المتغيرات العشوائية وقوانين توزيعها.

عشوائي يسمون الكمية التي تأخذ قيمًا اعتمادًا على مجموعة من الظروف العشوائية. يميز منفصلة وعشوائية مستمر كميات.

منفصلة يتم استدعاء الكمية إذا كانت تأخذ مجموعة من القيم المعدودة. ( مثال:عدد المرضى عند موعد الطبيب، عدد الحروف على الصفحة، عدد الجزيئات في مجلد معين).

مستمر هي الكمية التي يمكن أن تأخذ قيمًا خلال فترة زمنية معينة. ( مثال:درجة حرارة الهواء، وزن الجسم، طول الإنسان، الخ.)

قانون التوزيع المتغير العشوائي عبارة عن مجموعة من القيم المحتملة لهذا المتغير والاحتمالات (أو تكرارات الحدوث) المقابلة لهذه القيم.

مثال:

الخصائص العددية للمتغيرات العشوائية.

في كثير من الحالات، إلى جانب توزيع المتغير العشوائي أو بدلاً منه، يمكن توفير معلومات حول هذه الكميات من خلال معلمات عددية تسمى الخصائص العددية للمتغير العشوائي . الأكثر شيوعا منهم:

1 .القيمة المتوقعة - (القيمة المتوسطة) للمتغير العشوائي هي مجموع منتجات جميع قيمه الممكنة واحتمالات هذه القيم:

2 .تشتت متغير عشوائي:

3 .الانحراف المعياري :

قاعدة "ثلاثة سيجما". - إذا تم توزيع متغير عشوائي وفق قانون عادي فإن انحراف هذه القيمة عن القيمة المتوسطة بالقيمة المطلقة لا يتجاوز ثلاثة أضعاف الانحراف المعياري

قانون غاوس - قانون التوزيع الطبيعي

في كثير من الأحيان هناك كميات موزعة القانون العادي (قانون غاوس). الميزة الأساسية : هو القانون المحدود الذي تقترب منه قوانين التوزيع الأخرى.

يتم توزيع المتغير العشوائي حسب القانون الطبيعي إذا كان كثافة الاحتمال لديه النموذج:

م (س) - التوقع الرياضي لمتغير عشوائي.

 - الانحراف المعياري.

كثافة الاحتمال (وظيفة التوزيع) توضح كيف يتغير الاحتمال المخصص للفاصل الزمني dx المتغير العشوائي اعتمادا على قيمة المتغير نفسه :

المفاهيم الأساسية للإحصاء الرياضي

إحصائيات الرياضيات - فرع من فروع الرياضيات التطبيقية مجاور مباشرة لنظرية الاحتمالات. الفرق الرئيسي بين الإحصاء الرياضي ونظرية الاحتمالات هو أن الإحصاء الرياضي لا يأخذ في الاعتبار الإجراءات المتعلقة بقوانين التوزيع والخصائص العددية للمتغيرات العشوائية، ولكنه يأخذ في الاعتبار الطرق التقريبية للعثور على هذه القوانين والخصائص العددية بناءً على نتائج التجارب.

مفاهيم أساسية الإحصائيات الرياضية هي:

عامه السكان؛

عينة؛

سلسلة الاختلاف؛

موضة؛

الوسيط؛

النسبة المئوية,

نطاق الترددات،

شريط الرسم البياني.

سكان - عدد كبير من السكان الإحصائيين الذين يتم اختيار جزء من الأشياء للبحث

(مثال:جميع سكان المنطقة، وطلاب الجامعات في مدينة معينة، وما إلى ذلك).

العينة (عينة السكان) - مجموعة من الكائنات المختارة من عامة السكان.

سلسلة الاختلاف - توزيع إحصائي يتكون من المتغيرات (قيم المتغير العشوائي) والتكرارات المقابلة لها.

مثال:

X , كلغ

م

س - قيمة المتغير العشوائي (كتلة الفتيات بعمر 10 سنوات)؛

م - عدد مرات الحدوث.

موضة - قيمة المتغير العشوائي الذي يتوافق مع أعلى تكرار للحدث. (في المثال أعلاه، الموضة تتوافق مع القيمة 24 كجم، وهي أكثر شيوعًا من غيرها: m = 20).

الوسيط - قيمة المتغير العشوائي الذي يقسم التوزيع إلى النصف: نصف القيم يقع على يمين الوسيط، والنصف (لا أكثر) - على اليسار.

مثال:

1, 1, 1, 1, 1. 1, 2, 2, 2, 3 , 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 , 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8 , 8, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10

نلاحظ في المثال 40 قيمة للمتغير العشوائي. يتم ترتيب جميع القيم ترتيبًا تصاعديًا، مع مراعاة تكرار حدوثها. يمكنك أن ترى أنه على يمين القيمة المميزة 7 يوجد 20 (نصف) من القيم الأربعين. لذلك، 7 هو الوسيط.

لتوصيف التشتت سنجد قيما لا تزيد عن 25 و 75% من نتائج القياس. تسمى هذه القيم 25 و 75 النسب المئوية . إذا قسم الوسيط التوزيع إلى النصف، فسيتم قطع المئين 25 و 75 بمقدار الربع. (بالمناسبة، يمكن اعتبار الوسيط نفسه هو المئين الخمسين.) وكما يتبين من المثال، فإن المئين الخامس والعشرين والخامس والسبعين يساويان 3 و8 على التوالي.

يستخدم منفصلة (نقطة) التوزيع الإحصائي و مستمر (الفاصل الزمني) التوزيع الإحصائي.

وللتوضيح، تم تصوير التوزيعات الإحصائية بيانيا في النموذج نطاق الترددات أو - الرسوم البيانية .

تردد المضلع - خط متقطع تربط أجزائه النقاط بالإحداثيات ( س 1 , م 1 ), (س 2 , م 2 )، ...، أو ل مضلع التردد النسبي – مع الإحداثيات ( س 1 ، ر * 1 ), (س 2 ، ر * 2 )، ...(رسم بياني 1).

مم أنا / نو (خ)

س س

الشكل 1 الشكل 2

الرسم البياني للتردد - مجموعة من المستطيلات المتجاورة مبنية على خط مستقيم واحد (شكل 2) قواعد المستطيلات واحدة ومتساوية dx ، والارتفاعات تساوي نسبة التردد إلى dx ، أو ر * ل dx (كثافة الاحتمال).

مثال:

س، كجم

عند حل العديد من المسائل العملية، ليس من الضروري دائمًا وصف المتغير العشوائي بشكل كامل، أي تحديد قوانين التوزيع. بالإضافة إلى ذلك، فإن بناء دالة أو سلسلة من التوزيعات لمتغير عشوائي منفصل وكثافة لمتغير عشوائي مستمر أمر مرهق وغير ضروري.

في بعض الأحيان يكفي الإشارة إلى المعلمات الرقمية الفردية التي تميز ميزات التوزيع جزئيًا. ومن الضروري معرفة بعض القيمة المتوسطة لكل متغير عشوائي يتم تجميع حول قيمته المحتملة، أو درجة تشتت هذه القيم بالنسبة للمتوسط، الخ.

تسمى خصائص السمات الأكثر أهمية للتوزيع بالخصائص العددية متغير عشوائي.وبمساعدتهم، يصبح من الأسهل حل العديد من المشكلات الاحتمالية دون تحديد قوانين التوزيع الخاصة بها.

إن أهم خاصية لموضع المتغير العشوائي على محور العدد هي القيمة المتوقعة م[X]= أ،والذي يسمى أحيانا متوسط ​​المتغير العشوائي. ل المتغير العشوائي المتقطع Xالقيم الممكنة س 1 , س 2 , … , س نوالاحتمالات ص 1 , ص 2 ,… , ص نيتم تحديده بواسطة الصيغة

باعتبار أن =1، يمكننا الكتابة

هكذا، توقع رياضي المتغير العشوائي المنفصل هو مجموع حاصل ضرب قيمه المحتملة واحتمالاتها.مع عدد كبير من التجارب، يقترب الوسط الحسابي للقيم المرصودة للمتغير العشوائي من توقعه الرياضي.

ل المتغير العشوائي المستمر Xلا يتم تحديد التوقع الرياضي من خلال المبلغ، ولكن أساسي

أين F(س) - كثافة توزيع الكمية X.

التوقع الرياضي غير موجود لجميع المتغيرات العشوائية. بالنسبة لبعضهم، يتباين المجموع أو التكامل، وبالتالي لا يوجد توقع رياضي. في هذه الحالات، ولأسباب تتعلق بالدقة، يجب أن يكون نطاق التغييرات المحتملة في المتغير العشوائي محدودًا X،حيث سيتقارب المجموع أو التكامل.

ومن الناحية العملية، يتم أيضًا استخدام خصائص موضع المتغير العشوائي مثل الوضع والوسيط.

الوضع المتغير العشوائيقيمتها الأكثر احتمالا تسمى.بشكل عام، الوضع والتوقع الرياضي لا يتطابقان.

متوسط ​​المتغير العشوائيX هي قيمتها بالنسبة إلى احتمال الحصول على قيمة أكبر أو أصغر للمتغير العشوائي، أي هذا هو الحد الفاصل للنقطة التي تنقسم عندها المساحة المحددة بمنحنى التوزيع إلى النصف. بالنسبة للتوزيع المتماثل، فإن الخصائص الثلاث هي نفسها.

بالإضافة إلى التوقع الرياضي والوضع والوسيط، تستخدم نظرية الاحتمالات أيضًا خصائص أخرى، تصف كل منها خاصية محددة للتوزيع. على سبيل المثال، الخصائص العددية التي تميز تشتت متغير عشوائي، أي إظهار مدى قرب تجميع قيمه المحتملة حول التوقع الرياضي، هي التشتت والانحراف المعياري. إنها تكمل بشكل كبير المتغير العشوائي، لأنه في الممارسة العملية غالبا ما تكون هناك متغيرات عشوائية ذات توقعات رياضية متساوية، ولكن توزيعات مختلفة. عند تحديد خصائص التشتت، استخدم الفرق بين المتغير العشوائي Xوتوقعاتها الرياضية، أي.

أين أ = م[X] - القيمة المتوقعة.

ويسمى هذا الاختلاف متغير عشوائي متمركز,القيمة المقابلة X،ويتم تعيينه :

تباين متغير عشوائيهو التوقع الرياضي لمربع انحراف قيمة ما عن توقعها الرياضي، أي:

د[ X]=م[( X – أ) 2]، أو

د[ X]=م[ 2 ].

يعد تشتت المتغير العشوائي من الخصائص الملائمة لتشتت وتشتت قيم المتغير العشوائي حول توقعه الرياضي. ومع ذلك، فهي ليست بصرية، لأنها تحتوي على بعد مربع لمتغير عشوائي.

لتوصيف التشتت بصريًا، يكون من الملائم أكثر استخدام قيمة يتطابق بُعدها مع بُعد المتغير العشوائي. هذه الكمية الانحراف المعياري المتغير العشوائي، وهو الجذر التربيعي الموجب لتباينه.

التوقع، المنوال، الوسيط، التباين، الانحراف المعياري - الخصائص العددية الأكثر استخدامًا للمتغيرات العشوائية. عند حل المشكلات العملية، عندما يكون من المستحيل تحديد قانون التوزيع، فإن الوصف التقريبي للمتغير العشوائي هو خصائصه العددية، التي تعبر عن بعض خصائص التوزيع.

بالإضافة إلى الخصائص الرئيسية لتوزيع المركز (التوقع الرياضي) والتشتت (التشتت)، غالبا ما يكون من الضروري وصف خصائص أخرى مهمة للتوزيع - تناظرو الإشارة,والتي يمكن تمثيلها باستخدام لحظات التوزيع.

يتم تحديد توزيع المتغير العشوائي بشكل كامل إذا كانت جميع لحظاته معروفة.ومع ذلك، يمكن وصف العديد من التوزيعات بشكل كامل باستخدام اللحظات الأربع الأولى، وهي ليست فقط معلمات تصف التوزيعات، ولكنها مهمة أيضًا في اختيار التوزيعات التجريبية، أي عن طريق حساب القيم العددية للحظات لإحصائية معينة المتسلسلة وباستخدام الرسوم البيانية الخاصة، يمكنك تحديد قانون التوزيع.

في نظرية الاحتمالات، يتم التمييز بين العزوم من نوعين: الأولية والمركزية.

اللحظة الأولية لأمر kمتغير عشوائي تويسمى التوقع الرياضي للكمية إكس كيه،أي.

وبالتالي، بالنسبة للمتغير العشوائي المنفصل، يتم التعبير عنه بالمجموع

وللمستمر – بالتكامل

ومن بين اللحظات الأولية للمتغير العشوائي، فإن لحظة الرتبة الأولى، وهي التوقع الرياضي، لها أهمية خاصة. يتم استخدام اللحظات الأولية ذات الترتيب الأعلى بشكل أساسي لحساب اللحظات المركزية.

اللحظة المركزية لترتيب kالمتغير العشوائي هو التوقع الرياضي للقيمة ( اكس - م [X])ك

أين أ = م [X].

بالنسبة للمتغير العشوائي المنفصل يتم التعبير عنه بالمجموع

أللمستمر - عن طريق التكامل

من بين اللحظات المركزية للمتغير العشوائي، أهمية خاصة اللحظة المركزية من الدرجة الثانية,والذي يمثل تباين المتغير العشوائي.

العزم المركزي من الدرجة الأولى هو دائمًا صفر.

لحظة البداية الثالثةيميز عدم تناسق (انحراف) التوزيع، واستنادا إلى نتائج الملاحظات للمتغيرات العشوائية المنفصلة والمستمرة، يتم تحديده بواسطة التعبيرات المقابلة:

بما أنه يحتوي على بعد مكعب لمتغير عشوائي، للحصول على خاصية بلا أبعاد، م 3مقسوما على الانحراف المعياري للقوة الثالثة

تسمى القيمة الناتجة معامل عدم التماثل، واعتمادًا على الإشارة، تميز القيمة الإيجابية ( مثل> 0) أو سلبي ( مثل< 0) انحراف التوزيع (الشكل 2.3).

"وحدات قياس الكميات الفيزيائية" - الخطأ المطلق يساوي نصف قيمة القسمة لجهاز القياس. ميكرومتر. يتم الحصول على النتيجة مباشرة باستخدام جهاز القياس. طول العلبة: 4 سم بالنقص، 5 سم بالزيادة. لكل كمية فيزيائية هناك وحدات قياس مقابلة. يشاهد. خطأ نسبي.

"قيم الطول" - 2. ما هي الكميات التي يمكن مقارنتها مع بعضها البعض: 2. اشرح سبب حل المشكلة التالية باستخدام الجمع: 2. برر اختيار الإجراء عند حل المشكلة. كم عدد الحزم التي حصلت عليها؟ كم عدد الأقلام الموجودة في ثلاثة من هذه الصناديق؟ صُنعت الفساتين من قماش طوله 12 م، بواقع 4 م لكل فستان.

"الكميات الفيزيائية" - الحدود التي تفصل بين الفيزياء والعلوم الطبيعية الأخرى اعتباطية تاريخياً. تحتوي نتيجة أي قياس دائمًا على بعض الأخطاء. موضوع جديد. سرعة. تفاعل الهيئات. يتم عرض القوانين الفيزيائية في شكل علاقات كمية يتم التعبير عنها بلغة الرياضيات. خطأ في القياس.

"الرقم نتيجة قياس الكمية" - "الرقم نتيجة قياس الكمية" درس الرياضيات في الصف الأول. قياس طول القطعة باستخدام عصا القياس.

"الأعداد والكميات" - مقدمة لمفهوم الكتلة. مقارنة الكتل بدون قياسات. الترقيم المكتوب بالرومانية. سعة. سوف يتعلم الطالب: الأعداد والكميات (30 ساعة) الشعاع الإحداثي مفهوم الشعاع الإحداثي. نتائج المقررات الدراسية لقسم الأعداد والكميات للصف الثاني الابتدائي. المبدأ العام لتكوين الأرقام الأساسية في حدود الأعداد المدروسة.

"كمية الطلب" - أسباب التغيرات في الطلب. يُطلق على منحنى DD الذي تم الحصول عليه على الرسم البياني (من الطلب الإنجليزي - "الطلب") اسم منحنى الطلب. الطلب المرن (Epd> 1). كمية الطلب. العوامل المؤثرة على الطلب. يسمى اعتماد الكمية المطلوبة على مستوى السعر بمقياس الطلب. الطلب غير المرن على الإطلاق (Epd=0).

71، الخصائص العددية للمتغيرات العشوائيةتستخدم على نطاق واسع في الممارسة العملية لحساب مؤشرات الموثوقية. في العديد من القضايا العملية ليست هناك حاجة لتوصيف متغير عشوائي بشكل كامل وشامل. في كثير من الأحيان يكفي الإشارة إلى المعلمات العددية فقط التي تميز إلى حد ما السمات الأساسية لتوزيع متغير عشوائي، على سبيل المثال: متوسط ​​القيمة ، حيث يتم تجميع القيم المحتملة للمتغير العشوائي؛ رقم يميز تشتت متغير عشوائي نسبة إلى القيمة المتوسطة، وما إلى ذلك. تسمى المعلمات العددية التي تسمح بالتعبير بشكل مضغوط عن أهم ميزات المتغير العشوائي بالخصائص العددية للمتغير العشوائي.

أ) ب)

أرز. 11 تعريف التوقع الرياضي

الخصائص العددية للمتغيرات العشوائية المستخدمة في نظرية الموثوقية موضحة في الجدول. 1.

72،التوقع الرياضي(القيمة المتوسطة) لمتغير عشوائي مستمر تنتمي قيمه المحتملة إلى الفاصل الزمني ، هو تكامل محدد (الشكل، 11، ب)

. (26)

يمكن التعبير عن التوقع الرياضي من خلال تكملة الدالة التكاملية. للقيام بذلك، نعوض بـ (11) في (26) وندمج التعبير الناتج بالأجزاء

, (27)

لأن و ، الذي - التي

. (28)

للمتغيرات العشوائية غير السالبة التي تنتمي قيمها المحتملة إلى الفاصل الزمني ، الصيغة (28) تأخذ الشكل

. (29)

أي التوقع الرياضي لمتغير عشوائي غير سلبي تنتمي قيمه المحتملة إلى الفترة ، تساوي عدديًا المساحة الموجودة أسفل الرسم البياني لتكملة الدالة التكاملية (الشكل، 11، أ).

73، متوسط ​​الوقت حتى الفشل الأول حسب المعلومات الإحصائيةتحددها الصيغة

, (30)

أين هو الوقت المناسب للفشل الأول أنا-الكائن؛ ن- عدد الكائنات التي تم اختبارها.

يتم تحديد متوسط ​​المورد ومتوسط ​​عمر الخدمة ومتوسط ​​وقت الاسترداد ومتوسط ​​مدة الصلاحية بالمثل.

74، تشتت المتغير العشوائي حول توقعه الرياضيتم تقييمها باستخدام تباين الانحراف المعياري(RMS) و معامل الاختلاف.

تباين المتغير العشوائي المستمر X هو التوقع الرياضي لمربع انحراف المتغير العشوائي عن توقعه الرياضي ويتم حسابه بالصيغة

. (31)

تشتتله بُعد متغير عشوائي مربع، وهو ليس مناسبًا دائمًا.

75، الانحراف المعياريالمتغير العشوائي هو الجذر التربيعي للتباين وله البعد المتغير العشوائي

. (32)

76،معامل الاختلافهو مؤشر نسبي لتشتت متغير عشوائي ويعرف بأنه نسبة الانحراف المعياري إلى التوقع الرياضي

. (33)

77، جاما - القيمة المئوية لمتغير عشوائي- قيمة المتغير العشوائي الموافق لاحتمال معين أن المتغير العشوائي سيأخذ قيمة أكبر من ,

. (34)

78. جاما - يمكن تحديد القيمة المئوية للمتغير العشوائي من خلال الوظيفة التكاملية والوظيفة التكميلية والتفاضلية (الشكل 12). إن قيمة النسبة المئوية لجاما لمتغير عشوائي هي كمية الاحتمال (الشكل 12، أ)

. (35)

في نظرية الموثوقية يتم استخدامه قيمة النسبة المئوية لجاما للموارد وعمر الخدمة ومدة الصلاحية(الجدول 1). نسبة جاما هي المورد، ومدة الخدمة، ومدة الصلاحية،التي تحتوي (وتتجاوز) النسبة المئوية للكائنات من نوع معين.

أ) ب)

الشكل 12: تحديد قيمة النسبة المئوية لجاما لمتغير عشوائي

مصدر النسبة المئوية لجامايميز متانةعلى المستوى المختار احتمال عدم التدمير. يتم تعيين مورد النسبة المئوية لجاما مع الأخذ بعين الاعتبار مسؤولية الكائنات. على سبيل المثال، بالنسبة للمحامل الدوارة، يتم استخدام عمر خدمة بنسبة 90 بالمائة في أغلب الأحيان بالنسبة لمحامل العناصر الأكثر أهمية، ويتم اختيار عمر خدمة بنسبة 95 بالمائة وما فوق، مما يجعلها أقرب إلى 100 بالمائة إذا كان الفشل يشكل خطورة على حياة الإنسان. .

79، متوسط ​​المتغير العشوائيهي قيمة النسبة المئوية لجاما في . للوسيط ومن المرجح أيضًا أن يكون المتغير العشوائي تأكثر أو أقل منه، أي.

هندسيًا، الوسيط هو الإحداثي المحوري لنقطة تقاطع دالة التوزيع المتكاملة ومكملها (الشكل 12، ب). يمكن تفسير الوسيط على أنه حدود النقطة التي يشطر عندها إحداثي الدالة التفاضلية المنطقة المحددة بمنحنى التوزيع (الشكل 12، الخامس).

يتم استخدام متوسط ​​المتغير العشوائي في نظرية الموثوقية كخاصية عددية للمورد وعمر الخدمة ومدة الصلاحية (الجدول 1).

هناك اتصال وظيفي بين مؤشرات موثوقية الكائنات. معرفة إحدى الوظائف
يسمح لك بتحديد مؤشرات الموثوقية الأخرى. ويرد في الجدول ملخص للعلاقات بين مؤشرات الموثوقية. 2.

الجدول 2. العلاقة الوظيفية بين مؤشرات الموثوقية