لأي تسلسل محدود رتيب موجود. تسلسلات رقمية

التعريف 1. يسمى التسلسل غير متناقص [غير متزايد] إذا كان كل عنصر من عناصر التسلسل، بدءاً من الثاني، لا يقل عن [ليس أكثر من] العنصر السابق له، أي إذا كانت المتراجحة صحيحة للجميع أرقام

التعريف 2. يسمى التسلسل رتيبًا إذا كان غير متناقص أو غير متزايد.

إذا كانت عناصر التسلسل غير المتناقص لجميع الأرقام تحقق متباينة صارمة، فإن هذا التسلسل يسمى زيادة.

وبالمثل، إذا كانت عناصر التسلسل غير المتزايد لجميع الأرقام تحقق متباينة صارمة، فإن هذا التسلسل يسمى متناقصًا.

لاحظ أنه من الواضح أن كل تسلسل رتيب يحده جانب واحد (إما من الأعلى أو من الأسفل). في الواقع، كل متوالية غير متناقصة تكون محدودة من الأسفل (يمكن اعتبار مقدار عنصرها الأول كحد أدنى)، وكل متوالية غير متزايدة تكون محدودة من الأعلى (يمكن أيضًا اعتبار قيمة عنصرها الأول كحد أعلى). مرتبط ب).

ويترتب على ذلك أن التسلسل غير المتناقص سيكون محدودًا من كلا الجانبين، أو محدودًا ببساطة، إذا وفقط إذا كان محددًا من الأعلى، وسوف يكون التسلسل غير المتزايد محدودًا إذا وفقط إذا كان محدودًا من الأسفل.

دعونا نلقي نظرة على أمثلة التسلسل الرتيب.

1. التسلسل غير متناقص. فهو محدود من الأسفل بحجم عنصره الأول، لكنه لا يقتصر من الأعلى.

2. التسلسل آخذ في التناقص. وهو محدود من الجانبين: من الأعلى بقيمة عنصره الأول 2، ومن الأسفل مثلا بالرقم 1.

تعريف. يسمى التسلسل (x n). محدود، إذا كان هناك رقم M>0 فهذا لأي نعدم المساواة صحيح:

أولئك. ينتمي جميع أعضاء التسلسل إلى الفاصل الزمني (-M؛ M).

على سبيل المثال، المتتابعات 2 0)، 3 0)، 4 0)، 5 0) محدودة، والتسلسل 1 0) غير محدود.

تتبع النظرية مباشرة من تعريف التسلسل المحدود وتعريف نهاية التسلسل:

نظرية. إذا كان x n ® a، فإن التسلسل (x n ) محدود.

وتجدر الإشارة إلى أن القول العكسي غير صحيح، أي. حدود التسلسل لا تعني تقاربها.

على سبيل المثال، التسلسل ليس له حد بالرغم من ذلك

تعريف. يسمى التسلسل (x n). يحدها أعلاه، إذا كان لأي نيوجد رقم M مثل x n £ M.

مثال.(x n ) = 3n – يحدها من الأسفل (3، 6، 9، …).

تسلسلات رتيبة.

تعريف. 1) إذا كان x n +1 > x n لجميع n، فإن التسلسل يتزايد.

2) إذا كانت x n +1 ³ x n لجميع n، فإن التسلسل غير تناقصي.

3) إذا س ن +1< x n для всех n, то последовательность убывающая.

4) إذا كانت x n +1 £ x n لجميع n، فإن التسلسل غير متزايد

وتسمى كل هذه التسلسلات رتيب.تسمى التسلسلات المتزايدة والتناقصية رتيبة تماما.

مثال.(x n ) = 1/n – متناقص ومحدود

(x n ) = n – متزايد وغير محدود.

مثال.أثبت أن المتتابعة (x n )= رتيبة متزايدة.

حل.فلنبحث عن عضو في المتتابعة (x n +1 )=

لنجد علامة الفرق: (x n)-(x n +1)=

، لأن nÎN، فإن المقام يكون موجبًا لأي n.

هكذا x n +1 > x n . التسلسل يتزايد، والذي كان ينبغي إثباته.

مثال.معرفة ما إذا كان التسلسل يتزايد أم يتناقص

حل.دعونا نجد ذلك. دعونا نجد الفرق

لأن nÎN، ثم 1 – 4n<0, т.е. х n+1 < x n . Последовательность монотонно убывает.

تجدر الإشارة إلى أن التسلسلات الرتيبة محدودة على جانب واحد على الأقل.

نظرية. التسلسل المحدود الرتيب له حد.

دليل. النظر في تسلسل رتيب غير متناقص

× 1 جنيه إسترليني × 2 جنيه إسترليني × 3 جنيه إسترليني … جنيه إسترليني × ن جنيه إسترليني × ن +1 جنيه إسترليني …

يحد هذا التسلسل من الأعلى: x n £ M، حيث M هو رقم معين.

لأن أي مجموعة رقمية محددة أعلاه لها حد أعلى واضح، ثم لأي e>0 يوجد رقم N مثل x N > a - e، حيث a هو الحد الأعلى للمجموعة.

لأن (x n) هو تسلسل غير متناقص، ثم لـ N > n a - e< x N £ x n ,

وبالتالي أ - ه< x n < a + e

ه< x n – a < e или ôx n - aô< e, т.е. lim x n = a.

بالنسبة للتسلسلات الرتيبة الأخرى يكون الدليل مشابهًا.

لقد تم إثبات النظرية.

§3. رقم ه.

خذ بعين الاعتبار التسلسل (x n ) = .

إذا كانت المتتابعة (x n) رتيبة ومحدودة، فإن لها نهاية منتهية.

وفقا لصيغة نيوتن ذات الحدين:

أو ما هو نفسه

دعونا نبين أن التسلسل (x n) يتزايد. في الواقع، دعونا نكتب التعبير x n +1 ونقارنه بالتعبير x n:

كل حد في التعبير x n +1 أكبر من القيمة المقابلة x n، وبالإضافة إلى ذلك، x n +1 تمت إضافة حد إيجابي آخر إليه. وبالتالي فإن المتتابعة (x n ) آخذة في التزايد.

لنثبت الآن أن أي n لا تتجاوز حدوده ثلاثة: x n< 3.

لذلك، فإن التسلسل يتزايد بشكل رتيب ويحد من الأعلى، أي. له حد محدود. عادة ما يتم الإشارة إلى هذا الحد بالحرف ه.

وينتج من المتباينة أن e £ 3. وبطرح جميع حدود المساواة لـ (x n)، بدءًا من الرابع، نحصل على:

يمر إلى الحد الأقصى، ونحصل

وبالتالي، فإن الرقم e موجود بين الرقمين 2.5 و 3. إذا أخذنا المزيد من حدود السلسلة، فيمكننا الحصول على تقدير أكثر دقة لقيمة الرقم e.

يمكن إثبات أن الرقم e غير نسبي وقيمته هي 2.71828...

وبالمثل، يمكن أن يظهر ذلك ، توسيع متطلبات x إلى أي رقم حقيقي:

لنفترض:

الرقم e هو أساس اللوغاريتم الطبيعي.

أعلاه هو الرسم البياني للدالة y = lnx.

العلاقة بين اللوغاريتمات الطبيعية والعشرية.

دع x = 10 y، ثم lnx = ln10 y، وبالتالي lnx = yln10

y = , حيث M = 1/ln10 » 0.43429... هي الوحدة الانتقالية.

§4. مفهوم نهاية الوظيفة.

4.1. نهاية الدالة عند نقطة ما.

ص و(خ)

0 أ - د أ أ + د س

دع الدالة f(x) يتم تعريفها في حي معين من النقطة x = a (أي عند النقطة x = a قد لا يتم تعريف الوظيفة)

تعريف. الرقم أ يسمى حدالدالة f(x) لـ x®a، إذا كان لأي e>0 رقم D>0 بحيث يكون لكل x ذلك

التاسع - منظمة العفو الدولية< D

المتراجحة ïf(x) - Aï صحيحة< e.

ويمكن كتابة نفس التعريف بصيغة أخرى:

إذا أ - د< x < a + D, x ¹ a, то верно неравенство А - e < f(x) < A + e.

كتابة نهاية الدالة عند نقطة:

النظريات الأساسية حول الحدود.

النظرية 1. حيث C = ثابت.

النظريات التالية صالحة على افتراض أن الدالتين f(x) وg(x) لهما حدود محدودة لـ x®a.

النظرية 2.

سيتم إعطاء دليل على هذه النظرية أدناه.

النظرية 3.

عاقبة.

النظرية 4. في

النظرية 5. إذا كانت f(x)>0 بالقرب من النقطة x = a و، فإن A>0.

يتم تحديد علامة النهاية عند f(x) بالمثل< 0, f(x) ³ 0, f(x) £ 0.

النظرية 6. إذا كان g(x) £ f(x) £ u(x) بالقرب من النقطة x = a و ثم و .

تعريف. يتم استدعاء الدالة f(x). محدودبالقرب من النقطة x = a، إذا كان هناك رقم M>0 مثل ïf(x)ï

النظرية 7. إذا كانت الدالة f(x) لها نهاية منتهية عند x®a، فهي محدودة بالقرب من النقطة x = a.

دليل. دع ، أي. ، ثم

حيث M = e + ïАï

لقد تم إثبات النظرية.

4.2. حدود من جانب واحد.

تعريف. إذا كان f(x) ® A 1 عند x ® a فقط عند x< a, то - называется حدالدالة f(x) عند النقطة x = a غادر، وإذا كان f(x) ® A 2 لـ x ® a فقط لـ x > a، إذن مُسَمًّى حدالدالة f(x) عند النقطة x = a يمين.

في

يشير التعريف أعلاه إلى الحالة التي لا يتم فيها تعريف الدالة f(x) عند النقطة x = a نفسها، ولكن يتم تعريفها في بعض الأحياء الصغيرة بشكل تعسفي لهذه النقطة.

يُطلق على الحدود A 1 و A 2 أيضًا اسم حدود في اتجاه واحدالدالة f(x) عند النقطة x = a. ويقال أيضاً أن أ- الحد النهائيوظائف و (خ).

4.3.حد الدالة حيث يميل الوسيط إلى ما لا نهاية.

تعريف. الرقم أ يسمى حدالدالة f(x) لـ x®¥، إذا كان لأي رقم e>0 رقم M>0 بحيث يكون عدم المساواة لجميع x وïxï>M

تعريف 1. يسمى التسلسل متناقص (غير متزايدة )، إذا للجميع
عدم المساواة يحمل
.

تعريف 2. الاتساق
مُسَمًّى زيادة (غير متناقصة )، إذا للجميع
عدم المساواة يحمل
.

تعريف 3. تسمى المتتاليات المتناقصة وغير المتزايدة والمتزايدة وغير المتناقصة رتيب وتسمى أيضًا التسلسلات المتناقصة والمتزايدة رتيبة تماما تسلسلات.

من الواضح أن المتتابعة غير المتناقصة يحدها من الأسفل، والمتتابعة غير المتزايدة يحدها من الأعلى. لذلك، من الواضح أن أي تسلسل رتيب يقتصر على جانب واحد.

مثال 1. الاتساق
يزيد ولا ينقص
يتناقص
لا يزيد
- تسلسل غير رتيب.

بالنسبة للتسلسلات الرتيبة، يلعب ما يلي دورًا مهمًا:

نظرية 1. إذا كان التسلسل غير المتناقص (غير المتزايد) محددًا من أعلى (أدناه)، فإنه يتقارب.

دليل. دع التسلسل
لا ينقص ويحد من الأعلى، أي.
والعديد
محدودة من فوق. حسب النظرية 1 § 2 هناك
. دعونا نثبت ذلك
.

دعونا نأخذ
تعسفا. منذ أ- الحد الأعلى الدقيق، هناك رقم ن مثل هذا
. وبما أن المتوالية غير تناقصية، إذن للجميع
لدينا، أي.
، لهذا السبب
للجميع
، وهذا يعني ذلك
.

بالنسبة للمتتابعة غير المتزايدة المحصورة أدناه، يكون الدليل مشابهًا لـ ( يمكن للطلاب إثبات هذا البيان في المنزل بأنفسهم). لقد تم إثبات النظرية.

تعليق. يمكن صياغة النظرية 1 بشكل مختلف.

نظرية 2. لكي يتقارب التسلسل الرتيب، من الضروري والكافي أن يكون محدودًا.

تم تحديد الكفاية في النظرية 1، والضرورة - في النظرية 2 من الفقرة 5.

شرط الرتابة ليس ضروريًا لتقارب التسلسل، لأن التسلسل المتقارب ليس بالضرورة رتيبًا. على سبيل المثال، التسلسل
ليست رتيبة، ولكنها تتقارب إلى الصفر.

عاقبة. إذا كان التسلسل
يزيد (ينقص) ويقتصر من فوق (من أسفل) ثم
(
).

في الواقع، من خلال نظرية 1
(
).

تعريف 4. إذا
في
، ثم يتم استدعاء التسلسل نظام التعاقد من القطاعات المتداخلة .

نظرية 3 (مبدأ الأجزاء المتداخلة). كل نظام تعاقدي للقطاعات المتداخلة لديه نقطة فريدة معينتمون إلى جميع شرائح هذا النظام.

دليل. دعونا نثبت أن هذه النقطة معموجود. منذ
، الذي - التي
وبالتالي التسلسل
لا يقلل، ولكن التسلسل
لا يزيد. في نفس الوقت
و
محدودة بسبب. ثم، وفقا للنظرية 1، هناك
و
ولكن منذ ذلك الحين
، الذي - التي
=
. نقطة وجدت معينتمي إلى جميع أجزاء النظام، وذلك بسبب النتيجة الطبيعية للنظرية 1
,
، أي.
لجميع القيم ن.

دعونا الآن نظهر أن هذه النقطة مع- الوحيد. لنفترض أن هناك نقطتين من هذا القبيل: معو دودع اليقين
. ثم المقطع
ينتمي إلى جميع الشرائح
، أي.
للجميع ن، وهو أمر مستحيل، منذ ذلك الحين
وبالتالي، بدءًا من عدد معين،
. لقد تم إثبات النظرية.

لاحظ أن الشيء الأساسي هنا هو مراعاة الفترات المغلقة، أي. شرائح. إذا نظرنا إلى نظام فترات التعاقد، فإن المبدأ، بشكل عام، غير صحيح. على سبيل المثال، فترات
، من الواضح أن العقد إلى حد ما
، ولكن نقطة
لا ينتمي إلى أي فترة زمنية لهذا النظام.

دعونا الآن نفكر في أمثلة على التسلسلات الرتيبة المتقاربة.

1) الرقم ه.

دعونا الآن نفكر في التسلسل
. كيف تتصرف؟ قاعدة

درجات
، لهذا السبب
؟ على الجانب الآخر،
، أ
، لهذا السبب
؟ أم أنه لا يوجد حد؟

للإجابة على هذه الأسئلة، النظر في التسلسل المساعد
. دعونا نثبت أنه يتناقص ويحد أدناه. وفي الوقت نفسه، سوف نحتاج

ليما. لو
ثم لجميع القيم الطبيعية نلدينا

(متباينة برنولي).

دليل. دعونا نستخدم طريقة الاستقراء الرياضي.

لو
، الذي - التي
، أي. عدم المساواة صحيح.

لنفترض أن هذا صحيح ل
وإثبات صحتها
+1.

يمين
. دعونا نضرب هذا عدم المساواة
:

هكذا، . وهذا يعني، وفقًا لمبدأ الاستقراء الرياضي، أن متباينة برنولي صحيحة بالنسبة لجميع القيم الطبيعية ن. تم إثبات الليما.

دعونا نبين أن التسلسل
يتناقص. لدينا

""عدم المساواة عند برنولي""
، وهذا يعني أن التسلسل
يتناقص.

الحدود من الأسفل تنبع من عدم المساواة
""عدم المساواة عند برنولي""
لجميع القيم الطبيعية ن.

حسب النظرية 1 هناك
، وهو ما يُشار إليه بالحرف ه. لهذا السبب
.

رقم هغير عقلاني ومتعالي، ه= 2.718281828…. وهو كما هو معروف أساس اللوغاريتمات الطبيعية.

ملحوظات. 1) يمكن استخدام متباينة برنولي لإثبات ذلك
في
. في الواقع، إذا
، الذي - التي
. ثم، وفقًا لمتباينة برنولي، مع
. وبالتالي، عند
لدينا
، إنه
في
.

2) في المثال الذي تمت مناقشته أعلاه، قاعدة الدرجة يميل إلى 1، والأس ن- ل أي أن هناك عدم يقين في الشكل . إن عدم اليقين من هذا النوع، كما أظهرنا، يكشفه الحد الملحوظ
.

2)
(*)

دعونا نثبت أن هذا التسلسل يتقارب. للقيام بذلك، نظهر أنه يحدها من الأسفل ولا يزيد. في هذه الحالة، نستخدم المتباينة
للجميع
، وهو نتيجة لعدم المساواة
.

لدينا
انظر عدم المساواة أعلى
، أي. التسلسل يحده أدناه الرقم
.

التالي،
منذ

، أي. لا يزيد التسلسل.

حسب النظرية 1 هناك
، والتي نشير إليها X. تمرير المساواة (*) إلى الحد عند
، نحصل على

، أي.
، أين
(نأخذ علامة الجمع، لأن جميع حدود المتتابعة موجبة).

يتم استخدام التسلسل (*) في الحساب
تقريبًا. ل خذ أي رقم موجب على سبيل المثال، دعونا نجد
. يترك
. ثم
،. هكذا،
.

3)
.

لدينا
. منذ
في
، هناك رقم ن، بحيث يكون ذلك للجميع
عدم المساواة يحمل
. لذلك التسلسل
، بدءًا من رقم ما ن، يتناقص ويحد من الأسفل، منذ ذلك الحين
لجميع القيم ن. وهذا يعني أنه من خلال النظرية 1 هناك
. منذ
لدينا
.

لذا،
.

4)
، يمين - ن جذور.

وباستخدام طريقة الاستقراء الرياضي سوف نبين ذلك
لجميع القيم ن. لدينا
. يترك
. ومن هنا نحصل على عبارة مبنية على مبدأ الاستقراء الرياضي. وباستخدام هذه الحقيقة نجد، أي. التبعية
يزيد ويحد من فوق. ولذلك فهو موجود بسبب
.

هكذا،
.

التي لا تتناقص عناصرها بزيادة عددها، أو على العكس لا تزيد. غالبًا ما يتم العثور على مثل هذه التسلسلات في البحث ولها عدد من الميزات المميزة والخصائص الإضافية. لا يمكن اعتبار تسلسل رقم واحد تصاعديًا أو تنازليًا.

يوتيوب الموسوعي

• 1 / 5

  يجب أن تكون هناك مجموعة إكس (\displaystyle X)، حيث يتم تقديم علاقة الطلب.

  تسلسل عناصر المجموعة إكس (\displaystyle X)مُسَمًّى غير متناقصة إذا كان كل عنصر في هذا التسلسل ليس أكبر من العنصر الذي يليه.

  ( x n ) (\displaystyle \(x_(n)\))- غير متناقصة ⇔ ∀ n ∈ N: x n ⩽ x n + 1 (\displaystyle \Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb (N) \colon x_(n)\leqslant x_(n+1))

  التبعية ( x n ) (\displaystyle \(x_(n)\))عناصر المجموعة إكس (\displaystyle X)مُسَمًّى غير متزايدة إذا كان كل عنصر تالٍ من هذا التسلسل لا يتجاوز العنصر السابق.

  ( x n ) (\displaystyle \(x_(n)\))- غير متزايدة ⇔ ∀ n ∈ N: x n ⩾ x n + 1 (\displaystyle \Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb (N) \colon x_(n)\geqslant x_(n+1))

  التبعية ( x n ) (\displaystyle \(x_(n)\))عناصر المجموعة إكس (\displaystyle X)مُسَمًّى زيادة إذا كان كل عنصر تالٍ في هذا التسلسل أكبر من العنصر السابق.

  ( x n ) (\displaystyle \(x_(n)\))- زيادة ⇔ ∀ ن ∈ ن: س ن< x n + 1 {\displaystyle \Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}

  التبعية ( x n ) (\displaystyle \(x_(n)\))عناصر المجموعة إكس (\displaystyle X)مُسَمًّى متناقص إذا كان كل عنصر في هذا التسلسل أكبر من العنصر الذي يليه.

  ( x n ) (\displaystyle \(x_(n)\))- التناقص ⇔ ∀ n ∈ N: x n > x n + 1 (\displaystyle \Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb (N) \colon x_(n)>x_(n+1))

  رتيبإذا كانت غير متناقصة أو غير متزايدة.

  يسمى التسلسل رتيبة تماما، إذا كان يتزايد أو ينقص.

  من الواضح أن التسلسل الرتيب الصارم هو رتيب.

  في بعض الأحيان يتم استخدام مجموعة متنوعة من المصطلحات حيث يعتبر مصطلح "التسلسل المتزايد" مرادفًا لمصطلح "التسلسل غير المتناقص"، ويعتبر مصطلح "التسلسل المتناقص" مرادفًا لمصطلح "التسلسل غير المتزايد" ". في مثل هذه الحالة، يُطلق على التسلسلين المتزايد والتناقص من التعريف أعلاه اسم "زيادة صارمة" و"تناقص صارم"، على التوالي.

  فترات من الرتابة

  قد يتبين أن الشروط المذكورة أعلاه غير مستوفاة لجميع الأرقام n ∈ N (\displaystyle n\in \mathbb (N))، ولكن فقط للأرقام من نطاق معين

  أنا = ( ن ∈ ن ∣ ن − ⩽ ن< N + } {\displaystyle I=\{n\in \mathbb {N} \mid N_{-}\leqslant n

  (هنا يُسمح بعكس الحد الأيمن ن + (\displaystyle N_(+))إلى ما لا نهاية). في هذه الحالة يتم استدعاء التسلسل رتابة على الفاصل الزمني أنا (\displaystyle I) ، والنطاق نفسه أنا (\displaystyle I)مُسَمًّى فترة من الرتابة تسلسلات.

  إذا كان كل عدد طبيعي n مرتبط بعدد حقيقي x n، فإننا نقول أن المعطى تسلسل رقمي

  س 1 , س 2 , … س ن , …

  رقم س 1 يسمى عضوا في التسلسل مع رقم 1 أو الحد الأول من المتتابعة، رقم س 2- عضو التسلسل مع رقم 2 أو العضو الثاني في التسلسل، الخ. يتم استدعاء الرقم x n عضو في التسلسل مع الرقمن.

  هناك طريقتان لتحديد التسلسلات الرقمية - مع ومع صيغة متكررة.

  التسلسل باستخدام صيغ الحد العام للمتتابعة- هذه مهمة تسلسلية

  س 1 , س 2 , … س ن , …

  باستخدام صيغة تعبر عن اعتماد المصطلح x n على رقمه n.

  مثال 1. تسلسل رقمي

  1, 4, 9, … ن 2 , …

  نظرا باستخدام صيغة المصطلح المشترك

  س ن = ن 2 , ن = 1, 2, 3, …

  تحديد تسلسل باستخدام صيغة تعبر عن عضو التسلسل x n من خلال أعضاء التسلسل بأرقام سابقة يسمى تحديد تسلسل باستخدام صيغة متكررة.

  س 1 , س 2 , … س ن , …

  مُسَمًّى في تسلسل متزايد، أكثرالعضو السابق.

  وبعبارة أخرى، للجميع ن

  س ن + 1 >س ن

  مثال 3. تسلسل الأعداد الطبيعية

  1, 2, 3, … ن, …

  يكون تسلسل تصاعدي.

  التعريف 2. تسلسل الأرقام

  س 1 , س 2 , … س ن , …

  مُسَمًّى تسلسل تنازلي,إذا كان كل عضو في هذا التسلسل أقلالعضو السابق.

  وبعبارة أخرى، للجميع ن= 1، 2، 3، ... تم تحقيق المتراجحة

  س ن + 1 < س ن

  مثال 4. التبعية

  

  تعطى بواسطة الصيغة

  يكون تسلسل تنازلي.

  مثال 5. تسلسل رقمي

  1, - 1, 1, - 1, …

  تعطى بواسطة الصيغة

  س ن = (- 1) ن , ن = 1, 2, 3, …

  ليس كذلك لا زيادة ولا نقصانتسلسل.

  التعريف 3. تسمى التسلسلات الرقمية المتزايدة والمتناقصة تسلسلات رتيبة.

  تسلسلات محدودة وغير محدودة

  التعريف 4. تسلسل الأرقام

  س 1 , س 2 , … س ن , …

  مُسَمًّى محدودة من فوق،إذا كان هناك رقم M بحيث يكون لكل عضو هذا التسلسل أقلأرقام م.

  وبعبارة أخرى، للجميع ن= 1، 2، 3، ... تم تحقيق المتراجحة

  التعريف 5. تسلسل الأرقام

  س 1 , س 2 , … س ن , …

  مُسَمًّى يحدها أدناه،إذا كان هناك رقم m بحيث يكون لكل عضو هذا التسلسل أكثرأرقام م.

  وبعبارة أخرى، للجميع ن= 1، 2، 3، ... تم تحقيق المتراجحة

  التعريف 6. تسلسل الأرقام

  س 1 , س 2 , … س ن , …

  ويسمى محدودا إذا كان محدودة سواء فوق أو تحت.

  بمعنى آخر، هناك أرقام M وm بحيث تكون للجميع ن= 1، 2، 3، ... تم تحقيق المتراجحة

  م< x n < M

  التعريف 7. التسلسلات الرقمية التي ليست محدودة، مُسَمًّى تسلسلات غير محدودة.

  مثال 6. تسلسل رقمي

  1, 4, 9, … ن 2 , …

  تعطى بواسطة الصيغة

  س ن = ن 2 , ن = 1, 2, 3, … ,

  يحدها أدناهعلى سبيل المثال، الرقم 0. ومع ذلك، هذا التسلسل غير محدود من فوق.

  مثال 7. التبعية

  تعطى بواسطة الصيغة

  يكون تسلسل محدود، لأنه للجميع ن= 1، 2، 3، ... تم تحقيق المتراجحة

  يمكنك أيضًا على موقعنا الإلكتروني التعرف على المواد التعليمية التي طورها معلمو مركز تدريب Resolventa للتحضير لامتحان الدولة الموحدة واختبار الدولة الموحدة في الرياضيات.

  لأطفال المدارس الذين يرغبون في الاستعداد الجيد والنجاح امتحان الدولة الموحد في الرياضيات أو اللغة الروسيةللحصول على درجة عالية، يجري مركز التدريب Resolventa

  الدورات التحضيرية لأطفال المدارس في الصفوف 10 و 11