Разбрахме, че има X- множество, на което формулата, която определя функцията, има смисъл. IN математически анализтози набор често се означава като г (област на функция ). На свой ред мн Yозначен като д (функционален диапазон ) и в същото време гИ днаречени подмножества Р(набор от реални числа).

Ако дадена функция е дадена с формула, тогава, при липса на специални уговорки, се разглежда обхватът на нейната дефиниция най-големият набор, на който тази формула има смисъл, тоест най-големият набор от стойности на аргументи, който води до реални стойности на функцията . С други думи, наборът от стойности на аргументи, върху които работи „функцията“.

За общо разбиранеПримерът все още няма формула. Функцията е посочена като двойки отношения:

{(2, 1), (4, 2), (6, -6), (5, -1), (7, 10)} .

Намерете областта на дефиниране на тези функции.

отговор. Първият елемент от двойката е променлива х. Тъй като спецификацията на функцията съдържа и вторите елементи на двойките - стойностите на променливата г, тогава функцията има смисъл само за тези стойности на x, които съответстват на определена стойностигра. Тоест, ние вземаме всички X на тези двойки във възходящ ред и получаваме от тях домейна на дефиниция на функцията:

{2, 4, 5, 6, 7} .

Същата логика работи, ако функцията е дадена с формула. Само вторите елементи по двойки (т.е. стойностите на i) се получават чрез заместване на определени x стойности във формулата. Въпреки това, за да намерим домейна на функция, не е нужно да минаваме през всички двойки X и Y.

Пример 0.Как да намерим домейна на дефиниция на функцията i е равно на корен квадратен от x минус пет (радикален израз x минус пет) ()? Просто трябва да решите неравенството

х - 5 ≥ 0 ,

защото за да получим реална стойностиграта, радикалният израз трябва да бъде по-голям или равен на нула. Получаваме решението: областта на дефиниране на функцията е всички стойности на x, по-големи или равни на пет (или x принадлежи към интервала от пет включително до плюс безкрайност).

На чертежа по-горе е фрагмент от числовата ос. На него областта на дефиниране на разглежданата функция е защрихована, докато в посока „плюс“ щриховката продължава безкрайно по самата ос.

Ако използвате компютърни програми, които произвеждат някакъв отговор въз основа на въведените данни, може да забележите, че за някои стойности на въведените данни програмата извежда съобщение за грешка, тоест, че с такива данни отговорът не може да бъде изчислен. Това съобщение се предоставя от авторите на програмата, ако изразът за изчисляване на отговора е доста сложен или засяга някои тесни предметна област, или предоставени от авторите на езика за програмиране, ако става въпрос за общоприети норми, например, които не могат да бъдат разделени на нула.

Но и в двата случая отговорът (стойността на някакъв израз) не може да бъде изчислен поради причината, че изразът няма смисъл за някои стойности на данни.

Пример (все още не съвсем математически): ако програмата изведе името на месеца въз основа на номера на месеца в годината, тогава при въвеждане на „15“ ще получите съобщение за грешка.

Най-често изразът, който се изчислява, е просто функция. Следователно такива невалидни стойностиданните не са включени област на функция . И при ръчни изчисления е също толкова важно да се представи домейнът на функция. Например изчислявате определен параметър на определен продукт, като използвате формула, която е функция. За някои стойности на входния аргумент няма да получите нищо на изхода.

Област на дефиниране на константа

Определена константа (константа). за всякакви реални стойности х Р реални числа. Това може да се запише и така: областта на дефиниране на тази функция е цялата числова ос ]- ∞; + ∞[ .

Пример 1. Намерете домейна на функция г = 2 .

Решение. Областта на дефиниране на функцията не е посочена, което означава, че по силата на горната дефиниция се има предвид естествената област на дефиниция. Изразяване f(х) = 2, дефинирани за всякакви реални стойности х, следователно, тази функцияопределени за целия набор Р реални числа.

Следователно на горния чертеж числовата линия е защрихована по целия път от минус безкрайност до плюс безкрайност.

Зона за определяне на корена пта степен

В случая, когато функцията е дадена с формулата и п- естествено число:

Пример 2. Намерете домейна на функция .

Решение. Както следва от дефиницията, корен от четна степен има смисъл, ако радикалният израз е неотрицателен, т.е. ако - 1 ≤ х≤ 1. Следователно областта на дефиниране на тази функция е [- 1; 1].

Защрихованата област на числовата линия на чертежа по-горе е областта на дефиниране на тази функция.

Област на степенна функция

Област на степенна функция с цяло число

Ако а- положителен, тогава областта на дефиниране на функцията е множеството от всички реални числа, т.е. ]- ∞; + ∞[ ;

Ако а- отрицателни, тогава областта на дефиниране на функцията е множеството ]- ∞; 0[ ∪ ]0 ;+ ∞[ , тоест цялата числова линия с изключение на нулата.

В съответния чертеж по-горе цялата числова линия е защрихована и точката, съответстваща на нулата, е изчертана (не е включена в областта на дефиниране на функцията).

Пример 3. Намерете домейна на функция .

Решение. Първи мандат цяла степен x е равно на 3, а степента на x във втория член може да бъде представена като единица - също цяло число. Следователно областта на дефиниране на тази функция е цялата числова ос, т.е. ]- ∞; + ∞[ .

Област на степенна функция с дробен показател

В случай, че функцията е дадена по формулата:

ако е положителен, тогава областта на дефиниране на функцията е множеството 0; + ∞[ .

Пример 4. Намерете домейна на функция .

Решение. И двата члена в израза на функцията са мощностни функциис положителни дробни показатели. Следователно областта на дефиниране на тази функция е множеството - ∞; + ∞[ .

Област на експоненциални и логаритмични функции

Област на експоненциалната функция

В случай, че функцията е дадена с формула, областта на дефиниране на функцията е цялата числова ос, т.е. ] - ∞; + ∞[ .

Област на логаритмичната функция

Логаритмичната функция е дефинирана при условие, че нейният аргумент е положителен, т.е. нейната област на дефиниране е множеството ]0; + ∞[ .

Намерете сами домейна на функцията и след това вижте решението

Област на тригонометрични функции

Функционален домейн г= cos( х) - също много Р реални числа.

Функционален домейн г= tg( х) - комплект Р реални числа, различни от числа .

Функционален домейн г= ctg( х) - комплект Р реални числа, с изключение на числата.

Пример 8. Намерете домейна на функция .

Решение. Външна функция - десетичен логаритъми домейнът на неговата дефиниция е предмет на условията на домейна на дефиницията логаритмична функцияизобщо. Тоест нейният аргумент трябва да е положителен. Аргументът тук е синус от "х". Завъртайки въображаем компас около кръг, виждаме, че условието sin х> 0 е нарушено с "x" равно на нула, "пи", две, умножено по "пи" и изобщо равно на произведението pi и всяко четно или нечетно цяло число.

По този начин областта на дефиниция на тази функция е дадена от израза

,

Къде к- цяло число.

Област на дефиниране на обратни тригонометрични функции

Функционален домейн г= arcsin( х) - набор [-1; 1].

Функционален домейн г= arccos( х) - също множеството [-1; 1].

Функционален домейн г= арктан( х) - комплект Р реални числа.

Функционален домейн г= arcctg( х) - също много Р реални числа.

Пример 9. Намерете домейна на функция .

Решение. Да решим неравенството:

Така получаваме областта на дефиниция на тази функция - отсечката [- 4; 4].

Пример 10. Намерете домейна на функция .

Решение. Нека да решим две неравенства:

Решение на първото неравенство:

Решение на второто неравенство:

Така получаваме областта на дефиниране на тази функция - сегмента.

Обхват на фракцията

Ако функцията е дадена дробен израз, в която променливата е в знаменателя на дробта, тогава областта на дефиниране на функцията е множеството Р реални числа, с изключение на тези х, при което знаменателят на дробта става нула.

Пример 11. Намерете домейна на функция .

Решение. Решавайки равенството на знаменателя на дробта на нула, намираме областта на дефиниране на тази функция - множеството ]- ∞; - 2[ ∪ ]- 2 ;+ ∞[ .

Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато подадете заявка на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, адрес имейли т.н.

Как използваме вашата лична информация:

• Събрани от нас лична информацияни позволява да се свържем с вас и да ви информираме за уникални предложения, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
• Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели като одит, анализ на данни и различни изследванияза да подобрим услугите, които предоставяме и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на информация на трети лица

Ние не разкриваме информацията, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

• При необходимост, в съответствие със закона, съдебна процедура, В изпитание, и/или въз основа на публични искания или искания от държавни агенциина територията на Руската федерация - разкрийте вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други обществено значими цели.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Уважаване на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

Как да намеря домейна на функция? Учениците от средното училище често трябва да се справят с тази задача.

Родителите трябва да помогнат на децата си да разберат този проблем.

Задаване на функция.

Нека си припомним основните термини на алгебрата. В математиката функция е зависимостта на една променлива от друга. Можем да кажем, че това е строг математически закон, който свързва две числа по определен начин.

В математиката, когато се анализират формули, числовите променливи се заменят с буквени символи. Най-често използваните са x („x“) и y („y“). Променливата x се нарича аргумент, а променливата y се нарича зависима променлива или функция от x.

има различни начинизадаване на зависимости на променливи.

Нека ги изброим:

1. Аналитичен тип.
2. Табличен изглед.
3. Графичен дисплей.

Аналитичният метод е представен с формулата. Нека да разгледаме примерите: y=2x+3, y=log(x), y=sin(x). Формулата y=2x+3 е типична за линейна функция. Заместване в дадена формула числова стойностаргумент, получаваме стойността на y.

Табличният метод е таблица, състояща се от две колони. Първата колона е предназначена за стойностите X, а в следващата колона се записват данните на играча.

Графичният метод се счита за най-визуален. Графиката е показване на множеството от всички точки на равнина.

За да построите графика използвайте Декартова системакоординати Системата се състои от две перпендикулярни линии. Върху осите са положени еднакви единични сегменти. Обратното броене се прави от централна точкапресичане на прави линии.

Независимата променлива показва хоризонтална линия. Нарича се абсцисната ос. Вертикалната линия (ос y) показва числената стойност на зависимата променлива. В пресечната точка на перпендикулярите на тези оси се отбелязват точки. Свързвайки точките заедно, получаваме плътна линия. Тя е в основата на графика.

Видове зависимости на променливи

Определение.

IN общ изгледзависимостта се представя като уравнение: y=f(x). От формулата следва, че за всяка стойност на числото x има определен брой u. Стойността на играта, която съответства на числото x, се нарича стойност на функцията.

Всички възможни стойности, които независимата променлива придобива, формират областта на дефиниране на функцията. Съответно, целият набор от числа на зависимата променлива определя диапазона от стойности на функцията. Домейнът на дефиницията е всички стойности на аргумента, за които f(x) има смисъл.

Първоначална задача в изследването математически законисе състои в намиране на областта на дефиницията. Този термин трябва да бъде правилно дефиниран. IN иначевсички по-нататъшни изчисления ще бъдат безполезни. В крайна сметка обемът от стойности се формира въз основа на елементите на първия набор.

Обхватът на функцията е пряко зависим от ограниченията. Ограниченията произтичат от невъзможността за извършване на определени операции. Има и ограничения за използването на числени стойности.

При липса на ограничения, домейнът на дефиницията е цялото числово пространство. Знакът за безкрайност има хоризонтален символ на осем. Целият набор от числа се записва така: (-∞; ∞).

IN определени случаимасивът от данни се състои от няколко подмножества. Обхватът на числовите интервали или интервали зависи от вида на закона за промяна на параметъра.

Ето списък с фактори, които влияят върху ограниченията:

• обратна пропорционалност;
• аритметичен корен;
• степенуване;
• логаритмична зависимост;
• тригонометрични форми.

Ако има няколко такива елемента, тогава търсенето на ограничения е разделено за всеки от тях. Най-големият проблемпредставлява идентификация критични точкии интервали. Решението на проблема ще бъде да се обединят всички числени подмножества.

Множество и подмножество от числа

Относно комплектите.

Областта на дефиниция се изразява като D(f), а знакът на обединението е представен от символа ∪. Всички числови интервалиоградено в скоби. Ако границата на обекта не е включена в комплекта, тогава се поставя полукръгла скоба. В противен случай, когато число е включено в подмножество, се използват квадратни скоби.

Обратната пропорционалност се изразява с формулата y=k/x. Функционалната графика е крива линия, състояща се от два клона. Обикновено се нарича хипербола.

Тъй като функцията се изразява като дроб, намирането на домейна на дефиницията се свежда до анализ на знаменателя. Известно е, че в математиката делението с нула е забранено. Решаването на задачата се свежда до изравняване на знаменателя на нула и намиране на корените.

Ето един пример:

Дадено е: y=1/(x+4). Намерете областта на дефиницията.

1. Приравняваме знаменателя на нула.
   х+4=0
2. Намиране на корена на уравнението.
   х=-4
3. Определете множеството от всички възможни стойностиаргумент.
   D(f)=(-∞; -4)∪(-4; +∞)

Отговор: Обхватът на функцията е всичко реални числа, с изключение на -4.

Стойността на число под знака за квадратен корен не може да бъде отрицателна. В този случай дефинирането на функция с корен се свежда до решаване на неравенство. Радикалният израз трябва да е по-голям от нула.

Областта на определяне на корена е свързана с паритета на коренния индикатор. Ако индикаторът се дели на 2, тогава изразът има смисъл само ако положителна стойност. Нечетно числоиндикаторът показва допустимостта на всяко значение на радикалния израз: както положително, така и отрицателно.

Неравенствата се решават по същия начин като уравненията. Има само една разлика. След умножаване на двете страни на неравенството по отрицателно числознакът трябва да е обърнат.

Ако квадратният корен е в знаменателя, тогава трябва да се наложи допълнително условие. Числовата стойност не трябва да е нула. Неравенството преминава в категорията на строгите неравенства.

Логаритмични и тригонометрични функции

Логаритмичната форма има смисъл, когато положителни числа. По този начин областта на логаритмичната функция е подобна на функцията квадратен корен, с изключение на нулата.

Нека разгледаме пример за логаритмична зависимост: y=log(2x-6). Намерете областта на дефиницията.

• 2x-6>0
• 2x>6
• x>6/2

Отговор: (3; +∞).

Областта на дефиниране на y=sin x и y=cos x е множеството от всички реални числа. Има ограничения за тангенс и котангенс. Те са свързани с деление на косинус или синус на ъгъл.

Тангенсът на ъгъл се определя от съотношението на синус към косинус. Нека посочим стойностите на ъглите, при които стойността на тангенса не съществува. Функцията y=tg x има смисъл за всички стойности на аргумента с изключение на x=π/2+πn, n∈Z.

Областта на дефиниране на функцията y=ctg x е цялото множество от реални числа, с изключение на x=πn, n∈Z. Ако аргументът е равен на числото π или кратно на π, синусът на ъгъла равно на нула. В тези точки (асимптоти) котангенсът не може да съществува.

Първите задачи за идентифициране на областта на дефиницията започват в часовете в 7. клас. Когато за първи път се запознае с този раздел от алгебрата, ученикът трябва ясно да разбере темата.

Трябва да се отбележи, че този срокще придружава студента, а след това и студента през целия период на обучение.

По математика безкрайно множествофункции. И всеки има свой собствен характер.) За да работите с голямо разнообразие от функции, от които се нуждаете единиченподход. Иначе каква математика е това?!) И такъв подход има!

Когато работим с всяка функция, ние я представяме с стандартен комплектвъпроси. И първият, най-много важен въпрос- Това област на дефиниция на функцията.Понякога тази област се нарича набор от валидни стойности на аргументи, област, където е определена функция и т.н.

Какво представлява домейнът на функция? Как да го намерите? Тези въпроси често изглеждат сложни и неразбираеми... Въпреки че всъщност всичко е изключително просто. Можете да се убедите сами, като прочетете тази страница. да тръгваме?)

Е, какво да кажа... Просто уважение.) Да! Естественият домейн на функция (която се обсъжда тук) мачовес ODZ на изрази, включени във функцията. Съответно те се търсят по същите правила.

Сега нека разгледаме една не съвсем естествена област на дефиниция.)

Допълнителни ограничения върху обхвата на функция.

Тук ще говорим за ограниченията, които налага задачата. Тези. задачата съдържа някои допълнителни условия, които са измислени от компилатора. Или ограниченията произтичат от самия метод на дефиниране на функцията.

Що се отнася до ограниченията в задачата, всичко е просто. Обикновено не е необходимо да търсите нищо, всичко вече е казано в задачата. Нека ви напомня, че ограниченията, написани от автора на задачата, не отменят фундаментални ограничения на математиката.Просто трябва да запомните да вземете предвид условията на задачата.

Например тази задача:

Намерете домейна на функция:

върху множеството от положителни числа.

Открихме естествената област на дефиниция на тази функция по-горе. Тази област:

D(f)=( -∞ ; -1) ∪ (-1; 2] ∪ ∪

IN словесен начинКогато задавате функция, трябва внимателно да прочетете условието и да намерите ограничения за X там. Понякога очите търсят формули, но думите свистят покрай съзнанието, да...) Пример от предишния урок:

Функцията се определя от условието: всяка стойност на естествения аргумент x е свързана със сумата от цифрите, които съставляват стойността на x.

Тук трябва да се отбележи, че говорим самоО природни ценности X. Тогава D(f)незабавно записано:

D(f): x ∈ Н

Както можете да видите, обхватът на функцията не е такъв сложна концепция. Намирането на тази област се свежда до изследване на функцията, записване на система от неравенства и решаване на тази система. Разбира се, има всякакви системи, прости и сложни. но...

аз ще го отворя малка тайна. Понякога функция, за която трябва да намерите домейна на дефиницията, изглежда просто плашеща. Искам да пребледня и да заплача.) Но щом напиша системата от неравенства... И изведнъж системата се оказва елементарна! Освен това често колкото по-ужасна е функцията, толкова по-проста е системата...

Морал: очите се страхуват, главата решава!)

Как?
Примери за решения

Ако нещо липсва някъде, значи има нещо някъде

Продължаваме да изучаваме раздела „Функции и графики“, а следващата станция от нашето пътуване е. Активна дискусия тази концепциязапочна в статията за множествата и продължи в първия урок за функционални графики, където разгледах елементарни функции и по-специално техните области на дефиниция. Затова препоръчвам на манекените да започнат с основите на темата, тъй като няма да се спирам отново на някои основни точки.

Предполага се, че читателят познава областта на дефиницията следните функции: линеен, квадратичен, кубична функция, полиноми, експоненциал, синус, косинус. Те са определени на (наборът от всички реални числа). За тангенси, арксинуси, така да бъде, прощавам ти =) - по-редките графики не се запомнят веднага.

Обхватът на дефиницията изглежда просто нещо и възниква логичен въпрос: за какво ще бъде статията? В този урок ще разгледам често срещани проблеми при намиране на домейна на функция. Освен това ще повторим неравенства с една променлива, чиито умения за решаване ще бъдат необходими при други задачи висша математика. Материалът, между другото, е изцяло учебен материал, така че ще бъде полезен не само за ученици, но и за ученици. Информацията, разбира се, не претендира за енциклопедичност, но тук не са пресилени „мъртви“ примери, а печени кестени, които са взети от реални практически работи.

Нека започнем с едно бързо гмуркане в темата. Накратко за основното: говорим за функция на една променлива. Неговата област на дефиниране е много значения на "x", за което съществуватзначения на "играчи". Нека помислим условен пример:

Областта на дефиниране на тази функция е обединение на интервали:
(за тези, които са забравили: - икона за обединение). С други думи, ако вземете произволна стойност на “x” от интервала, или от, или от, тогава за всяко такова “x” ще има стойност “y”.

Грубо казано, където е областта на дефиницията, има графика на функцията. Но полуинтервалът и точката "tse" не са включени в областта на дефиницията и там няма графика.

Как да намеря домейна на функция? Много хора помнят детските стихчета: „камък, ножици, хартия“ и в в този случайможе безопасно да се перифразира: „корен, дроб и логаритъм“. По този начин, ако вие житейски пътсрещне дроб, корен или логаритъм, веднага трябва да сте много, много внимателни! Тангенс, котангенс, арксинус, аркосинус са много по-рядко срещани и ние също ще говорим за тях. Но първо, скици от живота на мравките:

Домейн на функция, която съдържа дроб

Да предположим, че ни е дадена функция, съдържаща някаква дроб. Както знаете, не можете да разделите на нула: , така че тези Стойностите „X“, които превръщат знаменателя в нула, не са включени в обхвата на тази функция.

Няма да се спирам на най-много прости функциикато и т.н., тъй като всеки вижда перфектно точки, които не са включени в неговата област на дефиниране. Нека да разгледаме по-смислени дроби:

Пример 1

Намерете домейна на функция

Решение: В числителя няма нищо специално, но знаменателят трябва да е различен от нула. Нека го зададем равно на нула и се опитаме да намерим „лошите“ точки:

Полученото уравнение има два корена: . Стойности на данните не са в обхвата на функцията. Наистина, заместете или във функцията и ще видите, че знаменателят отива на нула.

отговор: обхват на дефиницията:

Записът гласи така: „домейнът на дефиницията е всички реални числа с изключение на набора, състоящ се от стойности " Нека ви напомня, че символът обратна наклонена черта в математиката означава логическо изваждане, а фигурните скоби означават множество. Отговорът може да бъде еквивалентно написан като обединение на три интервала:

На който му харесва.

По точки функция толерира безкрайни почивкии прави линии, дадени чрез уравнения са вертикални асимптотиза графиката на тази функция. Това обаче е малко по-различна тема и няма да се спирам повече на нея.

Пример 2

Намерете домейна на функция

Задачата е по същество устна и много от вас почти веднага ще намерят областта на дефиниция. Отговорът е в края на урока.

Дробта винаги ли ще бъде „лоша“? не Например функция е дефинирана на цялата числова ос. Без значение каква стойност на „x“ вземем, знаменателят няма да стигне до нула, освен това винаги ще бъде положителен: . По този начин обхватът на тази функция е: .

Всички функции като определени и непрекъснатона .

Ситуацията е малко по-сложна, когато знаменателят е зает квадратен тричлен:

Пример 3

Намерете домейна на функция

Решение: Нека се опитаме да намерим точките, в които знаменателят отива на нула. За това ние ще решим квадратно уравнение:

Дискриминантът се оказа отрицателен, което означава истински коренине и нашата функция е дефинирана на цялата числова ос.

отговор: обхват на дефиницията:

Пример 4

Намерете домейна на функция

Това е пример за независимо решение. Решението и отговорът са в края на урока. Съветвам ви да не бъдете мързеливи с прости проблеми, тъй като ще се натрупат недоразумения с по-нататъшни примери.

Домейн на функция с корен

Функция с корен квадратенопределени само за тези стойности на "x", когато радикалният израз е неотрицателен: . Ако коренът се намира в знаменателя , тогава условието очевидно е затегнато: . Подобни изчисления са валидни за всеки корен с положителна четна степен: , обаче коренът е вече от 4-та степен в функционални изследванияне си спомням

Пример 5

Намерете домейна на функция

Решение: радикалният израз трябва да е неотрицателен:

Преди да продължа с решението, нека ви припомня основните правила за работа с неравенства, познати от училище.

апелирам специално внимание! Сега разглеждаме неравенствата с една променлива- тоест за нас има само едно измерение по оста. Моля, не бъркайте с неравенства на две променливи, където геометрично всички координатна равнина. Има обаче и приятни съвпадения! И така, за неравенството следните трансформации са еквивалентни:

1) Условията могат да се прехвърлят от част на част чрез промяна на техните (условията) знаци.

2) И двете страни на неравенството могат да се умножат по положително число.

3) Ако двете страни на неравенството се умножат по отрицателенномер, тогава трябва да промените знак за самото неравенство. Например, ако е имало „повече“, тогава ще стане „по-малко“; ако е било „по-малко или равно“, тогава ще стане „по-голямо или равно“.

В неравенството преместваме „тройката“ в дясната страна с промяна на знака (правило № 1):

Нека умножим двете страни на неравенството по –1 (правило № 3):

Нека умножим двете страни на неравенството по (правило № 2):

отговор: обхват на дефиницията:

Отговорът може да бъде написан и с еквивалентна фраза: „функцията е дефинирана в .“
Геометрично зоната на дефиниране се изобразява чрез засенчване на съответните интервали по абсцисната ос. В този случай:

Напомням ви още веднъж геометричен смисълобласт на дефиниция – графика на функция съществува само в защрихованата област и отсъства при .

В повечето случаи е подходящо чисто аналитично определяне на областта на дефиниране, но когато функцията е много сложна, трябва да начертаете ос и да направите бележки.

Пример 6

Намерете домейна на функция

Това е пример, който можете да решите сами.

Когато под квадратния корен има квадратен бином или трином, ситуацията става малко по-сложна и сега ще анализираме подробно техниката на решение:

Пример 7

Намерете домейна на функция

Решение: радикалният израз трябва да е строго положителен, тоест трябва да решим неравенството. На първата стъпка се опитваме да разложим на множители квадратния трином:

Дискриминантът е положителен, търсим корени:

И така, параболата пресича оста x в две точки, което означава, че част от параболата е разположена под оста (неравенство), а част от параболата е разположена над оста (неравенството, от което се нуждаем).

Тъй като коефициентът е , клоновете на параболата сочат нагоре. От горното следва, че неравенството е изпълнено на интервалите (клоновете на параболата вървят нагоре до безкрайност), а върхът на параболата се намира на интервала под оста x, което съответства на неравенството:

! Забележка: Ако не разбирате напълно обясненията, моля начертайте втората ос и цялата парабола! Препоръчително е да се върнете към статията и ръководството Горещи формули за училищен курс по математика.

Моля, обърнете внимание, че самите точки са премахнати (не са включени в решението), тъй като нашето неравенство е строго.

отговор: обхват на дефиницията:

Като цяло много неравенства (включително разглежданото) се решават от универсалното интервален метод, познат отново от училищна програма. Но в случаите на квадратни биноми и триноми, според мен, е много по-удобно и по-бързо да се анализира местоположението на параболата спрямо оста. И ние ще анализираме основния метод - интервалния метод - подробно в статията. Функционални нули. Интервали на постоянство.

Пример 8

Намерете домейна на функция

Това е пример, който можете да решите сами. Примерът коментира подробно логиката на разсъжденията + втория метод за решаване и още един важна трансформациянеравенство, без да знае за което ученикът ще куца с единия крак..., ...хм... относно крака може би се развълнувах, по-скоро с единия пръст. Палец.

Може ли функция за квадратен корен да бъде дефинирана върху цялата числова ос? Със сигурност. Всички познати лица: . Или подобна сума с показател: . Наистина, за всякакви стойности на "x" и "ka": , следователно също и .

Но по-малко очевиден пример: . Тук дискриминантът е отрицателен (параболата не пресича оста х), докато клоновете на параболата са насочени нагоре, следователно областта на дефиниция: .

Обратният въпрос: може ли областта на дефиниция на функция да бъде празен? Да, и един примитивен пример веднага се предлага , където радикалният израз е отрицателен за всяка стойност на „x“, а домейнът на дефиниция: (икон празен комплект). Такава функция изобщо не е дефинирана (разбира се, графиката също е илюзорна).

С нечетни корени и т.н. всичко е много по-добре - тук радикалното изразяване може да бъде отрицателно. Например функция е дефинирана на цялата числова ос. Функцията обаче има една точка, която все още не е включена в областта на дефиниция, тъй като знаменателят е зададен на нула. По същата причина за функцията точките са изключени.

Област на функция с логаритъм

Третата обща функция е логаритъмът. Като проба ще нарисувам натурален логаритъм, което се среща в приблизително 99 примера от 100. Ако определена функция съдържа логаритъм, тогава нейната област на дефиниция трябва да включва само тези стойности на „x“, които удовлетворяват неравенството. Ако логаритъма е в знаменателя: , тогава допълнителноналожено е условие (от ).

Пример 9

Намерете домейна на функция

Решение: в съответствие с горното ще съставим и решим системата:

Графично решениеза манекени:

отговор: обхват на дефиницията:

Ще се спра на още един техническа точка– Нямам посочен мащаб и деленията по оста не са отбелязани. Възниква въпросът: как да направите такива рисунки в тетрадка на карирана хартия? Трябва ли разстоянието между точките да се измерва с клетки стриктно в съответствие с мащаба? Тя е по-канонична и по-строга, разбира се, в мащаб, но схематичен чертеж, който фундаментално отразява ситуацията, също е напълно приемлив.

Пример 10

Намерете домейна на функция

За да разрешите проблема, можете да използвате метода от предишния параграф - анализирайте как е разположена параболата спрямо оста x. Отговорът е в края на урока.

Както можете да видите, в царството на логаритмите всичко е много подобно на ситуацията с квадратни корени: функцията (квадратен тричлен от пример № 7) е определен върху интервалите, а функцията (квадратен бином от пример № 6) на интервала . Неудобно е дори да се каже, че типовите функции са дефинирани на цялата числова ос.

Полезна информация : интересно типична функция, то е определено на цялата числова ос с изключение на точката. Съгласно свойството на логаритъма „двойката” може да се умножи извън логаритъма, но за да не се променя функцията, „x” трябва да бъде оградено под знака за модул: . Ето още един за теб" практическо приложение» модул =). Това е, което трябва да направите в повечето случаи, когато рушите дажестепен, например: . Ако основата на степента е очевидно положителна, например, тогава няма нужда от знак за модул и е достатъчно да използвате скоби: .

За да избегнем повторение, нека усложним задачата:

Пример 11

Намерете домейна на функция

Решение: в тази функция имаме корен и логаритъм.

Коренният израз трябва да е неотрицателен: , а изразът под знака за логаритъм трябва да е строго положителен: . Следователно е необходимо да се реши системата:

Много от вас знаят много добре или интуитивно се досещат, че системното решение трябва да удовлетворява на всичкисъстояние.

Като изследваме местоположението на параболата спрямо оста, стигаме до заключението, че неравенството е изпълнено от интервала (синьо засенчване):

Неравенството очевидно съответства на „червения“ полуинтервал.

Тъй като и двете условия трябва да бъдат изпълнени едновременно, тогава решението на системата е пресечната точка на тези интервали. " Общи интереси» се срещат на полуинтервала.

отговор: обхват на дефиницията:

Типичното неравенство, както е демонстрирано в пример № 8, не е трудно за разрешаване аналитично.

Намереният домейн няма да се промени за „подобни функции“, напр. или . Можете също така да добавите някои непрекъснати функции, например: или така: , или дори така: . Както се казва, коренът и логаритъма са упорити неща. Единственото нещо е, че ако една от функциите бъде „нулирана“ до знаменателя, тогава домейнът на дефиницията ще се промени (въпреки че в общ случайтова не винаги е вярно). Е, в теорията на матан за този словесен... о... има теореми.

Пример 12

Намерете домейна на функция

Това е пример, който можете да решите сами. Използването на чертеж е доста подходящо, тъй като функцията не е най-простата.

Още няколко примера за затвърждаване на материала:

Пример 13

Намерете домейна на функция

Решение: нека съставим и решим системата:

Всички действия вече са обсъдени в цялата статия. Нека изобразим интервала, съответстващ на неравенството на числовата линия и според второто условие елиминираме две точки:

Смисълът се оказа напълно без значение.

отговор: област на дефиниция

Малка математическа игра на думи за вариант на 13-ия пример:

Пример 14

Намерете домейна на функция

Това е пример, който можете да решите сами. Тези, които са го пропуснали, нямат късмет ;-)

Последният раздел на урока е посветен на по-редки, но и „работещи“ функции:

Области за дефиниране на функции
с тангенси, котангенси, арксинуси, аркосинуси

Ако някоя функция включва , тогава от нейната област на дефиниция изключениточки, където З– набор от цели числа. По-специално, както е отбелязано в статията Графики и свойства на елементарни функции, функцията има следните стойности:

Тоест домейнът на дефиниция на допирателната: .

Нека не убиваме много:

Пример 15

Намерете домейна на функция

Решение: в този случай следните точки няма да бъдат включени в областта на дефиницията:

Нека хвърлим "двойката" от лявата страна в знаменателя на дясната страна:

В резултат на това :

отговор: обхват на дефиницията: .

По принцип отговорът може да се запише и като съюз безкраен бройинтервали, но дизайнът ще бъде много тромав:

Аналитичното решение е напълно съвместимо с геометрична трансформация на графиката: ако аргументът на функция се умножи по 2, тогава нейната графика ще се свие до оста два пъти. Забележете как периодът на функцията е намален наполовина и точки на прекъсванеудвоена честота. тахикардия.

Подобна историяс котангенс. Ако някоя функция включва , тогава точките се изключват от нейната област на дефиниция. По-конкретно, за функцията за автоматичен пакет заснемаме следните стойности:

С други думи: