اجعل مستوى "ألفا" موازيًا لمستوى "بيتا"، والخط "ب" يقع في مستوى "بيتا"، والنقطة "ب" تقع على الخط "ب". ومن الواضح أن المسافة من النقطة "ب" إلى مستوى "ألفا" تساوي المسافة من الخط "ب" إلى مستوى "ألفا" وتساوي المسافة بين مستويي "ألفا" و"بيتا".
خذ بعين الاعتبار خطين متقاطعين `a` و `b` . دعونا نرسم مستوى عبر الخط "أ" الموازي للخط "ب". لنرسم مستوى عبر الخط المستقيم `b`، عمودي على الطائرة`alpha`، ليكن خط تقاطع هذه المستويات `b_1` (هذا الخط هو إسقاط الخط `b` على المستوى `alpha`). دعنا نشير إلى نقطة تقاطع الخطين `a` و`b_1` بالرمز `A`. النقطة `A` هي إسقاط لنقطة ما `B` مستقيم "ب". من حقيقة أن `AB_|_alpha` يترتب على `AB_|_a` و`AB_|_b_1`؛ بالإضافة إلى ذلك `b``||``b_1`، تعني `AB_|_b` - . يتقاطع الخط AB مع الخطين المنحرفين `a` و`b` ويكون متعامدًا على كليهما. الجزء `AB` يسمى عمودي مشتركخطين متقاطعين.
طول العمود المشترك للخطوط المتقاطعة يساوي المسافة من أي نقطة على الخط"ب". إلى الطائرة"ألفا".
* المسافة بين خطوط العبوريساوي طول العمود المشترك بينهما. دع الخط المستقيم `l_1` يُعطى في الفضاء مع متجه اتجاه معروف `veca_1` ( ناقل الدليلالخط المستقيم هو متجه غير صفري موازي لهذا الخط المستقيم)، خط مستقيم `l_2` بمتجه اتجاه معروف `veca_2`، والنقطتين `A_1` و`A_2` تقعان على `l_1` و`l_2` على التوالي، بالإضافة إلى ذلك، المتجه `vec( A_1A_2)=vecr`. اجعل القطعة `P_1P_2` متعامدة مشتركة مع `l_1` و `l_2` (انظر الشكل 9). المهمة هي العثور على طول هذا الجزء. لنمثل المتجه `vec(P_1P_2)` كمجموع `vec(P_1A_1)+vec(A_1A_2)+vec(A_2P_2)`. بعد ذلك، باستخدام العلاقة الخطية المتداخلة بين المتجهات `vec(P_1A_1)` و`veca_1` و`vec(A_2P_2)` و`veca_2`، نحصل على التمثيل `vec(P_1P_2)=xveca_1 للمتجه `vec(P_1P_2)` +yveca_2+vecr`، حيث `x` و`y` هما رقمان غير معروفين حاليًا. يمكن العثور على هذه الأرقام بشرط أن يكون المتجه `vec(P_1P_2)` عموديًا على المتجهين `veca_1` و`veca_2`، أي من نظام المعادلات الخطية التالي:
س أ → 1 + ص أ → 2 + ص → · أ → 1 = 0، س أ → 1 + ص أ → 2 + ص → · أ → 2 = 0. \left\(\begin(array)(l)\left(x(\overrightarrow a)_1+y(\overrightarrow a)_2+\overrightarrow r\right)\cdot(\overrightarrow a)_1=0,\\\ left(x(\overrightarrow a)_1+y(\overrightarrow a)_2+\overrightarrow r\right)\cdot(\overrightarrow a)_2=0.\end(array)\right.
بعد ذلك نجد طول المتجه `vec(P_1P_2):`
`P_1P_2=sqrt((xveca_1+yveca_2+vecr)^2)`.
احسب المسافة بين القطرين المتقاطعين لوجهين متجاورين لمكعب حرفه "أ".
دع المكعب `A...D_1` ذو الحافة `a` يُعطى. لنجد المسافة بين الخطين `AD_1` و `DC_1` (الشكل 10). دعونا نقدم الأساس `veca=vec(DA)`، `vecb=vec(DC)`، `vecc=vec(DD_1)`. بالنسبة لمتجهات الاتجاه للخطين `AD_1` و`DC_1` يمكننا أن نأخذ `vec(AD_1)=vecc-veca` و`vec(DC_1)=vecb+vecc`. إذا كان `P_1P_2` عموديًا شائعًا على الخطوط قيد النظر، فعندئذٍ `vec(P_1P_2)=x(vecc-veca)+y(vecb+vecc)+veca`.
لنقم بإنشاء نظام معادلات للعثور على الأعداد المجهولة `x` و `y`:
س ج → - أ → + ص ب → + ج → + أ → · ج → - أ → = 0 , x ج → - أ → + ص ب → + ج → + أ → · ب → + ج → = 0 . \left\(\begin(array)(l)\left(x\left(\overrightarrow c-\overrightarrow a\right)+y\left(\overrightarrow b+\overrightarrow c\right)+\overrightarrow a\right) \cdot\left(\overrightarrow c-\overrightarrow a\right)=0,\\\left(x\left(\overrightarrow c-\overrightarrow a\right)+y\left(\overrightarrow b+\overrightarrow c\right )+\overrightarrow a\right)\cdot\left(\overrightarrow b+\overrightarrow c\right)=0.\end(array)\right.
دعونا نختصر هذا النظام إلى نظام مكافئ:
2 س + ص - 1 = 0، س + 2 ص = 0. \left\(\begin(array)(l)2x+y-1=0,\\x+2y=0.\end(array)\right.
من هنا نجد `x=2/3`، `y=-1/3`. ثم
`vec(P_1P_2)=2/3(vecc-veca)-1/3(vecb+vecc)+veca=1/3veca-1/3vecb+1/3vecc`,
ولم تمضِ دقيقة واحدة حتى قمت بإنشاء ملف Verdov جديد واستمريت على هذا المنوال موضوع رائع. تحتاج إلى التقاط لحظات من مزاج العمل، لذلك لن تكون هناك مقدمة غنائية. سيكون هناك صفع مبتذل =)
يمكن لمسافتين مستقيمتين:
1) التهجين.
2) تتقاطع عند النقطة ;
3) تكون متوازية.
4) المباراة.
القضية رقم 1 تختلف اختلافًا جوهريًا عن القضايا الأخرى. يتقاطع خطان مستقيمان إذا لم يقعا في نفس المستوى. ارفع ذراعًا للأعلى ومد الذراع الأخرى للأمام - إليك مثال على عبور الخطوط. في النقاط رقم 2-4 يجب أن تقع الخطوط المستقيمة في طائرة واحدة.
كيفية معرفة المواضع النسبية للخطوط في الفضاء؟
فكر في مساحتين مباشرتين:
- خط مستقيم محدد بنقطة ومتجه اتجاه؛
– خط مستقيم محدد بنقطة ومتجه اتجاه.
للحصول على فهم أفضل، دعونا نرسم رسمًا تخطيطيًا: 
يظهر الرسم الخطوط المستقيمة المتقاطعة كمثال.
كيفية التعامل مع هذه الخطوط المستقيمة؟
وبما أن النقاط معروفة، فمن السهل العثور على المتجه.
إذا كان مستقيما هجنثم المتجهات لا متحد المستوى(انظر الدرس الاعتماد الخطي (غير) للمتجهات. أساس المتجهات)، وبالتالي فإن المحدد المكون من إحداثياتها ليس صفرًا. أو، وهو في الواقع نفس الشيء، سيكون غير صفر: 
.
في الحالات رقم 2-4، "يندرج" هيكلنا في مستوى واحد، والمتجهات متحد المستوى، والمنتج المختلط خطي ناقلات تابعةيساوي الصفر: 
.
دعونا نوسع الخوارزمية بشكل أكبر. لنفترض ذلك 
ولذلك فإن المستقيمين إما أن يتقاطعا، أو أن يكونا متوازيين، أو أن يتطابقا.
إذا كانت ناقلات الاتجاه على استطراد، فالخطوط إما متوازية أو متطابقة. بالنسبة للظفر الأخير، أقترح التقنية التالية: خذ أي نقطة على خط واحد واستبدل إحداثياتها في معادلة الخط الثاني؛ إذا كانت الإحداثيات "متوافقة"، فإن الخطوط متطابقة، وإذا كانت "غير متوافقة"، فإن الخطوط متوازية.
الخوارزمية بسيطة، ولكن أمثلة عمليةلا يزال لن يضر:
مثال 11
معرفة الموقع النسبي لخطين
حل: كما هو الحال في العديد من المسائل الهندسية، من الملائم صياغة الحل نقطة بنقطة:
1) نخرج النقاط ومتجهات الاتجاه من المعادلات:
2) ابحث عن المتجه:
وبالتالي، فإن المتجهات متحدة المستوى، مما يعني أن الخطوط تقع في نفس المستوى ويمكن أن تتقاطع أو تكون متوازية أو متطابقة.
4) دعونا نتحقق من متجهات الاتجاه للعلاقة الخطية المتداخلة.
لنقم بإنشاء نظام من الإحداثيات المقابلة لهذه المتجهات:
من الجميعويترتب على المعادلات أن النظام متسق، والإحداثيات المقابلة للمتجهات متناسبة، والمتجهات على خط واحد.
الخلاصة: الخطوط متوازية أو متطابقة.
5) دعونا معرفة ما إذا كان هناك خطوط مستقيمة النقاط المشتركة. لنأخذ نقطة تنتمي إلى السطر الأول ونعوض بإحداثياتها في معادلات الخط: 
وبالتالي، ليس بين الخطوط نقاط مشتركة، وليس أمامها خيار سوى أن تكون متوازية.
إجابة:
مثال مثير للاهتمامل قرار مستقل:
مثال 12
معرفة المواضع النسبية للخطوط
هذا مثال لك لحله بنفسك. يرجى ملاحظة أن السطر الثاني يحتوي على الحرف كمعلمة. منطقي. في حالة عامة- هذان سطران مختلفان، لذا فإن كل سطر له معلمته الخاصة.
ومرة أخرى أحثك على عدم تخطي الأمثلة، فالمهام التي أقترحها بعيدة كل البعد عن كونها عشوائية ;-)
مشاكل مع خط في الفضاء
في الجزء الأخير من الدرس سأحاول النظر فيه الحد الأقصى للكمية مهام مختلفةمع الخطوط المكانية. في هذه الحالة، سيتم ملاحظة الترتيب الأصلي للقصة: أولاً سننظر في مشاكل الخطوط المتقاطعة، ثم الخطوط المتقاطعة، وفي النهاية سنتحدث عن الخطوط المتوازية في الفضاء. ومع ذلك، يجب أن أقول إن بعض مهام هذا الدرس يمكن صياغتها لعدة حالات لتحديد موقع الخطوط في وقت واحد، وفي هذا الصدد، فإن تقسيم القسم إلى فقرات هو أمر تعسفي إلى حد ما. هناك المزيد أمثلة بسيطة، هناك المزيد أمثلة معقدة، وأتمنى أن يجد الجميع ما يحتاجون إليه.
عبور الخطوط
اسمحوا لي أن أذكرك أن الخطوط المستقيمة تتقاطع إذا لم يكن هناك مستوى يقع فيه كلاهما. عندما كنت أفكر في هذه الممارسة، خطرت في ذهني مشكلة وحشية، ويسعدني الآن أن أقدم انتباهكم إلى تنين بأربعة رؤوس:
مثال 13
نظرا للخطوط المستقيمة. مطلوب:
أ) إثبات أن الخطوط متقاطعة.
ب) أوجد معادلات الخط المستقيم الذي يمر بنقطة عمودية على المستقيمين المعينين؛
ج) قم بتكوين معادلات الخط المستقيم الذي يحتوي على عمودي مشتركخطوط العبور
د) أوجد المسافة بين السطور.
حل: الذي يمشي سيتقن الطريق:
أ) لنثبت أن الخطوط متقاطعة. لنجد النقاط ومتجهات الاتجاه لهذه الخطوط: 
لنجد المتجه:
دعونا نحسب منتج مختلط من المتجهات:
وهكذا ناقلات لا متحد المستوىأي أن الخطوط متقاطعة، وهو ما يحتاج إلى إثبات.
ربما لاحظ الجميع منذ فترة طويلة أن خوارزمية التحقق هي الأقصر لعبور الخطوط.
ب) أوجد معادلات الخط المستقيم الذي يمر بالنقطة وعمودي على المستقيمين. لنقم بعمل رسم تخطيطي: 
من أجل التغيير نشرت مباشرة لمباشرة، انظر كيف تمحى قليلا عند نقاط العبور. تهجين؟ نعم، بشكل عام، سيتم تقاطع الخط المستقيم "دي" مع الخطوط المستقيمة الأصلية. بالرغم من في اللحظةنحن لسنا مهتمين بذلك بعد، كل ما نحتاجه هو رسم خط متعامد، وهذا كل شيء.
ما هو المعروف عن "دي" المباشر؟ والنقطة التابعة له معروفة. ليس هناك ما يكفي من ناقلات الدليل.
ووفقا للشرط، يجب أن يكون الخط المستقيم متعامدا مع الخطوط المستقيمة، مما يعني أن متجه اتجاهه سيكون متعامدا مع متجهات الاتجاه. كما تعلمنا من المثال رقم 9، دعونا نوجد حاصل الضرب المتجه:
لنقم بتكوين معادلات الخط المستقيم "de" باستخدام نقطة ومتجه اتجاه:
مستعد. من حيث المبدأ، يمكنك تغيير العلامات الموجودة في المقامات وكتابة الإجابة في النموذج 
، ولكن ليست هناك حاجة لهذا.
للتحقق، تحتاج إلى استبدال إحداثيات النقطة في معادلات الخط المستقيم الناتجة، ثم استخدامها المنتج العددي للمتجهاتتأكد من أن المتجه متعامد حقًا مع متجهي الاتجاه "pe one" و"pe two".
كيف تجد معادلات الخط الذي يحتوي على عمودي مشترك؟
ج) ستكون هذه المشكلة أكثر صعوبة. أنصح الأغبياء بتخطي هذه النقطة، فلا أريد أن أخفف من تعاطفكم الصادق معها الهندسة التحليلية=) بالمناسبة، قد يكون من الأفضل للقراء الأكثر استعدادًا أن يمتنعوا أيضًا؛ والحقيقة هي أنه نظرًا لتعقيده، يجب وضع المثال في آخر المقالة، ولكن وفقًا لمنطق العرض، يجب أن يكون كذلك. تقع هنا.
لذلك، أنت بحاجة إلى إيجاد معادلات الخط الذي يحتوي على عمودي مشترك على خطوط الانحراف.
- هذا هو الجزء الذي يصل بين هذه الخطوط وعمودي على هذه الخطوط: 
هذا هو رجلنا الوسيم: - المتعامد المشترك للخطوط المتقاطعة. إنه الوحيد. لا يوجد شيء آخر مثل ذلك. علينا إنشاء معادلات للخط الذي يحتوي على هذه القطعة.
ما هو المعروف عن "أم" المباشر؟ متجه اتجاهه معروف، موجود في الفقرة السابقة. ولكننا، للأسف، لا نعرف نقطة واحدة تنتمي إلى الخط المستقيم "إم"، ولا نعرف طرفي المتعامد - النقاط. أين يتقاطع هذا الخط المتعامد مع الخطين الأصليين؟ في أفريقيا، في القارة القطبية الجنوبية؟ من المراجعة والتحليل الأولي للحالة، ليس من الواضح على الإطلاق كيفية حل المشكلة... ولكن هناك خطوة ماكرة، المرتبطة باستخدام معادلات الخط المستقيم البارامترية.
وسوف نقوم بصياغة القرار نقطة نقطة:
1) لنعد كتابة معادلات السطر الأول في الصورة البارامترية: 
دعونا نفكر في هذه النقطة. نحن لا نعرف الإحداثيات. لكن. إذا كانت هناك نقطة تنتمي إلى خط معين، فإن إحداثياتها تتوافق مع، فلنرمز إليها بـ . ثم ستكتب إحداثيات النقطة على الشكل:
الحياة تتحسن، المجهول الواحد ليس ثلاثة مجهولين.
2) يجب تنفيذ نفس الغضب على النقطة الثانية. دعونا نعيد كتابة معادلات السطر الثاني في صورة بارامترية: 
إذا كانت النقطة تنتمي إلى خط معين، إذن مع معنى محدد جدايجب أن تفي إحداثياتها بالمعادلات البارامترية:
أو: 
3) المتجه، مثل المتجه الذي تم العثور عليه سابقًا، سيكون المتجه الموجه للخط المستقيم. تمت مناقشة كيفية إنشاء ناقل من نقطتين في زمن سحيقفي الصف ناقلات للدمى. الفرق الآن هو أن إحداثيات المتجهات مكتوبة قيم غير معروفةحدود. وماذا في ذلك؟ لا أحد يمنع طرح الإحداثيات المقابلة لبداية المتجه من إحداثيات نهاية المتجه.
هناك نقطتان: 
.
العثور على المتجه:
4) نظرًا لأن متجهات الاتجاه متداخلة، يتم التعبير عن أحد المتجهات خطيًا من خلال الآخر بمعامل تناسب معين "لامدا":
أو التنسيق حسب الإحداثيات: 
اتضح أنه الأكثر عادية نظام المعادلات الخطيةمع ثلاثة مجهولين، والتي يمكن حلها بشكل قياسي، على سبيل المثال، طريقة كريمر. ولكن هنا هناك فرصة للخروج بخسارة قليلة، فلنعبر عن "لامدا" من المعادلة الثالثة ونعوض بها في المعادلتين الأولى والثانية:
هكذا: 
ولسنا بحاجة إلى "لامدا". حقيقة أن قيم المعلمات هي نفسها هي مجرد حادث.
5) السماء صافية تمامًا، فلنستبدل القيم التي وجدناها 
إلى نقاطنا:
ليست هناك حاجة إلى متجه الاتجاه بشكل خاص، حيث تم العثور على نظيره بالفعل.
من المثير للاهتمام دائمًا التحقق بعد رحلة طويلة.
:
يتم الحصول على المساواة الصحيحة.
لنعوض بإحداثيات النقطة في المعادلات 
:
يتم الحصول على المساواة الصحيحة.
6) الوتر الأخير: لنقم بإنشاء معادلات الخط المستقيم باستخدام نقطة (يمكنك أخذها) ومتجه الاتجاه:
من حيث المبدأ، يمكنك تحديد نقطة "جيدة" بإحداثيات سليمة، ولكن هذا أمر تجميلي.
كيفية العثور على المسافة بين الخطوط المتقاطعة؟
د) قطعنا الرأس الرابع للتنين.
الطريقة الأولى. ولا حتى طريقة، بل طريقة صغيرة حالة خاصة. المسافة بين الخطوط المتقاطعة تساوي طول العمود المشترك بينهما: 
.
النقاط المتطرفةعمودي مشترك 
وجدت في الفقرة السابقة، والمهمة أساسية:
الطريقة الثانية. من الناحية العملية، غالبًا ما تكون نهايات المتعامد المشترك غير معروفة، لذلك يتم استخدام نهج مختلف. يمكن رسم المستويين المتوازيين من خلال خطين مستقيمين متقاطعين، والمسافة بين هذين المستويين تساوي المسافة بين هذين الخطين المستقيمين. على وجه الخصوص، يبرز عمودي مشترك بين هذه الطائرات.
في سياق الهندسة التحليلية، من الاعتبارات المذكورة أعلاه، يتم اشتقاق صيغة لإيجاد المسافة بين الخطوط المستقيمة المتقاطعة: 
(بدلاً من نقاطنا "أم واحد، اثنان" يمكنك أن تأخذها نقاط تعسفيةخطوط مستقيمة).
منتج مختلط من المتجهاتوجدت بالفعل في النقطة "أ": 
.
منتج متجه من المتجهاتوجدت في الفقرة "يكون": 
، فلنحسب طوله:
هكذا:
دعونا نعرض الجوائز بفخر في صف واحد:
إجابة:
أ) 
، وهو ما يعني أن الخطوط المستقيمة متقاطعة، وهذا هو المطلوب إثباته؛
ب) 
;
الخامس) 
;
ز) 
ماذا يمكنك أن تقول أيضًا عن عبور الخطوط؟ هناك زاوية محددة بينهما. لكن صيغة عالميةسننظر في الزاوية في الفقرة التالية:
المساحات المستقيمة المتقاطعة تقع بالضرورة في نفس المستوى: 
الفكرة الأولى هي الدفع بكل قوتك إلى نقطة التقاطع. وفكرت على الفور، لماذا تنكر نفسك الرغبات الصحيحة؟! دعونا نتغلب عليها الآن!
كيفية العثور على نقطة تقاطع الخطوط المكانية؟
مثال 14
العثور على نقطة تقاطع الخطوط
حل: لنعد كتابة معادلات الخطوط في الصورة البارامترية: 
هذه المهمةتمت مناقشته بالتفصيل في المثال رقم 7 من هذا الدرس (انظر. معادلات الخط في الفضاء). وبالمناسبة، أخذت الخطوط المستقيمة نفسها من المثال رقم 12. ولن أكذب، فأنا كسول جدًا بحيث لا أستطيع ابتكار خطوط جديدة.
الحل قياسي وقد تم مواجهته بالفعل عندما كنا نحاول معرفة معادلات العمود المشترك للخطوط المتقاطعة.
نقطة تقاطع الخطوط تنتمي إلى الخط، وبالتالي فإن إحداثياته تلبي المعادلات البارامترية لهذا الخط، وتتوافق معها تمامًا معنى محددالمعلمة:
لكن هذه النقطة نفسها تنتمي أيضًا إلى السطر الثاني، وبالتالي: 
نحن نساوي المعادلات المقابلة ونقوم بالتبسيط: 
تلقى نظام ثلاثةالمعادلات الخطية ذات المجهولين. فإذا تقاطعت الخطوط (وهو ما أثبته المثال رقم 12)، فالنظام بالضرورة متسق وله حل فريد. يمكن حلها طريقة غاوسيةلكن دعونا لا نخطئ في صنم رياض الأطفال هذا، فلنفعل الأمر بشكل أبسط: من المعادلة الأولى نعبر عن "te صفر" ونعوض به في المعادلتين الثانية والثالثة: 
تبين أن المعادلتين الأخيرتين متماثلتان بشكل أساسي، ويترتب على ذلك أن . ثم:
دعنا نستبدل القيمة الموجودة للمعلمة في المعادلات: 
إجابة:
للتحقق، نستبدل القيمة التي تم العثور عليها للمعلمة في المعادلات: 
تم الحصول على نفس الإحداثيات التي يجب التحقق منها. يمكن للقراء الدقيقين استبدال إحداثيات النقطة في المعادلات القانونية الأصلية للخطوط.
بالمناسبة، كان من الممكن القيام بالعكس: العثور على النقطة من خلال "es صفر"، والتحقق منها من خلال "te صفر".
تقول إحدى الخرافات الرياضية الشهيرة: عندما تتم مناقشة تقاطع الخطوط، هناك دائمًا رائحة الخطوط المتعامدة.
كيفية بناء خط من الفضاء عمودي على واحد معين؟
(الخطوط تتقاطع)
مثال 15
أ) اكتب معادلات الخط المستقيم الذي يمر بنقطة عمودية على الخط 
(الخطوط متقاطعة).
ب) أوجد المسافة من النقطة إلى الخط.
ملحوظة
: جملة "الخطوط تتقاطع" - بارِز. من خلال النقطة
يمكنك رسم عدد لا نهائي من الخطوط المتعامدة التي تتقاطع مع الخط المستقيم "el". الحل الوحيديحدث في حالة عندما، من خلال هذه النقطةيتم رسم خط مستقيم عموديا اثنينيُعطى بخط مستقيم (انظر المثال رقم 13، النقطة "ب").
أ) حل: نشير إلى السطر المجهول بـ . لنقم بعمل رسم تخطيطي:
ماذا يعرف عن الخط المستقيم؟ وفقا للشرط، يتم إعطاء نقطة. من أجل تكوين معادلات خط مستقيم، من الضروري إيجاد متجه الاتجاه. المتجه مناسب تمامًا لمثل هذا المتجه، لذلك سنتعامل معه. بتعبير أدق، لنأخذ النهاية المجهولة للناقل من مؤخرة العنق.
1) لنخرج متجه اتجاهه من معادلات الخط المستقيم "el"، ونعيد كتابة المعادلات نفسها في الصورة البارامترية: 
خمن الكثيرون أن الساحر سيحصل الآن للمرة الثالثة خلال الدرس البجعة البيضاءمن قبعة. خذ بعين الاعتبار نقطة ذات إحداثيات غير معروفة. بما أن النقطة هي، فإن إحداثياتها تحقق المعادلات البارامترية للخط المستقيم "el" وتتوافق مع قيمة معلمة محددة:
أو في سطر واحد:
2) وفقا للشرط، يجب أن تكون الخطوط متعامدة، وبالتالي فإن متجهات اتجاهها تكون متعامدة. وإذا كانت المتجهات متعامدة، فهي كذلك منتج نقطةيساوي الصفر: 
ماذا حدث؟ أبسط معادلة خطيةمع واحد مجهول: 
3) قيمة المعلمة معروفة، لنجد النقطة:
وناقل الاتجاه:
.
4) سنقوم بتكوين معادلات الخط المستقيم باستخدام نقطة ومتجه اتجاه 
:
تبين أن قواسم النسبة كسرية، وهذا هو الحال بالضبط عندما يكون من المناسب التخلص من الكسور. سأضربهم في -2: 
إجابة: 
ملحوظة
: يتم صياغة نهاية أكثر صرامة للحل على النحو التالي: دعونا نؤلف معادلات الخط المستقيم باستخدام نقطة ومتجه الاتجاه 
. في الواقع، إذا كان المتجه هو المتجه الموجه للخط المستقيم، فإن المتجه الخطي المتداخل، بطبيعة الحال، سيكون أيضًا المتجه الموجه لهذا الخط المستقيم.
يتكون التحقق من مرحلتين:
1) التحقق من متجهات الاتجاه للخطوط للتعامد؛
2) نستبدل إحداثيات النقطة في معادلات كل سطر، ويجب أن "تتناسب" هناك وهناك.
كان هناك الكثير من الحديث عن الإجراءات النموذجية، لذلك قمت بالتحقق من المسودة.
بالمناسبة، لقد نسيت نقطة أخرى - بناء نقطة "Zyu". نقطة متناظرة"en" هي "el" مستقيمة نسبيًا. ومع ذلك، هناك "تناظرية مسطحة" جيدة، والتي يمكن العثور عليها في المقالة أبسط المسائل المتعلقة بالخط المستقيم على المستوى. هنا سيكون الاختلاف الوحيد في الإحداثيات "Z" الإضافية.
كيفية العثور على المسافة من نقطة إلى خط في الفضاء؟
ب) حل: دعونا نجد المسافة من نقطة إلى خط.
الطريقة الأولى. هذه المسافةيساوي بالضبط طول العمودي : . الحل واضح: إذا عرفت النقاط 
، الذي - التي:
الطريقة الثانية. في مشاكل عمليةغالبًا ما تكون قاعدة العمودي سرًا مختومًا، لذا فمن الأكثر عقلانية استخدام صيغة جاهزة.
يتم التعبير عن المسافة من نقطة إلى خط بالصيغة: 
، أين هو المتجه الموجه للخط المستقيم "el"، و - حرنقطة تنتمي إلى خط معين.
1) من معادلات الخط 
نخرج متجه الاتجاه والنقطة الأكثر سهولة للوصول.
2) النقطة معروفة من الشرط، شحذ المتجه:
3) دعونا نجد منتج ناقلوحساب طوله: 
4) احسب طول المتجه الدليلي:
5) وبالتالي فإن المسافة من نقطة إلى خط:
الهندسة. الصف الحادي عشر
موضوع الدرس: المسافة بين خطوط العبور
تير أوفانيسيان جي إل، مدرس أعلى فئةالحائز على جائزة مؤسسة سوروس
موسكو
دعونا نفكر في مشكلة إيجاد المسافة بين خطوط العبور. المسافة بين الخطوط المتقاطعة هي طول العمود المشترك على هذه الخطوط.
لنحصل على مكعب ABCDA 1 B 1 C 1 D 1، حافته تساوي الوحدة AB = 1. أنت بحاجة إلى إيجاد المسافة بين الخطوط المستقيمة AB و DC 1: ρ(AB;DC 1) - ?
يقع هذان الخطان في مستويين متوازيين: AB يقع في المستوى AA 1 B 1 B، وDC 1 يقع في المستوى D 1 DC 1 C. دعونا أولًا نوجد العمود العمودي على هاتين المستويين. هناك العديد من هذه الخطوط المتعامدة في الشكل. هذا هو الجزء قبل الميلاد، ب 1 ج 1، أ 1 د 1 و م. من بين هذه، من المنطقي اختيار القطعة المستقيمة التي ليست عمودية على هذه المستويات فحسب، وبالتالي متعامدة مع خطينا المستقيمين AB وDC 1، ولكنها تمر أيضًا عبر هذه الخطوط المستقيمة. مثل هذا الجزء هو م. وهو متعامد في نفس الوقت على الخط المستقيم AB لأنه عمودي على المستوى AA 1 B 1 B وعلى الخط المستقيم DC 1 لأنه عمودي على المستوى D 1 DC 1 C. وهذا يعني أن AD هو العمود المشترك عمودي على تقاطع الخطين المستقيمين AB و DC 1. والمسافة بين هذه الخطوط المستقيمة هي طول هذا العمود، أي طول القطعة AD. لكن AD هي حافة المكعب. وبالتالي فإن المسافة هي 1:
ρ(AB;DC 1)=AD=1
دعونا نفكر في مشكلة أخرى، أكثر تعقيدًا قليلًا، تتعلق بإيجاد المسافة بين الخطوط المتقاطعة.
لنحصل مرة أخرى على مكعب ضلعه يساوي واحدًا. أنت بحاجة إلى إيجاد المسافة بين أقطار الوجوه المتقابلة. أي أنه بالنظر إلى المكعب ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. الحافة AB=1. أنت بحاجة إلى إيجاد المسافة بين الخطوط المستقيمة BA 1 و DC 1: ρ(A 1 B; DC 1) - ؟
وهذان الخطان متقاطعان، مما يعني أن المسافة هي طول العمود المشترك. بدلا من رسم عمودي عام، يمكنك صياغة على النحو التالي: هذا هو طول العمودي بينهما طائرات متوازية، حيث تكمن هذه الخطوط. يقع الخط المستقيم BA 1 في المستوى АВВ 1 А 1 ، ويقع الخط المستقيم DC 1 في المستوى D 1 DCC 1 . وهما متوازيان، مما يعني أن المسافة بينهما هي المسافة بين هذه الخطوط المستقيمة. والمسافة بين وجهي المكعب تساوي طول ضلعه. على سبيل المثال، طول الضلع قبل الميلاد. لأن BC عمودي على كل من المستوى АВВ 1 А 1 والمستوى DСС 1 D 1. وهذا يعني أن المسافة بين الخطوط المستقيمة الواردة في الشرط تساوي المسافة بين المستويين المتوازيين وتساوي 1:
ρ(أ 1 ب؛ العاصمة 1)= قبل الميلاد = 1
لنفكر في مشكلة أخرى تتعلق بإيجاد المسافة بين خطوط العبور.
دعونا نعطي الصحيح المنشور الثلاثي، والتي تُعرف بها جميع الحواف. تحتاج إلى العثور على المسافة بين حواف القواعد العلوية والسفلية. وهذا يعني أننا حصلنا على منشور ABCA 1 B 1 C 1. علاوة على ذلك، AB=3=AA1. أنت بحاجة إلى إيجاد المسافة بين الخطوط المستقيمة BC و A 1 C 1: ρ(BC;A 1 C 1) - ?
وبما أن هذه الخطوط متقاطعة، فإن المسافة بينها هي طول العمود المشترك، أو طول العمود على المستويين المتوازيين اللذين تقع عليهما. دعونا نجد هذه الطائرات المتوازية.
الشمس المباشرة تكمن في طائرة اي بي سي، والخط المستقيم A 1 C 1 يقع في المستوى A 1 B 1 C 1. هاتان المستويتان متوازيتان لأنهما القاعدتان العلوية والسفلية للمنشور. وهذا يعني أن المسافة بين الخطين المستقيمين هي المسافة بين هذين المستويين المتوازيين. والمسافة بينهما تساوي الطول تمامًا الضلع الجانبي AA 1، أي يساوي 3:
ρ(ق؛أ 1 ج 1)=أأ 1 =3
في هذا مهمة محددةلا يمكنك العثور على طول العمود المتعامد فحسب، بل يمكنك أيضًا بنائه. للقيام بذلك، من جميع الحواف الجانبية نختار واحدة لها نقاط مشتركة مع الخط المستقيم BC و A 1 C 1. في الشكل لدينا هذه هي الحافة CC 1. سيكون عموديًا على الخط المستقيم A 1 C 1 لأنه عمودي على مستوى القاعدة العلوية، وعلى الخط المستقيم BC لأنه عمودي على مستوى القاعدة السفلية. وبالتالي، لا يمكننا إيجاد المسافة فحسب، بل يمكننا أيضًا إنشاء هذا العمود العام.
تذكرنا اليوم في الدرس كيفية إيجاد طول العمود المشترك بين المستقيمات المتقاطعة.
تهدف المقالة إلى إيجاد المسافة بين الخطوط المتقاطعة باستخدام طريقة الإحداثيات. سيتم النظر في تحديد المسافة بين هذه الخطوط، وسنحصل على خوارزمية سنحول من خلالها تحديد المسافة بين خطوط التقاطع. دعونا ندمج الموضوع من خلال حل أمثلة مماثلة.
Yandex.RTB RA-A-339285-1
من الضروري أولاً إثبات النظرية التي تحدد العلاقة بين خطوط التقاطع المحددة.
الفصل الموقف النسبيتقول الخطوط المستقيمة في الفضاء أنه إذا تم استدعاء خطين مستقيمين متقاطعين إذا لم يكن موقعهما في نفس المستوى.
نظرية
من خلال كل زوج من الخطوط المستقيمة المتقاطعة يمكن تمرير مستوى موازٍ للخط المعطى، وواحد فقط.
دليل
بالشرط، يتم إعطاؤنا خطين منحرفين a وb. من الضروري إثبات نفاذية مستوى واحد عبر خط ب موازٍ لخط معين أ. يجب تطبيق برهان مماثل على الخط أ، الذي يمر عبره مستوى موازٍ لخط معين ب.
تحتاج أولاً إلى تحديد النقطة Q على السطر b. وإذا تابعنا من تعريف توازي الخطوط نجد أنه من خلال نقطة في الفضاء يمكن رسم خط موازي لخط معين، وواحد فقط. وهذا يعني أن خطًا واحدًا فقط يمر عبر النقطة Q، موازيًا للمستقيم a. دعونا نأخذ التدوين a 1 .
وقد جاء في باب طرق تحديد المستوى أن مرور المستوى الواحد يمكن أن يمر عبر خطين متقاطعين. هذا يعني أننا نجد أن الخطين b وa 1 هما خطان متقاطعان يمر عبرهما المستوى الذي يشير إلى χ.
بناءً على إشارة أن الخط الموازي للمستوى، يمكننا أن نستنتج أن الخط المستقيم المعطى a يوازي المستوى χ، لأن الخط المستقيم a يوازي الخط المستقيم a 1 الموجود في المستوى χ.
المستوى χ فريد من نوعه، حيث أن الخط الذي يمر عبر خط معين موجود في الفضاء يكون موازيًا للخط المحدد. دعونا نلقي نظرة على الصورة المقدمة أدناه.
عند الانتقال من تحديد المسافة بين الخطوط المستقيمة المتقاطعة، نحدد المسافة من خلال المسافة بين الخط المستقيم والمستوى الموازي له.
التعريف 1
تسمى المسافة بين أحد المستقيمين المتقاطعين والمستوى الموازي له المار بالخط الآخر.
أي أن المسافة بين الخط المستقيم والمستوى هي المسافة من نقطة معينة إلى المستوى. ثم يتم تطبيق صيغة تحديد المسافة بين خطوط العبور.
التعريف 2
المسافة بين خطوط العبورنسمي المسافة من نقطة معينة من تقاطع الخطوط إلى مستوى يمر عبر خط آخر موازي للخط الأول.
سوف ننتج النظر التفصيليالخطوط المستقيمة أ و ب. تقع النقطة M 1 على الخط a، ومن خلال الخط b يتم رسم المستوى χ بالتوازي مع الخط a. من النقطة M 1 نرسم عموديًا M 1 H 1 على المستوى χ. طول هذا العمود هو المسافة بين خطي التقاطع a وb. دعونا ننظر إلى الشكل أدناه.
إيجاد المسافة بين الخطوط المتقاطعة - النظرية والأمثلة والحلول
يتم العثور على المسافات بين الخطوط المتقاطعة عند إنشاء القطعة. المسافة المطلوبة تساوي طول هذا الجزء. ووفقا لشروط المشكلة، يتم تحديد طولها من خلال نظرية فيثاغورس، أو من خلال علامات المساواة أو التشابه في المثلثات، أو غيرها.
عندما يكون لدينا مساحة ثلاثية الأبعاد بنظام إحداثيات O x y z مع وجود خطوط مستقيمة a و b فيه، فيجب إجراء الحسابات بدءًا من المسافة بين المتقاطعين المحددين باستخدام طريقة الإحداثيات. دعونا نلقي نظرة مفصلة.
لنفترض، بشرط، أن يكون χ مستوى يمر عبر الخط b، الموازي للخط a. المسافة المطلوبة بين خطي التقاطع a و b تساوي المسافة من النقطة M 1 الواقعة على الخط a إلى المستوى _ χ. من أجل الحصول على المعادلة العادية للمستوى χ، من الضروري تحديد إحداثيات النقطة M 1 (x 1، y 1، z 1) الواقعة على الخط المستقيم a. ثم نحصل على cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0، وهو أمر ضروري لتحديد المسافة M 1 H 1 من النقطة M 1 x 1, y 1, z 1 إلى المستوى χ . يتم إجراء الحسابات باستخدام الصيغة M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p. المسافة المطلوبة تساوي المسافة المطلوبة بين خطوط العبور.
تتضمن هذه المهمة الحصول على إحداثيات النقطة M 1، التي تقع على الخط المستقيم أ، وإيجادها المعادلة العاديةالطائرة χ
يعد تحديد إحداثيات النقطة M 1 ضروريًا وممكنًا إذا كنت تعرف الأنواع الأساسية لمعادلات الخط المستقيم في الفضاء. للحصول على معادلة المستوى χ، من الضروري إلقاء نظرة فاحصة على خوارزمية الحساب.
إذا تم تحديد الإحداثيات x 2 , y 2 , z 2 باستخدام النقطة M 2 التي يتم من خلالها رسم المستوى χ، نحصل على المتجه الطبيعي للمستوى χ على شكل متجه n → = (A, B, C ). وبعد هذا يمكننا أن نكتب المعادلة العامةالمستوى χ في الصورة A · x - x 2 + B · (y - y 2) + C · (z - z 2) = 0.
وبدلا من النقطة M 2، يمكن أخذ أي نقطة أخرى تنتمي إلى الخط b، لأن المستوى χ يمر عبرها. وهذا يعني أنه تم العثور على إحداثيات النقطة M 2. من الضروري المضي قدمًا في العثور على المتجه الطبيعي للطائرة χ.
لدينا أن المستوى χ يمر عبر الخط b، ويكون موازيًا للخط a. هذا يعني أن المتجه الطبيعي للمستوى χ متعامد مع متجه الاتجاه للخط a، الذي يُشار إليه بـ →، وعلى متجه الاتجاه للخط b، يُشار إليه بـ b →. المتجه n → سيكون مساويا ل منتج ناقلأ → و ب →، وهو ما يعني ن → = أ → × ب →. بعد تحديد إحداثيات a x , a y , a z و b x , b y , b z لمتجهات الاتجاه للخطوط المعطاة a و b , نحسب
ن → = أ → × ب → = أنا → ي → ك → أ س أ ذ أ ض ب س ب ذ ب ض
من هنا نجد قيمة الإحداثيات A، B، C للمتجه الطبيعي للمستوى χ.
نحن نعلم أن المعادلة العامة للمستوى χ لها الصيغة A · (x - x 2) + B · (y - y 2) + C · (z - z 2) = 0.
من الضروري إعادة المعادلة إلى الصورة الطبيعية cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 . ثم تحتاج إلى حساب المسافة المطلوبة بين خطي التقاطع a و b، بناءً على الصيغة M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p.
للعثور على المسافة بين الخطين المتقاطعين a وb، يجب عليك اتباع الخوارزمية:
- تحديد الإحداثيات (x 1، y 1، z 1) و x 2، y 2، z 2 للنقطتين M 1 و M 2 الواقعتين على الخطوط المستقيمة a و b على التوالي ؛
- الحصول على الإحداثيات a x , a y , a z و b x , b y , b z التابعة لاتجاهات الخطوط a و b ;
- العثور على الإحداثيات A، B، C التي تنتمي إلى المتجه n → على المستوى χ الذي يمر عبر الخط b الموازي لـ a، بالمساواة n → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z;
- كتابة المعادلة العامة للمستوى χ بالصيغة A · x - x 2 + B · (y - y 2) + C · (z - z 2) = 0;
- جلب المعادلة الناتجة للمستوى χ إلى المعادلة العادية اكتب كوسα · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 ;
- حساب المسافة M 1 H 1 من M 1 x 1, y 1, z 1 إلى المستوى χ، بناءً على الصيغة M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - ص.
هناك خطين متقاطعين في نظام مستطيلإحداثيات O x y z الفضاء ثلاثي الأبعاد. يتم تعريف الخط أ المعادلة البارامتريةالخط في الفضاء x = - 2 y = 1 + 2 lect z = 4 - 3 lect، الخط b باستخدام المعادلة الكنسيةخط مستقيم في الفضاء x 1 = y - 1 - 2 = z + 4 6. أوجد المسافة بين الخطوط المتقاطعة.
حل
من الواضح أن الخط المستقيم a يتقاطع مع النقطة M 1 (- 2, 1, 4) مع متجه الاتجاه a → = (0, 2, - 3)، والخط المستقيم b يتقاطع مع النقطة M 2 (0, 1, - 4) ) مع متجه الاتجاه b → = (1 , - 2 , 6) .
أولاً، عليك حساب متجهي الاتجاه a → = (0, 2, - 3) و b → = (1, - 2, 6) باستخدام الصيغة. ثم حصلنا على ذلك
أ → × ب → = i → j → k → 0 2 - 3 1 - 2 6 = 6 i → - 3 ي → - 2 ك →
من هنا نحصل على أن n → = a → × b → هو متجه للمستوى χ، الذي يمر عبر الخط b الموازي لـ a بالإحداثيات 6، - 3، - 2. نحصل على:
6 (س - 0) - 3 (ص - 1) - 2 (ض - (- 4)) = 0 ⇔ 6 س - 3 ص - 2 ض - 5 = 0
نجد عامل التطبيع للمعادلة العامة للمستوى 6 x - 3 y - 2 z - 5 = 0. لنحسب باستخدام الصيغة 1 6 2 + - 3 2 + - 2 2 = 1 7. هذا يعني أن المعادلة العادية ستأخذ الصورة 6 7 x - 3 7 y - 2 7 z - 5 7 = 0.
من الضروري استخدام الصيغة لإيجاد المسافة من النقطة M 1 - 2، 1، 4 إلى المستوى، تعطى بواسطة المعادلة 6 7 س - 3 7 ص - 2 7 ض - 5 7 = 0 . لقد حصلنا على ذلك
م 1 ح 1 = 6 7 (- 2) - 3 7 1 - 2 7 4 - 5 7 = - 28 7 = 4
ويترتب على ذلك أن المسافة المطلوبة هي المسافة بين خطوط التقاطع المحددة، والقيمة هي 4.
إجابة: 4 .
إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter
تركز هذه المقالة على إيجاد المسافة بين الخطوط المتقاطعة باستخدام طريقة الإحداثيات. أولا، يتم إعطاء تعريف المسافة بين الخطوط المتقاطعة. بعد ذلك، يتم الحصول على خوارزمية تسمح للشخص بالعثور على المسافة بين الخطوط المتقاطعة. وفي الختام، يتم تحليل حل المثال بالتفصيل.
التنقل في الصفحة.
المسافة بين خطوط العبور - التعريف.
قبل إعطاء تعريف المسافة بين خطوط الانحراف، دعونا نتذكر تعريف خطوط الانحراف وإثبات نظرية تتعلق بخطوط الانحراف.
تعريف.
- هي المسافة بين أحد الخطين المتقاطعين والمستوى الموازي له المار بالخط الآخر.
وبدورها، فإن المسافة بين الخط المستقيم والمستوى الموازي له هي المسافة من نقطة ما على الخط المستقيم إلى المستوى. إذن الصياغة التالية لتعريف المسافة بين خطوط العبور صالحة.
تعريف.
المسافة بين خطوط العبورهي المسافة من نقطة معينة لأحد الخطوط المتقاطعة إلى مستوى يمر عبر خط آخر موازي للخط الأول.
النظر في الخطوط المتقاطعة أ و ب. لنضع علامة على نقطة معينة M 1 على الخط أ، ونرسم مستوى موازيًا للخط أ حتى الخط ب، ومن النقطة م 1 نخفض خطًا متعامدًا M 1 H 1 على المستوى. طول العمود M 1 H 1 هو المسافة بين خطي التقاطع a و b.
إيجاد المسافة بين الخطوط المتقاطعة - النظرية والأمثلة والحلول.
عند إيجاد المسافة بين الخطوط المتقاطعة، غالبًا ما تكون الصعوبة الرئيسية هي رؤية أو إنشاء مقطع طوله يساوي المسافة المطلوبة. إذا تم إنشاء مثل هذا الجزء، فيمكن العثور على طوله، اعتمادًا على ظروف المشكلة، باستخدام نظرية فيثاغورس، أو علامات المساواة أو تشابه المثلثات، وما إلى ذلك. هذا ما نفعله عند إيجاد المسافة بين الخطوط المتقاطعة في دروس الهندسة في الصفوف 10-11.
إذا كان في مساحة ثلاثية الأبعادتم تقديم Oxyz وإدراج الخطوط المتقاطعة a و b فيه، ثم تتيح لنا طريقة الإحداثيات التعامل مع مهمة حساب المسافة بين الخطوط المتقاطعة المحددة. دعونا ننظر في الأمر بالتفصيل.
اسمحوا أن يكون المستوى الذي يمر عبر الخط ب، موازيا للخط أ. ثم المسافة المطلوبة بين خطي التقاطع a و b تساوي، بحكم التعريف، المسافة من نقطة ما M 1 الواقعة على الخط a إلى المستوى. وبالتالي، إذا حددنا إحداثيات نقطة معينة M 1 تقع على خط مستقيم أ، وحصلنا على المعادلة العادية للمستوى في الصورة، فيمكننا حساب المسافة من النقطة 
إلى المستوى باستخدام الصيغة (تم الحصول على هذه الصيغة في المقالة التي تحدد المسافة من نقطة إلى مستوى). وهذه المسافة تساوي المسافة المطلوبة بين خطوط العبور.
الآن بالتفصيل.
تكمن المشكلة في الحصول على إحداثيات النقطة M 1 الواقعة على الخط a وإيجاد المعادلة العادية للمستوى.
لا توجد صعوبات في تحديد إحداثيات النقطة M 1 إذا كنت تعرف جيدًا الأنواع الأساسية لمعادلات الخط المستقيم في الفضاء. لكن الأمر يستحق الخوض في مزيد من التفاصيل حول الحصول على معادلة الطائرة.
إذا حددنا إحداثيات نقطة معينة M 2 التي يمر من خلالها المستوى، وحصلنا أيضًا على المتجه الطبيعي للمستوى بالشكل 
ومن ثم يمكننا كتابة المعادلة العامة للمستوى بالشكل .
كنقطة M 2، يمكنك أن تأخذ أي نقطة تقع على الخط ب، لأن الطائرة تمر عبر الخط ب. وبالتالي، يمكن اعتبار إحداثيات النقطة M 2 موجودة.
يبقى الحصول على إحداثيات المتجه الطبيعي للطائرة. دعونا نفعل هذا.
يمر المستوى عبر الخط b ويكون موازيا للخط a. وبالتالي، فإن المتجه الطبيعي للمستوى يكون عموديًا على كل من متجه الاتجاه للخط a (يرمز إليه بـ)، ومتجه الاتجاه للخط b (يرمز إليه بـ). ثم يمكننا أن نأخذ و كمتجه، . بعد تحديد الإحداثيات ومتجهات الاتجاه للخطوط المستقيمة a و b وحسابها 
، سنجد إحداثيات المتجه الطبيعي للمستوى.
وبذلك تكون لدينا المعادلة العامة للمستوى: .
كل ما تبقى هو إعادة المعادلة العامة للمستوى إلى وضعها الطبيعي وحساب المسافة المطلوبة بين خطي التقاطع a و b باستخدام الصيغة.
هكذا، للعثور على المسافة بين خطي التقاطع a و b تحتاج إلى:
دعونا نلقي نظرة على الحل على المثال.
مثال.
في الفضاء ثلاثي الأبعاد في نظام الإحداثيات المستطيل Oxyz، يتم إعطاء خطين مستقيمين متقاطعين a وb. يتم تحديد الخط المستقيم أ