تسلسل رقمي.
أولاً، دعونا نفكر في الكلمة نفسها: ما هو التسلسل؟ التسلسل هو عندما يتبع شيء شيء ما. على سبيل المثال، سلسلة من الإجراءات، سلسلة من الفصول. أو عندما يقع شخص ما خلف شخص ما. على سبيل المثال، سلسلة من الأشخاص في طابور، سلسلة من الأفيال في الطريق إلى حفرة الري.
دعونا نوضح على الفور السمات المميزةتسلسلات. أولاً، أعضاء التسلسلتقع بدقة في بترتيب معين . لذلك، إذا تم تبديل شخصين في قائمة الانتظار، فسيكون هذا بالفعل آخرالتبعية. ثانيا الجميع عضو التسلسليمكنك تعيين رقم تسلسلي:
إنه نفس الشيء مع الأرقام. يترك لكلالقيمة الطبيعية وفقا لبعض القواعدمتوافق عدد حقيقي. ثم يقولون أنه تم إعطاء تسلسل رقمي.
نعم في المشاكل الرياضيةعلى عكس مواقف الحياةيحتوي التسلسل دائمًا تقريبًا على كثيرة بلا حدودأعداد.
حيث:
مُسَمًّى العضو الأولتسلسلات؛
– العضو الثانيتسلسلات؛
– العضو الثالثتسلسلات؛
– نأو عضو مشتركتسلسلات؛
في الممارسة العملية، عادة ما يتم إعطاء التسلسل صيغة مصطلح مشترك، على سبيل المثال:
- تسلسل الأعداد الزوجية الموجبة:
وبالتالي، فإن السجل يحدد بشكل فريد جميع أعضاء التسلسل - وهذه هي القاعدة (الصيغة) التي يتم من خلالها القيم الطبيعية 
يتم وضع الأرقام في المراسلات. لذلك، غالبًا ما يُشار إلى التسلسل بإيجاز بمصطلح شائع، وبدلاً من "x" يمكن استخدام مصطلحات أخرى حروف، على سبيل المثال:
تسلسل الأعداد الفردية الإيجابية:
تسلسل شائع آخر:
كما لاحظ الكثيرون، يلعب المتغير "en" دور نوع من العداد.
في الواقع، لقد تعاملنا مع تسلسل الأرقام في المدرسة الإعدادية. دعنا نتذكر المتوالية العددية. لن أعيد كتابة التعريف، فلنتطرق إلى الجوهر بمثال محدد. اسمحوا أن يكون الفصل الأول، و - خطوة المتوالية العددية. ثم:
- الفصل الثاني من هذا التقدم؛
- الفصل الثالث من هذا التقدم؛
- الرابع؛
- الخامس؛
ومن الواضح أن الحد n معطى متكررمعادلة
ملحوظة: الخامس صيغة متكررةويتم التعبير عن كل عضو لاحق من خلال العضو السابق أو حتى من خلال مجموعة كاملة من الأعضاء السابقين.
الصيغة الناتجة ليست ذات فائدة كبيرة في الممارسة العملية - للوصول إلى، على سبيل المثال، تحتاج إلى مراجعة جميع المصطلحات السابقة. وفي الرياضيات، تم اشتقاق تعبير أكثر ملاءمة للحد النوني من التقدم الحسابي: 
. في حالتنا هذه:
استبدل الأعداد الطبيعية في الصيغة وتحقق من صحة الصيغة المذكورة أعلاه تسلسل رقمي.
ويمكن إجراء حسابات مماثلة ل المتوالية الهندسية، حيث يتم تحديد الحد التاسع له بواسطة الصيغة، حيث يقع الحد الأول، و - المقام - صفة مشتركة - حالةالتقدم. في مهام الرياضيات، غالبًا ما يساوي الحد الأول واحدًا.
أمثلة:
التقدم يحدد التسلسل 
;
التقدم 
يحدد التسلسل
التقدم 
يحدد التسلسل 
;
التقدم 
يحدد التسلسل 
.
أتمنى أن يعلم الجميع أن -1 للقوة الفردية يساوي -1، وللقوة الزوجية - واحد.
يسمى التقدم يتناقص بلا حدود، إذا (الحالتين الأخيرتين).
دعونا نضيف صديقين جديدين إلى قائمتنا، أحدهما طرق للتو على مصفوفة الشاشة:
يُطلق على التسلسل في المصطلحات الرياضية اسم "الوامض":
هكذا، يمكن تكرار أعضاء التسلسل. لذلك، في المثال الذي تم تناوله، يتكون التسلسل من رقمين متناوبين بشكل لا نهائي.
هل يحدث أن التسلسل يتكون من أرقام متطابقة؟ بالتأكيد. على سبيل المثال، يسأل عدد لا حصر له"الثلاثات". بالنسبة للجماليات، هناك حالة لا يزال فيها "en" يظهر رسميًا في الصيغة:
مضروب:
مجرد تسجيل مكثف للعمل:
ليس هوسًا بيانيًا على الإطلاق، سيكون مفيدًا للمهام؛-) أوصي بفهمه وتذكره وحتى نسخه في دفتر ملاحظات. ...يتبادر إلى ذهني سؤال واحد: لماذا لا يقوم أحد بإنشاء مثل هذه الكتابة على الجدران المفيدة؟ رجل يركب قطارًا وينظر من النافذة ويدرس العوامل. الأشرار يستريحون =)
وربما لا يزال بعض القراء لا يفهمون بشكل كامل كيفية وصف أعضاء التسلسل، مع العلم بالعضو المشترك. الذي - التي حالة نادرة، عندما تعود لقطة التحكم إلى الحياة:
دعونا نتعامل مع التسلسل 
.
أولاً، دعونا نعوض بالقيمة في الحد n ونجري الحسابات بعناية:
ثم ندخل الرقم التالي:
أربعة:
حسنًا، الآن ليس هناك عيب في الحصول على علامة ممتازة:
مفهوم حد التسلسل.
لفهم المعلومات الواردة أدناه بشكل أفضل، يُنصح بفهم ماهيتها حد الوظيفة. بالطبع، في الدورة القياسية التحليل الرياضيأولاً، يعتبرون حد التسلسل وبعد ذلك فقط حد الوظيفة، ولكن الحقيقة هي أنني تحدثت بالفعل بالتفصيل عن جوهر الحد ذاته. علاوة على ذلك، من الناحية النظرية، يعتبر التسلسل الرقمي حالة خاصة للدالة، وسيكون الأشخاص الذين هم على دراية بحدود الدالة أكثر متعة.
دعونا ندعو صديقًا بسيطًا للرقص:
ماذا يحدث عندما يزيد "en" إلى ما لا نهاية؟ من الواضح أن أعضاء التسلسل سيكونون كذلك قريبة بلا حدودالاقتراب من الصفر. وهذه هي نهاية هذه المتوالية، وهي مكتوبة على النحو التالي:
إذا كان حد التسلسل يساوي الصفر، ثم يطلق عليه متناهي الصغر.
في نظرية التحليل الرياضي يتم تقديمه تعريف صارم لحد التسلسلمن خلال ما يسمى حي إبسيلون. سيتم تخصيص المقال التالي لهذا التعريف، ولكن الآن دعونا نلقي نظرة على معناه:
دعونا نرسم على خط الأعداد حدود المتتابعة والجوار المتماثل بالنسبة للصفر (الحد):
الآن اضغط على المنطقة الزرقاء بحواف راحة يدك وابدأ في تصغيرها، وسحبها نحو الحد (النقطة الحمراء). الرقم هو الحد الأقصى للتسلسل إذا كان لأي حي تم تحديده مسبقًا (صغيرة كما تريد)سيكون بداخله كثيرة بلا حدودأعضاء التسلسل، وخارجه - فقط أخيرعدد الأعضاء (أو لا أحد على الإطلاق). وهذا يعني أن حي إبسيلون يمكن أن يكون مجهريا، وحتى أصغر، ولكن "الذيل اللامتناهي" للتسلسل يجب عاجلا أم آجلا أن يدخل هذا الحي بالكامل.
حتى أن هناك مثل هذه المهمة - إثبات نهاية التسلسل باستخدام التعريف.
التسلسل أيضًا متناهٍ في الصغر: مع الفارق في أن أعضائه لا يقفزون ذهابًا وإيابًا، بل يقتربون من النهاية حصريًا من اليمين.
وبطبيعة الحال، يمكن أن يكون الحد مساوياً لأي شيء آخر عدد محدود،مثال أولي:
هنا يميل الكسر إلى الصفر، وبالتالي فإن النهاية تساوي "اثنين".
إذا كان التسلسل موجود الحد النهائي ، ثم يطلق عليه متقاربة(بخاصة، متناهي الصغرفي ). في خلاف ذلك – متشعبفي هذه الحالة، هناك خياران ممكنان: إما أن الحد غير موجود على الإطلاق، أو أنه لا نهائي. في الحالة الأخيرةيسمى التسلسل كبيرة بلا حدود. دعونا نستعرض أمثلة الفقرة الأولى:
تسلسلات 
نكون كبيرة بلا حدود، بينما يتحرك أعضاؤها بثقة نحو "زائد اللانهاية":
إن التقدم الحسابي مع الحد الأول والخطوة هو أيضًا كبير بلا حدود:
بالمناسبة، أي تقدم حسابي يتباعد، باستثناء الحالة ذات الخطوة الصفرية - متى يتم ذلك رقم محدديضاف إلى ما لا نهاية. نهاية هذا التسلسل موجودة وتتزامن مع الحد الأول.
التسلسلات لها مصير مماثل:
أي متوالية هندسية متناقصة بشكل لا نهائي، كما هو واضح من الاسم، صغيرة بلا حدود:
إذا كان مقام المتتابعة الهندسية هو , فإن التسلسل كبير بلا حدود:
إذا، على سبيل المثال، فإن الحد غير موجود على الإطلاق، لأن الأعضاء يقفزون بلا كلل إما إلى "زائد اللانهاية" أو إلى "ناقص اللانهاية". أ الفطرة السليمةوتشير نظريات ماتان إلى أنه إذا كان هناك شيء يسعى إلى مكان ما، فهذا هو المكان العزيز الوحيد.
بعد قليل من الوحي 
يصبح من الواضح أن "الضوء الوامض" هو المسؤول عن الرمي الذي لا يمكن السيطرة عليه، والذي، بالمناسبة، يتباعد من تلقاء نفسه.
في الواقع، من السهل بالنسبة للتسلسل اختيار -neighborhood الذي، على سبيل المثال، يربط الرقم -1 فقط. ونتيجة لذلك، سيبقى عدد لا نهائي من أعضاء التسلسل ("الأعضاء الزائدين") خارج الحي المحدد. لكن بحكم التعريف، يجب أن يكون "الذيل اللانهائي" للتسلسل من لحظة معينة (العدد الطبيعي). تماماالذهاب إلى أي منطقة قريبة من الحد الخاص بك. الخلاصة: السماء هي الحد.
العامل هو كبيرة بلا حدودتسلسل:
علاوة على ذلك، فهو ينمو بسرعة فائقة، لذا فهو رقم يحتوي على أكثر من 100 رقم (رقم)! لماذا بالضبط 70؟ عليها حاسبتي الهندسية الدقيقة تطلب الرحمة.
مع لقطة التحكم، يصبح كل شيء أكثر تعقيدًا بعض الشيء، وقد وصلنا للتو إلى الجزء العملي من المحاضرة، حيث سنقوم بتحليل الأمثلة القتالية:
كيفية العثور على نهاية تسلسل.
لكن عليك الآن أن تكون قادرًا على حل حدود الوظائف، على الأقل عند المستوى الثاني الدروس الأساسية: حدود. أمثلة على الحلولو حدود رائعة. لأن العديد من طرق الحل ستكون متشابهة. لكن، أولاً، دعونا نحلل الاختلافات الأساسية بين نهاية المتتابعة ونهاية الدالة:
وفي حد التسلسل يمكن للمتغير "الديناميكي" "en" أن يميل إلى ذلك فقط إلى "زائد اللانهاية"- نحو زيادة الأعداد الطبيعية 
.
في حدود الدالة، يمكن توجيه "x" في أي مكان - إلى "زائد/ناقص اللانهاية" أو إلى رقم حقيقي عشوائي.
التبعية منفصلة(متقطعة) أي أنها تتكون من أفراد معزولين. واحد، اثنان، ثلاثة، أربعة، خمسة، خرج الأرنب للنزهة. تتميز حجة الدالة بالاستمرارية، أي أن "X" بسلاسة، دون وقوع حوادث، يميل إلى قيمة أو أخرى. وبناء على ذلك، فإن قيم الدالة سوف تقترب بشكل مستمر من الحد الأقصى لها.
بسبب السريةتوجد داخل التسلسلات أشياء مميزة خاصة بها، مثل المضروبات، و"الأضواء الوامضة"، والتقدمات، وما إلى ذلك. والآن سأحاول تحليل الحدود الخاصة بالتسلسلات.
لنبدأ بالتقدم:
مثال 1
حل: شيء مشابه لمتتالية هندسية متناقصة بشكل لا نهائي، لكن هل هذا هو الحال حقًا؟ من أجل الوضوح، دعونا نكتب المصطلحات القليلة الأولى: 
منذ ذلك الحين نحن نتحدث عنه كميةشروط التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي ، والذي يتم حسابه بواسطة الصيغة.
نحن نتخذ القرار:
نستخدم الصيغة لمجموع متوالية هندسية متناقصة بشكل لا نهائي: . في في هذه الحالة: – الحد الأول – مقام التتابع.
الشيء الرئيسي هو التعامل معها جزء من أربعة طوابق:
يأكل.
مثال 2
اكتب الحدود الأربعة الأولى في المتتابعة وأوجد نهايتها 
وهذا مثال ل قرار مستقل. للتخلص من عدم اليقين في البسط، ستحتاج إلى تطبيق صيغة مجموع الحدود الأولى للتقدم الحسابي:
، حيث هو الأول و هو الحد n من التقدم.
وبما أن "en" تميل دائمًا إلى "زائد اللانهاية" ضمن التسلسلات، فليس من المستغرب أن يكون عدم اليقين أحد أكثر الأمور شيوعًا.
ويتم حل العديد من الأمثلة بنفس طريقة حل حدود الوظائف!
كيفية حساب هذه الحدود؟ انظر الأمثلة رقم 1-3 من الدرس حدود. أمثلة على الحلول.
أو ربما شيء أكثر تعقيدًا مثل 
؟ راجع المثال رقم 3 من المقالة طرق حل الحدود.
من وجهة نظر رسمية، سيكون الفرق في حرف واحد فقط - "x" هنا، و"en" هنا.
التقنية هي نفسها - يجب تقسيم البسط والمقام على "en" إلى أعلى درجة.
كما أن عدم اليقين داخل التسلسلات أمر شائع جدًا. كيفية حل الحدود مثل 
يمكن العثور عليها في الأمثلة رقم 11-13 من نفس المادة.
لفهم الحد، راجع المثال رقم 7 من الدرس حدود رائعة(ثانية حد رائعصالح أيضًا للحالة المنفصلة). سيكون الحل مرة أخرى بمثابة نسخة كربونية مع اختلاف حرف واحد.
الأمثلة الأربعة التالية (الأرقام 3-6) هي أيضًا "ذات وجهين"، ولكنها في الواقع لسبب ما أكثر سمة لحدود التسلسل من حدود الوظائف:
مثال 3
أوجد نهاية التسلسل
حل: في البدايه الحل الكامل، ثم التعليقات خطوة بخطوة:
(1) في البسط نستخدم الصيغة مرتين.
(2) نقدم مصطلحات مماثلةفي البسط.
(3) لإزالة عدم اليقين، قم بتقسيم البسط والمقام على ("en" إلى أعلى درجة).
كما ترون، لا شيء معقد.
مثال 4
أوجد نهاية التسلسل
هذا مثال عليك حله بنفسك صيغ الضرب المختصرةللمساعدة.
ضمن ق إرشاديةتستخدم المتتابعات طريقة مشابهة لتقسيم البسط والمقام:
مثال 5
أوجد نهاية التسلسل
حلدعونا نرتبها وفقًا لنفس المخطط:
(1) الاستخدام خصائص الدرجات، دعونا نزيل كل ما هو غير ضروري من المؤشرات، ونترك "en" فقط هناك.
(2) ننظر إلى التسلسلات الأسية الموجودة في النهاية: ونختار تسلسلًا بها الاكبرأساس: . لإزالة عدم اليقين، قم بتقسيم البسط والمقام على .
(3) نقوم بإجراء القسمة على حد حد في البسط والمقام. لأنه يتناقص بشكل لا نهائي المتوالية الهندسية، ثم يميل إلى الصفر. والأكثر من ذلك أن الثابت مقسومًا على التقدم المتزايد يميل إلى الصفر: . ندون الملاحظات المناسبة ونكتب الإجابة.
مثال 6
أوجد نهاية التسلسل
هذا مثال عليك حله بنفسك.
بطريقة ما، ظلت الكتابة اليدوية الأنيقة، المتأصلة فقط إلى حد الاتساق، في غياهب النسيان. حان الوقت لإصلاح الوضع:
مثال 7
أوجد نهاية التسلسل
حل: للتخلص من "المنافس الأبدي" تحتاج إلى كتابة المضروب في شكل منتجات. ولكن قبل أن نبدأ بالكتابة على الجدران الرياضية، دعونا نفكر مثال محدد، على سبيل المثال: .
العامل الأخير في المنتج هو ستة. ما الذي يجب فعله للحصول على المضاعف السابق؟ اطرح واحدًا: 6 - 1 = 5. للحصول على المضاعف الموجود في مكان أبعد، عليك طرح واحد من خمسة مرة أخرى: 5 - 1 = 4. وهكذا.
لا تقلق، هذا ليس درسًا للصف الأول. المدرسة الإصلاحية، في الحقيقة نتعرف على خوارزمية مهمة وعالميةمستحق " كيفية توسيع أي مضروب" دعونا نتعامل مع الفيضان الأكثر خبثًا في محادثتنا:
من الواضح أن العامل الأخير في المنتج سيكون .
كيفية الحصول على المضاعف السابق؟ اطرح واحدًا:
كيف تحصل على الجد الأكبر؟ اطرح واحدًا مرة أخرى: .
حسنًا، دعنا نتقدم خطوة أعمق:
وبالتالي فإن وحشنا سوف يوقع على النحو التالي:
مع مضروب البسط، كل شيء أبسط، حسنًا، أيها المشاغبون الصغار.
نحن نتخذ القرار:
(1) وصفنا العوامل
(2) البسط له حدان. نخرج من الأقواس كل ما يمكن إخراجه، في هذه الحالة هذا هو العمل. أقواس مربعة، كما قلت في مكان ما عدة مرات، تختلف عن الأقواس فقط في تربيعها.
(3) تقليل البسط والمقام بمقدار .... ...هممم، هناك حقًا الكثير من الزغب هنا.
(4) بسّط البسط
(5) تقليل البسط والمقام بمقدار . هنا في إلى حد مامحظوظ. في الحالة العامةفي الأعلى والأسفل تحصل على كثيرات الحدود العادية، وبعد ذلك يتعين عليك إجراء العملية القياسية - قسمة البسط والمقام على "en" بأعلى قوة.
يمكن للطلاب الأكثر تقدمًا الذين يمكنهم بسهولة تحليل العوامل في رؤوسهم حل المثال بشكل أسرع بكثير. في الخطوة الأولى، نقسم البسط على المقام حدًا تلو الآخر ونجري الاختصارات ذهنيًا:
لكن طريقة التحلل لا تزال أكثر دقة وموثوقية.
مثال 8
أوجد نهاية التسلسل
كما هو الحال في أي مجتمع، من بين التسلسلات الرقمية هناك أفراد باهظين.
نظرية: عمل تسلسل محدودإلى تسلسل متناهٍ في الصغر - هناك تسلسل متناهٍ في الصغر.
إذا كنت لا تفهم حقًا مصطلح "الحدود"، فيرجى دراسة المقالة عن وظائف أوليةوالرسوم البيانية.
بالمناسبة، هناك نظرية مماثلة صحيحة بالنسبة للوظائف: المنتج وظيفة محدودةإلى أجل غير مسمى وظيفة صغيرة- هي وظيفة متناهية الصغر.
مثال 9
أوجد نهاية التسلسل
حل: تسلسل – محدود: 
، والتسلسل متناهٍ في الصغر، مما يعني وفقًا للنظرية المقابلة: 
يتم إعطاء تعريف التسلسل الرقمي. يتم النظر في أمثلة المتواليات المتزايدة والمتقاربة والمتباعدة بشكل لا نهائي. يتم أخذ تسلسل يحتوي على جميع الأرقام العقلانية بعين الاعتبار.
تعريف .
التسلسل العددي (×ن)
يسمى القانون (القاعدة) التي بموجبها الجميع عدد طبيعين = 1, 2, 3, . . .
يتم تعيين رقم معين x n.
يسمى العنصر x n الفصل الدراسي التاسعأو عنصر من التسلسل
تتم الإشارة إلى التسلسل باعتباره الحد n محاطًا بأقواس متعرجة: . التسميات التالية ممكنة أيضًا: . إنها تشير بوضوح إلى أن المؤشر n ينتمي إلى مجموعة الأعداد الطبيعية وأن التسلسل نفسه يحتوي على عدد لا نهائي من المصطلحات. فيما يلي بعض أمثلة التسلسل:
,
,
.
بمعنى آخر، التسلسل الرقمي هو دالة مجال تعريفها هو مجموعة الأعداد الطبيعية. عدد عناصر التسلسل لا نهائي. من بين العناصر قد يكون هناك أيضًا أعضاء نفس القيم. كما يمكن اعتبار التسلسل مجموعة مرقمة من الأرقام تتكون من عدد لا نهائي من الأعضاء.
سنكون مهتمين بشكل أساسي بمسألة كيفية تصرف التسلسلات عندما يميل n إلى اللانهاية: . يتم عرض هذه المادة في قسم حدود التسلسل - النظريات والخصائص الأساسية. هنا سوف نلقي نظرة على بعض الأمثلة على التسلسلات.
أمثلة التسلسل
أمثلة على تسلسلات متزايدة بلا حدود
النظر في التسلسل. العضو المشترك في هذا التسلسل هو . دعونا نكتب المصطلحات القليلة الأولى:
.
ويمكن ملاحظة أنه مع زيادة العدد n، تزداد العناصر إلى ما لا نهاية نحو القيم الإيجابية. يمكننا القول أن هذا التسلسل يميل إلى: لـ .
الآن فكر في تسلسل بمصطلح مشترك. وهنا أعضائها القليلة الأولى:
.
ومع زيادة العدد n، تزداد عناصر هذا التسلسل إلى ما لا نهاية قيمه مطلقه، ولكن ليس لديك علامة ثابتة. أي أن هذا التسلسل يميل إلى: عند .
أمثلة على المتتابعات المتقاربة إلى عدد منتهٍ
النظر في التسلسل. عضوها المشترك. المصطلحات الأولى لها الشكل التالي:
.
ويمكن ملاحظة أنه مع زيادة الرقم n، فإن عناصر هذا التسلسل تقترب من قيمتها الحدية a = 0
: في . ومن ثم، فإن كل حد تالٍ يكون أقرب إلى الصفر من الحد الذي يسبقه. بمعنى ما، يمكننا أن نعتبر أن هناك قيمة تقريبية للرقم أ = 0
مع الخطأ. ومن الواضح أنه مع زيادة n يميل هذا الخطأ إلى الصفر، أي أنه باختيار n يمكن تصغير الخطأ حسب الرغبة. وعلاوة على ذلك، لأي خطأ معين ε > 0
يمكنك تحديد رقم N بحيث بالنسبة لجميع العناصر ذات الأرقام الأكبر من N:، فإن انحراف الرقم عن القيمة الحدية a لن يتجاوز الخطأ ε:.
بعد ذلك، النظر في التسلسل. عضوها المشترك. وهنا بعض من أعضائها الأوائل:
.
في هذه المتتابعة، الحدود ذات الأعداد الزوجية تساوي صفرًا. المصطلحات ذات n الفردية متساوية. لذلك، مع زيادة n، تقترب قيمها من القيمة الحدية a = 0
. وهذا يأتي أيضًا من حقيقة ذلك
.
تمامًا كما في المثال السابق، يمكننا تحديد خطأ صغير عشوائيًا ε > 0
، حيث من الممكن العثور على رقم N بحيث تنحرف العناصر ذات الأرقام الأكبر من N عن القيمة الحدية a = 0
بمقدار لا يتجاوز الخطأ المحدد. لذلك يتقارب هذا التسلسل إلى القيمة أ = 0
: في .
أمثلة على تسلسلات متباينة
النظر في تسلسل مع المصطلح المشترك التالي:
وهنا أعضائها الأوائل:
.
يمكن ملاحظة أن المصطلحات ذات الأرقام الزوجية:
,
تتقارب إلى القيمة أ 1 = 0
. الأعضاء مع الأعداد الفردية:
,
تتقارب إلى القيمة أ 2 = 2
. التسلسل نفسه، مع نمو n، لا يتقارب مع أي قيمة.
تسلسل مع المصطلحات الموزعة في الفاصل الزمني (0؛1)
الآن دعونا نلقي نظرة على تسلسل أكثر إثارة للاهتمام. لنأخذ قطعة على خط الأعداد. دعونا نقسمها إلى نصفين. نحصل على جزأين. يترك
.
دعونا نقسم كل قطعة إلى نصفين مرة أخرى. نحصل على أربعة قطاعات. يترك
.
دعونا نقسم كل قطعة إلى نصفين مرة أخرى. لنأخذ
.
وما إلى ذلك وهلم جرا.
ونتيجة لذلك، نحصل على تسلسل يتم توزيع عناصره الفاصل الزمني المفتوح (0; 1) . أي نقطة نأخذها من الفترة المغلقة يمكننا دائمًا العثور على أعضاء التسلسل الذين سيكونون قريبين بشكل تعسفي من هذه النقطة أو يتزامنون معها.
ثم من التسلسل الأصلي يمكن اختيار لاحقة تتقارب معها نقطة تعسفيةمن الفاصل . أي أنه مع زيادة الرقم n، فإن أعضاء التسلسل اللاحق سوف يقتربون أكثر فأكثر من النقطة المحددة مسبقًا.
على سبيل المثال، بالنسبة للنقطة أ = 0
يمكنك اختيار التسلسل التالي:
.
= 0
.
للنقطة أ = 1
لنختار التسلسل التالي:
.
تتقارب شروط هذا اللاحق مع القيمة أ = 1
.
حيث أن هناك تبعيات تتقارب إلى معان مختلفة، فإن التسلسل الأصلي نفسه لا يتقارب مع أي رقم.
تسلسل يحتوي على جميع الأعداد النسبية
الآن دعونا نبني تسلسلًا يحتوي على جميع الأعداد النسبية. علاوة على ذلك، فإن كل رقم منطقي سيظهر في مثل هذا التسلسل عددًا لا حصر له من المرات.
يمكن تمثيل الرقم العقلاني r النموذج التالي:
,
أين هو عدد صحيح؟ - طبيعي.
نحن بحاجة إلى تخصيص كل عدد طبيعي n لزوج من الأرقام p و q بحيث يتم تضمين أي زوج p و q في تسلسلنا.
للقيام بذلك، ارسم المحورين p وq على المستوى. نرسم خطوط الشبكة من خلال القيم الصحيحة لـ p و q. ثم ستتوافق كل عقدة من هذه الشبكة رقم منطقي. سيتم تمثيل المجموعة الكاملة من الأرقام المنطقية بواسطة مجموعة من العقد. نحن بحاجة إلى إيجاد طريقة لترقيم جميع العقد حتى لا نفوت أي عقد. من السهل القيام بذلك إذا قمت بترقيم العقد بالمربعات التي تقع مراكزها عند النقطة (0; 0) (انظر الصورة). في هذه الحالة، الأجزاء السفلية من المربعات مع q < 1 نحن لسنا في حاجة إليها. لذلك لا تظهر في الشكل.
لذلك، بالنسبة للجانب العلوي من المربع الأول لدينا:
.
بعد ذلك نرقم الجزء العلويالمربع التالي :
.
نرقم الجزء العلوي من المربع التالي:
.
وما إلى ذلك وهلم جرا.
بهذه الطريقة نحصل على تسلسل يحتوي على جميع الأعداد النسبية. يمكنك ملاحظة أن أي رقم نسبي يظهر في هذا التسلسل عدد لا نهائي من المرات. في الواقع، إلى جانب العقدة، سيتضمن هذا التسلسل أيضًا العقد، حيث يوجد رقم طبيعي. لكن كل هذه العقد تتوافق مع نفس العدد العقلاني.
ثم من التسلسل الذي قمنا بإنشائه، يمكننا اختيار متتالية فرعية (تحتوي على عدد لا نهائي من العناصر)، وجميع عناصرها تساوي عددًا نسبيًا محددًا مسبقًا. نظرًا لأن التسلسل الذي أنشأناه له عواقب تتقارب أرقام مختلفة، فإن التسلسل لا يتقارب إلى أي رقم.
خاتمة
لقد قدمنا هنا تعريفًا دقيقًا للتسلسل الرقمي. كما طرحنا مسألة تقاربها بناء على أفكار بديهية. تعريف دقيقتمت مناقشة التقارب في صفحة تحديد حدود التسلسل. الخصائص والنظريات ذات الصلة مذكورة في الصفحة
التسلسل العددي هي دالة عددية محددة في مجموعة الأعداد الطبيعية .
إذا تم تعريف الدالة على مجموعة الأعداد الطبيعية 
، فإن مجموعة قيم الوظائف ستكون قابلة للعد وكل رقم 
يطابق الرقم 
. في هذه الحالة يقولون أنه يعطى تسلسل رقمي. يتم استدعاء الأرقام عناصرأو أعضاء التسلسل، والعدد 
– عام أو 
-العضو في التسلسل. كل عنصر 
لديه عنصر لاحق 
. وهذا ما يفسر استخدام مصطلح "التسلسل".
وعادة ما يتم تحديد التسلسل إما عن طريق سرد عناصره، أو عن طريق الإشارة إلى القانون الذي يتم من خلاله حساب العنصر ذو العدد 
، أي. مما يدل على صيغته 
- العضو الرابع 
.
مثال.التبعية
يمكن أن تعطى بواسطة الصيغة:
.
عادةً ما يتم الإشارة إلى التسلسلات على النحو التالي: وما إلى ذلك، حيث تتم الإشارة إلى الصيغة الخاصة بها بين قوسين 
العضو ال.
مثال.التبعية
‑هذا تسلسل
مجموعة جميع عناصر التسلسل 
يُشار إليه بـ 
.
يترك 
و 
- تسلسلين.
مع الأمةتسلسلات 
و 
يسمى تسلسل 
، أين 
، أي..
ر اختلافتسمى هذه المتتابعات متوالية 
، أين 
، أي..
لو 
و
‑
الثوابت ثم التسلسل
,
مُسَمًّى تركيبة خطية
تسلسلات 
و 
، أي.
العملتسلسلات 
و 
دعا التسلسل مع 
العضو ال 
، أي. 
.
لو 
، ثم يمكننا أن نحدد خاص
.
المجموع والفرق والحاصل وحاصل المتتابعات 
و 
يطلق عليهم جبريالتراكيب.
مثال.النظر في التسلسلات 
و 
، أين. ثم 
، أي. التبعية 
جميع عناصره تساوي الصفر
,
، أي. جميع عناصر المنتج والحاصل متساوية 
.
إذا قمت بشطب بعض عناصر التسلسل 
حتى يبقى مجموعة لا نهائيةالعناصر، ثم نحصل على تسلسل آخر يسمى التبعيةتسلسلات 
. إذا قمت بشطب العناصر القليلة الأولى من التسلسل 
، الذي - التي تسلسل جديدمُسَمًّى الباقي.
التبعية 
محدودفوق(من الأسفل)، إذا كانت المجموعة 
محدودة من الأعلى (من الأسفل). يسمى التسلسل محدودإذا كان محصوراً من الأعلى والأسفل. يتم تحديد التسلسل إذا وفقط إذا تم تحديد أي من بقاياه.
تسلسلات متقاربة
ويقولون ان التبعية 
يتقارب إذا كان هناك رقم 
بحيث لأي شخص 
هناك شيء من هذا القبيل 
ذلك لأي شخص 
، فإن عدم المساواة يحمل: 
.
رقم 
مُسَمًّى حد التسلسل
. وفي نفس الوقت يكتبون 
أو 
.
مثال.
.
دعونا نظهر ذلك 
. دعونا نضع أي رقم 
. عدم المساواة 
يؤدي ل 
، مثل ذلك 
، أن يتم تعريف التقارب للعدد 
. وسائل، 
.
بعبارة أخرى 
يعني أن جميع أعضاء التسلسل 
بأعداد كبيرة بما فيه الكفاية يختلف قليلاً عن الرقم 
، أي. بدءا من بعض العدد 
(إذا) عناصر المتتابعة موجودة في الفترة 
من اتصل 
– جوار النقطة 
.
التبعية 
والذي حده صفر ( 
، أو 
في 
) يسمى متناهي الصغر.
وفيما يتعلق بالمتناهيات في الصغر، فإن العبارات التالية صحيحة:
مجموع اثنين من المتناهيات في الصغر هو متناهي الصغر.
منتج متناهية الصغر وكمية محدودة هو متناهي الصغر.
نظرية
.من أجل التسلسل 
كان له حد، وكان ضروريا وكافيا ل 
، أين 
- ثابت؛ 
- متناهي الصغر
.
الخصائص الأساسية للمتتابعات المتقاربة:
يتم تعميم الخاصيتين 3. و4. على حالة أي عدد من التسلسلات المتقاربة.
لاحظ أنه عند حساب نهاية الكسر الذي يكون بسطه ومقامه عبارة عن مجموعات خطية من القوى 
، حد الكسر يساوي الحدعلاقات كبار الأعضاء (أي الأعضاء الذين لديهم أعلى الدرجات 
البسط والمقام).
التبعية 
مُسَمًّى:
يتم استدعاء كل هذه التسلسلات رتيب.
نظرية
.
إذا كان التسلسل 
متزايدة رتيبة وتحد من فوق، ثم تتقارب وتكون نهايتها مساوية لدقيقتها الحافة العلوية; فإذا كانت المتوالية متناقصة ومحدودة أدناه، فإنها تتقارب إلى آخرها.
مفهوم التسلسل العددي.
دع كل عدد طبيعي n يتوافق مع رقم a n، ثم نقول أنه يتم إعطاء دالة n =f(n)، والتي تسمى تسلسل رقمي. يُشار إليه بـ n ,n=1,2,... أو (a n ).
الأرقام a 1 , a 2 , ... تسمى أعضاء التسلسل أو عناصره، a n هو العضو العام للتسلسل، n هو رقم العضو a n .
بحكم التعريف، أي تسلسل يحتوي على عدد لا حصر له من العناصر.
أمثلة على التسلسلات الرقمية.
علم الحسابالتقدم – التقدم العددي للنموذج:
أي تسلسل من الأرقام (شروط التقدم)، يتم الحصول على كل منها، بدءًا من الثاني، من الرقم السابق بإضافة رقم ثابت d (خطوة أو اختلاف التقدم): 
.
يمكن حساب أي مصطلح للتقدم باستخدام صيغة المصطلح العام:
أي عضو في المتوالية الحسابية، بدءًا من الثاني، هو الوسط الحسابي للأعضاء السابقين والتاليين في المتوالية: 
يمكن التعبير عن مجموع الحدود n الأولى للتقدم الحسابي بالصيغ التالية: 
مجموع n من الحدود المتتالية للتقدم الحسابي الذي يبدأ بالمصطلح k: 
مثال على مجموع التقدم الحسابي هو مجموع سلسلة من الأعداد الطبيعية حتى n شاملة:
هندسيالتقدم - تسلسل الأرقام 
(أعضاء التقدم)، حيث يتم الحصول على كل رقم لاحق، بدءًا من الثاني، من الرقم السابق بضربه برقم معين q (مقام التقدم)، حيث 
,
:
يمكن حساب أي مصطلح للتقدم الهندسي باستخدام الصيغة: 
إذا كان b 1 > 0 و q > 1، يكون التقدم تسلسلًا متزايدًا إذا كان 0 حصل التقدم على اسمه من خصائصه المميزة: يمكن حساب حاصل ضرب الحدود n الأولى للتقدم الهندسي باستخدام الصيغة: يمكن حساب حاصل ضرب حدود المتوالية الهندسية التي تبدأ بالحد k وتنتهي بالحد n باستخدام الصيغة: مجموع الحدود n الأولى للتقدم الهندسي: لو حد الاتساق. يسمى التسلسل زيادة إذا كان كل عضو أكبر من العضو السابق. يسمى التسلسل متناقصًا إذا كان كل عضو أقل من العضو السابق. يُسمى التسلسل x n محدودًا إذا كان هناك أرقام m وM بحيث يكون الشرط مستوفيًا لأي عدد طبيعي n قد يحدث أن جميع أعضاء المتتابعة (a n ) مع نمو غير محدود للرقم n سوف يقتربون من رقم ما. يُطلق على الرقم a حد التسلسل X n إذا كان لكل Ε>0 رقم (اعتمادًا على Ε) n 0 =n o (Ε) بحيث يكون لـ في هذه الحالة يكتبون تقارب التسلسلات. يُقال إن التسلسل الذي حده عدد منتهٍ يتقارب إلى: إذا لم يكن للتسلسل حد منته (قابل للعد)، فسيتم تسميته متباعدًا. معنى هندسي. لو النظرية 1) حول تفرد الحد: إذا كانت المتتابعة متقاربة، أي أن لها نهاية، فإن هذا الحد يكون فريدًا. نظرية 2) إذا تقاربت المتتابعة n إلى a: نظرية 3) المتطلبات المسبقةوجود الحد. إذا كانت المتتابعة متقاربة، أي أن لها نهاية، فهي محدودة. الدليل: لنختار n>N بحيث: النظرية 4) الشرط الكافي لوجود الحد. إذا كانت المتتابعة رتيبة ومحدودة، فإن لها نهاية. . نظرية 5) يترك نظرية التسلسل الثلاثة. لو خصائص الحد. إذا كان لـ (xn) و(yn) حدود، فإن: حد نسبة كثيرات الحدود (الكسور). دع x n و y n متعددو الحدود في الدرجة k، على التوالي، أي: x n =P k (n)=a 0 n k +a 1 n k-1 +…+a k , y n =Q m (n)=b 0 n m +b 1 n m-1 +…+b m نهاية نسبة كثيرات الحدود تساوي نهاية نسبة حدودها الرئيسية: إذا كانت درجة البسط تساوي درجة المقام، فإن النهاية تساوي نسبة المعاملات عند القوى الأعلى. إذا كانت درجة البسط أقل من درجة المقام، فإن النهاية تكون صفرًا. إذا كانت درجة البسط أكبر من درجة المقام، فإن النهاية تميل إلى ما لا نهاية.
أي أن كل حد يساوي الوسط الهندسي لجيرانه.
، اذا متى 
، و
في 
.
.
عدم المساواة يحمل 
للجميع (طبيعي)n>n 0 .
أو 
.
، فإن جميع أعضاء هذا التسلسل، باستثناء الرقم الأخير، سوف يقعون في حي Ε التعسفي للنقطة أ. هندسيًا، تعني حدود التسلسل أن جميع قيمه تقع على مقطع معين.
، ثم أي لاحقة له 
له نفس الحد.
∎
وليتحقق الشرط x n ≥y n لأي n، ثينا 
وبالنسبة للتسلسلات x n ,y n ,z n يتم استيفاء الشرط x n ≥y n ≥z n، ثم لـ 
يجب 
.
