التقدم الحسابي والهندسي. المتوالية الهندسية

درس وعرض حول موضوع: "التسلسلات الرقمية. التقدم الهندسي"

مواد إضافية
أعزائي المستخدمين، لا تنسوا ترك تعليقاتكم ومراجعاتكم ورغباتكم! تم فحص جميع المواد بواسطة برنامج مكافحة الفيروسات.

الوسائل التعليمية والمحاكيات في متجر Integral الإلكتروني للصف التاسع
القوى والجذور الوظائف والرسوم البيانية

يا رفاق، اليوم سوف نتعرف على نوع آخر من التقدم.
موضوع درس اليوم هو التقدم الهندسي.

المتوالية الهندسية

تعريف. التسلسل العددي الذي يكون فيه كل حد، بدءًا من الثاني، يساوي حاصل ضرب الحد السابق وبعض الأرقام الثابتة يسمى متوالية هندسية.
دعونا نحدد التسلسل بشكل متكرر: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
حيث b و q عبارة عن أرقام محددة. الرقم q يسمى مقام التقدم.

مثال. 1,2,4,8,16... متوالية هندسية يكون فيها الحد الأول يساوي واحدًا، و$q=2$.

مثال. 8،8،8،8... متوالية هندسية يكون فيها الحد الأول ثمانية،
و $س=1$.

مثال. 3,-3,3,-3,3... متوالية هندسية يكون فيها الحد الأول يساوي ثلاثة،
و $س=-1$.

التقدم الهندسي له خصائص الرتابة.
إذا كان $b_(1)>0$، $q>1$،
ثم يتزايد التسلسل.
إذا كان $b_(1)>0$، $0 يُشار إلى التسلسل عادةً بالشكل: $b_(1)، b_(2)، b_(3)، ...، b_(n)، ...$.

تمامًا كما هو الحال في المتوالية الحسابية، إذا كان عدد العناصر في المتوالية الهندسية محدودًا، فإن المتوالية تسمى متوالية هندسية منتهية.

$b_(1)، b_(2)، b_(3)، ...، b_(n-2)، b_(n-1)، b_(n)$.
لاحظ أنه إذا كانت المتتابعة متوالية هندسية، فإن متوالية مربعات الحدود تكون متوالية هندسية أيضًا. في التسلسل الثاني، الحد الأول يساوي $b_(1)^2$، والمقام يساوي $q^2$.

صيغة الحد n من التقدم الهندسي

يمكن أيضًا تحديد التقدم الهندسي في شكل تحليلي. دعونا نرى كيفية القيام بذلك:
$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
نلاحظ بسهولة النمط: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
صيغتنا تسمى "صيغة الحد النوني للتقدم الهندسي".

دعونا نعود إلى الأمثلة لدينا.

مثال. 1،2،4،8،16... متوالية هندسية يكون فيها الحد الأول يساوي واحد،
و $س=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.

مثال. 16,8,4,2,1,1/2… متوالية هندسية يكون فيها الحد الأول ستة عشر، و$q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.

مثال. 8,8,8,8... متوالية هندسية يكون فيها الحد الأول يساوي ثمانية، و$q=1$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.

مثال. 3,-3,3,-3,3... متوالية هندسية يكون فيها الحد الأول يساوي ثلاثة، و$q=-1$.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.

مثال. بالنظر إلى التقدم الهندسي $b_(1)، b_(2)، …، b_(n)، … $.
أ) من المعروف أن $b_(1)=6, q=3$. ابحث عن $b_(5)$.
ب) من المعروف أن $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. ابحث عن ن.
ج) من المعروف أن $q=-2, b_(6)=96$. ابحث عن $b_(1)$.
د) من المعروف أن $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. ابحث عن س.

حل.
أ) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
ب) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$، بما أن $2^7=128 => n-1=7; ن = 8 دولار.
ج) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
د) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.

مثال. الفرق بين الحدين السابع والخامس من المتتابعة الهندسية هو 192، ومجموع الحدين الخامس والسادس من المتتابعة الهندسية هو 192. أوجد الحد العاشر من هذه المتتابعة.

حل.
نحن نعلم أن: $b_(7)-b_(5)=192$ و$b_(5)+b_(6)=192$.
ونعرف أيضًا: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
ثم:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
لقد حصلنا على نظام المعادلات:
$\begin(cases)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(cases)$.
معادلة معادلاتنا نحصل على:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$ف^2-1=ف+1$.
$q^2-q-2=0$.
حصلنا على حلين س: $q_(1)=2، q_(2)=-1$.
عوض بالتسلسل في المعادلة الثانية:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ لا توجد حلول.
لقد حصلنا على ذلك: $b_(1)=4, q=2$.
لنجد الحد العاشر: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.

مجموع التقدم الهندسي المحدود

دعونا نحصل على تقدم هندسي محدود. دعونا، كما هو الحال في المتوالية الحسابية، نحسب مجموع حدودها.

دعونا نعطي تقدمًا هندسيًا محدودًا: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
دعونا نقدم التسمية لمجموع مصطلحاتها: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
في الحالة عندما يكون $q=1$. جميع حدود المتوالية الهندسية تساوي الحد الأول، فمن الواضح أن $S_(n)=n*b_(1)$.
دعونا الآن ننظر في الحالة $q≠1$.
دعونا نضرب المبلغ أعلاه بـ q.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
ملحوظة:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.

$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2) )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

لقد حصلنا على صيغة مجموع التقدم الهندسي المحدود.

مثال.
أوجد مجموع الحدود السبعة الأولى لمتتالية هندسية حدها الأول 4 ومقامها 3.

حل.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.

مثال.
أوجد الحد الخامس من المتوالية الهندسية المعروفة: $b_(1)=-3$; $b_(ن)=-3072$; $S_(ن)=-4095$.

حل.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$ف^(ن-1)=1024$.
$س^(ن)=1024q$.

$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
1365 ف - 1365 = 1024 ف - 1 دولار.
341 دولارًا = 1364 دولارًا.
$س=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.

خاصية مميزة للتقدم الهندسي

يا رفاق، تم إعطاء تقدم هندسي. دعونا نلقي نظرة على أعضائها الثلاثة المتتاليين: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.
نحن نعرف ذلك:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
ثم:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
إذا كان التقدم محدودًا، فإن هذه المساواة تنطبق على جميع الحدود باستثناء الأول والأخير.
إذا لم يكن معروفًا مسبقًا ما هو شكل التسلسل، ولكن من المعروف أن: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
ومن ثم يمكننا أن نقول بأمان أن هذا تقدم هندسي.

التسلسل الرقمي هو تقدم هندسي فقط عندما يكون مربع كل عضو مساويًا لمنتج العضوين المتجاورين في التسلسل. لا تنس أنه بالنسبة للتقدم المحدود، لا يتم استيفاء هذا الشرط للفصلين الأول والأخير.

دعونا نلقي نظرة على هذه الهوية: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ يسمى الوسط الهندسي للرقمين a وb.

معامل أي حد من المتوالية الهندسية يساوي المتوسط ​​الهندسي للحدين المتجاورين.

مثال.
ابحث عن x بحيث يكون $x+2; 2x+2; 3x+3$ عبارة عن ثلاث فترات متتالية من التقدم الهندسي.

حل.
دعونا نستخدم الخاصية المميزة:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ و$x_(2)=-1$.
دعونا نستبدل حلولنا بالتسلسل في التعبير الأصلي:
مع $x=2$، حصلنا على التسلسل: 4;6;9 – تقدم هندسي مع $q=1.5$.
بالنسبة إلى $x=-1$، نحصل على التسلسل: 1;0;0.
الجواب: $x=2.$

مشاكل لحلها بشكل مستقل

1. أوجد الحد الأول الثامن من المتتابعة الهندسية 16;-8;4;-2….
2. أوجد الحد العاشر من المتتابعة الهندسية 11،22،44….
3. من المعروف أن $b_(1)=5, q=3$. ابحث عن $b_(7)$.
4. من المعروف أن $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$. ابحث عن ن.
5. أوجد مجموع أول 11 حدًا من المتوالية الهندسية 3;12;48….
6. ابحث عن x بحيث يكون $3x+4; 2x+4; x+5$ عبارة عن ثلاثة فترات متتالية من المتوالية الهندسية.

الرياضيات مايتحكم الناس في الطبيعة وأنفسهم.

عالم الرياضيات السوفيتي والأكاديمي أ.ن. كولموغوروف

المتوالية الهندسية.

إلى جانب المشكلات المتعلقة بالتقدم الحسابي، فإن المشكلات المتعلقة بمفهوم التقدم الهندسي شائعة أيضًا في امتحانات القبول في الرياضيات. لحل مثل هذه المشاكل بنجاح، تحتاج إلى معرفة خصائص التقدم الهندسي وأن يكون لديك مهارات جيدة في استخدامها.

هذه المقالة مخصصة لعرض الخصائص الأساسية للتقدم الهندسي. يتم أيضًا توفير أمثلة لحل المشكلات النموذجية هنا., مستعارة من مهام امتحانات القبول في الرياضيات.

دعونا أولا نلاحظ الخصائص الأساسية للتقدم الهندسي ونتذكر أهم الصيغ والعبارات, المتعلقة بهذا المفهوم.

تعريف.يسمى التسلسل الرقمي تقدمًا هندسيًا إذا كان كل رقم بدءًا من الثاني يساوي الرقم السابق مضروبًا في نفس الرقم. ويسمى الرقم مقام التقدم الهندسي.

للتقدم الهندسيالصيغ صالحة

, (1)

أين . تسمى الصيغة (1) صيغة الحد العام للتقدم الهندسي، وتمثل الصيغة (2) الخاصية الرئيسية للتقدم الهندسي: كل حد من التقدم يتزامن مع الوسط الهندسي للمصطلحات المجاورة له و .

ملحوظة، أنه بسبب هذه الخاصية بالتحديد يُطلق على التقدم المعني اسم "الهندسي".

يتم تعميم الصيغتين (1) و (2) أعلاه على النحو التالي:

, (3)

لحساب المبلغأولاً أعضاء التقدم الهندسيتنطبق الصيغة

إذا دلنا على ذلك

أين . وبما أن الصيغة (6) هي تعميم للصيغة (5).

في حالة متى و المتوالية الهندسيةيتناقص بلا حدود. لحساب المبلغمن بين جميع شروط التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي، يتم استخدام الصيغة

. (7)

على سبيل المثال ، باستخدام الصيغة (7) يمكننا أن نظهر، ماذا

أين . يتم الحصول على هذه التساويات من الصيغة (7) بشرط (المساواة الأولى) و (المساواة الثانية).

نظرية.اذا ثم

دليل. اذا ثم

لقد تم إثبات النظرية.

دعنا ننتقل إلى النظر في أمثلة حل المشكلات حول موضوع "التقدم الهندسي".

مثال 1.معطى: و. يجد .

حل.إذا طبقنا الصيغة (5)، إذن

إجابة: .

مثال 2.فليكن. يجد .

حل.منذ و، نستخدم الصيغ (5)، (6) ونحصل على نظام المعادلات

إذا تم قسمة المعادلة الثانية للنظام (9) على الأولى، ثم أو . ويترتب على ذلك أن . دعونا ننظر في حالتين.

1. إذا، ثم من المعادلة الأولى للنظام (9) لدينا.

2. إذا .

مثال 3.اسمحوا و . يجد .

حل.من الصيغة (2) يتبع ذلك أو . منذ ذلك الحين أو.

بالشرط . ومع ذلك، لذلك. منذ و ثم هنا لدينا نظام المعادلات

إذا تم قسمة المعادلة الثانية للنظام على الأولى، أو .

وبما أن المعادلة لها جذر مناسب فريد. في هذه الحالة، فإنه يتبع من المعادلة الأولى للنظام.

وبأخذ الصيغة (7) نحصل عليها.

إجابة: .

مثال 4.معطى : و . يجد .

حل.منذ ذلك الحين.

منذ ذلك الحين أو

وفقا للصيغة (2) لدينا . وفي هذا الصدد، من المساواة (10) نحصل على أو .

ومع ذلك، بشرط، لذلك.

مثال 5.ومن المعروف أن . يجد .

حل. وفقا للنظرية، لدينا مساويان

منذ ذلك الحين أو. لأنه عندها .

إجابة: .

مثال 6.معطى : و . يجد .

حل.وبأخذ الصيغة (5) نحصل عليها

منذ ذلك الحين. منذ , و , ثم .

مثال 7.فليكن. يجد .

حل.وفقا للصيغة (1) يمكننا الكتابة

لذلك، لدينا أو. ومن المعروف أن و ، وبالتالي و .

إجابة: .

مثال 8.أوجد مقام المتوالية الهندسية المتناقصة اللانهائية إذا

و .

حل. ويتبع من الصيغة (7).و . ومن هنا ومن شروط المشكلة نحصل على نظام المعادلات

إذا تم تربيع المعادلة الأولى للنظام, ثم قسمة المعادلة الناتجة على المعادلة الثانية، ثم نحصل

أو .

إجابة: .

مثال 9.ابحث عن جميع القيم التي يكون فيها التسلسل تقدمًا هندسيًا.

حل.اسمحوا و . وفقا للصيغة (2)، التي تحدد الخاصية الرئيسية للتقدم الهندسي، يمكننا أن نكتب أو .

ومن هنا نحصل على المعادلة التربيعية, التي جذورهاو .

دعونا نتحقق: إذا، ثم و ؛ إذا , ثم , و .

في الحالة الأولى لديناو، وفي الثانية - و.

إجابة: ، .

مثال 10.حل المعادلة

, (11)

أين و.

حل. الجانب الأيسر من المعادلة (11) هو مجموع متوالية هندسية متناقصة لا نهائية، حيث و، خاضعة لـ: و.

ويتبع من الصيغة (7).، ماذا . وفي هذا الصدد تأخذ المعادلة (11) الشكلأو . الجذر المناسب المعادلة التربيعية هي

إجابة: .

مثال 11.ص تسلسل الأرقام الإيجابيةيشكل التقدم الحسابي، أ - المتوالية الهندسية، ما علاقة ذلك . يجد .

حل.لأن تسلسل حسابي، الذي - التي (الخاصية الرئيسية للتقدم الحسابي). بسبب ال، ثم أو . هذا يعني ، أن التقدم الهندسي له الشكل. حسب الصيغة (2)، ثم نكتب ذلك.

منذ و، ثم . في هذه الحالة التعبيريأخذ النموذج أو . بالشرط، لذلك من مكافئ.نحصل على حل فريد للمشكلة قيد النظر، أي. .

إجابة: .

مثال 12.حساب المبلغ

. (12)

حل. اضرب طرفي المساواة (12) في 5 واحصل على

إذا طرحنا (12) من التعبير الناتج، الذي - التي

أو .

للحساب، نستبدل القيم في الصيغة (7) ونحصل على . منذ ذلك الحين.

إجابة: .

ستكون أمثلة حل المشكلات الواردة هنا مفيدة للمتقدمين عند التحضير لامتحانات القبول. لدراسة أعمق لأساليب حل المشكلات, المتعلقة بالتقدم الهندسي, يمكنك استخدام البرامج التعليمية من قائمة الأدبيات الموصى بها.

1. مجموعة من المشاكل في الرياضيات للمتقدمين للكليات / إد. م. سكانافي. – م: مير والتعليم، 2013. – 608 ص.

2. سوبرون ف.ب. الرياضيات لطلاب المدارس الثانوية: أقسام إضافية من المنهج المدرسي. - م: ليناند / URSS، 2014. – 216 ص.

3. ميدينسكي م. دورة كاملة في الرياضيات الابتدائية في المسائل والتمارين. الكتاب الثاني: المتتاليات العددية والتقدمات. - م: إيديتوس، 2015. – 208 ص.

لا تزال لديك أسئلة؟

للحصول على مساعدة من المعلم، قم بالتسجيل.

موقع الويب، عند نسخ المادة كليًا أو جزئيًا، يلزم وجود رابط للمصدر.

دعونا نفكر في سلسلة معينة.

7 28 112 448 1792...

ومن الواضح تمامًا أن قيمة أي عنصر من عناصره أكبر بأربع مرات تمامًا من العنصر السابق. هذا يعني أن هذه السلسلة عبارة عن تقدم.

التقدم الهندسي هو تسلسل لا نهائي من الأرقام، السمة الرئيسية له هي أن الرقم التالي يتم الحصول عليه من الرقم السابق عن طريق الضرب برقم محدد. يتم التعبير عن ذلك من خلال الصيغة التالية.

a z +1 =a z ·q، حيث z هو رقم العنصر المحدد.

وفقا لذلك، ض ∈ ن.

الفترة التي يتم فيها دراسة التقدم الهندسي في المدرسة هي الصف التاسع. ستساعدك الأمثلة على فهم المفهوم:

0.25 0.125 0.0625...

وبناء على هذه الصيغة يمكن إيجاد مقام التقدم على النحو التالي:

لا يمكن أن يكون q أو b z صفرًا. كما أن كل عنصر من عناصر التقدم يجب ألا يساوي الصفر.

وفقًا لذلك، لمعرفة الرقم التالي في السلسلة، عليك ضرب الرقم الأخير بـ q.

لتعيين هذا التقدم، يجب عليك تحديد العنصر الأول والمقام. بعد ذلك، من الممكن العثور على أي من الحدود اللاحقة ومجموعها.

أصناف

اعتمادًا على q وa 1، ينقسم هذا التقدم إلى عدة أنواع:

• إذا كان كل من 1 و q أكبر من واحد، فإن هذا التسلسل هو تقدم هندسي يتزايد مع كل عنصر لاحق. ويرد أدناه مثال على ذلك.

مثال: أ 1 =3، ف=2 - كلا المعلمتين أكبر من واحد.

ومن ثم يمكن كتابة التسلسل الرقمي على النحو التالي:

3 6 12 24 48 ...

• إذا |ف| أقل من واحد، أي أن الضرب به يعادل القسمة، فإن المتوالية ذات الشروط المماثلة هي متوالية هندسية تناقصية. ويرد أدناه مثال على ذلك.

مثال: أ 1 =6، ف=1/3 - أ 1 أكبر من واحد، ف أقل.

ومن ثم يمكن كتابة التسلسل الرقمي على النحو التالي:

6 2 2/3 ... - أي عنصر أكبر بثلاث مرات من العنصر الذي يليه.

• علامة بالتناوب. إذا س<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

مثال: أ 1 = -3، ف = -2 - كلا المعلمتين أقل من الصفر.

ومن ثم يمكن كتابة التسلسل الرقمي على النحو التالي:

3, 6, -12, 24,...

الصيغ

هناك العديد من الصيغ للاستخدام المريح للتقدم الهندسي:

• صيغة المصطلح Z. يسمح لك بحساب عنصر تحت رقم محدد دون حساب الأرقام السابقة.

مثال:س = 3, أ 1 = 4. مطلوب حساب العنصر الرابع من التقدم.

حل:أ 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• مجموع العناصر الأولى التي تساوي كميتها ض. يسمح لك بحساب مجموع كل عناصر التسلسل حتىأ ضشامل.

منذ (1-س) في المقام، ثم (1 - ف)≠ 0، وبالتالي فإن q لا تساوي 1.

ملاحظة: إذا كانت q=1، فسيكون التقدم عبارة عن سلسلة من الأرقام المتكررة بلا حدود.

مجموع التقدم الهندسي، أمثلة:أ 1 = 2, س= -2. احسب S5.

حل:س 5 = 22- الحساب باستخدام الصيغة.

• المبلغ إذا |س| < 1 и если z стремится к бесконечности.

مثال:أ 1 = 2 , س= 0.5. العثور على المبلغ.

حل:س ض = 2 · = 4

س ض = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

بعض الخصائص:

• خاصية مميزة. إذا كان الشرط التالي يعمل لأيض، فإن سلسلة الأرقام المعطاة هي تقدم هندسي:

أ ض 2 = أ ض -1 · أض+1

• أيضًا، يمكن العثور على مربع أي رقم في متوالية هندسية عن طريق إضافة مربعي أي رقمين آخرين في سلسلة معينة، إذا كانا على مسافة متساوية من هذا العنصر.

أ ض 2 = أ ض - ر 2 + أ ض + ر 2 ، أينر- المسافة بين هذه الأرقام.

• عناصرتختلف في سمرة واحدة.
• وتشكل لوغاريتمات عناصر التقدم أيضًا تقدمًا، ولكنها حسابية، أي أن كل منها أكبر من السابق برقم معين.

أمثلة على بعض المشاكل الكلاسيكية

لفهم ما هو التقدم الهندسي بشكل أفضل، يمكن أن تساعد الأمثلة مع الحلول للفئة 9.

• شروط:أ 1 = 3, أ 3 = 48. البحثس.

الحل: كل عنصر لاحق أكبر من العنصر الذي يسبقهس مرة واحدة.من الضروري التعبير عن بعض العناصر بدلالة عناصر أخرى باستخدام المقام.

لذلك،أ 3 = س 2 · أ 1

عند الاستبدالس= 4

• شروط:أ 2 = 6, أ 3 = 12. احسب S 6.

حل:للقيام بذلك، ما عليك سوى العثور على q، العنصر الأول واستبداله في الصيغة.

أ 3 = س· أ 2 ، لذلك،س= 2

أ 2 = ف · أ 1،لهذا أ 1 = 3

س6= 189

• · أ 1 = 10, س= -2. ابحث عن العنصر الرابع للتقدم.

الحل: للقيام بذلك يكفي التعبير عن العنصر الرابع من خلال الأول ومن خلال المقام.

أ 4 = س 3· أ 1 = -80

مثال تطبيقى:

• قام أحد عملاء البنك بإيداع مبلغ قدره 10000 روبل، وبموجب شروطه، سيضيف العميل كل عام 6٪ منه إلى المبلغ الأصلي. كم سيكون المبلغ في الحساب بعد 4 سنوات؟

الحل: المبلغ الأولي هو 10 آلاف روبل. وهذا يعني أنه بعد سنة من الاستثمار سيكون لدى الحساب مبلغ يساوي 10,000 + 10,000 · 0.06 = 10000 1.06

وعليه فإن المبلغ الموجود في الحساب بعد سنة أخرى سيتم التعبير عنه على النحو التالي:

(10000 · 1.06) · 0.06 + 10000 · 1.06 = 1.06 · 1.06 · 10000

أي أن المبلغ يزيد كل عام بمقدار 1.06 مرة. وهذا يعني أنه للعثور على مبلغ الأموال في الحساب بعد 4 سنوات، يكفي العثور على العنصر الرابع من التقدم، والذي يعطى بالعنصر الأول يساوي 10 آلاف والمقام يساوي 1.06.

س = 1.06 1.06 1.06 1.06 10000 = 12625

أمثلة على مسائل حساب المجموع:

يستخدم التقدم الهندسي في مختلف المشاكل. يمكن إعطاء مثال للعثور على المبلغ على النحو التالي:

أ 1 = 4, س= 2، احسبس 5.

الحل: جميع البيانات اللازمة للحساب معروفة، ما عليك سوى استبدالها في الصيغة.

س 5 = 124

• أ 2 = 6, أ 3 = 18. احسب مجموع العناصر الستة الأولى.

حل:

في جيوم. التقدم، كل عنصر تالٍ أكبر بمقدار q من العنصر السابق، أي لحساب المجموع الذي تحتاج إلى معرفة العنصرأ 1 والقاسمس.

أ 2 · س = أ 3

س = 3

وبالمثل، تحتاج إلى العثور عليهاأ 1 ، معرفةأ 2 وس.

أ 1 · س = أ 2

أ 1 =2

س 6 = 728.

22.09.2018 22:00

يعد التقدم الهندسي، إلى جانب التقدم الحسابي، سلسلة أرقام مهمة يتم دراستها في دورة الجبر المدرسية في الصف التاسع. في هذه المقالة سوف نلقي نظرة على مقام المتوالية الهندسية وكيف تؤثر قيمته على خصائصه.

تعريف التقدم الهندسي

أولاً، دعونا نعطي تعريفًا لسلسلة الأرقام هذه. المتوالية الهندسية عبارة عن سلسلة من الأعداد النسبية التي يتم تشكيلها عن طريق ضرب عنصرها الأول بالتتابع في رقم ثابت يسمى المقام.

على سبيل المثال، الأرقام في المتسلسلة 3، 6، 12، 24، ... هي متوالية هندسية، لأنك إذا ضربت 3 (العنصر الأول) في 2، تحصل على 6. وإذا ضربت 6 في 2، تحصل على 12، وهكذا.

عادةً ما يُشار إلى أعضاء التسلسل قيد النظر بالرمز ai، حيث i عبارة عن عدد صحيح يشير إلى رقم العنصر في السلسلة.

يمكن كتابة التعريف أعلاه للتقدم باللغة الرياضية على النحو التالي: an = bn-1 * a1، حيث b هو المقام. من السهل التحقق من هذه الصيغة: إذا كان n = 1، فإن b1-1 = 1، وسنحصل على a1 = a1. إذا كان n = 2، فإن an = b * a1، ونأتي مرة أخرى إلى تعريف سلسلة الأرقام المعنية. يمكن الاستمرار في التفكير المماثل للقيم الكبيرة لـ n.

مقام التقدم الهندسي

يحدد الرقم b تمامًا الحرف الذي ستحتوي عليه سلسلة الأرقام بأكملها. يمكن أن يكون المقام b موجبًا أو سالبًا أو أكبر من أو أقل من واحد. جميع الخيارات المذكورة أعلاه تؤدي إلى تسلسلات مختلفة:

• ب > 1. هناك سلسلة متزايدة من الأعداد النسبية. على سبيل المثال، 1، 2، 4، 8، ... إذا كان العنصر a1 سالبًا، فإن التسلسل بأكمله سيزيد فقط من حيث القيمة المطلقة، ولكنه سيتناقص اعتمادًا على إشارة الأرقام.
• ب = 1. في كثير من الأحيان لا تسمى هذه الحالة بالتقدم، حيث توجد سلسلة عادية من الأرقام المنطقية المتطابقة. على سبيل المثال، -4، -4، -4.

صيغة المبلغ

قبل الانتقال إلى النظر في مشاكل محددة باستخدام قاسم نوع التقدم قيد النظر، ينبغي إعطاء صيغة مهمة لمجموع عناصره الأولى. تبدو الصيغة كما يلي: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

يمكنك الحصول على هذا التعبير بنفسك إذا كنت تفكر في التسلسل العودي لشروط التقدم. لاحظ أيضًا أنه في الصيغة أعلاه يكفي معرفة العنصر الأول والمقام فقط للعثور على مجموع عدد عشوائي من المصطلحات.

تسلسل تنازلي لا نهاية له

وقد تقدم شرح أعلاه لما هو عليه. الآن، بعد أن عرفنا صيغة Sn، فلنطبقها على سلسلة الأعداد هذه. حيث أن أي رقم لا يتجاوز معامله 1 يميل إلى الصفر عند رفعه إلى قوى كبيرة، أي b∞ => 0 إذا -1

نظرًا لأن الفرق (1 - ب) سيكون دائمًا موجبًا، بغض النظر عن قيمة المقام، فإن إشارة مجموع المتوالية الهندسية المتناقصة بشكل لا نهائي S∞ يتم تحديدها بشكل فريد من خلال إشارة عنصرها الأول a1.

الآن دعونا نلقي نظرة على العديد من المشاكل حيث سنوضح كيفية تطبيق المعرفة المكتسبة على أرقام محددة.

المهمة رقم 1. حساب عناصر التقدم والمجموع غير المعروفة

بالنظر إلى تقدم هندسي، فإن مقام التقدم هو 2، وعنصره الأول هو 3. ما الذي يساوي حديه السابع والعاشر، وما هو مجموع عناصره السبعة الأولية؟

حالة المشكلة بسيطة للغاية وتتضمن الاستخدام المباشر للصيغ المذكورة أعلاه. لذا، لحساب رقم العنصر n، نستخدم التعبير an = bn-1 * a1. بالنسبة للعنصر السابع لدينا: a7 = b6 * a1، وبالتعويض عن البيانات المعروفة، نحصل على: a7 = 26 * 3 = 192. ونفعل الشيء نفسه بالنسبة للحد العاشر: a10 = 29 * 3 = 1536.

دعونا نستخدم الصيغة المعروفة للمجموع ونحدد هذه القيمة للعناصر السبعة الأولى في السلسلة. لدينا: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

المشكلة رقم 2. تحديد مجموع العناصر التعسفية للتقدم

دع -2 يساوي مقام التقدم الهندسي bn-1 * 4، حيث n عدد صحيح. من الضروري تحديد المجموع من العنصر الخامس إلى العنصر العاشر من هذه السلسلة ضمناً.

لا يمكن حل المشكلة المطروحة مباشرة باستخدام الصيغ المعروفة. يمكن حلها باستخدام طريقتين مختلفتين. ولإكتمال عرض الموضوع نقدم كلا الأمرين.

الطريقة الأولى: الفكرة بسيطة: تحتاج إلى حساب المجموعين المتقابلين للحدين الأولين، ثم طرح الآخر من أحدهما. نحسب المبلغ الأصغر: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. الآن نحسب المجموع الأكبر: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. لاحظ أنه في التعبير الأخير تم جمع 4 حدود فقط، حيث تم تضمين الحد الخامس بالفعل في المبلغ الذي يجب حسابه وفقًا لشروط المشكلة. أخيرًا، نأخذ الفرق: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

الطريقة الثانية: قبل استبدال الأرقام والعد، يمكنك الحصول على صيغة للمجموع بين حدي m وn للسلسلة المعنية. نحن نفعل نفس الشيء تمامًا كما في الطريقة الأولى، فقط نعمل أولاً مع التمثيل الرمزي للمبلغ. لدينا: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . يمكنك استبدال الأرقام المعروفة في التعبير الناتج وحساب النتيجة النهائية: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

المشكلة رقم 3. ما هو القاسم؟

لنفترض أن a1 = 2، أوجد مقام المتتابعة الهندسية، على أن يكون مجموعها اللانهائي 3، ومن المعلوم أن هذه سلسلة متناقصة من الأعداد.

بناءً على ظروف المشكلة، ليس من الصعب تخمين الصيغة التي يجب استخدامها لحلها. وبطبيعة الحال، لمجموع التقدم يتناقص بلا حدود. لدينا: S∞ = a1 / (1 - ب). من حيث نعبر عن المقام: b = 1 - a1 / S∞. يبقى استبدال القيم المعروفة والحصول على الرقم المطلوب: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 أو -0.333(3). يمكننا التحقق من هذه النتيجة نوعيًا إذا تذكرنا أنه بالنسبة لهذا النوع من التسلسل، يجب ألا يتجاوز المعامل b 1. كما يمكن أن يرى، |-1 / 3|

المهمة رقم 4. استعادة سلسلة من الأرقام

لنفترض عنصرين من سلسلة أرقام، على سبيل المثال، الخامس يساوي 30 والعاشر يساوي 60. ومن الضروري إعادة بناء السلسلة بأكملها من هذه البيانات، مع العلم أنها تلبي خصائص التقدم الهندسي.

لحل المشكلة، يجب عليك أولاً كتابة التعبير المقابل لكل مصطلح معروف. لدينا: a5 = b4 * a1 و a10 = b9 * a1. الآن نقسم التعبير الثاني على الأول، نحصل على: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. من هنا نحدد المقام بأخذ الجذر الخامس لنسبة الحدود المعروفة من بيان المشكلة، ب = 1.148698. نعوض الرقم الناتج في أحد تعبيرات العنصر المعروف فنحصل على: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.

وبذلك وجدنا مقام المتوالية bn، والمتتالية الهندسية bn-1 * 17.2304966 = an، حيث b = 1.148698.

أين يتم استخدام التقدم الهندسي؟

ولو لم يكن هناك تطبيق عملي لهذه السلسلة العددية، لاختزلت دراستها إلى مجرد اهتمام نظري بحت. ولكن مثل هذا التطبيق موجود.

فيما يلي الأمثلة الثلاثة الأكثر شهرة:

• تم حل مفارقة زينو، حيث لا يستطيع أخيل الذكي اللحاق بالسلحفاة البطيئة، باستخدام مفهوم تسلسل الأرقام المتناقص بشكل لا نهائي.
• إذا وضعت حبات القمح على كل مربع من رقعة الشطرنج بحيث تضع حبة واحدة في المربع الأول، وفي الثاني - 2، وفي الثالث - 3، وهكذا، فستحتاج إلى ملء جميع مربعات اللوحة 18446744073709551615 حبة!
• في لعبة "برج هانوي" لنقل الأقراص من قضيب إلى آخر، من الضروري إجراء عمليات 2n - 1، أي أن عددها ينمو بشكل كبير مع عدد الأقراص المستخدمة.

شارع كييفيان، 16 0016 أرمينيا، يريفان +374 11 233 255

التقدم الهندسي هو نوع جديد من التسلسل الرقمي الذي نحن على وشك التعرف عليه. من أجل المواعدة الناجحة، لا يضر أن تعرف وتفهم على الأقل. ثم لن تكون هناك مشاكل مع التقدم الهندسي.)

ما هو التقدم الهندسي؟ مفهوم التقدم الهندسي.

نبدأ الجولة كالعادة بالأساسيات. أكتب سلسلة غير مكتملة من الأرقام:

1, 10, 100, 1000, 10000, …

هل يمكنك اكتشاف النمط ومعرفة الأرقام التي ستأتي بعد ذلك؟ الفلفل واضح، ثم تأتي الأرقام 100000، 1000000 وهكذا. حتى بدون الكثير من الجهد العقلي، كل شيء واضح، أليس كذلك؟)

نعم. مثال آخر. أنا أكتب هذا التسلسل:

1, 2, 4, 8, 16, …

هل يمكنك معرفة الأرقام التي ستأتي بعد الرقم 16 والاسم؟ ثامنعضو تسلسلي؟ إذا عرفت أنه سيكون الرقم 128، فهذا جيد جدًا. لذا فإن نصف المعركة تكمن في الفهم حاسةو النقاط الرئيسيةلقد تم بالفعل تحقيق التقدم الهندسي. يمكنك أن تنمو أكثر.)

والآن ننتقل مرة أخرى من الأحاسيس إلى الرياضيات الصارمة.

النقاط الرئيسية للتقدم الهندسي.

النقطة الرئيسية رقم 1

التقدم الهندسي هو تسلسل الأرقام.وكذلك التقدم. لا شيء يتوهم. يتم ترتيب هذا التسلسل فقط بشكل مختلف.ومن الطبيعي أن يكون له اسم مختلف، نعم.

النقطة الرئيسية رقم 2

مع النقطة الرئيسية الثانية، سيكون السؤال أصعب. دعونا نعود قليلاً ونتذكر الخاصية الأساسية للتقدم الحسابي. ها هو: كل عضو يختلف عن سابقه بنفس المبلغ.

هل من الممكن صياغة خاصية رئيسية مماثلة للتقدم الهندسي؟ فكر قليلاً... ألق نظرة فاحصة على الأمثلة المقدمة. هل خمنت ذلك؟ نعم! في التقدم الهندسي (أي!) يختلف كل عضو من أعضائه عن العضو السابق نفس العدد من المرات.دائماً!

في المثال الأول، هذا الرقم هو عشرة. أيًا كان عضو التسلسل الذي تأخذه، فهو أكبر من العضو السابق عشرة مرات.

وفي المثال الثاني هو اثنان: كل حد أكبر من الذي قبله مرتين.

وهذه هي النقطة الأساسية التي يختلف بها التقدم الهندسي عن التقدم الحسابي. في التقدم الحسابي، يتم الحصول على كل حد لاحق بإضافةنفس القيمة للفترة السابقة. و هنا - عمليه الضربالمدة السابقة بنفس المقدار. هذا هو الفرق كله.)

النقطة الرئيسية رقم 3

هذه النقطة الأساسية مطابقة تمامًا لتلك الخاصة بالتقدم الحسابي. يسمى: كل عضو في التقدم الهندسي يقف في مكانه.كل شيء هو نفسه تمامًا كما هو الحال في التقدم الحسابي والتعليقات، كما أعتقد، غير ضرورية. هناك الحد الأول، وهناك الحد المائة والأول، وما إلى ذلك. دعونا نتبادل حدين على الأقل - سيختفي النمط (ومعه التقدم الهندسي). ما سيبقى هو مجرد سلسلة من الأرقام دون أي منطق.

هذا كل شئ. هذا هو بيت القصيد من التقدم الهندسي.

المصطلحات والتسميات.

لكن الآن، بعد أن فهمنا المعنى والنقاط الرئيسية للتقدم الهندسي، يمكننا الانتقال إلى النظرية. وإلا فما هي النظرية دون فهم المعنى، أليس كذلك؟

كيفية الإشارة إلى التقدم الهندسي؟

كيف تتم كتابة التقدم الهندسي بشكل عام؟ لا مشكلة! تتم كتابة كل مصطلح من التقدم أيضًا كرسالة. فقط للتقدم الحسابي، عادة ما يتم استخدام الحرف "أ"، للحرف الهندسي "ب". رقم عضوية، كالعادة، يشار الفهرس في أسفل اليمين. نحن ببساطة ندرج أعضاء التقدم أنفسهم، مفصولين بفواصل أو فواصل منقوطة.

مثله:

ب 1,ب 2 , ب 3 , ب 4 , ب 5 , ب 6 , …

باختصار، تتم كتابة هذا التقدم على النحو التالي: (ب ن) .

أو هكذا، للتقدم المحدود:

ب 1، ب 2، ب 3، ب 4، ب 5، ب 6.

ب 1، ب 2، …، ب 29، ب 30.

أو باختصار:

(ب ن), ن=30 .

وهذا، في الواقع، هو كل التعيين. كل شيء هو نفسه، فقط الحرف مختلف، نعم.) والآن ننتقل مباشرة إلى التعريف.

تعريف التقدم الهندسي.

المتوالية الهندسية هي تسلسل رقمي يكون فيه الحد الأول غير صفر، وكل حد لاحق يساوي الحد السابق مضروبًا في نفس العدد غير الصفري.

هذا هو التعريف كله. معظم الكلمات والعبارات واضحة ومألوفة بالنسبة لك. إذا فهمت بالطبع معنى التقدم الهندسي "على أصابعك" وبشكل عام. ولكن هناك أيضًا بعض العبارات الجديدة التي أود أن أوليها اهتمامًا خاصًا.

أولا الكلمات: "العضو الأول فيه غير صفرية".

لم يتم تقديم هذا القيد على الفصل الأول عن طريق الصدفة. ما رأيك سيحدث إذا كان العضو الأول ب 1 سوف تكون مساوية للصفر؟ ما قيمة الحد الثاني إذا كان كل حد أكبر من الحد الذي قبله؟ نفس العدد من المرات؟دعنا نقول ثلاث مرات؟ دعونا نرى... اضرب الحد الأول (أي 0) في 3 واحصل على... صفر! ماذا عن العضو الثالث؟ صفر أيضاً! والحد الرابع أيضًا صفر! وما إلى ذلك وهلم جرا…

لقد حصلنا للتو على كيس من الخبز، سلسلة من الأصفار:

0, 0, 0, 0, …

بالطبع، مثل هذا التسلسل له الحق في الحياة، لكنه ليس له أي فائدة عملية. كل شيء واضح. وأي عضو فيه صفر. مجموع أي عدد من الحدود هو أيضًا صفر... ما الأشياء المثيرة للاهتمام التي يمكنك القيام بها بها؟ لا شئ…

الكلمات الرئيسية التالية: "مضروبة بنفس الرقم غير الصفر."

هذا الرقم نفسه له أيضًا اسم خاص به - مقام التقدم الهندسي. لنبدأ بالتعرف.)

مقام التقدم الهندسي.

كل شيء بسيط مثل قصف الكمثرى.

مقام التقدم الهندسي هو رقم (أو كمية) غير الصفر يشير إلىكم مرةكل فترة من التقدم أكثر من السابق.

مرة أخرى، على غرار التقدم الحسابي، الكلمة الأساسية التي يجب البحث عنها في هذا التعريف هي الكلمة "أكثر". وهذا يعني أنه يتم الحصول على كل مصطلح من التقدم الهندسي عمليه الضربإلى هذا القاسم بالذات العضو السابق.

دعني أشرح.

لحساب، دعنا نقول ثانيةديك، بحاجة إلى أن تأخذ أولاًعضو و تتضاعفذلك إلى القاسم. للحساب العاشرديك، بحاجة إلى أن تأخذ تاسععضو و تتضاعفذلك إلى القاسم.

يمكن أن يكون مقام التقدم الهندسي نفسه أي شيء. على الاطلاق أي شخص! كامل، كسري، إيجابي، سلبي، غير عقلاني - كل شيء. باستثناء الصفر. هذا ما تخبرنا به كلمة "غير الصفر" في التعريف. لماذا هناك حاجة لهذه الكلمة هنا - المزيد عن ذلك لاحقًا.

مقام التقدم الهندسيفي أغلب الأحيان يشار إليه بالحرف س.

كيفية العثور عليه س؟ لا مشكلة! يجب أن نأخذ أي مصطلح للتقدم و القسمة على المصطلح السابق. القسمة هي جزء. ومن هنا الاسم - "قاسم التقدم". المقام، عادة ما يكون في جزء، نعم...) على الرغم من أن القيمة منطقية سينبغي أن يسمى خاصالتقدم الهندسي، على غرار اختلافللتقدم الحسابي. لكننا اتفقنا على الاتصال المقام - صفة مشتركة - حالة. ولن نعيد اختراع العجلة أيضًا.)

دعونا نحدد، على سبيل المثال، الكمية سلهذا التقدم الهندسي:

2, 6, 18, 54, …

كل شيء أساسي. دعونا أعتبر أيرقم التسلسل. نحن نأخذ ما نريد. باستثناء أول واحد. على سبيل المثال، 18. والقسمة على الرقم السابق. يعني في الساعة 6.

نحن نحصل:

س = 18/6 = 3

هذا كل شئ. هذا هو الجواب الصحيح. في هذه المتوالية الهندسية، المقام هو ثلاثة.

دعونا الآن نجد المقام سلتقدم هندسي آخر. على سبيل المثال، هذا:

1, -2, 4, -8, 16, …

كل نفس. بغض النظر عن العلامات التي يمتلكها الأعضاء أنفسهم، ما زلنا نأخذها أيرقم التسلسل (على سبيل المثال، 16) والقسمة عليه الرقم السابق(أي -8).

نحن نحصل:

د = 16/(-8) = -2

وهذا كل شيء.) هذه المرة تبين أن قاسم التقدم سلبي. ناقص اثنين. يحدث.)

لنأخذ الآن هذا التقدم:

1, 1/3, 1/9, 1/27, …

ومرة أخرى، بغض النظر عن نوع الأرقام في التسلسل (سواء كانت أعداد صحيحة، أو حتى كسور، أو حتى سلبية، أو حتى غير عقلانية)، فإننا نأخذ أي رقم (على سبيل المثال، 1/9) ونقسمه على الرقم السابق (1/3). حسب قواعد العمل مع الكسور بالطبع.

نحن نحصل:

هذا كل شيء.) هنا تبين أن المقام كسري: س = 1/3.

ما رأيك في هذا "التقدم"؟

3, 3, 3, 3, 3, …

من الواضح هنا س = 1 . رسميًا، هذا أيضًا تقدم هندسي، فقط مع أعضاء متطابقين.) لكن مثل هذه التطورات ليست مثيرة للاهتمام للدراسة والتطبيق العملي. نفس التقدم مع الأصفار الصلبة. ولذلك، فإننا لن ننظر فيها.

كما ترون، يمكن أن يكون قاسم التقدم أي شيء - عدد صحيح، كسري، إيجابي، سلبي - أي شيء! لا يمكن أن يكون مجرد صفر. لا أستطيع التخمين لماذا؟

حسنًا، دعونا نستخدم بعض الأمثلة المحددة لنرى ما سيحدث إذا أخذنا المقام على أنه المقام سصفر.) دعونا، على سبيل المثال، لدينا ب 1 = 2 ، أ س = 0 . إذن ماذا سيكون الحد الثاني مساويًا؟

نحن نعد:

ب 2 = ب 1 · س= 2 0 = 0

وماذا عن العضو الثالث؟

ب 3 = ب 2 · س= 0 0 = 0

أنواع وسلوك التقدم الهندسي.

كان كل شيء أكثر أو أقل وضوحًا: إذا كان هناك اختلاف في التقدم دإيجابية، ثم يزداد التقدم. إذا كان الفرق سلبيا، فإن التقدم يتناقص. هناك خياران فقط. لا يوجد ثالث.)

ولكن مع سلوك التقدم الهندسي، سيكون كل شيء أكثر إثارة للاهتمام وتنوعًا!)

بغض النظر عن كيفية تصرف المصطلحات هنا: فهي تزيد، وتنقص، وتقترب من الصفر إلى أجل غير مسمى، بل وتتغير العلامات، وترمي نفسها بالتناوب في "زائد" ثم في "ناقص"! وفي كل هذا التنوع عليك أن تكون قادرًا على الفهم جيدًا، نعم...

دعونا نكتشف ذلك؟) لنبدأ بأبسط حالة.

القاسم موجب ( س >0)

مع القاسم الإيجابي، أولا، يمكن الدخول في شروط التقدم الهندسي بالإضافة إلى اللانهاية(أي: الزيادة بلا حد) ويمكن الدخول فيها ناقص اللانهاية(أي: النقصان بلا حدود). لقد اعتدنا بالفعل على سلوك التقدم هذا.

على سبيل المثال:

(ب ن): 1, 2, 4, 8, 16, …

كل شيء بسيط هنا. يتم الحصول على كل مصطلح من التقدم أكثر من السابق. علاوة على ذلك، يظهر كل مصطلح عمليه الضربالعضو السابق على إيجابيالرقم +2 (أي س = 2 ). إن سلوك مثل هذا التقدم واضح: جميع أعضاء التقدم ينموون بلا حدود، ويذهبون إلى الفضاء. بالإضافة إلى اللانهاية...

والآن إليكم التقدم:

(ب ن): -1, -2, -4, -8, -16, …

هنا أيضًا يتم الحصول على كل مصطلح من التقدم عمليه الضربالعضو السابق على إيجابيرقم +2. لكن سلوك مثل هذا التقدم هو عكس ذلك تمامًا: يتم الحصول على كل حد من التقدم أقل من السابق، وكل حدودها تتناقص بلا حدود، إلى سالب ما لا نهاية.

الآن دعونا نفكر: ما هو القاسم المشترك بين هذين التقدمين؟ هذا صحيح، القاسم! هنا وهناك س = +2 . رقم موجب، عدد إيجابي.اثنين. و هنا سلوكهذين التقدمين مختلفان بشكل أساسي! لا أستطيع التخمين لماذا؟ نعم! انها كل شيء عن العضو الأول!إنه، كما يقولون، هو الذي يعزف اللحن.) انظر بنفسك.

في الحالة الأولى، الفصل الأول من التقدم إيجابي(+1)، وبالتالي، يتم الحصول على جميع الحدود اللاحقة عن طريق الضرب في إيجابيالمقام - صفة مشتركة - حالة س = +2 ، سيكون أيضا إيجابي.

لكن في الحالة الثانية، الفصل الأول سلبي(-1). لذلك، يتم الحصول على جميع الحدود اللاحقة للتقدم عن طريق الضرب بـ إيجابي س = +2 ، سيتم الحصول عليها أيضًا سلبي.لأن "ناقص" إلى "زائد" يعطي دائمًا "ناقص"، نعم.)

كما ترون، على عكس التقدم الحسابي، يمكن أن يتصرف التقدم الهندسي بشكل مختلف تمامًا وليس اعتمادًا فقط من القاسمس، ولكن أيضا اعتمادا من العضو الأول، نعم.)

تذكر: يتم تحديد سلوك التقدم الهندسي بشكل فريد من خلال مصطلحه الأول ب 1 والقاسمس .

والآن نبدأ في تحليل الحالات الأقل شهرة، ولكنها أكثر إثارة للاهتمام!

لنأخذ على سبيل المثال هذا التسلسل:

(ب ن): 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …

هذا التسلسل هو أيضًا تقدم هندسي! يظهر أيضًا كل مصطلح من هذا التقدم عمليه الضربالعضو السابق بنفس الرقم . إنه مجرد رقم - كسري: س = +1/2 . أو +0,5 . علاوة على ذلك (مهم!) الرقم أقل من واحد:س = 1/2<1.

لماذا هذا التقدم الهندسي مثير للاهتمام؟ وإلى أين يتجه أعضاؤها؟ دعونا نلقي نظرة:

1/2 = 0,5;

1/4 = 0,25;

1/8 = 0,125;

1/16 = 0,0625;

…….

ما هي الأشياء المثيرة للاهتمام التي يمكنك ملاحظتها هنا؟ أولا، الانخفاض من حيث التقدم ملحوظ على الفور: كل عضو من أعضائه أقلالسابق بالضبط 2 مرات.أو حسب تعريف المتوالية الهندسية كل حد أكثرسابق 1/2 مرة، لأن قاسم التقدم س = 1/2 . وعند الضرب بعدد موجب أقل من واحد، عادة ما تنخفض النتيجة، نعم...

ماذا أكثريمكن أن ينظر إليه في سلوك هذا التقدم؟ هل يتضاءل أعضاؤها؟ غير محدود، الذهاب إلى ناقص اللانهاية؟ لا! يختفون بطريقة خاصة. في البداية، تنخفض بسرعة كبيرة، ثم ببطء أكثر فأكثر. وبينما تبقى في كل وقت إيجابي. وإن كانت صغيرة جدًا جدًا. وما الذي يسعون إليه هم أنفسهم؟ لم تخمن؟ نعم! إنهم يسعون جاهدين نحو الصفر!) علاوة على ذلك، انتبه، فإن أعضاء تقدمنا ​​هم من الصفر لا تصل أبدا!فقط يقترب منه إلى ما لا نهاية. انها مهمة جدا.)

سيحدث موقف مماثل في التقدم التالي:

(ب ن): -1, -1/2, -1/4, -1/8, -1/16, …

هنا ب 1 = -1 ، أ س = 1/2 . كل شيء هو نفسه، فقط الآن ستقترب الحدود من الصفر من الجانب الآخر، من الأسفل. البقاء في كل وقت سلبي.)

مثل هذا التقدم الهندسي، شروطه يقترب من الصفر بلا حدود(سواء كان من الجانب الإيجابي أو السلبي)، في الرياضيات له اسم خاص - تناقص التقدم الهندسي بشكل لا نهائي.هذا التقدم مثير للاهتمام وغير عادي لدرجة أنه سيتم مناقشته درس منفصل .)

لذلك، أخذنا في الاعتبار كل ما هو ممكن إيجابيالقواسم كبيرة وصغيرة. نحن لا نعتبر الوحدة نفسها مقامًا للأسباب المذكورة أعلاه (تذكر المثال الذي يتضمن سلسلة من ثلاثة توائم...)

دعونا نلخص:

إيجابيو أكثر من واحد (س>1)، ثم شروط التقدم:

أ) زيادة بلا حدود (إذاب 1 >0);

ب) النقصان بلا حدود (إذاب 1 <0).

إذا كان قاسم التقدم الهندسي إيجابي و أقل من واحد (0< س<1), то члены прогрессии:

أ) قريبة بلا حدود من الصفر فوق(لوب 1 >0);

ب) يقترب إلى ما لا نهاية من الصفر من الأسفل(لوب 1 <0).

يبقى الآن للنظر في هذه القضية القاسم السلبي.

المقام سلبي ( س <0)

لن نذهب بعيداً للحصول على مثال. لماذا بالضبط الجدة الأشعث؟!) فليكن مثلا الفصل الأول من التقدم ب 1 = 1 ودعنا نأخذ المقام س = -2.

نحصل على التسلسل التالي:

(ب ن): 1, -2, 4, -8, 16, …

وهكذا.) يتم الحصول على كل مصطلح من التقدم عمليه الضربالعضو السابق على رقم سلبي-2. في هذه الحالة، جميع الأعضاء الذين يقفون في الأماكن الفردية (الأول، الثالث، الخامس، الخ) سيكونون كذلك إيجابي، وفي الأماكن الزوجية (الثاني والرابع وما إلى ذلك) - سلبي.العلامات تتناوب بشكل صارم. زائد-ناقص-زائد-ناقص... هذا التقدم الهندسي يسمى - زيادة علامة بالتناوب.

وإلى أين يتجه أعضاؤها؟ ولكن ليس في أي مكان.) نعم، بالقيمة المطلقة (أي modulo)أعضاء تقدمنا ​​يتزايدون بلا حدود (ومن هنا جاء اسم "تزايد"). ولكن في الوقت نفسه، يرميك كل عضو في التقدم بالتناوب في الحرارة، ثم في البرد. إما "زائد" أو "ناقص". إن تقدمنا ​​يتذبذب... علاوة على ذلك، فإن نطاق التقلبات يتزايد بسرعة مع كل خطوة، نعم.) ولذلك فإن تطلعات أعضاء التقدم تسير في مكان ما خاصةهنا لا.لا إلى زائد اللانهاية، ولا إلى ناقص اللانهاية، ولا إلى الصفر - في أي مكان.

لنفكر الآن في المقام الكسري بين صفر وسالب واحد.

على سبيل المثال، فليكن ب 1 = 1 ، أ ف = -1/2.

ثم نحصل على التقدم:

(ب ن): 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, …

ومرة أخرى لدينا تناوب العلامات! ولكن، على عكس المثال السابق، يوجد هنا بالفعل ميل واضح لأن تقترب الحدود من الصفر.) هذه المرة فقط تقترب حدودنا من الصفر ليس من أعلى أو من أسفل بشكل صارم، ولكن مرة أخرى متردد. أخذ القيم الإيجابية والسلبية بالتناوب. لكنهم في نفس الوقت وحداتيقتربون أكثر فأكثر من الصفر العزيز.)

ويسمى هذا التقدم الهندسي علامة تناقص لا نهائية، بالتناوب.

لماذا هذين المثالين مثيران للاهتمام؟ وحقيقة أنه في كلتا الحالتين يحدث تناوب العلامات!هذه الحيلة نموذجية فقط للتقدم ذي المقام السلبي، نعم.) لذلك، إذا رأيت في بعض المهام تقدمًا هندسيًا بشروط متناوبة، فستعرف بالفعل على وجه اليقين أن مقامه سلبي بنسبة 100٪ ولن ترتكب أي خطأ في الإشارة.)

بالمناسبة، في حالة وجود مقام سلبي، فإن علامة الحد الأول لا تؤثر على الإطلاق على سلوك التقدم نفسه. وبغض النظر عن علامة الحد الأول من التتابع، ففي كل الأحوال ستلاحظ علامة الحدود. والسؤال الوحيد هو، في أي الأماكن(زوجي أو فردي) سيكون هناك أعضاء بعلامات محددة.

يتذكر:

إذا كان قاسم التقدم الهندسي سلبي ، فعلامات شروط التقدم تكون دائمًا البديل.

وفي نفس الوقت فإن الأعضاء أنفسهم:

أ) الزيادة بلا حدودmodulo، لوس<-1;

ب) يقترب من الصفر إلى ما لا نهاية إذا كان -1< س<0 (прогрессия бесконечно убывающая).

هذا كل شئ. تم تحليل جميع الحالات النموذجية.)

في عملية تحليل مجموعة متنوعة من الأمثلة على التقدم الهندسي، كنت أستخدم الكلمات بشكل دوري: "يميل إلى الصفر", "يميل إلى زائد اللانهاية", "يميل إلى ناقص اللانهاية"... لا بأس.) هذه الصور الكلامية (والأمثلة المحددة) هي مجرد مقدمة أولية لـ سلوكمجموعة متنوعة من تسلسل الأرقام. باستخدام مثال التقدم الهندسي.

لماذا نحتاج حتى إلى معرفة سلوك التقدم؟ ما الفرق الذي يحدثه أين تذهب؟ نحو الصفر، إلى زائد اللانهاية، إلى ناقص اللانهاية... ماذا يفعل هذا بنا؟

الشيء هو أنه بالفعل في الجامعة، في دورة الرياضيات العليا، ستحتاج إلى القدرة على العمل مع مجموعة واسعة من التسلسلات الرقمية (مع أي، وليس فقط التقدم!) والقدرة على تخيل بالضبط كيف هذا التسلسل أو ذاك يتصرف - سواء كان يزيد، أو يتناقص بشكل غير محدود، أو يميل إلى رقم معين (وليس بالضرورة إلى الصفر)، أو حتى لا يميل إلى أي شيء على الإطلاق... تم تخصيص قسم كامل لهذا الموضوع في سياق الرياضيات تحليل - نظرية الحدود.وبشكل أكثر تحديدًا - المفهوم حد التسلسل الرقميموضوع مثير جدا للاهتمام! من المنطقي أن تذهب إلى الكلية وتكتشف ذلك.)

بعض الأمثلة من هذا القسم (التسلسلات ذات الحد) وعلى وجه الخصوص، تناقص التقدم الهندسي بشكل لا نهائييبدأون في التعود عليها في المدرسة. لقد اعتدنا على ذلك.)

علاوة على ذلك، فإن القدرة على دراسة سلوك التسلسلات جيدًا ستفيدك كثيرًا في المستقبل وستكون مفيدة جدًا في ذلك البحوث الوظيفية.الأكثر تنوعا. لكن القدرة على العمل بكفاءة مع الوظائف (حساب المشتقات، ودراستها بالكامل، وبناء الرسوم البيانية الخاصة بها) تزيد بشكل كبير من مستواك الرياضي! هل لديك أي شكوك؟ لا حاجة. تذكر أيضًا كلامي.)

دعونا ننظر إلى التقدم الهندسي في الحياة؟

في الحياة من حولنا، نواجه تقدمًا هندسيًا في كثير من الأحيان. حتى دون أن يعرفوا ذلك.)

على سبيل المثال، تتكاثر الكائنات الحية الدقيقة المختلفة التي تحيط بنا في كل مكان بكميات هائلة والتي لا يمكننا حتى رؤيتها بدون مجهر، بدقة في تقدم هندسي.

لنفترض أن إحدى البكتيريا تتكاثر عن طريق الانقسام إلى نصفين، مما يؤدي إلى إنتاج ذرية إلى نوعين من البكتيريا. بدوره، كل واحد منهم، عند التكاثر، ينقسم أيضًا إلى النصف، مما ينتج عنه ذرية مشتركة مكونة من 4 بكتيريا. الجيل القادم سينتج 8 بكتيريا، ثم 16 بكتيريا، 32، 64 وهكذا. ومع كل جيل لاحق، يتضاعف عدد البكتيريا. مثال نموذجي للتقدم الهندسي.)

كما أن بعض الحشرات – مثل المن والذباب – تتكاثر بشكل كبير. بالمناسبة، وأحيانًا الأرانب أيضًا.)

مثال آخر على التقدم الهندسي، الأقرب إلى الحياة اليومية، هو ما يسمى الفائدة المركبة.غالبًا ما توجد هذه الظاهرة المثيرة للاهتمام في الودائع المصرفية وتسمى رسملة الفائدة.ما هو؟

أنت نفسك لا تزال شابًا بالطبع. أنت تدرس في المدرسة، ولا تذهب إلى البنوك. لكن والديك أصبحا بالفعل بالغين وأشخاصًا مستقلين. يذهبون إلى العمل، ويكسبون المال لشراء خبزهم اليومي، ويضعون جزءًا من المال في البنك، ويدخرون.)

لنفترض أن والدك يريد توفير مبلغ معين من المال لقضاء إجازة عائلية في تركيا ويضع 50000 روبل في البنك بفائدة 10% سنويًا لمدة ثلاث سنوات مع رسملة الفائدة السنوية.علاوة على ذلك، خلال هذه الفترة بأكملها، لا يمكن فعل أي شيء بالوديعة. لا يمكنك تجديد الوديعة أو سحب الأموال من الحساب. ما مقدار الربح الذي سيحققه بعد هذه السنوات الثلاث؟

حسنًا، أولاً وقبل كل شيء، نحتاج إلى معرفة ما هي نسبة 10% سنويًا. هذا يعني انه في سنةسيقوم البنك بإضافة 10% إلى مبلغ الوديعة الأولية. من ماذا؟ بالطبع من مبلغ الإيداع الأولي.

نحسب حجم الحساب بعد سنة. إذا كان مبلغ الإيداع الأولي 50000 روبل (أي 100٪)، فبعد عام سيكون هناك مقدار الفائدة على الحساب؟ هذا صحيح، 110%! من 50000 روبل.

لذلك نحسب 110٪ من 50000 روبل:

50000·1.1 = 55000 روبل.

أتمنى أن تفهم أن العثور على 110% من القيمة يعني ضرب تلك القيمة في الرقم 1.1؟ إذا كنت لا تفهم سبب ذلك، فتذكر الصفين الخامس والسادس. يسمى - العلاقة بين النسب المئوية والكسور والأجزاء.)

وبالتالي فإن الزيادة في السنة الأولى ستكون 5000 روبل.

كم من المال سيكون في الحساب خلال عامين؟ 60.000 روبل؟ لسوء الحظ (أو بالأحرى، لحسن الحظ)، كل شيء ليس بهذه البساطة. إن الحيلة الكاملة لرسملة الفائدة هي أنه مع كل فائدة جديدة متراكمة، سيتم أخذ هذه المصالح نفسها في الاعتبار بالفعل من المبلغ الجديد!من الذي بالفعلموجود على الحساب في اللحظة.ويتم إضافة الفائدة المستحقة عن الفترة السابقة إلى مبلغ الوديعة الأصلي، وبالتالي تشارك نفسها في حساب الفائدة الجديدة! أي أنها تصبح جزءًا كاملاً من الحساب الإجمالي. أو عامة عاصمة.ومن هنا الاسم - رسملة الفائدة.

إنه في الاقتصاد. وفي الرياضيات تسمى هذه النسب الفائدة المركبة.أو نسبة الفائدة.) حيلتهم هي أنه عند الحساب بشكل تسلسلي، يتم حساب النسب المئوية في كل مرة من القيمة الجديدة.وليس من الأصل..

لذلك، لحساب المبلغ من خلال سنتان، نحتاج إلى حساب 110% من المبلغ الذي سيكون في الحساب في سنة.وهذا هو بالفعل من 55000 روبل.

نحن نعول 110٪ من 55000 روبل:

55000·1.1 = 60500 روبل.

وهذا يعني أن نسبة الزيادة للسنة الثانية ستكون 5500 روبل، ولمدة عامين – 10500 روبل.

الآن يمكنك بالفعل تخمين أنه بعد ثلاث سنوات سيكون المبلغ الموجود في الحساب 110٪ من 60500 روبل. وهذا مرة أخرى 110% من العام السابق (العام الماضي)كميات.

وهنا نعتقد:

60500·1.1 = 66550 روبل.

الآن نقوم بترتيب مبالغنا النقدية حسب السنة بالتسلسل:

50000;

55000 = 50000 1.1;

60500 = 55000 1.1 = (50000 1.1) 1.1؛

66550 = 60500 1.1 = ((50000 1.1) 1.1) 1.1

اذا كيف كانت؟ لماذا لا يكون التقدم الهندسي؟ العضو الأول ب 1 = 50000 ، والقاسم س = 1,1 . كل مصطلح أكبر بدقة 1.1 مرة من المصطلح السابق. كل شيء يتوافق تمامًا مع التعريف.)

وكم عدد مكافآت الفائدة الإضافية التي "سيجمعها" والدك بينما كان مبلغ 50 ألف روبل موجودًا في حسابه المصرفي لمدة ثلاث سنوات؟

نحن نعد:

66550 – 50000 = 16550 روبل

ليس كثيرًا بالطبع. ولكن هذا إذا كان مبلغ الإيداع الأولي صغيرًا. ماذا لو كان هناك المزيد؟ لنفترض، ليس 50، ولكن 200 ألف روبل؟ ثم ستكون الزيادة على مدى ثلاث سنوات 66200 روبل (إذا قمت بالحسابات). وهو أمر جيد جدًا بالفعل.) ماذا لو كانت المساهمة أكبر؟ هذا كل شيء...

الخلاصة: كلما ارتفع الإيداع الأولي، كلما أصبحت رسملة الفائدة أكثر ربحية. ولهذا السبب توفر البنوك الودائع برسملة الفائدة لفترات طويلة. لنفترض لمدة خمس سنوات.

أيضًا، جميع أنواع الأمراض السيئة مثل الأنفلونزا والحصبة وحتى الأمراض الأكثر فظاعة (نفس السارس في أوائل العقد الأول من القرن الحادي والعشرين أو الطاعون في العصور الوسطى) تحب الانتشار بشكل كبير. ومن هنا حجم الأوبئة، نعم...) وكل ذلك يرجع إلى حقيقة التقدم الهندسي مع القاسم الإيجابي كله (س>1) - الشيء الذي ينمو بسرعة كبيرة! تذكر تكاثر البكتيريا: من بكتيريا واحدة يتم الحصول على اثنتين، ومن اثنين إلى أربعة، ومن أربعة إلى ثمانية، وهكذا... الأمر نفسه مع انتشار أي عدوى.)

أبسط المسائل على التقدم الهندسي.

لنبدأ، كما هو الحال دائمًا، بمشكلة بسيطة. بحتة لفهم المعنى.

1. من المعروف أن الحد الثاني للمتتابعة الهندسية هو 6، والمقام هو -0.5. أوجد الحدود الأولى والثالثة والرابعة.

لذلك أعطيت لنا بلا نهايةالتقدم الهندسي، ولكن معروف الفصل الثانيهذا التقدم:

ب 2 = 6

وبالإضافة إلى ذلك، نحن نعرف أيضا قاسم التقدم:

ف = -0.5

وتحتاج إلى العثور عليها الاول الثالثو الرابعأعضاء هذا التقدم.

لذلك نحن نتصرف. نكتب التسلسل حسب ظروف المشكلة. مباشرة في الصورة العامة حيث الحد الثاني هو ستة:

ب 1، 6،ب 3 , ب 4 , …

الآن لنبدأ بالبحث. نبدأ، كما هو الحال دائمًا، بالأبسط. يمكنك حساب الحد الثالث على سبيل المثال ب 3؟ يستطيع! أنا وأنت نعرف بالفعل (مباشرة بمعنى التقدم الهندسي) أن الحد الثالث (ب3)أكثر من الثانية (ب 2 ) الخامس "ف"مرة واحدة!

لذلك نكتب:

ب 3 =ب 2 · س

نعوض بستة في هذا التعبير بدلًا من ب 2و -0.5 بدلاً من ذلك سونحن نحسب. ولا نتجاهل الناقص أيضاً بالطبع..

ب 3 = 6·(-0.5) = -3

مثله. وتبين أن الفصل الثالث سلبي. ولا عجب: قاسمنا س- سلبي. وضرب الموجب في الناقص سيكون بالطبع ناقصًا.)

الآن نحسب الفصل الرابع التالي من التقدم:

ب 4 =ب 3 · س

ب 4 = -3·(-0.5) = 1.5

الفصل الرابع مرة أخرى مع علامة زائد. سيكون الحد الخامس سالبًا مرة أخرى، وسيكون الحد السادس زائدًا، وهكذا. العلامات تتناوب!

وهكذا تم العثور على الحدين الثالث والرابع. والنتيجة هي التسلسل التالي:

ب 1 ؛ 6؛ -3؛ 1.5؛ ...

الآن كل ما تبقى هو إيجاد الحد الأول ب 1على قول الثاني المشهور. للقيام بذلك، نخطو في الاتجاه الآخر، إلى اليسار. وهذا يعني أننا في هذه الحالة لا نحتاج إلى ضرب الحد الثاني من التقدم في المقام، ولكن يقسم.

نقسم ونحصل على:

هذا كل شيء.) ستكون الإجابة على المشكلة كما يلي:

-12; 6; -3; 1,5; …

كما ترون، مبدأ الحل هو نفسه كما في . نعلم أيعضو و المقام - صفة مشتركة - حالةالتقدم الهندسي - يمكننا أن نجد أي عضو آخر فيه. سنجد ما نريده.) والفرق الوحيد هو أن الجمع/الطرح يتم استبداله بالضرب/القسمة.

تذكر: إذا كنا نعرف عضوًا ومقامًا واحدًا على الأقل للتقدم الهندسي، فيمكننا دائمًا العثور على أي عضو آخر في هذا التقدم.

المشكلة التالية، وفقًا للتقاليد، هي من نسخة حقيقية من OGE:

2.

...; 150؛ العاشر؛ 6؛ 1.2؛ ...

اذا كيف كانت؟ هذه المرة لا يوجد مصطلح أول ولا مقام س، يتم إعطاء مجرد تسلسل من الأرقام... شيء مألوف بالفعل، أليس كذلك؟ نعم! لقد تم بالفعل حل مشكلة مماثلة في التقدم الحسابي!

لذلك نحن لسنا خائفين. كل نفس. دعونا ندير رؤوسنا ونتذكر المعنى الأولي للتقدم الهندسي. نحن ننظر بعناية إلى تسلسلنا ونكتشف المعلمات المخفية فيه للتقدم الهندسي للعناصر الثلاثة الرئيسية (الفصل الأول، المقام، رقم الفصل).

أرقام الأعضاء؟ لا يوجد أرقام عضوية، نعم... لكن هناك أربعة متتابعأعداد. لا أرى أي فائدة في شرح معنى هذه الكلمة في هذه المرحلة.) هل هناك اثنان الأرقام المعروفة المجاورة؟يأكل! هذه هي 6 و 1.2. حتى نتمكن من العثور عليها قاسم التقدم.لذلك نأخذ الرقم 1.2 ونقسمه إلى الرقم السابق.إلى ستة.

نحن نحصل:

نحن نحصل:

س= 150·0.2 = 30

إجابة: س = 30 .

كما ترون، كل شيء بسيط للغاية. الصعوبة الرئيسية تكمن فقط في الحسابات. إنه صعب بشكل خاص في حالة القواسم السالبة والكسرية. لذلك أولئك الذين لديهم مشاكل، كرر العملية الحسابية! كيفية التعامل مع الكسور، وكيفية التعامل مع الأرقام السالبة، وما إلى ذلك... وإلا فسوف تتباطأ هنا بلا رحمة.

الآن دعونا نعدل المشكلة قليلاً. الآن سيصبح الأمر مثيرًا للاهتمام! دعونا نزيل الرقم الأخير 1.2 منه. الآن دعونا نحل هذه المشكلة:

3. تمت كتابة عدة مصطلحات متتالية للتقدم الهندسي:

...; 150؛ العاشر؛ 6؛ ...

ابحث عن مدة التقدم المشار إليها بالحرف x.

كل شيء هو نفسه، اثنان فقط متجاوران مشهورليس لدينا الآن أي أعضاء في التقدم. هذه هي المشكلة الرئيسية. لأن الضخامة سمن خلال مصطلحين متجاورين يمكننا تحديدهما بسهولة لا نستطيع.هل لدينا فرصة للتعامل مع هذه المهمة؟ بالتأكيد!

دعونا نكتب المصطلح المجهول " س"مباشرة بمعنى التقدم الهندسي! بشكل عام.

نعم نعم! الحق مع قاسم غير معروف!

من ناحية، بالنسبة لـ X يمكننا كتابة النسبة التالية:

س= 150·س

ومن ناحية أخرى، لدينا كل الحق في وصف نفس X من خلاله التاليعضوا، من خلال الستة! اقسم ستة على المقام.

مثله:

س = 6/ س

ومن الواضح أنه يمكننا الآن مساواة هاتين النسبتين. وبما أننا نعرب نفس الشيءالحجم (x) ولكن اثنين طرق مختلفة.

نحصل على المعادلة:

مضاعفة كل شيء سوبالتبسيط والاختصار نحصل على المعادلة:

س2 = 1/25

نحن نحل ونحصل على:

ف = ±1/5 = ±0.2

أُووبس! تبين أن القاسم مزدوج! +0.2 و -0.2. وأي واحد يجب أن تختار؟ نهاية؟

هادئ! نعم، المشكلة حقا حلين!لا حرج في ذلك. يحدث ذلك.) ألا تتفاجأ عندما تحصل، على سبيل المثال، على جذرين عند حل المشكلة المعتادة؟ إنها نفس القصة هنا.)

ل ف = +0.2سوف نحصل على:

س = 150 0.2 = 30

ولل س = -0,2 سوف:

س = 150·(-0.2) = -30

نحصل على إجابة مزدوجة: س = 30; س = -30.

ماذا تعني هذه الحقيقة المثيرة للاهتمام؟ وما هو موجود تقدمين، تلبية شروط المشكلة!

مثل هؤلاء:

…; 150; 30; 6; …

…; 150; -30; 6; …

كلاهما مناسب.) لماذا تعتقد أننا انقسمنا في الإجابات؟ فقط بسبب القضاء على عضو معين من التقدم (1،2)، يأتي بعد ستة. ومعرفة الحدين السابقين (ن-1) واللاحقين (ن+1) فقط من المتوالية الهندسية، لم يعد بإمكاننا قول أي شيء بشكل لا لبس فيه حول الحد النوني الذي يقع بينهما. هناك خياران - مع علامة زائد ومع ناقص.

لكن لا مشكلة. كقاعدة عامة، في مهام التقدم الهندسي هناك معلومات إضافية تعطي إجابة لا لبس فيها. دعنا نقول الكلمات: "التقدم بالتناوب"أو "التقدم ذو قاسم إيجابي"وما إلى ذلك... هذه الكلمات هي التي يجب أن تكون بمثابة دليل حول العلامة التي يجب اختيارها، زائد أو ناقص، عند إعداد الإجابة النهائية. إذا لم يكن هناك مثل هذه المعلومات، فنعم، ستكون المهمة حلين.)

الآن نقرر بأنفسنا.

4. تحديد ما إذا كان الرقم 20 عضوًا في متوالية هندسية:

4 ; 6; 9; …

5. يتم إعطاء علامة التقدم الهندسي المتناوب:

…; 5; س ; 45; …

ابحث عن مدة التقدم المشار إليها بالحرف س .

6. أوجد الحد الموجب الرابع للمتتالية الهندسية:

625; -250; 100; …

7. الحد الثاني للمتتابعة الهندسية يساوي -360، والحد الخامس له يساوي 23.04. أوجد الحد الأول من هذا التقدم.

الإجابات (في اضطراب): -15؛ 900؛ لا؛ 2.56.

تهانينا إذا نجح كل شيء!

شيء لا يصلح؟ في مكان ما كان هناك إجابة مزدوجة؟ اقرأ شروط المهمة بعناية!

المشكلة الأخيرة لا تعمل؟ لا يوجد شيء معقد هناك.) نحن نعمل مباشرة وفقًا لمعنى التقدم الهندسي. حسنا، يمكنك رسم صورة. تساعد.)

كما ترون، كل شيء أساسي. إذا كان التقدم قصيرا. ماذا لو كان طويلا؟ أم أن عدد العضو المطلوب كبير جداً؟ أود، عن طريق القياس مع التقدم الحسابي، الحصول بطريقة أو بأخرى على صيغة ملائمة تجعل من السهل العثور عليها أيمصطلح أي تقدم هندسي برقمه.دون أن تتضاعف عدة مرات س. وهناك مثل هذه الصيغة!) التفاصيل في الدرس التالي.