Входно ниво

Производна на функция. Изчерпателно ръководство (2019)

Нека си представим прав път, минаващ през хълмиста местност. Тоест върви нагоре и надолу, но не завива надясно или наляво. Ако оста е насочена хоризонтално по протежение на пътя и вертикално, тогава линията на пътя ще бъде много подобна на графиката на някаква непрекъсната функция:

Оста е определено ниво на нулева надморска височина; в живота ние използваме морското ниво като него.

Докато се движим напред по такъв път, ние също се движим нагоре или надолу. Можем също да кажем: когато аргументът се промени (движение по абсцисната ос), стойността на функцията се променя (движение по ординатната ос). Сега нека помислим как да определим „стръмността“ на нашия път? Каква стойност може да бъде това? Много е просто: колко ще се промени височината, когато се движите напред на определено разстояние. В крайна сметка на различни областипътища, движейки се напред (по оста x) с един километър, ще се издигнем или паднем различни количестваметра спрямо морското равнище (по ординатната ос).

Нека обозначим напредъка (прочетете „делта x“).

Гръцката буква (делта) обикновено се използва в математиката като префикс, означаващ "промяна". Тоест - това е промяна в количеството, - промяна; тогава какво е? Точно така, промяна в големината.

Важно: изразът е едно цяло, една променлива. Никога не отделяйте "делта" от "х" или друга буква!

Това е, например,.

И така, ние се придвижихме напред, хоризонтално, с. Ако сравним линията на пътя с графиката на функцията, тогава как ще означим издигането? Разбира се,. Тоест, докато вървим напред, се издигаме по-високо. Стойността е лесна за изчисляване: ако в началото сме били на височина и след преместване сме се озовали на височина, тогава. Акокрайна точка

се оказа по-нисък от първоначалния, той ще бъде отрицателен - това означава, че не се изкачваме, а се спускаме.

Да се ​​върнем към "стръмнина": това е стойност, която показва колко (стръмно) се увеличава височината, когато се движите напред с една единица разстояние:

Сега нека погледнем върха на един хълм. Ако вземете началото на участъка на половин километър преди върха и края на половин километър след него, можете да видите, че височината е почти същата.

Тоест, според нашата логика се оказва, че наклонът тук е почти равен на нула, което явно не е вярно. Само на разстояние от километри много може да се промени. По-малките площи трябва да се обмислят за по-адекватни и точна оценкастръмност. Например, ако измервате промяната във височината, докато се движите с един метър, резултатът ще бъде много по-точен. Но дори тази точност може да не ни е достатъчна - в крайна сметка, ако има стълб по средата на пътя, можем просто да го подминем. Какво разстояние да изберем тогава? сантиметър? Милиметър? По-малкото е повече!

IN реалния животИзмерването на разстояния до най-близкия милиметър е повече от достатъчно. Но математиците винаги се стремят към съвършенство. Следователно концепцията е измислена безкрайно малък, тоест абсолютната стойност е по-малка от всяко число, което можем да назовем. Например, казвате: една трилионна! Колко по-малко? И разделяте това число на - и ще бъде още по-малко. И т.н. Ако искаме да напишем, че дадено количество е безкрайно малко, пишем така: (четем „х клони към нула“). Много е важно да се разбере че това число не е нула!Но много близо до него. Това означава, че можете да разделите по него.

Концепцията, противоположна на безкрайно малкото, е безкрайно голямо (). Вероятно вече сте го срещали, когато сте работили върху неравенства: това число е по модул по-голямо от всяко число, за което можете да се сетите. Ако излезете с възможно най-голямото число, просто го умножете по две и ще получите още по-голямо число. И още безкрайност освен товакакво ще стане. Всъщност безкрайно голямото и безкрайно малкото са обратни едно на друго, тоест at, и обратно: at.

Сега да се върнем на нашия път. Идеално изчисленият наклон е наклонът, изчислен за безкрайно малък сегмент от пътя, тоест:

Отбелязвам, че при безкрайно малко преместване промяната във височината също ще бъде безкрайно малка. Но нека ви напомня, че безкрайно малко не означава равно на нула. Ако разделите безкрайно малки числа едно на друго, можете да получите доста редовен номер, Например,. Тоест една малка стойност може да бъде точно пъти по-голяма от друга.

За какво е всичко това? Пътят, стръмнината... Не ходим на автомобилно рали, но учим математика. И в математиката всичко е абсолютно същото, само се нарича различно.

Понятие за производна

Производната на функция е отношението на нарастването на функцията към нарастването на аргумента за безкрайно малко увеличение на аргумента.

Постепеннов математиката те наричат ​​промяна. Извиква се степента, до която аргументът () се променя, докато се движи по оста увеличение на аргументаи се обозначава Колко се е променила функцията (височината) при движение напред по оста с разстояние се нарича увеличение на функциятаи е обозначен.

И така, производната на функция е съотношението към кога. Производната означаваме със същата буква като функцията, само че с просто число горе вдясно: или просто. И така, нека напишем формулата за производна, използвайки тези обозначения:

Както и в аналогията с пътя, тук при нарастване на функцията производната е положителна, а при намаляване е отрицателна.

Може ли производната да е равна на нула? Със сигурност. Например, ако се движим по равен хоризонтален път, стръмността е нула. И това е вярно, височината изобщо не се променя. Така е и с производната: производната на постоянна функция (константа) е равна на нула:

тъй като увеличението на такава функция е равно на нула за всяка.

Нека си спомним примера на хълма. Оказа се, че е възможно да се подредят краищата на сегмента различни страниотгоре, така че височината в краищата да е еднаква, т.е. сегментът да е успореден на оста:

Но големите сегменти са знак за неточно измерване. Ще повдигнем нашия сегмент нагоре успоредно на себе си, след което дължината му ще намалее.

В крайна сметка, когато сме безкрайно близо до върха, дължината на сегмента ще стане безкрайно малка. Но в същото време тя остава успоредна на оста, тоест разликата във височините в нейните краища е равна на нула (не клони към, но е равна). Така че производното

Това може да се разбере по следния начин: когато стоим на самия връх, едно малко изместване наляво или надясно променя височината ни незначително.

Има и чисто алгебрично обяснение: вляво от върха функцията нараства, а вдясно намалява. Както разбрахме по-рано, когато една функция расте, производната е положителна, а когато намалява, тя е отрицателна. Но се променя плавно, без скокове (тъй като пътят никъде не променя рязко наклона си). Следователно между отрицателни и положителни стойностиопределено трябва да има. Ще бъде там, където функцията нито нараства, нито намалява - в точката на върха.

Същото важи и за дъното (областта, където функцията отляво намалява, а отдясно се увеличава):

Още малко за увеличенията.

Така че променяме аргумента на величина. Променяме от каква стойност? В какво се превърна (аргументът) сега? Можем да изберем всяка точка и сега ще танцуваме от нея.

Помислете за точка с координата. Стойността на функцията в него е равна. След това правим същото увеличение: увеличаваме координатата с. Какъв е аргументът сега? Много лесно:. Каква е стойността на функцията сега? Където отива аргументът, отива и функцията: . Какво ще кажете за увеличаване на функцията? Нищо ново: това все още е сумата, с която функцията се е променила:

Практикувайте намирането на увеличения:

1. Намерете увеличението на функцията в точка, когато увеличението на аргумента е равно на.
2. Същото важи и за функцията в точка.

Решения:

IN различни точкипри едно и също увеличение на аргумента увеличението на функцията ще бъде различно. Това означава, че производната във всяка точка е различна (обсъдихме това в самото начало - стръмността на пътя е различна в различните точки). Следователно, когато пишем производна, трябва да посочим в кой момент:

Силова функция.

Степенна функция е функция, при която аргументът е до известна степен (логичен, нали?).

Нещо повече – във всякаква степен: .

Най-простият случай- това е, когато степенният показател:

Нека намерим производната му в точка. Нека си припомним дефиницията на производна:

Така аргументът се променя от на. Какво е нарастването на функцията?

Увеличението е това. Но функция във всяка точка е равна на своя аргумент. Ето защо:

Производната е равна на:

Производната на е равна на:

б) Сега помислете квадратична функция (): .

Сега нека си припомним това. Това означава, че стойността на увеличението може да бъде пренебрегната, тъй като е безкрайно малка и следователно незначителна на фона на другия член:

И така, измислихме друго правило:

в) Продължаваме логическия ред: .

Този израз може да бъде опростен по различни начини: отворете първата скоба, като използвате формулата за съкратено умножение на куба на сбора, или разложете на множители целия израз, като използвате формулата за разликата на кубовете. Опитайте се да го направите сами, като използвате някой от предложените методи.

И така, получих следното:

И отново нека си припомним това. Това означава, че можем да пренебрегнем всички термини, съдържащи:

Получаваме: .

d) Подобни правила могат да бъдат получени за големи мощности:

д) Оказва се, че това правило може да се обобщи за степенна функция с произволен показател, дори не цяло число:

(2)

Правилото може да се формулира с думите: „степента се изнася напред като коефициент и след това се намалява с .“

Ще докажем това правило по-късно (почти в самия край). Сега нека да разгледаме няколко примера. Намерете производната на функциите:

1. (по два начина: чрез формула и чрез определението за производна - чрез изчисляване на приращението на функцията);

1. . Вярвате или не, това е мощностна функция. Ако имате въпроси като „Как е това? Къде е дипломата?“, помнете темата „“!
   Да, да, коренът също е степен, само дробна: .
   Значи нашите корен квадратен- това е просто степен с индикатор:
   .
   Търсим производната, използвайки наскоро научената формула:

   Ако в този момент пак стане неясно повторете темата “”!!! (относно степен с отрицателен показател)

2. . Сега степента:

   А сега през дефиницията (забравили ли сте още?):
   ;
   .
   Сега, както обикновено, пренебрегваме термина, съдържащ:
   .

3. . Комбинация от предишни случаи: .

Тригонометрични функции.

Тук ще използваме един факт от висшата математика:

С израз.

Ще научите доказателството през първата година на института (и за да стигнете до там, трябва да издържите добре Единния държавен изпит). Сега просто ще го покажа графично:

Виждаме, че когато функцията не съществува - точката от графиката се изрязва. Но колкото по-близо до стойността, толкова по-близо е функцията до това.

Освен това можете да проверите това правило с помощта на калкулатор. Да, да, не се срамувайте, вземете калкулатор, все още не сме на Единния държавен изпит.

И така, нека опитаме: ;

Не забравяйте да превключите калкулатора си в режим на радиани!

и т.н. Виждаме, че колкото по-малко, толкова по-близка стойностотношение към

а) Разгледайте функцията. Както обикновено, нека намерим нарастването му:

Нека превърнем разликата на синусите в произведение. За целта използваме формулата (запомнете темата „”): .

Сега производното:

Да направим замяна: . Тогава за безкрайно малко също е безкрайно малко: . Изразът за приема формата:

И сега си спомняме това с израза. И също така, какво ще стане, ако едно безкрайно малко количество може да бъде пренебрегнато в сумата (тоест at).

Така че получаваме следващото правило:производната на синуса е равна на косинуса:

Това са основни („таблични“) производни. Ето ги в един списък:

По-късно ще добавим още няколко към тях, но тези са най-важните, тъй като се използват най-често.

практика:

1. Намерете производната на функцията в точка;
2. Намерете производната на функцията.

Решения:

1. Първо, нека намерим производната в общ изгледи след това заменете стойността му:
   ;
   .
2. Тук имаме нещо подобно на степенна функция. Нека се опитаме да я доведем
   нормален изглед:
   .
   Страхотно, сега можете да използвате формулата:
   .
   .
3. . Еееееее….. Какво е това????

Добре, прав си, все още не знаем как да намерим такива производни. Тук имаме комбинация от няколко вида функции. За да работите с тях, трябва да научите още няколко правила:

Експонента и натурален логаритъм.

В математиката има функция, чиято производна за всяка стойност е равна на стойността на самата функция в същото време. Нарича се „експонента“ и е експоненциална функция

Основата на тази функция е константа - тя е безкрайна десетичен знак, тоест ирационално число (като). Нарича се „число на Ойлер“, поради което се обозначава с буква.

И така, правилото:

Много лесен за запомняне.

Е, нека не отиваме далеч, нека го разгледаме веднага обратна функция. Коя функция е обратна на експоненциална функция? Логаритъм:

В нашия случай основата е числото:

Такъв логаритъм (т.е. логаритъм с основа) се нарича „естествен“ и ние използваме специална нотация за него: пишем вместо това.

На какво е равно? разбира се

Производната на естествения логаритъм също е много проста:

Примери:

1. Намерете производната на функцията.
2. Каква е производната на функцията?

Отговори: Изложител и натурален логаритъм- функциите са уникално прости по отношение на производни. Експоненциалните и логаритмичните функции с всяка друга основа ще имат различна производна, която ще анализираме по-късно, след това нека да преминем през правилатадиференциация.

Правила за диференциране

Правила на какво? Отново нов срок, пак?!...

Диференциацияе процесът на намиране на производната.

това е всичко Как иначе можете да наречете този процес с една дума? Не производна... Математиците наричат ​​диференциала същото нарастване на функция при. Този термин идва от латинския differentia - разлика. тук

Когато извличаме всички тези правила, ще използваме две функции, например и. Ще ни трябват и формули за техните увеличения:

Има общо 5 правила.

Константата се изважда от знака за производна.

Ако - някои постоянно число(константа), тогава.

Очевидно това правило работи и за разликата: .

Нека го докажем. Нека бъде или по-просто.

Примери.

Намерете производните на функциите:

1. в точка;
2. в точка;
3. в точка;
4. в точката.

Решения:

1. (производната е една и съща във всички точки, тъй като това линейна функция, помниш ли?);

Производно на продукта

Тук всичко е подобно: да влезем нова функцияи намерете увеличението му:

Производна:

Примери:

1. Намерете производните на функциите и;
2. Намерете производната на функцията в точка.

Решения:

Производна на експоненциална функция

Сега знанията ви са достатъчни, за да научите как да намирате производната на всяка експоненциална функция, а не само на експоненти (забравили ли сте вече какво е това?).

И така, къде е някакво число.

Вече знаем производната на функцията, така че нека се опитаме да намалим нашата функция до нова основа:

За това ще използваме просто правило: . След това:

Е, проработи. Сега опитайте да намерите производната и не забравяйте, че тази функция е сложна.

Подейства ли?

Ето, проверете сами:

Формулата се оказа много подобна на производната на експонента: както беше, остава същата, само се появи фактор, който е просто число, но не и променлива.

Примери:
Намерете производните на функциите:

Отговори:

Това е просто число, което не може да се изчисли без калкулатор, тоест не може да се запише повече в проста форма. Затова го оставяме в този вид в отговора.

Производна на логаритмична функция

Тук е подобно: вече знаете производната на естествения логаритъм:

Следователно, за да намерите произволен логаритъм с различна основа, например:

Трябва да намалим този логаритъм до основата. Как се променя основата на логаритъм? Надявам се, че помните тази формула:

Само сега вместо това ще напишем:

Знаменателят е просто константа (постоянно число, без променлива). Производната се получава много просто:

Производни на експоненциална и логаритмични функциипочти никога не се появяват в Единния държавен изпит, но няма да навреди да ги знаете.

Производна на сложна функция.

Какво е "сложна функция"? Не, това не е логаритъм и не е арктангенс. Тези функции могат да бъдат трудни за разбиране (въпреки че ако намирате логаритъма за труден, прочетете темата „Логаритми“ и ще се оправите), но от математическа гледна точка думата „комплексен“ не означава „труден“.

Представете си малка конвейерна лента: двама души седят и извършват някакви действия с някакви предмети. Например, първият увива шоколадово блокче в обвивка, а вторият го завързва с панделка. Резултатът е съставен обект: шоколадово блокче, увито и завързано с панделка. За да ядете шоколад, трябва да направите обратни действия V обратен ред.

Нека създадем подобен математически конвейер: първо ще намерим косинуса на число и след това ще повдигнем на квадрат полученото число. И така, получаваме число (шоколад), аз намирам неговия косинус (обвивка), а след това вие повдигате на квадрат полученото (завързвате го с панделка). какво стана функция. Това е пример сложна функция: когато, за да намерим нейната стойност, извършваме първото действие директно с променливата и след това второ действие с резултата от първото.

Можем лесно да направим същите стъпки в обратен ред: първо го повдигате на квадрат, а аз след това търся косинуса на полученото число: . Лесно е да се досетите, че резултатът почти винаги ще бъде различен. Важна характеристикасложни функции: когато редът на действията се промени, функцията се променя.

С други думи, сложна функция е функция, чийто аргумент е друга функция: .

За първия пример,.

Втори пример: (същото нещо). .

Действието, което извършваме последно, ще бъде извикано "външна" функция, а първо извършеното действие - съотв "вътрешна" функция(това са неофициални имена, използвам ги само за да обясня материала на прост език).

Опитайте се да определите сами коя функция е външна и коя вътрешна:

Отговори:Разделянето на вътрешни и външни функции е много подобно на промяната на променливи: например във функция

1. Какво действие ще извършим първо? Първо, нека изчислим синуса и едва след това го кубираме. Това означава, че това е вътрешна функция, но външна.
   И първоначалната функция е тяхната композиция: .
2. Вътрешен: ; външен: .
   Изпит:.
3. Вътрешен: ; външен: .
   Изпит:.
4. Вътрешен: ; външен: .
   Изпит:.
5. Вътрешен: ; външен: .
   Изпит:.

Променяме променливи и получаваме функция.

Е, сега ще извлечем нашето шоколадово блокче и ще потърсим производната. Процедурата винаги е обратна: първо търсим производната външна функция, след това умножете резултата по производната на вътрешната функция. Във връзка с оригиналния пример изглежда така:

Друг пример:

И така, нека най-накрая формулираме официалното правило:

Алгоритъм за намиране на производната на сложна функция:

Изглежда просто, нали?

Нека проверим с примери:

Решения:

1) Вътрешен: ;

Външен: ;

2) Вътрешен: ;

(само не се опитвайте да го отрежете досега! Нищо не излиза изпод косинуса, помните ли?)

3) Вътрешен: ;

Външен: ;

Веднага става ясно, че това е сложна функция на три нива: в крайна сметка това вече е сложна функция сама по себе си и ние също извличаме корена от нея, тоест извършваме третото действие (поставяме шоколада в обвивка и с панделка в куфарчето). Но няма причина да се страхувате: ние все пак ще „разопаковаме“ тази функция в същия ред, както обикновено: от края.

Тоест, първо диференцираме корена, след това косинуса и едва след това израза в скоби. И след това умножаваме всичко.

В такива случаи е удобно действията да се номерират. Тоест нека си представим това, което знаем. В какъв ред ще извършим действия за изчисляване на стойността на този израз? Да разгледаме един пример:

Колкото по-късно се извърши действието, толкова по-„външна“ ще бъде съответната функция. Последователността на действията е същата като преди:

Тук гнезденето обикновено е 4-степенно. Нека да определим реда на действие.

1. Радикален израз. .

2. Корен. .

3. Синус. .

4. Квадрат. .

5. Събираме всичко заедно:

ПРОИЗВОДНО. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНОТО

Производна на функция- отношението на нарастването на функцията към увеличението на аргумента за безкрайно малко увеличение на аргумента:

Основни производни:

Правила за диференциация:

Константата се изважда от знака за производна:

Производна на сумата:

Производно на продукта:

Производна на коефициента:

Производна на сложна функция:

Алгоритъм за намиране на производната на сложна функция:

1. Дефинираме „вътрешната“ функция и намираме нейната производна.
2. Дефинираме „външната“ функция и намираме нейната производна.
3. Умножаваме резултатите от първа и втора точка.

След предварителна артилерийска подготовка, примерите с 3-4-5 влагане на функции ще бъдат по-малко страшни. Може би следващите два примера ще изглеждат сложни за някои, но ако ги разберете (някой ще пострада), тогава почти всичко останало в диференциално смятанеЩе изглежда като детска шега.

Пример 2

Намерете производната на функция

Както вече беше отбелязано, при намиране на производната на сложна функция, на първо място, е необходимо вярноРАЗБЕРЕТЕ вашите инвестиции. В случаите, когато има съмнения, напомням полезен трик: вземаме експерименталната стойност на „x“ например и се опитваме (мислено или в чернова) да заменим дадена стойноств "ужасно изражение".

1) Първо трябва да изчислим израза, което означава, че сумата е най-дълбокото вграждане.

2) След това трябва да изчислите логаритъма:

4) След това кубирайте косинуса:

5) На петата стъпка разликата:

6) И накрая, най-външната функция е корен квадратен:

Формула за диференциране на сложна функция се прилагат в обратен ред, от най-външната функция към най-вътрешната. Ние решаваме:

Изглежда без грешки:

1) Вземете производната на корен квадратен.

2) Вземете производната на разликата, като използвате правилото

3) Производната на тройка е нула. Във втория член вземаме производната на степента (куб).

4) Вземете производната на косинуса.

6) И накрая, вземаме производната на най-дълбокото вграждане.

Може да изглежда твърде трудно, но това не е най-жестокият пример. Вземете например колекцията на Кузнецов и ще оцените цялата красота и простота на анализираната производна. Забелязах, че обичат да дават подобно нещо на изпит, за да проверят дали студентът разбира как се намира производната на сложна функция или не разбира.

Следващият пример е за независимо решение.

Пример 3

Намерете производната на функция

Съвет: Първо прилагаме правилата за линейност и правилото за диференциране на продукта

Пълно решение и отговор в края на урока.

Време е да преминем към нещо по-малко и по-хубаво.
Не е необичайно примерът да показва произведението на не две, а три функции. Как да намерим производната на продукти от тримножители?

Пример 4

Намерете производната на функция

Първо, нека видим дали е възможно да превърнем произведението на три функции в произведение на две функции? Например, ако имаме два полинома в произведението, тогава можем да отворим скобите. Но в разглеждания пример всички функции са различни: степен, степен и логаритъм.

В такива случаи е необходимо последователноприложете правилото за диференциране на продукта два пъти

Номерът е, че с “y” означаваме произведението на две функции: , а с “ve” означаваме логаритъма: . Защо може да се направи това? Наистина ли е - това не е произведение на два фактора и правилото не работи?! Няма нищо сложно:

Сега остава правилото да се приложи втори път в скоби:

Все още може да бъдете перверзни и да извадите нещо извън скоби, но навътре в този случайПо-добре е да оставите отговора в тази форма - ще бъде по-лесно да се провери.

Разглежданият пример може да бъде решен по втория начин:

И двете решения са абсолютно равностойни.

Пример 5

Намерете производната на функция

Това е пример за независимо решение; в примера се решава по първия метод.

Нека да разгледаме подобни примери с дроби.

Пример 6

Намерете производната на функция

Има няколко начина, по които можете да отидете тук:

Или така:

Но решението ще бъде написано по-компактно, ако първо използваме правилото за диференциране на частното , като се вземе за целия числител:

По принцип примерът е решен и ако се остави така, няма да е грешка. Но ако имате време, винаги е препоръчително да проверите черновата, за да видите дали отговорът може да бъде опростен?

Нека намалим израза на числителя до общ знаменатели се отървете от триетажната част:

Недостатъкът на допълнителните опростявания е, че съществува риск от грешка не при намиране на производната, а при банални училищни трансформации. От друга страна, учителите често отхвърлят задачата и искат да „напомнят“ производната.

По-прост пример за самостоятелно решаване:

Пример 7

Намерете производната на функция

Продължаваме да овладяваме методите за намиране на производната и сега ще разгледаме типичен случай, когато за диференциране се предлага „ужасен“ логаритъм

И теоремата за производната на сложна функция, чиято формулировка е следната:

Нека 1) функцията $u=\varphi (x)$ има в някакъв момент $x_0$ производната $u_(x)"=\varphi"(x_0)$, 2) функцията $y=f(u)$ имам при съответна точка$u_0=\varphi (x_0)$ производно $y_(u)"=f"(u)$. Тогава комплексната функция $y=f\left(\varphi (x) \right)$ в споменатата точка също ще има производна, равно на произведениетопроизводни на функциите $f(u)$ и $\varphi (x)$:

$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \right)\cdot \varphi"(x_0) $$

или в по-кратка нотация: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.

В примерите в този раздел всички функции имат формата $y=f(x)$ (т.е. разглеждаме само функции на една променлива $x$). Съответно във всички примери производната $y"$ се взема по отношение на променливата $x$. За да се подчертае, че производната се взема по отношение на променливата $x$, $y"_x$ често се пише вместо $y "$.

Примери № 1, № 2 и № 3 схема подробен процеснамиране на производната на сложни функции. Пример № 4 е предназначен за по-пълно разбиране на производната таблица и има смисъл да се запознаете с нея.

Препоръчително е след изучаване на материала в примери № 1-3 да се премине към самостоятелно решаване на примери № 5, № 6 и № 7. Примери № 5, № 6 и № 7 съдържат кратко решениеза да може читателят да провери правилността на неговия резултат.

Пример №1

Намерете производната на функцията $y=e^(\cos x)$.

Трябва да намерим производната на сложна функция $y"$. Тъй като $y=e^(\cos x)$, тогава $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$. За да намираме производната $ \left(e^(\cos x)\right)"$ използваме формула № 6 от таблицата с производни. За да използваме формула № 6, трябва да вземем предвид, че в нашия случай $u=\cos x$. Следващото решение се състои в просто заместване на израза $\cos x$ вместо $u$ във формула № 6:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \tag (1.1)$$

Сега трябва да намерим стойността на израза $(\cos x)"$. Обръщаме се отново към таблицата с производни, избирайки формула № 10 от нея. Замествайки $u=x$ във формула № 10, имаме : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$ Сега нека продължим равенството (1.1), допълвайки го с намерения резултат:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \tag (1.2) $$

Тъй като $x"=1$, продължаваме равенството (1.2):

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$

И така, от равенство (1.3) имаме: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$. Естествено, обясненията и междинните равенства обикновено се пропускат, записвайки намирането на производната в един ред, както в равенството ( 1.3) И така, производната на комплексната функция е намерена, остава само да запишем отговора.

отговор: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.

Пример №2

Намерете производната на функцията $y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$.

Трябва да изчислим производната $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Като начало отбелязваме, че константата (т.е. числото 9) може да бъде извадена от знака за производна:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)" \tag (2.1) $$

Сега нека се обърнем към израза $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. За да изберете необходимата формулаот таблицата с производни беше по-лесно, ще представя въпросния израз в тази форма: $\left(\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. Сега е ясно, че е необходимо да се използва формула № 2, т.е. $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$ =\arctg(4) в тази формула \cdot \ln x)$ и $\alpha=12$:

Допълвайки равенството (2.1) с получения резултат, имаме:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \tag (2.2) $$

В тази ситуация често се допуска грешка, когато решаващият на първата стъпка избере формулата $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ вместо формулата $\left(u^\ alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Въпросът е, че производната на външната функция трябва да е на първо място. За да разберете коя функция ще бъде външна за израза $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$, представете си, че изчислявате стойността на израза $\arctg^(12)(4\cdot 5^ x)$ при някаква стойност $x$. Първо ще изчислите стойността на $5^x$, след това ще умножите резултата по 4, получавайки $4\cdot 5^x$. Сега вземаме аркутангенса от този резултат, получавайки $\arctg(4\cdot 5^x)$. След това повдигаме полученото число на дванадесета степен, получавайки $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$. Последно действие, - т.е. повдигането на степен 12 ще бъде външна функция. И именно от това трябва да започнем да намираме производната, което беше направено в равенство (2.2).

Сега трябва да намерим $(\arctg(4\cdot \ln x))"$. Използваме формула № 19 от таблицата с производни, като заместваме $u=4\cdot \ln x$ в нея:

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Нека опростим малко получения израз, като вземем предвид $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$.

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Равенството (2.2) сега ще стане:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" \tag (2.3) $$

Остава да намерим $(4\cdot \ln x)"$. Нека извадим константата (т.е. 4) от знака за производна: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x)" $. За да намерим $(\ln x)"$, използваме формула № 8, като заместваме $u=x$ в нея: $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x "$. Тъй като $x"=1$, тогава $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x ) $ Замествайки получения резултат във формула (2.3), получаваме:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)).

Нека ви напомня, че производната на сложна функция най-често се намира в един ред, както е написано в последното равенство. Следователно, когато се изготвят стандартни изчисления или тестовеИзобщо не е необходимо решението да се описва толкова подробно.

отговор: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.

Пример №3

Намерете $y"$ на функцията $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$.

Първо, нека леко трансформираме функцията $y$, изразявайки радикала (корен) като степен: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9 ^x) \right)^(\frac(3)(7))$. Сега нека започнем да намираме производната. Тъй като $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$, тогава:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)" \tag (3.1) $$

Нека използваме формула № 2 от таблицата с производни, като заместим в нея $u=\sin(5\cdot 9^x)$ и $\alpha=\frac(3)(7)$:

$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$

Нека продължим равенството (3.1), използвайки получения резултат:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \tag (3.2) $$

Сега трябва да намерим $(\sin(5\cdot 9^x))"$. За целта използваме формула № 9 от таблицата с производни, като заместваме $u=5\cdot 9^x$ в нея:

$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$

Като допълним равенството (3.2) с получения резултат, имаме:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)" \tag (3.3) $$

Остава да намерим $(5\cdot 9^x)"$. Първо, нека вземем константата (числото $5$) извън знака за производна, т.е. $(5\cdot 9^x)"=5\cdot (9 ^x) "$. За да намерите производната $(9^x)"$, приложете формула № 5 от таблицата с производни, като заместите $a=9$ и $u=x$ в нея: $(9^x) )"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. Тъй като $x"=1$, тогава $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. Сега можем да продължим равенството (3.3):

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$

Можем отново да се върнем от степени към радикали (т.е. корени), записвайки $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ във формата $\ frac(1)(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^x)))$. Тогава производната ще бъде записана в следната форма:

$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))).

отговор: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^x)))$.

Пример №4

Покажете, че формули № 3 и № 4 от таблицата на производните са специален случайформули № 2 от тази таблица.

Формула № 2 от таблицата с производни съдържа производната на функцията $u^\alpha$. Замествайки $\alpha=-1$ във формула №2, получаваме:

$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\tag (4.1)$$

Тъй като $u^(-1)=\frac(1)(u)$ и $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$, тогава равенството (4.1) може да бъде пренаписано както следва: $ \left(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. Това е формула № 3 от таблицата с производни.

Нека се обърнем отново към формула № 2 от таблицата на производните. Нека заместим $\alpha=\frac(1)(2)$ в него:

$$\left(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag (4.2) $$

Тъй като $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ и $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1 )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$, тогава равенството (4.2) може да бъде пренаписано както следва:

$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$

Полученото равенство $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ е формула № 4 от таблицата с производни. Както можете да видите, формули № 3 и № 4 от таблицата с производни се получават от формула № 2 чрез заместване на съответната $\alpha$ стойност.

В тази статия ще говорим за такава важна математическа концепция като сложна функция и ще научим как да намираме производната на сложна функция.

Преди да се научим да намираме производната на сложна функция, нека разберем концепцията за сложна функция, какво представлява тя, „с какво се яде“ и „как да се готви правилно“.

Нека помислим произволна функция, например така:

Обърнете внимание, че аргументът от дясната и лявата страна на уравнението на функцията е едно и също число или израз.

Вместо променлива можем да поставим например следния израз: . И тогава получаваме функцията

Нека наречем израза междинен аргумент, а функцията външна функция. Не е строго математически понятия, но те помагат да се разбере значението на понятието сложна функция.

Строгото определение на концепцията за сложна функция звучи така:

Нека функцията е дефинирана на набор и е множеството от стойности на тази функция. Нека множеството (или неговото подмножество) е областта на дефиниране на функцията. Нека зададем номер на всеки от тях. Така функцията ще бъде дефинирана на множеството. Нарича се функционална композиция или комплексна функция.

В тази дефиниция, ако използваме нашата терминология, външна функция е междинен аргумент.

Производната на сложна функция се намира по следното правило:

За да стане по-ясно, искам да напиша това правило, както следва:

В този израз използването означава междинна функция.

И така. За да намерите производната на сложна функция, трябва

1. Определете коя функция е външна и намерете съответната производна от таблицата с производни.

2. Дефинирайте междинен аргумент.

При тази процедура най-голямата трудност е намирането на външната функция. За това се използва прост алгоритъм:

А. Запишете уравнението на функцията.

b. Представете си, че трябва да изчислите стойността на функция за някаква стойност на x. За да направите това, замествате тази стойност на x в уравнението на функцията и произвеждате аритметични операции. Последното действие, което правите, е външната функция.

Например във функцията

Последното действие е степенуване.

Нека намерим производната на тази функция. За да направим това, ние пишем междинен аргумент

Дадени са примери за изчисляване на производни по формулата за производна на сложна функция.

Тук даваме примери за изчисляване на производни на следните функции:
; ; ; ; .

Ако една функция може да бъде представена като сложна функция в следната форма:
,
тогава неговата производна се определя по формулата:
.
В примерите по-долу ще запишем тази формула, както следва:
.
Къде .
Тук индексите или , разположени под знака за производна, означават променливите, по които се извършва диференциацията.

Обикновено в таблиците с производни се дават производни на функции от променливата x.

Въпреки това, x е формален параметър. Променливата x може да бъде заменена с всяка друга променлива. Следователно, когато диференцираме функция от променлива, ние просто променяме в таблицата с производни променливата x на променливата u.

Прости примери

Пример 1
.

Намерете производната на сложна функция

Решение Нека го запишемдадена функция
.
в еквивалентна форма:
;
.

В таблицата с производни намираме:
.
Според формулата за производна на сложна функция имаме:

Тук.

отговор

Пример 2
.

Намерете производната на сложна функция

Намерете производната
.

.
Според формулата за производна на сложна функция имаме:

Тук.

Изваждаме константата 5 от знака за производна и от таблицата с производни намираме:

Пример 3
.

Намерете производната на сложна функция

Намерете производната -1 Изваждаме константа
;
за знака на производната и от таблицата на производните намираме:
.

От таблицата на производните намираме:
.
Според формулата за производна на сложна функция имаме:

Тук.

Прилагаме формулата за производна на сложна функция:

По-сложни примери В повечесложни примери прилагаме правилото за диференциране на сложна функция няколко пъти. В този случай изчисляваме производната от края. Тоест, ние разделяме функцията на нейните съставни части и намираме производните на най-простите части, използвайкитаблица с производни . Ние също използвамеправила за диференциране на суми

, продукти и фракции. След това правим замествания и прилагаме формулата за производната на сложна функция.

Пример 3
.

Намерете производната на сложна функция

Пример 4 Нека подчертаем най-многопроста част

.
формула и намерете нейната производна. .
.

Тук сме използвали нотацията
.

Намираме производната на следващата част от оригиналната функция, използвайки получените резултати. Прилагаме правилото за диференциране на сбора:

.
Според формулата за производна на сложна функция имаме:

Тук.

Още веднъж прилагаме правилото за диференциране на сложни функции.

Пример 5
.

Намерете производната на сложна функция

Намерете производната на функцията

Нека изберем най-простата част от формулата и да намерим нейната производна от таблицата с производни. .
.
Прилагаме правилото за диференциране на сложни функции.
.