مقدمةمعلمون:

صغير مرجع تاريخي: اهتم كثير من العلماء بقضايا القطع منذ القدم. قرارات كثيرة مهام بسيطةتم العثور على القطع من قبل اليونانيين والصينيين القدماء، لكن أول أطروحة منهجية حول هذا الموضوع تعود إلى قلم أبو الفوف. لقد تعامل علماء الهندسة بجدية مع حل مشكلات قطع الأشكال أصغر عددالأجزاء والبناء اللاحق لشخصية أخرى في أوائل القرن العشرين. أحد مؤسسي هذا القسم هو مؤسس الألغاز الشهير Henry E. Dudeney.

في الوقت الحاضر، يهتم عشاق الألغاز بحل مشكلات القطع أولاً لأن طريقة عالميةلا يوجد حل لمثل هذه المشاكل، وكل من يتولى حلها يمكنه أن يثبت بشكل كامل براعته وحدسه وقدرته على حلها. تفكير ابداعى. (في الفصل سنشير إلى واحد فقط من الأمثلة المحتملةقطع. يمكن الافتراض أن الطلاب قد ينتهي بهم الأمر إلى الحصول على مجموعة أخرى صحيحة - فلا داعي للخوف من ذلك).

من المفترض أن يتم إجراء هذا الدرس بالشكل درس عملي. قسّم المشاركين في الدائرة إلى مجموعات مكونة من 2-3 أشخاص. تزويد كل مجموعة بالأشكال المعدة مسبقًا من قبل المعلم. الطلاب لديهم مسطرة (مع الأقسام)، وقلم رصاص، ومقص. يُسمح بإجراء تخفيضات مستقيمة فقط باستخدام المقص. بعد قطع الشكل إلى قطع، تحتاج إلى صنع شكل آخر من نفس الأجزاء.

مهام القطع:

1). حاول قص الشكل الموضح في الشكل إلى 3 أجزاء متساوية الشكل:

تلميح: الأشكال الصغيرة تشبه إلى حد كبير الحرف T.

2). الآن قم بتقطيع هذا الشكل إلى 4 أجزاء متساوية الشكل:

تلميح: من السهل تخمين أن الأشكال الصغيرة ستتكون من 3 خلايا، لكن ليس هناك العديد من الأشكال المكونة من ثلاث خلايا. هناك نوعان فقط: الزاوية والمستطيل.

3). قسّم الشكل إلى جزأين متساويين، واستخدم الأجزاء الناتجة لتشكيل رقعة الشطرنج.

تلميح: أقترح أن تبدأ المهمة من الجزء الثاني، كما لو كنت تحصل على رقعة الشطرنج. تذكر شكل رقعة الشطرنج (مربع). حساب العدد المتاح من الخلايا في الطول والعرض. (تذكر أنه يجب أن يكون هناك 8 خلايا).

4). حاول تقطيع الجبن إلى ثماني قطع متساوية بثلاث حركات للسكين.

نصيحة: حاول تقطيع الجبن بالطول.

المهام ل قرار مستقل:

1). قم بقص مربع من الورق وقم بما يلي:

· تقطع إلى 4 قطع يمكن استخدامها لعمل مربعين متساويين أصغر.

· مقطعة إلى خمسة أجزاء - أربعة مثلث متساوي الساقينومربع واحد - وقم بطيها حتى تحصل على ثلاثة مربعات.

باستخدام ورقة مربعات باستخدام المقص، يمكنك حل العديد من المشكلات المختلفة والمثيرة للاهتمام. هذه المهام ليست مثيرة للاهتمام أو ممتعة فقط. غالبًا ما تحتوي على حل عملي وإثبات لأسئلة هندسية معقدة للغاية في بعض الأحيان.

لنبدأ بالقاعدة الرئيسية للقطع والطي: يسمى المضلعان متساويان المركب إذا كان من الممكن تقسيم (قطع) أحدهما إلى بعض المضلعات الأخرى، والتي يمكن بعد ذلك تشكيل المضلع الثاني منها.

المضلعات المتناسبة بشكل متساوٍ، بالطبع، لها نفس المساحة (متساوية في الحجم)، وبالتالي فإن خاصية التركيب المتساوي تسمح لنا أحيانًا بالحصول على صيغ لحساب المساحات أو مقارنة مساحات الأشكال (كما يقولون، طريقة التقسيم أو التحلل). مثال على ذلك هو مقارنة (حساب) مساحات متوازي الأضلاع والمستطيل.

السؤال العام حول تكافؤ المضلعين ليس بالأمر البسيط. هناك نظرية مذهلة تنص على أنه من أي مضلع معين، عن طريق تقطيعه إلى أجزاء، يمكن إنشاء أي مضلع آخر بنفس المساحة.

في هذه النظرية نحن نتحدث عنحول ما يسمى بالمضلعات البسيطة. المضلع البسيط هو مضلع يتكون حده من واحد خط مغلقدون تقاطعات ذاتية، وعند كل قمة من هذا الخط المتقطع تتلاقى بالضبط اثنتان من حلقاته. خاصية هامةالمضلع البسيط هو حقيقة أنه يحتوي على قطر داخلي واحد على الأقل.

لاحظ أنه من أجل السماح بتحويل المستطيل إلى مربع، كنا (الشكل 3) بحاجة إلى تقسيمه إلى ثلاثة أجزاء. ومع ذلك، هذا القسم ليس الوحيد. على سبيل المثال، يمكنك إعطاء مثال على تقسيم المستطيل إلى أربعة أجزاء (الشكل 4).

https://pandia.ru/text/78/456/images/image005_116.gif" width = "356" height = "391 src = ">

يبقى السؤال حول ما هو أصغر عدد من القطع الكافي لبناء آخر من شكل واحد مفتوحًا حتى يومنا هذا.

مهمة 1.

كان لدى إحدى النساء سجادة مستطيلة مقاس 27 × 36 بوصة، وكان زاويتان متقابلتان مهترئتين (الشكل 5) وكان لا بد من قطعهما، لكنها أرادت سجادة مستطيلة. لقد أعطت هذه الوظيفة للسيد وقام بها. كيف فعل هذا؟

يمكن رؤية حل المشكلة من الشكل 6.

https://pandia.ru/text/78/456/images/image009_72.gif" width = "286" height = "240 src = ">

إذا تمت إزالة الجزء المسنن A من الجزء المسنن B ثم دفعه للخلف بين أسنان الجزء B، وتحريكه سنًا واحدًا إلى اليمين، فسيتم الحصول على المستطيل المطلوب.

المهمة 2.

كيفية صنع مربع من خمسة مربعات متطابقة عن طريق قصها.

كما هو مبين في الشكل 7، يجب قطع أربعة مربعات إلى مثلث وشبه منحرف. قم بإرفاق أربعة شبه منحرف على جوانب المربع الخامس، وأخيرًا، قم بإرفاق المثلثات بأرجلها إلى قواعد شبه المنحرف.

https://pandia.ru/text/78/456/images/image011_68.gif" width = "382" height = "271 src = ">

المهمة 3.

قطع المربع إلى سبع قطع بحيث تحصل عند إضافتها على ثلاثة مربعات متساوية. (الأشكال 8، 9)

https://pandia.ru/text/78/456/images/image013_60.gif" width = "188" height = "189 src = ">

المهمة 4.

قطع المربع إلى ثماني قطع بحيث تحصل عند إضافتها على مربعين، أحدهما نصف حجم الآخر.

من الشكل 10 يمكنك أن ترى كيفية قطع المربع. الحل مشابه لحل المشكلة السابقة. ويوضح الشكل 11 كيفية جمع القطع للحصول على المربعين المطلوبين.

جولة تعليمية

المهام التي يتعين على فرق الفئة العمرية "الأصغر سنا" حلها بشكل مستقل

المشكلة 1

يزحف حلزون على عمود ارتفاعه 10m، ويرتفع 5m أثناء النهار، وينخفض ​​4m أثناء الليل.

المشكلة 2

هل من الممكن أن يحدث ثقب في قطعة من ورق الدفتر يمكن لأي شخص أن يدخل من خلالها؟

المشكلة 3

الأرانب البرية تنشر جذوع الأشجار. لقد قاموا بعمل 10 تخفيضات. كم عدد السجلات التي حصلت عليها؟

المشكلة 4

يتم تقطيع الخبز إلى قطاعات. لقد قطعنا 10 قطع. كم قطعة حصلت عليها؟

المشكلة 5

على كعكة مستديرة كبيرة، تم إجراء 10 قطع بحيث ينتقل كل قطع من الحافة إلى الحافة ويمر عبر مركز الكعكة. كم قطعة حصلت عليها؟

المشكلة 6

كان لدى شخصين كعكتين مربعتين. قام الجميع بعمل قطعتين مستقيمتين على الكعكة من الحافة إلى الحافة. وفي الوقت نفسه، حصل أحدهما على ثلاث قطع، والآخر حصل على أربع قطع. كيف يكون ذلك؟

المشكلة 7

تقوم الأرانب البرية بنشر الجذع مرة أخرى، ولكن الآن تم تأمين طرفي السجل. سقطت عشرة جذوع الأشجار الوسطى، لكن القطعتين الخارجيتين ظلتا ثابتتين. كم عدد القطع التي قام بها الأرانب البرية؟

المشكلة 8

كيف تقسم الفطيرة إلى 4.5، 6، 7 أجزاء باستخدام ثلاث قطع مستقيمة؟

المشكلة 9

يوجد لوح شوكولاتة مستدير على كعكة مستطيلة. كيف تقطع الكعكة إلى جزأين متساويين بحيث تنقسم قطعة الشوكولاتة أيضًا إلى نصفين تمامًا؟

المشكلة 10

هل من الممكن خبز كعكة يمكن تقسيمها إلى 4 أجزاء بقطعة واحدة مستقيمة؟

المشكلة 11

لماذا أقصى عددقطع، هل يمكن قطع فطيرة مستديرة باستخدام ثلاث قطع مستقيمة؟

المشكلة 12

بكم مرة يكون الدرج المؤدي إلى الطابق الرابع من المنزل أطول من الدرج المؤدي إلى الطابق الثاني من نفس المنزل؟

المشكلة 13

لدى جوزيبي لوح من الخشب الرقائقي مقاس 22 × 15. يريد جوزيبي قطع أكبر عدد ممكن من القطع المستطيلة بحجم 3. × 5. كيف نفعل هذا؟

المشكلة 14

في الأرض السحريةقوانينها السحرية في الطبيعة، والتي يقول أحدها: “السجادة الطائرة لن تطير إلا عندما يكون لها شكل مستطيل”.

كان لدى إيفان تساريفيتش سجادة سحرية بحجم 9 × 12. في أحد الأيام، تسلل الثعبان جورينيتش وقطع سجادة صغيرة مقاس 1 من هذه السجادة × 8. كان إيفان تساريفيتش منزعجًا للغاية وأراد قطع قطعة أخرى 1 × 4 لعمل مستطيل 8 × 12، لكن فاسيليسا الحكيم اقترح أن يفعل بشكل مختلف. قامت بتقطيع السجادة إلى ثلاثة أجزاء، واستخدمت منها خيوطاً سحرية لخياطة سجادة طائرة مربعة مقاس 10 × 10.

هل يمكنك تخمين كيف قام فاسيليسا الحكيم بإعادة صنع السجادة التالفة؟

المشكلة 15

عندما وصل جاليفر إلى ليليبوت، اكتشف أن كل الأشياء هناك أقصر 12 مرة بالضبط مما كانت عليه في وطنه. هل يمكنك معرفة عدد علب الثقاب ليليبوتيان التي تناسبها؟ علبة الثقابجاليفر؟

المشكلة 16

على الصاري سفينة القراصنةيرفرف العلم المستطيل ذو اللونين، ويتكون من خطوط عمودية بالأبيض والأسود بالتناوب بنفس العرض. الرقم الإجماليخطوط تساوي عدد السجناء فيها هذه اللحظةعلى متن السفينة. في البداية كان هناك 12 سجينًا على متن السفينة، و12 شريطًا على العلم؛ ثم لاذ السجينان بالفرار. كيف يتم تقطيع العلم إلى قسمين ومن ثم خياطتهما معاً بحيث لا تتغير مساحة العلم وعرض الخطوط بل يصبح عدد الشرائط 10؟

المشكلة 17

تم وضع علامة على نقطة في الدائرة. هل من الممكن تقطيع هذه الدائرة إلى ثلاثة أجزاء بحيث يمكن تجميعها معاً؟ دائرة جديدة، الذي ستكون نقطته المميزة في المركز؟

المشكلة 18

هل من الممكن تقطيع مربع إلى أربعة أجزاء بحيث يلامس كل جزء (أي لديه مناطق مشتركة من الحدود) الأجزاء الثلاثة الأخرى؟

DIV_ADBLOCK245">

المشكلة 24

لا توجد أقسام على مسطرة طولها 9 سم. ضعي عليها ثلاثة أقسام وسطية لتتمكني من استخدامها لقياس المسافات من 1 إلى 9 سم بدقة 1 سم.

المشكلة 25

اكتب بعض الأرقام بالقرب من كل رأس من رؤوس المثلث، واكتب مجموع الأرقام الموجودة في نهايات هذا الجانب بالقرب من كل جانب من المثلث. أضف الآن كل رقم بالقرب من الأعلى مع الرقم القريب الجانب المعاكس. لماذا تعتقد أن المبالغ كانت هي نفسها؟

المشكلة 26

ما هي مساحة المثلث الذي أضلاعه 18، 17، 35؟

المشكلة 27

قطع المربع إلى خمسة مثلثات بحيث تكون مساحة أحد هذه المثلثات مساوية لمجموع مساحات المثلثات المتبقية.

المشكلة 28

تم قطع ورقة مربعة إلى ست قطع على شكل مضلعات محدبة; ضاعت خمس قطع، وبقيت قطعة واحدة على شكل مثمن منتظم (انظر الصورة). هل من الممكن إعادة بناء المربع الأصلي باستخدام هذا المثمن وحده؟

المشكلة 29

يمكنك بسهولة قطع مربع إلى قسمين مثلث متساوياو اثنين رباعي متساوي. كيف تقطع المربع إلى شكلين خماسيين متساويين أو شكلين سداسيين متساويين؟

مشكلة 30

ذهب إيفان تساريفيتش للبحث عن فاسيليسا الجميلة التي اختطفها كوششي. يلتقي به ليشي.

يقول: "أعلم، كنت أذهب إلى هناك وأذهب إلى مملكة كوششيفو". مشيت لمدة أربعة أيام وأربع ليال. في الـ 24 ساعة الأولى مشيت ثلث الطريق، الطريق المستقيم المتجه نحو الشمال. ثم اتجه غربًا، ومشى مجهدًا عبر الغابة لمدة يوم، ومشى نصف المسافة. في اليوم الثالث، مشيت عبر الغابة، بالفعل إلى الجنوب، وخرجت على طريق مستقيم يؤدي إلى الشرق. مشيت على طوله 100 ميل في اليوم وانتهى بي الأمر في مملكة كوششيفو. أنت سريع المشي مثلي. اذهب يا إيفان تساريفيتش، انظر، في اليوم الخامس ستزور كوششي.

أجاب إيفان تساريفيتش: لا، إذا كان كل شيء كما تقول، فغدًا سأرى فاسيليسا الجميلة.

هل هو على حق؟ كم عدد الأميال التي قطعها ليشي وإلى أي مدى يفكر تساريفيتش إيفان في المشي؟

المشكلة 31

توصل إلى نظام ألوان لأوجه المكعب بحيث يبدو في ثلاثة مواضع مختلفة مثل الموضح في الصورة. (حدد كيفية تلوين الحواف غير المرئية، أو رسم شبكة.)

https://pandia.ru/text/78/456/images/image023_44.gif" محاذاة = "left" width = "205" height = "205 src = "> المشكلة 32

يمتلك عالم العملات فيديا جميع العملات المعدنية التي لا يزيد قطرها عن 10 سم، ويقوم بتخزينها في صندوق مسطح مقاس 30 سم * 70 سم (في طبقة واحدة). أُعطي عملة معدنية قطرها 25 سم، أثبت أنه يمكن وضع جميع العملات المعدنية في صندوق واحد مسطح مقاس 55 سم * 55 سم.

المشكلة 33

تم قطع مربع مركزي من مربع 5x5. قم بقص الشكل الناتج إلى جزأين يمكنك لف مكعب 2x2x2 بهما.

المشكلة 34

يقطع مربع معينعلى جوانب الخلايا إلى أربعة أجزاء بحيث تكون جميع الأجزاء بنفس الحجم و نفس الشكلبحيث يحتوي كل جزء على دائرة واحدة ونجمة واحدة.

المشكلة 35

ساحة انتظار السيارات في Flower City عبارة عن مربع 7x7 خلايا، في كل منها يمكنك ركن السيارة. موقف السيارات محاط بسياج، تمت إزالة أحد جوانب قفص الزاوية (هذه هي البوابة). تسير السيارة على طول مسار واسع القفص. طُلب من دونو نشر أكبر قدر ممكن المزيد من السياراتفي موقف السيارات بحيث يمكن لأي شخص المغادرة عندما يكون الآخرون واقفين. قام دونو بترتيب 24 سيارة كما هو موضح في الشكل. حاول ترتيب السيارات بشكل مختلف لاستيعاب المزيد منها.

المشكلة 36

تعيش بيتيا وفاسيا في منازل مجاورة (انظر المخطط في الصورة). يعيش فاسيا في المدخل الرابع. من المعروف أنه من أجل الوصول إلى فاسيا بأقصر طريق (وليس بالضرورة السير على طول جوانب الزنازين)، لا يهتم بيتيا بالجانب الذي يركض حول منزله. تحديد المدخل الذي تعيش فيه بيتيا.

المشكلة 37

اقترح طريقة لقياس قطر لبنة عادية يمكن تطبيقها بسهولة عمليا (بدون نظرية فيثاغورس).

المشكلة 38

قطع صليبًا مكونًا من خمسة مربعات متطابقة إلى ثلاثة مضلعات متساوية في المساحة والمحيط.

المشكلة 39

https://pandia.ru/text/78/456/images/image033_35.gif" width="411" height="111">

المشكلة 46

أ) رباعي السطوح ب) تم قطع المكعب على طول الحواف المميزة بخطوط غامقة (انظر الصور) ثم تم فرده. ارسم التطورات الناتجة.

المشكلة 47

ما هي أنواع الجثث التي تظهر في الصور؟ ارسم الرسومات حسب الرسومات وألصقها معًا لتكوين جسم هندسي.

1)2) 3) 4) https://pandia.ru/text/78/456/images/image039_30.gif" width = "182" height = "146 src = ">.gif" width = "212" height = "139">8 )

29 أبريل 2013 الساعة 4:34 مساءً

قطع إلى جزأين متساويين، الجزء الأول

• الرياضيات

مشاكل القطع هي مجال من مجالات الرياضيات، حيث، كما يقولون، لا يوجد ماموث حولها. مجموعة من المشاكل الفردية، ولكن في الأساس لا النظرية العامة. بالإضافة إلى نظرية بولياي-جيروين المعروفة، وغيرها النتائج الأساسيةعمليا لا شيء في هذا المجال. ريبة - الرفيق الأبديمهام القطع. يمكننا، على سبيل المثال، قطع البنتاغون العاديإلى ستة أجزاء، يمكنك طي المربع منها؛ ومع ذلك، لا يمكننا أن نثبت أن خمسة أجزاء لن تكون كافية لهذا الغرض.

بمساعدة الاستدلال الماكرة والخيال ونصف لتر، نتمكن أحيانًا من العثور عليها حل محددلكن، كقاعدة عامة، ليس لدينا الأدوات المناسبة لإثبات ضآلة هذا الحل أو عدم وجوده (وهذا الأخير، بالطبع، ينطبق على الحالة التي لم نتوصل فيها إلى حل). إنه أمر محزن وغير عادل. وفي أحد الأيام أخذت دفترًا فارغًا وقررت استعادة العدالة على مقياس واحد مهمة محددة: القطع شخصية مسطحةإلى جزأين متساويين (متطابقين). كجزء من سلسلة المقالات هذه (بالمناسبة، سيكون هناك ثلاثة منها)، سننظر أنا وأنت، أيها الرفاق، إلى هذا المضلع المضحك الموضح أدناه ونحاول معرفة ما إذا كان من الممكن تقسيمه إلى قسمين متساويين بشكل حيادي الأرقام أم لا.

مقدمة

أولا، دعونا تحديث دورة المدرسةالهندسة وتذكر ما هو عليه أرقام متساوية. يقترح ياندكس بشكل مفيد:

يعتبر الرقمان الموجودان على المستوى متساويين إذا كانت هناك حركة واحدة لواحد تحول شكلاً إلى آخر.

الآن دعونا نسأل ويكيبيديا عن الحركات. ستخبرنا، أولًا، أن الحركة هي تحويل للمستوى يحافظ على المسافات بين النقاط. ثانيا، هناك حتى تصنيف للحركات على متن الطائرة. كلهم ينتمون إلى واحد الثلاثة القادمةأنواع:

• التناظر المنزلق (هنا، من أجل الراحة والفائدة، أدرج تناظر المرآة، كحالة متحللة، حيث يتم تنفيذ الترجمة المتوازية إلى المتجه الصفري)

دعونا نقدم بعض التدوين. سوف نسمي الشكل المقطوع الشكل A، والرقمين المتساويين الافتراضيين اللذين من المفترض أن نقطعه إليهما سيطلق عليهما B وC، على التوالي. سوف نسمي الجزء من المستوى الذي لا يشغله الشكل A المنطقة D. وفي الحالات التي يعتبر فيها مضلع معين من الصورة هو الشكل المقطوع، سنسميه A 0 .

لذلك، إذا كان من الممكن تقطيع الشكل A إلى جزأين متساويين B وC، فهناك حركة تحول B إلى C. يمكن أن تكون هذه الحركة إما نقل موازي، إما عن طريق التدوير أو التناظر المنزلق (من الآن فصاعدًا، لم أعد أشترط ذلك تناظر المرآةيعتبر أيضًا انزلاقًا). سيتم بناء قرارنا على هذا الأساس البسيط، بل وأود أن أقول إنه واضح. في هذا الجزء سوف ننظر إلى أبسط حالة - النقل الموازي. سوف يقع الدوران والتماثل المنزلق في الجزأين الثاني والثالث على التوالي.

الحالة 1: النقل الموازي

يتم تحديد النقل الموازي بواسطة معلمة واحدة - المتجه الذي يحدث به التحول. دعنا نقدم بعض المصطلحات الإضافية. سيتم استدعاء خط مستقيم موازٍ لمتجه الإزاحة ويحتوي على نقطة واحدة على الأقل من الشكل A قاطع. سيتم استدعاء تقاطع الخط القاطع والشكل A المقطع العرضي. سيتم استدعاء القاطع الذي يقع فيه الشكل A (مطروحًا منه القسم) بالكامل في نصف مستوى واحد حدود.

ليما 1.يجب أن يحتوي مقطع الحدود على أكثر من نقطة واحدة.

برهان : واضح . حسنًا، أو بمزيد من التفصيل: لنثبت ذلك بالتناقض. إذا كانت هذه النقطة تنتمي إلى الشكل ب، فهي كذلك صورة(أي النقطة التي ستنتقل إليها أثناء الترجمة المتوازية) تنتمي إلى الشكل C => الصورة تنتمي إلى الشكل A => الصورة تنتمي إلى القسم. تناقض. إذا كانت هذه النقطة تنتمي إلى الشكل C، فهي كذلك النموذج المبدئي(النقطة التي ستدخل فيها الترجمة المتوازية) تنتمي إلى الشكل ب، ثم بالمثل. اتضح أنه يجب أن يكون هناك نقطتان على الأقل في القسم.

وبالاسترشاد بهذه الفكرة البسيطة، من السهل أن نفهم أن النقل الموازي المطلوب لا يمكن أن يحدث إلا على طول الطريق محور رأسي(في الاتجاه الحالي للصورة) إذا كان في أي اتجاه آخر، فسيتكون أحد أقسام الحدود على الأقل من نقطة واحدة. يمكن فهم ذلك من خلال تدوير ناقل التحول عقليًا ورؤية ما يحدث للحدود. للتخلص من حالة النقل الموازي العمودي، نحتاج إلى أداة أكثر تطورًا.

ليما 2.الصورة المعكوسة لنقطة تقع على حدود الشكل C تكون إما على حدود الشكلين B وC، أو على حدود الشكل B والمنطقة D.

الدليل: ليس واضحًا، لكننا سنصلحه الآن. اسمحوا لي أن أذكرك أن النقطة الحدودية لأي شكل هي نقطة، بغض النظر عن مدى قربها منها، هناك نقطتان تنتميان إلى الشكل ونقاط لا تنتمي إليه. وفقًا لذلك، بالقرب من النقطة الحدودية (دعنا نسميها O") من الشكل C، ستكون هناك نقطتان من الشكل C ونقاط أخرى تنتمي إلى الشكل B أو المنطقة D. الصور المعكوسة لنقاط الشكل C يمكن أن تكون نقاط شكل فقط B. وبالتالي، بالقرب بشكل تعسفي من الصورة المعكوسة للنقطة O" (سيكون من المنطقي أن نسميها النقطة O) هناك نقاط من الشكل B. يمكن أن تكون الصور المعكوسة لنقاط الشكل B أي نقاط تفعل ذلك لا تنتمي إلى B (أي نقاط الشكل C أو نقاط المنطقة D). وبالمثل بالنسبة لنقاط المنطقة D. وبالتالي، بغض النظر عن مدى قربها من النقطة O، هناك إما نقاط من الشكل C (وبالتالي ستكون النقطة O على حدود B وC) أو نقاط من المنطقة D (وبالتالي ستكون الصورة المعكوسة تكون على حدود B و D). إذا تمكنت من اجتياز كل هذه الرسائل، فإنك توافق على إثبات اللمّا.

النظرية 1.إذا كان المقطع العرضي في الشكل A عبارة عن قطعة، فإن طولها يكون مضاعفًا لطول متجه الإزاحة.

الدليل: خذ بعين الاعتبار النهاية "البعيدة" لهذا المقطع (أي النهاية التي ينتمي نموذجها الأولي أيضًا إلى المقطع). من الواضح أن هذه النهاية تنتمي إلى الشكل C وهي نقطة حدودها. وبالتالي، فإن صورتها المعكوسة (بالمناسبة، التي تقع أيضًا على المقطع ومفصولة عن الصورة بطول ناقل التحول) ستكون إما على حدود B وC، أو على حدود B وD. يقع على حدود B و C، ثم نأخذ صورته المعكوسة أيضًا. سنكرر هذه العملية حتى تتوقف الصورة المعكوسة التالية عن التواجد على الحد C وتنتهي عند الحد D - وسيحدث هذا تمامًا في الطرف الآخر من القسم. ونتيجة لذلك، نحصل على سلسلة من الصور الأولية التي تقسم القسم إلى عدد من الأجزاء الصغيرة، طول كل منها يساوي طول ناقل التحول. ولذلك، فإن طول المقطع هو مضاعف لطول ناقل التحول، وما إلى ذلك.

نتيجة طبيعية للنظرية 1.يجب أن يكون أي قسمين عبارة عن شرائح متناسبين.

باستخدام هذه النتيجة الطبيعية، من السهل إظهار أن النقل الموازي الرأسي يختفي أيضًا.

في الواقع، القسم الأول يبلغ طوله ثلاث خلايا، والقسم الثاني يبلغ طوله ثلاثًا ناقص جذر اثنين في النصف. ومن الواضح أن هذه القيم غير قابلة للقياس.

خاتمة

إذا كان الشكل A 0 ويمكن تقطيعه إلى شكلين متساويين B وC، فلن تتم ترجمة B إلى C عن طريق الترجمة المتوازية. يتبع.

مشاكل القطع هي مجال من مجالات الرياضيات، حيث، كما يقولون، لا يوجد ماموث حولها. العديد من المشاكل الفردية، ولكن في الأساس لا توجد نظرية عامة. وبصرف النظر عن نظرية بولياي-جيروين المعروفة، لا توجد عملياً أي نتائج أساسية أخرى في هذا المجال. عدم اليقين هو الرفيق الأبدي لقطع المهام. يمكننا، على سبيل المثال، قطع شكل خماسي منتظم إلى ست قطع، يمكننا أن نشكل منها مربعًا؛ ومع ذلك، لا يمكننا أن نثبت أن خمسة أجزاء لن تكون كافية لهذا الغرض.

بمساعدة الاستدلال الماكر والخيال ونصف لتر، نتمكن أحيانًا من إيجاد حل محدد، لكن كقاعدة عامة، لا نملك الأدوات المناسبة لإثبات ضآلة هذا الحل أو عدم وجوده (الأخير بالطبع ينطبق على الحالة التي لم نجد فيها حلاً). إنه أمر محزن وغير عادل. وفي أحد الأيام أخذت دفترًا فارغًا وقررت استعادة العدالة على نطاق مهمة واحدة محددة: تقطيع شكل مسطح إلى جزأين متساويين (متطابقين). كجزء من سلسلة المقالات هذه (بالمناسبة، سيكون هناك ثلاثة منها)، سننظر أنا وأنت، أيها الرفاق، إلى هذا المضلع المضحك الموضح أدناه ونحاول معرفة ما إذا كان من الممكن تقسيمه إلى قسمين متساويين بشكل حيادي الأرقام أم لا.

مقدمة

أولاً، دعونا نقوم بتحديث دورة الهندسة المدرسية لدينا ونتذكر ما هي الأرقام المتساوية. يقترح ياندكس بشكل مفيد:

يعتبر الرقمان الموجودان على المستوى متساويين إذا كانت هناك حركة واحدة لواحد تحول شكلاً إلى آخر.

الآن دعونا نسأل ويكيبيديا عن الحركات. ستخبرنا، أولًا، أن الحركة هي تحويل للمستوى يحافظ على المسافات بين النقاط. ثانيا، هناك حتى تصنيف للحركات على متن الطائرة. وجميعهم ينتمون إلى أحد الأنواع الثلاثة التالية:

• التناظر المنزلق (هنا، من أجل الراحة والفائدة، أدرج تناظر المرآة، كحالة متحللة، حيث يتم تنفيذ الترجمة المتوازية إلى المتجه الصفري)

دعونا نقدم بعض التدوين. سوف نسمي الشكل المقطوع الشكل A، والرقمين المتساويين الافتراضيين اللذين من المفترض أن نقطعه إليهما سيطلق عليهما B وC، على التوالي. سوف نسمي الجزء من المستوى الذي لا يشغله الشكل A المنطقة D. وفي الحالات التي يعتبر فيها مضلع معين من الصورة هو الشكل المقطوع، سنسميه A 0 .

لذلك، إذا كان من الممكن تقطيع الشكل A إلى جزأين متساويين B وC، فهناك حركة تترجم B إلى C. يمكن أن تكون هذه الحركة إما ترجمة متوازية، أو دوران، أو تناظر منزلق (من الآن فصاعدًا، لم أعد أشترط يعتبر تناظر المرآة أيضًا منزلقًا). سيتم بناء قرارنا على هذا الأساس البسيط، بل وأود أن أقول إنه واضح. في هذا الجزء سوف ننظر إلى أبسط حالة - النقل الموازي. سوف يقع الدوران والتماثل المنزلق في الجزأين الثاني والثالث على التوالي.

الحالة 1: النقل الموازي

يتم تحديد النقل الموازي بواسطة معلمة واحدة - المتجه الذي يحدث به التحول. دعنا نقدم بعض المصطلحات الإضافية. سيتم استدعاء خط مستقيم موازٍ لمتجه الإزاحة ويحتوي على نقطة واحدة على الأقل من الشكل A قاطع. سيتم استدعاء تقاطع الخط القاطع والشكل A المقطع العرضي. سيتم استدعاء القاطع الذي يقع فيه الشكل A (مطروحًا منه القسم) بالكامل في نصف مستوى واحد حدود.

ليما 1.يجب أن يحتوي مقطع الحدود على أكثر من نقطة واحدة.

برهان : واضح . حسنًا، أو بمزيد من التفصيل: لنثبت ذلك بالتناقض. إذا كانت هذه النقطة تنتمي إلى الشكل ب، فهي كذلك صورة(أي النقطة التي ستنتقل إليها أثناء الترجمة المتوازية) تنتمي إلى الشكل C => الصورة تنتمي إلى الشكل A => الصورة تنتمي إلى القسم. تناقض. إذا كانت هذه النقطة تنتمي إلى الشكل C، فهي كذلك النموذج المبدئي(النقطة التي ستدخل فيها الترجمة المتوازية) تنتمي إلى الشكل ب، ثم بالمثل. اتضح أنه يجب أن يكون هناك نقطتان على الأقل في القسم.

مسترشدًا بهذه الفكرة البسيطة، ليس من الصعب أن نفهم أن الترجمة الموازية المطلوبة لا يمكن أن تحدث إلا على طول المحور الرأسي (في الاتجاه الحالي للصورة). تتكون من نقطة واحدة. يمكن فهم ذلك من خلال تدوير ناقل التحول عقليًا ورؤية ما يحدث للحدود. للتخلص من حالة النقل الموازي العمودي، نحتاج إلى أداة أكثر تطورًا.

ليما 2.الصورة المعكوسة لنقطة تقع على حدود الشكل C تكون إما على حدود الشكلين B وC، أو على حدود الشكل B والمنطقة D.

الدليل: ليس واضحًا، لكننا سنصلحه الآن. اسمحوا لي أن أذكرك أن النقطة الحدودية لأي شكل هي نقطة، بغض النظر عن مدى قربها منها، هناك نقطتان تنتميان إلى الشكل ونقاط لا تنتمي إليه. وفقًا لذلك، بالقرب من النقطة الحدودية (دعنا نسميها O") من الشكل C، ستكون هناك نقطتان من الشكل C ونقاط أخرى تنتمي إلى الشكل B أو المنطقة D. الصور المعكوسة لنقاط الشكل C يمكن أن تكون نقاط شكل فقط B. وبالتالي، بالقرب بشكل تعسفي من الصورة المعكوسة للنقطة O" (سيكون من المنطقي أن نسميها النقطة O) هناك نقاط من الشكل B. يمكن أن تكون الصور المعكوسة لنقاط الشكل B أي نقاط تفعل ذلك لا تنتمي إلى B (أي نقاط الشكل C أو نقاط المنطقة D). وبالمثل بالنسبة لنقاط المنطقة D. وبالتالي، بغض النظر عن مدى قربها من النقطة O، هناك إما نقاط من الشكل C (وبالتالي ستكون النقطة O على حدود B وC) أو نقاط من المنطقة D (وبالتالي ستكون الصورة المعكوسة تكون على حدود B و D). إذا تمكنت من اجتياز كل هذه الرسائل، فإنك توافق على إثبات اللمّا.

النظرية 1.إذا كان المقطع العرضي في الشكل A عبارة عن قطعة، فإن طولها يكون مضاعفًا لطول متجه الإزاحة.

الدليل: خذ بعين الاعتبار النهاية "البعيدة" لهذا المقطع (أي النهاية التي ينتمي نموذجها الأولي أيضًا إلى المقطع). من الواضح أن هذه النهاية تنتمي إلى الشكل C وهي نقطة حدودها. وبالتالي، فإن صورتها المعكوسة (بالمناسبة، التي تقع أيضًا على المقطع ومفصولة عن الصورة بطول ناقل التحول) ستكون إما على حدود B وC، أو على حدود B وD. يقع على حدود B و C، ثم نأخذ صورته المعكوسة أيضًا. سنكرر هذه العملية حتى تتوقف الصورة المعكوسة التالية عن التواجد على الحد C وتنتهي عند الحد D - وسيحدث هذا تمامًا في الطرف الآخر من القسم. ونتيجة لذلك، نحصل على سلسلة من الصور الأولية التي تقسم القسم إلى عدد من الأجزاء الصغيرة، طول كل منها يساوي طول ناقل التحول. ولذلك، فإن طول المقطع هو مضاعف لطول ناقل التحول، وما إلى ذلك.

نتيجة طبيعية للنظرية 1.يجب أن يكون أي قسمين عبارة عن شرائح متناسبين.

باستخدام هذه النتيجة الطبيعية، من السهل إظهار أن النقل الموازي الرأسي يختفي أيضًا.

في الواقع، القسم الأول يبلغ طوله ثلاث خلايا، والقسم الثاني يبلغ طوله ثلاثًا ناقص جذر اثنين في النصف. ومن الواضح أن هذه القيم غير قابلة للقياس.

خاتمة

إذا كان الشكل A 0 ويمكن تقطيعه إلى شكلين متساويين B وC، فلن تتم ترجمة B إلى C عن طريق الترجمة المتوازية. يتبع.

العودة إلى الأمام

انتباه! معاينات الشرائح هي لأغراض إعلامية فقط وقد لا تمثل جميع ميزات العرض التقديمي. إذا كنت مهتم هذا العمل، يرجى تنزيل النسخة الكاملة.

تظهر التجربة أنه عند استخدام أساليب التدريس العملية، من الممكن تكوين عدد من التقنيات العقلية لدى الطلاب اللازمة لتحديد السمات الأساسية وغير الأساسية بشكل صحيح عند التعرف على الأشكال الهندسية. الحدس الرياضي والمنطقي و التفكير المجرد، يتم تشكيل ثقافة الكلام الرياضي، ويتم تطوير القدرات الرياضية والتصميمية، ويزداد النشاط المعرفي، ويتشكل الاهتمام المعرفي، وتتطور الإمكانات الفكرية والإبداعية مشاكل عمليةلقطع الأشكال الهندسيةإلى أجزاء من أجل إنشاء شخصية جديدة من هذه الأجزاء. يعمل الطلاب على الواجبات في مجموعات. ثم تدافع كل مجموعة عن مشروعها.

يقال إن الرقمين متساويان إذا قطع أحدهما بطريقة معينة: الرقم النهائيالأجزاء، فمن الممكن (من خلال ترتيب هذه الأجزاء بشكل مختلف) تكوين شكل ثانٍ منها. لذلك، تعتمد طريقة التقسيم على حقيقة أن أي مضلعين متساويين في التركيب متساويان في الحجم. ومن الطبيعي أن نطرح السؤال المعاكس: هل هناك مضلعان لهما نفس المساحة متساويان في الحجم؟ تم تقديم الإجابة على هذا السؤال (في وقت واحد تقريبًا) من قبل عالم الرياضيات المجري فاركاس بولياي (1832) و ضابط ألمانيومن تأليف عاشق الرياضيات جيروين (1833): مضلعان لهما مساحات متساوية يتكونان بشكل متساوٍ.

تنص نظرية بولياي-جيروين على أنه يمكن تقطيع أي مضلع إلى قطع بحيث يمكن تشكيل القطع إلى مربع.

التمرين 1.

قطع المستطيل أ X 2 أإلى قطع بحيث يمكن تحويلها إلى مربع.

نقطع المستطيل ABCD إلى ثلاثة أجزاء على طول الخطين MD وMC (M هو منتصف AB)

الصورة 1

نقوم بتحريك المثلث AMD بحيث يتزامن الرأس M مع الرأس C، ويتحرك الساق AM إلى المقطع DC. نقوم بتحريك المثلث MVS إلى اليسار والأسفل بحيث يتداخل الساق MV مع نصف القطعة DC. (الصورة 1)

المهمة 2.

يقطع مثلث متساوي الاضلاعإلى قطع حتى يمكن طيها على شكل مربع.

دعونا نشير إلى هذا الصحيح المثلث ABC. من الضروري تقطيع المثلث ABC إلى مضلعات بحيث يمكن طيها إلى مربع. ثم يجب أن يكون لهذه المضلعات زاوية قائمة واحدة على الأقل.

اجعل K هي نقطة منتصف CB، وT هي نقطة منتصف AB، واختر النقطتين M وE على الجانب AC بحيث يكون ME=AT=TV=BK=SC= أ، ص=EC= أ/2.

الشكل 2

دعونا نرسم القطعة MK والقطعة EP وTN المتعامدة عليها. دعونا نقطع المثلث إلى قطع على طول الخطوط المبنية. نقوم بتدوير KRES الرباعي في اتجاه عقارب الساعة بالنسبة إلى قمة الرأس K بحيث تتم محاذاة SC مع المقطع KV. نقوم بتدوير AMNT الرباعي في اتجاه عقارب الساعة بالنسبة للقمة T بحيث تتماشى AT مع TV. دعونا نحرك المثلث MEP بحيث تكون النتيجة مربعة. (الشكل 2)

المهمة 3.

قطع المربع إلى قطع بحيث يمكن طي مربعين منها.

لنشير إلى المربع الأصلي ABCD. دعونا نحدد نقاط المنتصف لجوانب المربع - النقاط M وN وK وH. لنرسم المقاطع MT وHE وKF وNP - أجزاء من القطاعات MC وHB وKA وND، على التوالي.

من خلال قطع المربع ABCD على طول الخطوط المرسومة، نحصل على مربع PTEF وأربعة أشكال رباعية MDHT وHCKE وKBNF وNAMP.

الشكل 3

PTEF – بالفعل مربع الانتهاء. من الرباعيات المتبقية سنشكل المربع الثاني. تتوافق الرؤوس A وB وC وD عند نقطة واحدة، كما تتوافق الأجزاء AM وBC وMD وKS وBN وCH وDH وAN. ستصبح النقاط P وT وE وF هي رؤوس المربع الجديد. (الشكل 3)

المهمة 4.

يتم قطع مثلث متساوي الأضلاع ومربع من ورق سميك. قم بتقطيع هذه الأشكال إلى مضلعات بحيث يمكن طيها في مربع واحد، ويجب أن تملأه الأجزاء بالكامل ويجب ألا تتقاطع.

اقطع المثلث إلى قطع واصنع منها مربعًا كما هو موضح في المهمة 2. طول ضلع المثلث – 2 أ. الآن يجب عليك تقسيم المربع إلى مضلعات بحيث تقوم من هذه الأجزاء والمربع الذي خرج من المثلث بإنشاء مربع جديد. خذ مربعا مع الجانب 2 أ، دعنا نشير إلى ذلك LRSD. دعونا ننفذ المتبادل قطاعات متعامدة UG وVF بحيث يكون DU=SF=RG=LV. دعونا نقطع المربع إلى رباعيات.

الشكل 4

لنأخذ مربعًا مكونًا من أجزاء مثلث. لنضع الأشكال الرباعية - أجزاء المربع، كما هو موضح في الشكل 4.

المهمة 5.

يتكون الصليب من خمسة مربعات: مربع واحد في الوسط، وأربعة أخرى ملاصقة لجوانبه. قم بتقطيعها إلى قطع بحيث يمكنك صنع مربع منها.

دعونا نربط رؤوس المربعات كما هو موضح في الشكل 5. قم بقطع المثلثات "الخارجية" ونقلها إلى أماكن مجانيةداخل المربع ABCC.

الشكل 5

المهمة 6.

أعد رسم مربعين عشوائيين في مربع واحد.

ويوضح الشكل 6 كيفية قطع القطع المربعة وتحريكها.