المضلع المحدب وعناصره. مضلع، مضلع محدب، رباعي الأضلاع

مجموعة محدبة من النقاط على المستوى.

العديد من النقاط على متن الطائرة أو في مساحة ثلاثية الأبعادمُسَمًّى محدب، إذا كان من الممكن توصيل أي نقطتين من هذه المجموعة بواسطة قطعة خطية تقع بالكامل في هذه المجموعة.

النظرية 1. تقاطع عدد محدودمن المجموعات المحدبة هي مجموعة محدبة.

عاقبة.تقاطع عدد محدود من المجموعات المحدبة هو مجموعة محدبة.

نقاط الزاوية.

نقطة الحدود مجموعة محدبةمُسَمًّى الزاوي، إذا كان من الممكن رسم قطعة من خلالها، جميع نقاطها لا تنتمي إلى المجموعة المحددة.

مجموعات من الأشكال المختلفة يمكن أن تكون محدودة أو عدد لا نهائينقاط الزاوية.

مضلع محدب.

مضلعمُسَمًّى محدبإذا كان على جانب واحد من كل خط مستقيم يمر على اثنين منه القمم المجاورة.

النظرية: مجموع الزوايا محدب ن غونيساوي 180˚ *(ن-2)

6) حل الأنظمة م عدم المساواة الخطيةمع متغيرين

نظرا لنظام عدم المساواة الخطية مع متغيرين

قد تكون علامات بعض أو كل حالات عدم المساواة ≥.

لنفكر في المتباينة الأولى في نظام الإحداثيات X1OX2. دعونا نبني خطا مستقيما

وهو خط الحدود.

يقسم هذا الخط المستقيم المستوى إلى نصفين مستويين 1 و 2 (الشكل 19.4).

نصف المستوى 1 يحتوي على الأصل، ونصف المستوى 2 لا يحتوي على الأصل.

لتحديد أي جانب من خط الحدود يقع عليه نصف المستوى، عليك أن تأخذ نقطة عشوائية على المستوى (ويفضل نقطة الأصل) وتستبدل إحداثيات هذه النقطة في المتراجحة. إذا كانت المتراجحة صحيحة، فإن نصف المستوى يتجه نحو هذه النقطة؛ وإذا لم يكن صحيحًا، ففي الاتجاه المعاكس للنقطة.

يظهر اتجاه نصف المستوى في الأشكال بالسهم.

التعريف 15. الحل لكل متباينة في النظام هو نصف مستوى يحتوي على خط الحدود ويقع على أحد جانبيه.

التعريف 16. يُطلق على تقاطع أنصاف المستويات، والتي يتم تحديد كل منها من خلال عدم المساواة المقابلة للنظام، مجال حل النظام (SO).

التعريف 17. تسمى منطقة الحل للنظام الذي يلبي شروط عدم السلبية (xj ≥ 0، j =) بمنطقة الحلول غير السلبية أو المقبولة (ADS).

إذا كان نظام المتباينات متسقًا، فيمكن أن يكون OR وODR متعدد السطوح، أو منطقة متعددة السطوح غير محدودة، أو نقطة واحدة.

إذا كان نظام المتباينات غير متناسق، فإن OR وODR عبارة عن مجموعة فارغة.

المثال 1. أوجد OR وODE لنظام المتباينات وحدد إحداثيات نقاط زاوية ODE

حل. دعونا نوجد OR للمتباينة الأولى: x1 + 3x2 ≥ 3. لنقم ببناء خط الحدود x1 + 3x2 – 3 = 0 (الشكل 19.5). لنعوض بإحداثيات النقطة (0,0) في المتراجحة: 1∙0 + 3∙0 > 3; وبما أن إحداثيات النقطة (0,0) لا تحققها، فإن حل المتباينة (19.1) هو نصف مستوى لا يحتوي على النقطة (0,0).

دعونا نجد بالمثل حلولاً لأوجه عدم المساواة المتبقية في النظام. لقد حصلنا على أن OR و ODE لنظام عدم المساواة هو متعدد السطوح محدب ABCD.

سوف نجد نقاط الزاويةمتعدد السطوح. نحدد النقطة A كنقطة تقاطع الخطوط

بحل النظام نحصل على A(3/7, 6/7).

نجد النقطة B كنقطة تقاطع الخطوط

من النظام نحصل على B(5/3, 10/3). وبالمثل، نجد إحداثيات النقطتين C وD: C(11/4; 9/14)، D(3/10; 21/10).

مثال 2. أوجد OR وODE لنظام المتباينات

حل. دعونا نبني خطوطًا مستقيمة ونحدد حلول عدم المساواة (19.5)-(19.7). OR وODR هما مناطق متعددة السطوح غير محدودة ACFM وABDEKM، على التوالي (الشكل 19.6).

مثال 3. أوجد OR وODE لنظام المتباينات

حل. دعونا نجد حلولاً لعدم المساواة (19.8)-(19.10) (الشكل 19.7). تمثل OR المنطقة متعددة السطوح غير المحدودة ABC؛ ODR - النقطة ب.

مثال 4. أوجد OP وODP لنظام عدم المساواة

حل. ومن خلال بناء خطوط مستقيمة، سنجد حلولاً لعدم المساواة في النظام. OR و ODR غير متوافقين (الشكل 19.8).

تمارين

أوجد OR و ODE لأنظمة عدم المساواة

نظرية. إذا xn ® a، إذن .

دليل. من xn ® a يتبع ذلك . في نفس الوقت:

، أي. ، أي. . لقد تم إثبات النظرية.

نظرية. إذا كان xn ® a، فإن التسلسل (xn) محدود.

وتجدر الإشارة إلى أن القول العكسي غير صحيح، أي. حدود التسلسل لا تعني تقاربها.

على سبيل المثال، التسلسل ليس له حد بالرغم من ذلك

توسيع الوظائف إلى سلسلة الطاقة.

توسيع الوظائف في سلسلة السلطةلديه قيمة عظيمةلحلها مهام مختلفةبحث الوظائف والتمايز والتكامل والحلول المعادلات التفاضلية، حساب الحدود، حساب القيم التقريبية للدالة.

التعريف 1.يسمى الخط المكسور التسلسل النهائيالمقاطع، بحيث يكون أحد طرفي الجزء الأول بمثابة نهاية الجزء الثاني، والطرف الآخر من الجزء الثاني بمثابة نهاية الجزء الثالث، وما إلى ذلك.

الأقسام التي تتكون منها خط مكسور، تسمى الروابط. الأجزاء المتجاورة لا تقع على نفس الخط المستقيم. إذا تطابقت نهايات الخط المكسور، فإنه يسمى مغلق. يمكن للخط المتعدد أن يتقاطع مع نفسه، ويلمس نفسه، ويستقر على نفسه. إذا لم يكن لدى الخط المكسور مثل هذه الميزات، فسيتم استدعاؤه بسيط.

التعريف 2.يُطلق على الخط المكسور البسيط المغلق مع جزء المستوى الذي يحده اسم المضلع.

يُطلق على الخط المتقطع نفسه اسم حدود المضلع، وتسمى روابط الخط المتقطع الأطرافالمضلع، نهايات الروابط هي رؤوس المضلع. جانبان متجاوران من المضلع يشكلان زاوية. عدد الزوايا في المضلع يساوي عدد أضلاعه. كل مضلع له زوايا أقل من 180 درجة. تسمى جوانب وزوايا المضلع عناصرمضلع.

يُطلق على القطعة المستقيمة التي تربط بين رأسين غير متجاورين لمضلع اسم قطري. أي n-gon يمكن أن يكون له قطر n-2.

التعريف 3.يسمى المضلع محدبإذا كانت على جانب واحد من كل سطر يحتوي على جانبه. تسمى المضلعات التي لا تستوفي هذا الشرط بأنها غير محدبة.

خصائص المضلعات المحدبة.

الخاصية 1.المضلع المحدب جميع زواياه أقل من 180 درجة.

البرهان: خذ أي زاوية A من المضلع المحدب P وضلعها a قادما من الرأس A. لتكن l خطا مستقيما يحتوي على الضلع a. وبما أن المضلع P محدب، فإنه يقع على أحد جانبي الخط l. وبالتالي فإن الزاوية A تقع على أحد جانبي الخط المستقيم l. وبالتالي، فإن الزاوية A أقل من الزاوية غير المطوية، أي ÐA< 180°.

الملكية 2.يوجد مقطع خطي يربط بين أي نقطتين في مضلع محدب في هذا المضلع.

الدليل: خذ أي نقطتين M وN من المضلع المحدب P. المضلع P هو تقاطع عدة أنصاف مستويات. يقع الجزء MN في كل من هذه المستويات النصفية. لذلك، فهو موجود أيضًا في المضلع R.

الملكية 3.مجموع زوايا المضلع المحدب هو (ن – 2)∙180°.

البرهان: خذ نقطة عشوائية O داخل المضلع المحدب P وقم بتوصيلها بجميع رؤوس المضلع. يتم تشكيل مثلثات N مجموع زوايا كل منها 180 درجة. مجموع الزوايا عند الرأس O يساوي 360° = 2∙180°. ولذلك فإن مجموع زوايا المضلع هو n∙180° - 2∙180° = (n – 2)∙180°.

مفهوم متوازي الأضلاع. خصائص متوازي الأضلاع.

التعريف 1.رباعي الزوايا, الجانبين المتقابلينوالتي تكون متوازية بشكل زوجي تسمى متوازي الأضلاع.

كل متوازي أضلاع له أربعة رؤوس وأربعة جوانب وأربعة زوايا. الجانبين وجود الغايات المشتركة، يتم استدعاؤهم مجاور. يحتوي كل متوازي أضلاع على قطرين - قطع متصلة القمم المعاكسةمتوازي الأضلاع. مجموع زوايا متوازي الأضلاع هو 360 درجة.

خصائص متوازي الأضلاع.

الخاصية 1.متوازي الأضلاع له جوانب متقابلة متساوية و زوايا متضادةزوجية متساوية.

البرهان: لنرسم التيار المتردد المائل. مكيف الهواء - عام؛

РВАС = РАСD (وضع عرضي داخلي عند AB II BC والقاطع AC)؛

РВСА = РСАD (وضع عرضي داخلي عند AD II BC والقاطع AC)؛

Þ DABC = DADC (استنادًا إلى خاصيتين).

أب = مؤتمر نزع السلاح؛ قبل الميلاد = م؛ РВ = RD.

RA = РВАС + РСAD؛ РС = РАСB + РАСD؛ Þ RA = РС.

الملكية 2.في متوازي الأضلاع، مجموع الزوايا المجاورة لأحد الجانبين يصل إلى 180 درجة.

دليل:

РВ + РА = 180° (أحادي الجانب داخلي مع BC II AD والقاطع AB).

ÐB + ÐС = 180° (أحادي الجانب داخلي مع AB II CD والقاطع BC).

ÐD + ÐC = 180° (أحادي الجانب داخلي مع BC II AD والقرص المضغوط القاطع).

ÐA + ÐD = 180° (أحادي الجانب داخلي مع AB II CD وsecant AD).

الملكية 3.تنقسم أقطار متوازي الأضلاع إلى نصفين حسب نقطة التقاطع.

البرهان: لنرسم القطرين AC وBD المتقاطعين عند النقطة O.

AB = CD (حسب متوازي الأضلاع الأول)؛

ÐABO = ÐODC (وضع عرضي داخلي على القرص المضغوط AB II والقاطع BD)؛

РБАО = РОСD (وضع عرضي داخلي على القرص المضغوط AB II وAC القاطع)؛

Þ DABO = DODC (استنادًا إلى خاصيتين).

بو = التطوير التنظيمي؛ آو = أوك.

علامات متوازي الأضلاع.

التوقيع 1.إذا كان ضلعان في شكل رباعي متساويين ومتوازيين، فإن الشكل الرباعي هو متوازي أضلاع.

المعطى: ABCD – رباعي؛ م الثاني ق.م.،

في هذا الدرس سنبدأ موضوع جديدويقدم لنا مفهومًا جديدًا: "المضلع". سنلقي نظرة على المفاهيم الأساسية المرتبطة بالمضلعات: الجوانب، وزوايا الرأس، والتحدب، وعدم التحدب. ثم سوف نثبت أهم الحقائقمثل نظرية المجموع زوايا داخليةالمضلع، نظرية المجموع زوايا خارجيةمضلع. ونتيجة لذلك، سنقترب من دراسة حالات خاصة للمضلعات، والتي سيتم تناولها في دروس لاحقة.

الموضوع: الأشكال الرباعية

الدرس: المضلعات

في مقرر الهندسة، ندرس خصائص الأشكال الهندسية وقد قمنا بالفعل بدراسة أبسطها: المثلثات والدوائر. وفي الوقت نفسه، ناقشنا أيضًا حالات خاصة محددة لهذه الأشكال، مثل المثلث القائم ومتساوي الساقين والمثلثات المنتظمة. الآن حان الوقت للحديث عن أكثر عمومية و شخصيات معقدة - المضلعات.

مع حالة خاصة المضلعاتنحن مألوفون بالفعل - هذا مثلث (انظر الشكل 1).

أرز. 1. المثلث

يؤكد الاسم نفسه بالفعل على أن هذا الشكل ذو ثلاث زوايا. لذلك، في مضلعيمكن أن يكون هناك الكثير منهم، أي. أكثر من ثلاثة. على سبيل المثال، لنرسم شكلاً خماسيًا (انظر الشكل 2)، أي. الشكل مع خمس زوايا.

أرز. 2. البنتاغون. مضلع محدب

تعريف.مضلع- شكل يتكون من عدة نقاط (أكثر من نقطتين) والعدد المقابل للأجزاء التي تربطها بالتتابع. تسمى هذه النقاط قممالمضلع، والقطاعات هي الأطراف. في هذه الحالة، لا يوجد ضلعان متجاوران يقعان على نفس الخط المستقيم، ولا يتقاطع ضلعان غير متجاورين.

تعريف.مضلع منتظم- هذا مضلع محدبحيث تكون جميع الجوانب والزوايا متساوية.

أي مضلعيقسم الطائرة إلى منطقتين: داخلية وخارجية. ويشار إلى المنطقة الداخلية أيضا باسم مضلع.

بمعنى آخر، على سبيل المثال، عندما يتحدثون عن البنتاغون، فإنهم يقصدون منطقته الداخلية بأكملها وحدوده. والمنطقة الداخلية تشمل جميع النقاط التي تقع داخل المضلع أي: تشير النقطة أيضًا إلى البنتاغون (انظر الشكل 2).

يُطلق على المضلعات أحيانًا اسم n-gons للتأكيد على أنه يتم أخذ الحالة العامة لوجود عدد غير معروف من الزوايا (n قطع) في الاعتبار.

تعريف. محيط المضلع- مجموع أطوال أضلاع المضلع .

الآن نحن بحاجة للتعرف على أنواع المضلعات. وهي مقسمة إلى محدبو غير محدب. على سبيل المثال، المضلع الموضح في الشكل. 2 محدبة، وفي الشكل. 3 غير محدبة.

أرز. 3. مضلع غير محدب

التعريف 1. مضلعمُسَمًّى محدب، إذا كان عند رسم خط مستقيم على أي من جوانبه، كله مضلعتقع فقط على جانب واحد من هذا الخط المستقيم. غير محدبهم الجميع المضلعات.

من السهل أن نتخيل أنه عند تمديد أي جانب من جوانب البنتاغون في الشكل. 2 ـ أن يكون كله على جانب واحد من هذا الخط المستقيم، أي على جهة واحدة. إنه محدب. ولكن عند رسم خط مستقيم من خلال الشكل الرباعي في الشكل. 3 سبق أن رأينا أنه يقسمها إلى قسمين، أي: انها ليست محدبة.

ولكن هناك تعريف آخر لتحدب المضلع.

التعريف 2. مضلعمُسَمًّى محدب، إذا كان عند اختيار أي نقطتين من نقاطه الداخلية وربطهما بقطعة، فإن جميع نقاط القطعة هي أيضًا نقاط داخلية للمضلع.

يمكن رؤية توضيح لاستخدام هذا التعريف في مثال إنشاء المقاطع في الشكل. 2 و 3.

تعريف. قطريالمضلع هو أي قطعة تصل بين رأسين غير متجاورين.

لوصف خصائص المضلعات، هناك نوعان أهم النظرياتوعن زواياهم: نظرية مجموع الزوايا الداخلية للمضلع المحدبو نظرية مجموع الزوايا الخارجية للمضلع المحدب. دعونا ننظر إليهم.

نظرية. على مجموع الزوايا الداخلية لمضلع محدب (ن-غون).

أين عدد زواياه (أضلاعه).

الدليل 1. دعونا نصور في الشكل. 4 محدب n-gon.

أرز. 4. محدب n-gon

من قمة الرأس نرسم جميع الأقطار الممكنة. يقسمون n-gon إلى مثلثات، لأن يشكل كل جانب من أضلاع المضلع مثلثًا، باستثناء الأضلاع المجاورة للرأس. من السهل أن نرى من الشكل أن مجموع زوايا كل هذه المثلثات سيكون مساويًا تمامًا لمجموع الزوايا الداخلية للـ n-gon. بما أن مجموع زوايا أي مثلث هو , فإن مجموع الزوايا الداخلية للمضلع n هو:

Q.E.D.

الدليل 2. هناك دليل آخر على هذه النظرية ممكن. دعونا نرسم n-gon مشابهًا في الشكل. 5 وتوصيل أي نقطة من نقاطه الداخلية بجميع رؤوسه.

أرز. 5.

لقد حصلنا على تقسيم n-gon إلى مثلثات n (عدد الأضلاع يساوي عدد المثلثات). مجموع زواياها يساوي مجموع الزوايا الداخلية للمضلع ومجموع الزوايا عنده نقطة داخلية، وهذه هي الزاوية. لدينا:

Q.E.D.

ثبت.

وفقا للنظرية المثبتة، من الواضح أن مجموع زوايا n-gon يعتمد على عدد أضلاعه (على n). على سبيل المثال، في مثلث، ومجموع زواياه هو . في شكل رباعي، ومجموع زواياه، الخ.

نظرية. على مجموع الزوايا الخارجية لمضلع محدب (ن-غون).

أين هو عدد زواياه (أضلاعه)، و...، هي الزوايا الخارجية.

دليل. دعونا نصور n-gon محدبًا في الشكل. 6ـ وتعيين زواياه الداخلية والخارجية.

أرز. 6. محدب n-gon بزوايا خارجية محددة

لأن ثم يتم توصيل الزاوية الخارجية بالزاوية الداخلية كمجاورة وهكذا بالنسبة للزوايا الخارجية المتبقية. ثم:

أثناء التحويلات، استخدمنا النظرية المثبتة بالفعل حول مجموع الزوايا الداخلية للـ n-gon.

ثبت.

من النظرية المثبتة يتبع حقيقة مثيرة للاهتمامأن مجموع الزوايا الخارجية للمضلع n المحدب يساوي على عدد زواياه (جوانبه). بالمناسبة، على النقيض من مجموع الزوايا الداخلية.

مراجع

ألكساندروف أ.د. وغيرها، الهندسة، الصف الثامن. - م: التربية، 2006.
بوتوزوف ف.ف.، كادومتسيف إس.بي.، براسولوف ف.ف. الهندسة، الصف الثامن. - م: التربية، 2011.
Merzlyak A.G.، Polonsky V.B.، Yakir S.M. الهندسة، الصف الثامن. - م: فينتانا-غراف، 2009.

Profmeter.com.ua ().
نارود.رو ().
كسفاتيت.كوم ().

العمل في المنزل

هذه الأشكال الهندسية تحيط بنا في كل مكان. يمكن أن تكون المضلعات المحدبة طبيعية، مثل قرص العسل، أو صناعية (من صنع الإنسان). وتستخدم هذه الأرقام في الإنتاج أنواع مختلفةالطلاءات، في الرسم، والهندسة المعمارية، والديكورات، الخ. تتميز المضلعات المحدبة بخاصية أن جميع نقاطها تقع على جانب واحد من الخط الذي يمر عبر زوج من القمم المتجاورة من هذا الشكل الهندسي. هناك تعريفات أخرى. المضلع المحدب هو الذي يقع في نصف مستوى واحد بالنسبة إلى أي خط مستقيم يحتوي على أحد جوانبه.

في المعرفة الهندسة الابتدائيةتعتبر دائما حصريا مضلعات بسيطة. لفهم كل خصائص هذا، من الضروري أن نفهم طبيعتها. أولاً، عليك أن تفهم أن أي سطر تتطابق نهاياته يسمى مغلقاً. علاوة على ذلك، فإن الشكل الذي يتكون منه يمكن أن يكون له مجموعة متنوعة من التكوينات. المضلع عبارة عن خط متقطع ومغلق بسيط لا توجد فيه الروابط المجاورة على نفس الخط المستقيم. وروابطه ورؤوسه هي، على التوالي، جوانب ورؤوس هذا الشكل الهندسي. لا ينبغي أن يحتوي الخط المتعدد البسيط على تقاطعات ذاتية.

تسمى رؤوس المضلع متجاورة إذا كانت تمثل نهايات أحد أضلاعه. شكل هندسي له الرقم نقمم، وبالتالي الكمية نالجانبين يسمى n-gon. يُطلق على الخط المكسور نفسه اسم حدود أو محيط هذا الشكل الهندسي. المستوى المضلع أو المضلع المسطح هو الجزء المحدود من أي مستوى يحده. الجوانب المجاورة لهذا الشكل الهندسي عبارة عن أجزاء من خط متقطع ينبثق من قمة واحدة. ولن تكونا متجاورتين إذا جاءتا من رؤوس مختلفة للمضلع.

تعريفات أخرى للمضلعات المحدبة

في الهندسة الأولية، هناك العديد من التعريفات المكافئة في المعنى، مما يشير إلى المضلع الذي يسمى محدبًا. وعلاوة على ذلك، كل هذه الصيغ في بنفس الدرجةصحيحة. يعتبر المضلع محدباً إذا كان:

كل قطعة تصل بين أي نقطتين بداخلها تقع بالكامل بداخلها؛

جميع أقطارها تقع داخلها.

أي زاوية داخلية لا تتجاوز 180 درجة.

يقوم المضلع دائمًا بتقسيم المستوى إلى قسمين. أحدهما محدود (يمكن وضعه في دائرة)، والآخر غير محدود. الأولى تسمى المنطقة الداخلية، والثانية هي المنطقة الخارجية لهذا الشكل الهندسي. هذا المضلع هو تقاطع (بمعنى آخر، المكون المشترك) لعدة أنصاف مستويات. علاوة على ذلك، فإن كل قطعة تنتهي عند نقاط تنتمي إلى المضلع تنتمي إليه بالكامل.

أصناف من المضلعات المحدبة

لا يشير تعريف المضلع المحدب إلى وجود أنواع عديدة. وعلاوة على ذلك، كل واحد منهم لديه معايير معينة. وبالتالي، فإن المضلعات المحدبة التي لها زاوية داخلية تساوي 180 درجة تسمى محدبة ضعيفة. يسمى الشكل الهندسي المحدب الذي له ثلاثة رؤوس مثلثًا، وأربعة - رباعي الأضلاع، وخمسة - خماسي، وما إلى ذلك. كل من n-gons المحدبة يفي بالمتطلبات الأكثر أهمية التالية: يجب أن يكون n مساوياً أو أكبر من 3. كل منها من المثلثات محدبة. الشكل الهندسي من هذا النوعتسمى جميع رؤوسها التي تقع على نفس الدائرة منقوشة في دائرة. يسمى المضلع المحدب مقيدًا إذا لامسته جميع جوانبه القريبة من الدائرة. يقال إن المضلعين يكونان متطابقين فقط إذا كان من الممكن جمعهما معًا عن طريق التراكب. المضلع المستوي هو مستوى متعدد الأضلاع (جزء من المستوى) يقتصر على هذا الشكل الهندسي.

مضلعات محدبة منتظمة

المضلعات المنتظمة هي أشكال هندسية ذات زوايا متساويةوالأطراف. يوجد بداخلها نقطة 0 تقع على نفس المسافة من كل رأس من رؤوسها. ويسمى مركز هذا الشكل الهندسي. تسمى الأجزاء التي تربط المركز برؤوس هذا الشكل الهندسي بالقياسات، وتلك التي تربط النقطة 0 بالجوانب تسمى نصف القطر.

الشكل الرباعي المنتظم هو مربع. مثلث منتظميسمى متساوي الأضلاع. بالنسبة لمثل هذه الأشكال، هناك القاعدة التالية: كل زاوية في المضلع المحدب تساوي 180° * (n-2)/ n،

حيث n هو عدد رؤوس هذا الشكل الهندسي المحدب.

مساحة أي مضلع منتظمتحددها الصيغة:

حيث p يساوي نصف مجموع جميع أضلاع مضلع معين، وh يساوي طول الارتفاع.

خصائص المضلعات المحدبة

المضلعات المحدبة لها خصائص معينة. وبالتالي، فإن الجزء الذي يربط أي نقطتين من هذا الشكل الهندسي موجود فيه بالضرورة. دليل:

لنفترض أن P هو مضلع محدب معين. خذ 2 نقاط تعسفية، على سبيل المثال، A، B، التي تنتمي إلى R. Po التعريف الموجودفي مضلع محدب، تقع هذه النقاط على جانب واحد من الخط الذي يحتوي على أي جانب P. وبالتالي، فإن AB لديه هذه الخاصية أيضًا وهو موجود في P. يمكن دائمًا تقسيم المضلع المحدب إلى عدة مثلثات بجميع الأقطار تمامًا يتم رسمها من أحد رؤوسها.

زوايا الأشكال الهندسية المحدبة

زوايا المضلع المحدب هي الزوايا التي تشكلها جوانبه. تقع الزوايا الداخلية في المنطقة الداخلية من شكل هندسي معين. وتسمى الزاوية التي تتكون من أضلاعه التي تلتقي في أحد رؤوسه زاوية المضلع المحدب. تسمى الزوايا الداخلية لشكل هندسي معين بالزوايا الخارجية. كل زاوية من زوايا المضلع المحدب الموجود بداخله تساوي:

حيث x هو حجم الزاوية الخارجية. هذا صيغة بسيطةينطبق على أي أشكال هندسية من هذا النوع.

في حالة عامة، للزوايا الخارجية هناك القاعدة التالية: كل زاوية في المضلع المحدب تساوي الفرق بين 180° وحجم الزاوية الداخلية. يمكن أن تتراوح قيمها من -180 درجة إلى 180 درجة. ولذلك، عندما تكون الزاوية الداخلية 120 درجة، فإن الزاوية الخارجية ستكون 60 درجة.

مجموع زوايا المضلعات المحدبة

يتم تحديد مجموع الزوايا الداخلية للمضلع المحدب بالصيغة:

حيث n هو عدد رؤوس n-gon.

يتم حساب مجموع زوايا المضلع المحدب بكل بساطة. النظر في أي شكل هندسي من هذا القبيل. لتحديد مجموع الزوايا داخل مضلع محدب، تحتاج إلى توصيل أحد رؤوسه بالقمم الأخرى. ونتيجة لهذا الإجراء يتم الحصول على مثلثات (n-2). ومن المعروف أن مجموع زوايا أي مثلث يساوي دائمًا 180 درجة. وبما أن عددها في أي مضلع هو (n-2)، فإن مجموع الزوايا الداخلية لهذا الشكل يساوي 180° x (n-2).

مجموع زوايا المضلع المحدب، أي زاويتين داخليتين وخارجيتين متجاورتين، لشكل هندسي محدب معين، سيكون دائمًا مساويًا لـ 180 درجة. وعلى هذا يمكننا تحديد مجموع زواياه:

مجموع الزوايا الداخلية هو 180 درجة * (ن-2). بناءً على ذلك، يتم تحديد مجموع جميع الزوايا الخارجية لشكل معين بواسطة الصيغة:

180° * ن-180°-(ن-2)= 360°.

سيكون مجموع الزوايا الخارجية لأي مضلع محدب دائمًا 360 درجة (بغض النظر عن عدد الجوانب).

يتم تمثيل الزاوية الخارجية للمضلع المحدب عمومًا بالفرق بين 180 درجة وقيمة الزاوية الداخلية.

خصائص أخرى للمضلع المحدب

بالإضافة إلى الخصائص الأساسية لهذه الأشكال الهندسية، فإن لها أيضًا خصائص أخرى تنشأ عند التلاعب بها. وبالتالي، يمكن تقسيم أي من المضلعات إلى عدة مضلعات محدبة. للقيام بذلك، تحتاج إلى مواصلة كل جانب من جوانبه وقطع هذا الشكل الهندسي على طول هذه الخطوط المستقيمة. ومن الممكن أيضًا تقسيم أي مضلع إلى عدة أجزاء محدبة بحيث تتطابق رؤوس كل قطعة مع جميع رؤوسها. من هذا الشكل الهندسي، يمكنك ببساطة إنشاء مثلثات عن طريق رسم جميع الأقطار من قمة واحدة. وبالتالي، يمكن تقسيم أي مضلع في النهاية إلى عدد معين من المثلثات، وهو أمر مفيد للغاية في حل المشكلات المختلفة المرتبطة بهذه الأشكال الهندسية.

محيط المضلع المحدب

غالبًا ما يتم الإشارة إلى أجزاء الخط المتقطع، التي تسمى جوانب المضلع، بالأحرف التالية: ab، bc، cd، de، ea. هذه هي أضلاع الشكل الهندسي الذي رؤوسه a، b، c، d، e. يُطلق على مجموع أطوال جميع أضلاع هذا المضلع المحدب اسم محيطه.

دائرة المضلع

يمكن إدراج المضلعات المحدبة أو تقييدها. تسمى الدائرة التي تمس جميع جوانب هذا الشكل الهندسي منقوشة فيها. يسمى هذا المضلع مقيدًا. مركز الدائرة المرسومة في المضلع هو نقطة تقاطع منصفات جميع الزوايا داخل شكل هندسي معين. مساحة هذا المضلع تساوي:

حيث r هو نصف قطر الدائرة المنقوشة، وp هو نصف محيط المضلع المحدد.

تسمى الدائرة التي تحتوي على رؤوس المضلع محيطة بها. في هذه الحالة، يسمى هذا الشكل الهندسي المحدب منقوشًا. مركز الدائرة الموصوفة حول هذا المضلع هو نقطة تقاطع ما يسمى بالمنصفات المتعامدة من جميع الجوانب.

أقطار الأشكال الهندسية المحدبة

أقطار المضلع المحدب هي الأجزاء التي تربط القمم غير المتجاورة. كل واحد منهم يكمن داخل هذا الشكل الهندسي. يتم تحديد عدد أقطار هذا n-gon بواسطة الصيغة:

ن = ن (ن - 3)/ 2.

عدد أقطار المضلع المحدب دور مهمفي الهندسة الابتدائية. يتم حساب عدد المثلثات (K) التي يمكن تقسيم كل مضلع محدب إليها باستخدام الصيغة التالية:

يعتمد عدد أقطار المضلع المحدب دائمًا على عدد رؤوسه.

تقسيم مضلع محدب

في بعض الحالات لحلها مشاكل هندسيةمن الضروري تقسيم المضلع المحدب إلى عدة مثلثات ذات أقطار منفصلة. يمكن حل هذه المشكلة عن طريق استخلاص صيغة معينة.

تعريف المشكلة: دعونا نصحح قسمًا معينًا من شكل n محدب إلى عدة مثلثات ذات أقطار تتقاطع فقط عند رؤوس هذا الشكل الهندسي.

الحل: لنفترض أن P1، P2، P3...، Pn هي رؤوس n-gon. الرقم Xn هو عدد أقسامه. دعونا نفكر بعناية في القطر الناتج للشكل الهندسي Pi Pn. في أي من الأقسام الصحيحةينتمي Р1 Pn إلى مثلث معين Р1 Pi Pn، والذي يحتوي على 1

دع i = 2 يكون مجموعة واحدة من الأقسام المنتظمة، تحتوي دائمًا على القطر P2 Pn. يتطابق عدد الأقسام المضمنة فيه مع عدد أقسام (n-1)-gon P2 P3 P4... Pn. وبعبارة أخرى، فهو يساوي Xn-1.

إذا كانت i = 3، فستحتوي هذه المجموعة الأخرى من الأقسام دائمًا على القطرين P3 P1 وP3 Pn. في هذه الحالة، سيتزامن عدد الأقسام العادية الموجودة في هذه المجموعة مع عدد أقسام (n-2)-gon P3 P4... Pn. بمعنى آخر، سيكون مساويًا لـ Xn-2.

دع i = 4، فمن بين المثلثات سيحتوي القسم الصحيح بالتأكيد على المثلث P1 P4 Pn، والذي سيكون مجاورًا للرباعي P1 P2 P3 P4، (n-3)-gon P4 P5... Pn. عدد الأقسام المنتظمة لمثل هذا الشكل الرباعي هو X4، وعدد أقسام (n-3)-gon هو Xn-3. وبناء على كل ما سبق يمكننا القول أن إجمالي عدد الأقسام العادية التي تحتويها هذه المجموعة يساوي Xn-3 X4. المجموعات الأخرى ذات i = 4، 5، 6، 7... ستحتوي على Xn-4 X5، Xn-5 X6، Xn-6 X7... أقسام عادية.

دع i = n-2، فإن عدد الأقسام الصحيحة في هذه المجموعة سوف يتطابق مع عدد الأقسام في المجموعة التي i=2 لها (وبعبارة أخرى، يساوي Xn-1).

بما أن X1 = X2 = 0، X3=1، X4=2...، فإن عدد جميع أقسام المضلع المحدب يساوي:

Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + ... + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.

X5 = X4 + X3 + X4 = 5

X6 = X5 + X4 + X4 + X5 = 14

X7 = X6 + X5 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42

X8 = X7 + X6 + X5 * X4 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132

عدد الأقسام المنتظمة المتقاطعة قطريًا واحدًا في الداخل

عند التحقق من حالات معينة، يمكن للمرء أن يفترض أن عدد أقطار n-gons المحدبة يساوي حاصل ضرب جميع أقسام هذا الشكل في (n-3).

والدليل على هذا الافتراض: تخيل أن P1n = Xn * (n-3)، فيمكن تقسيم أي n-gon إلى مثلثات (n-2). علاوة على ذلك، يمكن تكوين شكل رباعي (n-3) منها. بالإضافة إلى ذلك، سيكون لكل شكل رباعي قطري. بما أنه يمكن رسم قطرين في هذا الشكل الهندسي المحدب، فهذا يعني أنه يمكن رسم أقطار إضافية (n-3) في أي شكل رباعي (n-3). وبناءً على ذلك يمكننا أن نستنتج أنه في أي قسم عادي يمكن رسم (n-3) أقطاراً تنطبق عليها شروط هذه المشكلة.

مساحة المضلعات المحدبة

في كثير من الأحيان، عند حل المشاكل المختلفة للهندسة الأولية، يصبح من الضروري تحديد مساحة المضلع المحدب. لنفترض أن (Xi. Yi)، i = 1,2,3... n عبارة عن سلسلة من إحداثيات جميع القمم المجاورة لمضلع لا يحتوي على تقاطعات ذاتية. وفي هذه الحالة يتم حساب مساحتها باستخدام الصيغة التالية:

S = ½ (∑ (X i + X i + 1) (Y i + Y i + 1)))،

حيث (X 1، Y 1) = (X n +1، Y n + 1).

مفهوم المضلع

التعريف 1

مضلعهو شكل هندسي في مستوى يتكون من قطع متصلة في أزواج، ولا تقع القطع المتجاورة على خط مستقيم واحد.

في هذه الحالة، يتم استدعاء الأجزاء جوانب المضلع، ونهاياتهم - رؤوس المضلع.

التعريف 2

$n$-gon هو مضلع ذو رؤوس $n$.

أنواع المضلعات

التعريف 3

إذا كان المضلع يقع دائمًا على نفس الجانب من أي خط يمر عبر جوانبه، فسيتم استدعاء المضلع محدب(الشكل 1).

الشكل 1. مضلع محدب

التعريف 4

إذا كان المضلع يقع على جوانب متقابلة من خط مستقيم واحد على الأقل يمر عبر جوانبه، فإن المضلع يسمى غير محدب (الشكل 2).

الشكل 2. مضلع غير محدب

مجموع زوايا المضلع

دعونا نقدم نظرية حول مجموع زوايا المثلث.

النظرية 1

يتم تحديد مجموع زوايا المثلث المحدب على النحو التالي

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

دليل.

دعونا نحصل على مضلع محدب $A_1A_2A_3A_4A_5\dots A_n$. دعونا نربط رأسه $A_1$ بجميع القمم الأخرى لهذا المضلع (الشكل 3).

الشكل 3.

وبهذا الاتصال نحصل على مثلثات $n-2$. وبجمع زواياها نحصل على مجموع زوايا المضلع المعطى. بما أن مجموع زوايا المثلث يساوي $(180)^0,$ فإننا نحصل على أن مجموع زوايا المثلث المحدب يتم تحديده بواسطة الصيغة

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

لقد تم إثبات النظرية.

مفهوم الرباعي

باستخدام تعريف $2$، من السهل تقديم تعريف الشكل الرباعي.

التعريف 5

الشكل الرباعي هو مضلع ذو رؤوس $4$ (الشكل 4).

الشكل 4. رباعي الزوايا

بالنسبة للشكل الرباعي، يتم تعريف مفاهيم الشكل الرباعي المحدب والرباعي غير المحدب بالمثل. الأمثلة الكلاسيكية على الرباعيات المحدبة هي المربعة والمستطيلة وشبه المنحرفة والمعين ومتوازي الأضلاع (الشكل 5).

الشكل 5. رباعيات محدبة

النظرية 2

مجموع زوايا الشكل الرباعي المحدب هو $(360)^0$

دليل.

من خلال نظرية $1$، نعلم أن مجموع زوايا المضلع المحدب يتم تحديده بواسطة الصيغة

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

وبالتالي، فإن مجموع زوايا الشكل الرباعي المحدب يساوي

\[\left(4-2\right)\cdot (180)^0=(360)^0\]

لقد تم إثبات النظرية.