Линейна функция
Линейна функцияе функция, която може да бъде определена с формулата y = kx + b,
където x е независимата променлива, k и b са някои числа.
Графиката на линейна функция е права линия.
Извиква се числото k наклон на права линия– графика на функцията y = kx + b.
Ако k > 0, тогава ъгълът на наклона на правата линия y = kx + b спрямо оста Xпикантен; ако к< 0, то этот угол тупой.
Ако наклоните на линиите, които са графики на две линейни функции, са различни, тогава тези линии се пресичат. И ако ъгловите коефициенти са еднакви, тогава линиите са успоредни.
Графика на функция y =kx +b, където k ≠ 0, е права, успоредна на правата y = kx.
Пряка пропорционалност.
Пряка пропорционалносте функция, която може да бъде определена с формулата y = kx, където x е независима променлива, k е различно от нула число. Извиква се числото k коефициент на пряка пропорционалност.
Графиката на пряката пропорционалност е права линия, минаваща през началото на координатите (виж фигурата).
Пряката пропорционалност е частен случай на линейна функция.
Функционални свойстваy =kx:
Обратна пропорционалност
Обратна пропорционалностсе нарича функция, която може да бъде определена с формулата:
к
y = -
х
Къде хе независимата променлива и к– различно от нула число.
Графиката на обратната пропорционалност е крива, наречена хипербола(виж снимката).
За крива, която е графиката на тази функция, оста хи гдействат като асимптоти. Асимптота- това е правата линия, към която се приближават точките на кривата, когато се отдалечават до безкрайност.
к
Функционални свойстваy = -:
х
Концепцията за пряка пропорционалност
Представете си, че планирате да купите любимите си бонбони (или нещо, което наистина харесвате). Сладките в магазина имат своя цена. Да кажем 300 рубли на килограм. Колкото повече бонбони купувате, толкова повече пари плащате. Тоест, ако искате 2 килограма, платете 600 рубли, а ако искате 3 килограма, платете 900 рубли. Изглежда всичко е ясно, нали?
Ако да, тогава вече ви е ясно какво е пряка пропорционалност - това е концепция, която описва връзката на две зависими една от друга величини. И съотношението на тези количества остава непроменено и постоянно: с колко части една от тях се увеличава или намалява, със същия брой части втората се увеличава или намалява пропорционално.
Пряката пропорционалност може да се опише със следната формула: f(x) = a*x, а a в тази формула е постоянна стойност (a = const). В нашия пример за бонбони цената е постоянна стойност, константа. Не се увеличава и не намалява, колкото и бонбони да решите да купите. Независимата променлива (аргумент)x е колко килограма бонбони ще купите. И зависимата променлива f(x) (функция) е колко пари в крайна сметка ще платите за покупката си. Така че можем да заменим числата във формулата и да получим: 600 рубли. = 300 rub. * 2 кг.
Междинният извод е следният: ако аргументът нараства, функцията също нараства, ако аргументът намалява, функцията също намалява
Функция и нейните свойства
Право пропорционална функцияе частен случай на линейна функция. Ако линейната функция е y = k*x + b, тогава за пряката пропорционалност тя изглежда така: y = k*x, където k се нарича коефициент на пропорционалност и винаги е различно от нула число. Лесно е да се изчисли k - намира се като частно на функция и аргумент: k = y/x.
За да стане по-ясно, нека вземем друг пример. Представете си, че кола се движи от точка А до точка Б. Скоростта му е 60 км/ч. Ако приемем, че скоростта на движение остава постоянна, тогава тя може да се приеме за константа. И след това записваме условията във формата: S = 60*t и тази формула е подобна на функцията на правата пропорционалност y = k *x. Нека направим паралел по-нататък: ако k = y/x, тогава скоростта на автомобила може да се изчисли, като се знае разстоянието между A и B и времето, прекарано на пътя: V = S /t.
А сега, от приложното приложение на знанията за правата пропорционалност, нека се върнем към нейната функция. Свойствата на които включват:
нейната област на дефиниране е множеството от всички реални числа (както и неговите подмножества);
функцията е странна;
промяната на променливите е правопропорционална по цялата дължина на числовата линия.
Пряка пропорционалност и нейната графика
Графиката на функция на права пропорционалност е права линия, която пресича началото. За изграждането му е достатъчно да маркирате само още една точка. И го свържете с началото на координатите с права линия.
В случай на графика k е наклонът. Ако наклонът е по-малък от нула (k< 0), то угол между графиком функции прямой пропорциональности и осью абсцисс тупой, а функция убывающая. Если угловой коэффициент больше нуля (k >0), графиката и оста x образуват остър ъгъл и функцията нараства.
И още едно свойство на графиката на функцията на пряката пропорционалност е пряко свързано с наклона k. Да предположим, че имаме две неидентични функции и съответно две графики. Така че, ако коефициентите k на тези функции са равни, техните графики са разположени успоредно на координатната ос. И ако коефициентите k не са равни един на друг, графиките се пресичат.
Примерни проблеми
Сега нека решим една двойка проблеми с правата пропорционалност
Да започнем с нещо просто.
Задача 1: Представете си, че 5 кокошки са снесли 5 яйца за 5 дни. И ако има 20 кокошки, колко яйца ще снесат за 20 дни?
Решение: Нека означим неизвестното с kx. И ще разсъждаваме по следния начин: колко пъти повече са станали пилетата? Разделете 20 на 5 и открийте, че е 4 пъти. Колко пъти повече яйца ще снесат 20 кокошки за същите 5 дни? Също така 4 пъти повече. И така, намираме нашето така: 5*4*4 = 80 яйца ще бъдат снесени от 20 кокошки за 20 дни.
Сега примерът е малко по-сложен, нека перифразираме проблема от „Общата аритметика“ на Нютон. Задача 2: Един писател може да напише 14 страници от нова книга за 8 дни. Ако имаше помощници, колко хора ще са необходими, за да напишат 420 страници за 12 дни?
Решение: Разсъждаваме, че броят на хората (писател + асистенти) се увеличава с обема на работата, ако тя трябва да бъде извършена за същото време. Но колко пъти? Разделяйки 420 на 14, откриваме, че се увеличава 30 пъти. Но тъй като според условията на задачата се дава повече време за работа, броят на асистентите се увеличава не с 30 пъти, а по следния начин: x = 1 (писател) * 30 (пъти): 12/8 ( дни). Нека трансформираме и разберем, че x = 20 души ще напишат 420 страници за 12 дни.
Нека решим друга задача, подобна на тези в нашите примери.
Задача 3: Две коли тръгват на едно и също пътуване. Единият се е движел със скорост 70 км/ч и е изминал същото разстояние за 2 часа, а на другия са били необходими 7 часа. Намерете скоростта на втората кола.
Решение: Както си спомняте, пътят се определя чрез скорост и време - S = V *t. Тъй като и двете коли са изминали едно и също разстояние, можем да приравним двата израза: 70*2 = V*7. Как намираме, че скоростта на втората кола е V = 70*2/7 = 20 km/h.
И още няколко примера за задачи с функции на права пропорционалност. Понякога задачите изискват намиране на коефициента k.
Задача 4: Дадени функции y = - x/16 и y = 5x/2 да се определят техните коефициенти на пропорционалност.
Решение: Както си спомняте, k = y/x. Това означава, че за първата функция коефициентът е равен на -1/16, а за втората k = 5/2.
Може да срещнете и задача като Задача 5: Запишете пряката пропорционалност с формула. Неговата графика и графиката на функцията y = -5x + 3 са разположени успоредно.
Решение: Функцията, която ни е дадена в условието е линейна. Знаем, че пряката пропорционалност е частен случай на линейна функция. И също така знаем, че ако коефициентите на k функции са равни, техните графики са успоредни. Това означава, че всичко, което се изисква, е да се изчисли коефициентът на известна функция и да се зададе пряка пропорционалност, като се използва познатата ни формула: y = k *x. Коефициент k = -5, права пропорционалност: y = -5*x.
Заключение
Сега научихте (или си спомнихте, ако вече сте разглеждали тази тема преди) какво се нарича пряка пропорционалност, и го погледна примери. Говорихме също за функцията на правата пропорционалност и нейната графика и решихме няколко примерни задачи.
Ако тази статия е била полезна и ви е помогнала да разберете темата, разкажете ни за нея в коментарите. За да знаем дали можем да ви бъдем от полза.
blog.site, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към първоизточника.
Трихлеб Даниил, ученик от 7 клас
запознаване с правата пропорционалност и коефициента на права пропорционалност (въвеждане на понятието ъглов коефициент”);
построяване на графика на права пропорционалност;
разглеждане на относителната позиция на графики на пряка пропорционалност и линейни функции с еднакви ъглови коефициенти.
Изтегляне:
Преглед:
За да използвате визуализации на презентации, създайте акаунт в Google и влезте в него: https://accounts.google.com
Надписи на слайдове:
Пряка пропорционалност и нейната графика
Какъв е аргументът и стойността на функция? Коя променлива се нарича независима или зависима? Какво е функция? ПРЕГЛЕД Какво представлява домейнът на функция?
Методи за задаване на функция. Аналитичен (с помощта на формула) Графичен (с помощта на графика) Табличен (с помощта на таблица)
Графиката на функция е набор от всички точки на координатната равнина, чиито абсцисите са равни на стойностите на аргумента, а ординатите са съответните стойности на функцията. ГРАФИК НА ФУНКЦИИТЕ
1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)
ИЗПЪЛНЕТЕ ЗАДАЧАТА Постройте графика на функцията y = 2 x +1, където 0 ≤ x ≤ 4. Направете маса. Използвайки графиката, намерете стойността на функцията при x=2,5. При каква стойност на аргумента стойността на функцията е равна на 8?
Определение Пряката пропорционалност е функция, която може да бъде определена с формула от вида y = k x, където x е независима променлива, k е различно от нула число. (k-коефициент на права пропорционалност) Пряка пропорционалност
8 Графика на права пропорционалност - права линия, минаваща през началото на координатите (точка O(0,0)) За да се построи графика на функцията y= kx, са достатъчни две точки, едната от които е O (0,0) За k > 0 графиката се намира в I и III координатни четвърти. На к
Графики на функции на права пропорционалност y x k>0 k>0 k
Задача Определете коя от графиките показва функцията на правата пропорционалност.
Задача Определете графиката на коя функция е показана на фигурата. Изберете формула от трите предложени.
Устна работа. Може ли графиката на функция, дадена с формулата y = k x, където k
Определете коя от точките A(6,-2), B(-2,-10), C(1,-1), E(0,0) принадлежат на графиката на правата пропорционалност, дадена с формулата y = 5x 1) A( 6;-2) -2 = 5 6 - 2 = 30 - неправилно. Точка A не принадлежи на графиката на функцията y=5x. 2) B(-2;-10) -10 = 5 (-2) -10 = -10 - правилно. Точка B принадлежи на графиката на функцията y=5x. 3) C(1;-1) -1 = 5 1 -1 = 5 - неправилно Точка C не принадлежи на графиката на функцията y=5x. 4) E (0;0) 0 = 5 0 0 = 0 - вярно. Точка E принадлежи на графиката на функцията y=5x
ТЕСТ 1 вариант 2 вариант №1. Кои от дадените с формулата функции са правопропорционални? A. y = 5x B. y = x 2 /8 C. y = 7x(x-1) D . y = x+1 A. y = 3x 2 +5 B. y = 8/x C. y = 7(x + 9) D. y = 10x
номер 2. Запишете номерата на редовете y = kx, където k > 0 1 опция k
номер 3. Определете коя от точките принадлежи към графиката на правата пропорционалност, дадена по формулата Y = -1 /3 X A (6 -2), B (-2 -10) 1 опция C (1, -1), E (0,0 ) Вариант 2
y =5x y =10x III A VI и IV E 1 2 3 1 2 3 Не Верен отговор Верен отговор Не.
Изпълнете задачата: Покажете схематично как е разположена графиката на функцията, дадена с формулата: y =1,7 x y =-3,1 x y=0,9 x y=-2,3 x
ЗАДАЧА От следващите графики изберете само графики на права пропорционалност.
1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)
Функции y = 2x + 3 2. y = 6/ x 3. y = 2x 4. y = - 1,5x 5. y = - 5/ x 6. y = 5x 7. y = 2x – 5 8. y = - 0,3x 9. y = 3/ x 10. y = - x /3 + 1 Изберете функции от формата y = k x (права пропорционалност) и ги запишете
Функции на пряка пропорционалност Y = 2x Y = -1,5x Y = 5x Y = -0,3x y x
y Линейни функции, които не са функции на права пропорционалност 1) y = 2x + 3 2) y = 2x – 5 x -6 -4 -2 0 2 4 6 6 3 -3 -6 y = 2x + 3 y = 2x - 5
Домашна работа: параграф 15 стр. 65-67, № 307; № 308.
Нека го повторим отново. Какви нови неща научихте? Какво научихте? Какво ви се стори особено трудно?
Урокът ми хареса и темата е разбрана: Урокът ми хареса, но все още не разбирам всичко: Урокът не ми хареса и темата не е ясна.
В 7 и 8 клас се изучава графиката на правата пропорционалност.
Как да построим графика на права пропорционалност?
Нека да разгледаме графиката на пряката пропорционалност, използвайки примери.
Формула за графика на пряка пропорционалност
Графиката на пряка пропорционалност представлява функция.
По принцип пряката пропорционалност има формулата
Ъгълът на наклона на графиката на пряката пропорционалност спрямо оста x зависи от големината и знака на коефициента на права пропорционалност.
Минава графиката на пряката пропорционалност
Графика на права пропорционалност минава през началото.
Графиката на пряка пропорционалност е права линия. Една права линия се определя от две точки.
По този начин, когато се конструира графика на пряка пропорционалност, е достатъчно да се определи позицията на две точки.
Но ние винаги знаем един от тях - това е началото на координатите.
Остава само да намерим втория. Нека да разгледаме пример за изграждане на графика на права пропорционалност.
Графика на правата пропорционалност y = 2x
Задача .
Начертайте графика на правата пропорционалност, дадена от формулата
Разтвор .
Всички номера са там.
Вземете произволно число от областта на пряката пропорционалност, нека бъде 1.
Намерете стойността на функцията, когато x е равно на 1
Y=2x=
2 * 1 = 2
тоест за x = 1 получаваме y = 2. Точката с тези координати принадлежи на графиката на функцията y = 2x.
Знаем, че графиката на пряката пропорционалност е права линия, а правата линия се определя от две точки.
Пропорционалността е връзка между две величини, при която промяната на едната води до промяна на другата със същата величина.
Пропорционалността може да бъде пряка и обратна. В този урок ще разгледаме всеки от тях.
Съдържание на урокаПряка пропорционалност
Да приемем, че колата се движи със скорост 50 km/h. Спомняме си, че скоростта е изминатото разстояние за единица време (1 час, 1 минута или 1 секунда). В нашия пример колата се движи със скорост 50 км/ч, тоест за един час ще измине разстояние от петдесет километра.
Нека изобразим на фигурата разстоянието, изминато от автомобила за 1 час.
Оставете колата да кара още един час със същата скорост от петдесет километра в час. Тогава се оказва, че колата ще измине 100 км
Както се вижда от примера, удвояването на времето доведе до увеличаване на изминатото разстояние със същото количество, тоест два пъти.
Величини като време и разстояние се наричат правопропорционални. И връзката между такива количества се нарича пряка пропорционалност.
Пряката пропорционалност е връзката между две величини, при която увеличаването на едната води до увеличаване на другата със същата стойност.
и обратното, ако едната величина намалее определен брой пъти, то другата намалява със същия брой пъти.
Да приемем, че първоначалният план е бил да измина кола 100 км за 2 часа, но след като измина 50 км, шофьорът реши да си почине. Тогава се оказва, че като намалим разстоянието наполовина, времето ще намалее със същото количество. С други думи, намаляването на изминатото разстояние ще доведе до намаляване на времето със същото количество.
Интересна особеност на правопропорционалните величини е, че тяхното отношение винаги е постоянно. Тоест, когато стойностите на пряко пропорционалните количества се променят, съотношението им остава непроменено.
В разглеждания пример разстоянието първоначално е 50 км, а времето е един час. Съотношението на разстоянието към времето е числото 50.
Но ние удвоихме времето за пътуване, което го направи два часа. В резултат на това изминатото разстояние се увеличи със същото количество, тоест стана равно на 100 км. Съотношението сто километра към два часа отново е числото 50
Числото 50 се нарича коефициент на пряка пропорционалност. Показва колко разстояние има за час движение. В този случай коефициентът играе ролята на скорост на движение, тъй като скоростта е съотношението на изминатото разстояние към времето.
Пропорциите могат да бъдат направени от правопропорционални количества. Например, съотношенията съставляват пропорцията:
Петдесет километра са до един час, както сто километра са до два часа.
Пример 2. Цената и количеството на закупените стоки са правопропорционални. Ако 1 кг сладкиши струва 30 рубли, тогава 2 кг от същите сладки ще струват 60 рубли, 3 кг - 90 рубли. С увеличаването на себестойността на закупен продукт, количеството му се увеличава със същата сума.
Тъй като себестойността на даден продукт и неговото количество са правопропорционални величини, тяхното съотношение винаги е постоянно.
Нека запишем какво е съотношението тридесет рубли към един килограм
Сега нека запишем какво е съотношението шестдесет рубли към два килограма. Това съотношение отново ще бъде равно на тридесет:
Тук коефициентът на пряка пропорционалност е числото 30. Този коефициент показва колко рубли са на килограм сладкиши. В този пример коефициентът играе ролята на цената на един килограм стока, тъй като цената е съотношението на цената на стоката към нейното количество.
Обратна пропорционалност
Помислете за следния пример. Разстоянието между двата града е 80 км. Мотоциклетистът тръгва от първия град и със скорост 20 km/h достига втория град за 4 часа.
Ако скоростта на мотоциклетист е била 20 км/ч, това означава, че всеки час той е изминавал разстояние от двадесет километра. Нека изобразим на фигурата разстоянието, изминато от мотоциклетиста, и времето на неговото движение:
На връщане скоростта на мотоциклетиста е била 40 км/ч и той е прекарал 2 часа в същото пътуване.
Лесно е да се забележи, че когато скоростта се променя, времето на движение се променя със същото количество. Освен това се промени в обратна посока - тоест скоростта се увеличи, но времето, напротив, намаля.
Величини като скорост и време се наричат обратно пропорционални. И връзката между такива количества се нарича обратна пропорционалност.
Обратната пропорционалност е връзката между две величини, при която увеличаването на едната води до намаляване на другата със същата стойност.
и обратно, ако едната величина намалее с определен брой пъти, то другата се увеличава със същия брой пъти.
Например, ако на връщане скоростта на мотоциклетиста е 10 км/ч, то той ще измине същите 80 км за 8 часа:
Както се вижда от примера, намаляването на скоростта води до увеличаване на времето за движение със същото количество.
Особеността на обратно пропорционалните величини е, че техният продукт винаги е постоянен. Тоест, когато стойностите на обратно пропорционални количества се променят, техният продукт остава непроменен.
В разглеждания пример разстоянието между градовете е 80 км. Когато скоростта и времето на движение на мотоциклетиста се променят, това разстояние винаги остава непроменено
Мотоциклетист би могъл да измине това разстояние със скорост 20 км/ч за 4 часа, със скорост 40 км/ч - за 2 часа, а със скорост 10 км/ч - за 8 часа. Във всички случаи произведението на скоростта и времето е равно на 80 км
Хареса ли ви урока?
Присъединете се към нашата нова група VKontakte и започнете да получавате известия за нови уроци