Какво е синус, косинус, тангенс, котангенс на ъгъл ще ви помогне да разберете правоъгълен триъгълник.

Как се наричат ​​страните на правоъгълен триъгълник? Точно така, хипотенуза и катети: хипотенузата е страната, която лежи срещу правия ъгъл (в нашия пример това е страната \(AC\)); краката са двете останали страни \(AB\) и \(BC\) (тези, които са съседни на правия ъгъл), и ако разгледаме катетите спрямо ъгъла \(BC\), тогава катетът \(AB\) е съседният крак, а кракът \(BC\) е противоположен. И така, нека сега отговорим на въпроса: какво са синус, косинус, тангенс и котангенс на ъгъл?

Синус от ъгъл– това е съотношението на срещуположния (далечен) катет към хипотенузата.

В нашия триъгълник:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

Косинус на ъгъл– това е отношението на съседния (близък) катет към хипотенузата.

В нашия триъгълник:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

Тангенс на ъгъла– това е съотношението на срещуположната (далечната) страна към съседната (близката).

В нашия триъгълник:

\[ tg\бета =\dfrac(BC)(AB) \]

Котангенс на ъгъл– това е съотношението на съседния (близкия) крак към срещуположния (далечния).

В нашия триъгълник:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

Тези определения са необходими помня! За да улесните запомнянето кой крак на какво да разделите, трябва ясно да разберете това в допирателнаИ котангенссамо краката седят, а хипотенузата се появява само в синуситеИ косинус. И тогава можете да измислите верига от асоциации. Например този:

Косинус→докосване→докосване→съседно;

Котангенс→докосване→докосване→съседно.

Преди всичко трябва да запомните, че синусът, косинусът, тангенсът и котангенсът като съотношения на страните на триъгълника не зависят от дължините на тези страни (при един и същи ъгъл). Не вярвайте? Тогава се уверете, като погледнете снимката:

Помислете, например, за косинуса на ъгъла \(\beta \) . По дефиниция, от триъгълник \(ABC\) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), но можем да изчислим косинуса на ъгъла \(\beta \) от триъгълника \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Виждате ли, дължините на страните са различни, но стойността на косинуса на един ъгъл е една и съща. По този начин стойностите на синус, косинус, тангенс и котангенс зависят единствено от големината на ъгъла.

Ако разбирате дефинициите, продължете напред и ги консолидирайте!

За триъгълника \(ABC \), показан на фигурата по-долу, намираме \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0,8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0,6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0,75\край (масив) \)

Е, разбрахте ли? След това опитайте сами: изчислете същото за ъгъла \(\beta \) .

Отговори: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

Единична (тригонометрична) окръжност

Разбирайки концепциите за градуси и радиани, разгледахме кръг с радиус, равен на \(1\) . Такъв кръг се нарича единичен. Ще бъде много полезно при изучаване на тригонометрия. Затова нека го разгледаме малко по-подробно.

Както можете да видите, тази окръжност е построена в декартовата координатна система. Радиусът на окръжността е равен на единица, докато центърът на окръжността лежи в началото на координатите, началната позиция на радиус вектора е фиксирана по положителната посока на оста \(x\) (в нашия пример това е радиусът \(AB\)).

Всяка точка от кръга съответства на две числа: координатата по оста \(x\) и координатата по оста \(y\). Какви са тези координатни числа? И въобще какво общо имат те с разглежданата тема? За да направите това, трябва да си спомним за разглеждания правоъгълен триъгълник. На фигурата по-горе можете да видите два цели правоъгълни триъгълника. Разгледайте триъгълника \(ACG\) . Тя е правоъгълна, защото \(CG\) е перпендикулярна на оста \(x\).

Колко е \(\cos \ \alpha \) от триъгълника \(ACG \)? Това е вярно \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Освен това знаем, че \(AC\) е радиусът на единичната окръжност, което означава \(AC=1\) . Нека заместим тази стойност в нашата формула за косинус. Ето какво се случва:

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

На какво е равно \(\sin \ \alpha \) от триъгълника \(ACG \)? Добре, разбира се, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! Заместете стойността на радиуса \(AC\) в тази формула и получете:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

И така, можете ли да кажете какви координати има точката \(C\), принадлежаща на окръжността? Е, няма начин? Какво ще стане, ако разберете, че \(\cos \ \alpha \) и \(\sin \alpha \) са просто числа? На коя координата съответства \(\cos \alpha \)? Е, разбира се, координатата \(x\)! И на коя координата съответства \(\sin \alpha \)? Точно така, координати \(y\)! Така че точката \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

Тогава на какво са равни \(tg \alpha \) и \(ctg \alpha \)? Точно така, нека използваме съответните определения за тангенс и котангенс и да получим това \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), А \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

Ами ако ъгълът е по-голям? Например, като на тази снимка:

Какво се е променило в този пример? Нека да го разберем. За да направите това, нека се обърнем отново към правоъгълен триъгълник. Да разгледаме правоъгълен триъгълник \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : ъгъл (като съседен на ъгъл \(\бета \) ). Каква е стойността на синус, косинус, тангенс и котангенс за ъгъл \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\бета \ \)? Точно така, ние се придържаме към съответните дефиниции на тригонометричните функции:

\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \ъгъл ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\ъгъл ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\ъгъл ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(масив) \)

Е, както можете да видите, стойността на синуса на ъгъла все още съответства на координатата \(y\) ; стойността на косинуса на ъгъла - координата \(x\) ; и стойностите на тангенса и котангенса към съответните съотношения. По този начин тези отношения се прилагат за всяка ротация на радиус вектора.

Вече беше споменато, че началната позиция на радиус вектора е по положителната посока на оста \(x\). Досега сме завъртали този вектор обратно на часовниковата стрелка, но какво ще стане, ако го завъртим по посока на часовниковата стрелка? Нищо необичайно, ще получите и ъгъл с определена стойност, но само той ще бъде отрицателен. По този начин, когато въртим радиус вектора обратно на часовниковата стрелка, получаваме положителни ъгли, а при въртене по часовниковата стрелка – отрицателен.

И така, ние знаем, че цялото завъртане на радиус вектора около окръжността е \(360()^\circ \) или \(2\pi \) . Възможно ли е да завъртите радиус вектора с \(390()^\circ \) или с \(-1140()^\circ \)? Е, разбира се, че можете! В първия случай, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), по този начин радиус-векторът ще направи един пълен оборот и ще спре на позиция \(30()^\circ \) или \(\dfrac(\pi )(6) \) .

Във втория случай, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), тоест радиус-векторът ще направи три пълни завъртания и ще спре на позиция \(-60()^\circ \) или \(-\dfrac(\pi )(3) \) .

Така от горните примери можем да заключим, че ъгли, които се различават с \(360()^\circ \cdot m \) или \(2\pi \cdot m \) (където \(m \) е всяко цяло число), съответстват на една и съща позиция на радиус вектора.

Фигурата по-долу показва ъгъла \(\beta =-60()^\circ \) . Същото изображение съответства на ъгъла \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \)и т.н. Този списък може да бъде продължен за неопределено време. Всички тези ъгли могат да бъдат записани по общата формула \(\beta +360()^\circ \cdot m\)или \(\beta +2\pi \cdot m \) (където \(m \) е произволно цяло число)

\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(масив) \)

Сега, знаейки дефинициите на основните тригонометрични функции и използвайки единичната окръжност, опитайте се да отговорите какви са стойностите:

\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\текст(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\текст(tg)\ 180()^\circ =\текст(tg)\ \pi =?\\\текст(ctg)\ 180()^\circ =\текст(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\текст (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\текст (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(масив) \)

Ето единичен кръг, за да ви помогне:

Имате затруднения? Тогава нека го разберем. Значи знаем, че:

\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x) )(y).\край (масив)\)

От тук определяме координатите на точките, съответстващи на определени ъглови мерки. Е, нека започнем по ред: ъгълът в \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \)съответства на точка с координати \(\left(0;1 \right) \) , следователно:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- не съществува;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

Освен това, придържайки се към същата логика, откриваме, че ъглите в \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ )съответстват на точки с координати \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \вдясно) \), съответно. Знаейки това, е лесно да се определят стойностите на тригонометричните функции в съответните точки. Първо опитайте сами и след това проверете отговорите.

Отговори:

\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- не съществува

\(\sin \270()^\circ =-1\)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- не съществува

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \ 360()^\circ =0 \)

\(\cos \360()^\circ =1\)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- не съществува

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- не съществува

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

Така можем да направим следната таблица:

Няма нужда да помните всички тези стойности. Достатъчно е да запомните съответствието между координатите на точките на единичния кръг и стойностите на тригонометричните функции:

\(\left. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(Трябва да запомните или да можете да го изведете!! \) !}

Но стойностите на тригонометричните функции на ъглите в и \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\)дадени в таблицата по-долу, трябва да запомните:

Не се страхувайте, сега ще ви покажем един пример за доста просто запаметяване на съответните стойности:

За да използвате този метод, е жизненоважно да запомните стойностите на синуса за всичките три мерки за ъгъл ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)), както и стойността на тангенса на ъгъла в \(30()^\circ \) . Познавайки тези \(4\) стойности, е доста лесно да възстановите цялата таблица - стойностите на косинуса се прехвърлят в съответствие със стрелките, т.е.

\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\\край (масив)\)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), като знаете това, можете да възстановите стойностите за \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Числителят "\(1 \)" ще съответства на \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \), а знаменателят "\(\sqrt(\text(3)) \)" ще съответства на \(\текст (tg)\ 60()^\circ \ \) . Котангенсните стойности се прехвърлят в съответствие със стрелките, посочени на фигурата. Ако разберете това и запомните диаграмата със стрелките, тогава ще бъде достатъчно да запомните само \(4\) стойности от таблицата.

Координати на точка върху окръжност

Възможно ли е да се намери точка (нейните координати) върху окръжност, знаейки координатите на центъра на окръжността, нейния радиус и ъгъл на въртене? Е, разбира се, че можете! Нека изведем обща формула за намиране на координатите на точка. Например, ето кръг пред нас:

Тази точка ни е дадена \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- център на кръга. Радиусът на окръжността е \(1,5\) . Необходимо е да се намерят координатите на точката \(P\), получени чрез завъртане на точката \(O\) с \(\delta \) градуса.

Както може да се види от фигурата, координатата \(x\) на точката \(P\) съответства на дължината на сегмента \(TP=UQ=UK+KQ\) . Дължината на отсечката \(UK\) съответства на координатата \(x\) на центъра на окръжността, тоест тя е равна на \(3\) . Дължината на сегмента \(KQ\) може да бъде изразена с помощта на определението за косинус:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

Тогава имаме това за точката \(P\) координатата \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).

Използвайки същата логика, намираме стойността на y координатата за точката \(P\) . По този начин,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).

Така че, като цяло, координатите на точките се определят по формулите:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \делта \край (масив) \), Където

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - координати на центъра на кръга,

\(r\) - радиус на окръжността,

\(\delta \) - ъгъл на завъртане на радиуса на вектора.

Както можете да видите, за единичния кръг, който разглеждаме, тези формули са значително намалени, тъй като координатите на центъра са равни на нула и радиусът е равен на едно:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)

Javascript е деактивиран във вашия браузър.
За да извършвате изчисления, трябва да активирате ActiveX контролите!

Средно ниво

Правоъгълен триъгълник. Пълното илюстровано ръководство (2019)

ПРАВИЛЕН ТРИЪГЪЛНИК. ПЪРВО НИВО.

При проблеми правилният ъгъл изобщо не е необходим - долният ляв, така че трябва да се научите да разпознавате правоъгълен триъгълник в тази форма,

и в това

и в това

Какво му е хубавото на правоъгълния триъгълник? Ами... първо, има специални красиви имена за страните му.

Внимание към чертежа!

Запомнете и не бъркайте: има два катета и има само една хипотенуза(един единствен, единствен и най-дълъг)!

Е, обсъдихме имената, сега най-важното: Питагоровата теорема.

Питагорова теорема.

Тази теорема е ключът към решаването на много задачи, свързани с правоъгълен триъгълник. Доказано е от Питагор в незапомнени времена и оттогава е донесло много ползи на тези, които го познават. И най-хубавото е, че е просто.

Така, Питагорова теорема:

Спомняте ли си вица: „Питагоровите панталони са равни от всички страни!“?

Нека да нарисуваме същите тези питагорейски панталони и да ги разгледаме.

Не прилича ли на някакви шорти? Е, от кои страни и къде са равни? Защо и откъде дойде шегата? И тази шега е свързана именно с Питагоровата теорема или по-точно с начина, по който самият Питагор е формулирал своята теорема. И той го формулира така:

„Сума площи на квадрати, построен върху краката, е равен на квадратна площ, построен върху хипотенузата."

Наистина ли звучи малко по-различно? И така, когато Питагор начерта твърдението на своята теорема, това е точно тази картина, която се получава.

На тази снимка сумата от площите на малките квадрати е равна на площта на големия квадрат. И за да могат децата да запомнят по-добре, че сумата от квадратите на катетите е равна на квадрата на хипотенузата, някой остроумен измисли този виц за Питагоровите панталони.

Защо сега формулираме Питагоровата теорема?

Питагор страдал ли е и говорил за квадрати?

Виждате ли, в древността не е имало... алгебра! Нямаше табели и т.н. Нямаше никакви надписи. Представяте ли си колко ужасно е било за горките древни ученици да помнят всичко с думи??! И можем да се радваме, че имаме проста формулировка на Питагоровата теорема. Нека го повторим отново, за да го запомним по-добре:

Сега трябва да е лесно:

Квадратът на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на катетите.

Е, най-важната теорема за правоъгълните триъгълници беше обсъдена. Ако ви интересува как се доказва, прочетете следващите нива на теорията, а сега да отидем по-нататък... в тъмната гора... тригонометрията! Към ужасните думи синус, косинус, тангенс и котангенс.

Синус, косинус, тангенс, котангенс в правоъгълен триъгълник.

Всъщност всичко изобщо не е толкова страшно. Разбира се, „истинското“ определение на синус, косинус, тангенс и котангенс трябва да се разгледа в статията. Но наистина не искам, нали? Можем да се радваме: за да решите задачи за правоъгълен триъгълник, можете просто да попълните следните прости неща:

Защо всичко е около ъгъла? Къде е ъгълът? За да разберете това, трябва да знаете как се пишат твърдения 1 - 4 с думи. Вижте, разберете и запомнете!

1.
Всъщност звучи така:

Какво ще кажете за ъгъла? Има ли катет, който е срещу ъгъла, тоест противоположен (за ъгъл) катет? Разбира се, че има! Това е крак!

Какво ще кажете за ъгъла? Гледай внимателно. Кой крак е в съседство с ъгъла? Разбира се, кракът. Това означава, че за ъгъла кракът е съседен и

Сега, обърнете внимание! Вижте какво имаме:

Вижте колко е готино:

Сега да преминем към тангенса и котангенса.

Как да запиша това с думи сега? Какъв е катетът спрямо ъгъла? Отсреща, разбира се - „лежи“ срещу ъгъла. Ами крака? В непосредствена близост до ъгъла. И така, какво имаме?

Вижте как числителят и знаменателят са разменили местата си?

И сега отново ъглите и направиха размяна:

Резюме

Нека накратко запишем всичко, което сме научили.

Питагорова теорема:

Основната теорема за правоъгълните триъгълници е теоремата на Питагор.

Питагорова теорема

Между другото, помните ли добре какво са катетите и хипотенузата? Ако не е много добре, погледнете снимката - опреснете знанията си

Напълно възможно е вече да сте използвали Питагоровата теорема много пъти, но замисляли ли сте се защо такава теорема е вярна? Как мога да го докажа? Да направим като древните гърци. Нека начертаем квадрат със страна.

Вижте как умело разделихме страните му на дължини и!

Сега нека свържем маркираните точки

Тук обаче отбелязахме нещо друго, но вие сами погледнете рисунката и се замислете защо е така.

Каква е площта на по-големия квадрат? Правилно, . Какво ще кажете за по-малка площ? Разбира се,. Общата площ на четирите ъгъла остава. Представете си, че ги взехме две наведнъж и ги опряхме една срещу друга с хипотенузите им. Какво стана? Два правоъгълника. Това означава, че площта на "срезовете" е равна.

Нека сега съберем всичко заедно.

Нека трансформираме:

Така посетихме Питагор - доказахме теоремата му по древен начин.

Правоъгълен триъгълник и тригонометрия

За правоъгълен триъгълник важат следните отношения:

Синусът на остър ъгъл е равен на отношението на противоположната страна към хипотенузата

Косинусът на остър ъгъл е равен на отношението на съседния катет към хипотенузата.

Тангенсът на остър ъгъл е равен на отношението на срещуположната страна към съседната страна.

Котангенсът на остър ъгъл е равен на отношението на съседната страна към противоположната страна.

И отново всичко това под формата на таблетка:

Много е удобно!

Признаци за равенство на правоъгълни триъгълници

I. От две страни

II. По катет и хипотенуза

III. Чрез хипотенуза и остър ъгъл

IV. По крака и остър ъгъл

а)

б)

внимание! Тук е много важно краката да са „подходящи“. Например, ако стане така:

ТОГАВА ТРИЪГЪЛНИЦИТЕ НЕ СА РАВНИ, въпреки факта, че имат един идентичен остър ъгъл.

Трябва да и в двата триъгълника катетът е съседен, или и в двата е срещуположен.

Забелязали ли сте как знаците за равенство на правоъгълни триъгълници се различават от обичайните знаци за равенство на триъгълници? Погледнете темата "и обърнете внимание, че за равенство на "обикновените" триъгълници трябва да са равни три от техните елементи: две страни и ъгълът между тях, два ъгъла и страната между тях или три страни. Но за равенството на правоъгълни триъгълници са достатъчни само два съответни елемента. Страхотно, нали?

Приблизително същата е ситуацията и с признаците на подобие на правоъгълни триъгълници.

Признаци за подобие на правоъгълни триъгълници

I. По остър ъгъл

II. От две страни

III. По катет и хипотенуза

Медиана в правоъгълен триъгълник

защо е така

Вместо правоъгълен триъгълник, помислете за цял правоъгълник.

Нека начертаем диагонал и разгледаме точка - пресечната точка на диагоналите. Какво знаете за диагоналите на правоъгълник?

И какво следва от това?

Така се оказа, че

1. - Медиана:

Запомнете този факт! Помага много!

Още по-изненадващо е, че обратното също е вярно.

Какво добро може да се получи от факта, че медианата, прекарана към хипотенузата, е равна на половината от хипотенузата? Нека погледнем снимката

Гледай внимателно. Имаме: , т.е. разстоянията от точката до трите върха на триъгълника се оказаха равни. Но в триъгълника има само една точка, разстоянията от която и трите върха на триъгълника са равни и това е ЦЕНТЪРЪТ НА ОКРУГА. И какво стана?

Така че нека започнем с това „освен...“.

Нека да разгледаме и.

Но всички подобни триъгълници имат равни ъгли!

Същото може да се каже и за и

Сега нека го нарисуваме заедно:

Каква полза може да се извлече от това „тройно” сходство?

Е, например - две формули за височина на правоъгълен триъгълник.

Нека опишем отношенията на съответните страни:

За да намерим височината, решаваме пропорцията и получаваме първата формула "Височина в правоъгълен триъгълник":

И така, нека приложим приликата: .

Какво ще стане сега?

Отново решаваме пропорцията и получаваме втората формула:

Трябва да запомните много добре и двете формули и да използвате тази, която е по-удобна. Нека ги запишем отново

Питагорова теорема:

В правоъгълен триъгълник квадратът на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на катетите: .

Признаци за равенство на правоъгълни триъгълници:

• от две страни:
• по катет и хипотенуза: или
• по крака и прилежащия остър ъгъл: или
• по крака и срещуположния остър ъгъл: или
• чрез хипотенуза и остър ъгъл: или.

Признаци за сходство на правоъгълни триъгълници:

• един остър ъгъл: или
• от пропорционалността на два крака:
• от пропорционалността на катета и хипотенузата: или.

Синус, косинус, тангенс, котангенс в правоъгълен триъгълник

• Синусът на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник е отношението на противоположната страна към хипотенузата:
• Косинусът на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник е отношението на съседния катет към хипотенузата:
• Тангенсът на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник е отношението на срещуположната страна към съседната страна:
• Котангенсът на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник е отношението на съседната страна към противоположната страна: .

Височина на правоъгълен триъгълник: или.

В правоъгълен триъгълник медианата, изтеглена от върха на правия ъгъл, е равна на половината от хипотенузата: .

Площ на правоъгълен триъгълник:

• през краката:

В живота често ще трябва да се справяме с математически проблеми: в училище, в университета, а след това помагаме на детето си с домашните. Хората в определени професии ще се сблъскват с математиката ежедневно. Следователно е полезно да запомните или да си припомните математическите правила. В тази статия ще разгледаме един от тях: намиране на страната на правоъгълен триъгълник.

Какво е правоъгълен триъгълник

Първо, нека си припомним какво е правоъгълен триъгълник. Правоъгълният триъгълник е геометрична фигура от три сегмента, които свързват точки, които не лежат на една и съща права линия, като един от ъглите на тази фигура е 90 градуса. Страните, образуващи прав ъгъл, се наричат ​​катети, а страната, която лежи срещу правия ъгъл, се нарича хипотенуза.

Намиране на катета на правоъгълен триъгълник

Има няколко начина да разберете дължината на крака. Бих искал да ги разгледам по-подробно.

Питагорова теорема за намиране на страната на правоъгълен триъгълник

Ако знаем хипотенузата и катета, тогава можем да намерим дължината на неизвестния катет с помощта на Питагоровата теорема. Звучи така: „Квадратът на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на краката.“ Формула: c²=a²+b², където c е хипотенузата, a и b са катетите. Преобразуваме формулата и получаваме: a²=c²-b².

Пример. Хипотенузата е 5 см, а катетът е 3 см. Преобразуваме формулата: c²=a²+b² → a²=c²-b². След това решаваме: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; а=√16; а=4 (cm).

Тригонометрични съотношения за намиране на катета на правоъгълен триъгълник

Можете също така да намерите неизвестен катет, ако са известни друга страна и всеки остър ъгъл на правоъгълен триъгълник. Има четири опции за намиране на катет с помощта на тригонометрични функции: синус, косинус, тангенс, котангенс. Таблицата по-долу ще ни помогне да разрешим проблемите. Нека разгледаме тези опции.

Намерете катета на правоъгълен триъгълник с помощта на синус

Синусът на ъгъл (sin) е отношението на срещуположната страна към хипотенузата. Формула: sin=a/c, където a е катет срещу дадения ъгъл, а c е хипотенузата. След това трансформираме формулата и получаваме: a=sin*c.

Пример. Хипотенузата е 10 см, ъгъл А е 30 градуса. Използвайки таблицата, изчисляваме синуса на ъгъл А, той е равен на 1/2. След това, използвайки преобразуваната формула, решаваме: a=sin∠A*c; а=1/2*10; а=5 (cm).

Намерете катета на правоъгълен триъгълник, като използвате косинус

Косинусът на ъгъл (cos) е съотношението на съседния катет към хипотенузата. Формула: cos=b/c, където b е катетът, съседен на даден ъгъл, а c е хипотенузата. Нека трансформираме формулата и получаваме: b=cos*c.

Пример. Ъгъл А е равен на 60 градуса, хипотенузата е равна на 10 см. Използвайки таблицата, изчисляваме косинуса на ъгъл А, той е равен на 1/2. След това решаваме: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (cm).

Намерете катета на правоъгълен триъгълник с помощта на допирателната

Тангенс на ъгъл (tg) е отношението на срещуположната страна към съседната страна. Формула: tg=a/b, където a е противоположната страна на ъгъла, а b е съседната страна. Нека трансформираме формулата и получаваме: a=tg*b.

Пример. Ъгъл А е равен на 45 градуса, хипотенузата е равна на 10 см. Използвайки таблицата, изчисляваме тангенса на ъгъл А, той е равен на Решете: a=tg∠A*b; а=1*10; а=10 (cm).

Намерете катета на правоъгълен триъгълник с котангенс

Котангенс на ъгъл (ctg) е съотношението на съседната страна към противоположната страна. Формула: ctg=b/a, където b е катетът, съседен на ъгъла, и е срещуположният катет. С други думи, котангенсът е „обърнат допирателна“. Получаваме: b=ctg*a.

Пример. Ъгъл А е 30 градуса, противоположният катет е 5 см. Според таблицата тангенсът на ъгъл А е √3. Изчисляваме: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (cm).

Така че сега знаете как да намерите катет в правоъгълен триъгълник. Както можете да видите, не е толкова трудно, основното е да запомните формулите.

Тригонометрията е дял от математическата наука, който изучава тригонометричните функции и тяхното използване в геометрията. Развитието на тригонометрията започва в древна Гърция. През Средновековието учени от Близкия изток и Индия имат важен принос за развитието на тази наука.

Тази статия е посветена на основните понятия и дефиниции на тригонометрията. Обсъждат се дефинициите на основните тригонометрични функции: синус, косинус, тангенс и котангенс. Тяхното значение е обяснено и илюстрирано в контекста на геометрията.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Първоначално дефинициите на тригонометричните функции, чийто аргумент е ъгъл, бяха изразени чрез отношението на страните на правоъгълен триъгълник.

Дефиниции на тригонометрични функции

Синусът на ъгъл (sin α) е отношението на катета срещу този ъгъл към хипотенузата.

Косинус на ъгъла (cos α) е съотношението на съседния катет към хипотенузата.

Ъгъл тангенс (t g α) - отношението на срещуположната страна към съседната страна.

Котангенс на ъгъл (c t g α) - отношението на съседната страна към противоположната страна.

Тези определения са дадени за острия ъгъл на правоъгълен триъгълник!

Нека дадем илюстрация.

В триъгълник ABC с прав ъгъл C синусът на ъгъл A е равен на отношението на катета BC към хипотенузата AB.

Дефинициите на синус, косинус, тангенс и котангенс ви позволяват да изчислите стойностите на тези функции от известните дължини на страните на триъгълника.

Важно е да запомните!

Диапазонът от стойности на синуса и косинуса е от -1 до 1. С други думи, синусът и косинусът приемат стойности от -1 до 1. Диапазонът от стойности на тангенса и котангенса е цялата числова линия, това означава, че тези функции могат да приемат всякакви стойности.

Дефинициите, дадени по-горе, се отнасят за острите ъгли. В тригонометрията се въвежда понятието ъгъл на завъртане, чиято стойност, за разлика от острия ъгъл, не е ограничена до 0 до 90 градуса в градуси или радиани и се изразява с реално число от - ∞ до + ∞.

В този контекст можем да дефинираме синус, косинус, тангенс и котангенс на ъгъл с произволна величина. Нека си представим единична окръжност с център в началото на декартовата координатна система.

Началната точка A с координати (1, 0) се завърта около центъра на единичната окръжност на определен ъгъл α и отива в точка A 1. Дефиницията е дадена по отношение на координатите на точка A 1 (x, y).

Синус (sin) на ъгъла на завъртане

Синусът на ъгъла на завъртане α е ординатата на точка A 1 (x, y). sin α = y

Косинус (cos) на ъгъла на завъртане

Косинусът на ъгъла на завъртане α е абсцисата на точка A 1 (x, y). cos α = x

Тангенс (tg) на ъгъла на завъртане

Тангенсът на ъгъла на завъртане α е отношението на ординатата на точка A 1 (x, y) към нейната абциса. t g α = y x

Котангенс (ctg) на ъгъла на завъртане

Котангенсът на ъгъла на завъртане α е отношението на абсцисата на точка A 1 (x, y) към нейната ордината. c t g α = x y

Синусът и косинусът са определени за всеки ъгъл на завъртане. Това е логично, тъй като абсцисата и ординатата на точка след завъртане могат да бъдат определени под всеки ъгъл. Ситуацията е различна с тангенса и котангенса. Допирателната е недефинирана, когато точка след въртене отива към точка с нулева абциса (0, 1) и (0, - 1). В такива случаи изразът за тангенс t g α = y x просто няма смисъл, тъй като съдържа деление на нула. Подобна е ситуацията с котангенса. Разликата е, че котангенсът не е дефиниран в случаите, когато ординатата на точка отива към нула.

Важно е да запомните!

Синусът и косинусът са определени за всеки ъгъл α.

Тангенсът е определен за всички ъгли с изключение на α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)

Котангенсът е определен за всички ъгли с изключение на α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Когато решавате практически примери, не казвайте „синус от ъгъла на въртене α“. Думите „ъгъл на въртене“ просто са пропуснати, което означава, че вече е ясно от контекста какво се обсъжда.

Числа

Какво ще кажете за определяне на синус, косинус, тангенс и котангенс на число, а не ъгъл на завъртане?

Синус, косинус, тангенс, котангенс на число

Синус, косинус, тангенс и котангенс на число Tе число, което е съответно равно на синус, косинус, тангенс и котангенс в Tрадиан.

Например синусът на числото 10 π е равен на синуса на ъгъла на завъртане от 10 π rad.

Има друг подход за определяне на синус, косинус, тангенс и котангенс на число. Нека го разгледаме по-отблизо.

Всяко реално число Tточка от единичната окръжност е свързана с центъра в началото на правоъгълната декартова координатна система. Синус, косинус, тангенс и котангенс се определят чрез координатите на тази точка.

Началната точка на окръжността е точка А с координати (1, 0).

Положително число T

Отрицателно число Tсъответства на точката, до която ще стигне началната точка, ако се движи около кръга обратно на часовниковата стрелка и измине пътя t.

Сега, след като връзката между число и точка от окръжност е установена, преминаваме към дефиницията на синус, косинус, тангенс и котангенс.

Синус (грех) на t

Синус от число T- ордината на точка от единичната окръжност, съответстваща на числото T. sin t = y

Косинус (cos) от t

Косинус на число T- абсцисата на точката от единичната окръжност, съответстваща на числото T. cos t = x

Тангенс (tg) на t

Тангенс на число T- отношението на ординатата към абсцисата на точка от единичната окръжност, съответстваща на числото T. t g t = y x = sin t cos t

Последните определения са в съответствие и не противоречат на определението, дадено в началото на този параграф. Посочете кръга, съответстващ на числото T, съвпада с точката, до която отива началната точка след завъртане на ъгъл Tрадиан.

Тригонометрични функции на ъглов и числов аргумент

Всяка стойност на ъгъла α съответства на определена стойност на синуса и косинуса на този ъгъл. Точно както всички ъгли α, различни от α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) съответстват на определена стойност на допирателната. Котангенсът, както е посочено по-горе, е определен за всички α с изключение на α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).

Можем да кажем, че sin α, cos α, t g α, c t g α са функции на ъгъла алфа или функции на ъгловия аргумент.

По подобен начин можем да говорим за синус, косинус, тангенс и котангенс като функции на числен аргумент. Всяко реално число Tсъответства на определена стойност на синуса или косинуса на число T. Всички числа, различни от π 2 + π · k, k ∈ Z, съответстват на стойност на допирателната. По подобен начин котангенсът е дефиниран за всички числа с изключение на π · k, k ∈ Z.

Основни функции на тригонометрията

Синус, косинус, тангенс и котангенс са основните тригонометрични функции.

Обикновено от контекста става ясно с кой аргумент на тригонометричната функция (ъглов аргумент или числов аргумент) имаме работа.

Нека се върнем към дефинициите, дадени в самото начало и алфа ъгъла, който се намира в диапазона от 0 до 90 градуса. Тригонометричните дефиниции на синус, косинус, тангенс и котангенс са напълно в съответствие с геометричните дефиниции, дадени от аспектните съотношения на правоъгълен триъгълник. Нека го покажем.

Нека вземем единична окръжност с център в правоъгълна декартова координатна система. Нека завъртим началната точка A (1, 0) на ъгъл до 90 градуса и да начертаем перпендикуляр на абсцисната ос от получената точка A 1 (x, y). В получения правоъгълен триъгълник ъгълът A 1 O H е равен на ъгъла на въртене α, дължината на крака O H е равна на абсцисата на точката A 1 (x, y). Дължината на катета срещу ъгъла е равна на ординатата на точката A 1 (x, y), а дължината на хипотенузата е равна на единица, тъй като е радиусът на единичната окръжност.

В съответствие с определението от геометрията, синусът на ъгъл α е равен на съотношението на срещуположната страна към хипотенузата.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

Това означава, че определянето на синуса на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник чрез съотношението на страните е еквивалентно на определянето на синуса на ъгъла на завъртане α, като алфа е в диапазона от 0 до 90 градуса.

По подобен начин може да се покаже съответствието на дефинициите за косинус, тангенс и котангенс.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Ще започнем изучаването на тригонометрията с правоъгълния триъгълник. Нека да определим какво са синус и косинус, както и тангенс и котангенс на остър ъгъл. Това са основите на тригонометрията.

Нека ви го напомним прав ъгъле ъгъл, равен на 90 градуса. С други думи, половин завъртян ъгъл.

Остър ъгъл- по-малко от 90 градуса.

Тъп ъгъл- повече от 90 градуса. Във връзка с такъв ъгъл, "тъп" не е обида, а математически термин :-)

Нека начертаем правоъгълен триъгълник. Правият ъгъл обикновено се означава с . Моля, обърнете внимание, че страната срещу ъгъла е обозначена със същата буква, само малка. По този начин страната срещу ъгъл A е обозначена.

Ъгълът се обозначава със съответната гръцка буква.

хипотенузана правоъгълен триъгълник е страната срещу правия ъгъл.

Крака- страни, разположени срещу остри ъгли.

Кракът, лежащ срещу ъгъла, се нарича противоположност(спрямо ъгъла). Другият крак, който лежи на една от страните на ъгъла, се нарича съседен.

синуситеОстрият ъгъл в правоъгълен триъгълник е отношението на противоположната страна към хипотенузата:

Косинусостър ъгъл в правоъгълен триъгълник - отношението на съседния крак към хипотенузата:

Допирателнаостър ъгъл в правоъгълен триъгълник - съотношението на срещуположната страна към съседната страна:

Друго (еквивалентно) определение: тангенсът на остър ъгъл е отношението на синуса на ъгъла към неговия косинус:

Котангенсостър ъгъл в правоъгълен триъгълник - съотношението на съседната страна към противоположната (или, което е същото, съотношението на косинус към синус):

Обърнете внимание на основните отношения за синус, косинус, тангенс и котангенс по-долу. Те ще ни бъдат полезни при решаване на проблеми.

Нека докажем някои от тях.

Добре, дадохме определения и записахме формули. Но защо все още се нуждаем от синус, косинус, тангенс и котангенс?

Ние знаем това сумата от ъглите на всеки триъгълник е равна на.

Знаем връзката между партииправоъгълен триъгълник. Това е Питагоровата теорема: .

Оказва се, че като знаете два ъгъла в триъгълник, можете да намерите третия. Познавайки двете страни на правоъгълен триъгълник, можете да намерите третата. Това означава, че ъглите имат свое съотношение, а страните имат свое собствено. Но какво трябва да направите, ако в правоъгълен триъгълник знаете един ъгъл (с изключение на правия ъгъл) и една страна, но трябва да намерите другите страни?

С това са се сблъсквали хората в миналото, правейки карти на местността и звездното небе. В крайна сметка не винаги е възможно директно да се измерят всички страни на триъгълник.

Синус, косинус и тангенс - те също се наричат функции на тригонометричен ъгъл- дават връзки между партииИ ъглитриъгълник. Познавайки ъгъла, можете да намерите всичките му тригонометрични функции, като използвате специални таблици. И като знаете синусите, косинусите и тангенсите на ъглите на триъгълник и една от страните му, можете да намерите останалите.

Ще начертаем и таблица със стойностите на синус, косинус, тангенс и котангенс за „добри“ ъгли от до.

Моля, обърнете внимание на двете червени тирета в таблицата. При подходящи стойности на ъгъл тангенс и котангенс не съществуват.

Нека да разгледаме няколко тригонометрични задачи от банката задачи на FIPI.

1. В триъгълник ъгълът е , . Намирам .

Проблемът се решава за четири секунди.

Тъй като , .

2. В триъгълник ъгълът е , , . Намирам .

Нека го намерим с помощта на Питагоровата теорема.

Проблемът е решен.

Често в задачи има триъгълници с ъгли и или с ъгли и. Запомнете наизуст основните съотношения за тях!

За триъгълник с ъгли и катет срещу ъгъла при е равно на половината от хипотенузата.

Триъгълник с ъгли и е равнобедрен. При него хипотенузата е пъти по-голяма от катета.

Разгледахме задачи за решаване на правоъгълни триъгълници – тоест намиране на неизвестни страни или ъгли. Но това не е всичко! В Единния държавен изпит по математика има много задачи, които включват синус, косинус, тангенс или котангенс на външен ъгъл на триъгълник. Повече за това в следващата статия.