تحميل رواية متعة x pdf. متعة X

في 2010 ستيفن ستروجاتزكتب سلسلة من المقالات حول أساسيات الرياضيات الصحفنيويورك تايمز. تسببت المقالات في عاصفة من البهجة. أصبح كل عمود القصة الأكثر شعبية في الصحيفة واجتذب مئات التعليقات. طلب القراء المزيد، ولم يخيب ستيفن - ظهر هذا الكتاب، والذي شمل الأجزاء المنشورة بالفعل وفصول جديدة تماما.

تتخلل الرياضيات كل شيء في هذا العالم، بما في ذلك أنفسنا، ولكن لسوء الحظ، قليل من الناس يفهمون هذا لغة عالميةجيد جدًا لتقدير حكمته وجماله. ستيفن ستروجاتز هو مدرس الرياضيات الذي حلمت به في المدرسة الثانوية. المعلم القادر على إشعال شرارة الاهتمام وغرس حب مدى الحياة لمادته. في هذا الضوء بشكل لا يصدق و كتاب رائعفهو يمنحنا جميعًا فرصة ثانية للتعرف على الرياضيات. في كل فصل قصير، ستكتشف شيئًا جديدًا، بدءًا من سبب الحاجة إلى الأرقام في المقام الأول إلى موضوعات مثل الهندسة وحساب التفاضل والتكامل والإحصاءات واللانهاية. يشرح المؤلف أفكارًا رياضية رائعة ببساطة وأناقة، مع أمثلة رائعة يمكن للجميع فهمها. هذا الكتاب للجميع. أولئك الذين لا يعرفون الرياضيات كثيرًا سوف يصبحون على دراية بها عن كثب، وأولئك الذين يحبون الرياضيات سوف يستمتعون بالقراءة عن "ملكة العلوم".

مقدمة

لديّ صديق، على الرغم من مهنته (فهو فنان)، إلا أنه شغوف بالعلم. كلما نجتمع معا، يتحدث بحماس عن أخر الانجازاتفي علم النفس أو ميكانيكا الكم. ولكن بمجرد أن نبدأ الحديث عن الرياضيات، يشعر بارتعاش في ركبتيه، مما يزعجه بشدة. يشكو من أن هذه غريبة الرموز الرياضيةليس فقط أنهم خارج نطاق فهمه، ولكن في بعض الأحيان لا يعرف حتى كيفية نطقهم.

في الواقع، سبب رفضه للرياضيات أعمق بكثير. لن يكون لديه أي فكرة عما يفعله علماء الرياضيات بشكل عام وماذا يقصدون عندما يقولون إن برهانًا معينًا أنيق. أحيانًا نمزح قائلين إنني أحتاج فقط إلى الجلوس والبدء في تعليمه الأساسيات، حرفيًا 1 + 1 = 2، والتعمق في الرياضيات قدر الإمكان.

وعلى الرغم من أن هذه الفكرة تبدو مجنونة، إلا أن هذا بالضبط ما سأحاول تنفيذه في هذا الكتاب. سأرشدك خلال جميع فروع العلوم الرئيسية، من الحساب إلى الرياضيات العلياحتى يتمكن أولئك الذين يريدون فرصة ثانية من الاستفادة منها أخيرًا. وهذه المرة لن تضطر إلى الجلوس على المكتب. هذا الكتاب لن يجعلك خبيرا في الرياضيات. ولكنه سيساعدك على فهم ما يدرسه هذا التخصص ولماذا هو رائع جدًا لأولئك الذين يفهمونه.

سنستكشف كيف يمكن أن تساعد رميات مايكل جوردان في شرح حسابات التفاضل والتكامل الأساسية. سأعرض لك طريقة بسيطة ومذهلة لفهم النظرية الأساسية للهندسة الإقليدية - نظرية فيثاغورس. سنحاول الوصول إلى جوهر بعض ألغاز الحياة، الكبيرة والصغيرة: هل قتل جاي سيمبسون زوجته؛ كيفية إعادة وضع المرتبة بحيث تدوم لأطول فترة ممكنة؛ كم عدد الشركاء الذين يجب تغييرهم قبل الزواج - وسنرى لماذا تكون بعض اللانهائيات أكبر من غيرها.

الرياضيات موجودة في كل مكان، ما عليك سوى أن تتعلم كيف تتعرف عليها. يمكنك أن ترى الموجة الجيبية على ظهر الحمار الوحشي، وتسمع أصداء نظريات إقليدس في إعلان الاستقلال؛ ماذا يمكنني أن أقول، حتى في التقارير الجافة التي سبقت الحرب العالمية الأولى، هناك أرقام سلبية. يمكنك أيضًا أن ترى كيف تؤثر مجالات الرياضيات الجديدة على حياتنا اليوم، على سبيل المثال، عندما نبحث عن المطاعم باستخدام الكمبيوتر أو نحاول على الأقل أن نفهم، أو الأفضل من ذلك، أن ننجو من التقلبات المخيفة في سوق الأسهم.

- اقرأ كتاب "متعة X" للكاتب ستيفن ستروجاتز عبر الإنترنت -

سلسلة من 15 مقالة تحت اسم شائعظهرت "أساسيات الرياضيات" على الإنترنت في نهاية يناير 2010. ردًا على نشرها، تدفقت الرسائل والتعليقات من القراء من جميع الأعمار، بما في ذلك العديد من الطلاب والمعلمين. كان هناك أيضًا أشخاص فضوليون "فقدوا طريق" الفهم لسبب أو لآخر العلوم الرياضية; لقد شعروا الآن أنهم قد فاتهم شيء جدير بالاهتمام وأرادوا المحاولة مرة أخرى. فرحة خاصةلقد تلقيت الامتنان من أولياء الأمور لأنهم بمساعدتي تمكنوا من شرح الرياضيات لأطفالهم، وبدأوا هم أنفسهم في فهمها بشكل أفضل. يبدو أنه حتى زملائي ورفاقي، المعجبين المتحمسين بهذا العلم، استمتعوا بقراءة المقالات، باستثناء تلك اللحظات التي تنافسوا فيها مع بعضهم البعض لتقديم جميع أنواع التوصيات لتحسين بنات أفكاري.

بالرغم من حكمة تقليديةهناك اهتمام واضح بالرياضيات في المجتمع، على الرغم من قلة الاهتمام بهذه الظاهرة. كل ما نسمع عنه هو الخوف من الرياضيات، ومع ذلك يرغب الكثيرون في محاولة فهمها بشكل أفضل. وبمجرد حدوث ذلك، سيكون من الصعب تمزيقهم.

سيقدم لك هذا الكتاب الأفكار الأكثر تعقيدًا وتقدمًا في عالم الرياضيات. الفصول صغيرة وسهلة القراءة ولا تعتمد بشكل خاص على بعضها البعض. ومن بينها تلك المدرجة في تلك السلسلة الأولى من المقالات في صحيفة نيويورك تايمز. لذا، بمجرد أن تشعر برغبة بسيطة في الرياضيات، لا تتردد في متابعة الفصل التالي. إذا كنت تريد أن تفهم السؤال الذي يثير اهتمامك بمزيد من التفصيل، ففي نهاية الكتاب توجد ملاحظات معلومات إضافيةوتوصيات بشأن ما يمكنك قراءته حول هذا الموضوع.

متعة X – ستيفن ستروجاتز (تحميل)

(نسخة تمهيدية)

وأخيرًا، نقترح عليك مشاهدة مقطع فيديو مثير للاهتمام

يُستكمل هذا الكتاب جيدًا بـ:

الكميات

سكوت باترسون

برينياك

كين جينينغز

كرة المال

مايكل لويس

وعي مرن

كارول دويك

فيزياء سوق الأوراق المالية

جيمس ويذرال

فرحة X

جولة إرشادية في الرياضيات، من الأول إلى اللانهاية

ستيفن ستروجاتز

متعة X

رحلة رائعة إلى عالم الرياضيات من أحد أفضل المعلمينفى العالم

المعلومات من الناشر

نشرت باللغة الروسية لأول مرة

تم النشر بإذن من ستيفن ستروجاتز، c/o Brockman, Inc.

ستروجاتز، P.

متعة X. رحلة رائعة إلى عالم الرياضيات من أحد أفضل المعلمين في العالم / ستيفن ستروجاتز؛ خط من الانجليزية - م: مان، إيفانوف وفيربر، 2014.

ردمك 978-500057-008-1

يمكن لهذا الكتاب أن يغير موقفك تجاه الرياضيات بشكل جذري. ويتكون من فصول قصيرة، في كل منها سوف تكتشف شيئا جديدا. سوف تتعلم مدى فائدة الأرقام لدراسة العالم من حولك، وسوف تفهم جمال الهندسة، وسوف تتعرف على النعمة حساب التفاضل والتكامل، أصبح مقتنعًا بأهمية الإحصائيات وتواصل مع اللانهاية. يشرح المؤلف الأفكار الرياضية الأساسية ببساطة وأناقة، مع أمثلة رائعة يمكن للجميع فهمها.

لا يجوز إعادة إنتاج أي جزء من هذا الكتاب بأي شكل من الأشكال دون الحصول على إذن كتابي من أصحاب حقوق الطبع والنشر.

يتم توفير الدعم القانوني لدار النشر من قبل شركة محاماة"فيغاس ليكس"

مقدمة

لديّ صديق، على الرغم من مهنته (فهو فنان)، إلا أنه شغوف بالعلم. كلما التقينا يتحدث بحماس عن آخر التطورات في علم النفس أو ميكانيكا الكم. ولكن بمجرد أن نبدأ الحديث عن الرياضيات، يشعر بارتعاش في ركبتيه، مما يزعجه بشدة. وهو يشتكي من أن هذه الرموز الرياضية الغريبة لا تتحدى فهمه فحسب، بل إنه في بعض الأحيان لا يعرف حتى كيفية نطقها.

وعلى الرغم من أن هذه الفكرة تبدو مجنونة، إلا أن هذا بالضبط ما سأحاول تنفيذه في هذا الكتاب. سأرشدك خلال جميع فروع العلوم الرئيسية، من الحساب إلى الرياضيات العليا، حتى يتمكن أولئك الذين يريدون فرصة ثانية من الاستفادة منها أخيرًا. وهذه المرة لن تضطر إلى الجلوس على المكتب. هذا الكتاب لن يجعلك خبيرا في الرياضيات. ولكنه سيساعدك على فهم ما يدرسه هذا التخصص ولماذا هو رائع جدًا لأولئك الذين يفهمونه.

ظهرت سلسلة من 15 مقالة تحت عنوان عام "أساسيات الرياضيات" على الإنترنت في نهاية يناير 2010. ردًا على نشرها، تدفقت الرسائل والتعليقات من القراء من جميع الأعمار، بما في ذلك العديد من الطلاب والمدرسين. كان هناك أيضًا أشخاص فضوليون، لسبب أو لآخر، "فقدوا الطريق" في فهم العلوم الرياضية؛ الآن شعروا أنهم قد فاتهم شيء ما ياعظيم، وأرغب في المحاولة مرة أخرى. لقد سررت بشكل خاص بامتنان والديّ لأنهما، بمساعدتي، تمكنا من شرح الرياضيات لأطفالهما، وبدأوا هم أنفسهم في فهمها بشكل أفضل. يبدو أنه حتى زملائي ورفاقي، المعجبين المتحمسين بهذا العلم، استمتعوا بقراءة المقالات، باستثناء تلك اللحظات التي تنافسوا فيها مع بعضهم البعض لتقديم جميع أنواع التوصيات لتحسين بنات أفكاري.

على الرغم من الاعتقاد السائد، هناك اهتمام واضح بالرياضيات في المجتمع، على الرغم من قلة الاهتمام بهذه الظاهرة. كل ما نسمع عنه هو الخوف من الرياضيات، ومع ذلك يرغب الكثيرون في محاولة فهمها بشكل أفضل. وبمجرد حدوث ذلك، سيكون من الصعب تمزيقهم.

سيقدم لك هذا الكتاب الأفكار الأكثر تعقيدًا وتقدمًا في عالم الرياضيات. الفصول صغيرة وسهلة القراءة ولا تعتمد بشكل خاص على بعضها البعض. ومن بينها تلك المدرجة في تلك السلسلة الأولى من المقالات في صحيفة نيويورك تايمز. لذا، بمجرد أن تشعر برغبة بسيطة في الرياضيات، لا تتردد في متابعة الفصل التالي. إذا كنت تريد أن تفهم السؤال الذي يهمك بمزيد من التفصيل، ففي نهاية الكتاب توجد ملاحظات تحتوي على معلومات وتوصيات إضافية حول ما يمكنك قراءته عنه.

ومن أجل راحة القراء الذين يفضلون النهج التدريجي، قمت بتقسيم المادة إلى ستة أجزاء وفقًا للترتيب التقليدي لدراسة المواضيع.

الجزء الأول "الأرقام" يبدأ رحلتنا بالحساب روضة أطفالو مدرسة إبتدائية. إنه يوضح مدى فائدة الأرقام ومدى فعاليتها السحرية في وصف العالم من حولنا.

الجزء الثاني، "النسب"، يحول الانتباه من الأرقام نفسها إلى العلاقات بينها. تكمن هذه الأفكار في قلب علم الجبر، وهي الأدوات الأولى لوصف كيفية تأثير شيء ما على شيء آخر، وإظهار العلاقة بين السبب والنتيجة لمجموعة متنوعة من الأشياء: العرض والطلب، والتحفيز والاستجابة - باختصار، جميع أنواع الأشياء. العلاقات التي تجعل العالم غنيًا ومتنوعًا.

لا يتحدث الجزء الثالث "الأشكال" عن الأرقام والرموز، بل عن الأشكال والفضاء - مجال الهندسة وعلم المثلثات. هذه المواضيع، إلى جانب وصف جميع الأشياء التي يمكن ملاحظتها من خلال النماذج والتفكير المنطقي والبرهان، ترفع الرياضيات إلى مستوى أعلى مستوى جديددقة.

في الجزء الرابع، حان وقت التغيير، سنلقي نظرة على حساب التفاضل والتكامل، وهو فرع الرياضيات الأكثر إثارة وتنوعًا. يتيح حساب التفاضل والتكامل التنبؤ بمسار الكواكب ودورات المد والجزر ويجعل من الممكن فهم ووصف جميع العمليات والظواهر المتغيرة بشكل دوري في الكون وداخلنا. يتم إعطاء مكان مهم في هذا الجزء لدراسة اللانهاية، التي أصبح تهدئتها طفرة سمحت للحسابات بالعمل. ساعدت الحسابات في حل العديد من المشكلات التي نشأت مرة أخرى العالم القديموهذا أدى في النهاية إلى ثورة في العلم والعالم الحديث.

يتعامل الجزء الخامس، "الأوجه المتعددة للبيانات"، مع الاحتمالات والإحصاءات والشبكات وعلوم البيانات - وهي مجالات لا تزال جديدة نسبيًا، وُلدت من الجوانب الأقل تنظيمًا دائمًا في حياتنا، مثل الفرص والحظ وعدم اليقين والمخاطر. ، التقلب، الفوضى، الترابط. وباستخدام أدوات الرياضيات الصحيحة والأنواع المناسبة من البيانات، سوف نتعلم كيفية اكتشاف الأنماط في تدفق العشوائية.

وفي نهاية رحلتنا في الجزء السادس "حدود الممكن" سنقترب من الحدود المعرفة الرياضية، إلى المنطقة الحدودية بين ما هو معروف بالفعل وما لا يزال بعيد المنال وغير معروف. سنراجع المواضيع مرة أخرى بالترتيب الذي نعرفه بالفعل: الأرقام والنسب والأشكال والتغييرات واللانهاية - ولكن في نفس الوقت سننظر إلى كل واحد منهم بمزيد من التعمق، في تجسيده الحديث.

فرحة X

جولة إرشادية في الرياضيات، من الأول إلى اللانهاية

تم النشر بإذن من ستيفن ستروجاتز، c/o Brockman, Inc.

كل الحقوق محفوظة. أي جزء النسخة الإلكترونيةلا يجوز إعادة إنتاج هذا الكتاب بأي شكل أو بأي وسيلة، بما في ذلك النشر على شبكة الإنترنت وشبكات الشركات، للأغراض الخاصة والخاصة. الاستخدام العامدون الحصول على إذن كتابي من صاحب حقوق الطبع والنشر.

يتم توفير الدعم القانوني لدار النشر من قبل شركة المحاماة Vegas-Lex.

* * *

يُستكمل هذا الكتاب جيدًا بـ:

الكميات

سكوت باترسون

برينياك

كين جينينغز

كرة المال

مايكل لويس

وعي مرن

كارول دويك

فيزياء سوق الأوراق المالية

جيمس ويذرال

مقدمة

لديّ صديق، على الرغم من مهنته (فهو فنان)، إلا أنه شغوف بالعلم. كلما التقينا يتحدث بحماس عن آخر التطورات في علم النفس أو ميكانيكا الكم. ولكن بمجرد أن نبدأ الحديث عن الرياضيات، يشعر بارتعاش في ركبتيه، مما يزعجه بشدة. ويشكو من أن هذه الرموز الرياضية الغريبة لا تتحدى فهمه فحسب، بل إنه في بعض الأحيان لا يعرف حتى كيفية نطقها.

لتوضيح ما أعنيه بحياة الأرقام وسلوكهم الذي لا نستطيع السيطرة عليه، دعونا نعود إلى فندق Furry Paws. لنفترض أن همفري كان على وشك تسليم الأمر، ولكن بعد ذلك اتصلت به طيور البطريق من غرفة أخرى بشكل غير متوقع وطلبت أيضًا نفس الكمية من الأسماك. كم مرة يجب على همفري أن يصرخ بكلمة "سمكة" بعد تلقي طلبين؟ إذا لم يتعلم أي شيء عن الأرقام، فسيتعين عليه الصراخ عدة مرات مثل طيور البطريق في كلتا الغرفتين. أو باستخدام الأرقام، يمكنه أن يشرح للطاهي أنه يحتاج إلى ستة سمكات لرقم واحد وستة لرقم آخر. ولكن ما يحتاجه حقا هو مفهوم جديد- إضافة. بمجرد أن يتقن ذلك، سيقول بفخر أنه يحتاج إلى ستة زائد ستة (أو، إذا كان متصنعًا، اثنتي عشرة) سمكة.

نفس الشئ عملية إبداعية، تمامًا مثل تلك التي عندما كنا نتوصل إلى الأرقام للتو. مثلما تجعل الأرقام العد أسهل من إدراج رقم واحد في كل مرة، فإن الجمع يجعل من السهل حساب أي مبلغ. وفي الوقت نفسه، فإن الشخص الذي يقوم بالحساب يتطور كعالم رياضيات. ومن الناحية العلمية يمكن صياغة هذه الفكرة على النحو التالي: إن استخدام التجريدات الصحيحة يؤدي إلى رؤية أعمق لجوهر القضية وقوة أكبر في حلها.

وربما سيدرك همفري قريبًا أنه يستطيع الآن العد دائمًا.

ومع ذلك، على الرغم من هذا المنظور الذي لا نهاية له، فإن إبداعنا دائمًا ما يكون له بعض القيود. يمكننا أن نقرر ما نعنيه بـ 6 و+، ولكن بمجرد أن نفعل ذلك، فإن نتائج تعبيرات مثل 6 + 6 تصبح خارجة عن سيطرتنا. هنا المنطق لن يترك لنا أي خيار. وبهذا المعنى، تتضمن الرياضيات دائمًا كلا من الاختراع، هكذا والافتتاح: نحن يخترعمفهوم ولكن يفتحعواقبها. وكما ستوضح الفصول التالية، فإن حريتنا في الرياضيات تكمن في قدرتنا على طرح الأسئلة والاستمرار في البحث عن إجابات دون الاضطرار إلى اختراعها بأنفسنا.

2. الحساب الحجري

مثل أي ظاهرة في الحياة، للحساب جانبان: رسمي ومسلي (أو مرح).

درسنا الجزء الرسمي في المدرسة. هناك شرحوا لنا كيفية العمل مع أعمدة الأرقام، وجمعها وطرحها، وكيفية تجريفها عند إجراء العمليات الحسابية جداول البياناتعند الملء عائدات الضرائبوالتحضير تقارير سنوية. يبدو هذا الجانب من الحساب مهمًا للكثيرين من الناحية العملية، لكنه ليس ممتعًا على الإطلاق.

لا يمكنك التعرف على الجانب الترفيهي للحساب إلا في عملية دراسة الرياضيات العليا. ومع ذلك، فهو أمر طبيعي مثل فضول الطفل.

في مقالته "رثاء عالم الرياضيات"، يقترح بول لوكهارت دراسة الأعداد في أمثلة أكثر واقعية من المعتاد: ويطلب منا أن نفكر فيها كعدد من الحجارة. على سبيل المثال، الرقم 6 يتوافق مع مجموعة الحصى التالية:

من غير المرجح أن ترى أي شيء غير عادي هنا. على ما هو عليه. حتى نبدأ في التعامل مع الأرقام، فإنها تبدو متشابهة إلى حد كبير. تبدأ اللعبة عندما نتلقى مهمة.

على سبيل المثال، دعونا نلقي نظرة على المجموعات التي تحتوي على 1 إلى 10 أحجار ونحاول أن نصنع منها مربعات. لا يمكن القيام بذلك إلا بمجموعتين من 4 و 9 أحجار، حيث أن 4 = 2 × 2 و 9 = 3 × 3. نحصل على هذه الأرقام عن طريق تربيع عدد آخر (أي ترتيب الحجارة في مربع).

هنا مهمة لديها عدد أكبرالحلول: أنت بحاجة إلى معرفة المجموعات التي ستشكل مستطيلاً إذا قمت بترتيب الحجارة في صفين كمية مساويةعناصر. مجموعات من 2، 4، 6، 8 أو 10 أحجار مناسبة هنا؛ يجب أن يكون الرقم زوجيًا. إذا حاولنا ترتيب المجموعات المتبقية بعدد فردي من الحجارة في صفين، فسننتهي دائمًا بحجر إضافي.

ولكن لم نفقد كل شيء لهذه الأرقام المحرجة! إذا أخذت مجموعتين من هذه المجموعات، فستجد العناصر الإضافية زوجًا، وسيكون المجموع زوجيًا: رقم فردي + رقم فردي = رقم زوجي.

إذا قمنا بتوسيع هذه القواعد إلى الأرقام بعد 10، وافترضنا أن عدد الصفوف في المستطيل يمكن أن يكون أكثر من اثنين، فإن بعض الأعداد الفرديةسيسمح لك بطي هذه المستطيلات. على سبيل المثال، يمكن للرقم 15 أن يشكل مستطيلاً مقاس 3 × 5.

لذلك، على الرغم من أن الرقم 15 هو رقم فردي بلا شك، إلا أنه رقم مركب ويمكن تمثيله على شكل ثلاثة صفوف يتكون كل منها من خمسة أحجار. وبالمثل، فإن أي إدخال في جدول الضرب ينتج مجموعته المستطيلة من الحصى.

لكن بعض الأرقام، مثل 2 و3 و5 و7، ميؤوس منها تمامًا. لا يمكنك وضع أي شيء منها إلا ترتيبها على شكل خط بسيط (صف واحد). هؤلاء الأشخاص العنيدين الغريبون هم الأعداد الأولية الشهيرة.

لذلك نرى أن الأرقام يمكن أن يكون لها هياكل غريبة تمنحها سمة معينة. ولكن لفهم النطاق الكامل لسلوكهم، عليك التراجع عن الأرقام الفردية وملاحظة ما يحدث أثناء تفاعلهم.

على سبيل المثال، بدلاً من إضافة رقمين فرديين فقط، دعنا نضيف جميع التسلسلات الممكنة للأرقام الفردية، بدءًا من 1:

1 + 3 + 5 + 7 = 16

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

والمثير للدهشة أن هذه المجاميع تتحول دائمًا إلى مربعات كاملة. (لقد قلنا بالفعل أن 4 و 9 يمكن تمثيلهما كمربعات، وبالنسبة لـ 16 = 4 × 4 و 25 = 5 × 5 فإن هذا صحيح أيضًا.) تظهر عملية حسابية سريعة أن هذه القاعدة تنطبق أيضًا على الأعداد الفردية الأكبر حجمًا، وعلى ما يبدو ، يميل إلى اللانهاية. ولكن ما هي العلاقة بين الأعداد الفردية وأحجارها "الإضافية" والأعداد المتناظرة الكلاسيكية التي تشكل المربعات؟ ومن خلال وضع الحصى بشكل صحيح، يمكننا أن نوضح ما هو كائن سمة مميزةدليل أنيق.

والمفتاح لذلك هو ملاحظة أنه يمكن تمثيل الأعداد الفردية كزوايا متساوية الأضلاع، والتي يشكل تداخلها المتتالي مربعًا!

يتم تقديم طريقة مماثلة للاستدلال في كتاب آخر نُشر مؤخرًا. في رواية يوكو أوجاوا الساحرة مدبرة المنزل و الالبروفيسور تدور أحداث الفيلم حول شابة داهية ولكنها غير متعلمة وابنها البالغ من العمر عشر سنوات. تم تعيين امرأة لرعاية عالم رياضيات مسن، والذي لا تحتفظ ذاكرته قصيرة المدى، بسبب إصابة في الدماغ، إلا بمعلومات عن آخر 80 دقيقة من حياته. ضائعًا في الوقت الحاضر، وحيدًا في كوخه القذر، مع لا شيء سوى الأرقام، يحاول الأستاذ التواصل مع مدبرة المنزل بالطريقة الوحيدة التي يعرفها: عن طريق السؤال عن مقاس حذائها أو تاريخ ميلادها ويقودها. حديث قصيرعن نفقاتها. كما يُعجب البروفيسور بشكل خاص بابن مدبرة المنزل، الذي يسميه روث (الجذر)، لأن الصبي لديه رأس مسطح في الأعلى، وهذا يذكره بالترميز في الرياضيات. الجذر التربيعي √.

ذات يوم يقدم الأستاذ للصبي مهمة بسيطة- أوجد مجموع كل الأرقام من 1 إلى 10. بعد أن تجمع روث كل الأرقام معًا بعناية وتعود بالإجابة (55)، يطلب منه الأستاذ البحث عن طريقة أسهل. فهل سيتمكن من العثور على الجواب؟ بدونالجمع العادي للأرقام؟ ركلت روث كرسيًا وصرخت: "هذا ليس عدلاً!"

شيئًا فشيئًا، تنجذب مدبرة المنزل أيضًا إلى عالم الأرقام وتحاول سرًا حل هذه المشكلة بنفسها. وتقول: "لا أفهم سبب اهتمامي الكبير بألغاز الأطفال التي ليس لها أي استخدام عملي". “في البداية أردت إرضاء الأستاذ، لكن تدريجياً تحول هذا الدرس إلى معركة بيني وبين الأرقام. عندما استيقظت في الصباح، كانت المعادلة تنتظرني بالفعل:

1 + 2 + 3 + … + 9 + 10 = 55,

لقد تبعني طوال اليوم، كما لو كان محترقًا في شبكية عيني، ولم يكن من الممكن أن أتجاهله. هناك عدة طرق لحل مشكلة الأستاذ (أتساءل كم يمكنك العثور عليها). يقترح الأستاذ نفسه طريقة للتفكير سبق أن طبقناها أعلاه. ويفسر المجموع من 1 إلى 10 على أنه مثلث من الحصى، مع حصاة واحدة في الصف الأول، واثنتين في الثاني، وهكذا، حتى عشر حصوات في الصف العاشر.

تعطي هذه الصورة فكرة واضحة عن المساحة السلبية. وتبين أنه نصف ممتلئ فقط، مما يدل على الاتجاه اختراق إبداعي. إذا قمت بنسخ مثلث مصنوع من الحصى، وقلبته ودمجته مع مثلث موجود، فستحصل على شيء بسيط للغاية: مستطيل به عشرة صفوف من 11 حصاة في كل منها، و الرقم الإجماليالحجارة ستكون 110

وبما أن المثلث الأصلي هو نصف هذا المستطيل، فإن المجموع المحسوب للأرقام من 1 إلى 10 يجب أن يكون نصف 110، أي 55.

قد يبدو تمثيل عدد كمجموعة من الحصى أمراً غير عادي، لكنه في الواقع قديم قدم الرياضيات نفسها. كلمة "احسب" احسب) يعكس هذا التراث وهو مشتق من اللاتينية حساب التفاضل والتكاملوالتي تعني "الحصاة" التي استخدمها الرومان عند إجراء العمليات الحسابية. ليس من الضروري أن تكون آينشتاين (وهو ما يعني "حجر واحد" باللغة الألمانية) للاستمتاع بالتلاعب بالأرقام، ولكن ربما تكون القدرة على التعامل مع الحصى ستجعل الأمر أسهل بالنسبة لك.

الضربة القاضية هي نوع من تسديدات كرة السلة حيث يقفز اللاعب للأعلى ويرمي الكرة عبر الطوق من أعلى إلى أسفل بيد واحدة أو اثنتين. ملحوظة ترجمة

جاي سيمبسون لاعب كرة قدم أمريكي مشهور. لعب دور المحقق نورثبيرج في ثلاثية "Naked Gun" الشهيرة. اتهم بالقتل الزوجة السابقةوصديقتها وتمت تبرئتهما رغم الأدلة. ملحوظة ترجمة

للتعرف على الفكرة الرائعة التي تعيشها الأرقام الحياة الخاصةويمكن اعتبار الرياضيات شكلاً من أشكال الفن، انظر P. Lockhart، رثاء عالم الرياضيات (مطبعة بلفيو الأدبية، 2009). ملحوظة إد.: هناك العديد من الترجمات لمقال لوكهارد "صرخة عالم رياضيات" على شبكة الإنترنت الروسية. هنا واحد منهم: http://mrega.ru/biblioteka/obrazovanie/130-plachmatematika.html. هنا وأدناه، تشير الحواشي الموجودة بين قوسين متعرجين إلى ملاحظات المؤلف.

هذا العبارة الشهيرةمأخوذ من مقال بقلم إي. ويجنر، “الفعالية غير المعقولة للرياضيات في العلوم الطبيعية،” الاتصالات في الرياضيات البحتة والتطبيقية، المجلد. 13، لا. 1، (فبراير 1960)، ص. 1-14. النسخة الإلكترونية متاحة على http://www.dartmouth.edu/~matc/MathDrama/reading/Wigner.html. لمزيد من الأفكار حول هذا الموضوع، وعما إذا كانت الرياضيات قد تم اختراعها أو اكتشافها، راجع م. ليفيو، هل الله عالم رياضيات؟ (سايمون وشوستر، 2009) وآر دبليو هامينج، الفعالية غير المعقولة للرياضيات، مجلة الرياضيات الأمريكية الشهرية، المجلد. 87، لا. 2 (فبراير 1980).

أدين بالكثير من هذا الفصل لكتابين ممتازين: مقالة ب. لوكهارت الجدلية، رثاء عالم رياضيات (مطبعة بلفيو الأدبية، 2009) ورواية ي. أوجاوا، مدبرة المنزل والأستاذ (بيكادور، 2009). ملحوظة الطبعة: مقالة لوكهارد "صرخة عالم رياضيات" مذكورة في التعليق رقم 1. لا توجد ترجمة لرواية يوكو أوغاوا إلى اللغة الروسية حتى الآن.

بالنسبة للقراء الشباب الذين يرغبون في استكشاف الأعداد وبنيتها، راجع H. M. Enzensberger, The Number Devil (Holt Paperbacks, 2000). ملحوظة إد.: من بين الكتب الروسية العديدة حول بدايات الرياضيات، والمناهج غير القياسية لدراستها، وتنمية الإبداع الرياضي لدى الأطفال والمواضيع المشابهة المتوافقة مع الفصول التالية من الكتاب، سنشير في الوقت الحالي إلى ما يلي: بوكناتشيف يو بوبوف يو الرياضيات بدون صيغ. م: الشركة المساهمة "ستوليتي"، 1995؛ أوستر جي. كتاب المشاكل. دليل الحبيب للرياضيات. م: أست، 2005؛ Ryzhik V.I. 30.000 درس في الرياضيات: كتاب للمعلمين. م: التعليم، 2003: Tuchnin N. P. كيف تطرح سؤالاً؟ حول الإبداع الرياضي لأطفال المدارس. ياروسلافل: فيرخ. - فولزه. كتاب دار النشر، 1989.

ممتاز، ولكن أكثر من ذلك أمثلة معقدةالتصور الصور الرياضيةقدم في R. B. نيلسن، البراهين بدون كلمات (الجمعية الرياضية الأمريكية، 1997).

فرحة X

جولة إرشادية في الرياضيات، من الأول إلى اللانهاية

تم النشر بإذن من ستيفن ستروجاتز، c/o Brockman, Inc.

كل الحقوق محفوظة. لا يجوز إعادة إنتاج أي جزء من النسخة الإلكترونية من هذا الكتاب بأي شكل أو بأي وسيلة، بما في ذلك النشر على الإنترنت أو شبكات الشركات، للاستخدام الخاص أو العام دون الحصول على إذن كتابي من مالك حقوق الطبع والنشر.

يتم توفير الدعم القانوني لدار النشر من قبل شركة المحاماة Vegas-Lex.

* * *

يُستكمل هذا الكتاب جيدًا بـ:

الكميات

سكوت باترسون

برينياك

كين جينينغز

كرة المال

مايكل لويس

وعي مرن

كارول دويك

فيزياء سوق الأوراق المالية

جيمس ويذرال

مقدمة

لديّ صديق، على الرغم من مهنته (فهو فنان)، إلا أنه شغوف بالعلم. كلما التقينا يتحدث بحماس عن آخر التطورات في علم النفس أو ميكانيكا الكم. ولكن بمجرد أن نبدأ الحديث عن الرياضيات، يشعر بارتعاش في ركبتيه، مما يزعجه بشدة. ويشكو من أن هذه الرموز الرياضية الغريبة لا تتحدى فهمه فحسب، بل إنه في بعض الأحيان لا يعرف حتى كيفية نطقها.

لتوضيح ما أعنيه بحياة الأرقام وسلوكهم الذي لا نستطيع السيطرة عليه، دعونا نعود إلى فندق Furry Paws. لنفترض أن همفري كان على وشك تسليم الأمر، ولكن بعد ذلك اتصلت به طيور البطريق من غرفة أخرى بشكل غير متوقع وطلبت أيضًا نفس الكمية من الأسماك. كم مرة يجب على همفري أن يصرخ بكلمة "سمكة" بعد تلقي طلبين؟ إذا لم يتعلم أي شيء عن الأرقام، فسيتعين عليه الصراخ عدة مرات مثل طيور البطريق في كلتا الغرفتين. أو باستخدام الأرقام، يمكنه أن يشرح للطاهي أنه يحتاج إلى ستة سمكات لرقم واحد وستة لرقم آخر. لكن ما يحتاجه حقًا هو مفهوم جديد: الإضافة. بمجرد أن يتقن ذلك، سيقول بفخر أنه يحتاج إلى ستة زائد ستة (أو، إذا كان متصنعًا، اثنتي عشرة) سمكة.

هذه هي نفس العملية الإبداعية التي قمنا بها عندما توصلنا إلى الأرقام لأول مرة. مثلما تجعل الأرقام العد أسهل من إدراج رقم واحد في كل مرة، فإن الجمع يجعل من السهل حساب أي مبلغ. وفي الوقت نفسه، فإن الشخص الذي يقوم بالحساب يتطور كعالم رياضيات. ومن الناحية العلمية يمكن صياغة هذه الفكرة على النحو التالي: إن استخدام التجريدات الصحيحة يؤدي إلى رؤية أعمق لجوهر القضية وقوة أكبر في حلها.

وربما سيدرك همفري قريبًا أنه يستطيع الآن العد دائمًا.

2. الحساب الحجري

مثل أي ظاهرة في الحياة، للحساب جانبان: رسمي ومسلي (أو مرح).

درسنا الجزء الرسمي في المدرسة. هناك شرحوا لنا كيفية العمل مع أعمدة الأرقام، وجمعها وطرحها، وكيفية تحليلها عند إجراء العمليات الحسابية في جداول البيانات عند ملء الإقرارات الضريبية وإعداد التقارير السنوية. يبدو هذا الجانب من الحساب مهمًا للكثيرين من الناحية العملية، لكنه ليس ممتعًا على الإطلاق.

يمكنك التعرف على الجانب الترفيهي للحساب فقط في عملية دراسة الرياضيات العليا {3}. ومع ذلك، فهو أمر طبيعي مثل فضول الطفل {4}.

إليك مشكلة لها عدد أكبر من الحلول: تحتاج إلى معرفة المجموعات التي ستشكل مستطيلاً إذا قمت بترتيب الأحجار في صفين مع عدد متساوٍ من العناصر. مجموعات من 2، 4، 6، 8 أو 10 أحجار مناسبة هنا؛ يجب أن يكون الرقم زوجيًا. إذا حاولنا ترتيب المجموعات المتبقية بعدد فردي من الحجارة في صفين، فسننتهي دائمًا بحجر إضافي.

إذا قمنا بتوسيع هذه القواعد لتشمل الأرقام بعد 10، وافترضنا أن عدد الصفوف في المستطيل يمكن أن يكون أكثر من اثنين، فإن بعض الأرقام الفردية ستسمح بإضافة مثل هذه المستطيلات. على سبيل المثال، يمكن للرقم 15 أن يشكل مستطيلاً مقاس 3 × 5.

1 + 3 + 5 + 7 = 16

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

والمثير للدهشة أن هذه المجاميع تتحول دائمًا إلى مربعات كاملة. (لقد قلنا بالفعل أن 4 و 9 يمكن تمثيلهما كمربعات، وبالنسبة لـ 16 = 4 × 4 و 25 = 5 × 5 فإن هذا صحيح أيضًا.) تظهر عملية حسابية سريعة أن هذه القاعدة تنطبق أيضًا على الأعداد الفردية الأكبر حجمًا، وعلى ما يبدو ، يميل إلى اللانهاية. ولكن ما هي العلاقة بين الأعداد الفردية وأحجارها "الإضافية" والأعداد المتناظرة الكلاسيكية التي تشكل المربعات؟ ومن خلال وضع الحصى بشكل صحيح، يمكننا أن نجعلها واضحة، وهي السمة المميزة للبرهان الأنيق. {5}

يتم تقديم طريقة مماثلة للاستدلال في كتاب آخر نُشر مؤخرًا. رواية يوكو أوجاوا الساحرة مدبرة المنزل والأستاذ تحكي قصة شابة داهية ولكن غير متعلمة وابنها البالغ من العمر عشر سنوات. تم تعيين امرأة لرعاية عالم رياضيات مسن، والذي لا تحتفظ ذاكرته قصيرة المدى، بسبب إصابة في الدماغ، إلا بمعلومات عن آخر 80 دقيقة من حياته. تائهًا في الوقت الحاضر، وحيدًا في كوخه القذر، لا يملك شيئًا سوى الأرقام، يحاول الأستاذ التواصل مع مدبرة المنزل بالطريقة الوحيدة التي يعرفها: من خلال السؤال عن مقاس حذائها أو تاريخ ميلادها وإجراء محادثة قصيرة معها حول نفقاتها. يُبدي الأستاذ أيضًا إعجابًا خاصًا بابن مدبرة المنزل، الذي يسميه روث (الجذر) لأن رأس الصبي مسطح في الأعلى، وهذا يذكره بالرمز الرياضي للجذر التربيعي √.

في أحد الأيام، أعطى الأستاذ الصبي مهمة بسيطة - للعثور على مجموع كل الأرقام من 1 إلى 10. بعد أن قامت روث بجمع جميع الأرقام معًا بعناية وإرجاع الإجابة (55)، طلب منه الأستاذ أن يبحث عن رقم طريقة أسهل. فهل سيتمكن من العثور على الجواب؟ بدونالجمع العادي للأرقام؟ ركلت روث كرسيًا وصرخت: "هذا ليس عدلاً!"

1 + 2 + 3 + … + 9 + 10 = 55,

ما مدى فائدة الأرقام لدراسة العالم من حولنا، وما مدى جمال الهندسة، وما مدى روعة الأعداد الصحيحة، وما مدى أهمية الإحصائيات؟ يتحدث ستيفن ستروجاتز عن كل هذا في كتابه متعة X. يشرح المؤلف الأفكار الرياضية الأساسية ببساطة وأناقة، ويقدم أمثلة يمكن للجميع فهمها. وينشر الموقع أحد فصول الكتاب الذي نشره مان وإيفانوف وفيربر.

أصبحت الإحصائيات فجأة مجالًا عصريًا. ومع ظهور الإنترنت والتجارة الإلكترونية، الشبكات الاجتماعية، مشروع فك رموز الجينوم البشري، وأيضاً فيما يتعلق بتطور الثقافة الرقمية بشكل عام، بدأ العالم يغرق في البيانات. يدرس المسوقون أذواقنا وعاداتنا. أجهزة الاستخباراتجمع معلومات حول موقعنا واتصالاتنا عبر البريد الإلكتروني و اتصالات هاتفية. يتلاعب الإحصائيون الرياضيون بالأرقام لتحديد اللاعبين الذين سيتم شراؤهم، ومن يجب صياغتهم، ومن سيجلسون على مقاعد البدلاء. يسعى الجميع إلى ربط النقاط في رسم بياني واكتشاف نمط في مجموعة مختلطة من البيانات.

وليس من المستغرب أن تنعكس هذه الاتجاهات في التدريس. يقول جريج مانكيو، الخبير الاقتصادي في جامعة هارفارد، في عمود نشرته صحيفة نيويورك تايمز: "دعونا ننظر إلى الإحصائيات".

"في مقررفي الرياضيات في المدرسة الثانويةيتم قضاء الكثير من الوقت في الموضوعات التقليدية مثل الهندسة الإقليدية وعلم المثلثات. هذه مفيدة ل شخص عاديلكن التمارين العقلية ليست ذات فائدة تذكر الحياة اليومية. سيستفيد الطلاب بشكل كبير من تعلم المزيد عن الاحتمالات والإحصاءات. ويذهب ديفيد بروكس إلى أبعد من ذلك. وفي مقالته عن التخصصات التي تستحق الاهتمام للحصول على تعليم لائق يقول: “خذوا الإحصائيات. سترى، اتضح أن معرفة الانحراف المعياري سيكون مفيدًا جدًا لك في الحياة.

من المحتمل جدًا، ومن الجيد أيضًا أن نفهم ما هو التوزيع. هذا هو أول شيء أنوي التحدث عنه. وأود أن أركز عليه، لأن هذا هو أحد الدروس الرئيسية المستفادة من الإحصاء: فالأشياء تبدو عشوائية إلى حد ميؤوس منه ولا يمكن التنبؤ بها عندما ننظر إليها بشكل فردي، ولكنها مجتمعة تكشف عن نمط وقابلية للتنبؤ.

ربما تكون قد شاهدت عرضًا لهذا المبدأ في البعض متحف العلوم(إذا لم يكن الأمر كذلك، فيمكن العثور على مقاطع الفيديو عبر الإنترنت). المعروض النموذجي عبارة عن أداة غريبة تسمى لوحة جالتون، والتي تذكرنا إلى حد ما بآلة الكرة والدبابيس بدون الزعانف. بداخله، توجد صفوف من الدبابيس على فترات منتظمة.

مجلس جالتون

تبدأ التجربة ب الجزء العلويتطلق لوحة جالتون مئات الكرات. عند سقوطها، فإنها تصطدم بالدبابيس ومن المرجح أن ترتد إلى اليمين أو إلى اليسار، ثم يتم توزيعها في الجزء السفلي من اللوحة، وتسقط في مقصورات بنفس العرض. يُظهر ارتفاع عمود الكرات مدى احتمال وصول الكرة إليه هذا المكان. يتم وضع معظم الكرات في المنتصف تقريبًا، وعدد أقل على الجوانب، وحتى أقل على الحواف.

بشكل عام، الصورة يمكن التنبؤ بها للغاية: تشكل الكرات دائمًا توزيعًا على شكل جرس، على الرغم من أنه من المستحيل التنبؤ بالمكان الذي ستنتهي فيه كل كرة على حدة.

كيف تتحول الحوادث المعزولة إلى الأنماط العامة؟ ولكن هذه هي الطريقة التي تعمل بها الصدفة. يحتوي العمود الأوسط على أكبر عدد من الكرات، لأنه قبل التدحرج للأسفل، يقوم العديد منها تقريبًا بنفس العدد من القفزات إلى اليمين واليسار، ونتيجة لذلك، ينتهي الأمر في مكان ما في المنتصف. تشكل العديد من الكرات الوحيدة الموجودة عند الحواف ذيول التوزيع - وهي تلك الكرات التي ترتد دائمًا في نفس الاتجاه عند الاصطدام بالدبابيس. مثل هذه الارتدادات غير محتملة، ولهذا السبب يوجد عدد قليل جدًا من الكرات عند الحواف.

مثلما يتم تحديد موقع كل كرة من خلال مجموع المجموعة الأحداث العشوائيةالعديد من الظواهر في هذا العالم هي نتيجة للعديد من الظروف الصغيرة وتخضع أيضًا لمنحنى على شكل جرس. وهم يعملون على هذا المبدأ شركات التأمين. هم مع دقة عاليةيمكنهم تسمية عدد عملائهم الذين يموتون كل عام. ومع ذلك، فإنهم لا يعرفون بالضبط من سيكون سيئ الحظ هذه المرة.

أو خذ على سبيل المثال ارتفاع الإنسان. يعتمد ذلك على عدد لا يحصى من الحوادث المتعلقة بالوراثة والكيمياء الحيوية والتغذية و بيئة. لذلك، هناك احتمال كبير أن تشكل أطوال الرجال والنساء البالغين، عند النظر إليهما معًا، منحنى على شكل جرس.

في تدوينة بعنوان "أشياء يحكيها الناس عن أنفسهم عبر الإنترنت"، نشرت خدمة إحصائيات موقع المواعدة OkCupid مؤخرًا رسمًا بيانيًا لنمو عملائها، أو بالأحرى قيمهم التي أبلغوا عنها ذاتيًا. وقد وجد أن معدلات النمو لدى الجنسين، كما هو متوقع، تشكل منحنى على شكل جرس. لكن ما يثير الدهشة هو أن كلا التوزيعين قد تم إزاحتهما بحوالي بوصتين إلى يمين القيم المتوقعة.

Strogatz S. متعة من H. - M.: مان، إيفانوف وفيربر، 2014.

لذلك إما أن العملاء الذين شملهم الاستطلاع بواسطة OkCupid أطول من المتوسط أو يضيفون بضع بوصات إضافية إلى طولهم عند وصف أنفسهم عبر الإنترنت.

والنسخة المثالية من منحنيات الجرس هذه هي ما يسميه علماء الرياضيات التوزيع الطبيعي. هذا هو واحد من أهم المفاهيمفي الإحصائيات، وجود اساس نظرى. يمكن إثبات ذلك التوزيع الطبيعييحدث عند الإضافة كمية كبيرةصغير عوامل عشوائية، ويعمل كل منهما بشكل مستقل عن الآخر. والعديد من الأحداث تحدث بهذه الطريقة.

لكن ليس كل. وهذه هي النقطة الثانية التي أود أن ألفت الانتباه إليها. التوزيع الطبيعي ليس في كل مكان كما يبدو. منذ مئات السنين، وخاصة في العقود القليلة الماضية، لاحظ العلماء والإحصائيون وجود العديد من الظواهر التي تنحرف عن هذا المنحنى وتتبع جدولها الزمني الخاص. من الغريب أن هذه الأنواع من التوزيعات لم يتم ذكرها عمليا في الكتب المدرسية حول الإحصاء الأولي، وإذا تم العثور عليها، فإنها عادة ما تعتبر نوعا من علم الأمراض.

هذا غريب. وسأحاول أن أشرح العديد من الظواهر حياة عصريةيكتسب المزيد من المعنىبشرط أن تكون هذه التوزيعات "المرضية" مفهومة. هذا هو الوضع الطبيعي الجديد. خذ على سبيل المثال توزيع أحجام المدن في الولايات المتحدة. بدلا من التجمع حول معين حجم متوسطمنحنى الجرس، فإن الغالبية العظمى من المدن لديها حجم صغيروبالتالي تتراكم على الجانب الأيسر من الرسم البياني.

Strogatz S. متعة من H. - M.: مان، إيفانوف وفيربر، 2014.

و ماذا عدد أكبر من السكانالمدن، في كثير من الأحيان يتم العثور على مثل هذه المدن. بمعنى آخر، في المجمل، سيكون التوزيع أقرب إلى منحنى على شكل حرف L منه إلى منحنى على شكل جرس.

وهذا ليس مفاجئا. يعلم الجميع أن عدد المدن الكبرى أقل بكثير من عدد المدن الصغيرة. على الرغم من أن الأمر ليس واضحًا، إلا أن أحجام المدن تتبع توزيعًا بسيطًا ولطيفًا - عندما تنظر إليها على مقياس لوغاريتمي.

سوف نفترض أن الفرق بين مدينتين هو نفسه إذا كان عدد سكانهما يختلف بنفس عدد المرات (تمامًا كما أن أي مفتاحي بيانو مفصولين بأوكتاف يختلفان دائمًا بمقدار النصف في التردد). ولنفعل الشيء نفسه على المحور الرأسي.

Strogatz S. متعة من H. - M.: مان، إيفانوف وفيربر، 2014.

تقع البيانات الآن على منحنى يمثل خطًا مستقيمًا مثاليًا تقريبًا. استنادًا إلى خصائص اللوغاريتمات، من السهل استنتاج أن المنحنى الأصلي على شكل حرف L هو اعتماد على قانون القوى، والذي يتم وصفه بواسطة دالة بالشكل

حيث x هو عدد سكان المدينة، وy هو عدد المدن بهذا الحجم، وc هو ثابت، ويحدد الأس a (أس قانون القوى) الميل السلبي للخط المستقيم.

توزيعات القوة لها بعض الخصائص غير المنطقية من وجهة نظر الإحصائيات التقليدية. على سبيل المثال، على عكس التوزيع الطبيعي، لا تتطابق أوضاعها ومتوسطاتها ووسائلها بسبب الشكل المنحرف وغير المتماثل للمنحنيات على شكل حرف L.

وقد استفاد الرئيس بوش كثيراً من هذا، حيث قال في عام 2003 إن التخفيضات الضريبية وفرت لكل أسرة ما متوسطه 1586 دولاراً. ورغم أن ذلك صحيح رياضيا، إلا أنه استفاد من متوسط الاستقطاع الذي أخفى استقطاعات ضخمة بمئات الآلاف من الدولارات حصل عليها 0.1% أغنى السكانبلدان. ومن المعروف أن "الذيل" الموجود على الجانب الأيمن من توزيع الدخل يتبع قانون القوة، وفي حالة مماثلةواستخدام المتوسط أمر مضلل لأنه بعيد عن قيمته الحقيقية. في الواقع، حصلت معظم العائلات على أقل من 650 دولارًا. في توزيع معينالمتوسط أقل بكثير من المتوسط.

يوضح هذا المثال الممتلكات الأكثر أهميةتوزيعات قانون القوى: لها ذيول ثقيلة مقارنة على الأقل بذيول سائلة صغيرة للتوزيع الطبيعي. الذيول الكبيرة مثل هذه، على الرغم من ندرتها، أكثر شيوعًا في توزيعات البيانات من المنحنيات العادية على شكل جرس.

في يوم الاثنين الأسود، 19 أكتوبر 1987، انخفض مؤشر داو جونز الصناعي بنسبة 22٪. ومقارنة بمستوى عدم الاستقرار المعتاد في سوق الأسهم، كان هذا الانخفاض أكثر من عشرين انحرافات معيارية. وفقا للإحصاءات التقليدية (التي تستخدم التوزيع الطبيعي)، فإن مثل هذا الحدث يكاد يكون مستحيلا: احتماله أقل من واحد في 100،000،000،000،000،000،000،000،000،000،000،000،000،000،000،000،000 (10 أس 50). ومع ذلك، حدث هذا - لأن تقلبات الأسعار في سوق الأوراق المالية لم تتبع التوزيع الطبيعي.

تعتبر التوزيعات ذات الذيل الثقيل أكثر ملاءمة لوصفها. ويحدث هذا مع الزلازل والحرائق والفيضانات، مما يجعل من الصعب على شركات التأمين إدارة المخاطر.

نفس الشيء نموذج رياضييصف عدد القتلى من الحروب والهجمات الإرهابية، بالإضافة إلى أشياء أخرى أكثر سلمية، مثل عدد الكلمات في الرواية أو عدد الشركاء الجنسيين لدى الشخص.

على الرغم من أن الصفات المستخدمة لوصف الذيول الطويلة لا ترسمها في ضوء مناسب للغاية، إلا أن توزيعات الذيل ترتدي ذيولها بفخر. سمينة وثقيلة وطويلة؟ نعم إنه كذلك. ولكن في هذه الحالة، أرني أيهما طبيعي؟