خطة الدرس.
1. اللحظة التنظيمية.
2. عرض المادة.
3. الواجبات المنزلية.
4. تلخيص الدرس.
خلال الفصول الدراسية
I. اللحظة التنظيمية.
ثانيا. عرض المادة.
تحفيز.
يتكون توسيع مجموعة الأعداد الحقيقية من إضافة أرقام جديدة (وهمية) إلى الأعداد الحقيقية. ويرجع إدخال هذه الأعداد إلى استحالة استخراج جذر العدد السالب في مجموعة الأعداد الحقيقية.
مقدمة لمفهوم العدد المركب.
الأعداد التخيلية، التي نكمل بها الأعداد الحقيقية، مكتوبة في النموذج ثنائية، أين أناهي وحدة وهمية، و ط 2 = - 1.
وبناء على ذلك نحصل على التعريف التالي للعدد المركب.
تعريف. الرقم المركب هو تعبير عن النموذج أ+ثنائية، أين أو ب- أرقام حقيقية. وفي هذه الحالة يتم استيفاء الشروط التالية:
أ) عددان مركبان أ 1 + ب 1 طو أ 2 + ب 2 طيساوي إذا وفقط إذا أ 1 = أ 2, ب 1 = ب 2.
ب) يتم تحديد عملية جمع الأعداد المركبة بواسطة القاعدة:
(أ 1 + ب 1 ط) + (أ 2 + ب 2 ط) = (أ 1 + أ 2) + (ب 1 + ب 2) ط.
ج) يتم تحديد ضرب الأعداد المركبة بواسطة القاعدة:
(أ 1 + ب 1 ط) (أ 2 + ب 2 ط) = (أ 1 أ 2 - ب 1 ب 2) + (أ 1 ب 2 - أ 2 ب 1) ط.
الصورة الجبرية لعدد مركب.
كتابة عدد مركب على الصورة أ+ثنائيةتسمى الصورة الجبرية للعدد المركب، حيث أ- الجزء الحقيقي، ثنائيةهو الجزء الخيالي، و ب- عدد حقيقي.
عدد مركب أ+ثنائيةيعتبر مساوياً للصفر إذا كانت أجزاؤه الحقيقية والتخيلية تساوي صفراً: أ = ب = 0
عدد مركب أ+ثنائيةفي ب = 0يعتبر نفس العدد الحقيقي أ: أ + 0i = أ.
عدد مركب أ+ثنائيةفي أ = 0ويسمى وهمية بحتة ويشار إليه ثنائية: 0 + ثنائية = ثنائية.
رقمين معقدين ض = أ + ثنائيةو = أ - ثنائية، والتي تختلف فقط في علامة الجزء التخيلي، تسمى المترافقة.
العمليات على الأعداد المركبة في الصورة الجبرية.
يمكنك إجراء العمليات التالية على الأعداد المركبة في الصورة الجبرية.
1) الإضافة.
تعريف. مجموع الأعداد المركبة ض 1 = أ 1 + ب 1 طو ض 2 = أ 2 + ب 2 طيسمى عددا مركبا ض، الجزء الحقيقي منه يساوي مجموع الأجزاء الحقيقية ض 1و ض 2والجزء التخيلي هو مجموع الأجزاء التخيلية من الأعداد ض 1و ض 2، إنه ض = (أ 1 + أ 2) + (ب 1 + ب 2)ط.
أعداد ض 1و ض 2تسمى المصطلحات.
جمع الأعداد المركبة له الخصائص التالية:
1 درجة. التبادلية: ض 1 + ض 2 = ض 2 + ض 1.
2 درجة. الترابط: (ض 1 + ض 2) + ض 3 = ض 1 + (ض 2 + ض 3).
3 درجة. عدد مركب -أ-بييسمى عكس العدد المركب ض = أ + ثنائية. العدد المركب عكس العدد المركب ض، يعني -ض. مجموع الأعداد المركبة ضو -ضيساوي الصفر: ض + (-ض) = 0
مثال 1: إجراء عملية الجمع (3 – ط) + (-1 + 2ط).
(3 – ط) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) ط = 2 + 1i.
2) الطرح.
تعريف.اطرح من عدد مركب ض 1عدد مركب ض 2 ض،ماذا ض + ض 2 = ض 1.
نظرية. الفرق بين الأعداد المركبة موجود وهو فريد من نوعه.
مثال 2: إجراء عملية الطرح (4 - 2ط) - (-3 + 2ط).
(4 - 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 - 4i.
3) الضرب.
تعريف. منتج الأعداد المركبة ض 1 =أ 1 +ب 1 طو ض 2 = أ 2 + ب 2 طيسمى عددا مركبا ض، والتي تحددها المساواة: ض = (أ 1 أ 2 – ب 1 ب 2) + (أ 1 ب 2 + أ 2 ب 1)ط.
أعداد ض 1و ض 2تسمى العوامل.
ضرب الأعداد المركبة له الخصائص التالية:
1 درجة. التبادلية: ض 1 ض 2 = ض 2 ض 1.
2 درجة. الترابط: (ض 1 ض 2) ض 3 = ض 1 (ض 2 ض 3)
3 درجة. توزيع الضرب بالنسبة إلى الجمع:
(ض 1 + ض 2) ض 3 = ض 1 ض 3 + ض 2 ض 3.
4 درجة. ض = (أ + ثنائية)(أ – ثنائية) = أ 2 + ب 2- عدد حقيقي.
ومن الناحية العملية، يتم ضرب الأعداد المركبة وفق قاعدة ضرب مجموع في مجموع والفصل بين الجزأين الحقيقي والتخيلي.
في المثال التالي، سننظر في ضرب الأعداد المركبة بطريقتين: بالقاعدة وضرب المجموع بمجموع.
مثال 3: قم بعملية الضرب (2 + 3ط) (5 - 7ط).
1 الطريق. (2 + 3ط) (5 – 7ط) = (2× 5 – 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5)ط = = (10 + 21) + (- 14 + 15 )ط = 31 + ط.
الطريقة 2. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) = = 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i.
4) القسمة.
تعريف. قسمة عدد مركب ض 1إلى عدد معقد ض 2يعني العثور على مثل هذا العدد المركب ض، ماذا ض ض 2 = ض 1.
نظرية.حاصل الأعداد المركبة موجود وهو فريد إذا ض 2 ≠ 0 + 0i.
عمليًا، يتم إيجاد حاصل قسمة الأعداد المركبة عن طريق ضرب البسط والمقام في مرافق المقام.
يترك ض 1 = أ 1 + ب 1 ط, ض 2 = أ 2 + ب 2 ط، ثم
.
في المثال التالي، سنقوم بإجراء القسمة باستخدام صيغة وقاعدة الضرب في العدد المرافق للمقام.
مثال 4. أوجد حاصل القسمة 
.
5) رفع إلى قوة كاملة إيجابية.
أ) قوى الوحدة التخيلية.
الاستفادة من المساواة ط 2 = -1فمن السهل تحديد أي قوة عددية موجبة للوحدة التخيلية. لدينا:
أنا 3 = أنا 2 أنا = -أنا،
ط 4 = ط 2 ط 2 = 1،
أنا 5 = أنا 4 أنا = أنا،
ط 6 = ط 4 ط 2 = -1،
أنا 7 = أنا 5 أنا 2 = -أنا،
ط 8 = ط 6 ط 2 = 1إلخ.
وهذا يدل على أن قيم الدرجة في، أين ن- عدد صحيح موجب، يتكرر بشكل دوري مع زيادة المؤشر بمقدار 4 .
ولذلك لرفع العدد أناإلى قوة كاملة موجبة، يجب أن نقسم الأس على 4 وبناء أناإلى قوة أسها يساوي باقي القسمة.
مثال 5: احسب: (ط 36 + ط 17) ط 23.
ط 36 = (ط 4) 9 = 1 9 = 1,
i 17 = i 4 × 4+1 = (i 4) 4 × i = 1 · i = i.
i 23 = i 4 × 5+3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 i 3 = - i.
(ط 36 + ط 17) · ط 23 = (1 + ط) (- ط) = - ط + 1= 1 – ط.
ب) يتم رفع عدد مركب إلى قوة صحيحة موجبة وفقًا لقاعدة رفع ذات الحدين إلى القوة المقابلة، لأنها حالة خاصة لضرب العوامل المعقدة المتطابقة.
مثال 6: احسب: (4 + 2ط) 3
(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3× 4 2 × 2i + 3× 4× (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.
الأعداد المركبة هي امتداد لمجموعة الأعداد الحقيقية، وعادة ما يُشار إليها بالرمز . يمكن تمثيل أي عدد مركب كمجموع رسمي، حيث و هي أرقام حقيقية وهي الوحدة التخيلية.
كتابة عدد مركب على الصورة تسمى الصورة الجبرية للعدد المركب.
خصائص الأعداد المركبة. التفسير الهندسي لعدد مركب.
الإجراءات على الأعداد المركبة المعطاة في الصورة الجبرية:
دعونا نفكر في القواعد التي يتم من خلالها تنفيذ العمليات الحسابية على الأعداد المركبة.
إذا تم إعطاء رقمين مركبين α = a + bi و β = c + di، إذن
α + β = (أ + ثنائية) + (ج + دي) = (أ + ج) + (ب + د)أنا،
α – β = (أ + ثنائية) – (ج + دي) = (أ – ج) + (ب – د)ط. (أحد عشر)
يأتي هذا من تعريف عمليات الجمع والطرح لزوجين مرتبين من الأعداد الحقيقية (انظر الصيغتين (1) و (3)). لقد تلقينا قواعد إضافة وطرح الأعداد المركبة: من أجل إضافة رقمين مركبين، يجب علينا إضافة أجزائهما الحقيقية بشكل منفصل، وبالتالي أجزائهما التخيلية؛ من أجل طرح عدد آخر من عدد مركب واحد، من الضروري طرح أجزائه الحقيقية والتخيلية، على التوالي.
الرقم – α = – a – bi يسمى عكس الرقم α = a + bi. مجموع هذين الرقمين هو صفر: - α + α = (- a - bi) + (a + bi) = (-a + a) + (-b + b)i = 0.
للحصول على قاعدة ضرب الأعداد المركبة، نستخدم الصيغة (6)، أي حقيقة أن i2 = -1. وبأخذ هذه العلاقة بعين الاعتبار نجد (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac + (ad + bc)i – bd، أي
(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i . (12)
تتوافق هذه الصيغة مع الصيغة (2)، التي تحدد ضرب الأزواج المرتبة من الأعداد الحقيقية.
لاحظ أن مجموع وحاصل ضرب عددين مترافقين مركبين هو أرقام حقيقية. في الواقع، إذا كانت α = a + bi، = a – bi، فإن α = (a + bi)(a - bi) = a2 – i2b2 = a2 + b2، α + = (a + bi) + (a - bi) = (أ + أ) + (ب - ب)أنا= 2أ، أي.
α + = 2a، α = a2 + b2. (13)
عند قسمة رقمين مركبين بشكل جبري، ينبغي للمرء أن يتوقع أن يتم التعبير عن حاصل القسمة أيضًا برقم من نفس النوع، أي α/β = u + vi، حيث u، v R. دعونا نشتق قاعدة قسمة الأعداد المركبة . دع الأرقام α = a + bi، β = c + di تعطى، و β ≠ 0، أي c2 + d2 ≠ 0. المتباينة الأخيرة تعني أن c و d لا يختفيان في وقت واحد (يتم استبعاد الحالة عندما تكون c = 0) ، د = 0). وبتطبيق الصيغة (12) والثانية من التساويات (13) نجد:
لذلك، يتم تحديد حاصل قسمة عددين مركبين بالصيغة:
المقابلة للصيغة (4).
باستخدام الصيغة الناتجة للرقم β = c + di، يمكنك العثور على الرقم العكسي β-1 = 1/β. بافتراض أن أ = 1، ب = 0 في الصيغة (14)، نحصل عليها
تحدد هذه الصيغة معكوس عدد مركب معين غير الصفر؛ هذا الرقم معقد أيضًا.
على سبيل المثال: (3 + 7i) + (4 + 2i) = 7 + 9i؛
(6 + 5ط) – (3 + 8ط) = 3 – 3ط؛
(5 - 4ط)(8 - 9ط) = 4 - 77ط؛
العمليات على الأعداد المركبة في الصورة الجبرية.
55. وسيطة عدد مركب. الشكل المثلثي لكتابة العدد المركب (الاشتقاق).
Arg.com.numbers. - بين الاتجاه الموجب لمحور X الحقيقي والمتجه الذي يمثل الرقم المحدد.
صيغة تريجون. أعداد: ،
تعريف
الصورة الجبرية للعدد المركب هي كتابة العدد المركب \(\z\) على الصورة \(\z=x+i y\)، حيث \(\x\) و \(\y\) أعداد حقيقية , \(\i\ ) - وحدة وهمية تحقق العلاقة \(\i^(2)=-1\)
الرقم \(\ x \) يسمى الجزء الحقيقي من الرقم المركب \(\ z \) ويشار إليه بـ \(\ x=\operatorname(Re) z \)
الرقم \(\y\) يسمى الجزء التخيلي من الرقم المركب \(\z\) ويشار إليه بـ \(\y=\operatorname(Im) z\)
على سبيل المثال:
العدد المركب \(\ z=3-2 i \) والرقم المجاور له \(\ \overline(z)=3+2 i \) مكتوبان بالصورة الجبرية.
الكمية التخيلية \(\ z=5 i \) مكتوبة بالصورة الجبرية.
بالإضافة إلى ذلك، اعتمادًا على المشكلة التي تقوم بحلها، يمكنك تحويل رقم مركب إلى رقم مثلثي أو أسي.
اكتب العدد \(\z=\frac(7-i)(4)+13\) على الصورة الجبرية، وأوجد أجزائه الحقيقية والتخيلية، بالإضافة إلى العدد المرافق له.
باستخدام مصطلح تقسيم الكسور وقاعدة جمع الكسور نحصل على:
\(\z=\frac(7-i)(4)+13=\frac(7)(4)+13-\frac(i)(4)=\frac(59)(4)-\frac( 1)(4)ط\)
ولذلك، فإن الجزء الحقيقي من العدد المركب \(\ z=\frac(5 g)(4)-\frac(1)(4) i \) هو الرقم \(\ x=\operatorname(Re) z= \frac(59) (4) \) ، الجزء التخيلي هو الرقم \(\ y=\operatorname(Im) z=-\frac(1)(4) \)
الرقم المرافق: \(\ \overline(z)=\frac(59)(4)+\frac(1)(4) i \)
\(\ z=\frac(59)(4)-\frac(1)(4) i \)، \(\ \operatorname(Re) z=\frac(59)(4) \)، \(\ \اسم المشغل(Im) z=-\frac(1)(4) \)، \(\ \overline(z)=\frac(59)(4)+\frac(1)(4) i \)
أفعال الأعداد المركبة في المقارنة الجبرية
يقال أن العددين المركبين \(\ z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) متساويان إذا كان \(\ x_(1)=x_(2) \), \(\ y_(1 )= y_(2) \) أي أجزاؤهما الحقيقية والتخيلية متساوية.
حدد أي x وy العددان المركبان \(\ z_(1)=13+y i \) و \(\ z_(2)=x+5 i \) متساويان.
بحكم التعريف، يكون العددان المركبان متساويين إذا كانت أجزاؤهما الحقيقية والتخيلية متساوية، أي. \(\x=13\)، \(\y=5\).
إضافة
تتم عملية جمع الأعداد المركبة \(\z_(1)=x_(1)+i y_(1)\) عن طريق جمع الأجزاء الحقيقية والتخيلية مباشرة:
\(\ z_(1)+z_(2)=x_(1)+i y_(1)+x_(2)+i y_(2)=\left(x_(1)+x_(2)\يمين) +i\left(y_(1)+y_(2)\right) \)
أوجد مجموع الأعداد المركبة \(\ z_(1)=-7+5 i \), \(\ z_(2)=13-4 i \)
الجزء الحقيقي من العدد المركب \(\ z_(1)=-7+5 i \) هو الرقم \(\ x_(1)=\operatorname(Re) z_(1)=-7 \) ، الرقم التخيلي الجزء هو الرقم \( \ y_(1)=\mathrm(Im) \), \(\ z_(1)=5 \) . الأجزاء الحقيقية والتخيلية للعدد المركب \(\ z_(2)=13-4 i \) تساوي \(\ x_(2)=\operatorname(Re) z_(2)=13 \) و \( \ y_(2) على التوالي )=\operatorname(Im) z_(2)=-4 \) .
وبالتالي فإن مجموع الأعداد المركبة هو:
\(\ z_(1)+z_(2)=\left(x_(1)+x_(2)\right)+i\left(y_(1)+y_(2)\right)=(-7+ 13)+i(5-4)=6+i \)
\(\ ض_(1)+z_(2)=6+i \)
اقرأ المزيد عن إضافة الأعداد المركبة في مقالة منفصلة: إضافة الأعداد المركبة.
الطرح
يتم إجراء طرح الأعداد المركبة \(\z_(1)=x_(1)+i y_(1)\) و \(\z_(2)=x_(2)+i y_(2)\) عن طريق الطرح المباشر الأجزاء الحقيقية والخيالية:
\(\ z_(1)-z_(2)=x_(1)+i y_(1)-\left(x_(2)+i y_(2)\right)=x_(1)-x_(2) +\left(i y_(1)-i y_(2)\right)=\left(x_(1)-x_(2)\right)+i\left(y_(1)-y_(2)\right) ) \)
أوجد الفرق بين الأعداد المركبة \(\ z_(1)=17-35 i \), \(\ z_(2)=15+5 i \)
أوجد الأجزاء الحقيقية والتخيلية للأعداد المركبة \(\ z_(1)=17-35 i \), \(\ z_(2)=15+5 i \) :
\(\ x_(1)=\اسم المشغل(Re) z_(1)=17, x_(2)=\اسم المشغل(Re) z_(2)=15 \)
\(\ y_(1)=\اسم المشغل(Im) z_(1)=-35, y_(2)=\اسم المشغل(Im) z_(2)=5 \)
وبالتالي فإن الفرق بين الأعداد المركبة هو:
\(\z_(1)-z_(2)=\left(x_(1)-x_(2)\right)+i\left(y_(1)-y_(2)\right)=(17-15) )+i(-35-5)=2-40 ط \)
\(\ z_(1)-z_(2)=2-40 i \) الضرب
يتم تنفيذ ضرب الأعداد المركبة \(\ z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) و \(\ z_(2)=x_(2)+i y_(2) \) عن طريق الإنشاء المباشر الأعداد على الصورة الجبرية مع مراعاة خاصية الوحدة التخيلية \(\i^(2)=-1\) :
\(\ z_(1) \cdot z_(2)=\left(x_(1)+i y_(1)\right) \cdot\left(x_(2)+i y_(2)\right)=x_ (1) \cdot x_(2)+i^(2) \cdot y_(1) \cdot y_(2)+\left(x_(1) \cdot i y_(2)+x_(2) \cdot i ص_(1)\يمين)=\)
\(\ =\left(x_(1) \cdot x_(2)-y_(1) \cdot y_(2)\right)+i\left(x_(1) \cdot y_(2)+x_(2) ) \cdot y_(1)\يمين) \)
أوجد حاصل ضرب الأعداد المركبة \(\ z_(1)=1-5 i \)
مجمع الأعداد المركبة:
\(\ z_(1) \cdot z_(2)=\left(x_(1) \cdot x_(2)-y_(1) \cdot y_(2)\right)+i\left(x_(1) \cdot y_(2)+x_(2) \cdot y_(1)\right)=(1 \cdot 5-(-5) \cdot 2)+i(1 \cdot 2+(-5) \cdot 5 )=15-23 ط\)
\(\ z_(1) \cdot z_(2)=15-23 i \) القسمة
يتم تحديد عامل الأعداد المركبة \(\z_(1)=x_(1)+i y_(1)\) و \(\z_(2)=x_(2)+i y_(2)\) بالضرب البسط والمقام للرقم المرافق مع المقام:
\(\ \frac(z_(1))(z_(2))=\frac(x_(1)+i y_(1))(x_(2)+i y_(2))=\frac(\left (x_(1)+i y_(1)\يمين)\left(x_(2)-i y_(2)\يمين))(\left(x_(2)+i y_(2)\يمين)\left (x_(2)-i y_(2)\right))=\frac(x_(1) \cdot x_(2)+y_(1) \cdot y_(2))(x_(2)^(2) +y_(2)^(2))+i \frac(x_(2) \cdot y_(1)-x_(1) \cdot y_(2))(x_(2)^(2)+y_(2) )^(2)) \)
لتقسيم الرقم 1 على العدد المركب \(\z=1+2 i\).
وبما أن الجزء التخيلي من العدد الحقيقي 1 هو صفر، فإن العامل هو:
\(\ \frac(1)(1+2 i)=\frac(1 \cdot 1)(1^(2)+2^(2))-i \frac(1 \cdot 2)(1^( 2)+2^(2))=\frac(1)(5)-i \frac(2)(5)\)
\(\ \frac(1)(1+2 i)=\frac(1)(5)-i \frac(2)(5) \)
ارقام مركبة
خيالي و ارقام مركبة. الإحداثي الإحداثي والإحداثي
عدد مركب. ربط الأعداد المركبة.
العمليات على الأعداد المركبة هندسي
تمثيل الأعداد المركبة. طائرة معقدة.
معامل ووسيطة عدد مركب. حساب المثاثات
شكل العدد المركب العمليات ذات التعقيد
الأرقام في شكل مثلثي. صيغة موافر.
معلومات أساسية عن خيالي و ارقام مركبة وترد في قسم "الأعداد التخيلية والمعقدة". نشأت الحاجة إلى هذه الأعداد من نوع جديد عند حل المعادلات التربيعية الخاصة بالحالة
د< 0 (здесь د- مميز المعادلة التربيعية). لفترة طويلة، لم تجد هذه الأرقام تطبيقًا ماديًا، ولهذا السبب تم تسميتها بالأرقام "التخيلية". ومع ذلك، فهي تستخدم الآن على نطاق واسع جدًا في مختلف مجالات الفيزياءوالتكنولوجيا: الهندسة الكهربائية، والديناميكا المائية والهوائية، ونظرية المرونة، وما إلى ذلك.
ارقام مركبة مكتوبة في النموذج:أ+ثنائية. هنا أو ب – أرقام حقيقية ، أ أنا – وحدة وهمية، أي.ه. أنا 2 = –1. رقم أمُسَمًّى الإحداثي السيني، أ ب – تنسيقعدد مركبأ + ثنائية .رقمين معقدينأ+ثنائيةو أ-ثنائية وتسمى المترافقةارقام مركبة.
الاتفاقيات الرئيسية:
1. العدد الحقيقي
أويمكن أيضا أن تكون مكتوبة في النموذجعدد مركب:أ+ 0 أناأو أ - 0 أنا. على سبيل المثال، يسجل 5 + 0أناو5 – 0 أنايعني نفس الرقم 5 .2. المجمع رقم 0 + ثنائيةمُسَمًّى خيالية بحتة رقم. سِجِلّثنائيةيعني نفس 0 + ثنائية.
3. رقمان مركبانأ+ثنائية وج + ديتعتبر متساوية إذاأ = جو ب = د. خلاف ذلك الأعداد المركبة ليست متساوية.
إضافة. مجموع الأعداد المركبةأ+ثنائيةو ج + دييسمى عددا مركبا (أ+ج ) + (ب + د ) أنا.هكذا، عند الإضافة الأعداد المركبة، تتم إضافة الإحداثيات والإحداثيات بشكل منفصل.
يتوافق هذا التعريف مع قواعد العمليات مع كثيرات الحدود العادية.
الطرح. الفرق بين رقمين مركبينأ+ثنائية(تناقص) و ج + دي(المطروح) يسمى عددا مركبا (أ-ج ) + (ب-د ) أنا.
هكذا، عند طرح عددين مركبين، يتم طرح الإحداثيات والإحداثيات بشكل منفصل.
عمليه الضرب. منتج الأعداد المركبةأ+ثنائيةو ج + دي يسمى عددا مركبا :
(التيار المتردد – دينار بحريني ) + (إعلان + قبل الميلاد ) أنا.ويترتب على هذا التعريف مطلبان:
1) الأرقام أ+ثنائيةو ج + دييجب أن تتضاعف مثل جبريذات الحدين,
2) العدد أنالديه الخاصية الرئيسية:أنا 2 = – 1.
مثال ( أ+ ثنائية )(أ-ثنائية) = أ 2 +ب 2 . لذلك، عمل
عددان مركبان مترافقان يساوي العدد الحقيقي
رقم إيجابي.
قسم. قسمة عدد مركبأ+ثنائية (يقسم) على آخرج + دي(المقسم) - يعني العثور على الرقم الثالثه + و ط(دردشة) والتي عندما تضرب بالمقسوم عليهج + دي، يؤدي إلى الأرباحأ + ثنائية .
إذا لم يكن المقسوم عليه صفرًا، فالقسمة ممكنة دائمًا.
مثال البحث عن (8+أنا ) : (2 – 3 أنا) .
الحل لنعيد كتابة هذه النسبة في صورة كسر:
ضرب بسطه ومقامه في 2 + 3أنا
و بعد تنفيذ جميع التحولات نحصل على:
التمثيل الهندسي للأعداد المركبة. يتم تمثيل الأعداد الحقيقية بالنقاط على خط الأعداد:
هنا هي النقطة أيعني الرقم -3، نقطةب- رقم 2، و يا- صفر. في المقابل، يتم تمثيل الأعداد المركبة بنقاط على المستوى الإحداثي. ولهذا الغرض نختار إحداثيات مستطيلة (ديكارتية) بنفس المقياس على كلا المحورين. ثم العدد المركبأ+ثنائية سيتم تمثيلها بنقطة P مع الإحداثي السيني أ والإحداثي ب (انظر الصورة). ويسمى نظام الإحداثيات هذا طائرة معقدة .
وحدة العدد المركب هو طول المتجهOP، يمثل رقمًا مركبًا على الإحداثي ( شامل) طائرة. معامل العدد المركبأ+ثنائيةيُشار إليه بـ | أ+ثنائية| أو حرف ص