Функции и техните свойства

Функцията е едно от най-важните математически понятия.функция Те наричат ​​такава зависимост на променливата y от променливата x, при която всяка стойност на променливата x съответства на една единствена стойност на променливата y.

Променлива Xнаречен независима променлива или аргумент.Променлива принаречен зависима променлива. Те също така казватпроменливата y е функция на променливата x. Стойностите на зависимата променлива се наричатстойности на функцията.

Ако зависимостта на променливатапри от променливаX е функция, тогава може да се напише накратко, както следва:г= f( х ). (Прочетете:при равниf отX .) Символf( х) обозначават стойността на функцията, съответстваща на стойността на аргумента, равен наX .

Всички стойности на независимата променлива формаобласт на функция . Всички стойности, които зависимата променлива приемафункционален диапазон .

Ако дадена функция е посочена с формула и нейната област на дефиниране не е посочена, тогава се счита, че областта на дефиниция на функцията се състои от всички стойности на аргумента, за които формулата има смисъл.

Методи за определяне на функция:

1. аналитичен метод (функцията се определя с помощта на математическа формула;

2. табличен метод (функцията се определя с помощта на таблица)

3.описателен метод (функцията се определя чрез словесно описание)

4. графичен метод (функцията се определя с помощта на графика).

Функционална графика наричаме множеството от всички точки на координатната равнина, чиито абсциси са равни на стойностите на аргумента и ординатите - съответните функционални стойности.

ОСНОВНИ СВОЙСТВА НА ФУНКЦИИТЕ

1. Функционални нули

Нула на функция е стойността на аргумента, при която стойността на функцията е равна на нула.

2. Интервали на постоянен знак на функция

Интервалите с постоянен знак на функция са набори от стойности на аргументи, при които стойностите на функцията са само положителни или само отрицателни.

3. Нарастваща (намаляваща) функция.

Увеличава се в определен интервал, функция е функция, за която по-голяма стойност на аргумента от този интервал съответства на по-голяма стойност на функцията.

функция y = f ( х ) наречен нарастваща на интервала (A; b ), ако има х 1 и х 2 от този интервал, така чех 1 < х 2 , неравенството е вярноf ( х 1 )< f ( х 2 ).

Спускане в определен интервал, функция е функция, за която по-голяма стойност на аргумента от този интервал съответства на по-малка стойност на функцията.

функция при = f ( х ) наречен намаляващина интервала (A; b ) , ако има такива х 1 и х 2 от този интервал, така че х 1 < х 2 , неравенството е вярноf ( х 1 )> f ( х 2 ).

4. Четна (нечетна) функция

Равномерна функция - функция, чиято област на дефиниция е симетрична по отношение на произхода и за всекиX от областта на дефиницията равенствотоf (- х ) = f ( х ) . Графиката на четна функция е симетрична спрямо ординатата.

Например y = x 2 - равномерна функция.

Странна функция- функция, чиято област на дефиниция е симетрична по отношение на произхода и за всеки Xот областта на дефиницията равенството е вярно f (- х ) = - f (х ). Графиката на нечетна функция е симетрична спрямо началото.

Например: y = x 3 - странна функция .

Функция от общ вид не е четна или нечетна (y = x 2 +x ).

Свойства на някои функции и техните графики

1. Линейна функция наречена функция на формата , Къде к и b – числа.

Областта на дефиниране на линейна функция е множествоР реални числа.

Графика на линейна функцияпри = kx + b ( к ≠ 0) е права линия, минаваща през точката (0;b ) и успоредна на праватапри = kx .

Прав, не успореден на остао е графиката на линейна функция.

Свойства на линейна функция.

1. Кога к > 0 функция при = kx + b

2. Кога к < 0 функция y = kx + b намаляващи в областта на дефиницията.

г = kx + b ( к ≠ 0 ) е цялата числова ос, т.е. многоР реални числа.

При к = 0 набор от функционални стойностиy = kx + b се състои от едно числоb .

3. Кога b = 0 и к = 0 функцията не е нито четна, нито нечетна.

При к = 0 линейната функция има форматаy = b и при b ≠ 0 равно е.

При к = 0 и b = 0 линейната функция има форматаy = 0 и е едновременно четно и нечетно.

Графика на линейна функцияy = b е права линия, минаваща през точката (0; b ) и успоредна на остаоИмайте предвид, че когато b = 0 графика на функциятаy = b съвпадат с оста о .

5. Кога к > 0 имаме това при> 0, ако и при< 0 ако . При к < 0 имаме, че y > 0 акои при< 0, если .

2. Функция г = х 2

Рреални числа.

Даване на променливаX няколко стойности от домейна на функцията и изчисляване на съответните стойностиприспоред формулата г = х 2 , изобразяваме графиката на функцията.

Графика на функция г = х 2 наречен парабола.

Свойства на функцията y = x 2 .

1. Ако X= 0, тогава y = 0, т.е. Параболата има обща точка с координатните оси (0; 0) - началото на координатите.

2. Ако x ≠ 0 , това при > 0, т.е. всички точки на параболата, с изключение на началото, лежат над оста x.

3. Набор от стойности на функциятапри = X 2 е функцията за обхватпри = X 2 намалява.

X

3. Функция

Домейнът на тази функция е функцията spanг = | х | намалява.

7. Функцията приема най-малката си стойност в точкатаX,то е равно на 0. Няма най-голяма стойност.

6. функция

Обхват на функцията: .

Функционален диапазон: .

Графиката е хипербола.

1. Функционални нули.

y ≠ 0, без нули.

2. Интервали на постоянство на знаците,

Ако к > 0, тогава при> 0 при X > 0; при < 0 при X < О.

Ако к < 0, то при < 0 при X > 0; при> 0 при X < 0.

3. Интервали на нарастване и намаляване.

Ако к > 0, тогава функцията намалява като .

Ако к < 0, то функция возрастает при .

4.Четна (нечетна) функция.

Функцията е странна.

Квадрат тричлен

Уравнение на формата брадва 2 + bx + c = 0, където а , bи с - някои числа иа≠ 0, наречено квадрат.

В квадратно уравнениебрадва 2 + bx + c = 0 коефициент Анаречен първият коефициент b - втори коефициенти, с - безплатен член.

Формулата за корените на квадратно уравнение е:

.

Изразът се нарича дискриминант квадратно уравнение и се означава сг .

Ако г = 0, тогава има само едно число, което удовлетворява уравнението брадва 2 + bx + c = 0. Въпреки това се съгласихме да кажем, че в този случай квадратното уравнение има два равни реални корена и самото число наречен двоен корен.

Ако г < 0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Ако г > 0, тогава квадратното уравнение има два различни реални корена.

Нека е дадено квадратно уравнениебрадва 2 + bx + c = 0. Тъй като а≠ 0, след което разделяме двете страни на това уравнение наа, получаваме уравнението . Вярвайки и , стигаме до уравнението , в което първият коефициент е равен на 1. Това уравнение се наричададено.

Формулата за корените на горното квадратно уравнение е:

.

Уравнения на формата

А х 2 + bx = 0, брадва 2 + s = 0, А х 2 = 0

се наричат непълни квадратни уравнения. Непълните квадратни уравнения се решават чрез разлагане на лявата страна на уравнението.

Теорема на Виета .

Сумата от корените на квадратно уравнение е равна на съотношението на втория коефициент към първия, взето с обратен знак, а произведението на корените е отношението на свободния член към първия коефициент, т.е.

Обратна теорема.

Ако сумата от произволни две числаX 1 и X 2 равно на , а произведението им е равно, тогава тези числа са корените на квадратното уравнениео 2 + b x + c = 0.

Функция на формата о 2 + b x + cнаречен квадратен тричлен. Корените на тази функция са корените на съответното квадратно уравнениео 2 + b x + c = 0.

Ако дискриминантът на квадратичен трином е по-голям от нула, тогава този трином може да бъде представен като:

о 2 + b x + c = a(x-x 1 )(x-x 2 )

Къде X 1 и X 2 - корени на тричлена

Ако дискриминантът на квадратичен трином е нула, тогава този трином може да бъде представен като:

о 2 + b x + c = a(x-x 1 ) 2

Къде X 1 - корен на тричлена.

например, 3x 2 - 12x + 12 = 3 (x - 2) 2 .

Уравнение на формата о 4 + b X 2 + s= 0 се извиква биквадратен. Използване на замяна на променлива с помощта на формулатаX 2 = г тя се свежда до квадратно уравнениеА г 2 + от + s = 0.

Квадратична функция

Квадратична функция е функция, която може да бъде записана с формула от форматаг = брадва 2 + bx + c , Къде х – независима променлива,а , b и c – някои числа иа ≠ 0.

Свойствата на функцията и вида на нейната графика се определят главно от стойностите на коефициентаа и дискриминант.

Свойства на квадратична функция

Обхват:Р;

Диапазон от стойности:

при А > 0 [- г/(4 а); ∞)

при А < 0 (-∞; - г/(4 а)];

Четно, нечетно:

при b = 0 четна функция

при b ≠ Функцията 0 не е нито четна, нито нечетна

при г> 0 две нули: ,

при г= 0 една нула:

при г < 0 нулей нет

Интервали на постоянство на знака:

ако a > 0, г> 0, тогава

ако a > 0, г= 0, тогава

дако a > 0, г < 0, то

ако а< 0, г> 0, тогава

ако а< 0, г= 0, тогава

ако а< 0, г < 0, то

- Интервали на монотонност

за a > 0

при а< 0

Графиката на квадратична функция епарабола – крива, симетрична спрямо права линия , минаваща през върха на параболата (върхът на параболата е пресечната точка на параболата с оста на симетрия).

За да начертаете графика на квадратична функция, трябва:

1) намерете координатите на върха на параболата и я маркирайте в координатната равнина;

2) конструирайте още няколко точки, принадлежащи на параболата;

3) свържете маркираните точки с гладка линия.

Координатите на върха на параболата се определят по формулите:

; .

Преобразуване на графики на функции

1. Разтягане графикиy = x 2 по остапри V|а| пъти (при|а| < 1 е компресия на 1/|а| веднъж).

Ако и< 0, произвести, кроме того, зеркальное отражение графика отно­сительно оси X (клоновете на параболата ще бъдат насочени надолу).

Резултат: графика на функцияy = ах 2 .

2. Паралелен трансфер функционална графикаy = ах 2 по остаX на| м | (вдясно, когато

м > 0 и наляво, когатоТ< 0).

Резултат: функционална графикаy = a(x - t) 2 .

3. Паралелен трансфер функционална графика по остапри на| п | (горе вp> 0 и надолу прип< 0).

Резултат: функционална графикаy = a(x - t) 2 + стр.

Квадратни неравенства

Неравенства на форматао 2 + b x + c > 0 ио 2 + bx + c< 0, къдетоX - променлива,а , b ис - някои числа иа≠ 0 се наричат ​​неравенства от втора степен с една променлива.

Решаването на неравенство от втора степен в една променлива може да се разглежда като намиране на интервалите, в които съответната квадратична функция приема положителни или отрицателни стойности.

За решаване на неравенства от видао 2 + bx + c > 0 ио 2 + bx + c< 0 продължете както следва:

1) намерете дискриминанта на квадратния трином и разберете дали триномът има корени;

2) ако тричленът има корени, тогава ги маркирайте на остаX а през отбелязаните точки схематично е начертана парабола, чиито клонове са насочени нагоре къмА > 0 или надолу, когатоА< 0; ако тричленът няма корени, тогава схематично изобразете парабола, разположена в горната полуравнина наА > 0 или по-ниско приА < 0;

3) намерени на остаX интервали, за които точките на параболата са разположени над остаX (ако неравенството е решеноо 2 + bx + c > 0) или под остаX (ако неравенството е решеноо 2 + bx + c < 0).

Пример:

Нека решим неравенството .

Помислете за функцията

Неговата графика е парабола, чиито клонове са насочени надолу (тъй като ).

Нека разберем как е разположена графиката спрямо остаX. Нека решим уравнението за това . Разбираме товаx = 4. Уравнението има един корен. Това означава, че параболата докосва остаX.

Чрез схематично изобразяване на парабола откриваме, че функцията приема отрицателни стойности за всякаX, освен 4.

Отговорът може да бъде написан така:X - всяко число, което не е равно на 4.

Решаване на неравенства по интервалния метод

диаграма на решението

1. Намерете нули функция от лявата страна на неравенството.

2. Маркирайте позицията на нулите върху числовата ос и определете тяхната кратност (Акок i е четен, тогава нулата е с четна кратност, акок i нечетното си е нечетно).

3. Намерете признаците на функцията в интервалите между неговите нули, започвайки от най-десния интервал: в този интервал функцията от лявата страна на неравенството винаги е положителна за дадената форма на неравенства. При преминаване от дясно на ляво през нулата на функция от един интервал към съседен, трябва да се вземе предвид:

ако нулата е нечетна кратност, знакът на функцията се променя,

ако нулата е четна кратност, знакът на функцията се запазва.

4. Запишете отговора.

Пример:

(x + 6) (x + 1) (X - 4) < 0.

Намерени нули на функцията. Те са равни:X 1 = -6; X 2 = -1; X 3 = 4.

Нека отбележим нулите на функцията върху координатната праваf ( х ) = (x + 6) (x + 1) (X - 4).

Нека намерим знаците на тази функция във всеки от интервалите (-∞; -6), (-6; -1), (-1; 4) и

От фигурата става ясно, че множеството от решения на неравенството е обединението на интервалите (-∞; -6) и (-1; 4).

Отговор: (-∞ ; -6) и (-1; 4).

Разгледаният метод за решаване на неравенства се наричаинтервален метод.

Функцията y=x^2 се нарича квадратна функция. Графиката на квадратична функция е парабола. Общият изглед на параболата е показан на фигурата по-долу.

Квадратична функция

Фиг. 1. Общ изглед на параболата

Както се вижда от графиката, тя е симетрична спрямо оста Oy. Оста Oy се нарича ос на симетрия на параболата. Това означава, че ако начертаете права линия на графиката, успоредна на оста Ox над тази ос. Тогава тя ще пресече параболата в две точки. Разстоянието от тези точки до оста Oy ще бъде същото.

Оста на симетрия разделя графиката на парабола на две части. Тези части се наричат ​​клонове на параболата. А точката на парабола, която лежи на оста на симетрия, се нарича връх на параболата. Тоест, оста на симетрия минава през върха на параболата. Координатите на тази точка са (0;0).

Основни свойства на квадратична функция

1. При x =0, y=0 и y>0 при x0

2. Квадратната функция достига минималната си стойност в своя връх. Ymin при х=0; Трябва също да се отбележи, че функцията няма максимална стойност.

3. Функцията намалява на интервала (-∞;0] и нараства на интервала)