يعود ظهور مفهوم التكامل إلى الحاجة إلى إيجاد دالة مشتقة عكسية من مشتقها، وكذلك تحديد مقدار الشغل، ومساحة الأشكال المعقدة، والمسافة المقطوعة، مع تحديد المعلمات بواسطة منحنيات موصوفة بواسطة الصيغ غير الخطية.
وهذا العمل يساوي حاصل ضرب القوة والمسافة. إذا حدثت الحركة بأكملها بسرعة ثابتة أو كانت المسافة مغطاة بنفس القوة، فكل شيء واضح، فأنت بحاجة فقط إلى ضربها. ما هو تكامل الثابت؟ من النموذج y=kx+c.
لكن القوة يمكن أن تتغير طوال العمل، وفي نوع من الاعتماد الطبيعي. وينشأ نفس الموقف عند حساب المسافة المقطوعة إذا كانت السرعة غير ثابتة.
إذن، من الواضح سبب الحاجة إلى التكامل. إن تعريفه على أنه مجموع منتجات قيم الدالة بزيادة متناهية الصغر في الوسيطة يصف بشكل كامل المعنى الرئيسي لهذا المفهوم باعتباره مساحة الشكل الذي يحده من الأعلى خط الدالة، و على حواف حدود التعريف.
شرح عالم الرياضيات الفرنسي جان جاستون داربو، في النصف الثاني من القرن التاسع عشر، بوضوح شديد ما هو التكامل. لقد أوضح أنه بشكل عام لن يكون من الصعب حتى على طالب المدرسة الإعدادية فهم هذه المشكلة.
لنفترض أن هناك وظيفة لأي شكل معقد. ينقسم المحور الإحداثي الذي يتم رسم قيم الوسيطة عليه إلى فترات صغيرة، ومن الناحية المثالية تكون متناهية الصغر، ولكن بما أن مفهوم اللانهاية مجرد تمامًا، فيكفي أن نتخيل ببساطة أجزاء صغيرة، تكون قيمتها عادة يُشار إليه بالحرف اليوناني Δ (دلتا).
تبين أن الوظيفة "مقطعة" إلى طوب صغير.
تتوافق كل قيمة وسيطة مع نقطة على المحور الإحداثي، حيث يتم رسم قيم الدالة المقابلة. ولكن بما أن المنطقة المحددة لها حدان، فسيكون هناك أيضًا قيمتان للدالة، أكبر وأصغر.
يُطلق على مجموع منتجات القيم الأكبر بالزيادة Δ مجموع Darboux الكبير، ويشار إليه بـ S. وبناءً على ذلك، تشكل القيم الأصغر في منطقة محدودة، مضروبة في Δ، مجموع Darboux صغير s . يشبه القسم نفسه شبه منحرف مستطيل، حيث يمكن إهمال انحناء خط الوظيفة مع زيادة متناهية الصغر. أسهل طريقة للعثور على مساحة هذا الشكل الهندسي هي إضافة منتجات القيم الأكبر والأصغر للدالة بمقدار Δ والقسمة على اثنين، أي تحديدها على أنها الوسط الحسابي.
هذا هو تكامل داربوكس:
s=Σf(x) Δ - كمية صغيرة؛
S= Σf(x+Δ)Δ كمية كبيرة.
إذن ما هو التكامل؟ المساحة المحددة بخط الدالة وحدود التعريف ستكون مساوية لـ:
∫f(x)dx = ((S+s)/2) +c
أي أن الوسط الحسابي لمجاميع داربوكس الكبيرة والصغيرة هو قيمة ثابتة يتم إعادة ضبطها أثناء التمايز.
وبناء على التعبير الهندسي لهذا المفهوم يصبح المعنى المادي للتكامل واضحا. تحدده دالة السرعة، ويحدده الفاصل الزمني على طول المحور السيني، وسيكون طول المسافة المقطوعة.
L = ∫f(x)dx على الفترة من t1 إلى t2،
f(x) هي دالة للسرعة، أي الصيغة التي تتغير بها بمرور الوقت؛
لام - طول المسار؛
t1 - وقت بدء الرحلة؛
t2 هو وقت نهاية الرحلة.
بالضبط يتم استخدام نفس المبدأ لتحديد مقدار العمل، وسيتم رسم المسافة فقط على طول الإحداثي، وسيتم رسم مقدار القوة المطبقة في كل نقطة محددة على طول الإحداثي.
دعونا نعود إلى مشكلة مساحة شبه منحرف منحني الأضلاع وتعريف التكامل المحدد. نرى أن مساحة شبه منحرف منحني الأضلاع يحدها المنحنى y=f(x)، حيث f(x)0 على القطعة، والمحور x والخطوط x = a و x = b تساوي عدديًا تكامل محدد، أي
لقد تناولنا حتى الآن تكاملًا محددًا له حدود ثابتة للتكامل a وb. فإذا قمت مثلاً بتغيير الحد الأعلى دون مغادرة القطعة، فإن قيمة التكامل ستتغير. بمعنى آخر، التكامل ذو الحد الأعلى المتغير هو دالة للحد الأعلى له. وبالتالي، إذا كان لدينا التكامل
مع الحد الأدنى المستمر أوالحد الأعلى المتغير x، فإن قيمة هذا التكامل ستكون دالة للحد الأعلى x. دعونا نشير إلى هذه الوظيفة بـ Ф(kh)، أي نضعها
(2.1)
ونسميها تكاملا محددا مع حد أعلى متغير. هندسياً، تمثل الدالة Ф(x) مساحة شبه منحرف منحني مظلل، إذا كانت f(x)0 (الشكل 2)
الآن دعونا نلقي نظرة على إثبات النظرية، وهي إحدى النظريات الرئيسية للتحليل الرياضي.
نظرية
3
.
إذا كانت f(t) دالة مستمرة و 
ثم هناك المساواة
أو 
(2.2)
بمعنى آخر، مشتقة التكامل المحدد لدالة متصلة بالنسبة إلى حد أعلى متغير موجودة وتساوي قيمة التكامل عند الحد الأعلى.
دليل.لنأخذ أي قيمة x ونعطيها زيادة x 0 بحيث يكون x + x ، أي 
. ثم ستتلقى الدالة Ф(kh) قيمة جديدة:
نجد زيادة الدالة Ф(kh):
Ф = Ф(x+x) – Ф(x) =
وبتطبيق نظرية القيمة المتوسطة على التكامل الأخير نحصل على:
حيث C هو الرقم الموجود بين الرقمين x و x + x. من هنا 
إذا كان الآن x 0، إذن c x و f(c) f(x) (بسبب استمرارية f(x) على ). وبالتالي، فإننا نمر إلى الحد الأقصى في المساواة الأخيرة التي نحصل عليها
F
(
س
)
أو 
,
Q.E.D.
عاقبة.التكامل المحدد ذو الحد الأعلى المتغير هو أحد المشتقات العكسية للتكامل المستمر. وبعبارة أخرى، ل أي دالة متصلة لها مشتق عكسي،
تعليق.يتم استخدام التكامل ذو الحد الأعلى المتغير للتكامل في تعريف العديد من الوظائف الجديدة، على سبيل المثال:
.
3. صيغة نيوتن-لايبنيز
كما لاحظنا سابقًا، فإن حساب التكامل المحدد باستخدام طريقة تعتمد على إيجاد حد المجاميع التكاملية عادة ما يكون مصحوبًا بصعوبات كبيرة. لذلك، هناك طريقة أخرى أكثر ملاءمة لحساب التكاملات المحددة، والتي تعتمد على الارتباط الوثيق الموجود بين مفهومي التكامل المحدد وغير المحدد. يتم التعبير عن هذا الارتباط بما يلي
النظرية 4 . التكامل المحدد للدالة المستمرة يساوي الفرق بين قيم أي من مشتقاتها العكسية للحدين العلوي والسفلي للتكامل.
دليل.لقد أثبتنا أن الدالة f(x) المتصلة على هذه القطعة لها مشتق عكسي، وأحد المشتقات العكسية هي الدالة
.
افترض أن F(x) هو أي مشتق عكسي آخر للدالة f(x) في نفس القطعة. بما أن المشتقات العكسية Ф(x) وF(x) تختلف بثابت (انظر خصائص المشتقات العكسية)، فإن المساواة التالية تتحقق:
حيث C هو رقم معين. استبدال هذه المساواة بالقيمة س = أسوف نحصل على 0 = F(أ) + ج, ج = - F(أ), أي بالنسبة لـ x لدينا
إعداد x = b، نحصل على العلاقة
(3.1)
تسمى الصيغة (3.1) بصيغة نيوتن-لايبنتز. اختلاف F(ب)
–
F(أ)
من المعتاد كتابتها بشكل تقليدي في النموذج 
ثم تأخذ الصيغة (3.1) النموذج
لذا فإن الصيغة (3.1) التي حصلنا عليها، من ناحية، تقيم علاقة بين التكامل المحدد والتكامل غير المحدد، ومن ناحية أخرى، فإنها تعطي طريقة بسيطة لحساب التكامل المحدد:
التكامل المحدد للدالة المستمرة يساوي الفرق بين قيم أي من مشتقاتها العكسية، محسوبة للحدين العلوي والسفلي للتكامل.
تعليمات
التكامل هو عملية عكس التمايز. لذلك، إذا كنت تريد أن تتعلم كيفية التكامل بشكل جيد، فأنت بحاجة أولاً إلى تعلم كيفية العثور على مشتقات أي دوال. يمكنك تعلم هذا بسرعة كبيرة. بعد كل شيء، هناك مشتق خاص. بمساعدتها يمكنك بالفعل إجراء تكاملات بسيطة. يوجد أيضًا جدول للتكاملات الأساسية غير المحددة. هو مبين في الشكل.
عند إيجاد مجموع دالتين، ما عليك سوى التمييز بينهما واحدة تلو الأخرى وإضافة النتائج: (u+v)" = u"+v";
عند إيجاد مشتقة حاصل ضرب دالتين، من الضروري ضرب مشتقة الدالة الأولى في الثانية وإضافة مشتقة الدالة الثانية مضروبة في الدالة الأولى: (u*v)" = u"*v +v"*u;
من أجل العثور على مشتق حاصل قسمة دالتين، من الضروري طرح ناتج مشتقة المقسوم مضروبًا في دالة المقسوم عليه، ناتج مشتقة المقسوم عليه مضروبًا في دالة المقسوم عليه، ثم القسمة كل هذا من خلال دالة المقسوم عليها. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;
إذا تم إعطاء دالة معقدة، فمن الضروري ضرب مشتق الدالة الداخلية ومشتق الدالة الخارجية. دع y=u(v(x)) ثم y"(x)=y"(u)*v"(x).
باستخدام النتائج التي تم الحصول عليها أعلاه، يمكنك التمييز بين أي وظيفة تقريبًا. لذلك دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة:
y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;
y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *س));
هناك أيضًا مشاكل تتعلق بحساب المشتق عند نقطة ما. افترض أن الدالة y=e^(x^2+6x+5) معطاة، فأنت بحاجة إلى العثور على قيمة الدالة عند النقطة x=1.
1) أوجد مشتقة الدالة: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).
2) احسب قيمة الدالة عند نقطة معينة y"(1)=8*e^0=8
وظيفة F(س ) مُسَمًّى مشتق مضاد للوظيفة F(س) على فترة زمنية معينة، إذا كان للجميع س من هذه الفترة تتحقق المساواة
F"(س ) = F(س ) .
على سبيل المثال، الدالة و(س) = س 2 F(س ) = 2X ، لأن
و"(س) = (س 2 )" = 2س = و(س). ◄
الخاصية الرئيسية للمشتق المضاد
لو و(خ) - المشتق العكسي للدالة و (خ) في فترة زمنية معينة، ثم الدالة و (خ) يحتوي على عدد لا نهائي من المشتقات العكسية، ويمكن كتابة كل هذه المشتقات العكسية في الصورة و(خ) + ج، أين مع هو ثابت التعسفي.
على سبيل المثال. وظيفة و(س) = س 2 + 1 هو مشتق عكسي للوظيفة F(س ) = 2X ، لأن و"(س) = (س 2 + 1 )" = 2 س = و(س); وظيفة و(س) = س 2 - 1 هو مشتق عكسي للوظيفة F(س ) = 2X ، لأن و"(س) = (س 2 - 1)" = 2س = و(س) ; وظيفة و(س) = س 2 - 3 هو مشتق عكسي للوظيفة F(س) = 2X ، لأن و"(س) = (س 2 - 3)" = 2 س = و(س); أي وظيفة و(س) = س 2 + مع ، أين مع - ثابت اعتباطي، وهذه الوظيفة فقط هي المشتق العكسي للوظيفة F(س) = 2X . ◄ |
قواعد لحساب المشتقات العكسية
- لو و(خ) - مشتق مضاد ل و (خ) ، أ ز(خ) - مشتق مضاد ل ز (خ) ، الذي - التي و(خ) + ز(خ) - مشتق مضاد ل و(خ) + ز(خ) . بعبارة أخرى، المشتق العكسي للمجموع يساوي مجموع المشتقات العكسية .
- لو و(خ) - مشتق مضاد ل و (خ) ، و ك - ثابت إذن ك · و(خ) - مشتق مضاد ل ك · و (خ) . بعبارة أخرى، ويمكن إخراج العامل الثابت من إشارة المشتقة .
- لو و(خ) - مشتق مضاد ل و (خ) ، و ك,ب- ثابت، و ك ≠ 0 ، الذي - التي 1 / ك F(ك س+ب ) - مشتق مضاد ل F(ك س+ ب) .
تكامل غير محدد
تكامل غير محدد من الوظيفة و (خ) يسمى التعبير و(خ) + ج، أي مجموعة جميع المشتقات العكسية لدالة معينة و (خ) . يُشار إلى التكامل غير المحدد على النحو التالي:
∫ و(س) دكس = و(س) + ج ,
و (خ)- يسمونه وظيفة التكامل ;
و (خ) دكس- يسمونه تكامل ;
س - يسمونه متغير التكامل ;
و(خ) - إحدى الوظائف البدائية و (خ) ;
مع هو ثابت التعسفي.
على سبيل المثال، ∫ 2 س دكس =X 2 + مع , ∫ كوسس دكس =خطيئة X + مع وما إلى ذلك وهلم جرا. ◄
كلمة "لا يتجزأ" تأتي من الكلمة اللاتينية عدد صحيح ، وهو ما يعني "المستعادة". مع الأخذ في الاعتبار التكامل غير المحدد لـ 2 سيبدو أننا نستعيد الوظيفة X 2 ، الذي مشتقه يساوي 2 س. استعادة دالة من مشتقتها، أو ما هو مماثل، إيجاد تكامل غير محدد على تكامل معين يسمى اندماج هذه الوظيفة. التكامل هو العملية العكسية للتمايز للتحقق مما إذا كان التكامل قد تم بشكل صحيح، يكفي التمييز بين النتيجة والحصول على التكامل.
الخصائص الأساسية للتكامل غير المحدد
- مشتق التكامل غير المحدد يساوي التكامل:
- يمكن إخراج العامل الثابت للتكامل من علامة التكامل:
- تكامل مجموع (فرق) الوظائف يساوي مجموع (فرق) تكاملات هذه الوظائف:
- لو ك,ب- ثابت، و ك ≠ 0 ، الذي - التي
(∫ و (خ) دكس )" = و(س) .
∫ ك · و (خ) دكس = ك · ∫ و (خ) دكس .
∫ ( و(س) ± ز(س ) ) dx = ∫ و (خ) دكس ± ∫ ز(س ) dx .
∫ F ( ك س+ ب) dx = 1 / ك F(ك س+ب ) + ج .
جدول المشتقات العكسية والتكاملات غير المحددة
| و (خ)
| و(خ) + ج
| ∫
و(س) دكس = و(س) + ج
|
|
| أنا. | $$0$$ | $$ج$$ | $$\int 0dx=C$$ |
| ثانيا. | $$ك$$ | $$ككس+C$$ | $$\int kdx=kx+C$$ |
| ثالثا. | $$x^n~(n\neq-1)$$ | $$\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$ | $$\int x^ndx=\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$ |
| رابعا. | $$\frac(1)(x)$$ | $$\ln |x|+C$$ | $$\int\frac(dx)(x)=\ln |x|+C$$ |
| الخامس. | $$\الخطيئة ×$$ | $$-\cos x+C$$ | $$\int\sin x~dx=-\cos x+C$$ |
| السادس. | $$\كوس س$$ | $$\الخطيئة س+C$$ | $$\int\cos x~dx=\sin x+C$$ |
| سابعا. | $$\frac(1)(\cos^2x)$$ | $$\textrm(tg) ~x+C$$ | $$\int\frac(dx)(\cos^2x)=\textrm(tg) ~x+C$$ |
| ثامنا. | $$\frac(1)(\sin^2x)$$ | $$-\textrm(ctg) ~x+C$$ | $$\int\frac(dx)(\sin^2x)=-\textrm(ctg) ~x+C$$ |
| تاسعا. | $$ه^س$$ | $$ه^س+C$$ | $$\int e^xdx=e^x+C$$ |
| X. | $$أ^س$$ | $$\frac(a^x)(\ln a)+C$$ | $$\int a^xdx=\frac(a^x)(\ln a)+C$$ |
| الحادي عشر. | $$\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$$ | $$\arcsin x +C$$ | $$\int\frac(dx)(\sqrt(1-x^2))=\arcsin x +C$$ |
| الثاني عشر. | $$\frac(1)(\sqrt(a^2-x^2))$$ | $$\arcsin \frac(x)(a)+C$$ | $$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2-x^2))=\arcsin \frac(x)(a)+C$$ |
| الثالث عشر. | $$\frac(1)(1+x^2)$$ | $$\textrm(arctg) ~x+C$$ | $$\int \frac(dx)(1+x^2)=\textrm(arctg) ~x+C$$ |
| الرابع عشر. | $$\frac(1)(a^2+x^2)$$ | $$\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$ | $$\int \frac(dx)(a^2+x^2)=\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$ |
| الخامس عشر. | $$\frac(1)(\sqrt(a^2+x^2))$$ | $$\ln|x+\sqrt(a^2+x^2)|+C$$ | $$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2+x^2))=\ln|x+\sqrt(a^2+x^2)|+C$$ |
| السادس عشر. | $$\frac(1)(x^2-a^2)~(a\neq0)$$ | $$\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+C$$ | $$\int\frac(dx)(x^2-a^2)=\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+ ج$$ |
| السابع عشر. | $$\textrm(tg) ~x$$ | $$-\ln |\cos x|+C$$ | $$\int \textrm(tg) ~x ~dx=-\ln |\cos x|+C$$ |
| الثامن عشر. | $$\textrm(ctg) ~x$$ | $$\ln |\sin x|+C$$ | $$\int \textrm(ctg) ~x ~dx=\ln |\sin x|+C$$ |
| التاسع عشر. | $$ \frac(1)(\sin x) $$ | $$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$ | $$\int \frac(dx)(\sin x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$ |
| العشرين. | $$ \frac(1)(\cos x) $$ | $$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \right) \end(vmatrix)+C $$ | $$\int \frac(dx)(\cos x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \right ) \end(vmatrix)+C $$ |
| تسمى عادة التكاملات العكسية والتكاملات غير المحددة الواردة في هذا الجدول المشتقات المضادة الجدولية
و تكاملات الجدول
. |
|||
تكامل محدد
اسمحوا بينهما [أ; ب] يتم إعطاء وظيفة مستمرة ص = و(س) ، ثم التكامل المحدد من أ إلى ب المهام و (خ) ويسمى زيادة المشتق العكسي و(خ) هذه الوظيفة، وهذا هو
$$\int_(a)^(b)f(x)dx=F(x)|(_a^b) = ~~F(a)-F(b).$$
أعداد أو بيتم استدعاؤها وفقا لذلك أدنى و قمة حدود التكامل
القواعد الأساسية لحساب تكامل محدد
1. \(\int_(a)^(a)f(x)dx=0\);
2. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=- \int_(b)^(a)f(x)dx\);
3. \(\int_(a)^(b)kf(x)dx=k\int_(a)^(b)f(x)dx,\) حيث ك - ثابت؛
4. \(\int_(a)^(b)(f(x) ± g(x))dx=\int_(a)^(b)f(x) dx±\int_(a)^(b) ز(خ)دكس\);
5. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=\int_(a)^(c)f(x)dx+\int_(c)^(b)f(x)dx\);
6. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=2\int_(0)^(a)f(x)dx\)، حيث و (خ) - دالة زوجية؛
7. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=0\)، حيث و (خ) هي وظيفة غريبة.
تعليق . وفي جميع الحالات، يفترض أن التكاملات قابلة للتكامل على فترات رقمية، حدودها هي حدود التكامل.
المعنى الهندسي والمادي للتكامل المحدد
| معنى هندسي تكامل محدد | المعنى الجسدي
تكامل محدد |
 |  |
مربع سشبه منحرف منحني الأضلاع (رقم محدود بالرسم البياني للإيجابية المستمرة على الفاصل الزمني [أ; ب] المهام و (خ) ، المحور ثور ومستقيم س=أ , س = ب ) يتم حسابه بواسطة الصيغة $$S=\int_(a)^(b)f(x)dx.$$ | طريق سالتي تغلبت عليها النقطة المادية، فتحركت بشكل مستقيم وبسرعة متفاوتة حسب القانون الخامس (ر)
، لفترة من الزمن أ ;
ب] ، ثم مساحة الشكل محدودة بالرسوم البيانية لهذه الوظائف والخطوط المستقيمة س = أ
, س = ب
، يتم حسابه بواسطة الصيغة $$S=\int_(a)^(b)(f(x)-g(x))dx.$$ |
 | على سبيل المثال. لنحسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط ص = س 2 و ص= 2-x . دعونا نصور الرسوم البيانية لهذه الوظائف بشكل تخطيطي ونسلط الضوء بلون مختلف على الشكل الذي يجب العثور على مساحته. لإيجاد حدود التكامل نحل المعادلة: س 2 = 2-x ; س 2 + س- 2 = 0 ; س 1 = -2، س 2 = 1 . $$S=\int_(-2)^(1)((2-x)-x^2)dx=$$ |
$$=\int_(-2)^(1)(2-x-x^2)dx=\left (2x-\frac(x^2)(2)-\frac(x^3)(2) \يمين )\bigm|(_(-2)^(~1))=4\frac(1)(2). $$ ◄ |
|
حجم جسد الثورة
 | إذا تم الحصول على جسم نتيجة دورانه حول محور ثور شبه منحرف منحني الأضلاع يحده رسم بياني مستمر وغير سلبي على الفاصل الزمني [أ; ب] المهام ص = و(س) ومستقيم س = أو س = ب ، ثم يطلق عليه جسم الدوران . يتم حساب حجم الجسم الدوراني بواسطة الصيغة $$V=\pi\int_(a)^(b)f^2(x)dx.$$ إذا تم الحصول على جسم الدوران نتيجة لتدوير شكل محدد من الأعلى والأسفل برسوم بيانية للوظائف ص = و(س) و ص = ز(س) ، وفقا لذلك، ثم $$V=\pi\int_(a)^(b)(f^2(x)-g^2(x))dx.$$ |
 | على سبيل المثال. دعونا نحسب حجم المخروط مع نصف القطر ص
والارتفاع ح
. دعونا نضع المخروط في نظام إحداثي مستطيل بحيث يتطابق محوره مع المحور ثور
وكان مركز القاعدة يقع عند نقطة الأصل. دوران المولد أ.بيحدد المخروط. منذ المعادلة أ.ب $$\frac(x)(h)+\frac(y)(r)=1,$$ $$y=r-\frac(rx)(h)$$ |
| وبالنسبة لحجم المخروط الذي لدينا $$V=\pi\int_(0)^(h)(r-\frac(rx)(h))^2dx=\pi r^2\int_(0)^(h)(1-\frac( x)(h))^2dx=-\pi r^2h\cdot \frac((1-\frac(x)(h))^3)(3)|(_0^h)=-\pi r^ 2h\left (0-\frac(1)(3) \right)=\frac(\pi r^2h)(3).$$ ◄ |
|