رتابة الوظيفة. نظريتان مهمتان حول الرتابة

التقينا لأول مرة في دورة الجبر للصف السابع. عند النظر إلى الرسم البياني للدالة، قمنا بإزالة المعلومات المقابلة: إذا تحركنا على طول الرسم البياني من اليسار إلى اليمين، وانتقلنا في نفس الوقت من الأسفل إلى الأعلى (كما لو كنا نتسلق تلًا)، فإننا نعلن عن الدالة تكون متزايدة (الشكل 124)؛ إذا انتقلنا من أعلى إلى أسفل (انزل إلى أسفل التل)، فقد أعلنا أن الوظيفة تتناقص (الشكل 125).

ومع ذلك، فإن علماء الرياضيات لا يحبون هذه الطريقة لدراسة خصائص الوظيفة. وهم يعتقدون أن تعريفات المفاهيم لا ينبغي أن تعتمد على الرسم - يجب أن يوضح الرسم فقط خاصية أو أخرى للدالة على سطحها. الرسومات. دعونا نعطي تعريفات صارمة لمفاهيم الدوال المتزايدة والتناقصية.

التعريف 1. يقال إن الدالة y = f(x) تتزايد على الفترة X إذا كانت من المتراجحة x 1< х 2 - где хг и х2 - любые две точки промежутка X, следует неравенство f(x 1) < f(x 2).

التعريف 2. يقال إن الدالة y = f(x) تتناقص على الفترة X إذا كانت المتراجحة x 1< х 2 , где х 1 и х 2 - любые две точки промежутка X, следует عدم المساواةو(س 1) > و(س 2).

من الناحية العملية، يكون استخدام الصيغ التالية أكثر ملاءمة:

تزيد الدالة إذا كانت القيمة الأكبر للوسيطة تتوافق مع قيمة أكبر للدالة؛
تنخفض الدالة إذا كانت القيمة الأكبر للوسيطة تتوافق مع قيمة أصغر للدالة.

باستخدام هذه التعريفات والخصائص المنصوص عليها في § 33 عدم المساواة العدديةسنكون قادرين على تبرير الاستنتاجات حول زيادة أو نقصان الوظائف المدروسة مسبقًا.

1. الدالة الخطية y = kx +m

إذا كانت k > 0، فإن الدالة تزداد طوال الوقت (الشكل 126)؛ إذا ك< 0, то функция убывает на всей числовой прямой (рис. 127).

دليل. دع f(x) = kx +m. إذا × 1< х 2 и k >أوه، إذن، وفقًا لخاصية المتباينات العددية الثلاثة (انظر الفقرة 33)، kx 1< kx 2 . Далее, согласно свойству 2, из kx 1 < kx 2 следует, что kx 1 + m < kx 2 + m, т. е. f(х 1) < f(х 2).

لذلك، من عدم المساواة × 1< х 2 следует, что f(х 1) < f(x 2). Это и означает возрастание функции у = f(х), т.е. خطيوظائف ذ = ك س + م.

إذا × 1< х 2 и k < 0, то, согласно свойству 3 числовых неравенств, kx 1 >kx 2 ، ووفقًا للخاصية 2، من kx 1 > kx 2 يتبع ذلك kx 1 + m> kx 2 + أي.

لذلك، من عدم المساواة × 1< х 2 следует, что f(х 1) >و(× 2). وهذا يعني انخفاضًا في الدالة y = f(x)، أي دالة خطيةص = ك س + م.

إذا زادت (تناقصت) الدالة في مجال تعريفها بالكامل، فيمكن تسميتها زيادة (تناقصًا) دون الإشارة إلى الفاصل الزمني. على سبيل المثال، فيما يتعلق بالدالة y = 2x - 3 يمكننا القول إنها تزايدية على طول خط الأعداد بأكمله، ولكن يمكننا أيضًا أن نقول أقصر: y = 2x - 3 - تزايدية
وظيفة.

2. الدالة ص = x2

1. خذ بعين الاعتبار الدالة y = x 2 على الشعاع. لنأخذ رقمين غير موجبين x 1 و x 2 بحيث يكون x 1< х 2 . Тогда, согласно свойству 3 числовых неравенств, выполняется неравенство - х 1 >- × 2. نظرًا لأن الأرقام - x 1 و - x 2 غير سالبة، فمن خلال تربيع طرفي المتباينة الأخيرة، نحصل على متباينة بنفس المعنى (-x 1) 2 > (-x 2) 2، أي. هذا يعني أن f(x 1) > f(x 2).

لذلك، من عدم المساواة × 1< х 2 следует, что f(х 1) >و(× 2).

ولذلك فإن الدالة y = x 2 تتناقص على الشعاع (- 00, 0] (الشكل 128).

1. النظر في دالة على الفاصل الزمني (0، + 00).
دع X1< х 2 . Так как х 1 и х 2 - , то из х 1 < x 2 следует (см. пример 1 из § 33), т. е. f(x 1) >و(× 2).

لذلك، من عدم المساواة × 1< х 2 следует, что f(x 1) >و(× 2). وهذا يعني أن الدالة تتناقص على الشعاع المفتوح (0، + 00) (الشكل 129).

2. النظر في دالة على الفاصل الزمني (-oo، 0). دع × 1< х 2 , х 1 и х 2 - أرقام سلبية. ثم - x 1 > - x 2، وكلا طرفي المتباينة الأخيرة أرقام موجبة، وبالتالي (استخدمنا مرة أخرى المتباينة المثبتة في المثال 1 من الفقرة 33). التالي لدينا، من أين نأتي.

لذلك، من عدم المساواة × 1< х 2 следует, что f(x 1) >و(س 2) أي تتناقص الدالة على الشعاع المفتوح (- 00 , 0)

عادة ما يتم الجمع بين مصطلحي "الوظيفة المتزايدة" و"الوظيفة المتناقصة" تحت الاسم العام للوظيفة الرتيبة، وتسمى دراسة الوظيفة للتزايد والتناقص بدراسة الوظيفة للرتابة.

حل.

1) لنرسم الدالة y = 2x2 ونأخذ فرع هذا القطع المكافئ عند x< 0 (рис. 130).

2) لنقم ببناء واختيار الجزء الخاص به على المقطع (الشكل 131).

3) لنقم بإنشاء القطع الزائد ونحدد الجزء الخاص به على الشعاع المفتوح (4، + 00) (الشكل 132).
4) دعونا نصور "القطع" الثلاث في نظام إحداثي واحد - هذا هو الرسم البياني للدالة y = f(x) (الشكل 133).

دعونا نقرأ الرسم البياني للدالة y = f(x).

1. مجال تعريف الدالة هو خط الأعداد بأكمله.

2. ص = 0 عند س = 0؛ ص > 0 لـ س > 0.

3. الدالة تتناقص على الشعاع (-oo, 0]، تزيد على القطعة، تتناقص على الشعاع، محدبة لأعلى على القطعة، محدبة لأسفل على الشعاع)