يتم حساب مجموع زوايا المضلع المنتظم باستخدام الصيغة. مضلعات محدبة

اسمحوا أن يكون مضلع محدب معين و n > 3. ثم نرسم أقطار n-3 من قمة واحدة إلى القمم المقابلة: . وبما أن المضلع محدب، فإن هذه الأقطار تقسمه إلى مثلثات عددها n - 2: . مجموع زوايا المضلع هو مجموع زوايا كل هذه المثلثات. مجموع زوايا كل مثلث هو 180°، وعدد هذه المثلثات هو n-2. ولذلك فإن مجموع زوايا n-gon هو 180°(n-2). تم إثبات النظرية. تعليق بالنسبة للمضلع n غير المحدب، يكون مجموع الزوايا أيضًا 180°(n-2). والدليل مشابه، ولكنه يستخدم بالإضافة إلى ذلك مبدأ أنه يمكن قطع أي مضلع بالأقطار إلى مثلثات. ملحوظات لا تنطبق نظرية مجموع زوايا المضلعات على المضلعات الموجودة على الكرة (أو على أي مستوى مشوه آخر، إلا في بعض الحالات). راجع الأشكال الهندسية غير الإقليدية لمزيد من التفاصيل. أنظر أيضا مؤسسة ويكيميديا. 2010. انظر ما هي "نظرية مجموع زوايا المضلع" في القواميس الأخرى: المثلث نظرية مجموع زوايا المثلث هي نظرية كلاسيكية في الهندسة الإقليدية. يدعي أن... ويكيبيديا - ... ويكيبيديا اذكر أن أي مضلعين متساويين في المساحة لهما أبعاد متساوية. وبشكل أكثر رسمية: اجعل P وQ مضلعين لهما نفس المساحة. بعد ذلك يمكن تقطيعها إلى مضلعات وفقًا لذلك، وهكذا بالنسبة لأي ... ويكيبيديا تنص نظرية بولياي جيروين على أن أي مضلعين متساويين في المساحة متطابقان. بشكل رسمي أكثر: اسمحوا أن يكونا مضلعين لهما نفس المساحة. ومن ثم يمكن تقطيعها وفقًا لذلك إلى مضلعات، وهكذا من أجل... ... ويكيبيديا - ... ويكيبيديا ولهذا المصطلح معاني أخرى، انظر المثلث (المعاني). المثلث (في الفضاء الإقليدي) هو شكل هندسي يتكون من ثلاثة أجزاء تربط ثلاث نقاط لا تقع على نفس الخط المستقيم. ثلاث نقاط،... ...ويكيبيديا

الحفاظ على خصوصيتك مهم بالنسبة لنا. لهذا السبب، قمنا بتطوير سياسة الخصوصية التي تصف كيفية استخدامنا لمعلوماتك وتخزينها. يرجى مراجعة ممارسات الخصوصية الخاصة بنا وإعلامنا إذا كانت لديك أي أسئلة.

جمع واستخدام المعلومات الشخصية

تشير المعلومات الشخصية إلى البيانات التي يمكن استخدامها لتحديد هوية شخص معين أو الاتصال به.

قد يُطلب منك تقديم معلوماتك الشخصية في أي وقت عند الاتصال بنا.

فيما يلي بعض الأمثلة على أنواع المعلومات الشخصية التي قد نجمعها وكيف يمكننا استخدام هذه المعلومات.

ما هي المعلومات الشخصية التي نجمعها:

• عند تقديم طلب على الموقع، قد نقوم بجمع معلومات مختلفة، بما في ذلك اسمك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وما إلى ذلك.

كيف نستخدم المعلومات الشخصية الخاصة بك:

• تتيح لنا المعلومات الشخصية التي نجمعها الاتصال بك بشأن العروض الفريدة والعروض الترويجية وغيرها من الأحداث والأحداث القادمة.
• من وقت لآخر، قد نستخدم معلوماتك الشخصية لإرسال إشعارات ومراسلات مهمة.
• قد نستخدم أيضًا المعلومات الشخصية لأغراض داخلية، مثل إجراء عمليات التدقيق وتحليل البيانات والأبحاث المختلفة من أجل تحسين الخدمات التي نقدمها وتزويدك بالتوصيات المتعلقة بخدماتنا.
• إذا شاركت في سحب على جوائز أو مسابقة أو عروض ترويجية مماثلة، فقد نستخدم المعلومات التي تقدمها لإدارة مثل هذه البرامج.

الكشف عن المعلومات لأطراف ثالثة

نحن لا نكشف عن المعلومات الواردة منك إلى أطراف ثالثة.

الاستثناءات:

• إذا لزم الأمر - وفقًا للقانون، والإجراءات القضائية، وفي الإجراءات القانونية و/أو بناءً على الطلبات العامة أو الطلبات المقدمة من السلطات الحكومية في أراضي الاتحاد الروسي - للكشف عن معلوماتك الشخصية. يجوز لنا أيضًا الكشف عن معلومات عنك إذا قررنا أن هذا الكشف ضروري أو مناسب للأغراض الأمنية أو إنفاذ القانون أو أي أغراض أخرى ذات أهمية عامة.
• في حالة إعادة التنظيم أو الدمج أو البيع، يجوز لنا نقل المعلومات الشخصية التي نجمعها إلى الطرف الثالث الذي يخلفه.

حماية المعلومات الشخصية

نحن نتخذ الاحتياطات - بما في ذلك الإدارية والفنية والمادية - لحماية معلوماتك الشخصية من الضياع والسرقة وسوء الاستخدام، بالإضافة إلى الوصول غير المصرح به والكشف والتغيير والتدمير.

احترام خصوصيتك على مستوى الشركة

للتأكد من أن معلوماتك الشخصية آمنة، نقوم بتوصيل معايير الخصوصية والأمان لموظفينا وننفذ ممارسات الخصوصية بشكل صارم.

الشكل الهندسي الذي يتكون من قطع AB، BC، CD، ..، EF، FA بحيث لا تقع القطع المتجاورة على نفس الخط، ولا تحتوي القطع غير المتجاورة على نقاط مشتركة، يسمى مضلعًا. تسمى نهايات هذه المقاطع، النقاط A، B، C، D، ...، E، F قممالمضلع، والقطاعات AB، BC، CD، ..، EF، FA نفسها حفلاتمضلع.

يسمى المضلع محدبًا إذا كان على جانب واحد من كل خط يمر عبر قمتين متجاورتين. يوضح الشكل أدناه مضلعًا محدبًا:

والشكل التالي يوضح مضلع غير محدب:

زاوية المضلع المحدب عند قمة معينة هي الزاوية التي تشكلها تقارب جوانب هذا المضلع عند قمة معينة. الزاوية الخارجية لمضلع محدب عند قمة معينة هي الزاوية المجاورة للزاوية الداخلية للمضلع عند قمة معينة.

النظرية: مجموع زوايا المضلع المحدب هو 180˚*(n-2)

البرهان: اعتبر شكل n محدبًا. لإيجاد مجموع الزوايا الداخلية، قم بتوصيل أحد رؤوس المضلع بالرؤوس الأخرى.

ونتيجة لذلك نحصل على مثلثات (ن-2). ومن المعروف أن مجموع زوايا المثلث هو 180 درجة. وبما أن عددها في المضلع هو (n-2)، فإن مجموع زوايا المضلع يساوي 180˚* (n-2). وهذا ما كان بحاجة إلى إثباته.

مهمة:

أوجد مجموع زوايا الشكل المحدب أ) الخماسي ب) السداسي ج) العشاري.

دعونا نستخدم الصيغة لحساب مجموع زوايا n-gon المحدبة.

أ) S5 = 180˚*(5-2) = 180˚*3 = 540˚.

ب) S6 180˚*(6-2) = 180˚*4=720˚.

ج) S10 = 180˚*(10-2) = 180˚*8 = 1440˚.

الجواب: أ) 540˚. ب) 720˚. ج) 1440˚.

هذه الأشكال الهندسية تحيط بنا في كل مكان. يمكن أن تكون المضلعات المحدبة طبيعية، مثل قرص العسل، أو صناعية (من صنع الإنسان). تُستخدم هذه الأشكال في إنتاج أنواع مختلفة من الطلاء والطلاء والهندسة المعمارية والديكورات وما إلى ذلك. تتميز المضلعات المحدبة بخاصية أن جميع نقاطها تقع على جانب واحد من خط مستقيم يمر عبر زوج من القمم المتجاورة لهذا الشكل الهندسي. هناك تعريفات أخرى. المضلع المحدب هو الذي يقع في نصف مستوى واحد بالنسبة إلى أي خط مستقيم يحتوي على أحد جوانبه.

في دورة الهندسة الابتدائية، يتم دائمًا أخذ المضلعات البسيطة فقط بعين الاعتبار. لفهم كل خصائص هذا، من الضروري أن نفهم طبيعتها. أولاً، عليك أن تفهم أن أي سطر تتطابق نهاياته يسمى مغلقاً. علاوة على ذلك، فإن الشكل الذي يتكون منه يمكن أن يكون له مجموعة متنوعة من التكوينات. المضلع عبارة عن خط متقطع ومغلق بسيط لا توجد فيه الروابط المجاورة على نفس الخط المستقيم. وروابطه ورؤوسه هي، على التوالي، جوانب ورؤوس هذا الشكل الهندسي. لا ينبغي أن يحتوي الخط المتعدد البسيط على تقاطعات ذاتية.

تسمى رؤوس المضلع مجاورة إذا كانت تمثل نهايات أحد أضلاعه. الشكل الهندسي الذي له العدد n من الرءوس، وبالتالي العدد n من الجوانب، يسمى n-gon. يُطلق على الخط المكسور نفسه اسم حدود أو محيط هذا الشكل الهندسي. المستوى المضلع أو المضلع المسطح هو الجزء المحدود من أي مستوى يحده. الجوانب المجاورة لهذا الشكل الهندسي عبارة عن أجزاء من خط متقطع ينبثق من قمة واحدة. ولن تكونا متجاورتين إذا جاءتا من رؤوس مختلفة للمضلع.

تعريفات أخرى للمضلعات المحدبة

في الهندسة الأولية، هناك العديد من التعريفات المكافئة في المعنى، مما يشير إلى المضلع الذي يسمى محدبًا. علاوة على ذلك، فإن كل هذه الصيغ صحيحة بنفس القدر. يعتبر المضلع محدباً إذا كان:

كل قطعة تصل بين أي نقطتين بداخلها تقع بالكامل بداخلها؛

جميع أقطارها تقع داخلها.

أي زاوية داخلية لا تتجاوز 180 درجة.

يقوم المضلع دائمًا بتقسيم المستوى إلى قسمين. أحدهما محدود (يمكن وضعه في دائرة)، والآخر غير محدود. الأولى تسمى المنطقة الداخلية، والثانية هي المنطقة الخارجية لهذا الشكل الهندسي. هذا المضلع هو تقاطع (بمعنى آخر، المكون المشترك) لعدة أنصاف مستويات. علاوة على ذلك، فإن كل قطعة تنتهي عند نقاط تنتمي إلى المضلع تنتمي إليه بالكامل.

أصناف من المضلعات المحدبة

لا يشير تعريف المضلع المحدب إلى وجود أنواع عديدة. وعلاوة على ذلك، كل واحد منهم لديه معايير معينة. وبالتالي، فإن المضلعات المحدبة التي لها زاوية داخلية تساوي 180 درجة تسمى محدبة ضعيفة. يسمى الشكل الهندسي المحدب الذي له ثلاثة رؤوس مثلثًا، وأربعة - رباعي الأضلاع، وخمسة - خماسي، وما إلى ذلك. كل من n-gons المحدبة يلبي المتطلبات الأكثر أهمية التالية: n يجب أن يكون مساويًا أو أكبر من 3. كل منها من المثلثات محدبة. ويسمى الشكل الهندسي من هذا النوع، الذي تقع فيه جميع القمم على نفس الدائرة، بالنقش في دائرة. يسمى المضلع المحدب مقيدًا إذا لامسته جميع جوانبه القريبة من الدائرة. يقال إن المضلعين يكونان متطابقين فقط إذا كان من الممكن جمعهما معًا عن طريق التراكب. المضلع المستوي هو مستوى متعدد الأضلاع (جزء من المستوى) يقتصر على هذا الشكل الهندسي.

مضلعات محدبة منتظمة

المضلعات المنتظمة هي أشكال هندسية ذات زوايا وجوانب متساوية. يوجد بداخلها نقطة 0 تقع على نفس المسافة من كل رأس من رؤوسها. ويسمى مركز هذا الشكل الهندسي. تسمى الأجزاء التي تربط المركز برؤوس هذا الشكل الهندسي بالقياسات، وتلك التي تربط النقطة 0 بالجوانب تسمى نصف القطر.

الشكل الرباعي المنتظم هو مربع. المثلث المنتظم يسمى متساوي الأضلاع. بالنسبة لمثل هذه الأشكال، هناك القاعدة التالية: كل زاوية في المضلع المحدب تساوي 180° * (n-2)/ n،

حيث n هو عدد رؤوس هذا الشكل الهندسي المحدب.

يتم تحديد مساحة أي مضلع منتظم بالصيغة:

حيث p يساوي نصف مجموع جميع أضلاع مضلع معين، وh يساوي طول الارتفاع.

خصائص المضلعات المحدبة

المضلعات المحدبة لها خصائص معينة. وبالتالي، فإن الجزء الذي يربط أي نقطتين من هذا الشكل الهندسي موجود فيه بالضرورة. دليل:

لنفترض أن P هو مضلع محدب معين. نحن نأخذ نقطتين عشوائيتين، على سبيل المثال، A، B، تنتميان إلى P. وفقًا للتعريف الحالي للمضلع المحدب، تقع هذه النقاط على جانب واحد من الخط، الذي يحتوي على أي جانب من P. لذلك، AB أيضًا لديه هذه الخاصية وهو موجود في P. يمكن دائمًا تقسيم المضلع المحدب إلى عدة مثلثات باستخدام جميع الأقطار المرسومة من أحد رؤوسه.

زوايا الأشكال الهندسية المحدبة

زوايا المضلع المحدب هي الزوايا التي تشكلها جوانبه. تقع الزوايا الداخلية في المنطقة الداخلية من شكل هندسي معين. وتسمى الزاوية التي تتكون من أضلاعه التي تلتقي في أحد رؤوسه زاوية المضلع المحدب. تسمى الزوايا الداخلية لشكل هندسي معين بالزوايا الخارجية. كل زاوية من زوايا المضلع المحدب الموجود بداخله تساوي:

حيث x هو حجم الزاوية الخارجية. تنطبق هذه الصيغة البسيطة على أي أشكال هندسية من هذا النوع.

بشكل عام، بالنسبة للزوايا الخارجية، تنطبق القاعدة التالية: كل زاوية في المضلع المحدب تساوي الفرق بين 180 درجة وحجم الزاوية الداخلية. يمكن أن تتراوح قيمها من -180 درجة إلى 180 درجة. ولذلك، عندما تكون الزاوية الداخلية 120 درجة، فإن الزاوية الخارجية ستكون 60 درجة.

مجموع زوايا المضلعات المحدبة

يتم تحديد مجموع الزوايا الداخلية للمضلع المحدب بالصيغة:

حيث n هو عدد رؤوس n-gon.

يتم حساب مجموع زوايا المضلع المحدب بكل بساطة. النظر في أي شكل هندسي من هذا القبيل. لتحديد مجموع الزوايا داخل مضلع محدب، تحتاج إلى توصيل أحد رؤوسه بالقمم الأخرى. ونتيجة لهذا الإجراء يتم الحصول على مثلثات (n-2). ومن المعروف أن مجموع زوايا أي مثلث يساوي دائمًا 180 درجة. وبما أن عددها في أي مضلع هو (n-2)، فإن مجموع الزوايا الداخلية لهذا الشكل يساوي 180° x (n-2).

مجموع زوايا المضلع المحدب، أي زاويتين داخليتين وخارجيتين متجاورتين، لشكل هندسي محدب معين، سيكون دائمًا مساويًا لـ 180 درجة. وعلى هذا يمكننا تحديد مجموع زواياه:

مجموع الزوايا الداخلية هو 180 درجة * (ن-2). بناءً على ذلك، يتم تحديد مجموع جميع الزوايا الخارجية لشكل معين بواسطة الصيغة:

180° * ن-180°-(ن-2)= 360°.

سيكون مجموع الزوايا الخارجية لأي مضلع محدب دائمًا 360 درجة (بغض النظر عن عدد الجوانب).

يتم تمثيل الزاوية الخارجية للمضلع المحدب عمومًا بالفرق بين 180 درجة وقيمة الزاوية الداخلية.

خصائص أخرى للمضلع المحدب

بالإضافة إلى الخصائص الأساسية لهذه الأشكال الهندسية، فإن لها أيضًا خصائص أخرى تنشأ عند التلاعب بها. وبالتالي، يمكن تقسيم أي من المضلعات إلى عدة مضلعات محدبة. للقيام بذلك، تحتاج إلى مواصلة كل جانب من جوانبه وقطع هذا الشكل الهندسي على طول هذه الخطوط المستقيمة. ومن الممكن أيضًا تقسيم أي مضلع إلى عدة أجزاء محدبة بحيث تتطابق رؤوس كل قطعة مع جميع رؤوسها. من هذا الشكل الهندسي، يمكنك ببساطة إنشاء مثلثات عن طريق رسم جميع الأقطار من قمة واحدة. وبالتالي، يمكن تقسيم أي مضلع في النهاية إلى عدد معين من المثلثات، وهو أمر مفيد للغاية في حل المشكلات المختلفة المرتبطة بهذه الأشكال الهندسية.

محيط المضلع المحدب

غالبًا ما يتم الإشارة إلى أجزاء الخط المتقطع، التي تسمى جوانب المضلع، بالأحرف التالية: ab، bc، cd، de، ea. هذه هي أضلاع الشكل الهندسي الذي رؤوسه a، b، c، d، e. يُطلق على مجموع أطوال جميع أضلاع هذا المضلع المحدب اسم محيطه.

دائرة المضلع

يمكن إدراج المضلعات المحدبة أو تقييدها. تسمى الدائرة التي تمس جميع جوانب هذا الشكل الهندسي منقوشة فيها. يسمى هذا المضلع مقيدًا. مركز الدائرة المرسومة في المضلع هو نقطة تقاطع منصفات جميع الزوايا داخل شكل هندسي معين. مساحة هذا المضلع تساوي:

حيث r هو نصف قطر الدائرة المنقوشة، وp هو نصف محيط المضلع المحدد.

تسمى الدائرة التي تحتوي على رؤوس المضلع محيطة بها. في هذه الحالة، يسمى هذا الشكل الهندسي المحدب منقوشًا. مركز الدائرة الموصوفة حول هذا المضلع هو نقطة تقاطع ما يسمى بالمنصفات المتعامدة من جميع الجوانب.

أقطار الأشكال الهندسية المحدبة

أقطار المضلع المحدب هي الأجزاء التي تربط القمم غير المتجاورة. كل واحد منهم يكمن داخل هذا الشكل الهندسي. يتم تحديد عدد أقطار هذا n-gon بواسطة الصيغة:

ن = ن (ن - 3)/ 2.

يلعب عدد أقطار المضلع المحدب دورًا مهمًا في الهندسة الأولية. يتم حساب عدد المثلثات (K) التي يمكن تقسيم كل مضلع محدب إليها باستخدام الصيغة التالية:

يعتمد عدد أقطار المضلع المحدب دائمًا على عدد رؤوسه.

تقسيم مضلع محدب

في بعض الحالات، لحل المسائل الهندسية، من الضروري تقسيم المضلع المحدب إلى عدة مثلثات ذات أقطار غير متقاطعة. يمكن حل هذه المشكلة عن طريق استخلاص صيغة معينة.

تعريف المشكلة: دعونا نصحح قسمًا معينًا من شكل n محدب إلى عدة مثلثات ذات أقطار تتقاطع فقط عند رؤوس هذا الشكل الهندسي.

الحل: لنفترض أن P1، P2، P3...، Pn هي رؤوس n-gon. الرقم Xn هو عدد أقسامه. دعونا نفكر بعناية في القطر الناتج للشكل الهندسي Pi Pn. في أي من الأقسام العادية، ينتمي P1 Pn إلى مثلث معين P1 Pi Pn، والذي يحتوي على 1

دع i = 2 يكون مجموعة واحدة من الأقسام المنتظمة، تحتوي دائمًا على القطر P2 Pn. يتطابق عدد الأقسام المضمنة فيه مع عدد أقسام (n-1)-gon P2 P3 P4... Pn. وبعبارة أخرى، فهو يساوي Xn-1.

إذا كانت i = 3، فستحتوي هذه المجموعة الأخرى من الأقسام دائمًا على القطرين P3 P1 وP3 Pn. في هذه الحالة، سيتزامن عدد الأقسام العادية الموجودة في هذه المجموعة مع عدد أقسام (n-2)-gon P3 P4... Pn. بمعنى آخر، سيكون مساويًا لـ Xn-2.

دع i = 4، فمن المؤكد أن القسم الصحيح من بين المثلثات سيحتوي على المثلث P1 P4 Pn، والذي سيكون مجاورًا للرباعي P1 P2 P3 P4، (n-3)-gon P4 P5... Pn. عدد الأقسام المنتظمة لمثل هذا الشكل الرباعي هو X4، وعدد أقسام (n-3)-gon هو Xn-3. وبناء على كل ما سبق يمكننا القول أن إجمالي عدد الأقسام العادية التي تحتويها هذه المجموعة يساوي Xn-3 X4. المجموعات الأخرى التي i = 4، 5، 6، 7... ستحتوي على Xn-4 X5، Xn-5 X6، Xn-6 X7... أقسام عادية.

دع i = n-2، فإن عدد الأقسام الصحيحة في هذه المجموعة سوف يتطابق مع عدد الأقسام في المجموعة التي i=2 لها (وبعبارة أخرى، يساوي Xn-1).

بما أن X1 = X2 = 0، X3=1، X4=2...، فإن عدد جميع أقسام المضلع المحدب يساوي:

Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + ... + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.

X5 = X4 + X3 + X4 = 5

X6 = X5 + X4 + X4 + X5 = 14

X7 = X6 + X5 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42

X8 = X7 + X6 + X5 * X4 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132

عدد الأقسام المنتظمة المتقاطعة قطريًا واحدًا في الداخل

عند التحقق من حالات خاصة، يمكن للمرء أن يفترض أن عدد أقطار n-gons المحدبة يساوي حاصل ضرب جميع أقسام هذا الشكل في (n-3).

والدليل على هذا الافتراض: تخيل أن P1n = Xn * (n-3)، فيمكن تقسيم أي n-gon إلى مثلثات (n-2). وفي هذه الحالة يمكن تكوين شكل رباعي (n-3) منها. بالإضافة إلى ذلك، سيكون لكل شكل رباعي قطري. بما أنه يمكن رسم قطرين في هذا الشكل الهندسي المحدب، فهذا يعني أنه يمكن رسم أقطار إضافية (n-3) في أي شكل رباعي (n-3). وبناءً على ذلك يمكن أن نستنتج أنه في أي قسم عادي يمكن رسم (n-3) أقطاراً تنطبق عليها شروط هذه المشكلة.

مساحة المضلعات المحدبة

في كثير من الأحيان، عند حل المشاكل المختلفة للهندسة الأولية، يصبح من الضروري تحديد مساحة المضلع المحدب. لنفترض أن (Xi. Yi)، i = 1,2,3... n عبارة عن سلسلة من إحداثيات جميع القمم المجاورة لمضلع لا يحتوي على تقاطعات ذاتية. وفي هذه الحالة يتم حساب مساحتها باستخدام الصيغة التالية:

S = ½ (∑ (X i + X i + 1) (Y i + Y i + 1)))،

حيث (X 1، Y 1) = (X n +1، Y n + 1).

الزاوية الداخلية للمضلعهي الزاوية التي يشكلها ضلعان متجاوران في المضلع. على سبيل المثال، ∠ اي بي سيهي زاوية داخلية.

الزاوية الخارجية للمضلعهي الزاوية التي يشكلها جانب واحد من المضلع واستمرار الجانب الآخر. على سبيل المثال، ∠ إل بي سي.هي زاوية خارجية.

عدد زوايا المضلع يساوي دائمًا عدد أضلاعه. وهذا ينطبق على الزوايا الداخلية والخارجية. على الرغم من أنه يمكن إنشاء زاويتين خارجيتين متساويتين لكل رأس من رؤوس المضلع، إلا أنه يتم دائمًا أخذ واحدة منهما فقط في الاعتبار. لذلك، للعثور على عدد زوايا أي مضلع، تحتاج إلى حساب عدد جوانبه.

مجموع الزوايا الداخلية

مجموع الزوايا الداخلية للمضلع المحدب يساوي حاصل ضرب 180° وعدد أضلاعه ناقص اثنين.

س = 2د(ن - 2)

أين سهو مجموع الزوايا، 2 د- زاويتان قائمتان (أي 2 90 = 180 درجة)، و ن- عدد الجوانب.

إذا رسمنا من الأعلى أمضلع ABCDEFجميع الأقطار الممكنة، ثم نقسمها إلى مثلثات يكون عددها أقل من أضلاع المضلع بمقدار اثنين:

ولذلك، فإن مجموع زوايا المضلع سيكون مساوياً لمجموع زوايا جميع المثلثات الناتجة. وبما أن مجموع زوايا كل مثلث هو 180 درجة (2 د)، فإن مجموع زوايا جميع المثلثات سيكون مساوياً للمنتج 2 دحسب كميتها:

س = 2د(ن- 2) = 180 4 = 720 درجة

ويترتب على هذه الصيغة أن مجموع الزوايا الداخلية هو قيمة ثابتة ويعتمد على عدد جوانب المضلع.

مجموع الزوايا الخارجية

مجموع الزوايا الخارجية للمضلع المحدب هو 360 درجة (أو 4 د).

س = 4د

أين سهو مجموع الزوايا الخارجية، 4 د- أربع زوايا قائمة (أي 4 90 = 360 درجة).

مجموع الزوايا الخارجية والداخلية عند كل قمة للمضلع هو 180 درجة (2 د) لأنهما زاويتان متجاورتان. على سبيل المثال، ∠ 1 و∠ 2 :

ولذلك، إذا كان المضلع لديه نالأطراف (و نالقمم)، ثم مجموع الزوايا الخارجية والداخلية للجميع نستكون القمم مساوية لـ 2 الاسم المميز. بحيث يكون من هذا المبلغ 2 الاسم المميزللحصول على مجموع الزوايا الخارجية فقط، تحتاج إلى طرح مجموع الزوايا الداخلية منه، أي 2 د(ن - 2):

س = 2الاسم المميز - 2د(ن - 2) = 2الاسم المميز - 2الاسم المميز + 4د = 4د