Как да намерим координатите на средата на сегмент от дължината на вектор. Намиране на координатите на средата на отсечка: примери, решения

В тази статия ще започнем да обсъждаме една „вълшебна пръчка“, която ще ви позволи да намалите много геометрични проблеми до проста аритметика. Тази „пръчка” може много да улесни живота ви, особено когато се чувствате несигурни в конструирането на пространствени фигури, разрези и т.н. Всичко това изисква известно въображение и практически умения. Методът, който ще започнем да разглеждаме тук, ще ви позволи почти напълно да се абстрахирате от всички видове геометрични конструкции и разсъждения. Методът се нарича "координативен метод". В тази статия ще разгледаме следните въпроси:

1. Координатна равнина
2. Точки и вектори на равнината
3. Построяване на вектор от две точки
4. Дължина на вектора (разстояние между две точки).
5. Координати на средата на сегмента
6. Точково произведение на вектори
7. Ъгъл между два вектора

Мисля, че вече се досетихте защо координатният метод се нарича така? Точно така, получи това име, защото оперира не с геометрични обекти, а с техните числени характеристики (координати). А самата трансформация, която ни позволява да преминем от геометрия към алгебра, се състои във въвеждането на координатна система. Ако оригиналната фигура е плоска, тогава координатите са двуизмерни, а ако фигурата е триизмерна, тогава координатите са триизмерни. В тази статия ще разгледаме само двумерния случай. И основната цел на статията е да ви научи как да използвате някои основни техники на координатния метод (те понякога се оказват полезни при решаване на задачи по планиметрия в част Б на Единния държавен изпит). Следващите два раздела по тази тема са посветени на обсъждане на методите за решаване на задачи C2 (проблемът на стереометрията).

Къде би било логично да започнем обсъждането на метода на координатите? Вероятно от концепцията за координатна система. Спомнете си кога я срещнахте за първи път. Струва ми се, че в 7 клас, когато научихте за съществуването на линейна функция, например. Нека ви напомня, че го изградихте точка по точка. помниш ли Избрали сте произволно число, заменили сте го във формулата и сте го изчислили по този начин. Например ако, тогава, ако, тогава и т.н. Какво получихте в крайна сметка? И получихте точки с координати: и. След това нарисувате „кръст“ (координатна система), избирате върху него мащаб (колко клетки ще имате като единичен сегмент) и отбелязвате точките, които сте получили върху него, които след това свързвате с права линия; линия е графиката на функцията.

Тук има няколко точки, които трябва да ви бъдат обяснени малко по-подробно:

1. Избирате един сегмент от съображения за удобство, така че всичко да пасне красиво и компактно в чертежа

2. Прието е оста да върви отляво надясно, а оста да върви отдолу нагоре

3. Те се пресичат под прав ъгъл, а точката на тяхното пресичане се нарича начало. Обозначава се с буква.

4. При изписване на координатите на точка, например, отляво в скоби има координатата на точката по оста, а отдясно по оста. По-специално, това просто означава, че в точката

5. За да посочите която и да е точка на координатната ос, трябва да посочите нейните координати (2 числа)

6. За всяка точка, лежаща на оста,

7. За всяка точка, лежаща на оста,

8. Оста се нарича ос x

9. Оста се нарича у-ос

Сега нека направим следващата стъпка: маркирайте две точки. Нека свържем тези две точки с отсечка. И ще поставим стрелката, сякаш рисуваме сегмент от точка до точка: тоест ще направим нашия сегмент насочен!

Помните ли как се нарича друг насочен сегмент? Точно така, нарича се вектор!

Така че, ако свържем точка с точка, и началото ще бъде точка А, а краят ще бъде точка Б,тогава получаваме вектор. Вие също сте правили тази конструкция в 8 клас, помните ли?

Оказва се, че векторите, подобно на точките, могат да бъдат обозначени с две числа: тези числа се наричат ​​векторни координати. Въпрос: Смятате ли, че е достатъчно да знаем координатите на началото и края на един вектор, за да намерим неговите координати? Оказва се, че да! И това се прави много просто:

Така, тъй като във вектор точката е началото, а краят е краят, векторът има следните координати:

Например, ако, тогава координатите на вектора

Сега нека направим обратното, да намерим координатите на вектора. Какво трябва да променим за това? Да, трябва да размените началото и края: сега началото на вектора ще бъде в точката, а краят ще бъде в точката. След това:

Погледнете внимателно, каква е разликата между векторите и? Единствената им разлика са знаците в координатите. Те са противоположности. Този факт обикновено се записва така:

Понякога, ако не е специално посочено коя точка е началото на вектора и коя е краят, тогава векторите се означават не с две главни букви, а с една малка буква, например: и т.н.

Сега малко практикасебе си и намерете координатите на следните вектори:

преглед:

Сега решете един малко по-сложен проблем:

Вектор с начало в точка има co-or-di-na-you. Намерете точките abs-cis-su.

Всичко това е доста прозаично: Нека са координатите на точката. Тогава

Компилирах системата въз основа на дефиницията какво представляват векторните координати. Тогава точката има координати. Интересуваме се от абсцисата. Тогава

отговор:

Какво друго можете да правите с вектори? Да, почти всичко е същото като с обикновените числа (с изключение на това, че не можете да разделите, но можете да умножите по два начина, единият от които ще обсъдим тук малко по-късно)

1. Векторите могат да се добавят един към друг
2. Векторите могат да се изваждат един от друг
3. Векторите могат да бъдат умножени (или разделени) по произволно различно от нула число
4. Векторите могат да се умножават един по друг

Всички тези операции имат много ясно геометрично представяне. Например правилото на триъгълника (или успоредника) за събиране и изваждане:

Векторът се разтяга, свива или променя посоката си, когато се умножи или раздели на число:

Тук обаче ще ни интересува въпросът какво се случва с координатите.

1. Когато събираме (изваждаме) два вектора, добавяме (изваждаме) техните координати елемент по елемент. това е:

2. При умножаване (разделяне) на вектор с число, всичките му координати се умножават (разделят) на това число:

Например:

· Намерете количеството co-or-di-nat century-to-ra.

Нека първо намерим координатите на всеки от векторите. И двете имат един и същ произход - началната точка. Краищата им са различни. Тогава, . Сега нека изчислим координатите на вектора. Тогава сумата от координатите на получения вектор е равна.

отговор:

Сега решете сами следния проблем:

· Намерете сумата от векторни координати

Ние проверяваме:

Нека сега разгледаме следната задача: имаме две точки на координатната равнина. Как да намерим разстоянието между тях? Нека първата точка е и втората. Нека означим разстоянието между тях с. Нека направим следния чертеж за по-голяма яснота:

какво направих Първо, свързах точките и също така от точката начертах линия, успоредна на оста, а от точката начертах линия, успоредна на оста. Дали са се пресичали в точка, образувайки забележителна фигура? Какво й е специалното? Да, вие и аз знаем почти всичко за правоъгълния триъгълник. Е, Питагоровата теорема със сигурност. Търсеният сегмент е хипотенузата на този триъгълник, а сегментите са краката. Какви са координатите на точката? Да, лесно се намират от картинката: Тъй като отсечките са успоредни на осите и съответно дължините им се намират лесно: ако означим дължините на отсечките съответно с, то

Сега нека използваме Питагоровата теорема. Знаем дължините на краката, ще намерим хипотенузата:

По този начин разстоянието между две точки е корен от сумата на квадратите на разликите от координатите. Или - разстоянието между две точки е дължината на отсечката, която ги свързва.

Лесно се вижда, че разстоянието между точките не зависи от посоката. След това:

Оттук правим три извода:

Нека се упражним малко за изчисляване на разстоянието между две точки:

Например, ако, тогава разстоянието между и е равно на

Или да отидем по друг начин: да намерим координатите на вектора

И намерете дължината на вектора:

Както можете да видите, това е едно и също!

Сега упражнете малко себе си:

Задача: намерете разстоянието между посочените точки:

Ние проверяваме:

Ето още няколко задачи, използващи същата формула, въпреки че звучат малко по-различно:

1. Намерете квадрата на дължината на клепача.

2. Намерете квадрата на дължината на клепача

Мисля, че се справихте с тях без затруднения? Ние проверяваме:

1. И това е за внимание) Вече намерихме координатите на векторите по-рано: . Тогава векторът има координати. Квадратът на неговата дължина ще бъде равен на:

2. Намерете координатите на вектора

Тогава квадратът на неговата дължина е

Нищо сложно, нали? Проста аритметика, нищо повече.

1. Следващите проблеми не могат да бъдат класифицирани еднозначно;

Намерете синуса на ъгъла от разреза, свързващ точката с абсцисната ос.

И

Как ще процедираме тук? Трябва да намерим синуса на ъгъла между и оста. Къде можем да търсим синус? Точно така, в правоъгълен триъгълник. И така, какво трябва да направим? Изградете този триъгълник!

Какво ни остава да правим? Намерете хипотенузата. Можете да направите това по два начина: като използвате Питагоровата теорема (краката са известни!) или като използвате формулата за разстоянието между две точки (всъщност, същото като първия метод!). Ще тръгна по втория път:

отговор:

Следващата задача ще ви се стори още по-лесна. Тя е на координатите на точката.

Задача 2.От точката per-pen-di-ku-lyar се спуска върху оста на ab-ciss. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Да направим чертеж:

Основата на перпендикуляра е точката, в която той пресича оста x (ос), за мен това е точка. Фигурата показва, че има координати: . Интересуваме се от абсцисата - тоест компонентът "x". Тя е равна.

отговор: .

Задача 3.В условията на предишната задача намерете сумата от разстоянията от точката до координатните оси.

Задачата като цяло е елементарна, ако знаеш какво е разстоянието от точка до осите. знаеш ли Надявам се, но все пак ще ви напомня:

И така, в моя чертеж точно по-горе, начертах ли вече един такъв перпендикуляр? На коя ос е? Към оста. И каква е дължината му тогава? Тя е равна. Сега сами начертайте перпендикуляр на оста и намерете дължината му. Ще бъде равно, нали? Тогава сборът им е равен.

отговор: .

Задача 4.В условията на задача 2 намерете ординатата на точка, симетрична на точката спрямо абсцисната ос.

Мисля, че интуитивно ви е ясно какво е симетрия? Имат го много обекти: много сгради, маси, самолети, много геометрични фигури: топка, цилиндър, квадрат, ромб и т.н. Грубо казано, симетрията може да се разбира по следния начин: една фигура се състои от две (или повече) еднакви половини. Тази симетрия се нарича аксиална симетрия. Какво тогава е ос? Това е точно линията, по която фигурата може, условно казано, да бъде "разрязана" на равни половини (на тази снимка оста на симетрия е права):

Сега да се върнем към нашата задача. Знаем, че търсим точка, която е симетрична спрямо оста. Тогава тази ос е оста на симетрия. Това означава, че трябва да отбележим точка, така че оста да разрязва сегмента на две равни части. Опитайте се сами да маркирате такава точка. Сега сравнете с моето решение:

По същия начин ли се получи и при вас? Добре! Интересува ни ординатата на намерената точка. То е равно

отговор:

Сега ми кажете, след като помислих няколко секунди, каква ще бъде абсцисата на точка, симетрична на точка А спрямо ординатната ос? какъв е вашият отговор Правилен отговор:.

Най-общо правилото може да се напише така:

Точка, симетрична на точка спрямо абсцисната ос, има координатите:

Точка, симетрична на точка спрямо ординатната ос, има координати:

Е, сега е напълно страшно задача: намерете координатите на точка, симетрична на точката спрямо началото. Вие първо помислете за себе си, а след това погледнете моята рисунка!

отговор:

Сега задача с успоредник:

Задача 5: Точките се появяват ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Намерете или-ди-на-тази точка.

Можете да решите този проблем по два начина: логически и координатен метод. Първо ще използвам метода на координатите и след това ще ви кажа как можете да го решите по различен начин.

Съвсем ясно е, че абсцисата на точката е равна. (лежи върху перпендикуляра, прекаран от точката към абсцисната ос). Трябва да намерим ординатата. Нека се възползваме от факта, че нашата фигура е успоредник, това означава, че. Нека намерим дължината на отсечката, използвайки формулата за разстоянието между две точки:

Спускаме перпендикуляра, свързващ точката с оста. Ще обознача пресечната точка с буква.

Дължината на отсечката е равна. (намерете проблема сами там, където обсъждахме тази точка), тогава ще намерим дължината на сегмента, използвайки Питагоровата теорема:

Дължината на сегмента съвпада точно с неговата ордината.

отговор: .

Друго решение (просто ще дам снимка, която го илюстрира)

Напредък на решението:

1. Поведение

2. Намерете координатите на точката и дължината

3. Докажете това.

Още един проблем с дължината на сегмента:

Точките се появяват на върха на триъгълника. Намерете дължината на средната му линия, успоредна.

Помните ли коя е средната линия на триъгълник? Тогава тази задача е елементарна за вас. Ако не си спомняте, ще ви напомня: средната линия на триъгълник е линията, която свързва средните точки на противоположните страни. Тя е успоредна на основата и равна на половината от нея.

Основата е сегмент. Трябваше да търсим дължината му по-рано, тя е равна. Тогава дължината на средната линия е наполовина по-голяма и равна.

отговор: .

Коментар: този проблем може да бъде решен по друг начин, който ще разгледаме малко по-късно.

Междувременно, ето няколко задачи за вас, практикувайте с тях, те са много прости, но ви помагат да станете по-добри в използването на метода на координатите!

1. Точките са върха на тра-пе-циите. Намерете дължината на средната му линия.

2. Точки и изяви ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Намерете или-ди-на-тази точка.

3. Намерете дължината от разреза, свързвайки точката и

4. Намерете площта зад оцветената фигура на координатната равнина.

5. През точката минава кръг с център на-ча-ле ко-ор-ди-нат. Намерете я ra-di-us.

6. Намерете-di-te ra-di-us на кръга, опишете-san-noy за правия ъгъл-no-ka, върховете на нещо имат ко-или -di-na-ти си толкова отговорен

Решения:

1. Известно е, че средната линия на трапец е равна на половината от сбора на неговите основи. Основата е равна, а основата. Тогава

отговор:

2. Най-лесният начин да решите тази задача е да отбележите това (правилото на успоредника). Изчисляването на координатите на векторите не е трудно: . При добавяне на вектори се добавят координатите. Тогава има координати. Точката също има тези координати, тъй като началото на вектора е точката с координатите. Интересуваме се от ординатата. Тя е равна.

отговор:

3. Веднага действаме по формулата за разстоянието между две точки:

отговор:

4. Погледнете снимката и ми кажете между кои две фигури е „притисната“ защрихованата област? Той е притиснат между два квадрата. Тогава площта на желаната фигура е равна на площта на големия квадрат минус площта на малкия. Страната на малък квадрат е сегмент, свързващ точките, а дължината му е

Тогава площта на малкия квадрат е

Правим същото с голям квадрат: страната му е сегмент, свързващ точките, а дължината му е

Тогава площта на големия квадрат е

Намираме площта на желаната фигура по формулата:

отговор:

5. Ако окръжност има начало като център и минава през точка, тогава нейният радиус ще бъде точно равен на дължината на отсечката (начертайте и ще разберете защо това е очевидно). Нека намерим дължината на този сегмент:

отговор:

6. Известно е, че радиусът на окръжност, описана около правоъгълник, е равен на половината от неговия диагонал. Нека намерим дължината на който и да е от двата диагонала (все пак в правоъгълник те са равни!)

отговор:

Е, справихте ли се с всичко? Не беше много трудно да го разбера, нали? Тук има само едно правило - можете да направите визуална картина и просто да „четете“ всички данни от нея.

Остава ни много малко. Има буквално още две точки, които бих искал да обсъдя.

Нека се опитаме да разрешим този прост проблем. Нека две точки и да бъдат дадени. Намерете координатите на средата на отсечката. Решението на този проблем е следното: нека точката е желаната среда, тогава тя има координати:

това е: координати на средата на сегмента = средноаритметичната стойност на съответните координати на краищата на сегмента.

Това правило е много просто и обикновено не създава затруднения на учениците. Нека да видим при какви проблеми и как се използва:

1. Find-di-te or-di-na-tu se-re-di-ny from-cut, connect-the-point и

2. Точките изглеждат върховете на света. Find-di-te or-di-na-tu точки per-re-se-che-niya на неговия dia-go-na-ley.

3. Намерете-di-te abs-cis-su център на кръга, опишете-san-noy за правоъгълната-no-ka, върховете на нещо имат co-or-di-na-you толкова-отговорно-но.

Решения:

1. Първият проблем е просто класически. Пристъпваме веднага към определяне на средата на сегмента. Има си координати. Ординатата е равна.

отговор:

2. Лесно се вижда, че този четириъгълник е успоредник (дори ромб!). Можете сами да докажете това, като изчислите дължините на страните и ги сравните една с друга. Какво знам за успоредниците? Диагоналите му са разделени наполовина от пресечната точка! да! И така, каква е пресечната точка на диагоналите? Това е средата на някой от диагоналите! Ще избера по-специално диагонала. Тогава точката има координати. Ординатата на точката е равна на.

отговор:

3. С какво съвпада центърът на окръжността, описана около правоъгълника? Тя съвпада с пресечната точка на неговите диагонали. Какво знаете за диагоналите на правоъгълник? Те са равни и точката на пресичане ги дели наполовина. Задачата беше намалена до предишната. Да вземем например диагонала. Тогава, ако е центърът на описаната окръжност, тогава е средната точка. Търся координати: Абсцисата е равна.

отговор:

Сега упражнявайте малко сами, аз просто ще дам отговорите на всеки проблем, за да можете да се тествате.

1. Намерете-di-te ra-di-us на кръга, опишете-san-noy за триъгълника-no-ka, върховете на нещо имат co-or-di -on-you

2. Намерете-ди-те или-ди-на-този център на кръга, опишете-сан-ной за триъгълника-но-ка, чиито върхове имат координати

3. Какъв вид ra-di-u-sa трябва да има кръг с център в точка, така че да докосва аб-цис оста?

4. Намерете-ди-тези или-ди-на-тази точка на пренасочване на оста и от изрязване, свързване на точката и

Отговори:

Всичко успешно ли беше? Силно се надявам! Сега - последния тласък. Сега бъдете особено внимателни. Материалът, който сега ще обясня, е пряко свързан не само с прости задачи по координатния метод от част B, но също така се намира навсякъде в задача C2.

Кое от обещанията си все още не съм спазил? Помните ли какви операции върху вектори обещах да въведа и кои в крайна сметка въведох? Сигурен ли си, че не съм забравил нищо? забравих! Забравих да обясня какво означава векторно умножение.

Има два начина за умножаване на вектор по вектор. В зависимост от избрания метод ще получим обекти от различно естество:

Кръстосаното произведение е направено доста умно. Ще обсъдим как да го направим и защо е необходимо в следващата статия. И в този ще се съсредоточим върху скаларното произведение.

Има два начина, които ни позволяват да го изчислим:

Както се досещате, резултатът трябва да е същият! Така че нека първо да разгледаме първия метод:

Точково произведение чрез координати

Намерете: - общоприета нотация за скаларно произведение

Формулата за изчисление е следната:

Тоест, скаларното произведение = сумата от произведенията на векторните координати!

Пример:

Намери-ди-те

Решение:

Нека намерим координатите на всеки от векторите:

Изчисляваме скаларното произведение по формулата:

отговор:

Вижте, абсолютно нищо сложно!

Е, сега опитайте сами:

· Намерете скаларен про-из-ве-де-ние от векове и

успяхте ли Може би сте забелязали малка уловка? Да проверим:

Векторни координати, както в предишната задача! Отговор: .

В допълнение към координатния, има и друг начин за изчисляване на скаларния продукт, а именно чрез дължините на векторите и косинуса на ъгъла между тях:

Означава ъгъла между векторите и.

Тоест скаларното произведение е равно на произведението от дължините на векторите и косинуса на ъгъла между тях.

Защо ни трябва тази втора формула, ако имаме първата, която е много по-проста, поне няма косинуси в нея. И това е необходимо, за да можем от първата и втората формула вие и аз да изведем как да намерим ъгъла между векторите!

Нека Тогава си спомнете формулата за дължината на вектора!

След това, ако заместя тези данни във формулата за скаларно произведение, получавам:

Но от друга страна:

И така, какво получихме ти и аз? Вече имаме формула, която ни позволява да изчислим ъгъла между два вектора! Понякога се пише и така за краткост:

Тоест алгоритъмът за изчисляване на ъгъла между векторите е следният:

1. Изчислете скаларното произведение чрез координати
2. Намерете дължините на векторите и ги умножете
3. Разделете резултата от точка 1 на резултата от точка 2

Нека практикуваме с примери:

1. Намерете ъгъла между клепачите и. Дайте отговора на град-ду-сах.

2. В условията на предишната задача намерете косинуса между векторите

Нека направим това: аз ще ви помогна да решите първия проблем и се опитайте да направите втория сам! Съгласни ли сте? Тогава да започваме!

1. Тези вектори са наши стари приятели. Вече изчислихме тяхното скаларно произведение и беше равно. Техните координати са: , . След това намираме техните дължини:

След това търсим косинуса между векторите:

Колко е косинусът на ъгъла? Това е ъгълът.

отговор:

Е, сега решете втората задача сами и след това сравнете! Ще дам само едно много кратко решение:

2. има координати, има координати.

Нека е ъгълът между векторите и, тогава

отговор:

Трябва да се отбележи, че задачите директно върху вектори и метода на координатите в част Б на изпитната работа са доста редки. Въпреки това, по-голямата част от проблемите на C2 могат лесно да бъдат решени чрез въвеждане на координатна система. Така че можете да считате тази статия за основата, на базата на която ще направим доста умни конструкции, които ще ни трябват за решаване на сложни проблеми.

КООРДИНАТИ И ВЕКТОРИ. СРЕДНО НИВО

Вие и аз продължаваме да изучаваме метода на координатите. В последната част изведехме редица важни формули, които ви позволяват да:

1. Намерете векторни координати
2. Намерете дължината на вектор (алтернативно: разстоянието между две точки)
3. Събиране и изваждане на вектори. Умножете ги по реално число
4. Намерете средата на отсечка
5. Изчислете точково произведение на вектори
6. Намерете ъгъла между векторите

Разбира се, целият метод на координатите не се вписва в тези 6 точки. Той е в основата на такава наука като аналитичната геометрия, с която ще се запознаете в университета. Просто искам да изградя основа, която ще ви позволи да решавате проблеми в една държава. изпит. Справихме се със задачите от част Б. Сега е време да преминем на съвсем ново ниво! Тази статия ще бъде посветена на метод за решаване на тези задачи C2, при които би било разумно да се премине към метода на координатите. Тази разумност се определя от това какво се изисква да се намери в проблема и каква цифра е дадена. Така че бих използвал метода на координатите, ако въпросите са:

1. Намерете ъгъла между две равнини
2. Намерете ъгъла между права и равнина
3. Намерете ъгъла между две прави
4. Намерете разстоянието от точка до равнина
5. Намерете разстоянието от точка до права
6. Намерете разстоянието от права до равнина
7. Намерете разстоянието между две линии

Ако фигурата, дадена в формулировката на задачата, е въртеливо тяло (топка, цилиндър, конус...)

Подходящи цифри за метода на координатите са:

1. Правоъгълен паралелепипед
2. Пирамида (триъгълна, четириъгълна, шестоъгълна)

Също от моя опит е неуместно да се използва координатният метод за:

1. Намиране на площи на напречно сечение
2. Изчисляване на обеми на тела

Веднага обаче трябва да се отбележи, че трите „неблагоприятни“ ситуации за метода на координатите са доста редки на практика. В повечето задачи може да стане ваш спасител, особено ако не сте много силни в триизмерните конструкции (които понякога могат да бъдат доста сложни).

Какви са всички цифри, които изброих по-горе? Те вече не са плоски, като например квадрат, триъгълник, кръг, а обемни! Съответно трябва да разгледаме не двумерна, а триизмерна координатна система. Конструира се доста лесно: просто в допълнение към абсцисната и ординатната ос ще въведем още една ос, апликативната ос. Фигурата показва схематично тяхното взаимно разположение:

Всички те са взаимно перпендикулярни и се пресичат в една точка, която ще наричаме начало на координатите. Както и преди, ще означим абсцисната ос, ординатната ос - , а въведената апликативна ос - .

Ако преди всяка точка от равнината се характеризираше с две числа - абсцисата и ординатата, то всяка точка в пространството вече се описваше с три числа - абсцисата, ординатата и апликата. Например:

Съответно, абсцисата на точка е равна, ординатата е , а апликата е .

Понякога абсцисата на точка се нарича още проекцията на точка върху абсцисната ос, ординатата - проекцията на точка върху ординатната ос, а апликацията - проекцията на точка върху апликативната ос. Съответно, ако е дадена точка, тогава точка с координати:

наречена проекция на точка върху равнина

наречена проекция на точка върху равнина

Възниква естествен въпрос: дали всички формули, получени за двумерния случай, са валидни в пространството? Отговорът е да, те са справедливи и имат еднакъв външен вид. За една малка подробност. Мисля, че вече се досетихте коя е. Във всички формули ще трябва да добавим още един член, отговарящ за оста на приложението. А именно.

1. Ако са дадени две точки: , тогава:

• векторни координати:
• Разстояние между две точки (или дължина на вектора)
• Средната точка на сегмента има координати

2. Ако са дадени два вектора: и, тогава:

• Тяхното скаларно произведение е равно на:
• Косинусът на ъгъла между векторите е равен на:

Космосът обаче не е толкова прост. Както разбирате, добавянето на още една координата въвежда значително разнообразие в спектъра от фигури, "живеещи" в това пространство. И за по-нататъшно разказване ще трябва да въведа някакво, грубо казано, „обобщение“ на правата линия. Това „обобщение“ ще бъде равнина. Какво знаете за самолета? Опитайте се да отговорите на въпроса какво е самолет? Много е трудно да се каже. Всички ние обаче интуитивно си представяме как изглежда:

Грубо казано, това е един вид безкраен „лист“, забит в пространството. „Безкрайност“ трябва да се разбира, че равнината се простира във всички посоки, тоест нейната площ е равна на безкрайност. Това „практическо“ обяснение обаче не дава ни най-малка представа за структурата на самолета. И именно тя ще се интересува от нас.

Нека си припомним една от основните аксиоми на геометрията:

• права линия минава през две различни точки на равнина и само една:

Или негов аналог в космоса:

Разбира се, вие помните как да изведете уравнението на една права от две дадени точки; това изобщо не е трудно: ако първата точка има координати: и втората, тогава уравнението на правата ще бъде както следва:

Взехте това в 7 клас. В пространството уравнението на права линия изглежда така: нека са ни дадени две точки с координати: , тогава уравнението на правата, минаваща през тях, има формата:

Например, линия минава през точки:

Как трябва да се разбира това? Това трябва да се разбира по следния начин: точка лежи на права, ако нейните координати отговарят на следната система:

Няма да се интересуваме много от уравнението на правата, но трябва да обърнем внимание на много важната концепция за вектора на посоката на правата. - всеки ненулев вектор, лежащ на дадена права или успореден на нея.

Например и двата вектора са насочващи вектори на права линия. Позволявам да е точка, разположена на права и нека да бъде нейният насочващ вектор. Тогава уравнението на правата линия може да се напише в следния вид:

Още веднъж, няма да се интересувам много от уравнението на права линия, но наистина трябва да запомните какво е вектор на посоката! отново: това е ВСЕКИ ненулев вектор, лежащ на права или успореден на нея.

Оттегляне уравнение на равнина, базирано на три дадени точкивече не е толкова тривиален и проблемът обикновено не се разглежда в курсовете в гимназията. Но напразно! Тази техника е жизненоважна, когато прибягваме до метода на координатите за решаване на сложни проблеми. Предполагам обаче, че сте нетърпеливи да научите нещо ново? Освен това ще можете да впечатлите учителя си в университета, когато се окаже, че вече знаете как да използвате техника, която обикновено се изучава в курс по аналитична геометрия. Така че да започваме.

Уравнението на равнина не се различава много от уравнението на права линия в равнина, а именно има формата:

някои числа (не всички равни на нула), но променливи, например: и т.н. Както можете да видите, уравнението на равнина не се различава много от уравнението на права линия (линейна функция). Спомняте ли си обаче какво спорихме с вас? Казахме, че ако имаме три точки, които не лежат на една и съща права, тогава уравнението на равнината може да бъде еднозначно възстановено от тях. Но как? Ще се опитам да ви го обясня.

Тъй като уравнението на равнината е:

И точките принадлежат на тази равнина, тогава при заместване на координатите на всяка точка в уравнението на равнината трябва да получим правилната идентичност:

Следователно трябва да се решат три уравнения с неизвестни! Дилема! Винаги обаче можете да приемете, че (за да направите това, трябва да разделите на). Така получаваме три уравнения с три неизвестни:

Ние обаче няма да разрешим такава система, а ще напишем мистериозния израз, който следва от нея:

Уравнение на равнина, минаваща през дадени три точки

\[\ляво| (\begin(масив)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(масив)) \right| = 0\]

Спри! какво е това Някакъв много необичаен модул! Но обектът, който виждате пред себе си, няма нищо общо с модула. Този обект се нарича детерминанта от трети ред. Оттук нататък, когато се занимавате с метода на координатите в равнина, много често ще срещате същите тези детерминанти. Какво е детерминанта от трети ред? Колкото и да е странно, това е просто число. Остава да разберем какво конкретно число ще сравним с определителя.

Нека първо напишем детерминанта от трети ред в по-обща форма:

Къде са малко числата. Освен това под първия индекс имаме предвид номера на реда, а под индекса имаме предвид номера на колоната. Например това означава, че това число е в пресечната точка на втория ред и третата колона. Нека зададем следния въпрос: как точно ще изчислим такава детерминанта? Тоест кое конкретно число ще съпоставим с него? За детерминанта от трети ред има правило за евристичен (визуален) триъгълник, което изглежда така:

1. Произведението на елементите на главния диагонал (от горния ляв ъгъл до долния десен) Произведението на елементите, образуващи първия триъгълник, "перпендикулярен" на главния диагонал Произведението на елементите, образуващи втория триъгълник, "перпендикулярен" на главен диагонал
2. Продуктът на елементите на вторичния диагонал (от горния десен ъгъл до долния ляв) Продуктът на елементите, образуващи първия триъгълник, „перпендикулярен“ на вторичния диагонал, Продуктът на елементите, образуващи втория триъгълник, „перпендикулярен“ на вторичен диагонал
3. Тогава детерминантата е равна на разликата между стойностите, получени на стъпката и

Ако запишем всичко това в числа, получаваме следния израз:

Не е нужно обаче да помните метода на изчисление в тази форма; достатъчно е просто да запазите в главата си триъгълниците и самата идея какво се добавя към какво и какво след това се изважда от какво).

Нека илюстрираме метода на триъгълника с пример:

1. Изчислете детерминантата:

Нека разберем какво добавяме и какво изваждаме:

Условия, които идват с плюс:

Това е главният диагонал: произведението на елементите е равно на

Първият триъгълник, "перпендикулярен на главния диагонал: произведението на елементите е равно на

Втори триъгълник, "перпендикулярен на главния диагонал: произведението на елементите е равно на

Съберете три числа:

Условия, които идват с минус

Това е страничен диагонал: произведението на елементите е равно на

Първият триъгълник, „перпендикулярен на вторичния диагонал: произведението на елементите е равно на

Вторият триъгълник, „перпендикулярен на вторичния диагонал: произведението на елементите е равно на

Съберете три числа:

Всичко, което остава да се направи, е да се извади сумата на членовете "плюс" от сумата на членовете "минус":

по този начин

Както можете да видите, няма нищо сложно или свръхестествено в изчисляването на детерминанти от трети ред. Просто е важно да запомните триъгълниците и да не правите аритметични грешки. Сега опитайте да го изчислите сами:

Задача: намерете разстоянието между посочените точки:

1. Първият триъгълник, перпендикулярен на главния диагонал:
2. Втори триъгълник, перпендикулярен на главния диагонал:
3. Сума на членовете с плюс:
4. Първият триъгълник, перпендикулярен на вторичния диагонал:
5. Втори триъгълник, перпендикулярен на страничния диагонал:
6. Сума на членовете с минус:
7. Сумата от членовете с плюс минус сумата от членовете с минус:

Ето още няколко детерминанти, изчислете сами техните стойности и ги сравнете с отговорите:

Отговори:

Е, всичко съвпадна ли? Чудесно, тогава можете да продължите! Ако има затруднения, тогава моят съвет е следният: в интернет има много програми за изчисляване на детерминанта онлайн. Всичко, от което се нуждаете, е да измислите своя собствена детерминанта, да я изчислите сами и след това да я сравните с това, което програмата изчислява. И така докато резултатите започнат да съвпадат. Сигурен съм, че този момент няма да отнеме много време!

Сега да се върнем към детерминантата, която написах, когато говорих за уравнението на равнина, минаваща през три дадени точки:

Всичко, от което се нуждаете, е да изчислите стойността му директно (като използвате метода на триъгълника) и да зададете резултата на нула. Естествено, тъй като това са променливи, ще получите някакъв израз, който зависи от тях. Именно този израз ще бъде уравнението на равнина, минаваща през три дадени точки, които не лежат на една и съща права!

Нека илюстрираме това с прост пример:

1. Съставете уравнението на равнина, минаваща през точките

Ние съставяме детерминанта за тези три точки:

Нека опростим:

Сега го изчисляваме директно, като използваме правилото на триъгълника:

\[(\left| (\begin(array)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(array)) \ дясно|. = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Така уравнението на равнината, минаваща през точките, е:

Сега опитайте сами да разрешите един проблем и след това ще го обсъдим:

2. Намерете уравнението на равнината, минаваща през точките

Е, нека сега обсъдим решението:

Нека създадем детерминанта:

И изчислете стойността му:

Тогава уравнението на равнината има формата:

Или, намалявайки с, получаваме:

Сега две задачи за самоконтрол:

1. Съставете уравнението на равнина, минаваща през три точки:

Отговори:

Всичко ли съвпадна? Отново, ако има определени трудности, тогава моят съвет е следният: вземете три точки от главата си (с голяма степен на вероятност те няма да лежат на една и съща права линия), изградете равнина въз основа на тях. И след това се проверявате онлайн. Например на сайта:

С помощта на детерминанти обаче ще конструираме не само уравнението на равнината. Спомнете си, казах ви, че не само точковото произведение е дефинирано за вектори. Има и векторен продукт, както и смесен продукт. И ако скаларното произведение на два вектора е число, тогава векторното произведение на два вектора ще бъде вектор и този вектор ще бъде перпендикулярен на дадените:

Освен това неговият модул ще бъде равен на площта на успоредник, изграден върху векторите и. Ще ни трябва този вектор, за да изчислим разстоянието от точка до права. Как можем да изчислим векторното произведение на векторите и, ако са дадени техните координати? Отново на помощ ни идва детерминантата от трети ред. Въпреки това, преди да премина към алгоритъма за изчисляване на векторното произведение, трябва да направя малко отклонение.

Това отклонение се отнася до базисни вектори.

Те са показани схематично на фигурата:

Защо мислите, че се наричат ​​основни? Въпросът е, че:

Или на снимката:

Валидността на тази формула е очевидна, защото:

Векторни произведения на изкуството

Сега мога да започна да въвеждам кръстосания продукт:

Векторното произведение на два вектора е вектор, който се изчислява по следното правило:

Сега нека дадем няколко примера за изчисляване на кръстосаното произведение:

Пример 1: Намерете кръстосаното произведение на вектори:

Решение: Измислям детерминанта:

И го изчислявам:

Сега от писане чрез базисни вектори, ще се върна към обичайната векторна нотация:

Така:

Сега опитайте.

готова Ние проверяваме:

И по традиция две задачи за контрол:

1. Намерете векторното произведение на следните вектори:
2. Намерете векторното произведение на следните вектори:

Отговори:

Смесен продукт на три вектора

Последната конструкция, която ще ми трябва, е смесеното произведение на три вектора. То, подобно на скалара, е число. Има два начина да го изчислите. - чрез определител, - чрез смесен продукт.

А именно, нека ни бъдат дадени три вектора:

Тогава смесеният продукт на три вектора, означен с , може да се изчисли като:

1. - т.е. смесеното произведение е скаларното произведение на вектор и векторното произведение на два други вектора

Например, смесеният продукт на три вектора е:

Опитайте се да го изчислите сами, като използвате векторното произведение и се уверете, че резултатите съвпадат!

И отново два примера за независими решения:

Отговори:

Избор на координатна система

Е, сега разполагаме с цялата необходима основа от знания за решаване на сложни проблеми със стереометрична геометрия. Въпреки това, преди да пристъпим директно към примерите и алгоритмите за решаването им, смятам, че ще бъде полезно да се спрем на следния въпрос: как точно изберете координатна система за определена фигура.В крайна сметка изборът на относителната позиция на координатната система и фигурата в пространството в крайна сметка ще определи колко тромави ще бъдат изчисленията.

Позволете ми да ви напомня, че в този раздел разглеждаме следните цифри:

1. Правоъгълен паралелепипед
2. Права призма (триъгълна, шестоъгълна...)
3. Пирамида (триъгълна, четириъгълна)
4. Тетраедър (същото като триъгълна пирамида)

За правоъгълен паралелепипед или куб ви препоръчвам следната конструкция:

Тоест ще поставя фигурата „в ъгъла“. Кубът и паралелепипедът са много добри фигури. За тях винаги можете лесно да намерите координатите на неговите върхове. Например, ако (както е показано на фигурата)

тогава координатите на върховете са както следва:

Разбира се, не е необходимо да помните това, но е препоръчително да запомните как най-добре да позиционирате куб или правоъгълен паралелепипед.

Права призма

Призмата е по-вредна фигура. Може да се позиционира в пространството по различни начини. Следният вариант обаче ми се струва най-приемлив:

Триъгълна призма:

Тоест, поставяме една от страните на триъгълника изцяло върху оста, а един от върховете съвпада с началото на координатите.

Шестоъгълна призма:

Тоест, един от върховете съвпада с началото, а една от страните лежи на оста.

Четириъгълна и шестоъгълна пирамида:

Ситуацията е подобна на куб: подравняваме две страни на основата с координатните оси и подравняваме един от върховете с началото на координатите. Единствената малка трудност ще бъде да се изчислят координатите на точката.

За шестоъгълна пирамида - същото като за шестоъгълна призма. Основната задача отново ще бъде намирането на координатите на върха.

Тетраедър (триъгълна пирамида)

Ситуацията е много подобна на тази, която дадох за триъгълна призма: единият връх съвпада с началото, едната страна лежи на координатната ос.

Е, сега ти и аз най-накрая сме близо до това да започнем да решаваме проблеми. От това, което казах в самото начало на статията, можете да направите следното заключение: повечето C2 задачи са разделени на 2 категории: ъглови проблеми и проблеми с разстояние. Първо, ще разгледаме проблемите с намирането на ъгъл. Те от своя страна се разделят на следните категории (с увеличаване на сложността си):

Задачи за намиране на ъгли

1. Намиране на ъгъл между две прави
2. Намиране на ъгъл между две равнини

Нека разгледаме тези задачи последователно: нека започнем с намирането на ъгъла между две прави линии. Е, не забравяйте, ние с вас не сме ли решавали подобни примери преди? Спомняте ли си, вече имахме нещо подобно... Търсихме ъгъла между два вектора. Нека ви напомня, ако са дадени два вектора: и, тогава ъгълът между тях се намира от връзката:

Сега нашата цел е да намерим ъгъла между две прави линии. Нека да разгледаме „плоската картина“:

Колко ъгли получихме при пресичането на две прави линии? Само няколко неща. Вярно, само две от тях са неравни, докато другите са вертикални спрямо тях (и следователно съвпадат с тях). И така, кой ъгъл трябва да считаме за ъгъла между две прави линии: или? Тук правилото е: ъгълът между две прави линии винаги е не повече от градуси. Тоест от два ъгъла винаги ще избираме ъгъла с най-малка градусна мярка. Тоест на тази снимка ъгълът между две прави е равен. За да не се занимавате всеки път с намирането на най-малкия от два ъгъла, хитрите математици предложиха да се използва модул. Така ъгълът между две прави линии се определя по формулата:

Вие, като внимателен читател, трябваше да имате въпрос: откъде точно да вземем точно тези числа, които са ни необходими, за да изчислим косинуса на ъгъл? Отговор: ще ги вземем от векторите на посоката на правите! По този начин алгоритъмът за намиране на ъгъла между две прави линии е следният:

1. Прилагаме формула 1.

Или по-подробно:

1. Търсим координатите на вектора на посоката на първата права линия
2. Търсим координатите на вектора на посоката на втората права линия
3. Изчисляваме модула на тяхното скаларно произведение
4. Търсим дължината на първия вектор
5. Търсим дължината на втория вектор
6. Умножете резултатите от точка 4 по резултатите от точка 5
7. Разделяме резултата от точка 3 на резултата от точка 6. Получаваме косинуса на ъгъла между линиите
8. Ако този резултат ни позволява да изчислим точно ъгъла, ние го търсим
9. В противен случай пишем през аркосинус

Е, сега е време да преминем към задачите: ще демонстрирам решението на първите две в детайли, ще представя решението на друга накратко, а на последните две задачи ще дам само отговорите, които трябва да носите направете сами всички изчисления за тях.

Задачи:

1. В десния tet-ra-ed-re намерете ъгъла между височината на tet-ra-ed-ra и средната страна.

2. В дясната шестъгълна pi-ra-mi-de стоте os-no-va-niyas са равни, а страничните ръбове са равни, намерете ъгъла между линиите и.

3. Дължините на всички ръбове на десния четири въглен pi-ra-mi-dy са равни една на друга. Намерете ъгъла между правите линии и ако от разреза - вие сте с дадения pi-ra-mi-dy, точката е se-re-di-на неговите bo-co- втори ребра

4. На ръба на куба има точка, така че Намерете ъгъла между правите и

5. Точка - по ръбовете на куба Намерете ъгъла между правите и.

Неслучайно подредих задачите в този ред. Докато все още не сте имали време да започнете да се ориентирате в метода на координатите, аз самият ще анализирам най-„проблемните“ фигури и ще ви оставя да се справите с най-простия куб! Постепенно ще трябва да се научите да работите с всички фигури, ще усложнявам задачите от тема на тема.

Нека започнем да решаваме проблеми:

1. Начертайте тетраедър, поставете го в координатната система, както предложих по-рано. Тъй като тетраедърът е правилен, всички негови лица (включително основата) са правилни триъгълници. Тъй като не ни е дадена дължината на страната, мога да я приема за равна. Мисля, че разбирате, че ъгълът всъщност няма да зависи от това колко е „разтегнат“ нашият тетраедър?. Ще начертая също височината и медианата в тетраедъра. Пътьом ще му начертая основата (ще ни е полезна и тя).

Трябва да намеря ъгъла между и. какво знаем Знаем само координатите на точката. Това означава, че трябва да намерим координатите на точките. Сега мислим: точка е пресечната точка на височините (или ъглополовящи или медиани) на триъгълника. А точката е повдигната точка. Точката е средата на сегмента. След това най-накрая трябва да намерим: координатите на точките: .

Нека започнем с най-простото нещо: координатите на точка. Вижте фигурата: Ясно е, че апликацията на точка е равна на нула (точката лежи на равнината). Неговата ордината е равна (тъй като е медианата). По-трудно е да се намери абсцисата му. Това обаче се прави лесно въз основа на Питагоровата теорема: разгледайте триъгълник. Хипотенузата му е равна и един от катетите му е равен. Тогава:

Накрая имаме: .

Сега нека намерим координатите на точката. Ясно е, че апликатът му отново е равен на нула, а ординатата му е същата като тази на точка, т.е. Нека намерим абсцисата му. Това се прави доста тривиално, ако си спомняте това височините на равностранен триъгълник от точката на пресичане се разделят пропорционално, като се брои отгоре. Тъй като: , то търсената абциса на точката, равна на дължината на отсечката, е равна на: . Така координатите на точката са:

Нека намерим координатите на точката. Ясно е, че нейните абциса и ордината съвпадат с абсцисата и ординатата на точката. И апликацията е равна на дължината на сегмента. - това е един от катетите на триъгълника. Хипотенузата на триъгълник е сегмент - катет. Търси се по причини, които подчертах с удебелен шрифт:

Точката е средата на сегмента. След това трябва да запомним формулата за координатите на средата на сегмента:

Това е всичко, сега можем да търсим координатите на векторите на посоката:

Е, всичко е готово: заместваме всички данни във формулата:

по този начин

отговор:

Не бива да се плашите от такива „страшни“ отговори: за задачите C2 това е обичайна практика. По-скоро бих се изненадал от „красивия“ отговор в тази част. Освен това, както забелязахте, на практика не прибягвах до нищо друго освен до Питагоровата теорема и свойството на височините на равностранен триъгълник. Тоест, за да реша стереометричния проблем, използвах минималната стереометрия. Печалбата от това е частично „погасена“ от доста тромави изчисления. Но те са доста алгоритмични!

2. Нека изобразим правилна шестоъгълна пирамида заедно с координатната система, както и нейната основа:

Трябва да намерим ъгъла между правите и. Така нашата задача се свежда до намиране на координатите на точките: . Ще намерим координатите на последните три с помощта на малък чертеж, а координатата на върха ще намерим чрез координатата на точката. Има много работа за вършене, но трябва да започнем!

а) Координата: ясно е, че апликата и ординатата са равни на нула. Нека намерим абсцисата. За да направите това, помислете за правоъгълен триъгълник. Уви, в него знаем само хипотенузата, която е равна. Ще се опитаме да намерим крака (защото е ясно, че удвоената дължина на крака ще ни даде абсцисата на точката). Как да го търсим? Нека си припомним каква фигура имаме в основата на пирамидата? Това е правилен шестоъгълник. какво значи това Това означава, че всички страни и всички ъгли са равни. Трябва да намерим един такъв ъгъл. Някакви идеи? Има много идеи, но има формула:

Сумата от ъглите на правилния n-ъгълник е .

Така сумата от ъглите на правилен шестоъгълник е равна на градуси. Тогава всеки от ъглите е равен на:

Нека отново да погледнем снимката. Ясно е, че сегментът е ъглополовяща на ъгъла. Тогава ъгълът е равен на градуси. След това:

Тогава откъде.

Следователно има координати

б) Сега можем лесно да намерим координатата на точката: .

в) Намерете координатите на точката. Тъй като абсцисата му съвпада с дължината на отсечката, тя е равна. Намирането на ординатата също не е много трудно: ако свържем точките и обозначим пресечната точка на линията като, да речем, . (направи си сам проста конструкция). Тогава По този начин ординатата на точка B е равна на сбора от дължините на сегментите. Нека отново да погледнем триъгълника. Тогава

След това от Тогава точката има координати

г) Сега нека намерим координатите на точката. Разгледайте правоъгълника и докажете, че По този начин координатите на точката са:

д) Остава да се намерят координатите на върха. Ясно е, че нейните абциса и ордината съвпадат с абсцисата и ординатата на точката. Да намерим приложението. От тогава. Да разгледаме правоъгълен триъгълник. Според условията на проблема страничен ръб. Това е хипотенузата на моя триъгълник. Тогава височината на пирамидата е крак.

Тогава точката има координати:

Е, това е, имам координатите на всички точки, които ме интересуват. Търся координатите на насочващите вектори на прави линии:

Търсим ъгъла между тези вектори:

отговор:

Отново, при решаването на този проблем не използвах никакви сложни техники, различни от формулата за сумата от ъглите на правилен n-ъгълник, както и определението на косинус и синус на правоъгълен триъгълник.

3. Тъй като отново не са ни дадени дължините на ръбовете в пирамидата, ще ги считам за равни на единица. Така, тъй като ВСИЧКИ ръбове, а не само страничните, са равни помежду си, тогава в основата на пирамидата и мен има квадрат, а страничните лица са правилни триъгълници. Нека начертаем такава пирамида, както и нейната основа върху равнина, като отбележим всички данни, дадени в текста на задачата:

Търсим ъгъла между и. Ще направя много кратки изчисления, когато търся координатите на точките. Ще трябва да ги „дешифрирате“:

б) - средата на сегмента. Координатите му:

в) Ще намеря дължината на отсечката с помощта на Питагоровата теорема в триъгълник. Мога да го намеря с помощта на Питагоровата теорема в триъгълник.

Координати:

г) - средата на сегмента. Координатите му са

д) векторни координати

е) векторни координати

g) Търсене на ъгъл:

Кубът е най-простата фигура. Сигурен съм, че ще се разберете сами. Отговорите на задачи 4 и 5 са ​​следните:

Намиране на ъгъл между права линия и равнина

Е, времето за прости пъзели свърши! Сега примерите ще бъдат още по-сложни. За да намерим ъгъла между права линия и равнина, ще процедираме по следния начин:

1. Използвайки три точки, построяваме уравнение на равнината
   ,
   използвайки детерминанта от трети ред.
2. Използвайки две точки, търсим координатите на насочващия вектор на правата:
3. Прилагаме формулата за изчисляване на ъгъла между права линия и равнина:

Както можете да видите, тази формула е много подобна на тази, която използвахме за намиране на ъгли между две прави линии. Структурата от дясната страна е просто същата, а отляво сега търсим синуса, а не косинуса, както преди. Е, добави се едно неприятно действие - търсене на уравнението на равнината.

Нека не отлагаме примери за решение:

1. Основната-но-ва-ни-ем пряка призма-ние сме равни на-бедния-рен-триъгълник-ник-името на вас-и-тази призма-ние сме равни. Намерете ъгъла между правата и равнината

2. В правоъгълна пар-рал-ле-ле-пи-пе-де от запад Намерете ъгъла между правата и равнината

3. В права шестъгълна призма всички ръбове са равни. Намерете ъгъла между правата и равнината.

4. В правилния триъгълен pi-ra-mi-de с os-no-va-ni-em на известните ребра Намерете ъгъл, ob-ra-zo-van -плосък в основата и прав, минаващ през сивото ребра и

5. Дължините на всички ръбове на правилен четириъгълен пи-ра-ми-ди с връх са равни една на друга. Намерете ъгъла между правата и равнината, ако точката е в средата на ръба на pi-ra-mi-dy.

Отново ще реша подробно първите две задачи, третата накратко, а последните две оставям да решите сами. Освен това вече сте имали работа с триъгълни и четириъгълни пирамиди, но все още не с призми.

Решения:

1. Нека изобразим призма, както и нейната основа. Нека го комбинираме с координатната система и да отбележим всички данни, дадени в формулировката на проблема:

Извинявам се за известно неспазване на пропорциите, но за решаването на проблема това всъщност не е толкова важно. Равнината е просто "задната стена" на моята призма. Достатъчно е просто да познаете, че уравнението на такава равнина има формата:

Това обаче може да се покаже директно:

Нека изберем произволни три точки на тази равнина: например .

Нека създадем уравнението на равнината:

Упражнение за вас: изчислете сами този фактор. Успяхте ли Тогава уравнението на равнината изглежда така:

Или просто

по този начин

За да реша примера, трябва да намеря координатите на насочващия вектор на правата линия. Тъй като точката съвпада с началото на координатите, координатите на вектора просто ще съвпадат с координатите на точката. За да направим това, първо намираме координатите на точката.

За да направите това, помислете за триъгълник. Нека начертаем височината (известна също като медиана и ъглополовяща) от върха. Тъй като ординатата на точката е равна на. За да намерим абсцисата на тази точка, трябва да изчислим дължината на отсечката. Според теоремата на Питагор имаме:

Тогава точката има координати:

Точката е "повдигната" точка:

Тогава векторните координати са:

отговор:

Както можете да видите, няма нищо фундаментално трудно при решаването на такива проблеми. Всъщност процесът е опростен малко повече от „изправеността“ на фигура като призма. Сега да преминем към следващия пример:

2. Начертайте паралелепипед, начертайте равнина и права линия в него и отделно начертайте долната му основа:

Първо намираме уравнението на равнината: Координатите на трите точки, лежащи в нея:

(първите две координати се получават по очевиден начин, а последната координата можете лесно да намерите от снимката от точката). След това съставяме уравнението на равнината:

Изчисляваме:

Търсим координатите на водещия вектор: Ясно е, че координатите му съвпадат с координатите на точката, нали? Как да намеря координати? Това са координатите на точката, повдигнати по приложната ос с единица! . След това търсим желания ъгъл:

отговор:

3. Начертайте правилна шестоъгълна пирамида, а след това начертайте равнина и права линия в нея.

Тук дори е проблематично да се начертае равнина, да не говорим за решаването на този проблем, но методът на координатите не го интересува! Неговата универсалност е основното му предимство!

Равнината преминава през три точки: . Търсим техните координати:

1) . Намерете сами координатите на последните две точки. За това ще трябва да решите проблема с шестоъгълната пирамида!

2) Построяваме уравнението на равнината:

Търсим координатите на вектора: . (Вижте отново проблема с триъгълната пирамида!)

3) Търсене на ъгъл:

отговор:

Както можете да видите, в тези задачи няма нищо свръхестествено трудно. Просто трябва да сте много внимателни с корените. Ще дам отговори само на последните два проблема:

Както можете да видите, техниката за решаване на проблеми е една и съща навсякъде: основната задача е да намерите координатите на върховете и да ги замените в определени формули. Все още трябва да разгледаме още един клас задачи за изчисляване на ъгли, а именно:

Изчисляване на ъгли между две равнини

Алгоритъмът за решение ще бъде както следва:

1. С помощта на три точки търсим уравнението на първата равнина:
2. Използвайки останалите три точки, търсим уравнението на втората равнина:
3. Прилагаме формулата:

Както можете да видите, формулата е много подобна на предишните две, с помощта на които търсихме ъгли между прави и между права и равнина. Така че няма да ви е трудно да запомните това. Нека да преминем към анализа на задачите:

1. Страната на основата на правата триъгълна призма е равна, а диагоналът на страничната стена е равен. Намерете ъгъла между равнината и равнината на оста на призмата.

2. В десния четириъгълен pi-ra-mi-de, чиито ръбове са равни, намерете синуса на ъгъла между равнината и равнинната кост, минаващ през точката per-pen-di-ku- лъжец-но прав.

3. В правилна призма с четири ъгъла страните на основата са равни, а страничните ръбове са равни. Има точка на ръба от-me-che-on, така че. Намерете ъгъла между равнините и

4. В правилна четириъгълна призма страните на основата са равни, а страничните ръбове са равни. Има точка на ръба от точката, така че Намерете ъгъла между равнините и.

5. В куб намерете ко-синуса на ъгъла между равнините и

Решения на проблеми:

1. Чертая правилна (равностранен триъгълник в основата) триъгълна призма и маркирам върху нея равнините, които се появяват в постановката на проблема:

Трябва да намерим уравненията на две равнини: Уравнението на основата е тривиално: можете да съставите съответната детерминанта, като използвате три точки, но аз ще съставя уравнението веднага:

Сега нека намерим уравнението Точка има координати Точка - Тъй като е медианата и надморската височина на триъгълника, тя лесно се намира с помощта на Питагоровата теорема в триъгълника. Тогава точката има координати: Нека намерим приложението на точката, разгледайте правоъгълен триъгълник

Тогава получаваме следните координати: Съставяме уравнението на равнината.

Изчисляваме ъгъла между равнините:

отговор:

2. Изготвяне на чертеж:

Най-трудното е да се разбере каква е тази мистериозна равнина, минаваща перпендикулярно през точката. Е, най-важното е какво е? Основното нещо е вниманието! Всъщност линията е перпендикулярна. Правата линия също е перпендикулярна. Тогава равнината, минаваща през тези две прави, ще бъде перпендикулярна на правата и, между другото, ще минава през точката. Тази равнина също минава през върха на пирамидата. След това желаният самолет - И самолетът вече ни е даден. Търсим координатите на точките.

Намираме координатата на точката през точката. От малката картинка е лесно да се заключи, че координатите на точката ще бъдат както следва: Какво остава да се намери сега, за да се намерят координатите на върха на пирамидата? Освен това трябва да изчислите височината му. Това се прави с помощта на същата Питагорова теорема: първо докажете това (тривиално от малки триъгълници, образуващи квадрат в основата). Тъй като по условие имаме:

Сега всичко е готово: координати на върха:

Съставяме уравнението на равнината:

Вие вече сте експерт в изчисляването на детерминанти. Без затруднения ще получите:

Или иначе (ако умножим двете страни по корен от две)

Сега нека намерим уравнението на равнината:

(Не сте забравили как получаваме уравнението на равнина, нали? Ако не разбирате откъде идва това минус едно, тогава се върнете към дефиницията на уравнението на равнина! Просто винаги се е оказвало преди това моят самолет принадлежеше на произхода!)

Изчисляваме детерминантата:

(Може да забележите, че уравнението на равнината съвпада с уравнението на правата, минаваща през точките и! Помислете защо!)

Сега нека изчислим ъгъла:

Трябва да намерим синуса:

отговор:

3. Труден въпрос: какво мислите, че е правоъгълна призма? Това е просто паралелепипед, който познавате добре! Нека направим рисунка веднага! Дори не е нужно да изобразявате основата отделно; тук няма голяма полза:

Равнината, както отбелязахме по-рано, е написана под формата на уравнение:

Сега нека създадем самолет

Веднага създаваме уравнението на равнината:

Търся ъгъл:

Сега отговорите на последните два проблема:

Е, сега е моментът да си дадем малко почивка, защото ние с теб сме страхотни и сме свършили чудесна работа!

Координати и вектори. Напреднало ниво

В тази статия ще обсъдим с вас друг клас задачи, които могат да бъдат решени с помощта на координатния метод: задачи за изчисляване на разстояние. А именно, ще разгледаме следните случаи:

1. Изчисляване на разстоянието между пресичащите се линии.

Подредих тези задачи в ред на нарастване на трудността. Оказва се, че е най-лесно да се намери разстояние от точка до равнина, а най-трудното е намирането разстояние между пресичащите се линии. Въпреки че, разбира се, нищо не е невъзможно! Нека не отлагаме и веднага да преминем към разглеждане на първия клас проблеми:

Изчисляване на разстоянието от точка до равнина

Какво ни трябва, за да решим този проблем?

1. Координати на точки

Така че, веднага щом получим всички необходими данни, прилагаме формулата:

Вече трябва да знаете как съставяме уравнението на равнина от предишните задачи, които разгледах в последната част. Да преминем направо към задачите. Схемата е следната: 1, 2 - помагам ви да решите и в някои подробности, 3, 4 - само отговорът, вие сами изпълнявате решението и сравнявате. Да започваме!

Задачи:

1. Даден е куб. Дължината на ръба на куба е равна. Намерете разстоянието от се-ре-ди-на от разреза до равнината

2. Като се има предвид дясната пи-ра-ми-да с четири въглища, страната на страната е равна на основата. Намерете разстоянието от точката до равнината, където - се-ре-ди-на краищата.

3. В правилния триъгълен pi-ra-mi-de с os-no-va-ni-em, страничният ръб е равен, а сто-ro-on os-no-vania е равен. Намерете разстоянието от върха до равнината.

4. В правилната шестоъгълна призма всички ръбове са равни. Намерете разстоянието от точка до равнина.

Решения:

1. Начертайте куб с единични ръбове, построете сегмент и равнина, означете средата на сегмента с буква

.

Първо, нека започнем с лесното: намерете координатите на точката. Оттогава (запомнете координатите на средата на сегмента!)

Сега съставяме уравнението на равнината, използвайки три точки

\[\ляво| (\begin(array)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(array)) \right| = 0\]

Сега мога да започна да намирам разстоянието:

2. Започваме отново с чертеж, на който отбелязваме всички данни!

За пирамида би било полезно основата й да се начертае отделно.

Дори фактът, че рисувам като пиле с лапа, няма да ни попречи да решим този проблем с лекота!

Сега е лесно да намерите координатите на точка

Тъй като координатите на точката, тогава

2. Тъй като координатите на точка а са средата на отсечката, то

Без никакви проблеми можем да намерим координатите на още две точки в равнината. Създаваме уравнение за равнината и го опростяваме:

\[\ляво| (\left| (\begin(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\край (масив)) \right|) \right| = 0\]

Тъй като точката има координати: , изчисляваме разстоянието:

Отговор (много рядко!):

Е, разбрахте ли? Струва ми се, че всичко тук е точно толкова техническо, колкото и в примерите, които разгледахме в предишната част. Така че съм сигурен, че ако сте усвоили този материал, тогава няма да ви е трудно да решите останалите две задачи. Просто ще ви дам отговорите:

Изчисляване на разстоянието от права до равнина

Всъщност тук няма нищо ново. Как могат да бъдат разположени една спрямо друга права линия и равнина? Те имат само една възможност: да се пресичат или права линия да е успоредна на равнината. Какво според вас е разстоянието от права до равнината, с която се пресича тази права? Струва ми се, че тук е ясно, че такова разстояние е равно на нула. Безинтересен случай.

Вторият случай е по-сложен: тук разстоянието вече е различно от нула. Въпреки това, тъй като правата е успоредна на равнината, тогава всяка точка от правата е на еднакво разстояние от тази равнина:

Така:

Това означава, че задачата ми е сведена до предишната: търсим координатите на произволна точка на права линия, търсим уравнението на равнината и изчисляваме разстоянието от точката до равнината. Всъщност такива задачи са изключително редки в Единния държавен изпит. Успях да намеря само един проблем, а данните в него бяха такива, че координатния метод не беше много приложим за него!

Сега нека да преминем към друг, много по-важен клас проблеми:

Изчисляване на разстоянието от точка до права

какво ни трябва

1. Координати на точката, от която търсим разстоянието:

2. Координати на всяка точка, лежаща на права

3. Координати на насочващия вектор на правата

Каква формула използваме?

Какво означава знаменателят на тази дроб трябва да ви е ясно: това е дължината на насочващия вектор на правата. Това е много труден числител! Изразът означава модула (дължината) на векторното произведение на векторите и Как да изчислим векторното произведение, изучавахме в предишната част на работата. Опреснете знанията си, сега ще ни трябват много!

По този начин алгоритъмът за решаване на проблеми ще бъде както следва:

1. Търсим координатите на точката, от която търсим разстоянието:

2. Търсим координатите на всяка точка от линията, до която търсим разстоянието:

3. Построяване на вектор

4. Построете насочващ вектор на права линия

5. Изчислете векторното произведение

6. Търсим дължината на резултантния вектор:

7. Изчислете разстоянието:

Имаме много работа, а примерите ще са доста сложни! Така че сега съсредоточете цялото си внимание!

1. Даден е правоъгълен триъгълен пи-ра-ми-да с връх. Сто-ро-на основата на пи-ра-ми-ди е равен, вие сте равни. Намерете разстоянието от сивия ръб до правата линия, където точките и са сивите ръбове и от ветеринарната.

2. Дължините на ребрата и правия ъгъл без движение пар-рал-ле-ле-пи-пе-да са съответно равни и Намерете разстоянието от върха до правата линия

3. В правилна шестоъгълна призма всички ръбове са равни, намерете разстоянието от точка до права линия

Решения:

1. Правим чист чертеж, на който маркираме всички данни:

Имаме много работа! Първо бих искал да опиша с думи какво ще търсим и в какъв ред:

1. Координати на точки и

2. Координати на точки

3. Координати на точки и

4. Координати на вектори и

5. Тяхното кръстосано произведение

6. Дължина на вектора

7. Дължина на векторния продукт

8. Разстояние от до

Е, много работа ни чака! Да се ​​заемем със запретнати ръкави!

1. За да намерим координатите на височината на пирамидата, трябва да знаем координатите на точката, която е равна на нула, а ординатата й е равна на дължината на отсечката височина на равностранен триъгълник, тя се дели в съотношение, считано от върха, от тук. Най-накрая получихме координатите:

Координати на точки

2. - средата на сегмента

3. - средата на сегмента

Средна точка на сегмента

4.Координати

Векторни координати

5. Изчислете векторното произведение:

6. Дължина на вектора: най-лесният начин за замяна е, че сегментът е средната линия на триъгълника, което означава, че е равен на половината от основата. И така.

7. Изчислете дължината на векторния продукт:

8. Накрая намираме разстоянието:

Уф, това е! Ще ви кажа честно: решаването на този проблем с традиционните методи (чрез изграждане) би било много по-бързо. Но тук сведох всичко до готов алгоритъм! Мисля, че алгоритъмът за решение ви е ясен? Затова ще ви помоля да решите сами останалите два проблема. Да сравним отговорите?

Отново повтарям: по-лесно (по-бързо) е да се решат тези проблеми чрез конструкции, вместо да се прибягва до метода на координатите. Демонстрирах този метод на решение само за да ви покажа универсален метод, който ви позволява да „не завършите изграждането на нищо“.

И накрая, разгледайте последния клас проблеми:

Изчисляване на разстоянието между пресичащите се линии

Тук алгоритъмът за решаване на проблеми ще бъде подобен на предишния. Какво имаме:

3. Всеки вектор, свързващ точките на първата и втората линия:

Как намираме разстоянието между линиите?

Формулата е следната:

Числителят е модулът на смесения продукт (въведехме го в предишната част), а знаменателят е, както в предишната формула (модулът на векторното произведение на насочващите вектори на правите линии, разстоянието между които сме търсят).

Ще ти го припомня

Тогава формулата за разстоянието може да бъде пренаписана като:

Това е детерминанта, разделена на детерминанта! Въпреки че, честно казано, тук нямам време за шеги! Тази формула всъщност е много тромава и води до доста сложни изчисления. На твое място щях да прибегна до него само в краен случай!

Нека се опитаме да разрешим няколко проблема, като използваме горния метод:

1. В права триъгълна призма, всички ръбове на която са равни, намерете разстоянието между правите и.

2. Като се има предвид права триъгълна призма, всички ръбове на основата са равни на сечението, преминаващо през реброто на тялото, а ребрата se-re-di-well са квадрат. Намерете разстоянието между правите и

Аз решавам първото, а на базата на него вие решавате второто!

1. Чертая призма и отбелязвам прави линии и

Координати на точка С: тогава

Координати на точки

Векторни координати

Координати на точки

Векторни координати

Векторни координати

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(масив)(*(20)(l))(\begin(масив)(*(20)(c))0&1&0\end(масив))\\(\begin(масив)(*(20) (c))0&0&1\end(масив))\\(\begin(масив)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\край (масив))\край (масив)) \right| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Изчисляваме векторното произведение между вектори и

\[\стрелка надясно (A(A_1)) \cdot \стрелка надясно (B(C_1)) = \наляво| \begin(array)(l)\begin(array)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(array)\\\begin(array )(*(20)(c))0&0&1\end(масив)\\\begin(масив)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\край (масив)\край (масив) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\стрелка надясно k + \frac(1)(2)\стрелка надясно i \]

Сега изчисляваме дължината му:

отговор:

Сега се опитайте внимателно да изпълните втората задача. Отговорът на него ще бъде:.

Координати и вектори. Кратко описание и основни формули

Векторът е насочен сегмент. - началото на вектора, - края на вектора.
Векторът се означава с или.

Абсолютна стойноствектор - дължината на сегмента, представляващ вектора. Означава се като.

векторни координати:

,
къде са краищата на вектора \displaystyle a .

Сума от вектори: .

Продукт на вектори:

Точково произведение на вектори:

Скаларното произведение на векторите е равно на произведението на техните абсолютни стойности и косинуса на ъгъла между тях:

ОСТАНАЛИТЕ 2/3 АРТИКУЛА СА ДОСТЪПНИ САМО ЗА СТУДЕНТИ НА YOUCLEVER!

Станете студент на YouClever,

Подгответе се за Единния държавен изпит или Единния държавен изпит по математика на цената на „чаша кафе на месец“,

И също така получете неограничен достъп до учебника „YouClever“, подготвителната програма „100gia“ (книга за решаване), неограничен пробен Единен държавен изпит и Единен държавен изпит, 6000 задачи с анализ на решения и други услуги на YouClever и 100gia.

Векторът е величина, характеризираща се със своята числена стойност и посока. С други думи, векторът е насочен сегмент. Позиция вектор AB в пространството се дава от координатите на началната точка векторА и крайни точки векторБ. Нека да разгледаме как да определим координатите на средната точка вектор.

Инструкции

Първо, нека дефинираме обозначенията за начало и край. вектор. Ако векторът е записан като AB, тогава точка A е началото вектор, а точка B е краят. И обратно, за вектор BA точка B е началото вектор, а точка А е краят. Нека ни е даден вектор AB с координати на началото вектор A = (a1, a2, a3) и край вектор B = (b1, b2, b3). След това координатите вектор AB ще бъде както следва: AB = (b1 – a1, b2 – a2, b3 – a3), т.е. от крайната координата векторнеобходимо е да се извади съответната начална координата вектор. Дължина вектор AB (или неговият модул) се изчислява като квадратен корен от сумата на квадратите на неговите координати: |AB| = ?((b1 – a1)^2 + (b2 – a2)^2 + (b3 – a3)^2).

Намерете координатите на точката, която е средата вектор. Нека го обозначим с буквата O = (o1, o2, o3). Намерени са координатите на средата векторсъщите като координатите на средата на правилен сегмент, съгласно следните формули: o1 = (a1 + b1)/2, o2 = (a2 + b2)/2, o3 = (a3 + b3)/2. Да намерим координатите вектор AO: AO = (o1 – a1, o2 – a2, o3 – a3) = ((b1 – a1)/2, (b2 – a2)/2, (b3 – a3)/2).

Нека разгледаме един пример. Нека векторът AB е даден с координатите на началото вектор A = (1, 3, 5) и край вектор B = (3, 5, 7). След това координатите вектор AB може да се запише като AB = (3 – 1, 5 – 3, 7 – 5) = (2, 2, 2). Да намерим модула вектор AB: |AB| = ?(4 + 4 + 4) = 2 * ?3. Определена стойност на дължината векторще ни помогне допълнително да проверим правилността на координатите на средата вектор. След това намираме координатите на точка O: O = ((1 + 3)/2, (3 + 5)/2, (5 + 7)/2) = (2, 4, 6). След това координатите вектор AO се изчислява като AO = (2 – 1, 4 – 3, 6 – 5) = (1, 1, 1).

Да проверим. Дължина вектор AO = ?(1 + 1 + 1) = ?3. Припомнете си, че дължината на оригинала векторе равно на 2 * ?3, т.е. половината векторнаистина равна на половината от дължината на оригинала вектор. Сега нека изчислим координатите вектор OB: OB = (3 – 2, 5 – 4, 7 – 6) = (1, 1, 1). Нека намерим сумата от векторите AO и OB: AO + OB = (1 + 1, 1 + 1, 1 + 1) = (2, 2, 2) = AB. Следователно координатите на ср векторбяха намерени правилно.

Полезни съвети

След като изчислите координатите на средата на вектора, не забравяйте да извършите поне най-простата проверка - изчислете дължината на вектора и я сравнете с дължината на дадения вектор.

Статията по-долу ще разгледа въпросите за намиране на координатите на средата на сегмент, ако координатите на неговите крайни точки са налични като първоначални данни. Но преди да започнем да изучаваме въпроса, нека въведем няколко определения.

Определение 1

сегмент– права линия, свързваща две произволни точки, наречени краища на отсечка. Като пример, нека това са точки A и B и съответно отсечката A B.

Ако отсечката A B се продължи в двете посоки от точки A и B, получаваме права A B. Тогава отсечката A B е част от получената права линия, ограничена от точки A и B. Отсечката A B обединява точки A и B, които са нейните краища, както и множеството от точки, разположени между тях. Ако, например, вземем произволна точка K, разположена между точките A и B, можем да кажем, че точка K лежи на отсечката A B.

Определение 2

Дължина на секцията– разстоянието между краищата на отсечка в даден мащаб (отсечка с единица дължина). Нека означим дължината на отсечката A B така: A B .

Определение 3

Средна точка на сегмента– точка, лежаща на отсечка и равноотдалечена от краищата му. Ако средата на сегмента A B е обозначена с точка C, тогава равенството ще бъде вярно: A C = C B

Изходни данни: координатна линия O x и несъвпадащи точки върху нея: A и B. Тези точки съответстват на реални числа x A и x B . Точка C е средата на сегмента A B: необходимо е да се определи координатата x C .

Тъй като точка C е средата на отсечката A B, равенството ще бъде вярно: | A C | = | C B | . Разстоянието между точките се определя от модула на разликата в техните координати, т.е.

| A C | = | C B | ⇔ x C - x A = x B - x C

Тогава са възможни две равенства: x C - x A = x B - x C и x C - x A = - (x B - x C)

От първото равенство извеждаме формулата за координатите на точка C: x C = x A + x B 2 (половината от сбора на координатите на краищата на отсечката).

От второто равенство получаваме: x A = x B, което е невъзможно, т.к в изходните данни - несъвпадащи точки. по този начин формула за определяне на координатите на средата на сегмента A B с краища A (x A) и B(xB):

Получената формула ще бъде основата за определяне на координатите на средата на сегмент в равнина или в пространството.

Изходни данни: правоъгълна координатна система на равнината O x y, две произволни несъвпадащи точки с дадени координати A x A, y A и B x B, y B. Точка C е средата на отсечката A B. Необходимо е да се определят координатите x C и y C за точка C.

Нека вземем за анализ случая, когато точките A и B не съвпадат и не лежат на една и съща координатна линия или линия, перпендикулярна на една от осите. A x, A y; B x, B y и C x, C y - проекции на точки A, B и C върху координатните оси (правите O x и O y).

Според конструкцията правите A A x, B B x, C C x са успоредни; линиите също са успоредни една на друга. Заедно с това, според теоремата на Талес, от равенството A C = C B следват равенствата: A x C x = C x B x и A y C y = C y B y, а те от своя страна показват, че точката C x е средата на отсечката A x B x, а C y е средата на отсечката A y B y. И тогава, въз основа на формулата, получена по-рано, получаваме:

x C = x A + x B 2 и y C = y A + y B 2

Същите формули могат да се използват в случаите, когато точките A и B лежат на една и съща координатна линия или линия, перпендикулярна на една от осите. Няма да правим подробен анализ на този случай, ще го разгледаме само графично:

Обобщавайки всичко по-горе, координати на средата на сегмента A B на равнината с координатите на краищата A (x A, y A) И B(xB, yB) се определят като:

(x A + x B 2, y A + y B 2)

Изходни данни: координатна система O x y z и две произволни точки със зададени координати A (x A, y A, z A) и B (x B, y B, z B). Необходимо е да се определят координатите на точка C, която е средата на сегмента A B.

A x, A y, A z; B x , B y , B z и C x , C y , C z - проекции на всички дадени точки върху осите на координатната система.

Според теоремата на Талес са верни следните равенства: A x C x = C x B x , A y C y = C y B y , A z C z = C z B z

Следователно точките C x , C y , C z са среди съответно на отсечките A x B x , A y B y , A z B z . тогава, За определяне на координатите на средата на сегмент в пространството са правилни следните формули:

x C = x A + x B 2, y c = y A + y B 2, z c = z A + Z B 2

Получените формули са приложими и в случаите, когато точки A и B лежат на една от координатните прави; на права линия, перпендикулярна на една от осите; в една координатна равнина или равнина, перпендикулярна на една от координатните равнини.

Определяне на координатите на средата на отсечка чрез координатите на радиус-векторите на нейните краища

Формулата за намиране на координатите на средата на отсечка може да се изведе и според алгебричната интерпретация на векторите.

Входни данни: правоъгълна декартова координатна система O x y, точки с дадени координати A (x A, y A) и B (x B, x B). Точка C е средата на отсечката A B.

Според геометричната дефиниция на действията върху векторите ще бъде вярно следното равенство: O C → = 1 2 · O A → + O B → . Точка C в този случай е пресечната точка на диагоналите на успоредник, построен на базата на векторите O A → и O B →, т.е. точката на средата на диагоналите. Координатите на радиус вектора на точката са равни на координатите на точката, тогава равенствата са верни: O A → = (x A, y A), O B → = (x B , y B). Нека извършим някои операции върху вектори в координати и ще получим:

O C → = 1 2 · O A → + O B → = x A + x B 2, y A + y B 2

Следователно точка C има координати:

x A + x B 2, y A + y B 2

По аналогия се определя формула за намиране на координатите на средата на сегмент в пространството:

C (x A + x B 2, y A + y B 2, z A + z B 2)

Примери за решаване на задачи за намиране на координатите на средата на сегмент

Сред проблемите, които включват използването на формулите, получени по-горе, има такива, при които директният въпрос е да се изчислят координатите на средата на сегмента, и тези, които включват привеждане на дадените условия към този въпрос: терминът „медиана“ се използва често, целта е да се намерят координатите на един от краищата на сегмент, а проблемите със симетрията също са често срещани, чието решение като цяло също не би трябвало да създава трудности след изучаване на тази тема. Нека да разгледаме типичните примери.

Пример 1

Първоначални данни:на равнината - точки с дадени координати A (- 7, 3) и B (2, 4). Необходимо е да се намерят координатите на средата на сегмента A B.

Решение

Нека означим средата на отсечката A B с точка C. Неговите координати ще бъдат определени като половината от сумата на координатите на краищата на сегмента, т.е. точки А и Б.

x C = x A + x B 2 = - 7 + 2 2 = - 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2

отговор: координати на средата на сегмента A B - 5 2, 7 2.

Пример 2

Първоначални данни:координатите на триъгълник A B C са известни: A (- 1, 0), B (3, 2), C (9, - 8). Необходимо е да се намери дължината на медианата A M.

Решение

1. Според условията на задачата A M е медианата, което означава, че M е средата на отсечката B C . Първо, нека намерим координатите на средата на сегмента B C, т.е. М точки:

x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + (- 8) 2 = - 3

1. Тъй като сега знаем координатите на двата края на медианата (точки A и M), можем да използваме формулата, за да определим разстоянието между точките и да изчислим дължината на медианата A M:

A M = (6 - (- 1)) 2 + (- 3 - 0) 2 = 58

отговор: 58

Пример 3

Първоначални данни:в правоъгълна координатна система на тримерното пространство е даден паралелепипед A B C D A 1 B 1 C 1 D 1. Дадени са координатите на точка C 1 (1, 1, 0), дефинирана е и точка M, която е средата на диагонала B D 1 и има координати M (4, 2, - 4). Необходимо е да се изчислят координатите на точка А.

Решение

Диагоналите на паралелепипед се пресичат в една точка, която е средата на всички диагонали. Въз основа на това твърдение можем да имаме предвид, че известната от условията на задачата точка M е средата на отсечката A C 1. Въз основа на формулата за намиране на координатите на средата на отсечка в пространството намираме координатите на точка A: x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 x M - x C 1 = 2 4 - 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 y M - y C 1 = 2 2 - 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 z M - z C 1 = 2 · (- 4) - 0 = - 8

отговор:координати на точка А (7, 3, - 8).

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Най-накрая се сдобих с тази обширна и дългоочаквана тема. аналитична геометрия. Първо, малко за този раздел на висшата математика... Със сигурност си спомняте училищен курс по геометрия с множество теореми, техните доказателства, чертежи и т.н. Какво да крия, нелюбим и често неясен предмет за значителна част от учениците. Колкото и да е странно, аналитичната геометрия може да изглежда по-интересна и достъпна. Какво означава прилагателното „аналитичен“? Две клиширани математически фрази веднага идват на ум: „метод на графично решение“ и „метод на аналитично решение“. Графичен метод, разбира се, е свързано с изграждането на графики и чертежи. Аналитиченили методвключва решаване на проблеми главночрез алгебрични операции. В това отношение алгоритъмът за решаване на почти всички проблеми на аналитичната геометрия е прост и прозрачен; често е достатъчно внимателно да приложите необходимите формули - и отговорът е готов! Не, разбира се, няма да е възможно да направите това без чертежи изобщо, а освен това, за по-добро разбиране на материала, ще се опитам да ги цитирам извън необходимостта.

Новооткритият курс от уроци по геометрия не претендира да бъде теоретично завършен; той е насочен към решаване на практически задачи. В моите лекции ще включвам само това, което от моя гледна точка е важно от практическа гледна точка. Ако имате нужда от по-пълна помощ за някой подраздел, препоръчвам следната доста достъпна литература:

1) Нещо, с което, без шега, са запознати няколко поколения: Училищен учебник по геометрия, автори – Л.С. Атанасян и компания. Тази закачалка за училищна съблекалня вече е преминала през 20 (!) Препечатки, което, разбира се, не е ограничението.

2) Геометрия в 2 тома. автори Л.С. Атанасян, Базилев В.Т.. Това е литература за гимназията, ще ви трябва първи том. Рядко срещаните задачи могат да изпаднат от погледа ми, а урокът ще предостави безценна помощ.

И двете книги могат да бъдат изтеглени безплатно онлайн. Освен това можете да използвате моя архив с готови решения, които можете да намерите на страницата Изтегляне на примери по висша математика.

Сред инструментите отново предлагам собствена разработка - софтуерен пакетв аналитичната геометрия, което значително ще опрости живота и ще спести много време.

Предполага се, че читателят е запознат с основните геометрични понятия и фигури: точка, права, равнина, триъгълник, паралелограм, паралелепипед, куб и др. Препоръчително е да запомните някои теореми, поне теоремата на Питагор, здравейте на повторителите)

И сега ще разгледаме последователно: понятието вектор, действия с вектори, векторни координати. Препоръчвам да прочетете допълнително най-важната статия Точково произведение на вектори, а също така Вектор и смесено произведение на вектори. Локална задача - Разделяне на сегмент в това отношение - също няма да бъде излишна. Въз основа на горната информация можете да овладеете уравнение на права в равнинас най-прости примери за решения, което ще позволи научете се да решавате геометрични задачи. Следните статии също са полезни: Уравнение на равнина в пространството, Уравнения на права в пространството, Основни задачи за права линия и равнина, други раздели на аналитичната геометрия. Естествено, стандартните задачи ще бъдат разгледани по пътя.

Векторна концепция. Безплатен вектор

Първо, нека повторим училищната дефиниция на вектор. векторнаречен насоченисегмент, за който са посочени неговото начало и край:

В този случай началото на сегмента е точката, краят на сегмента е точката. Самият вектор се означава с . Посокае от съществено значение, ако преместите стрелката в другия край на сегмента, получавате вектор и това вече е напълно различен вектор. Удобно е да се идентифицира концепцията за вектор с движението на физическо тяло: трябва да се съгласите, влизането през вратите на институт или излизането от вратите на института са напълно различни неща.

Удобно е отделни точки от една равнина или пространство да се разглеждат като т.нар нулев вектор. За такъв вектор краят и началото съвпадат.

!!! Забележка: Тук и по-нататък можете да приемете, че векторите лежат в една равнина или можете да приемете, че са разположени в пространството - същността на изложения материал е валидна както за равнината, така и за пространството.

Обозначения:Мнозина веднага забелязаха пръчката без стрелка в обозначението и казаха, че има и стрелка в горната част! Вярно, че можете да го напишете със стрелка: , но и това е възможно записът, който ще използвам в бъдеще. защо Очевидно този навик се е развил по практически причини; стрелците ми в училище и университета се оказаха твърде различни по размер и рошави. В образователната литература понякога те изобщо не се занимават с клинописно писане, а подчертават буквите с удебелен шрифт: , като по този начин намекват, че това е вектор.

Това беше стилистика, а сега относно начините за писане на вектори:

1) Векторите могат да бъдат написани с две главни латински букви:
и така нататък. В този случай първата буква Задължителнообозначава началната точка на вектора, а втората буква обозначава крайната точка на вектора.

2) Векторите също се изписват с малки латински букви:
По-специално, нашият вектор може да бъде преназначен за краткост с малка латинска буква.

Дължинаили модулненулев вектор се нарича дължина на сегмента. Дължината на нулевия вектор е нула. Логично.

Дължината на вектора се обозначава със знака за модул: ,

Ще научим как да намираме дължината на вектор (или ще го повторим, зависи кой) малко по-късно.

Това беше основна информация за векторите, позната на всички ученици. В аналитичната геометрия т.нар безплатен вектор.

Казано по-просто - векторът може да се начертае от всяка точка:

Ние сме свикнали да наричаме такива вектори равни (дефиницията на равни вектори ще бъде дадена по-долу), но от чисто математическа гледна точка те са ЕДИН И СЪЩ ВЕКТОР или безплатен вектор. Защо безплатно? Защото в процеса на решаване на проблеми можете да „прикрепите“ този или онзи „училищен“ вектор към ВСЯКА точка от равнината или пространството, от което се нуждаете. Това е много готина функция! Представете си насочен сегмент с произволна дължина и посока - той може да бъде "клониран" безкраен брой пъти и във всяка точка на пространството, всъщност той съществува НАВСЯКЪДЕ. Има една студентска поговорка: На всеки преподавател му пука за вектора. В крайна сметка това не е просто остроумна рима, всичко е почти правилно - там може да се добави и насочен сегмент. Но не бързайте да се радвате, често страдат самите ученици =)

така че безплатен вектор- Това много еднакви насочени сегменти. Училищната дефиниция на вектор, дадена в началото на параграфа: „Насочен сегмент се нарича вектор...“, предполага специфиченнасочен сегмент, взет от дадено множество, който е свързан с определена точка в равнината или пространството.

Трябва да се отбележи, че от гледна точка на физиката концепцията за свободен вектор като цяло е неправилна и има значение точката на приложение. Наистина, директен удар с еднаква сила по носа или челото, достатъчен, за да развия моя глупав пример, води до различни последствия. обаче несвободенвектори се намират и в хода на vyshmat (не отивайте там :)).

Действия с вектори. Колинеарност на вектори

Училищният курс по геометрия обхваща редица действия и правила с вектори: събиране по правилото на триъгълника, събиране по правилото на успоредника, правило за векторна разлика, умножение на вектор с число, скаларно произведение на вектори и др.Като отправна точка нека повторим две правила, които са особено подходящи за решаване на задачи от аналитичната геометрия.

Правилото за добавяне на вектори с помощта на правилото на триъгълника

Помислете за два произволни ненулеви вектора и:

Трябва да намерите сумата от тези вектори. Поради факта, че всички вектори се считат за свободни, ще отделим вектора от крайвектор:

Сумата от вектори е векторът. За по-добро разбиране на правилото е препоръчително да му вложим физически смисъл: нека някое тяло пътува по вектора , а след това по вектора . Тогава сумата от вектори е векторът на резултантния път с начало в началната точка и край в точката на пристигане. Подобно правило е формулирано за сумата от произволен брой вектори. Както се казва, тялото може да върви по своя път много постно по зигзаг или може би на автопилот - по резултантния вектор на сумата.

Между другото, ако векторът е отложен от започнавектор, тогава получаваме еквивалента правило на успоредникдобавяне на вектори.

Първо, относно колинеарността на векторите. Двата вектора се наричат колинеарен, ако лежат на една права или на успоредни прави. Грубо казано, говорим за паралелни вектори. Но по отношение на тях винаги се използва прилагателното „колинеарни“.

Представете си два колинеарни вектора. Ако стрелките на тези вектори са насочени в една и съща посока, тогава такива вектори се наричат съвместно режисиран. Ако стрелките сочат в различни посоки, тогава векторите ще бъдат противоположни посоки.

Обозначения:колинеарността на векторите се записва с обичайния символ за паралелизъм: , докато е възможно детайлизиране: (векторите са сънасочени) или (векторите са противоположно насочени).

Работатаненулев вектор върху число е вектор, чиято дължина е равна на , а векторите и са сънасочени към и противоположно насочени към .

Правилото за умножаване на вектор по число е по-лесно за разбиране с помощта на картина:

Нека го разгледаме по-подробно:

1) Посока. Ако множителят е отрицателен, тогава векторът променя посокатакъм обратното.

2) Дължина. Ако множителят се съдържа в или , тогава дължината на вектора намалява. Така дължината на вектора е половината от дължината на вектора. Ако модулът на множителя е по-голям от едно, тогава дължината на вектора увеличавана моменти.

3) Моля, имайте предвид, че всички вектори са колинеарни, докато един вектор се изразява чрез друг, например, . Обратното също е вярно: ако един вектор може да бъде изразен чрез друг, тогава такива вектори задължително са колинеарни. Така: ако умножим вектор по число, получаваме колинеарни(спрямо оригинала) вектор.

4) Векторите са ко-насочени. Вектори и също са съвместно насочени. Всеки вектор от първата група е противоположно насочен по отношение на всеки вектор от втората група.

Кои вектори са равни?

Два вектора са равни, ако са в една и съща посока и имат еднаква дължина. Обърнете внимание, че една насоченост предполага колинеарност на векторите. Определението би било неточно (излишно), ако кажем: „Два вектора са равни, ако са колинеарни, еднакви по посока и имат еднаква дължина.“

От гледна точка на концепцията за свободен вектор, равните вектори са един и същ вектор, както беше обсъдено в предишния параграф.

Векторни координати в равнината и пространството

Първата точка е да разгледаме векторите в равнината. Нека да изобразим декартова правоъгълна координатна система и да я начертаем от началото на координатите единиченвектори и:

Вектори и ортогонален. Ортогонално = Перпендикулярно. Препоръчвам ви бавно да свикнете с термините: вместо успоредност и перпендикулярност използваме думите съответно колинеарностИ ортогоналност.

Обозначение:Ортогоналността на векторите се записва с обичайния символ за перпендикулярност, например: .

Разглежданите вектори се наричат координатни векториили orts. Тези вектори образуват базав самолет. Какво е основа, мисля, е интуитивно ясно за мнозина; по-подробна информация може да бъде намерена в статията Линейна (не)зависимост на векторите. Основа на векторитеС прости думи, основата и произходът на координатите определят цялата система - това е един вид основа, върху която кипи пълен и богат геометричен живот.

Понякога изградената основа се нарича ортонормалнаоснова на равнината: “орто” - тъй като координатните вектори са ортогонални, прилагателното “нормализиран” означава единица, т.е. дължините на базисните вектори са равни на единица.

Обозначение:основата обикновено се изписва в скоби, вътре в които в строга последователностбазисните вектори са изброени, например: . Координатни вектори забранено епренареждам.

Всякаквиравнинен вектор единственият начинизразено като:
, къде - числакоито се наричат векторни координатив тази основа. И самият израз наречен векторно разлаганепо основа .

Сервирана вечеря:

Да започнем с първата буква от азбуката: . Чертежът ясно показва, че при разлагането на вектор в базис се използват току-що обсъдените:
1) правилото за умножаване на вектор с число: и ;
2) събиране на вектори по правилото на триъгълника: .

Сега мислено начертайте вектора от всяка друга точка на равнината. Съвсем очевидно е, че неговото упадък ще го „следва безмилостно“. Ето я свободата на вектора - векторът „носи всичко със себе си“. Това свойство, разбира се, е вярно за всеки вектор. Забавно е, че самите базисни (свободни) вектори не трябва да се изчертават от началото; Вярно е, че не е нужно да правите това, тъй като учителят също ще покаже оригиналност и ще ви изтегли „кредит“ на неочаквано място.

Векторите илюстрират точно правилото за умножение на вектор по число, векторът е съпосочен с основния вектор, векторът е насочен срещуположно на основния вектор. За тези вектори една от координатите е равна на нула, можете да го запишете така:


А базисните вектори, между другото, са така: (всъщност те се изразяват чрез себе си).

И накрая: , . Между другото, какво е векторно изваждане и защо не говорих за правилото за изваждане? Някъде в линейната алгебра, не помня къде, отбелязах, че изваждането е специален случай на събиране. По този начин разширенията на векторите "de" и "e" лесно се записват като сума: , . Следвайте чертежа, за да видите колко ясно работи доброто старо добавяне на вектори според правилото на триъгълника в тези ситуации.

Разгледаното разлагане на формата понякога се нарича векторно разлагане в орт системата(т.е. в система от единични вектори). Но това не е единственият начин да напишете вектор;

Или със знак за равенство:

Самите базисни вектори се записват по следния начин: и

Тоест координатите на вектора са посочени в скоби. В практически задачи се използват и трите варианта на нотация.

Съмнявах се дали да говоря, но все пак ще го кажа: векторните координати не могат да бъдат пренареждани. Строго на първо мястозаписваме координатата, която съответства на единичния вектор, строго на второ мястозаписваме координатата, която съответства на единичния вектор. Наистина и са два различни вектора.

Намерихме координатите на самолета. Сега нека да разгледаме векторите в триизмерното пространство, тук почти всичко е същото! Просто ще добави още една координата. Трудно е да се правят триизмерни рисунки, така че ще се огранича до един вектор, който за простота ще отделя от началото:

Всякакви 3D космически вектор единственият начинразширяване върху ортонормална основа:
, където са координатите на вектора (числото) в тази основа.

Пример от снимката: . Нека видим как работят векторните правила тук. Първо умножете вектора по числото: (червена стрелка), (зелена стрелка) и (малинова стрелка). Второ, ето пример за добавяне на няколко, в този случай три вектора: . Векторът на сумата започва от началната точка на изход (началото на вектора) и завършва в крайната точка на пристигане (края на вектора).

Всички вектори на триизмерното пространство, естествено, също са свободни; опитайте се мислено да отделите вектора от всяка друга точка и ще разберете, че неговото разлагане „ще остане с него“.

Подобно на плоския случай, в допълнение към писането широко се използват варианти със скоби: или .

Ако един (или два) координатни вектора липсват в разширението, тогава на тяхно място се поставят нули. Примери:
вектор (щателно ) – да пишем ;
вектор (щателно ) – да пишем ;
вектор (щателно ) – да пишем.

Базисните вектори се записват, както следва:

Това може би са всички минимални теоретични познания, необходими за решаване на проблемите на аналитичната геометрия. Може да има много термини и определения, така че препоръчвам на чайниците да препрочетат и разберат тази информация отново. И ще бъде полезно за всеки читател да се обръща от време на време към основния урок, за да усвои по-добре материала. Колинеарност, ортогоналност, ортонормална основа, векторно разлагане - тези и други понятия ще бъдат често използвани в бъдеще. Бих искал да отбележа, че материалите на сайта не са достатъчни за преминаване на теоретичен тест или колоквиум по геометрия, тъй като аз внимателно криптирам всички теореми (и без доказателства) - в ущърб на научния стил на представяне, но плюс за вашия разбиране на предмета. За да получите подробна теоретична информация, моля да се поклоните на проф. Атанасян.

И преминаваме към практическата част:

Най-простите задачи на аналитичната геометрия.
Действия с вектори в координати

Силно препоръчително е да научите как да решавате задачите, които ще се разглеждат напълно автоматично, и формулите запаметявам, дори не е нужно да го помните нарочно, те сами ще го запомнят =) Това е много важно, тъй като други проблеми на аналитичната геометрия се основават на най-простите елементарни примери и ще бъде досадно да прекарвате допълнително време в ядене на пешки . Няма нужда да закопчавате горните копчета на ризата, много неща са ви познати от училище.

Поднасянето на материала ще следва паралелен ход – както за самолета, така и за космоса. Поради причината, че всички формули... ще видите сами.

Как да намерим вектор от две точки?

Ако са дадени две точки от равнината и , тогава векторът има следните координати:

Ако са дадени две точки в пространството и , тогава векторът има следните координати:

т.е. от координатите на края на векторатрябва да извадите съответните координати началото на вектора.

Упражнение:За същите точки запишете формулите за намиране на координатите на вектора. Формули в края на урока.

Пример 1

Дадени са две точки от равнината и . Намерете векторни координати

Решение:по съответната формула:

Като алтернатива може да се използва следният запис:

Естетите ще решат това:

Лично аз съм свикнал с първия вариант на записа.

отговор:

Според условието не беше необходимо да се изгражда чертеж (което е типично за проблемите на аналитичната геометрия), но за да изясня някои точки за манекени, няма да бъда мързелив:

Определено трябва да разберете разлика между координатите на точката и векторните координати:

Координати на точки– това са обикновени координати в правоъгълна координатна система. Мисля, че всеки знае как се нанасят точки върху координатна равнина от 5-6 клас. Всяка точка има строго определено място в равнината и не може да бъде преместена никъде.

Координатите на вектора– това е разширяването му според основата, в случая. Всеки вектор е свободен, така че ако желаете или е необходимо, можем лесно да го отдалечим от друга точка на равнината (за да избегнем объркване, преозначавайки го, например, с ). Интересно е, че за векторите изобщо не е нужно да изграждате оси или правоъгълна координатна система; имате нужда само от основа, в този случай ортонормална основа на равнината.

Записите на координати на точки и координати на вектори изглеждат подобни: , и значение на координатитеабсолютно различни, и трябва да сте добре запознати с тази разлика. Тази разлика, разбира се, важи и за пространството.

Дами и господа, нека напълним ръцете си:

Пример 2

а) Дадени са точки и . Намерете вектори и .
б) Дават се точки И . Намерете вектори и .
в) Дадени са точки и . Намерете вектори и .
г) Дават се точки. Намерете вектори .

Може би това е достатъчно. Това са примери, които можете да решите сами, опитайте се да не ги пренебрегвате, ще ви се отплати ;-). Няма нужда да правите чертежи. Решения и отговори в края на урока.

Какво е важно при решаването на задачи по аналитична геометрия?Важно е да бъдете ИЗКЛЮЧИТЕЛНО ВНИМАТЕЛНИ, за да избегнете майсторската грешка „две плюс две е равно на нула“. Веднага се извинявам, ако съм сбъркал някъде =)

Как да намерим дължината на сегмент?

Дължината, както вече беше отбелязано, се обозначава със знака за модул.

Ако са дадени две точки от равнината и , тогава дължината на сегмента може да се изчисли с помощта на формулата

Ако са дадени две точки в пространството и , тогава дължината на сегмента може да се изчисли с помощта на формулата

Забележка: Формулите ще останат правилни, ако съответните координати се разменят: и , но първата опция е по-стандартна

Пример 3

Решение:по съответната формула:

отговор:

За по-голяма яснота ще направя чертеж

сегмент – това не е вектори, разбира се, не можете да го преместите никъде. Освен това, ако рисувате в мащаб: 1 единица. = 1 см (две клетки от тетрадка), тогава полученият отговор може да се провери с обикновена линийка чрез директно измерване на дължината на отсечката.

Да, решението е кратко, но в него има още няколко важни точки, които бих искал да изясня:

Първо, в отговора поставяме измерението: „единици“. В условието не пише КАКВО е, милиметри, сантиметри, метри или километри. Следователно, математически правилното решение би било общата формулировка: „единици“ - съкратено като „единици“.

Второ, нека повторим учебния материал, който е полезен не само за разглежданата задача:

Моля, обърнете внимание важна техника – премахване на множителя изпод корена. В резултат на изчисленията имаме резултат и добрият математически стил включва премахване на фактора под корена (ако е възможно). По-подробно процесът изглежда така: . Разбира се, да оставим отговора такъв, какъвто е, няма да е грешка - но със сигурност би било недостатък и сериозен аргумент за заяждане от страна на учителя.

Ето други често срещани случаи:

Често коренът произвежда доста голям брой, например . Какво да правим в такива случаи? С помощта на калкулатора проверяваме дали числото се дели на 4: . Да, той беше напълно разделен, така че: . Или може би числото отново може да се раздели на 4? . Така: . Последната цифра на числото е нечетна, така че разделянето на 4 за трети път очевидно няма да работи. Нека се опитаме да разделим на девет: . В резултат на това:
Готови.

Заключение:ако под корена получим число, което не може да бъде извлечено като цяло, тогава се опитваме да премахнем фактора от под корена - с помощта на калкулатор проверяваме дали числото се дели на: 4, 9, 16, 25, 36, 49 и др.

Когато решавате различни задачи, често се срещат корени; винаги се опитвайте да извлечете фактори под корена, за да избегнете по-ниска оценка и ненужни проблеми с финализирането на вашите решения въз основа на коментарите на учителя.

Нека също повторим корени на квадрат и други степени:

Правилата за работа със степените в общ вид могат да бъдат намерени в училищен учебник по алгебра, но мисля, че от дадените примери всичко или почти всичко вече е ясно.

Задача за самостоятелно решение с отсечка в пространството:

Пример 4

Дават се точки и . Намерете дължината на отсечката.

Решението и отговорът са в края на урока.

Как да намерим дължината на вектор?

Ако е даден плосък вектор, тогава неговата дължина се изчислява по формулата.

Ако е даден пространствен вектор, тогава неговата дължина се изчислява по формулата .

Тези формули (както и формулите за дължината на отсечка) се извеждат лесно с помощта на добре известната Питагорова теорема.