Прво, ајде да научиме како да најдеме домен на дефинирање на збирот на функции. Јасно е дека таквата функција има смисла за сите такви вредности на променливата за кои имаат смисла сите функции што го сочинуваат збирот. Затоа, нема сомнеж за валидноста на следната изјава:
Ако функцијата f е збир од n функции f 1, f 2, …, f n, односно функцијата f е дадена со формулата y=f 1 (x)+f 2 (x)+…+f n (x ), тогаш доменот на дефиниција на функцијата f е пресек на домените на дефинирање на функциите f 1, f 2, ..., f n. Ајде да го напишеме ова како.
Ајде да се согласиме да продолжиме да користиме записи слични на последниот, под кој подразбираме напишани во кадрава заграда или истовремено исполнување на какви било услови. Ова е погодно и сосема природно резонира со значењето на системите.
Пример.
Дадена е функцијата y=x 7 +x+5+tgx и треба да го најдеме нејзиниот домен на дефиниција.
Решение.
Функцијата f е претставена со збир од четири функции: f 1 - функција на моќност со експонент 7, f 2 - функција на моќност со експонент 1, f 3 - константна функција и f 4 - тангентна функција.
Гледајќи ја табелата со области за дефинирање на главната елементарни функции, наоѓаме дека D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=(−∞, +∞) , D(f 3)=(−∞, +∞) и доменот на дефиниција на тангента е множество на сите реални броевиосвен бројките 
.
Доменот на дефиниција на функцијата f е пресек на домените на дефинирање на функциите f 1, f 2, f 3 и f 4. Сосема е очигледно дека ова е множество од сите реални броеви, со исклучок на броевите .
Одговор:
множеството од сите реални броеви освен .
Ајде да продолжиме кон наоѓање домен на дефиниција на производ на функции. За овој случај, се применува слично правило:
Ако функцијата f е производ на n функции f 1, f 2, ..., f n, односно функцијата f е дадена со формулата y=f 1 (x) f 2 (x)… f n (x), тогаш доменот на дефиниција на функцијата f е пресек на домените на дефинирање на функциите f 1, f 2, ..., f n. Значи,.
Ова е разбирливо, во наведената област се дефинирани сите функции на производот, па оттука и самата функција f.
Пример.
Y=3·arctgx·lnx .
Решение.
Структурата на десната страна на формулата што ја дефинира функцијата може да се смета како f 1 (x) f 2 (x) f 3 (x), каде што f 1 е константна функција, f 2 е арктангента функција и f 3 е логаритамска функција со основа e.
Знаеме дека D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=(−∞, +∞) и D(f 3)=(0, +∞) . Потоа 
.
Одговор:
Областа на дефиниција на функцијата y=3·arctgx·lnx е множеството од сите реални позитивни броеви.
Посебно да се фокусираме на наоѓање на доменот на дефиниција на функција дадена со формулата y=C·f(x), каде што C е некој реален број. Лесно е да се покаже дека доменот на дефиниција на оваа функција и доменот на дефинирање на функцијата f се совпаѓаат. Навистина, функцијата y=C·f(x) е производ на константна функција и функција f. Областа на константна функција е множество од сите реални броеви, а доменот на функцијата f е D(f) . Тогаш доменот на дефиниција на функцијата y=C f(x) е 
, што е она што требаше да се прикаже.
Значи, домените на дефинирање на функциите y=f(x) и y=C·f(x), каде што C е некој реален број, се совпаѓаат. На пример, доменот на коренот е , станува јасно дека D(f) е множество од сите x од доменот на функцијата f 2 за која f 2 (x) е вклучена во доменот на функцијата f 1 .
Така, домен на дефинирање на сложена функција y=f 1 (f 2 (x)) е пресек на две множества: множество од сите такви x што x∈D(f 2) и множество од сите такви x за кои f 2 (x)∈D(f 1) . Односно во нотацијата што ја усвоивме 
(ова во суштина е систем на нееднаквости).
Ајде да погледнеме неколку примери на решенија. Ние нема да го опишеме процесот во детали, бидејќи ова е надвор од опсегот на овој напис.
Пример.
Најдете го доменот на дефиниција на функцијата y=lnx 2 .
Решение.
Оригиналната функција може да се претстави како y=f 1 (f 2 (x)), каде што f 1 е логаритам со основа e, а f 2 е функција за напојувањесо индикатор 2.
Свртување кон познати областидефиниции на основните елементарни функции, имаме D(f 1)=(0, +∞) и D(f 2)=(−∞, +∞) .
Потоа 
Така го најдовме доменот на дефиниција на функцијата што ни требаше, тоа е множество од сите реални броеви освен нула.
Одговор:
(−∞, 0)∪(0, +∞) .
Пример.
Кој е доменот на функцијата 
?
Решение.
Оваа функцијакомплексна, може да се смета како y=f 1 (f 2 (x)), каде што f 1 е моќна функција со експонент, а f 2 е лаксинистичка функција и треба да го најдеме нејзиниот домен на дефиниција.
Ајде да видиме што знаеме: D(f 1)=(0, +∞) и D(f 2)=[−1, 1] . Останува да се најде пресекот на множества на вредности x така што x∈D(f 2) и f 2 (x)∈D(f 1): 
За arcsinx>0, запомнете ги својствата на функцијата arcsine. Лакот се зголемува низ целиот домен на дефиниција [−1, 1] и оди на нула при x=0, според тоа, arcsinx>0 за кој било x од интервалот (0, 1] .
Да се вратиме на системот: 
Така, потребниот домен на дефинирање на функцијата е полуинтервалот (0, 1].
Одговор:
(0, 1] .
Сега да преминеме на сложени функции од општата форма y=f 1 (f 2 (...f n (x)))). Доменот на дефиниција на функцијата f во овој случај се среќава како 
.
Пример.
Најдете го доменот на функцијата 
.
Решение.
Со оглед на комплексна функцијаможе да се запише како y=f 1 (f 2 (f 3 (x))), каде што f 1 – sin, f 2 – функција на корен од четврти степен, f 3 – log.
Знаеме дека D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=∪∪/Режим за пристап: Материјали од сајтовите www.fipi.ru, www.eg
Анекс 1
Практична работа „ОДЗ: кога, зошто и како?
|
Опција 1 |
Опција 2 |
|
│x+14│= 2 - 2x |
|
|
│3-х│=1 - 3х |
Додаток 2
Одговори на задачи практична работа„ОЏ: кога, зошто и како?
|
Опција 1 |
Опција 2 |
|
Одговор: нема корени |
Одговор: x-кој било број освен x=5 |
|
9x+ = +27 ODZ: x≠3 Одговор: нема корени |
ОДЗ: x=-3, x=5. Одговор: -3;5. |
|
y= -се намалува, y= -се зголемува Тоа значи дека равенката има најмногу еден корен. Одговор: x=6. |
ОДЗ: → →х≥5 Одговор: x≥5, x≤-6. |
|
│x+14│=2-2x ODZ:2-2x≥0, x≤1 x=-4, x=16, 16 не припаѓа на ОДЗ |
Се намалува, се зголемува Равенката има најмногу еден корен. Одговор: нема корени. |
|
0, ODZ: x≥3, x≤2 Одговор: x≥3, x≤2 |
8x+ = -32, ODZ: x≠-4. Одговор: нема корени. |
|
x=7, x=1. Одговор: нема решенија |
Зголемување - намалување Одговор: x=2. |
|
0 ODZ: x≠15 Одговор: x е кој било број освен x=15. |
│3-х│=1-3х, ODZ: 1-3х≥0, x≤ x=-1, x=1 не припаѓа на ОДЗ. Одговор: x=-1. |
Одлучување различни задачи, многу често мораме да извршиме идентични трансформации на изрази. Но, се случува некаква трансформација да биде прифатлива во некои случаи, но не и во други. Значајна помош во однос на следењето на допуштеноста на тековните трансформации дава ОДЗ. Ајде да го разгледаме ова подетално.
Суштината на пристапот е следна: ODZ на променливите за оригиналниот израз се споредува со ODZ на променливи за изразот добиен како резултат на идентични трансформации и врз основа на споредбените резултати се изведуваат соодветни заклучоци.
Генерално, идентитетските трансформации можат
- не влијае на DL;
- доведе до проширување на ОДЗ;
- доведе до стеснување на ОДЗ.
Ајде да го илустрираме секој случај со пример.
Размислете за изразот x 2 +x+3·x, ODZ на променливата x за овој израз е множеството R. Сега да го направиме следново со овој израз трансформација на идентитетот– да претставиме слични поими, како резултат на тоа ќе има форма x 2 +4·x. Очигледно, променливата x на овој израз е исто така множество R. Така, извршената трансформација не го промени ДЗ.
Ајде да продолжиме. Да го земеме изразот x+3/x−3/x. Во овој случај, ODZ се одредува со условот x≠0, што одговара на множеството (−∞, 0)∪(0, +∞) . Овој израз исто така содржи слични термини, откако ќе го намалиме доаѓаме до изразот x, за кој ODZ е R. Она што го гледаме: како резултат на трансформацијата, ODZ беше проширен (бројот нула беше додаден на ODZ на променливата x за оригиналниот израз).
Останува да се разгледа пример за стеснување на опсегот на прифатливи вредности по трансформациите. Да го земеме изразот 
. ODZ на променливата x се определува со неравенката (x−1)·(x−3)≥0, за нејзиното решение е погодна, на пример, како резултат имаме (−∞, 1]∪∪; уредено од S. A. Telyakovsky - 17- ed - M.: Образование, 2008. - 240 стр.
Дробни равенки. ОДЗ.
Внимание!
Има дополнителни
материјали во Посебен дел 555.
За оние кои се многу „не многу...“
И за оние кои „многу...“)
Продолжуваме да ги совладуваме равенките. Ние веќе знаеме како да работиме со линеарни и квадратни равенки. Последниот поглед лево - фракциони равенки . Или тие се нарекуваат и многу попочитливо - фракционо рационални равенки . Исто е.
Дробни равенки.
Како што имплицира името, овие равенки нужно содржат фракции. Но, не само дропки, туку дропки кои имаат непознат во именител. Барем во една. На пример:
Да ве потсетам дека ако именители се само броеви, ова се линеарни равенки.
Како да се одлучи фракциони равенки? Прво, ослободете се од дропките! По ова, равенката најчесто се претвора во линеарна или квадратна. И тогаш знаеме што да правиме... Во некои случаи може да се претвори во идентитет, како на пример 5=5 или неточен израз, како на пример 7=2. Но, ова ретко се случува. Ова ќе го спомнам подолу.
Но, како да се ослободите од дропките!? Многу едноставно. Применувајќи ги истите идентични трансформации.
Треба да ја помножиме целата равенка со истиот израз. Така што сите именители се намалуваат! Сè веднаш ќе стане полесно. Да објаснам со пример. Дозволете ни да ја решиме равенката:
Како што се учи во помлади класи? Се поместуваме на една страна, го доведуваме до заеднички именител итн. Заборавете како ужасен сон! Ова е она што треба да го правите кога додавате или одземате. фракциони изрази. Или работите со нееднаквости. И во равенките, ние веднаш ги множиме двете страни со израз кој ќе ни даде можност да ги намалиме сите именители (т.е., во суштина, со заеднички именител). И каков е овој израз?
На левата страна, намалувањето на именителот бара множење со x+2. А на десната страна, потребно е множење со 2 Ова значи дека равенката мора да се помножи со 2 (x+2). Множете се:
Ова обично множењедропки, но ќе го напишам детално:
Имајте предвид дека сè уште не ја отворам заградата (x + 2)! Така, во целост, го пишувам:
На левата страна целосно се собира (x+2), а десно 2. Што се бараше! По намалувањето добиваме линеарнаравенката:
И секој може да ја реши оваа равенка! x = 2.
Ајде да решиме уште еден пример, малку покомплициран:
Ако се сетиме дека 3 = 3/1, и 2x = 2x/ 1, можеме да напишеме:
И повторно се ослободуваме од она што навистина не ни се допаѓа - фракции.
Гледаме дека за да го намалиме именителот со X, треба да го помножиме дропот со (x – 2). А неколку не ни се пречка. Па, ајде да се множиме. Сите лева странаИ ситедесна страна:
Повторно загради (x – 2)Не откривам. Работам со заградата како целина како да е еден број! Ова мора секогаш да се прави, инаку ништо нема да се намали.
Со чувство на длабоко задоволство намалуваме (x – 2)и добиваме равенка без никакви дропки, со линијар!
Сега да ги отвориме заградите:
Донесуваме слични, преместуваме сè на левата страна и добиваме:
Но, пред тоа ќе научиме да решаваме други проблеми. На камата. Тоа е гребло, патем!
Доколку ви се допаѓа оваа страница...
Патем, имам уште неколку интересни страници за вас.)
Можете да вежбате да решавате примери и да го дознаете вашето ниво. Тестирање со инстант верификација. Ајде да научиме - со интерес!)
Можете да се запознаете со функции и деривати.
Како да се најде доменот на функцијата? Средношколците често мора да се справат со оваа задача.
Родителите треба да им помогнат на своите деца да го разберат ова прашање.
Одредување на функција.
Да се потсетиме на основните поими на алгебрата. Во математиката, функцијата е зависност на една променлива од друга. Можеме да кажеме дека ова е строг математички закон кој поврзува два броја на одреден начин.
Во математиката, кога се анализираат формули, нумеричките променливи се заменуваат со азбучни симболи. Најчесто користени се x („x“) и y („y“). Променливата x се нарекува аргумент, а променливата y се нарекува зависна променлива или функција на x.
Постои различни начинипоставување на зависности на променливите.
Да ги наведеме:
- Аналитички тип.
- Табеларен приказ.
- Графички приказ.
Аналитичкиот метод е претставен со формулата. Да ги погледнеме примерите: y=2x+3, y=log(x), y=sin(x). Формулата y=2x+3 е типична за линеарна функција. Замена во дадена формула нумеричка вредностаргумент, ја добиваме вредноста на y.
Табеларниот метод е табела која се состои од две колони. Првата колона е распределена за вредностите на X, а во следната колона се запишуваат податоците на играчот.
Графичкиот метод се смета за највизуелен. Графикот е приказ на множеството од сите точки на рамнината.
За да се конструира графикон, користете Декартов системкоординати Системот се состои од две нормални линии. На оските се поставени идентични единечни сегменти. Одбројувањето е направено од централна точкапресек на прави линии.
Независната променлива покажува хоризонтална линија. Се нарекува оска на апсциса. Вертикалната линија (y-оска) ја прикажува нумеричката вредност на зависната променлива. Точките се означени на пресекот на перпендикуларите на овие оски. Поврзувајќи ги точките заедно, добиваме солидна линија. Тоа е основа на распоредот.
Видови на променливи зависности
Дефиниција.
ВО општ погледзависноста е претставена како равенка: y=f(x). Од формулата произлегува дека за секоја вредност на бројот x постои одреден број u. Вредноста на играта, која одговара на бројот x, се нарекува вредност на функцијата.
Сите можни вредности што ги добива независната променлива го формираат доменот на дефинирање на функцијата. Соодветно на тоа, целиот сет на броеви на зависната променлива го одредува опсегот на вредностите на функцијата. Доменот на дефиниција се сите вредности на аргументот за кои f(x) има смисла.
Почетна задача за истражување математички законисе состои во пронаоѓање на доменот на дефиниција. Овој термин мора да биде правилно дефиниран. ВО во спротивносите понатамошни пресметки ќе бидат бескорисни. На крајот на краиштата, обемот на вредности се формира врз основа на елементите од првиот сет.
Обемот на функцијата е директно зависен од ограничувањата. Ограничувањата се предизвикани од неможноста да се извршат одредени операции. Исто така, постојат ограничувања за употребата на нумерички вредности.
Во отсуство на ограничувања, доменот на дефиниција е целиот броен простор. Знакот за бесконечност има хоризонтална фигура осум симбол. Целото множество броеви е напишано вака: (-∞; ∞).
ВО одредени случаиподаточната низа се состои од неколку подмножества. Обемот на нумеричките интервали или празни места зависи од типот на законот за промена на параметарот.
Еве список на фактори кои влијаат на ограничувањата:
- обратна пропорционалност;
- аритметички корен;
- експоненцијација;
- логаритамска зависност;
- тригонометриски форми.
Ако има неколку такви елементи, тогаш пребарувањето за ограничувања е поделено за секој од нив. Најголем проблемпретставува идентификација критични точкии интервали. Решението на проблемот ќе биде обединување на сите нумерички подмножества.
Множество и подмножество броеви
За комплетите.
Доменот на дефиниција се изразува како D(f), а знакот на унијата е претставен со симболот ∪. Сите нумерички интервализатворени во загради. Ако границата на локацијата не е вклучена во комплетот, тогаш се поставува полукружна заграда. Во спротивно, кога број е вклучен во подмножество, се користат квадратни загради.
Обратна пропорционалност се изразува со формулата y=k/x. Графикот на функцијата е крива линија која се состои од две гранки. Најчесто се нарекува хипербола.
Бидејќи функцијата се изразува како дропка, наоѓањето на доменот на дефиниција се сведува на анализа на именителот. Познато е дека во математиката делењето со нула е забрането. Решавањето на проблемот се сведува на изедначување на именителот на нула и наоѓање на корените.
Еве еден пример:
Дадено е: y=1/(x+4). Најдете го доменот на дефиниција.
- Именителот го изедначуваме со нула.
x+4=0 - Наоѓање на коренот на равенката.
x=-4 - Дефинирајте го збирот на сите можни вредностиаргумент.
D(f)=(-∞ ; -4)∪(-4; +∞)
Одговор: Доменот на функцијата се сите реални броеви освен -4.
Значењето на бројот под знакот квадратен коренне може да биде негативен. Во овој случај, дефинирањето на функција со корен се сведува на решавање на неравенство. Радикалниот израз мора да биде поголем од нула.
Областа на определување на коренот е поврзана со паритетот на коренскиот индикатор. Ако индикаторот е делив со 2, тогаш изразот има смисла само ако е позитивна вредност. Чуден бројиндикаторот укажува на допуштеноста на кое било значење на радикалниот израз: и позитивно и негативно.
Неравенките се решаваат на ист начин како равенките. Има само една разлика. Откако ќе се помножат двете страни на неравенството со негативен бројзнакот треба да биде обратен.
Ако квадратниот корен е во именителот, тогаш треба да наметнете дополнителна состојба. Бројната вредност не смее да биде нула. Нееднаквоста преминува во категоријата строги нееднаквости.
Логаритамски и тригонометриски функции
Логаритамската форма има смисла кога позитивни бројки. Така, доменот на дефиниција логаритамска функцијаслично на функцијата квадратен корен, освен нула.
Да разгледаме пример за логаритамска зависност: y=log(2x-6). Најдете го доменот на дефиниција.
- 2x-6>0
- 2x>6
- x>6/2
Одговор: (3; +∞).
Доменот на дефиниција на y=sin x и y=cos x е множеството од сите реални броеви. Постојат ограничувања за тангента и котангента. Тие се поврзани со делење со косинус или синус на агол.
Тангентата на аголот се определува со односот на синус и косинус. Дозволете ни да ги посочиме вредностите на аголот на кои не постои тангента вредност. Функцијата y=tg x има смисла за сите вредности на аргументот освен x=π/2+πn, n∈Z.
Доменот на дефиниција на функцијата y=ctg x е целото множество реални броеви, со исклучок на x=πn, n∈Z. Ако аргументот е еднаков на бројот π или множител на π, синусот на аголот еднаква на нула. Во овие точки (асимптоти) котангенсот не може да постои.
Првите задачи за идентификување на доменот на дефиниција започнуваат на часовите во VII одделение. Кога првпат се запознава со овој дел од алгебрата, ученикот треба јасно да ја разбере темата.
Треба да се напомене дека овој изразќе го придружува студентот, а потоа и студентот во текот на целиот период на студирање.