ماو "مدرسة التقنيات المبتكرة"

زوايا متعددة السطوح. متعددات الوجوه محدبة

من إعداد طالب الصف 10B: Alexey Burykin

تم الفحص بواسطة: Dubinskaya I.A.

خاباروفسك

زاوية متعددة السطوح

زاوية متعددة السطوحهو شكل يتكون من زوايا مستوية بحيث تتحقق الشروط التالية:

1) لا يوجد زاويتان النقاط المشتركةباستثناء الرأس المشترك أو الجانب الكامل؛

2) أن يكون كل ضلع من هذه الزوايا مشتركاً مع زاوية واحدة فقط من هذه الزوايا.

3) من كل زاوية، يمكنك الذهاب إلى كل زاوية على طول الزوايا التي لها جانب مشترك؛

4) لا يوجد زاويتان معاً الجانب المشتركلا تكذب في نفس الطائرة.

• تسمى الزوايا ASB، BSC،... زوايا مسطحةأو حواف، جوانبهم SA، SB، ... تسمى ضلوع، والقمة المشتركة S- قمةزاوية متعددة السطوح.

النظرية 1.

في الزاوية الثلاثية السطوح، تكون كل زاوية مستوية أقل من مجموع الزاويتين المستويتين الأخريين.

عاقبة

• / ASC- / أسب / ديوان الخدمة المدنية؛ / ASC- / ديوان الخدمة المدنية/ASB.

في الزاوية الثلاثية السطوح، تكون كل زاوية مستوية أكبر من الفرق بين الزاويتين الأخريين .

نظرية2.

• مجموع قيم الزوايا الثلاث المستوية لزاوية ثلاثية السطوح أقل من 360 درجة .

180°، مما يعني أن α + β + γ " width="640"

دليل

دعونا نشير

ثم من المثلثات ASC، ASB، BSC لدينا

الآن تأخذ عدم المساواة الشكل

180° - α + 180° - β + 180° - γ 180°،

من حيث يتبع ذلك

α + β + γ

أبسط حالات تساوي الزوايا الثلاثية السطوح

• 1) على طول زاوية ثنائية السطوح متساوية ومحاطة بين زاويتين مستويتين متساويتين ومتباعدتين بشكل مماثل ، أو 2) على طول زاوية مستوية متساوية محصورة بين زاويتين متساويتين ومتماثلتين في الموقع زوايا ثنائي السطوح .

زاوية متعددة السطوح محدبة

• تسمى الزاوية متعددة السطوح محدبة إذا كانت تقع بالكامل على جانب واحد من مستوى كل وجه من وجوهها، والتي تمتد إلى ما لا نهاية.

متعدد السطوح.

متعدد السطوحفي الفضاء ثلاثي الأبعاد - مجموعة عدد محدودالمضلعات المسطحة، بحيث يكون كل جانب من أي من المضلعات هو جانب آخر في نفس الوقت، وتسمى مجاورة للأول.

متعددات الوجوه محدبة

متعدد السطوحمُسَمًّى محدبإذا كان يقع بالكامل على جانب واحد من مستوى أي من وجوهه؛ ثم تكون حوافها محدبة أيضًا.

متعدد السطوح محدبيقطع المساحة إلى قسمين - خارجي وداخلي. الجزء الداخلي لها جسم محدب. وعلى العكس من ذلك، إذا كان سطح الجسم المحدب متعدد السطوح، فإن متعدد السطوح المقابل يكون محدبًا.

نظرية.مجموع جميع الزوايا المستوية لزاوية متعددة السطوح المحدبة أقل من 360 درجة.

الخاصية 1.في متعدد السطوح المحدب، كل الوجوه موجودة مضلعات محدبة.

الملكية2.يمكن أن يتكون أي متعدد وجوه محدب من أهرامات ذات قمة مشتركة، تشكل قاعدتها سطح متعدد الوجوه.

الزاوية ثنائية السطوح هي شكل يتكون من نصفي مستويين مع وجود خط مستقيم مشترك يحدهما. تسمى أنصاف المستويات الوجوه، ويسمى الخط المستقيم الذي يحدها حافة زاوية ثنائية السطوح.

يوضح الشكل 142 زاوية ثنائية السطوح ذات الحافة a والوجوه a و (3.

المستوى المتعامد على حافة زاوية ثنائية السطوح يتقاطع مع أوجهه على طول نصفين من الخطين. تسمى الزاوية التي تشكلها هذه الخطوط النصفية بالزاوية الخطية للزاوية ثنائية السطوح. يعتبر قياس الزاوية ثنائية السطوح هو قياس الزاوية المقابلة لها زاوية خطية. إذا قمنا من خلال النقطة A من الحافة a من زاوية ثنائية السطوح برسم مستوى y متعامد على هذه الحافة، فسوف يتقاطع المستويان a و (3 على طول خطوط نصفية (الشكل 142)؛ الزاوية الخطية لزاوية ثنائية السطوح معينة. قياس درجة هذه الزاوية الخطية هو قياس درجةزاوية زوجية. لا يعتمد قياس الزاوية ثنائية السطوح على اختيار الزاوية الخطية.

الزاوية ثلاثية السطوح هي شكل مكون من ثلاث زوايا مسطحة (الشكل 143). وتسمى هذه الزوايا بأوجه زاوية ثلاثية السطوح، وتسمى أضلاعها بالحواف. يسمى الرأس المشترك للزوايا المستوية رأس الزاوية ثلاثية السطوح. تسمى الزوايا ثنائية السطوح التي تتكون من الوجوه وامتداداتها بزوايا ثنائي السطوح لزاوية ثلاثية السطوح.

يتم تعريف مفهوم الزاوية متعددة السطوح بشكل مشابه كشكل مكون من زوايا مسطحة (الشكل 144). بالنسبة للزاوية متعددة السطوح، يتم تعريف مفاهيم الوجوه والحواف والزوايا ثنائية السطوح بنفس الطريقة المتبعة في الزاوية ثلاثية السطوح.

متعدد السطوح هو جسم يتكون سطحه من عدد محدود من المضلعات المسطحة (الشكل 145).

يسمى متعدد السطوح محدبًا إذا كان موجودًا على جانب واحد من مستوى كل مضلع على سطحه (الشكل 145، أ، ب). جزء مشتركيسمى هذا المستوى وسطح متعدد السطوح المحدب بالوجه. وجوه متعدد السطوح المحدب هي مضلعات محدبة. تسمى جوانب الوجوه حواف متعدد السطوح، وتسمى القمم رؤوس متعدد السطوح.

زوايا متعددة السطوح الزاوية متعددة السطوح هي التناظرية المكانية لمضلع على المستوى. تذكر أن المضلع الموجود على المستوى هو شكل يتكون من خط بسيط ومغلق ومكسور من هذا المستوى والمنطقة الداخلية المحدودة به.

تعريف الزاوية متعددة السطوح سطح يتكون من مجموعة محدودة من الزوايا المستوية A 1 SA 2, A 2 SA 3, ..., An-1 SAn, An. SA 1 مع قمة مشتركة S، حيث لا تحتوي الزوايا المجاورة على نقاط مشتركة، باستثناء نقاط الشعاع المشترك، والزوايا غير المجاورة ليس لديها نقاط مشتركة، باستثناء قمة مشتركة، سيتم تسميتها بسطح متعدد السطوح. يُطلق على الشكل الذي يتكون من السطح المحدد وأحد جزأين الفضاء المحدودين به اسم زاوية متعددة السطوح. يُطلق على الرأس المشترك S رأس الزاوية متعددة السطوح. تسمى الأشعة SA 1، ...، SAn حواف الزاوية متعددة السطوح، وزوايا المستوى نفسها A 1 SA 2، A 2 SA 3، ...، An-1 SAn، An. SA 1 – وجوه زاوية متعددة السطوح. يُشار إلى الزاوية متعددة السطوح بالحرفين SA 1...An، مما يشير إلى قمة الرأس والنقاط الواقعة على حوافها.

أنواع الزوايا متعددة السطوح اعتمادًا على عدد الوجوه، تكون الزوايا متعددة السطوح ثلاثية السطوح، ورباعية السطوح، وخماسية، وما إلى ذلك.

التمرين 1 أعط أمثلة على متعددات الوجوه التي تتقاطع وجوهها عند القمم فقط: أ) زوايا ثلاثية السطوح؛ ب) زوايا رباعي السطوح. ج) الزوايا الخماسية. الجواب: أ) رباعي السطوح، مكعب، اثني عشري؛ ب) المجسم الثماني. ج) عشروني الوجوه.

التمرين 2 أعط أمثلة على متعددات الوجوه التي تتقاطع وجوهها عند القمم فقط: أ) زوايا ثلاثية ورباعية السطوح؛ ب) الزوايا الثلاثية والخماسية؛ ج) الزوايا الرباعية والخماسية. الجواب: أ) الهرم الرباعي، الهرم الثنائي الثلاثي. ب) الهرم الخماسي. ج) الهرم الثنائي الخماسي.

متباينة المثلث بالنسبة للمثلث، تنطبق النظرية التالية. نظرية (عدم المساواة المثلث). كل ضلع في المثلث أقل من مجموع الضلعين الآخرين. دعونا نثبت أنه بالنسبة للزاوية ثلاثية السطوح فإن ما يلي ينطبق: التناظرية المكانيةهذه النظرية. نظرية. كل زاوية مستوية لزاوية ثلاثية السطوح أقل من مجموع زاويتيها المستويتين الأخريين.

إثبات النظر في زاوية ثلاثية السطوح SABC. ولتكن أكبر زوايا مستواه هي الزاوية ASC. ثم يتم استيفاء عدم المساواة ASB ASC

نقطة تقاطع المنصفات بالنسبة للمثلث، تنطبق النظرية التالية. نظرية. تتقاطع منصفات المثلث عند نقطة واحدة - مركز الدائرة المنقوشة. دعونا نثبت أنه بالنسبة للزاوية ثلاثية السطوح فإن التماثل المكاني التالي لهذه النظرية ينطبق. نظرية. تتقاطع المستويات المنصفية للزوايا ثنائية السطوح لزاوية ثلاثية السطوح على طول خط مستقيم واحد.

دليل على النظر في زاوية ثلاثية السطوح SABC. المستوى المنصف SAD للزاوية ثنائية السطوح SA هو موضعنقاط من هذه الزاوية متساوية البعد عن وجهيها SAB وSAC. وبالمثل، فإن المستوى المنصف SBE للزاوية ثنائية السطوح SB هو موضع نقاط هذه الزاوية المتساوية البعد عن وجهيها SAB وSBC. سيتكون خط تقاطعهما SO من نقاط متساوية البعد عن جميع أوجه الزاوية ثلاثية السطوح. وبالتالي، فإن المستوى المنصف للزاوية ثنائية السطوح SC سوف يمر عبره.

نقطة تقاطع المنصفات المتعامدة بالنسبة للمثلث، تنطبق النظرية التالية. نظرية. تتقاطع المنصفات المتعامدة على جوانب المثلث عند نقطة واحدة - مركز الدائرة المحيطة. دعونا نثبت أنه بالنسبة للزاوية ثلاثية السطوح فإن التماثل المكاني التالي لهذه النظرية ينطبق. نظرية. تتقاطع المستويات التي تمر عبر منصفات وجوه زاوية ثلاثية السطوح والمتعامدة مع هذه الوجوه على طول خط مستقيم واحد.

إثبات النظر في زاوية ثلاثية السطوح SABC. يتكون المستوى الذي يمر عبر المنصف SD للزاوية BSC والمتعامد على مستواها من نقاط متساوية البعد عن الحواف SB وSC للزاوية ثلاثية السطوح SABC. وبالمثل، فإن المستوى الذي يمر عبر المنصف SE للزاوية ASC والمتعامد على مستواه يتكون من نقاط متساوية البعد عن الحافتين SA وSC للزاوية ثلاثية السطوح SABC. سيتكون خط تقاطعهما SO من نقاط متساوية البعد عن جميع حواف الزاوية ثلاثية السطوح. وبالتالي، سيتم احتواؤها بواسطة مستوى يمر عبر منصف الزاوية ASB وعموديًا على مستواها.

نقطة تقاطع المتوسطات بالنسبة للمثلث، تنطبق النظرية التالية. نظرية. تتقاطع متوسطات المثلث عند نقطة واحدة - مركز الدائرة المنقوشة. دعونا نثبت أنه بالنسبة للزاوية ثلاثية السطوح فإن التماثل المكاني التالي لهذه النظرية ينطبق. نظرية. تتقاطع المستويات التي تمر عبر حواف زاوية ثلاثية السطوح ومنصفات الوجوه المتقابلة على طول خط مستقيم واحد.

إثبات النظر في زاوية ثلاثية السطوح SABC. سنضعها على أضلاعه شرائح متساوية SA = SB = CS. منصفات SD، SE، SF للزوايا المستوية لزاوية ثلاثية السطوح هي متوسطات المثلثات SBC، SAB، على التوالي. لذلك، AD، BE، CF هي متوسطات المثلث ABC. دع O تكون نقطة تقاطع المتوسطات. ثم الخط المستقيم SO سيكون خط تقاطع المستويات قيد النظر.

نقطة تقاطع الارتفاعات بالنسبة للمثلث، تنطبق النظرية التالية. نظرية. تتقاطع ارتفاعات المثلث أو امتداداته عند نقطة واحدة. دعونا نثبت أنه بالنسبة للزاوية ثلاثية السطوح فإن التماثل المكاني التالي لهذه النظرية ينطبق. نظرية. تتقاطع المستويات التي تمر عبر حواف زاوية ثلاثية السطوح ومتعامدة مع مستويات الوجوه المتقابلة على طول خط مستقيم واحد.

دليل على النظر في زاوية ثلاثية السطوح Sabc. دع d، e، f تكون خطوط تقاطع مستويات وجوه زاوية ثلاثية السطوح مع الطائرات التي تمر عبر الحواف a، b، c من هذه الزاوية ومتعامدة مع المستويات المقابلة للوجوه. دعونا نختار نقطة ما C على الحافة ج. دعونا نسقط العمودين CD وCE منه على الخطين d وe، على التوالي. دعونا نشير بالرمز A وB إلى نقاط تقاطع الخطين CD وCE مع الخطين SB وSA، على التوالي. الخط د هو الإسقاط المتعامدإعلان مباشر إلى طائرة BSC. وبما أن BC عمودي على الخط d، فهو عمودي أيضًا على الخط AD. وبالمثل، فإن الخط AC عمودي على الخط BE. دع O تكون نقطة تقاطع الخطين AD و BE. الخط BC عمودي على المستوى SAD، وبالتالي فهو عمودي على الخط SO. وبالمثل، فإن الخط AC عمودي على المستوى SBE، وبالتالي فهو عمودي على الخط SO. وبالتالي، فإن الخط SO عمودي على الخطين BC وAC، وبالتالي، عمودي على المستوى ABC، مما يعني أنه عمودي على الخط AB. من ناحية أخرى، الخط CO عمودي على الخط AB. وبالتالي، فإن الخط AB متعامد مع المستوى SOC. تمر الطائرة SAB عبر الخط AB، عمودي على الطائرةوبالتالي فإن SOC نفسها متعامدة مع هذا المستوى. وهذا يعني أن المستويات الثلاث قيد النظر تتقاطع على طول الخط المستقيم SO.

نظرية مجموع الزوايا المستوية. مجموع زوايا المستوى لزاوية ثلاثية السطوح أقل من 360 درجة. دليل. لتكن SABC هي الزاوية الثلاثية المعطاة. خذ بعين الاعتبار زاوية ثلاثية السطوح رأسها A مكونة من وجوه ABS وACS وزاوية BAC. بسبب عدم المساواة في المثلث، فإن عدم المساواة BAC يحمل

زوايا متعددة السطوح محدبة تسمى الزاوية متعددة السطوح محدبة إذا كانت كذلك شكل محدب، أي أنه مع أي نقطتين من نقاطه، فإنه يحتوي بالكامل على الجزء الذي يربط بينهما. يوضح الشكل أمثلة على زوايا متعددة السطوح محدبة وغير محدبة. ملكية. مجموع جميع الزوايا المستوية لزاوية متعددة السطوح المحدبة أقل من 360 درجة. والدليل مشابه لإثبات الخاصية المقابلة لزاوية ثلاثية السطوح.
التمرين 5 زاويتان مستويتان لزاوية ثلاثية السطوح هما 70° و80°. ما هي حدود زاوية المستوى الثالث؟ الجواب: 10 س

التمرين 6 الزوايا المستوية للزاوية ثلاثية السطوح هي 45° و45° و60°. أوجد الزاوية بين مستويات الزوايا المستوية التي مقدارها 45 درجة. الجواب: 90 س.

التمرين 7 في الزاوية ثلاثية السطوح، زاويتان مستويتان تساويان 45 درجة؛ الزاوية ثنائية السطوح بينهما صحيحة. أوجد زاوية المستوى الثالث. الجواب: 60 س.

التمرين 8: الزوايا المستوية للزاوية ثلاثية السطوح هي 60° و60° و90°. يتم وضع شرائح متساوية OA، OB، OC على حوافها من قمة الرأس. أوجد الزاوية ثنائية السطوح بين مستوى الزاوية 90 درجة والمستوى ABC. الجواب: 90 س.

التمرين 9: كل زاوية مستوية لزاوية ثلاثية السطوح تساوي 60 درجة. يفرد من أعلى على أحد حافتيه قطعة طولها 3 سم، ويسقط عمودي من نهايتها على الوجه المقابل. أوجد طول هذا العمودي. الجواب: انظر

تعريفات.

لنأخذ عدة زوايا (الشكل 37): ASB وBSC وCSD، والتي تتجاور مع بعضها البعض بشكل تسلسلي، وتقع في نفس المستوى حول الرأس المشترك S. دعونا ندير مستوى الزاوية ASB حول الجانب المشترك SB بحيث يصنع هذا المستوى زاوية ثنائية السطوح معينة مع المستوى BSC. بعد ذلك، دون تغيير زاوية ثنائي السطوح الناتجة، نقوم بتدويرها حول الخط المستقيم SC بحيث يصنع مستوى BSC زاوية ثنائية السطوح معينة مع مستوى CSD. دعونا نواصل هذا الدوران المتسلسل حول كل جانب مشترك. إذا تزامن الجانب الأخير SF مع الجانب الأول SA، فسيتم تشكيل شكل (الشكل 38)، وهو ما يسمىزاوية متعددة السطوح زوايا مسطحةأو حواف. تسمى الزوايا ASB، BSC،... ضلوع، جوانبهم SA، SB، ... تسمى قمةزاوية متعددة السطوح.

، والقمة المشتركة S- كل حافة هي أيضًا حافة لزاوية ثنائية السطوح معينة؛ لذلك، في الزاوية متعددة السطوح يوجد عدد من الزوايا ثنائية السطوح وعدد من الزوايا المستوية يساوي عدد جميع الحواف فيها.أصغر عدد هناك ثلاثة وجوه في زاوية متعددة السطوح؛ تسمى هذه الزاويةالثلاثي

. قد تكون هناك زوايا رباعية السطوح وخماسية وما إلى ذلك.

تسمى الزاوية متعددة السطوح محدبة إذا كانت تقع بالكامل على جانب واحد من مستوى كل وجه من وجوهها، والتي تمتد إلى ما لا نهاية. هذه هي، على سبيل المثال، الزاوية الموضحة في الرسم 38. وعلى العكس من ذلك، لا يمكن تسمية الزاوية في الرسم 39 محدبة، لأنها تقع على جانبي حافة ASB أو حافة BCC.

إذا تقاطعنا جميع أوجه زاوية متعددة السطوح مع مستوى، فسيتم تشكيل مضلع في القسم ( abcde ). في زاوية متعددة السطوح المحدبة، يكون هذا المضلع محدبًا أيضًا.

سننظر فقط في زوايا متعددة السطوح المحدبة.

نظرية. في الزاوية الثلاثية السطوح، تكون كل زاوية مستوية أقل من مجموع الزاويتين المستويتين الأخريين.

فلتكن أكبر زوايا المستوى في الزاوية ثلاثية السطوح SABC (الشكل 40) هي الزاوية ASC.

دعونا نرسم على هذه الزاوية الزاوية ASD، المساوية للزاوية ASB، ونرسم بعض الخطوط المستقيمة AC التي تتقاطع مع SD عند نقطة ما D. دعونا نرسم SB = SD. ومن خلال ربط B مع A وC، نحصل على \(\Delta\)ABC، حيث

م + العاصمة< АВ + ВС.

المثلثان ASD وASB متطابقان لأن كل منهما يحتوي على زاوية متساوية بينهما جوانب متساوية: وبالتالي م = AB. لذلك، إذا تجاهلنا في المتباينة المشتقة الحدين المتساويين AD وAB، فسنحصل على DC< ВС.

والآن نلاحظ أنه في المثلثين SCD وSCB، ضلعا أحدهما متساويان مع ضلعين للآخر، أما الضلع الثالث فليس متساويًا؛ في هذه الحالة، الزاوية الأكبر تقع مقابل الجانب الأكبر من هذه الجوانب؛ وسائل،

∠CSD< ∠ CSВ.

وبجمع الزاوية ASD إلى الجانب الأيسر من هذه المتباينة، والزاوية ASB التي تساويها إلى اليمين، نحصل على المتباينة التي يلزم إثباتها:

∠ASC< ∠ CSB + ∠ ASB.

لقد أثبتنا أنه حتى أكبر زاوية مستوية تكون أقل من مجموع الزاويتين الأخريين. وهذا يعني أن النظرية مثبتة.

عاقبة.

اطرح من طرفي المتباينة الأخيرة الزاوية ASB أو الزاوية CSB؛ نحن نحصل:< ∠ CSB;

∠ASC - ∠ASB< ∠ ASB.

∠ASC - ∠CSB مع الأخذ في الاعتبار هذه المتباينات من اليمين إلى اليسار ومراعاة تلك الزاوية ASC باعتبارها الأكبرثلاث زوايا أكبر من الفرق بين الزاويتين الأخريين، نصل إلى نتيجة مفادها أن.

نظرية. في الزاوية الثلاثية السطوح، تكون كل زاوية مستوية أكبر من الفرق بين الزاويتين الأخريين .

في الزاوية المحدبة متعددة السطوح، يكون مجموع زوايا المستوى أقل من 4d (360°) دعونا نعبر الحواف (الشكل 41)زاوية محدبة SABCDE بواسطة طائرة ما؛ من هذا نحصل على مقطع عرضي محدبن

-جون ABCDE.

بتطبيق النظرية التي تم إثباتها سابقًا على كل زاوية من الزوايا ثلاثية السطوح التي تقع رؤوسها في النقاط A وB وC وD وE، فإننا نستنتج:< ∠ABS + ∠SВC, ∠BCD < ∠BCS + ∠SCD и т. д.

∠ اي بي سي دعونا نجمع كل هذه التفاوتات مصطلحًا بعد مصطلح. ثم على الجانب الأيسر نحصل على مجموع جميع زوايا المضلع ABCDE، وهو ما يساوي 2 - 4الاسم المميز د وعلى اليمين - مجموع زوايا المثلثات ABS، SBC، وما إلى ذلك، باستثناء تلك الزوايا التي تقع في قمة الرأس S. للدلالة على مجموع هذه الزوايا الأخيرة بالحرف ، نحصل بعد الإضافة:

2دعونا نجمع كل هذه التفاوتات مصطلحًا بعد مصطلح. ثم على الجانب الأيسر نحصل على مجموع جميع زوايا المضلع ABCDE، وهو ما يساوي 2 - 4الاسم المميز < 2د - س .

منذ في الاختلافات 2 دعونا نجمع كل هذه التفاوتات مصطلحًا بعد مصطلح. ثم على الجانب الأيسر نحصل على مجموع جميع زوايا المضلع ABCDE، وهو ما يساوي 2 - 4الاسم المميز و 2 د - س الطرح واحد، فإذا كان الفرق الأول أقل من الثاني، لا بد من أن يكون المطروح 4 الاسم المميز كان أكثر من الخصم وعلى اليمين - مجموع زوايا المثلثات ABS، SBC، وما إلى ذلك، باستثناء تلك الزوايا التي تقع في قمة الرأس S. للدلالة على مجموع هذه الزوايا الأخيرة بالحرف ; وهذا يعني 4 الاسم المميز > وعلى اليمين - مجموع زوايا المثلثات ABS، SBC، وما إلى ذلك، باستثناء تلك الزوايا التي تقع في قمة الرأس S. للدلالة على مجموع هذه الزوايا الأخيرة بالحرف ، أي. وعلى اليمين - مجموع زوايا المثلثات ABS، SBC، وما إلى ذلك، باستثناء تلك الزوايا التي تقع في قمة الرأس S. للدلالة على مجموع هذه الزوايا الأخيرة بالحرف < 4الاسم المميز .

أبسط حالات تساوي الزوايا الثلاثية السطوح

نظريات. تكون الزوايا ثلاثية السطوح متساوية إذا كانت:

1) على طول زاوية ثنائية السطوح متساوية ومحاطة بين زاويتين مستويتين متساويتين ومتباعدتين بشكل مماثل، أو

2) على طول زاوية مستوية متساوية محصورة بين زاويتين ثنائي السطوح متساويتين ومتباعدتين بشكل مماثل.

1) لتكن S وS 1 زاويتين ثلاثيتي السطوح (الشكل 42)، حيث ∠ASB = ∠A 1 S 1 B 1، ∠ASC = ∠A 1 S 1 C 1 (وهذه زوايا متساويةتقع بشكل مماثل) والزاوية ثنائية السطوح AS تساوي زاوية ثنائي السطوح A 1 S 1 .

دعونا ندرج الزاوية S 1 في الزاوية S بحيث تتطابق نقاطها S 1 و S والخطوط المستقيمة S 1 A 1 و SA والمستويات A 1 S 1 B 1 و ASB. ثم ستمتد الحافة S 1 B 1 على طول SB (بسبب تساوي الزوايا A 1 S 1 B 1 و ASB)، فإن المستوى A 1 S 1 C 1 سوف يسير على طول ASC (بحكم مساواة الزوايا ثنائية السطوح ) والحافة S 1 C 1 ستمتد على طول الحافة SC (بسبب تساوي الزوايا A 1 S 1 C 1 و ASC). وهكذا فإن الزوايا الثلاثية السطوح سوف تتطابق مع جميع حوافها، أي. سيكونون متساوين.

2) العلامة الثانية كالأولى تثبت بالضم.

زوايا متعددة السطوح متناظرة

وكما هو معروف، الزوايا العموديمتساوية عندما نتحدث عن الزوايا التي تتكون من خطوط مستقيمة أو مستويات. دعونا نرى ما إذا كان هذا البيان صحيحًا فيما يتعلق بالزوايا متعددة السطوح.

دعونا نواصل (الشكل 43) جميع حواف الزاوية SABCDE خلف الرأس S، ثم يتم تشكيل زاوية متعددة السطوح أخرى SA 1 B 1 C 1 D 1 E 1، والتي يمكن تسميتها رَأسِيّنسبة إلى الزاوية الأولى. من السهل أن نرى أن كلا الزاويتين لهما زوايا مسطحة وثنائية السطوح متساوية، على التوالي، ولكن كلاهما يقعان في الداخل ترتيب عكسي. في الواقع، إذا تخيلنا مراقبًا ينظر من خارج زاوية متعددة السطوح في قمة رأسها، فإن الحواف SA، SB، SC، SD، SE ستبدو له وكأنها تقع في اتجاه عكس اتجاه عقارب الساعة، بينما عند النظر إلى الزاوية SA 1 B 1 C 1 D 1 E 1، يرى الحواف SA 1، SB 1، ...، تقع في اتجاه عقارب الساعة.

الزوايا متعددة السطوح ذات الزوايا المسطحة وثنائية السطوح المتساوية، ولكنها تقع بالترتيب المعاكس، لا يمكن دمجها بشكل عام عند التداخل؛ وهذا يعني أنهم ليسوا متساوين. تسمى هذه الزوايا متماثل(بالنسبة إلى قمة الرأس S). ستتم مناقشة تماثل الأشكال في الفضاء بمزيد من التفصيل أدناه.

مواد اخرى

دعونا نفكر في ثلاثة أشعة أ، ب، ج، تنبعث من نفس النقطة ولا تقع في نفس المستوى. الزاوية الثلاثية السطوح (abc) هي شكل مكون من ثلاث زوايا مسطحة (ab)، (bc)، و(ac) (الشكل 2)، وتسمى هذه الزوايا بأوجه زاوية ثلاثية السطوح، وتسمى جوانبها بالحواف؛ يُطلق على الرأس المشترك للزوايا المسطحة اسم قمة الزاوية ثلاثية السطوح. وتسمى الزوايا ثنائية السطوح التي تتكون من وجوه زاوية ثلاثية السطوح بزوايا ثنائي السطوح لزاوية ثلاثية السطوح.

يتم تعريف مفهوم الزاوية متعددة السطوح بالمثل (الشكل 3).

متعدد السطوح

في القياس الفراغي، تتم دراسة الأشكال الموجودة في الفضاء والتي تسمى الأجسام. يجب تصور الجسم البصري (الهندسي) كجزء من الفضاء المشغول الجسد الماديومحدودة بالسطح.

متعدد السطوح هو جسم يتكون سطحه من عدد محدود من المضلعات المسطحة (الشكل 4). يسمى متعدد السطوح محدبًا إذا كان موجودًا على جانب واحد من مستوى كل مضلع مستوي على سطحه. يسمى الجزء المشترك من هذا المستوى وسطح متعدد السطوح المحدب بالوجه. وجوه متعدد السطوح المحدب هي مضلعات محدبة مسطحة. تسمى جوانب الوجوه حواف متعدد السطوح، وتسمى القمم رؤوس متعدد السطوح.

دعونا نشرح ذلك باستخدام مثال المكعب المألوف (الشكل 5). المكعب هو متعدد السطوح محدب. ويتكون سطحه من ستة مربعات: ABCD، BEFC، .... هذه هي وجوهه. حواف المكعب هي جوانب هذه المربعات: AB، BC، BE،.... رؤوس المكعب هي رؤوس المربعات: A، B، C، D، E، .... للمكعب ستة وجوه واثني عشر حرفًا وثمانية رؤوس.

بالنسبة لأبسط متعددات الوجوه - المنشورات والأهرامات، والتي ستكون الهدف الرئيسي لدراستنا - سنقدم تعريفات لا تستخدم في جوهرها مفهوم الجسم. سيتم تعريفهم على أنهم أشكال هندسيةتشير إلى جميع النقاط في الفضاء التابعة لهم. مفهوم جسم هندسيوسطحه في الحالة العامةسوف تعطى لاحقا.