OPR1.
OPR2. точната горна границаи е назначен супа А.
OPR2'. 
UTV. OPR2. ó OPR2’.
=> OPR2 е исполнет, т.е. M = sup A – најмалата од сите горните граници => M – горната граница на множеството A => 
(т.е. 1) OPR2’ е завршен).
Dm 2) со контрадикција, т.е. горната граница на множеството A, а M не е најмалата горна граница - контрадикција, бидејќи M е горната граница => својството 2) OPR2’ е задоволен.
<= выполнено ОПР2’, т.е. 
Бидејќи М' на врвот. Лице на множеството A, sl-but, M – најмалата горна граница на множеството A => OPR2 е исполнета.
Билет број 2 страна 2
OPR3.
OPR4. точниот долен раби е назначен инф А.
OPR4'. 
UTV. OPR4. - OPR4'
Доказот е сличен со UTV. OPR2. ó OPR2’.
ТЕОРЕМА!!!
DOC-VO!!!
Коментар:ако множеството А не е ограничено горе => нема горни граници => 
Билет бр. 1 „ОГРАНИЧЕНИ И НЕОГРАНИЧЕНИ СЕТСИ. ПРИМЕРИ“.
OPR1:број А име. ограничени погоре, Ако . Во овој случај, М е врвот. раб на мн-ва А.
Пример: И тоа е ограничено одозгора. M = 3 – горна граница. Секој број поголем од 3 е горната граница.
OPR2:број А име. ограничени подолу, Ако . Во овој случај, m е долниот. раб на мн-ва А.
Пример:
N - ограничен одоздола. m = 1 – долна граница. Секој број помал од 1 ќе биде долната граница.
OPR3:број А име. ограничен, ако е ограничена горе и долу, т.е. .
OPR3':број А име. ограничен, Ако
ДОКАЖУВАМЕ ДЕКА OPR3 ó OPR3'
=> Н.Д. OPR3 => OPR3'
Имаме: Нека
Оние. направено OPR3'
<= Н.Д. ОПР3’ =>OPR3
Имаме: т.е. направено OPR3.
OPR4. Mn – во А се вика неограничено, Ако
Билет бр. 3 „НУМЕРИЧНИ РЕЗЕЛОВИ“.
OPR.Ако за секој природен број ставиме во кореспонденција број според некој закон, тогаш бројот е збир на броеви 
, наречена нумеричка низа. да го означиме бројот на последниот. ; броеви - елементи на низата
Пример:
OPR.Бројот a се нарекува граница на последниот. , ако (за кој било позитивен број)
Назначено со:
Пример:
Ознака: маало т.а.
Билет бр.4 „Б.М. ПОСЛЕДНИОТ И НИВНИТЕ СВЕТИ (2 ТЕОРЕМИ)“.
OPR.Последното се нарекува бесконечно мало (бесконечно мало) ако
Пример: б.м.последен
SV-VA:
ТЕОРЕМА_1!!!нека биде - б.м. после породувањето, тогаш:
1) После породување 
б.м.последен
2) После породување 
б.м.последен
DOC-VO!!!
1) дадено: б.м, т.е.
Дм, што б.м. после породувањето, т.е.
Ајде да го избереме и означиме.
Бидејќи b.m. => за број 
,
Б.м. => за број 
Бидејќи стави број =>
2) Хм, што б.м.последен
Ајде да го избереме и назначиме.
Б.м. => за број,
Б.м. => за број
Билет бр. 4 страница 2
Бидејќи стави број => се врши деф. b.m. за , т.е. b.m.
ТЕОРЕМ_2!!!
Нека b.m.last, ограничен. позитивно после породување, тогаш 
б.м.позитивна низа
OPR.После породувањето. ограничен Ако
DOC-VO!!!
Го поправаме.
Граница. =>
Б.м.последен => за
Последица:
Нека трае б.м. Потоа за 
последен б.м.
Навистина, размислете после породување.
Огр после породување. 
b.m, t.k b.m.
Пример:
ТОА. според THEOREM_2!!! 
Коментар:
Од THEOREM_1!!! Следи тоа
1) збирот на кој било конечен број од b.m. после породување. има б.м.последна.
2) производ на кој било конечен број на b.m. после породување. има б.м. после породување.
Билет бр. 5 „СЕКВЕНЦИИТЕ ББ И НИВНАТА ВРСКА СО СЕКВЕНЦИТЕ БМ“.
OPR.нека се вика б.б.последно, ако
Да означиме
ТЕОРЕМА!!!Нека b.b.last., а потоа b.m.last.
DOC-VO!!!
Поправено После породувањето
ТОА. 
b.m. после породување.
ПОВРЗУВАЊЕ НА ББ СО БМ РЕСЕЛОСТИ.
Б.б. после породување. b.m. после породување. Инверзна врска.
Билет 18 својства на граници на функции (а) единственост на лимитот. Б) ограничени функции кои имаат ограничување.)
Уникатност на границата
ТЕОРЕМА!!!Ако f-i има граница на K®0, тогаш тој е единствен
DOC-VO!!!(од спротивната страна)
Нека 
И 
Расм 
X n¹a "n
Бидејќи 
Þ за дадена (X n) низа 
Þ за дадена ( X n ) низа 
Тоа. 
( f(x)-ch.p-t)спротивно бидејќи не може да има
b¹c 2 различни граници Þ во = в
.Со
Последици
Прашање бр. 22 2. прекрасна граница
Последици 
(an-не a x =lna)
Bil22str4
Билет 23 својства bm функции 
тикет 24 бб функции и нивно поврзување со бб 
Билет 26.еквивалентност bm f-ii.(табела, т.) 
билет 26 страна 2 
Тикет 25. Споредба на bm f-y. 
Билет 28. Nepr-t f-ii во точка. 
победи.28 
БИЛЕТ 30. класификација на точки на дисконтинуитет на функција (дефиниција и примери)
Нека f(x) деф. во некои У(а) (м.б. со исклучок на самиот т.а.). т.а. повикани точка на прекин функции f(x), ако f не е константна во t.a. нека т.а е точката на дисконтинуитет на функцијата f(x).
Деф. 1)т.а.-точка на прекин 1-ви видови, ако (т.е. именките се конечни еднострани)
2) Ако, дополнително, тогаш т.а- отстранлива точка на прекин.
3) т.а. - точка на прекин 2-ри вид , ако не е руптура од 1-ви вид.
Примери. 1)y=sgn(x). x=0-t.r од 1-ви вид, бидејќи
2)y= , x=0 –t. уред еднаш, бидејќи
3) y= x=0 – t.r од 2-ри вид, бидејќи
, 
Точка на дисконтинуитет од втор вид.
3).
, 
x=0 е точка на дисконтинуитет од втор вид.
4).
Нема точка x=0 - точка на дисконтинуитет од втор вид.
, . Точката x=0 е точка на дисконтинуитет од втор вид.
Билет број 2 „ГОРНА И ДОЛНА ОГРАНИЦА НА НУМЕРИЧКОТО МОТ. ТЕОРЕМА ЗА ПОСТОЕЊЕ НА ТОЧНИ ДОЛНИ И ГОРНИ ГРАНИЦИ НА МНОЖЕТО.
OPR1. M – горна граница на множеството A ó ако .
OPR2.најмалото од сите горни лица на множеството А, наречено точната горна границаи е назначен супа А.
OPR2'.Бројот М се нарекува точен горен раб на бројот А ако
UTV. OPR2. ó OPR2’.
=> OPR2 е исполнет, т.е. M = sup A – најмалата од сите горните граници => M – горната граница на множеството A => (т.е. 1) OPR2’ е завршен).
Dm 2) со контрадикција, т.е. горната граница на множеството A, а M не е најмалата горна граница - контрадикција, бидејќи M е горната граница => својството 2) OPR2’ е задоволен.
<= выполнено ОПР2’, т.е.
Јасно е дека М е најмалата горна граница.
Dm со контрадикција, т.е. Нека М е најмалото горно лице. Означување според св. 2) за оваа противречност.
Бидејќи М' на врвот. Лице на множеството A, sl-but, M – најмалата горна граница на множеството A => OPR2 е исполнета.
Билет број 2 страна 2
OPR3. m – долна граница на множеството A ó ако .
OPR4.најголемиот од сите долни лица на множеството А, наречен точниот долен раби е назначен инф А.
OPR4'.Бројот m се нарекува точен инфимум на множеството А ако
UTV. OPR4. - OPR4'
Доказот е сличен со UTV. OPR2. ó OPR2’.
ТЕОРЕМА!!!Секој непразен сет ограничен горе (долу) има точна горна (долна) граница.
DOC-VO!!!Непразен сет А – ограничен. одозгора, тогаш множеството А има барем една горна граница. Нека Y е множеството на сите горни лица од множеството А, т.е. , а множеството Y не е празно, бидејќи множеството А има најмалку една горна граница.
ТОА. непразни низи A и Y и континуирани според потеклото. валиден броеви т.е. горната граница на mn-va A. M = sup A.
Коментар:ако множеството А не е ограничено погоре => нема горни граници => нема точна горна граница. Во овој случај понекогаш се верува дека . Слично, ако множеството А не е ограничено. одоздола понекогаш се верува дека
Постоењето на кое било множество ограничено над (долу) со точна горна (точно долна) граница не е очигледно и бара доказ. Да ја докажеме следната главна теорема.
Главна теорема 2.1. Ако множеството броеви што може да се претстават како бесконечни децимални фракции е ограничено горе (соодветно долу) и содржи најмалку еден елемент, тогаш ова множество има точна горна (соодветно точно долна) граница.
Доказ. Ќе се фокусираме само на доказот за постоењето на точна горна граница за кое било множество ограничено погоре, бидејќи постоењето на точна долна граница за кое било множество ограничено долу се докажува на сосема сличен начин.
Значи, множеството нека биде ограничено одозгора, односно има број М таков што секој елемент x од множеството ја задоволува неравенката
Може да се појават два случаи:
1°. Меѓу елементите на множеството има барем еден ненегативен број. 2°. Сите елементи на множеството се негативни броеви. Овие случаи ќе ги разгледаме одделно.
1°. Да ги разгледаме само ненегативните броеви кои се дел од множеството Да го претставиме секој од овие броеви како бесконечна децимална дропка и да ги разгледаме целобројните делови од овие децимални дропки. Поради нееднаквоста, сите цели делови не го надминуваат бројот М, па затоа има најголем од целобројните делови, кои ги означуваме со Да ги задржиме меѓу ненегативните броеви од множеството оние чиј цел дел е еднаков и да ги отфрлиме. сите други броеви. За зачуваните броеви, земете ги првите децимални места по децималната точка. Најголемиот од овие знаци го означуваме со Да ги задржиме меѓу ненегативните броеви од множеството оние чиј цел дел е еднаков, а првото децимално место е еднакво и да ги отфрлиме сите други броеви. За зачуваните броеви, земете ги во предвид вторите децимали по децималната точка. Најголемиот од овие знаци го означуваме со продолжување на слично расудување понатаму, последователно ќе ги одредиме децималните места на одреден број
Дозволете ни да докажеме дека овој број x е точната горната граница на множеството За да го направите ова, доволно е да се докажат две тврдења: 1) секој елемент x од множеството ја задоволува неравенката 2) без разлика што бројот x е помал од x. има барем еден елемент x од множеството што ја задоволува неравенката
Прво да ја докажеме изјавата 1). Бидејќи x, по конструкција, е ненегативен број, тогаш секој негативен елемент x од множеството секако ја задоволува неравенката
Затоа, доволно е да докажеме дека секој ненегативен елемент x од множеството ја задоволува неравенката
Да претпоставиме дека некој ненегативен елемент не ја задоволува нееднаквоста.
противречи на фактот дека најголемото од децималните места на оние елементи чии цел број и првите децимали се соодветно еднакви се зема како
Произлезената противречност ја докажува изјавата 1).
Сега да ја докажеме изјавата 2). Нека x е кој било број што го задоволува условот Потребно е да се докаже дека има барем еден елемент x од множеството што ја задоволува неравенката
Ако бројот x е негативен, тогаш неравенството секако се задоволува со ненегативен елемент x од множеството (по претпоставка, постои барем еден таков елемент).
Останува да се разгледа случајот кога бројот x што го задоволува условот е ненегативен. Нека произлегува од условот и правилото за наредување дека има број таков што
Од друга страна, од конструкцијата на бројот (2.9) произлегува дека за кој било број постои ненегативен елемент од множеството таков што целиот дел и сите први децимали се исти со оние од бројот x. . Со други зборови, за број постои елемент x таков што
Ограничен сет. Прецизни рабови
Формулата на Моивр
Пронајден е од A. Moivre во 1707 година; нејзината модерна нотација била предложена од Л. Ојлер во 1748 година.
z n =r n e вој =r n(кос nј +игрев nѕ). (3)
Формулата (3) се докажува со индукција на n.
Множење сложени броеви
Очигледно е во право. Да претпоставиме дека за некои е вистина n, ајде да го докажеме за n+1. Ние имаме:
За даден, ќе најдеме оној што ја задоволува равенката Со други зборови, ќе го најдеме коренот n-та моќ на комплексен број. Ние имаме r n e во j =r e јас y Þ n j=y+2p k, kÎЗ , r=каде ги добиваме формулите
кои се користат за пресметување на коренот n-та моќ на комплексен број. Процес на пронаоѓање на коренот n-та моќ на комплексен број zможе да се опише на следниов начин. Ако овој број не е еднаков на 0, тогаш ќе има токму такви корени n. Сите тие ќе бидат врвови на правилното n– квадрат впишан во круг со радиус . Едно од темињата на овој многуаголник има аргумент еднаков на.
Пример. Пресметај. Затоа, во овој случај, потребни се три вредности:
Ориз. 1.7
Коментар: Споредбени знаци помали од, поголеми од (<, >) не се дефинирани во В .
1.3. Горните и долните граници на множеството реални броеви
Ограничувањето и границите на мноштвото.
Поставете Е ограничено погоре:$б"xÎ Е: x£ б.
б - горната граница на комплетот:"xÎE:x£ б.
Ограничен сет:$а"xÎ Е: x³ а.
а - долниот дел од комплетот:"xÎE: x ³ a.
Супрем на множеството: b = sup Е е број кој задоволува две својства:
1)(б - горниот раб)"xÎ Е: x£ б.
2) (не помалку) "e>0 $ xÎ E: x > b-д.
Слично се одредува точниот инфимум a =инф Е.Ограничен сетE:$б"xÎ Е: .
Коментар:Ако б = sup Е, Тоа -b=инф Е¢, Каде Е¢- огледало на Ееден куп, E¢={xÎR:(-х)ÎE} .
Теорема 1. Непразното множество ограничено погоре има врв.
Доказ:Нека бгорната граница на комплетот ЕИ аÎ Е.Да означиме со [ а 1 ,б 1 ] сегмент ако содржи точки од Е.Во спротивно преку [ а 1 ,б 1 ] означува отсечка
Ориз. 1.8
Да ги забележиме својствата на овој конструиран сегмент:
1) "xÎE: x£ б 1 .
2) ЕÇ[ а 1 ,б 1 ] ¹ Æ .
Ја повторуваме оваа постапка за [ а 1 ,б 1 ] итн. Како резултат на тоа, добиваме низа од вгнездени сегменти [ a k, b k], што ги задоволува следните својства:
1)"xÎE: x £ b k .
2) ЕÇ[ ак, б k] ¹ Æ.
Доказот за ова се врши со индукција. Да претпоставиме дека сегментот [ a k, b k]со наведените својства. Поделете го на половина со точка. преку [ a k + 1 ,b k + 1 ] означи дека еден од сегментите , која има непразна раскрсница со Е. Ако и двете содржат
Ориз. 1.9
поени од Е,Тоа [ a k + 1 ,b k + 1 ] нека има десен сегмент. Резултирачкиот сегмент има својства 1), 2). Должините на овие сегменти b k - a k =(б-а)/ 2ксе стреми кон 0, така што има еден број взаеднички за сите овие сегменти. Овој број е точната горна граница на овој сет. Навистина:
1) "xÎ Е: x £ в.
Претпоставете го спротивното: $ xÎ E:x>c, да земеме, зашто тогаш постои, од каде следи b n< x , што е во спротивност со состојбата xÎ[ a n, b n].
Ориз. 1.10
2)"e> 0$ xÎE: x > c -д.
За секој е има n: b n - a n< д . Ајде да избереме кој било xÎ[ a n, b n] . Поради имот 1) ќе биде точно x< c, Покрај тоа
c-x£ b n - a n< e . Така, потребните x.
Ориз. 1.11
Слично, може да се докаже дека на непразно множество ограничено подолу има infimum.
Теорема 2. Точниот врв (ако постои) е единствен.
Доказ: Нека има две точни лица б 2 , б 1 , б 1 2 . Земете e = б 2 - б 1 > 0. Со определување на точната горна граница (за б 2)$xÎ E: x > b 2 - д = б 1, што противречи на што б 1 горен раб.
Ориз. 1.12
Коментар.На сличен начин се докажува дека infimum е единствен.
Ако E не е ограничено погоре, тогаш напишете sup E = +¥, слично, ако E не е ограничено подолу, тогаш напишетеинф Е= -¥ .
Да докажеме уште една теорема, која се заснова на својството на континуитет на реалните броеви.
Тема за постоење на горно (долно) лице.Прво, да воведеме неколку дефиниции.
Дефиниција. Нумерички сет Xсе нарекува ограничен горе ако има број M таков што x ≤ Мза кој било елемент xод многу X .
Дефиниција. Нумерички сет Xсе нарекува ограничен долу ако има број мтакви што x ≥ mза кој било елемент xод многу X .
Дефиниција. Нумерички сет Xсе нарекува ограничена ако е ограничена горе и долу.
Во симболична нотација, овие дефиниции би изгледале вака:
еден куп Xограничена погоре ако ∃M ∀x ∈ X: x ≤ М ,
ограничени подолу ако ∃m ∀x ∈ X: x ≥ mИ
ограничен ако ∃m, M ∀x ∈ X: m ≤ x ≤ M .
Дефиниција.За кој било број а Р ненегативен број
се вика абсолутна вредностили модул. За апсолутни вредности на броеви, важи следнава неравенка: |а+б| < |а|, што произлегува од дефиницијата за модул на број и од аксиомите на собирање и ред.
Теорема 4.3.1. Нумерички сет Xе ограничена ако и само ако има број C таков што за сите елементи x од ова множество неравенството ≤ В.
Доказ. Нека сетот Xограничен. Да ставиме C =max(m, M)- најголемиот од броевите m и M. Потоа користејќи ги својствата на модулот на реалните броеви ги добиваме неравенките x ≤M≤M ≤C и x≥m≥ −m≥ −C, што имплицира дека ≤ В.
Спротивно на тоа, ако важи неравенката ≤ C, тогаш −C ≤ x ≤ C . Тоа е она што се бара ако ставиме M = C и m = −C .◄
Број М, ограничувајќи го комплетот Xна врвот, повикан горната граница на комплетот. Ако М- горната граница на комплетот X, потоа било кој број М', што е поголемо М, исто така ќе биде горната граница на овој сет. Така, можеме да зборуваме за множеството на горните граници за множеството X. Ајде да го означиме множеството горните граници со . Потоа, ∀x ∈ X и ∀M ∈ќе се задоволи нееднаквоста x ≤M, според тоа, според аксиомата на континуитет постои број таков што x ≤ ≤ М. Овој број се нарекува точна горна граница на множество број X или горната граница на ова множествоили супремумот на сетот Xи е назначен = супа X. Така, докажавме дека секое непразно множество броеви што е ограничено погоре секогаш има горна граница.
Очигледно е дека еднаквоста = супа Xе еквивалентно на два услови:
1) ∀x ∈ Xважи неравенството x ≤, т.е. - горната граница на комплетот X ;
2) ∀ε > 0 ∃xε ∈ Xтака што важи неравенката xε > −ε, т.е. оваа граница не може да се подобри (намали).
Слично на тоа, може да се докаже дека ако множеството е ограничено долу, тогаш има инфимум тоа се нарекува и инфимум на множеството X и се означува со inf X. Еднаквоста =inf X е еквивалентна на условите:
1) ∀x ∈ Xнееднаквоста важи x ≥ ;
2) ∀ε > 0 ∃xε ∈ Xтака што неравенството важи xε< + ε .
Ако множеството X има најголем елемент, тогаш ќе го наречеме
максималниот елемент од множеството X и означува = max X . Потоа
supX =. Слично, ако има најмал елемент во множеството, тогаш ќе го наречеме минимален, ќе означиме minX и ќе биде инфимум на множеството X .
Дозволете ни да формулираме неколку својства на горните и долните лица:
Имотот 1. Нека X- некое нумеричко множество. Да означиме со −Xеден куп (− x| x ∈ X ). Потоа sup (− X) = − inf XИ inf (− X) = − sup X .
Имотот 2.Нека X- некој број множество λ – реален број. Да означиме со λXеден куп (λx | x ∈ X). Тогаш, ако λ ≥ 0, тогаш sup(λX) = λ supX , inf(λ X)= λ infXи ако λ < 0, то sup(λ X)=λ infX , inf(λ X)=λ supX .
Имотот 3. Нека X1 и X2- нумерички множества. Да означиме со X1+X2еден куп ( x1+ x2 | x1 ∈ X1, x2 ∈ X2 )и преку X1 − X2еден куп (x1 − x2 | x1 ∈ X1, x2 ∈ X2). Потоа sup(X1 + X2)=supX1+supX2, inf(X1+X2)=infX1 +inf X2 , sup(X1 − X2) = sup X1 − inf X2и inf (X1 − X2) = inf X1 − sup X2 .
Имотот 4. Нека X1 и X2 се бројни множества чии елементи се ненегативни. Потоа sup (X1*X2) = sup X1 *sup X2 , inf (X1*X2) = inf X1* inf X2.
Да ја докажеме, на пример, првата еднаквост на Својството 3. Нека x1 ∈ X1, x2 ∈ X2 и x=x1+x2.Потоа x1 ≤ sup X1, x2 ≤ sup X2И x ≤ sup X1 + sup X2, каде sup(X1 + X2) ≤ sup X1 + sup X2 .
За да ја докажете спротивната неравенка, земете го бројот y
Принципот на Архимед и постоењето на горните и долните граници може да се постулира како аксиома наместо аксиома на континуитет, тогаш аксиомата за континуитет ќе следи од оваа нова аксиома. (Обидете се сами да го докажете тоа).
МАТЕМАТИЧКА АНАЛИЗА
Дел I
ТЕОРИЈА НА ГРАНИЦИ. Ограничување на низата и ограничување на функцијата. Теорема за егзистенција за точен врв.
Нека променливата x nзема бесконечна низа вредности
x 1 , x 2 , ..., x n , ..., (1)
а познат е законот за промена на променливата x n, т.е. за секој природен број nможете да ја наведете соодветната вредност x n. Според тоа, се претпоставува дека променливата x nе функција на n:
x n = f(n)
Дозволете ни да дефинираме еден од најважните концепти на математичката анализа - граница на низа или, што е исто, граница на променлива x n, поминувајќи низ низата x 1 , x 2 , ..., x n , ... . .
Дефиниција.Постојан број аповикани граница на низата x 1 , x 2 , ..., x n , ... . или граница на променлива x n, ако за произволно мал позитивен број e постои таков природен број Н(т.е. број Н) дека сите вредности на променливата x n, почнувајќи со x Н, се разликуваат од аво апсолутна вредност помала од е. Оваа дефиниција е накратко напишана на следниов начин:
| x n -а |< (2)
пред сите n Н, или, што е истото,
Определување на границата на Коши. Бројот A се нарекува граница на функцијата f (x) во точка a ако оваа функција е дефинирана во некое соседство на точката a, со можен исклучок на самата точка a, и за секоја ε > 0 постои δ > 0 така што за сите x задоволува услов |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.
Определување на границата на Хајне. Бројот А се нарекува граница на функцијата f (x) во точка a ако оваа функција е дефинирана во некое соседство на точката a, со можен исклучок на самата точка a и за која било низа таква што 
конвергирајќи се до бројот a, соодветната низа на вредности на функциите конвергира до бројот А.
Ако функцијата f (x) има граница во точката a, тогаш оваа граница е единствена.
Бројот A 1 се нарекува граница на функцијата f (x) лево во точката a ако за секој ε > 0 постои δ > 
Бројот A 2 се нарекува граница на функцијата f (x) десно во точката a ако за секој ε > 0 постои δ > 0 така што неравенството важи за сите 
Границата од лево се означува со границата од десната страна - Овие граници го карактеризираат однесувањето на функцијата лево и десно од точката а. Тие често се нарекуваат еднонасочни граници. При означувањето на едностраните граници за x → 0, првата нула обично се испушта: и. Значи, за функцијата 
Ако за секое ε > 0 постои δ-соседство на точка така што за сите x што го задоволуваат условот |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x)| >ε, тогаш велат дека функцијата f (x) има бесконечна граница во точката a:
Така, функцијата има бесконечна граница во точката x = 0. Често се разликуваат граници еднакви на +∞ и –∞. Значи,
Ако за секој ε > 0 постои δ > 0 така што за секој x > δ неравенката |f (x) – A|< ε, то говорят, что предел функции f (x) при x, стремящемся к плюс бесконечности, равен A:
Теорема за егзистенција за точен врв
Дефиниција:АR mR, m е горното (долното) лице на А, ако аА аm (аm).
Дефиниција:Множеството A е ограничено одозгора (од долу), ако постои m такво што важи aA, am (am).
Дефиниција: SupA=m, ако 1) m е супремумот на А
2) m’: m’
InfA = n, ако 1) n е инфимумот на А
2) n’: n’>n => n’ не е инфимум на А
Дефиниција: SupA=m е број таков што: 1) aA am
2) >0 a A, така што a a-
InfA = n е број таков што: 1) 1) aA an
2) >0 a A, така што a E a+
Теорема:Секое непразно множество AR ограничено одозгора има точен врв и единствен.
Доказ:
Да го конструираме бројот m на бројната права и да докажеме дека тоа е горната вредност на А.
[m]=max([a]:aA) [[m],[m]+1]A=>[m]+1 - горната граница на А
Сегмент [[m],[m]+1] - поделен на 10 дела
m 1 =max:aA)]
m 2 =max,m 1:aA)]
m k =max,m 1 ...m K-1:aA)]
[[m],m 1 ...m K, [m],m 1 ...m K + 1 /10 K ]A=>[m],m 1 ...m K + 1/ 10 К - горен раб А
Да докажеме дека m=[m],m 1 ...m K е врвен и дека е единствен:
k: тогаш постои точка во која функцијата го достигнува својот максимум, има точка во која функцијата го достигнува својот минимум.
Доказ:
Нека функцијата f(x) е континуирана на , тогаш со теорема 1 таа е ограничена на овој интервал. Следствено, збирот на вредности на функции е ограничен. Потоа, врз основа на принципот supremum, овој сет има точна горна и точна долна граница.
Означуваме: и покажуваме дека тоа ќе биде најголемата вредност на функцијата f(x) на отсечката : .
Да го претпоставиме спротивното, т.е.
Бидејќи , тогаш f(x)< .
да ја претставиме функцијата 
. Функцијата е континуирана на , бидејќи -f(x) 0. Потоа, врз основа на првата теорема на Вајерштрас, функцијата е ограничена на .
Бидејќи оваа нееднаквост важи, бројот не е точната горна граница на множеството вредности на функции. Доаѓаме до контрадикција, што значи дека нашата претпоставка е неточна. Слично, може да се докаже дека континуираната функција ја достигнува својата минимална вредност на сегмент. Теоремата е докажана.
РАЗЛИЧНИ ФУНКЦИИ Теореми на Рол и Лагранж. Формула ТЕјлор со преостанат термин во форма на Лагранж.
Ролова теорема. Ако функцијата f(x) е континуирана на затворениот интервал [a, b], има извод во интервалот и ако
f(a) = f(b)
тогаш внатре во интервалот [a, b] има барем една таква вредност x 0 (а< x 0 < b), что
f" (x 0 ) = 0.
Доказ. Да разгледаме два случаи.
1. Функција f(x)е константна на интервалот [ а, б]; Потоа f" (x) = 0за било кој x(a< x < b) , т.е. исказот на теоремата на Роле се изведува автоматски.
2. Функција f(x)не е константна (слика 1); тогаш ја достигнува својата најголема или најмала или двете од овие вредности во внатрешната точка на интервалот, бидејќи f(b) = f(a), и ако f(a)- функцијата на најмалата вредност, потоа најголемата вредност вредност f(x)ќе земе внатре во интервалот.
|
|
Бидејќи, по услов, f(x)има во точката x 0 дериват, потоа според теоремата за неопходниот критериум за екстрем,
f" (x 0 ) = 0 ,
а теоремата на Роле е докажана.
Теоремата на Роле има едноставна геометриска интерпретација: ако е даден лак AB на крива y = f(x), во секоја точка од која има тангента, а краевите A и B се на исто растојание од оската Ox, тогаш на овој лак има најмалку една точка во која тангентата t на кривата ќе биде паралелна со акордот што го собира лакот, а со тоа и со оската Ox(види слика 1).
Ако ги ротираме координатните оски по агол a, тогаш краевите АИ Блакови АБповеќе нема да биде на исто растојание од оската Вол", но тангента тсепак ќе биде паралелна со акордот АБ(види слика 1). Затоа, природно е да се очекува дека теоремата важи: Ако е даден лак AB на крива y = f(x) со постојано променлива тангента, тогаш на овој лак има барем една точка во која тангентата е паралелна со акордот AB што ја потчинува.(Слика 2).
|
|
Лагранжова теорема. Ако функцијата f(x) е непрекината на затворен интервал[а, б] а внатре има извод f "(x), тогаш има барем една таква вредност x 0 (а< x 0 < b), что
f(b) - f(a) = (b - a)f "(x).
Доказ. Размислете за функцијата помошник
F(x) = f(x) - k(x - a),
Каде 
- аголен коефициент на акорд АБ(види слика 2).
Оваа функција ги задоволува сите услови од теоремата на Роле.
Всушност, кога x = aние имаме F(a) = f(a) - k(a - a) = f(a), во x = bние имаме
Покрај тоа, бидејќи функцијата f(x)И k(x - a)континуирано на [ а, б] и диференцијабилна во ( а, б), потоа функцијата F(x) = f(x) - k(x - a)е континуирано на [ а, б] и диференцијабилна во ( а, б).
Според тоа, според теоремата на Рол, во интервалот ( а, б) постои таква точка x 0 , Што
F" (x 0 ) = 0 ,
f" (x 0 ) - k = 0
Од тука имаме
f(b) - f(a) = (b - a)f "(x 0 ) ,
Q.E.D.
Бидејќи a + (b - a) = b, потоа вредноста a+(б - а), каде што Q е соодветна позитивна дропка (0 < < 1) , е еднаков на некој број во интервалот ( а, б), затоа формулата на Лагранж може да се напише во форма
f(b) - f(a) = (b - a)f "
Ако ставите a = x, b = x +x, каде b - a =x, тогаш формулата Лагранж ќе биде напишана во форма
y = f(x +x) - f(x) =xf" (x+x).
Претходно беше докажано дека ако функцијата е еднаква на константа Впо која било вредност xво интервалот (а, б), тогаш неговиот извод е еднаков на нула.
Сега да ја докажеме обратната теорема, која е последица на теоремата на Лагранж:
Ако дериватот f "(x) исчезнува за која било вредност на x во интервалот (a, b), тогаш во овој интервал f(x) = C.
Всушност, ако x 1 И x 2 - кои било две вредности во интервалот (а, б), тогаш според теоремата на Лагранж, имаме
f(x 2 ) - f(x 1 ) = (х 2 - x 1 )f"(x 0 ),
Каде, x 1 < x 0 < x 2 . Но, бидејќи f" (x 0 ) = 0 , Тоа
f(x 2 ) - f(x 1 ) = 0,
што ја докажува нашата теорема.
Од ова директно произлегува важна теорема:
Ако две функции ѓ 1 (x) и f 2 (x) имаат ист извод во интервалот (a, b), тогаш тие се разликуваат едни од други со константна вредност на овој интервал.
Навистина, разгледајте ја функцијата
(x) = f 2 (x)-f 1 (x).
Потоа за која било вредност xод интервалот (а, б)
"(x) = f 2 „(x)-f 1 "(x) = 0.
Но, тоа значи дека (x) = Cа со тоа и
ѓ 2 (x)-f 1 (x) = C.
Тејлоровата формула. Нека на интервалотФункцијата f(x) е диференцијабилна n пати и важат следните еднаквости:
f(a) = f(b) = f "(a) = f """(a)= ... = f (n-1) (а)=0
Потоа внатре во интервалотима барем една вредност со,на кој
ѓ (n) (в) = 0
Доказ. Од страна на Ролова теоремание имаме
f" (x 0 ) = 0 ,
Каде а< x 0 < b . Потоа f" (x)на интервалот ја задоволува теоремата на Рол, бидејќи, по услов, f"(а) = 0И f" (x 0 ) = 0 , а со тоа и
f "" (x 1 ) = 0 ,
Каде а< x 1 < x 0 .
Примена на теорема на Роле сукцесивно на функциите f ""(x), f """(x), ..., f (n-1) (x), конечно наоѓаме:
ѓ (n) (в) = 0,
Каде а< c < x n-1 < b . Теоремата е докажана.
Ајде сега да изведеме Тејлоровата формула со остаток член во форма на Лагранж.
Нека функцијата f(x)диференцијабилна nпати во интервалот.
Размислете за функцијата помошник
(x) = f(x) - P(x),
Ајде да се разликуваме nпати повеќе од функцијата (x). Тогаш ќе имаме
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(n-1) (x) = f (n-1) (x)-А n-1 - А n (x - a),
(n) (x) = f (n) (x)-А n
Бараме функцијата (x)ги задоволи условите на генерализираната теорема на Рол. Тогаш ќе имаме
(1)
.
Бидејќи функцијата (x)ги задоволува условите на генерализираната теорема на Рол, тогаш постои таква вредност со< c < b) , Што
(n) (в) = ѓ (n) (в) - А n = 0 (2)