Методи за решавање на лимити.

Од формална гледна точка, разликата ќе биде само во една буква - овде „x“ и овде „en“.

Техниката е иста - броителот и именителот мора да се поделат со „en“ до највисок степен.

Исто така, несигурноста во низите е доста честа појава. Како да се решат границите како може да се најде во Примерите бр. 11-13 од истиот член.

За да ја разберете границата, погледнете го примерот бр. 7 од лекцијата Прекрасни граници(второ прекрасна границаважи и за дискретниот случај). Решението повторно ќе биде како карбонска копија со една буква разлика.

Следните четири примери (бр. 3-6) се исто така „двонасочни“, но во пракса поради некоја причина тие се повеќе карактеристични за границите на низата отколку за границите на функциите:

Пример 3

Најдете ја границата на низата

Решение: прво целосно решение, потоа чекор-по-чекор коментари:

(1) Во броителот ја користиме формулата двапати.

(2) Ви претставуваме слични терминиво броителот.

(3) За да се елиминира несигурноста, поделете ги броителот и именителот со („en“ до највисок степен).

Како што можете да видите, ништо комплицирано.

Пример 4

Најдете ја границата на низата

Ова е пример за да го решите сами, скратени формули за множењеда помогне.

Во рамките на с индикативноСеквенците користат сличен метод за делење на броителот и именителот:

Пример 5

Најдете ја границата на низата

РешениеАјде да го организираме според истата шема:

(1) Користење на својства на степени, да отстраниме сè што е непотребно од индикаторите, оставајќи само „en“ таму.

(2) Гледаме кои експоненцијални низи се во граница: и избираме низа со најголемиотоснова: . За да се елиминира несигурноста, поделете ги броителот и именителот со .

(3) Вршиме делење термин по член во броител и именител. Бидејќи бескрајно се намалува геометриска прогресија, тогаш се стреми кон нула. И уште повеќе, константата поделена со растечката прогресија има тенденција на нула: . Ги правиме соодветните белешки и го запишуваме одговорот.

Пример 6

Најдете ја границата на низата

Ова е пример за да го решите сами.

Некако, незаслужено, стилскиот ракопис, својствен само до границата на конзистентноста, остана во заборав. Време е да се поправи ситуацијата:

Пример 7

Најдете ја границата на низата

Решение: за да се ослободите од „вечниот ривал“ треба да ги напишете факторите во форма на производи. Но, пред да започнеме со математички графити, да размислиме конкретен пример, На пример: .

Последниот фактор во производот е шест. Што треба да се направи за да се добие претходниот множител? Одземете еден: 6 – 1 = 5. За да добиете множител, кој се наоѓа уште подалеку, треба повторно да одземете еден од пет: 5 – 1 = 4. И така натаму.

Не грижете се, ова не е лекција за прво одделение. воспитно училиште, Всушност се запознаваме со важен и универзален алгоритамсо наслов " како да се прошири кој било фактор" Ајде да се справиме со најзлонамерниот поплавувач во нашиот разговор:

Очигледно, последниот фактор во производот ќе биде .

Како да го добиете претходниот множител? Одземете еден:

Како да се добие прадедо? Повторно одземете еден: .

Па, да одиме чекор подлабоко:

Така, нашето чудовиште ќе потпише на следниов начин:

Со броителски фактори се е поедноставно, во ред, мали хулигани.

Ајде да донесеме одлука:

(1) Ги опишуваме факторите

(2) Бројачот има ДВА члена. Од загради вадиме се што може да се извади, во случајов ова е работата. Квадратни загради, како што реков некаде неколку пати, се разликуваат од заградите само по нивната квадратура.

(3) Намали ги броителот и именителот за .... ...хмм, навистина има многу пената овде.

(4) Поедноставете го броителот

(5) Намали ги броителот и именителот за . Овде внатре до одреден степенсреќа. ВО општ случајна врвот и на дното добивате обични полиноми, по што треба да го извршите стандардното дејство - поделете го броителот и именителот со „en“ до највисоката моќност.

Понапредните студенти кои лесно можат да ги разбијат факторите во нивните глави, можат многу побрзо да го решат примерот. На првиот чекор, го делиме броителот со именителот член по член и ментално ги изведуваме кратенките:

Но, методот на распаѓање е сè уште потемелен и сигурен.

Пример 8

Најдете ја границата на низата

Како и во секое општество, меѓу низите на броеви има екстравагантни поединци.

Теорема: работа ограничена низадо бесконечно мала низа - има бесконечно мала низа.

Ако навистина не го разбирате терминот „ограничување“, проучете ја статијата за елементарни функциии графикони.

Слична теорема е вистинита, патем, за функциите: производот ограничена функцијана неодредено време мала функција- е бесконечно мала функција.

Пример 9

Најдете ја границата на низата

Решение: низа – ограничена: , а низата е бесконечно мала, што значи, според соодветната теорема:

Дадена е дефиниција за нумеричка низа. Се разгледуваат примери на бесконечно растечки, конвергентни и дивергентни низи. Се разгледува низа што ги содржи сите рационални броеви.

Дефиниција .
Нумеричка низа (xn) наречен закон (правило), според кој, секој природен број n= 1, 2, 3, . . . се доделува одреден број x n.
Се повикува елементот x n n-ти мандатили елемент од низа.

Низата е означена како n-ти член затворен во кадрави загради: . Можни се и следните ознаки: . Тие експлицитно укажуваат дека индексот n припаѓа на множеството природни броеви и самата низа има бесконечен број членови. Еве неколку примери на секвенци:
, , .

Со други зборови, бројна низа е функција чиј домен на дефиниција е множеството природни броеви. Бројот на елементи од низата е бесконечен. Меѓу елементите може да има и членови кои имаат исти вредности. Исто така, низата може да се смета како нумерирано збир на броеви што се состои од бесконечен број членови.

Ќе нè интересира главно прашањето како секвенците се однесуваат кога n се стреми кон бесконечност: . Овој материјал е претставен во делот Граница на низа - основни теореми и својства. Овде ќе разгледаме неколку примери на секвенци.

Примери за низа

Примери на бесконечно зголемени низи

Размислете за низата. Заеднички член на оваа низа е . Ајде да ги запишеме првите неколку поими:
.
Може да се види дека како што се зголемува бројот n, елементите неодредено се зголемуваат кон позитивни вредности. Можеме да кажеме дека оваа низа има тенденција на: за .

Сега разгледајте низа со заеднички термин. Еве ги неговите први членови:
.
Како што се зголемува бројот n, елементите на оваа низа се зголемуваат неодредено во абсолутна вредност, но немаат постојан знак. Односно, оваа низа тежнее кон: на .

Примери на низи кои конвергираат кон конечен број

Размислете за низата. Нејзин заеднички член. Првите термини ја имаат следната форма:
.
Може да се види дека како што се зголемува бројот n, елементите на оваа низа се приближуваат до нивната ограничувачка вредност a = 0 : во. Значи секој нареден член е поблиску до нула од претходниот. Во извесна смисла, можеме да сметаме дека има приближна вредност за бројот a = 0 со грешка. Јасно е дека како што се зголемува n, оваа грешка се стреми кон нула, односно со избирање на n, грешката може да се направи колку што сакате. Покрај тоа, за која било дадена грешка ε > 0 може да наведете број N така што за сите елементи со броеви поголеми од N:, отстапувањето на бројот од граничната вредност a нема да ја надмине грешката ε:.

Следно, разгледајте ја низата. Нејзин заеднички член. Еве некои од неговите први членови:
.
Во оваа низа, парните членови се еднакви на нула. Условите со непарен n се еднакви. Затоа, како што се зголемува n, нивните вредности се приближуваат до ограничувачката вредност a = 0 . Ова произлегува и од фактот дека
.
Исто како и во претходниот пример, можеме да наведеме произволно мала грешка ε > 0 , за кој е можно да се најде број N таков што елементите со броеви поголеми од N ќе отстапуваат од граничната вредност a = 0 за износ што не ја надминува наведената грешка. Затоа оваа низа конвергира до вредноста a = 0 : во.

Примери на дивергентни низи

Размислете за низа со следниов заеднички термин:

Еве ги неговите први членови:

.
Може да се види дека термините со парни броеви:
,
конвергираат до вредноста a 1 = 0 . Членови со Непарни броеви:
,
конвергираат до вредноста a 2 = 2 . Самата низа, како што расте n, не конвергира до ниедна вредност.

Низа со термини распоредени во интервалот (0;1)

Сега да погледнеме поинтересна низа. Да земеме отсечка на бројната права. Ајде да го поделиме на половина. Добиваме два сегменти. Нека
.
Ајде повторно да го поделиме секој од сегментите на половина. Добиваме четири сегменти. Нека
.
Ајде повторно да го поделиме секој сегмент на половина. Ајде да земеме

.
И така натаму.

Како резултат на тоа, добиваме низа чии елементи се распределени во отворен интервал (0; 1) . Која и да ја земеме точката од затворениот интервал , секогаш можеме да најдеме членови на низата кои ќе бидат произволно блиску до оваа точка или ќе се совпаѓаат со неа.

Потоа од оригиналната секвенца може да се избере потсеквенца што ќе конвергира во произволна точкаод интервалот . Односно, како што се зголемува бројот n, така членовите на потсеквенцата ќе се приближуваат и поблиску до однапред избраната точка.

На пример, за точка а = 0 можете да ја изберете следната последователна низа:
.
= 0 .

За точка а = 1 Да ја избереме следната последователна низа:
.
Условите на оваа последователна секвенца се спојуваат до вредноста a = 1 .

Со оглед на тоа што има последователни секвенци кои се приближуваат кон различни значења, тогаш самата оригинална низа не конвергира на ниту еден број.

Низа која ги содржи сите рационални броеви

Сега да конструираме низа што ги содржи сите рационални броеви. Покрај тоа, секој рационален број ќе се појави во таква низа бесконечен број пати.

Рационален број r може да биде претставен во следната форма:
,
каде е цел број; - природно.
Треба да го поврземе секој природен број n со пар броеви p и q така што секој пар p и q да биде вклучен во нашата низа.

За да го направите ова, нацртајте ги оските p и q на рамнината. Ние цртаме линии на мрежа преку целобројните вредности на p и q. Тогаш секој јазол од оваа мрежа со ќе одговара рационален број. Целиот сет на рационални броеви ќе биде претставен со множество јазли. Треба да најдеме начин да ги нумерираме сите јазли за да не пропуштиме никакви јазли. Ова е лесно да се направи ако ги нумерирате јазлите по квадрати, чии центри се наоѓаат на точката (0; 0) (види слика). Во овој случај, долните делови на квадратите со q < 1 не ни треба. Затоа тие не се прикажани на сликата.

Значи, за горната страна на првиот квадрат имаме:
.
Следна ние број горниот делследниот квадрат:

.
Го нумерираме горниот дел од следниот квадрат:

.
И така натаму.

На овој начин добиваме низа која ги содржи сите рационални броеви. Може да забележите дека секој рационален број се појавува во оваа низа бесконечен број пати. Навистина, заедно со јазолот, оваа низа ќе вклучува и јазли, каде што е природен број. Но, сите овие јазли одговараат на истиот рационален број.

Потоа, од низата што ја конструиравме, можеме да избереме потсеквенца (со бесконечен број елементи), чиишто елементи се еднакви на однапред одреден рационален број. Бидејќи низата што ја конструиравме има потсеквенци кои се спојуваат кон различни броеви, тогаш низата не конвергира на ниту еден број.

Заклучок

Овде дадовме прецизна дефиниција за низата на броеви. Го покренавме и прашањето за неговата конвергенција, врз основа на интуитивни идеи. Прецизна дефиницијаза конвергенција се дискутира на страницата Определување на граница на низа. Поврзани својства и теореми се наведени на страницата

Нумеричка низа е нумеричка функција дефинирана на множеството природни броеви .

Ако функцијата е дефинирана на множеството природни броеви
, тогаш множеството вредности на функции ќе може да се брои и секој број
одговара на бројот
. Во овој случај велат дека е дадено броена низа. Се повикуваат броевите елементиили членови на низа, и бројот – општо или -ти член на низата. Секој елемент има последователен елемент
. Ова ја објаснува употребата на терминот „секвенца“.

Редоследот обично се одредува или со наведување на неговите елементи или со означување на законот според кој се пресметува елементот со број , т.е. укажувајќи на неговата формула ‑-ти член .

Пример.Последователија
може да се даде со формулата:
.

Обично секвенците се означени на следниов начин: итн., каде што формулата за тоа е означена во загради ти член.

Пример.Последователија
‑ова е низа

Множество од сите елементи на низата
означено со
.

Нека
И
- две секвенци.

СО умметсеквенци
И
наречена низа
, Каде
, т.е.

Р разликаод овие низи се нарекува низа
, Каде
, т.е.

Ако И ‑ константи, потоа низата
,
повикани линеарна комбинација секвенци
И
, т.е.

Работатасеквенци
И
наречена низата со -ти член
, т.е.
.

Ако
, тогаш можеме да одредиме приватен
.

Збир, разлика, производ и количник на низи
И
тие се нарекуваат алгебарскикомпозиции.

Пример.Размислете за секвенците
И
, Каде. Потоа
, т.е. последователна секвенца
ги има сите елементи еднакви на нула.

,
, т.е. сите елементи на производот и количникот се еднакви
.

Ако пречкртате некои елементи од низата
за да остане бесконечно множествоелементи, тогаш добиваме уште една секвенца наречена последователна секвенцасеквенци
. Ако ги прецртате првите неколку елементи од низата
, Тоа нова низаповикани остатокот.

Последователија
ограниченпогоре(одоздола), ако сетот
ограничен од горе (од долу). Низата се нарекува ограничен, ако е ограничен горе и долу. Низата е ограничена ако и само ако некој од нејзините остатоци е ограничен.

Конвергирачки низи

Тие го велат тоа последователна секвенца
конвергира ако има број таква што за било кој
има такво нешто
тоа за било кој
, неравенството важи:
.

Број повикани граница на низата
. Во исто време тие запишуваат
или
.

Пример.
.

Да го покажеме тоа
. Ајде да поставиме кој било број
. Нееднаквост
изведена за
, така што
, дека дефиницијата за конвергенција се врши за бројот
. Средства,
.

Со други зборови
значи дека сите членови на низата
со доволно големи броеви малку се разликува од бројот , т.е. почнувајќи од некој број
(ако) елементите на низата се во интервалот
кој се нарекува – соседството на точката .

Последователија
, чија граница е нула (
, или
на
) се нарекува бесконечно мало.

Во однос на бесконечно малите, следниве изјави се точни:

Збирот на две бесконечно мали е бесконечно мал;

Производот на бесконечно мало и конечно количество е бесконечно мало.

Теорема .Со цел за низата
имаше граница, тоа беше неопходно и доволно за
, Каде – константна; – бесконечно мало .

Основни својства на конвергентни низи:

Својствата 3. и 4. се генерализирани во случај на кој било број конвергентни низи.

Забележете дека при пресметување на границата на дропка чиј броител и именител се линеарни комбинации на моќи , граница на дропка еднаква на границатаодноси на високи членови (т.е. членови кои содржат најголеми дипломи броител и именител).

Последователија
наречен:

Сите такви низи се нарекуваат монотоно.

Теорема . Ако низата
монотоно се зголемува и се ограничува погоре, тогаш конвергира и неговата граница е еднаква на нејзината точна горниот раб; ако низата се намалува и е ограничена долу, тогаш таа конвергира до својот инфимум.

Концептот на бројна низа.

Нека секој природен број n одговара на број a n, тогаш велиме дека е дадена функција a n =f(n), која се нарекува бројна низа. Се означува со n ,n=1,2,… или (a n ).

Броевите a 1 , a 2 , ... се нарекуваат членови на низата или нејзините елементи, a n е општиот член на низата, n е бројот на членот a n .

По дефиниција, секоја низа содржи бесконечен број на елементи.

Примери за низи од броеви.

Аритметикапрогресија – нумеричка прогресија на формата:

односно низа од броеви (поими на прогресијата), од кои секоја, почнувајќи од втората, се добива од претходната со додавање на константен број d (чекор или разлика на прогресијата):
.

Секој член на прогресијата може да се пресмета со користење на формулата за општи термини:

Секој член на аритметичка прогресија, почнувајќи од вториот, е аритметичка средина на претходните и следните членови на прогресијата:

Збирот на првите n членови на аритметичката прогресија може да се изрази со формулите:

Збирот од n последователни членови на аритметичка прогресија што започнува со член k:

Пример за збир на аритметичка прогресија е збирот на низа природни броеви до n вклучувајќи:

Геометрискипрогресија - низа од броеви
(членови на прогресија), во која секој следен број, почнувајќи од вториот, се добива од претходниот со множење со одреден број q (имениител на прогресијата), каде што
,
:

Секој член на геометриска прогресија може да се пресмета со формулата:

Ако b 1 > 0 и q > 1, прогресијата е растечка низа ако 0

Прогресијата го добила своето име од карактеристичното својство:
односно секој член е еднаков на геометриската средина на неговите соседи.

Производот од првите n членови на геометриска прогресија може да се пресмета со формулата:

Производот на членовите на геометриската прогресија почнувајќи од k-тиот член и завршувајќи со n-тиот член може да се пресмета со формулата:

Збир на првите n членови на геометриска прогресија:

Ако

, тогаш кога
, И

на
.

Граница на конзистентност.

Низата се нарекува зголемување ако секој член е поголем од претходниот. Низата се нарекува опаѓачка ако секој член е помал од претходниот.

Низата x n се нарекува ограничена ако има броеви m и M такви што за кој било природен број n условот е задоволен
.

Може да се случи сите членови на низата (a n ) со неограничен раст на бројот n да се приближат до некој број m.

Бројот a се нарекува граница на низата X n ако за секој Ε>0 има број (во зависност од Ε) n 0 =n o (Ε) таков што за
нееднаквоста важи
за сите (природни) n>n 0 .

Во овој случај тие пишуваат
или

Конвергенција на низи.

Секвенца чија граница е конечна се вели дека конвергира на:

Ако низата нема конечна (броива) граница, таа ќе се нарече дивергентна.

Геометриско значење.

Ако
, тогаш сите членови на оваа низа, со исклучок на последниот број, ќе паднат во произволно Ε соседство на точката a. Геометриски, ограниченоста на низата значи дека сите нејзини вредности лежат на одреден сегмент.