إذا قمت برسم عدة شرائح بالتتابع على مستوى بحيث تبدأ كل قطعة تالية في المكان الذي انتهت فيه القطعة السابقة، فسوف تحصل على خط مكسور. تسمى هذه الأجزاء بالروابط، وتسمى تقاطعاتها بالقمم. عندما تتقاطع نهاية المقطع الأخير مع نقطة بداية الأول، سوف تحصل على خط مغلق ومكسور يقسم المستوى إلى قسمين. أحدهما محدود، والثاني غير محدود.
بسيط خط مغلقويسمى مع جزء المستوى الموجود فيه (الجزء المحدود) مضلعًا. القطع هي جوانب، والزوايا التي تشكلها هي رؤوس. عدد أضلاع أي مضلع يساوي عدد رؤوسه. الشكل الذي له ثلاثة أضلاع يسمى مثلثًا، وأربعة أضلاع تسمى رباعيًا. يتميز المضلع عدديًا بقيمة مثل المساحة، والتي توضح حجم الشكل. كيف تجد مساحة الشكل الرباعي؟ يتم تدريس ذلك من خلال فرع الرياضيات - الهندسة.
للعثور على مساحة الشكل الرباعي، عليك أن تعرف ما هو نوعه - محدب أم غير محدب؟ كله يقع بشكل مستقيم نسبيًا (ويحتوي بالضرورة على بعض جوانبه) على جانب واحد. بالإضافة إلى ذلك، هناك أنواع من الأشكال الرباعية مثل متوازيات الأضلاع المتساوية والمتوازية الجانبين المتقابلين(أصنافه: المستطيل ذو الزوايا القائمة، المعين ذو الزوايا جوانب متساوية، مربع بجميع زواياه قائمة وأربعة أضلاع متساوية)، وشبه منحرف له ضلعان متقابلان متوازيان، ودالية بها زوجين من الجوانب المتجاورة المتساوية.
تم العثور على مساحة أي مضلع باستخدام الطريقة العامةوالتي تتمثل في تقسيمها إلى مثلثات وحساب مساحة كل منها مثلث تعسفيوإضافة النتائج. أي رباعي محدبينقسم إلى مثلثين، المثلث غير المحدب ينقسم إلى اثنين أو ثلاثة في هذه الحالة يمكن أن يكون مجموع المجموع وفرق النتائج. يتم حساب مساحة أي مثلث على أنها نصف حاصل ضرب القاعدة (أ) والارتفاع (ħ) المرسوم على القاعدة. تتم كتابة الصيغة المستخدمة في هذه الحالة للحساب على النحو التالي: S = ½. أ. ħ.
كيفية العثور على مساحة الشكل الرباعي، مثل متوازي الأضلاع؟ أنت بحاجة إلى معرفة طول القاعدة (أ)، وطول الضلع (ƀ) والعثور على جيب الزاوية α التي تشكلها القاعدة والضلع (sinα)، وستبدو صيغة الحساب كما يلي: S = أ. ƀ. الخطيئةα. بما أن جيب الزاوية α هو حاصل ضرب قاعدة متوازي الأضلاع وارتفاعه (ħ = ƀ) - خط عمودي على القاعدة، يتم حساب مساحتها بضرب قاعدتها في الارتفاع: S = a. ħ. هذه الصيغة مناسبة أيضًا لحساب مساحة المعين والمستطيل. منذ المستطيل جانبƀ يتزامن مع الارتفاع ħ، ثم يتم حساب مساحتها باستخدام الصيغة S = a. ƀ. لأن a = ƀ، سيكون مساوياً لمربع ضلعه: S = a. أ = أ². يتم حسابه على أنه نصف مجموع أضلاعه مضروبًا في الارتفاع (يتم رسمه بشكل عمودي على قاعدة شبه المنحرف): S = ½. (أ + ƀ) . ħ.
كيفية العثور على مساحة الشكل الرباعي إذا كانت أطوال أضلاعه غير معروفة، ولكن قطريه (ه) و (و)، وكذلك جيب الزاوية α، معروفة؟ في هذه الحالة، يتم حساب المساحة على أنها نصف حاصل ضرب أقطارها (الخطوط التي تربط رؤوس المضلع) مضروبًا في جيب الزاوية α. يمكن كتابة الصيغة على النحو التالي: S = ½. ( ه . و ) . الخطيئةα. على وجه الخصوص، في هذه الحالة سيكون مساوياً لنصف منتج الأقطار (الخطوط التي تربط الزوايا المتقابلة للمعين): S = ½. (هـ. و).
كيفية العثور على مساحة الشكل الرباعي الذي ليس متوازي الأضلاع أو شبه منحرف؛ وعادة ما يطلق عليه اسم رباعي تعسفي. يتم التعبير عن مساحة هذا الشكل من خلال نصف محيطه (P هو مجموع الجانبين مع قمة مشتركة)، الجوانب أ، ƀ، ج، د ومجموع اثنين زوايا متقابلة(α + β): S = √[(Ρ - a) . (Ρ - ƀ) . ( Ρ - ج ) . (Ρ - د) - أ. ƀ. ج. د. كوس² ½ (α + β)].
إذا كانت φ = 180°، لحساب مساحتها استخدم صيغة Brahmagupta (عالم الفلك والرياضيات الهندي الذي عاش في القرنين السادس والسابع الميلادي): S = √[(Ρ - a) . (Ρ - ƀ) . ( Ρ - ج ) . (Ρ - د)]. إذا كان الشكل الرباعي موصوفاً بدائرة، فإن (a + c = ƀ + d)، ويتم حساب مساحته: S = √[ a. ƀ. ج. د] . الخطيئة ½ (α + β). إذا كان الشكل الرباعي محاطًا في نفس الوقت بدائرة واحدة ومدرجًا في دائرة أخرى، فعندئذٍ لحساب المساحة المستخدمة الصيغة التالية: س = √.
مربع الشكل الهندسي - خاصية عدديةشكل هندسي يوضح حجم هذا الشكل (جزء من السطح محدود بالكفاف المغلق لهذا الشكل). يتم التعبير عن حجم المنطقة بعدد الموجود فيها وحدات مربعة.
صيغ منطقة المثلث
- صيغة لمنطقة المثلث جنبا إلى جنب والارتفاع
مساحة المثلثيساوي نصف حاصل ضرب طول أحد أضلاع المثلث وطول الارتفاع المرسوم على هذا الضلع - صيغة مساحة المثلث تعتمد على ثلاثة جوانب ونصف قطر الدائرة المحيطة
- صيغة مساحة المثلث تعتمد على ثلاثة جوانب ونصف قطر الدائرة المنقوشة
مساحة المثلثيساوي حاصل ضرب نصف محيط المثلث ونصف قطر الدائرة المحيطية. حيث S هي مساحة المثلث،
- أطوال أضلاع المثلث،
- ارتفاع المثلث،
- الزاوية بين الجانبين و،
- نصف قطر الدائرة المنقوشة،
R - نصف قطر الدائرة المقيدة،
صيغ المساحة المربعة
- صيغة لمنطقة المربع بطول الجانب
منطقة مربعةيساوي مربع طول ضلعه. - صيغة لمنطقة المربع على طول القطر
منطقة مربعةيساوي نصف مربع طول قطرها.س= 1 2 2 حيث S هي مساحة المربع
- طول ضلع المربع،
- طول قطر المربع .
صيغة مساحة المستطيل
- مساحة المستطيليساوي حاصل ضرب طولي ضلعيه المتجاورين
حيث S هي مساحة المستطيل
- أطوال أضلاع المستطيل .
صيغ منطقة متوازي الأضلاع
- صيغة مساحة متوازي الأضلاع تعتمد على طول الضلع والارتفاع
مساحة متوازي الأضلاع - صيغة مساحة متوازي الأضلاع تعتمد على الجانبين والزاوية بينهما
مساحة متوازي الأضلاعيساوي حاصل ضرب أطوال أضلاعه في جيب الزاوية بينهما.أ ب الخطيئة α
حيث S هي مساحة متوازي الأضلاع،
- أطوال أضلاع متوازي الأضلاع،
- طول ارتفاع متوازي الأضلاع،
- الزاوية المحصورة بين ضلعي متوازي الأضلاع.
الصيغ لمنطقة المعين
- صيغة مساحة المعين بناءً على طول الضلع والارتفاع
مساحة المعينيساوي حاصل ضرب طول ضلعه وطول الارتفاع المنخفض إلى هذا الجانب. - صيغة مساحة المعين بناءً على طول الضلع والزاوية
مساحة المعينيساوي حاصل ضرب مربع طول ضلعه وجيب الزاوية المحصورة بين ضلعي المعين. - صيغة مساحة المعين بناءً على أطوال أقطاره
مساحة المعينيساوي نصف حاصل ضرب أطوال قطريه. حيث S هي مساحة المعين،
- طول جانب المعين،
- طول ارتفاع المعين،
- الزاوية بين جانبي المعين،
1، 2 - أطوال الأقطار.
صيغ منطقة شبه منحرف
- صيغة هيرون لشبه المنحرف
حيث S هي مساحة شبه المنحرف،
- أطوال قواعد شبه المنحرف،
- أطوال جوانب شبه المنحرف،
مستوى الدخول
مساحة المثلث والرباعي. أمثلة على حل المشكلات (2019)
تحديد المنطقة
ما هي المنطقة؟ سؤال غريب- أليس كذلك؟ في الحياة العادية، اعتدنا على حقيقة أن جميع أنواع شخصيات مسطحة(مثل سطح الطاولة، الكرسي، أرضية شققنا، وما إلى ذلك) لا يوجد طول وعرض فقط، ولكن أيضًا بعض الخصائص الأخرى، التي نسميها المنطقة دون تردد. الآن دعونا نفكر في الأمر: ما هي المساحة على أي حال؟
لنبدأ بأبسط شيء. الأساس هو حقيقة أن:
بمعنى آخر، نعتبر مساحة المربع الذي طول ضلعه مترًا واحدًا هي "متر مساحته" واحد.
انظر بعناية إلى الصورة وتأكد من أنها مرسومة هناك بالفعل - "المتر المربع"! وتذكر التسمية.
والآن إليك سؤال صعب: ما هو؟ مساحة المربع مع الجانب؟ لكن لا!
انظر: مربع ذو ضلع.
وللحصول على متر مربع (أي،) يجب أن نرسم مثلا هكذا:
كيفية الحصول على، ويقول، ؟ حسنا، على سبيل المثال مثل هذا:
وبشكل عام، إذا أخذنا مستطيلاً تساوي أضلاعه الأمتار والأمتار، ففي هذا المستطيل:
يناسب بالضبط متر مربع. انظر بعناية: لدينا "طبقات" تبلغ مساحة كل منها مترًا مربعًا بالضبط.
وهذا يعني أن مستطيلاً بحجم x يحتوي على إجمالي أمتار مربعة. هذا الرقم هو عدد الأمتار المربعة التي تناسب المستطيل مربع.
ماذا لو لم يكن الشكل مستطيلاً على الإطلاق، بل نوع من التعويذة؟
سأفاجئك - هناك مثل هذه التعويذة الرهيبة التي من المستحيل تمامًا تحديد عدد الأمتار المربعة الموجودة فيها. حتى تقريبا! لسوء الحظ، من المستحيل رسم مثل هذه الأرقام.
لكنهم موجودون! فهي تبدو مثل "المشط" بأسنان دقيقة جدًا، على سبيل المثال.
وهكذا، بالنسبة للأشكال العادية، يمكنك بشكل بديهي (أي لنفسك) أن تفترض أن مساحة الشكل هي عدد الوحدات المربعة (الأمتار، السنتيمترات، وما إلى ذلك) التي "تناسب" هذا الشكل أكثر منطقة تعريف صارمة و"حقيقية"، راجع المستويات النظرية التالية.
وتخيل فقط أن علماء الرياضيات تعلموا التعبير عن مساحات العديد من الأشكال من خلال بعض العناصر الخطية (تلك التي يمكن قياسها باستخدام المسطرة) من الأشكال. تسمى هذه التعبيرات "صيغ المساحة". هناك الكثير من هذه الصيغ - لقد حاول علماء الرياضيات لفترة طويلة. حاول أن تتذكر أبسط الصيغ وأكثرها أساسية أولًا، ثم الصيغ الأكثر تعقيدًا.
صيغ المنطقة
مربع
المستطيل
المثلث الأيمن
مثلث (مجاني)
هناك العديد من صيغ المساحة للمثلث.
الصيغة الأساسية
الصيغة الأساسية الثانية
الصيغة الثالثة
ما هي الصيغة التي يجب أن تختارها لمشكلتك؟ الصيغ الرئيسية هي الصيغ 1 و 2. يجب تطبيق الصيغة الثالثة إذا تم إعطاؤك كل شيء: ثلاثة جوانب ونصف قطر الدائرة المنقوشة. ولكن هذا لا يحدث، أليس كذلك؟ لهذا السبب نستخدم الصيغة 3، بل على العكس من ذلك، للعثور على نصف قطر الدائرة المنقوشة. ثم عليك إيجاد المساحة باستخدام إحدى الصيغ 1 أو 2 أو 4، ثم نصف القطر: .
حسنًا، تتيح لك الصيغة 4 إيجاد المساحة على كلا الجانبين باستخدام العمليات الحسابية المطولة. ولا ترتكب أخطاء حسابية عند تطبيق صيغة هيرون!
رباعي تعسفي
بالنسبة للشكل الرباعي الاعتباطي، لا يوجد شيء أكثر من ذلك، ولكن بالنسبة للأشكال الرباعية "الجيدة" هناك صيغ أخرى.
متوازي الأضلاع
الصيغة الأساسية
الصيغة الثانية
المعين
المعين له قطران متعامدان، لذا أساسيبالنسبة له يصبح صيغة:
الصيغة الثانية
أ صيغة إضافيةيصبح
شبه منحرف
الصيغة الأساسية
الصيغة الثانية
"أسئلة صعبة حول المنطقة"
بالإضافة إلى المسائل التي تطلب منك ببساطة العثور على المنطقة، هناك أيضًا جميع أنواع الأسئلة. حسنا، على سبيل المثال:
دعونا نجيب على هذا السؤال بطريقتين. الطريقة الأولى رسمية: نستخدم صيغة مساحة المربع. لذلك، كان، مما يعني أن المنطقة زادت عدة مرات!
وفي حالة المربعات، هناك طريقة ثانية "لللمس" والاقتناع مباشرة بهذا الرقم.
دعونا نرسم:
إذا لم يكن لديك مربع، فكل ما تبقى هو استبدال قيم جديدة في الصيغ - ولا تتفاجأ إذا كانت الأرقام كبيرة جدًا فجأة.
مساحة المثلث والرباعي. باختصار عن الأشياء الرئيسية
المثلث الأيمن
رباعي الزواياهو شكل يتكون من أربعة رؤوس، ثلاثة منها لا تقع على نفس الخط، وأجزاء تربط بينها.
هناك العديد من الرباعيات. وتشمل هذه متوازيات الأضلاع، والمربعات، والمعين، وشبه المنحرف. يمكن العثور على البحث من الجانبين، ويمكن حسابه بسهولة بالأقطار. في الشكل الرباعي الاعتباطي، يمكنك أيضًا استخدام جميع العناصر لاشتقاق صيغة مساحة الشكل الرباعي. أولاً، دعونا نلقي نظرة على صيغة مساحة الشكل الرباعي من حيث قطره. من أجل استخدامه، سوف تحتاج إلى أطوال الأقطار وحجم الزاوية الحادة بينهما. بمعرفة البيانات اللازمة، يمكنك تنفيذ مثال لحساب مساحة الشكل الرباعي باستخدام الصيغة التالية:
نصف حاصل ضرب القطرين وجيب الزاوية الحادة بينهما هو مساحة الشكل الرباعي. لنفكر في مثال لحساب مساحة الشكل الرباعي باستخدام القطر.
افترض أن الشكل الرباعي ذو قطرين d1 = 5 cm;d2 = 4cm. زاوية حادةبينهما يساوي α = 30°. يمكن بسهولة تطبيق صيغة مساحة الشكل الرباعي من حيث أقطاره في الحالات المعروفة. لنستبدل البيانات: 
باستخدام مثال حساب مساحة الشكل الرباعي باستخدام الأقطار، نفهم أن الصيغة مشابهة جدًا للحساب.
مساحة الشكل الرباعي على طول الجوانب
عندما تكون أطوال أضلاع الشكل معروفة، يمكنك تطبيق صيغة مساحة الشكل الرباعي على طول الجوانب. لتطبيق هذه الحسابات، ستحتاج إلى إيجاد نصف محيط الشكل. نتذكر أن المحيط هو مجموع أطوال جميع الأضلاع. نصف المحيط هو نصف المحيط. في المستطيل الذي لدينا بأضلاعه أ، ب، ج، د، ستبدو صيغة نصف المحيط كما يلي: 
بمعرفة الجوانب نستنتج الصيغة. مساحة الشكل الرباعي هي جذر حاصل ضرب الفرق بين نصف المحيط وطول كل ضلع:
دعونا نلقي نظرة على مثال لحساب مساحة الشكل الرباعي باستخدام أضلاعه. إذا كان الشكل الرباعي عشوائيًا أضلاعه أ = 5 سم، ب = 4 سم، ج = 3 سم، د = 6 سم أولًا، فلنوجد نصف المحيط: 
استخدم القيمة التي تم العثور عليها لحساب المساحة:
مساحة الشكل الرباعي تعطى بالإحداثيات
يتم استخدام صيغة مساحة الشكل الرباعي حسب الإحداثيات لحساب مساحة الأشكال الموجودة في نظام الإحداثيات. في هذه الحالة، عليك أولا حساب أطوال الجوانب المطلوبة. اعتمادًا على نوع الشكل الرباعي، قد تتغير الصيغة نفسها. دعونا نلقي نظرة على مثال لحساب مساحة الشكل الرباعي باستخدام مربع يقع في نظام الإحداثيات XY.
بالنظر إلى مربع ABCD الموجود في نظام الإحداثيات XY. أوجد مساحة الشكل إذا كانت إحداثيات القمم هي A (2;10)؛ ب (10؛ 8)؛ ج(8;0); د(0;2). 
نحن نعلم أن جميع جوانب الشكل متساوية، ويتم العثور على صيغة مساحة المربع من خلال الصيغة:
دعونا نجد أحد الجوانب، على سبيل المثال، AB: 
دعنا نستبدل القيم في الصيغة: 
نحن نعلم أن جميع الأطراف متشابهة. نعوض القيمة في صيغة حساب المساحة: 
تساعد هذه الآلة الحاسبة عبر الإنترنت في حساب مساحة الأرض وتحديدها وحسابها الوضع على الانترنت. يمكن للبرنامج المقدم أن يقترح بشكل صحيح كيفية حساب المنطقة قطع الأراضي شكل غير منتظم.
مهم! يجب أن تتناسب المنطقة المهمة تقريبًا مع الدائرة. وإلا فإن الحسابات لن تكون دقيقة تماما.
نشير إلى جميع البيانات بالأمتار
أ ب، د أ، ج د، ب ج- حجم كل جانب من قطعة الأرض.
وفقا للبيانات المدخلة، يقوم برنامجنا بإجراء العمليات الحسابية عبر الإنترنت وتحديد مساحة الأرض متر مربع، فدان، فدان، وهكتار.
طريقة تحديد حجم قطعة الأرض يدويا
لحساب مساحة المؤامرات بشكل صحيح، لا تحتاج إلى استخدام أدوات معقدة. نحن نأخذ أوتاد خشبية أو قضبان معدنيةوتثبيتها في زوايا موقعنا. بعد ذلك، باستخدام شريط قياس، حدد عرض وطول قطعة الأرض. كقاعدة عامة، يكفي قياس عرض واحد وطول واحد للمساحات المستطيلة أو متساوية الأضلاع. على سبيل المثال، لدينا البيانات التالية: العرض - 20 مترًا والطول - 40 مترًا.
بعد ذلك ننتقل إلى حساب مساحة قطعة الأرض. في الشكل الصحيحمؤامرة، يمكن استخدامها صيغة هندسيةتحديد مساحة (S) المستطيل. ووفقا لهذه الصيغة، تحتاج إلى ضرب العرض (20) في الطول (40)، أي حاصل ضرب طولي الجانبين. في حالتنا S = 800 متر مربع.
بعد أن حددنا مساحتنا، يمكننا تحديد عدد الأفدنة لكل منها قطعة أرض. وفقا للبيانات المقبولة عموما، مائة متر مربع هي 100 متر مربع. بعد ذلك، باستخدام عملية حسابية بسيطة، نقسم المعلمة S على 100. النتيجة النهائيةوسيكون مساويا لحجم قطعة الأرض بالفدان. وفي مثالنا هذه النتيجة هي 8. وبذلك نجد أن مساحة قطعة الأرض هي ثمانية أفدنة.
في حالة أن مساحة الأرض كبيرة جدًا، فمن الأفضل إجراء جميع القياسات بوحدات أخرى - بالهكتار. وفقًا لوحدات القياس المقبولة عمومًا - 1 هكتار = 100 فدان. على سبيل المثال، إذا كانت مساحة قطعة أرضنا، وفقًا للقياسات التي تم الحصول عليها، تبلغ 10000 متر مربع، ففي هذه الحالة تكون مساحتها 1 هكتار أو 100 فدان.
إذا كانت قطعة الأرض الخاصة بك ذات شكل غير منتظم، فإن عدد الأفدنة يعتمد بشكل مباشر على المنطقة. ولهذا السبب يستخدم آلة حاسبة على الانترنتستكون قادرا على حساب المعلمة S للقطعة بشكل صحيح، ثم تقسيم النتيجة على 100. وبالتالي، سوف تتلقى الحسابات بالفدان. هذه الطريقة تجعل من الممكن قياس المؤامرات الأشكال المعقدة، وهي مريحة للغاية.
معلومات عامة
يعتمد حساب مساحة قطع الأراضي على الحسابات الكلاسيكية، والتي يتم إجراؤها وفقًا للصيغ الجيوديسية المقبولة عمومًا.
هناك عدة طرق متاحة لحساب مساحة الأرض - ميكانيكية (محسوبة وفقًا للمخطط باستخدام لوحات القياس)، ورسمية (يحددها المشروع) وتحليلية (باستخدام صيغة المساحة بناءً على خطوط الحدود المقاسة).
إلى حد بعيد أكثر بطريقة دقيقةيعتبر بجدارة - تحليلي. استخدام هذه الطريقة، تظهر الأخطاء في الحسابات، كقاعدة عامة، بسبب الأخطاء في تضاريس الخطوط المقاسة. هذه الطريقةكما أنها معقدة للغاية إذا كانت الحدود منحنية أو كان عدد الزوايا على قطعة الأرض أكثر من عشرة.
الطريقة الرسومية أسهل قليلاً في الحساب. من الأفضل استخدامه عندما تكون حدود الموقع معروضة على شكل خط متقطع مع عدد قليل من المنعطفات.
والطريقة الأسهل والأكثر سهولة والأكثر شعبية ولكنها في نفس الوقت الأكثر خطأ كبير- الطريقة الميكانيكية. باستخدام هذه الطريقة، يمكنك بسهولة وسرعة حساب مساحة الأرض ذات الشكل البسيط أو المعقد.
من بين العيوب الخطيرة الميكانيكية أو طريقة الرسم، قم بتسليط الضوء على ما يلي، بالإضافة إلى الأخطاء عند قياس الموقع، أثناء العمليات الحسابية، تتم إضافة خطأ بسبب تشوه الورق أو خطأ في رسم المخططات.