كيفية إثبات أن الخط عمودي على المستوى. علامة عمودي الخط والمستوى: النظرية والتطبيق

بحث الدرس

عمودي الخط والطائرة.

الهدف من الدرس : إظهار تعدد طرق إثبات النظرية؛ تحسين مهارات البحث لدى الطلاب.

التحضير للدرس: يقوم الطلاب الاستشاريون في المنزل بإعداد سبعة أدلة على علامة عمودي الخط والمستوى باستخدام الأدبيات الإضافية.

تقدم الدرس: أنا

مقدمة المعلم:

درس اليوم هو درس في البحث. في عملية حل المشكلات والإجابة على الأسئلة الإشكالية، سيتعين على الجميع الاقتراب من صياغة نظرية عمودي الخط والمستوى والتعرف على سبعة خيارات لإثبات هذه النظرية من أجل اختيار الخيار الأمثل والتحفيز الشامل رأيهم.

1. التحضير لصياغة النظرية:

تكرار تعريف المتعامد على المستوى، وتحليل التطبيق العملي لهذا المفهوم من خلال حل المسائل.

مهمة 1.

المعطى: المستوى، النقطتان A وB في هذا المستوى؛ AM هو خط عمودي على هذا المستوى. تحديد نوع المثلث AMB.

المشاكل حسب الخيارات.

بالنظر إلى المستوى الرباعي ABCD. AM عمودي على المستوى ABCD. أي المثلثات ABC، ACD، ABD، BCD، ADM، ABM، CAM قائمة الزاوية؟

ABCD هو مربع. الخط المستقيم BK عمودي على مستوى المربع. أي المثلثات ABD، BCD، ABK، BDK، BCK قائمة الزاوية؟

يقوم المستشارون بجمع قطع من الورق والتحقق من الحلول، ويقود المعلم الطلاب إلى الاستنتاج:

1. هل صحيح أن الخط المستقيم عمودي على المستوى

عمودي على أي خط يقع في هذه الطائرة؟

2-متى يكون الخط المستقيم عموديا على المستوى؟

3. كم عدد الخطوط الموجودة على متن الطائرة؟ هل من الممكن عدهم؟

طالب - مستشارعلى نموذج مصنوع من إبر الحياكة يظهر خيارات مختلفة: في المستوى يوجد خطان مستقيمان في المستوى، والخط المستقيم عمودي على أحدهما.خاتمة: الخط ليس عموديا على الطائرة. الإصدار التالي من النموذج: الخط المستقيم عمودي على خطين مستقيمين يقعان في المستوى، واتضح أنه عمودي على المستوى. بعد ذلك، لتأمينه، يمكنك أن تأخذ نموذجا من ثلاثة خطوط مستقيمة، وما إلى ذلك.

عند الانتهاء من العمل مع النماذج، يُطرح على الطلاب السؤال الإشكالي التالي: ما عدد الخطوط الكافية في المستوى للقول بأن الخط عمودي على المستوى؟

بعد أن درسنا حالة العمودي على الخط المستقيم والمستوى، اقتربنا من نظرية من شأنها أن تجعل من الممكن تحديد العمودي على الخط المستقيم والمستوى في الرسومات والنماذج وفي الممارسة العملية. دعونا نحاول صياغة النظرية.

يقدم الرجال نسختهم الخاصة من صياغة النظرية. يختار المعلم الأكثر عقلانية ويعرض الاستماع إلى إصدارات مختلفة من صياغة وإثبات النظرية المعنية، والتي وجدها الطالب في المنزل في الأدبيات الموصى بها.

2. إثبات النظرية:

نظرية: إذا كان الخط الذي يقطع المستوى عموديًا على أي خطين مرسومين على هذا المستوى من خلال نقطة تقاطع هذا الخط مع المستوى، فهو أيضًا عمودي على أي خط ثالث مرسوم في هذا المستوى من خلال نفس نقطة التقاطع.

دليل: لنضعها على السطر AA 1 طول تعسفي، ولكن شرائح متساوية OA وOA 1 وارسم خطًا على المستوى يتقاطع مع ثلاثة خطوط منبثقة من النقطة O عند النقاط C وD وB. قم بتوصيل هذه النقاط بالنقطتين A وA 1 ; سوف نحصل على عدة مثلثات.∆ACB= ∆A 1 CB، نظرًا لأن لديهم BC - مشترك، AC=A 1 ج - كما يميل إلى الخط المستقيم AA 1 ، على مسافة متساوية من القاعدة O لنظام التشغيل المتعامد. لنفس السبب AB=A 1 ب. من تساوي هذه المثلثات ينتج أن ∟ABC=∟A 1 قبل الميلاد.

∆ABD=∆A 1 BD حسب علامة تساوي المثلثات الأولى: BD - عام، AB=A 1 B كما ثبت، ∟ABC= ∟A 1 BC .من تساوي هذه المثلثات يترتب على ذلك AD=A 1 د.

∆АОD=∆A1OD وفق المعيار الثالث لتساوي المثلثات. ويترتب على تساوي هذه المثلثات أن AOD=A1OD؛ وبما أن هاتين الزاويتين متجاورتين، فإن AA1 متعامدة مع OD.

نظرية: الخط العمودي على خطين متقاطعين ينتميان إلى مستوى ما يكون عموديًا على المستوى.

الحالة الأولى عندما تمر جميع الخطوط أ، ب، ج عبر النقطة O - نقطة تقاطع الخط مع المستوى α. دعونا نحدد المتجه OP على السطر p والمتجه OC على السطر c ونثبت أن حاصل ضرب المتجهين OP وOC يساوي 0.

دعونا نحلل المتجه OC إلى المتجهين OA وOB، الموجودين على التوالي على الخطين a وb؛ ثم (نحن نتحدث عن المتجهات) OC=OA+OB. وسائل:

OP∙OC=OP (OA+OB)=OP∙OA+OP∙OB

لكن OP ┴ OA، OP ┴ OB؛ لذلك OP∙OA=0، OP∙OB=0. وبالتالي OP∙OC=0; يعني OP ┴ OC و p ┴ s. لكن c هو أي خط مستقيم من المستوى؛ هذا يعني ص ┴ α

الحالة الثانية ، عندما لا تمر الخطوط المستقيمة a، b، c بالنقطة O. فلنرسم خطوطًا مستقيمة a1||a عبر النقطة O. ب1||ب; ج1||ج. بالشرط ع ┴ أ، ع ┴ ب، يعني ع ┴ أ1، ع ┴ ب1، وعلى ما ثبت أعلاه ع ┴ ج1، وبالتالي ع ┴ ج. الخط с – أي خط من المستوى α؛ هذا يعني أن الخط المستقيم p عمودي على جميع الخطوط المستقيمة الواقعة في المستوى α، وبالتالي p ┴ α.

نظرية: إذا كان المستقيم عموديًا على خطين متقاطعين يقعان في مستوى ما، فإنه يكون عموديًا على المستوى المعطى.

يمكن أخذ الدليل من الكتاب المدرسي لـ A.V. بوجورلوف "الهندسة 7-11"

أ 1

ألفا أ × ب

أ2

الإصدار الرابع إي. ليجيندر

نظرية: الخط العمودي على خطين يقعان على المستوى هو عمودي على المستوى نفسه.يا

معطى: SO  OA، SO  OB، OA C  .,OB C 

إثبات : SO  

دليل:

1. يمكن التعبير عن متوسط ​​المثلث من حيث الجوانب

4 ص 2 =2(أ ب 2 + أ م 2) - ق 2

2 نرسم خطاً مستقيماً عبر النقطة C بحيث ينقسم المقطع AB المحصور بين جانبي الزاوية AOB إلى نصفين عند هذه النقطة أي AC = BC. SC - متوسط ​​المثلث ASB: 4SC 2 =2(س2+س2)-أب2 . نظام التشغيل – متوسط ​​المثلث AOB: 4OB 2 =2(AO 2 +OB 2)-AB 2 . بطرح هذه المتساويات حدًا بعد حد نحصل على: 4(SC 2 -OS 2 )=2((SA 2 -AO 2 )+(SB 2 -OV 2 )). يمكن استبدال التعبير الموجود بين قوسين على الجانب الأيمن من المساواة وفقًا لفيثاغورس. للمثلث AOS: SO 2 =SA 2 -OA 2 . للمثلث BOS: SO 2 =SB 2 -OV 2.

وبالتالي: 4(SC 2 -OS 2 )=2(SO 2 +SO 2 ), 4(SC 2 -OS 2 )=4SO 2 , SC 2 -OS 2 =SO 2 ، من حيث SC 2 =SO 2 +OS 2 . وفقا لنظرية فيثاغورس العكسية، SO نظام التشغيل. نظام التشغيل – خط مستقيم عشوائي ينتمي إلى الطائرة، تعني SO .

نظرية: إذا كان الخط عموديًا على كل من الخطين المتقاطعين الواقعين في المستوى، فإن هذا الخط يكون عموديًا على المستوى.

دعونا نثبت أن الخط l عمودي على أي خط ثالث في المستوى

1. البناء: نحرك الخطوط m، n، g بالتوازي مع النقطة O؛ OA=OS=OD=OB، وبالتالي ABCD مستطيل، يصل A، B، C، D مع نقطة ما M.
2. المثلث AMD يساوي BMC من ثلاث جهات، وبالتالي فإن angle1 يساوي angle2. المثلث MDL يساوي المثلث MKV على الجانبين والزاوية بينهما. MD=MB، LD=BK – متماثل مركزيًا؛ وبالتالي MK = LM.
3. المثلث MLK متساوي الساقين، OM هو الوسيط، وبالتالي الارتفاع. حصلت على أوم ز، وبالتالي ل  ز، لذلك ل 

نظرية: إذا كان المستقيم عموديًا على خطين متقاطعين في المستوى، فإنه يكون عموديًا على المستوى نفسه.

ص 1

يعتمد الدليل على التماثل حول محور المستوى.

1. البناء: ل  ل 1، م. O  l 1, m  n = O, OP=OP' .
2. النقطتان P وP' متماثلتان حول المحور m، والنقطتان P وP’ متماثلتان أيضًا حول المحور n. ثم ((م  ن)  ) – مستوى التماثل للنقطتين P و P’، لذلك،ل 

3. مناقشة الخيارات المختلفة لإثبات النظرية. يعبر الطلاب عن آرائهم حول الدليل الأمثل، في نظرهم، ولماذا. يسمح لك المعلم باختيار أي خيار لنفسك ويربط النظرية بأمثلة من الحياة: في التكنولوجيا، غالبًا ما يتم مواجهة اتجاه عمودي على المستوى. يتم تثبيت الأعمدة بحيث يكون محورها عموديا على مستوى الأساس؛ يتم دفع المسامير داخل اللوحة بحيث تكون متعامدة مع مستوى اللوحة؛ في أسطوانة المحرك البخاري، يكون القضيب عموديًا على مستوى المكبس، وما إلى ذلك. الاتجاه الرأسي مهم بشكل خاص، أي اتجاه الجاذبية، فهو عمودي على المستوى الأفقي.

المشكلة: ABCD عبارة عن معين، والخط OK متعامد مع قطري المعين.

إثبات: OK عمودي على مستوى المعين.

ملخص الدرس.

الواجب المنزلي: ص17، رقم 120، رقم 129

يمكن أن يكون للعمودية في الفضاء:

1. خطين مستقيمين

3. طائرتان

دعونا ننظر إلى هذه الحالات الثلاث تباعًا: جميع التعاريف وبيانات النظريات المتعلقة بها. وبعد ذلك سنناقش النظرية المهمة جدًا حول الخطوط المتعامدة الثلاثة.

عمودي خطين.

تعريف:

يمكنك القول: لقد اكتشفوا أمريكا أيضًا بالنسبة لي! لكن تذكر أن كل شيء في الفضاء ليس تمامًا كما هو الحال على متن الطائرة.

على المستوى، الخطوط التالية (المتقاطعة) فقط هي التي يمكن أن تكون متعامدة:

لكن الخطين المستقيمين يمكن أن يكونا متعامدين في الفضاء حتى لو لم يتقاطعا. ينظر:

الخط المستقيم عمودي على خط مستقيم، مع أنه لا يتقاطع معه. كيف ذلك؟ دعونا نتذكر تعريف الزاوية بين الخطوط المستقيمة: للعثور على الزاوية بين الخطوط المتقاطعة، وتحتاج إلى رسم خط مستقيم من خلال نقطة تعسفية على السطر أ. ومن ثم فإن الزاوية بين و (بحكم التعريف!) ستكون مساوية للزاوية بين و.

هل تذكر؟ حسنًا، في حالتنا، إذا تبين أن الخطوط المستقيمة متعامدة، فيجب علينا أن نعتبر الخطوط المستقيمة متعامدة.

للحصول على الوضوح الكامل، دعونا ننظر مثال.يجب ألا يكون هناك مكعب. ويطلب منك العثور على الزاوية بين السطور و. هذه الخطوط لا تتقاطع، بل تتقاطع. للعثور على الزاوية الواقعة بين و، دعونا نرسم.

نظرًا لحقيقة أنه متوازي الأضلاع (وحتى مستطيل!) ، فقد اتضح ذلك. ونظرًا لأنه مربع، فقد اتضح ذلك. حسنا، هذا يعني.

عمودي الخط والطائرة.

تعريف:

وهنا صورة:

الخط المستقيم يكون عموديًا على المستوى إذا كان عموديًا على جميع الخطوط المستقيمة في هذا المستوى: و، و، وحتى! ومليار أخرى مباشرة!

نعم، ولكن كيف يمكنك عمومًا التحقق من العمودية في خط مستقيم وفي المستوى؟ إذن الحياة لا تكفي! لكن لحسن حظنا أن علماء الرياضيات أنقذونا من كابوس اللانهاية بالاختراع علامة عمودي الخط والطائرة.

نقوم بصياغة:

قيم كم هو رائع:

إذا كان هناك خطان مستقيمان فقط (و) في المستوى الذي يكون الخط المستقيم عموديًا عليه، فإن هذا الخط المستقيم سيصبح على الفور عموديًا على المستوى، أي على جميع الخطوط المستقيمة في هذا المستوى (بما في ذلك بعض الخطوط المستقيمة خط يقف على الجانب). وهذه نظرية مهمة جدًا، لذا سنرسم معناها أيضًا على شكل رسم بياني.

ودعونا ننظر مرة أخرى مثال.

دعونا نحصل على رباعي الاسطح منتظم.

المهمة: إثبات ذلك. ستقول: هذان خطان مستقيمان! وما علاقة عمودي الخط المستقيم والمستوى به؟!

لكن انظر:

دعونا نضع علامة على منتصف الحافة ونرسم و. هذه هي الوسطاء في و. المثلثات منتظمة و...

ها هي معجزة: اتضح أنه منذ و. علاوة على ذلك، إلى جميع الخطوط المستقيمة في الطائرة، مما يعني و. لقد أثبتوا ذلك. وكانت النقطة الأكثر أهمية هي على وجه التحديد استخدام إشارة عمودي الخط والمستوى.

عندما تكون الطائرات متعامدة

تعريف:

أي (لمزيد من التفاصيل، راجع موضوع "الزاوية ثنائية السطوح") يكون المستويان (و) متعامدين إذا تبين أن الزاوية بين المتعامدين (و) على خط تقاطع هذين المستويين متساوية. وهناك نظرية تربط بين مفهوم المستويات المتعامدة ومفهوم العمودية في فضاء الخط والمستوى.

وتسمى هذه النظرية

معيار عمودي الطائرات.

دعونا صياغة:

كما هو الحال دائمًا، يبدو فك تشفير الكلمات "ثم وبعد ذلك فقط" كما يلي:

• إذا، ثم يمر عبر عمودي على.

• فإذا مر بالعمودي على، إذن.

(بطبيعة الحال، نحن هنا طائرات).

هذه النظرية هي واحدة من أهم النظريات في القياس المجسم، ولكنها للأسف أيضًا واحدة من أصعب النظريات في التطبيق.

لذلك عليك أن تكون حذرا للغاية!

إذن الصياغة:

ومرة أخرى فك رموز الكلمات "ثم وبعد ذلك فقط". تنص النظرية على شيئين في وقت واحد (انظر الصورة):

دعونا نحاول تطبيق هذه النظرية لحل المشكلة.

مهمة: يتم إعطاء هرم سداسي منتظم. أوجد الزاوية بين الخطوط و.

حل:

نظرًا لحقيقة أن قمة الهرم في الهرم العادي، عند إسقاطها، تقع في مركز القاعدة، فقد اتضح أن الخط المستقيم هو إسقاط للخط المستقيم.

لكننا نعلم أنه في شكل سداسي منتظم. نطبق نظرية ثلاثة متعامدين:

ونكتب الجواب : .

عمودي الخطوط المستقيمة في الفضاء. باختصار عن الأشياء الرئيسية

عمودي خطين.

يكون الخطان في الفضاء متعامدين إذا كانت هناك زاوية بينهما.

عمودي الخط والطائرة.

يكون الخط عموديًا على المستوى إذا كان عموديًا على جميع الخطوط الموجودة في هذا المستوى.

عمودي الطائرات.

تكون المستويات متعامدة إذا كانت زاوية ثنائي السطوح بينها متساوية.

معيار عمودي الطائرات.

يكون المستويان متعامدين إذا وفقط إذا مرت إحداهما بالعمودي على المستوى الآخر.

نظرية الثلاثة المتعامدة:

حسنا، انتهى الموضوع. إذا كنت تقرأ هذه السطور، فهذا يعني أنك رائع جداً.

لأن 5% فقط من الناس قادرون على إتقان شيء ما بأنفسهم. وإذا قرأت حتى النهاية فأنت في هذه الـ 5٪!

الآن الشيء الأكثر أهمية.

لقد فهمت النظرية حول هذا الموضوع. وأكرر، هذا... هذا رائع! أنت بالفعل أفضل من الغالبية العظمى من زملائك.

المشكلة هي أن هذا قد لا يكون كافيا..

لماذا؟

لاجتياز امتحان الدولة الموحدة بنجاح، والالتحاق بالجامعة بميزانية محدودة، والأهم من ذلك، مدى الحياة.

لن أقنعك بشيء، سأقول شيئًا واحدًا فقط..

الأشخاص الذين تلقوا تعليمًا جيدًا يكسبون أكثر بكثير من أولئك الذين لم يتلقوه. هذه إحصائيات.

ولكن هذا ليس الشيء الرئيسي.

الشيء الرئيسي هو أنهم أكثر سعادة (هناك مثل هذه الدراسات). ربما لأن العديد من الفرص تنفتح أمامهم وتصبح الحياة أكثر إشراقا؟ لا أعرف...

لكن فكر بنفسك..

ما الذي يتطلبه الأمر للتأكد من أنك أفضل من الآخرين في امتحان الدولة الموحدة وأن تكون في النهاية... أكثر سعادة؟

احصل على يدك من خلال حل المشكلات المتعلقة بهذا الموضوع.

لن يطلب منك أي نظرية أثناء الامتحان.

سوف تحتاج حل المشاكل مع الزمن.

وإذا لم تقم بحلها (كثيرًا!)، فمن المؤكد أنك سترتكب خطأً غبيًا في مكان ما أو ببساطة لن يكون لديك الوقت.

يبدو الأمر كما هو الحال في الرياضة - تحتاج إلى تكرار ذلك عدة مرات حتى تفوز بالتأكيد.

ابحث عن المجموعة أينما تريد، بالضرورة مع الحلول والتحليل التفصيليوتقرر، تقرر، تقرر!

يمكنك استخدام مهامنا (اختياري) ونحن بالطبع نوصي بها.

لكي تتحسن في استخدام مهامنا، تحتاج إلى المساعدة في إطالة عمر كتاب YouClever المدرسي الذي تقرأه حاليًا.

كيف؟ هناك خياران:

1. فتح جميع المهام المخفية في هذه المقالة -
2. فتح الوصول إلى جميع المهام المخفية في جميع مقالات الكتاب المدرسي البالغ عددها 99 مقالة - شراء كتاب مدرسي - 899 روبية

نعم، لدينا 99 مقالة من هذا القبيل في كتابنا المدرسي ويمكن فتح الوصول إلى جميع المهام وجميع النصوص المخفية فيها على الفور.

يتم توفير الوصول إلى جميع المهام المخفية طوال عمر الموقع.

ختاماً...

إذا لم تعجبك مهامنا، ابحث عن مهام أخرى. فقط لا تتوقف عند النظرية.

إن "الفهم" و"أستطيع الحل" هما مهارتان مختلفتان تمامًا. أنت بحاجة إلى كليهما.

البحث عن المشاكل وحلها!

تعريف. يسمى المستوى المستقيم المتقاطع عموديًا على هذا المستوى إذا كان عموديًا على أي خط مستقيم يقع في المستوى المحدد ويمر عبر نقطة التقاطع.
لافتةعمودي الخط المستقيم والطائرة.إذا كان المستقيم عموديًا على خطين متقاطعين في المستوى، فإنه يكون عموديًا على ذلك المستوى.
دليل. يترك أ- خط مستقيم متعامد على خطوط مستقيمة بو معتابعة للطائرة أ. أ هي نقطة تقاطع الخطوط. في الطائرة أارسم خطًا مستقيمًا عبر النقطة أ د، لا يتزامن مع الخطوط المستقيمة بو مع. الآن على متن الطائرة أدعونا نجعل مباشرة ك، تقاطع الخطوط دو معولا يمر بالنقطة A. نقاط التقاطع هي D وB وC على التوالي أفي اتجاهات مختلفة من النقطة A هناك قطع متساوية AA 1 و AA 2. المثلث A 1 CA 2 متساوي الساقين، لأن ارتفاع التيار المتردد هو أيضًا الوسيط (الميزة 1)، أي. أ 1 ج = كاليفورنيا 2. وبالمثل، في المثلث A 1 BA 2 الأضلاع A 1 B و BA 2 متساوية. وبالتالي فإن المثلثين أ 1 ق و أ 2 ق متساويان حسب المعيار الثالث، وبالتالي فإن الزاويتين أ 1 ق و أ 2 ق متساويتان. وهذا يعني أن المثلثين A 1 BD و A 2 BD متساويان حسب المعيار الأول. لذلك، A 1 D و A 2 D. ومن ثم فإن المثلث A 1 DA 2 متساوي الساقين حسب التعريف. في مثلث متساوي الساقين أ1دأ2 د A هو الوسيط (بالبناء)، وبالتالي الارتفاع، أي أن الزاوية A 1 AD مستقيمة، وبالتالي مستقيمة أعمودي على خط مستقيم د.وبذلك يمكن إثبات أن الخط المستقيم أعمودي على أي خط يمر بالنقطة A وينتمي إلى المستوى أ. ويترتب على التعريف أن الخط المستقيم أعمودي على الطائرة أ.

بناءخط مستقيم عمودي على مستوى معين من نقطة خارج هذا المستوى.
يترك أ- المستوى، A - النقطة التي يجب أن ينخفض ​​منها العمودي. دعونا نرسم خطًا مستقيمًا في الطائرة أ. من خلال النقطة A والخط المستقيم ألنرسم طائرة ب(خط مستقيم ونقطة يحددان المستوى، وواحد فقط). في الطائرة بمن النقطة A ننزل إلى خط مستقيم أعمودي AB. من النقطة B إلى الطائرة أدعونا نستعيد العمود ونحدد الخط المستقيم الذي يقع عليه هذا العمود خلفه مع. من خلال الجزء AB والخط معلنرسم طائرة ز(خطان متقاطعان يحددان المستوى، وواحد فقط). في الطائرة زمن النقطة A ننزل إلى خط مستقيم مععمودي على AC. دعونا نثبت أن القطعة AC عمودية على المستوى ب. دليل. مستقيم أعمودي على الخطوط المستقيمة معو AB (بالإنشاء)، مما يعني أنه عمودي على المستوى نفسه ز، حيث يقع هذين الخطين المتقاطعين (على أساس عمودي الخط والمستوى). وبما أنه عمودي على هذا المستوى، فهو عمودي على أي خط مستقيم في هذا المستوى، مما يعني أنه خط مستقيم أعمودي على AC. الخط AC عمودي على خطين يقعان في المستوى α: مع(بالبناء) و أ(على ما ثبت) يعني أنه متعامد على المستوى α (على أساس تعامد الخط والمستوى)

النظرية 1 . إذا كان مستقيمان متقاطعان موازيين لخطين متعامدين، فإنهما متعامدان أيضًا.
دليل. يترك أو ب- خطوط متعامدة، أ 1 و ب 1- الخطوط المتقاطعة الموازية لها . دعونا نثبت أن الخطوط المستقيمة أ 1 و ب 1 متعامدة.
إذا كان مستقيما أ, ب, أ 1 و ب 1 يقعان في نفس المستوى، فإنهما يمتلكان الخاصية المحددة في النظرية، كما هو معروف من قياس التخطيط.
لنفترض الآن أن خطوطنا لا تقع في نفس المستوى. ثم على التوالي أو بتقع في مستوى ما α، والخطوط المستقيمة أ 1 و ب 1 - في بعض المستويات β . بناءً على توازي المستويات، تكون المستويتان α و β متوازيتين. دع C تكون نقطة تقاطع الخطوط أو بو ج1 - تقاطعات الخطوط أ 1 و ب 1 . دعونا نرسم مستوى الخطوط المتوازية أو أ أو أ 1 عند النقطتين أ و أ 1. في مستوى الخطوط المتوازية بو ب 1 خط موازي للخط المستقيم CC 1. سوف تعبر الخطوط بو ب 1 عند النقطتين B و B1.
الرباعيات CAA 1 C 1 وSVV 1 C 1 هي متوازيات أضلاع، لأن أضلاعها المتقابلة متوازية. الشكل الرباعي ABC 1 A 1 هو أيضًا متوازي أضلاع. ضلعاه AA 1 و BB 1 متوازيان، لأن كل منهما موازي للخط CC 1. وبالتالي، فإن الشكل الرباعي يقع في المستوى الذي يمر عبر الخطين المتوازيين AA 1 و BB 1. وهو يتقاطع مع المستويين المتوازيين α و β على طول خطين مستقيمين متوازيين AB و A 1 B 1.
بما أن الأضلاع المتقابلة في متوازي الأضلاع متساوية، فإن AB = A 1 B 1، AC = A 1 C 1، BC = B 1 C 1. وفقا لعلامة المساواة الثالثة، فإن المثلثين ABC و A 1 B 1 C 1 متساويان. إذن، الزاوية A 1 C 1 B 1، المساوية للزاوية ACB، مستقيمة، أي. مستقيم أ 1 و ب 1 متعامدة. إلخ.

ملكياتعمودي على خط مستقيم وطائرة.
النظرية 2 . إذا كان المستوى عموديًا على أحد المستقيمين المتوازيين، فهو أيضًا عمودي على الآخر.
دليل. يترك أ 1 و أ 2 - خطان متوازيان و α - مستوى متعامد على الخط أ 1 . دعونا نثبت أن هذا المستوى عمودي على الخط المستقيم أ 2 .
لنرسم تقاطعين لخط يمر بالنقطة A أ 2 مع المستوى α خط مستقيم تعسفي مع 2 في الطائرة α. دعونا نرسم في المستوى α عبر النقطة A 1 تقاطع الخط أ 1 مع الطائرة α على التوالي مع 1، موازية للخط مع 2. وبما أنه مستقيم أ 1 عمودي على المستوى α، ثم الخطوط المستقيمة أ 1 و مع 1 متعامدة. ووفقا للنظرية 1، فإن الخطوط المتقاطعة موازية لها أ 2 و مع 2 متعامدان أيضًا. وهكذا على التوالي أ 2 عمودي على أي خط مع 2 في الطائرة α. وهذا يعني أن على التوالي أ 2 عمودي على المستوى α. لقد تم إثبات النظرية.

النظرية 3 . خطان مستقيمان متعامدان على نفس المستوى متوازيان مع بعضهما البعض.
لدينا المستوى α وخطين متعامدين عليه أو ب. دعونا نثبت ذلك أ || ب.
من خلال نقاط تقاطع الخطوط المستقيمة للطائرة، ارسم خطًا مستقيمًا مع. بناء على الخاصية التي نحصل عليها أ ^ جو ب ^ ج. من خلال الخطوط المستقيمة أو بلنرسم مستوى (خطان متوازيان يحددان المستوى، وواحد فقط). في هذا المستوى لدينا خطان متوازيان أو بوقاطع مع. إذا كان مجموع الزوايا الداخلية أحادية الجانب 180 درجة، فإن المستقيمين متوازيان. لدينا مثل هذه الحالة - زاويتان قائمتان. لهذا أ || ب.

في هذه المقالة سوف نتحدث عن عمودي الخط والمستوى. أولاً، يتم تقديم تعريف الخط العمودي على المستوى، ويتم تقديم رسم توضيحي ومثال، كما يتم عرض تعيين الخط العمودي على المستوى. بعد ذلك، يتم صياغة علامة عمودي الخط المستقيم والمستوى. بعد ذلك، يتم الحصول على الشروط التي تجعل من الممكن إثبات عمودي الخط المستقيم والمستوى عندما يتم تحديد الخط المستقيم والمستوى بمعادلات معينة في نظام إحداثيات مستطيل في مساحة ثلاثية الأبعاد. وفي الختام، يتم عرض حلول مفصلة للأمثلة والمشكلات النموذجية.

التنقل في الصفحة.

الخط المستقيم المتعامد والمستوى - معلومات أساسية.

ننصحك بتكرار تعريف الخطوط المتعامدة أولاً، حيث إن تعريف الخط المتعامد على المستوى يتم تقديمه من خلال تعامد الخطوط.

تعريف.

ويقولون ان الخط عمودي على الطائرة، إذا كان عموديًا على أي خط يقع في هذا المستوى.

يمكننا أيضًا أن نقول إن المستوى عمودي على مستقيم، أو أن الخط والمستوى متعامدان.

للإشارة إلى التعامد، استخدم رمزًا مثل "". أي أنه إذا كان الخط c عموديًا على المستوى، فيمكننا أن نكتب بإيجاز.

مثال على الخط المتعامد على المستوى هو الخط الذي يتقاطع على طوله جداران متجاوران في الغرفة. هذا الخط عمودي على المستوى وعلى مستوى السقف. يمكن أيضًا اعتبار الحبل الموجود في صالة الألعاب الرياضية بمثابة قطعة خط مستقيم متعامدة مع مستوى الأرضية.

وفي ختام هذه الفقرة من المقال نلاحظ أنه إذا كان الخط المستقيم عمودياً على مستوى فإن الزاوية بين الخط المستقيم والمستوى تعتبر مساوية لتسعين درجة.

عمودي الخط المستقيم والمستوى - علامة وشروط العمودي.

ومن الناحية العملية، غالبًا ما يُطرح السؤال: "هل الخط المستقيم والمستوى المعطى متعامدان؟" للإجابة على هذا هناك شرط كاف لعمود الخط والطائرةأي مثل هذا الشرط الذي يضمن تحقيقه عمودي الخط المستقيم والمستوى. تسمى هذه الحالة الكافية بعلامة تعامد الخط والمستوى. دعونا صياغة ذلك في شكل نظرية.

نظرية.

لكي يكون مستقيم ومستوى معين متعامدين، يكفي أن يكون الخط عموديًا على خطين متقاطعين يقعان في هذا المستوى.

يمكنك إلقاء نظرة على إثبات علامة عمودي الخط والمستوى في كتاب الهندسة المدرسي للصفوف 10-11.

عند حل مسائل إنشاء عمودي الخط والمستوى، غالبا ما تستخدم النظرية التالية أيضا.

نظرية.

إذا كان أحد الخطين المتوازيين عموديًا على مستوى، فإن الخط الثاني يكون عموديًا على المستوى أيضًا.

في المدرسة، يتم النظر في العديد من المهام، لحلها يتم استخدام علامة عمودي الخط والمستوى، وكذلك النظرية الأخيرة. لن نتناولها هنا. سنركز في هذا القسم من المقالة على تطبيق الشرط الضروري والكافي التالي لعمود الخط والمستوى.

يمكن إعادة كتابة هذا الشرط في النموذج التالي.

يترك هو متجه الاتجاه للخط أ، و هو المتجه الطبيعي للطائرة. لكي يكون الخط المستقيم a والمستوى متعامدين، لا بد من ذلك ويكفي ذلك و : ، حيث t هو عدد حقيقي.

يعتمد إثبات هذا الشرط الضروري والكافي لتعامد الخط والمستوى على تعريفات متجه الاتجاه للخط والمتجه الطبيعي للمستوى.

من الواضح أن هذا الشرط مناسب للاستخدام لإثبات عمودي الخط والمستوى، عندما يمكن بسهولة العثور على إحداثيات المتجه الموجه للخط وإحداثيات المتجه العادي للمستوى في مساحة ثابتة ثلاثية الأبعاد . وينطبق ذلك على الحالات التي يتم فيها إعطاء إحداثيات النقاط التي يمر بها المستوى والمسار، وكذلك الحالات التي يتم فيها تحديد الخط ببعض معادلات خط مستقيم في الفضاء، ويتم تحديد المستوى بمعادلة طائرة من نوع ما.

دعونا نلقي نظرة على حلول لعدة أمثلة.

مثال.

إثبات عمودي الخط والطائرات.

حل.

نحن نعلم أن الأعداد الموجودة في مقامات المعادلات القانونية لخط مستقيم في الفضاء هي الإحداثيات المقابلة لمتجه اتجاه هذا الخط. هكذا، - ناقل مباشر .

إن معاملات المتغيرات x وy وz في المعادلة العامة للمستوى هي إحداثيات المتجه الطبيعي لهذا المستوى، أي: هو المتجه الطبيعي للطائرة.

دعونا نتحقق من استيفاء الشرط الضروري والكافي لعمود الخط والمستوى.

لأن ، ثم المتجهات وترتبط بالعلاقة أي أنهما على خط واحد. لذلك، على التوالي عمودي على الطائرة.

مثال.

هل الخطوط متعامدة؟ والطائرة.

حل.

دعونا نوجد متجه الاتجاه لخط مستقيم معين والمتجه الطبيعي للمستوى من أجل التحقق من استيفاء الشرط الضروري والكافي لعمود الخط والمستوى.

ناقل الاتجاه مستقيم يكون