تفكيك الأقواس المربعة. درس "تحليل فروق القوى n"

بالنظر إلى ضرب كثيرات الحدود، تذكرنا عدة صيغ، وهي: صيغ (أ + ب)²، و(أ – ب)²، و(أ + ب) (أ – ب)، و(أ + ب)³ و من أجل (أ – ب)³.

إذا تبين أن كثيرة حدود معينة تتطابق مع إحدى هذه الصيغ، فسيكون من الممكن تحليلها. على سبيل المثال، كثيرة الحدود a² – 2ab + b²، كما نعلم، تساوي (a – b)² [أو (a – b) · (a – b)، أي أننا تمكنا من تحليل a² – 2ab + b² إلى عاملين ]; أيضًا

دعونا ننظر إلى الثاني من هذه الأمثلة. نرى أن كثيرة الحدود الواردة هنا تناسب الصيغة التي تم الحصول عليها عن طريق تربيع الفرق بين رقمين (مربع الرقم الأول، ناقص حاصل ضرب اثنين في الرقم الأول والثاني، بالإضافة إلى مربع الرقم الثاني): x 6 هو مربع الرقم الأول، وبالتالي فإن الرقم الأول نفسه هو x 3، ومربع الرقم الثاني هو الحد الأخير من كثير الحدود المحدد، أي 1، وبالتالي فإن الرقم الثاني نفسه هو 1 أيضًا؛ حاصل ضرب اثنين بالرقم الأول والثاني هو الحد -2x 3، لأن 2x 3 = 2 x 3 1. لذلك، تم الحصول على كثيرة الحدود لدينا عن طريق تربيع الفرق بين الرقمين x 3 و 1، أي أنه يساوي (× ٣ – ١٢ . دعونا ننظر إلى المثال الرابع آخر. نرى أن كثيرة الحدود هذه a 2 b 2 – 25 يمكن اعتبارها بمثابة الفرق بين مربعي رقمين، أي مربع الرقم الأول هو a 2 b 2، وبالتالي فإن الرقم الأول نفسه هو ab، مربع العدد الرقم الثاني هو 25، لماذا الرقم الثاني نفسه هو 5. لذلك، يمكن اعتبار كثير الحدود لدينا كما لو تم الحصول عليه من ضرب مجموع رقمين في الفرق بينهما، أي.

(أب + 5) (أب – 5).

في بعض الأحيان يحدث أنه في كثيرة حدود معينة لا يتم ترتيب الحدود بالترتيب الذي اعتدنا عليه، على سبيل المثال.

9a 2 + b 2 + 6ab – يمكننا إعادة ترتيب الحدين الثاني والثالث ذهنيًا، ومن ثم سيتضح لنا أن ثلاثية الحدود = (3a + b) 2.

... (نعيد ترتيب الحدين الأول والثاني ذهنياً).

25أ 6 + 1 – 10× 3 = (5× 3 – 1) 2، إلخ.

دعونا نفكر في كثير الحدود آخر

أ 2 + 2 أ + 4 ب 2 .

نرى أن حده الأول هو مربع العدد أ والحد الثالث هو مربع العدد 2ب، لكن الحد الثاني ليس حاصل ضرب اثنين في العدد الأول والثاني، فمثل هذا الناتج سيكون مساويًا لـ 2 أ 2 ب = 4 أ ب. لذلك، من المستحيل تطبيق صيغة مربع مجموع رقمين على كثيرة الحدود هذه. إذا كتب شخص ما أن a 2 + 2ab + 4b 2 = (a + 2b) 2، فسيكون هذا غير صحيح - يجب على المرء أن يدرس بعناية جميع شروط كثيرة الحدود قبل تطبيق التحليل عليها باستخدام الصيغ.

40. مزيج من كلا التقنيتين. في بعض الأحيان، عند تحليل كثيرات الحدود إلى عوامل، يتعين عليك الجمع بين أسلوب إخراج العامل المشترك من الأقواس وأسلوب استخدام الصيغ. فيما يلي أمثلة:

1.2أ3 – 2أ2. لنأخذ أولًا العامل المشترك 2a من الأقواس، ونحصل على 2a (a 2 – b 2). ويتحلل العامل a 2 – b 2 بدوره وفقًا للصيغة إلى عوامل (a + b) و (a – b).

في بعض الأحيان يتعين عليك استخدام تقنية تحليل الصيغة عدة مرات:

1. أ 4 – ب 4 = (أ 2 + ب 2) (أ 2 – ب 2)

نرى أن العامل الأول a 2 + b 2 لا يتوافق مع أي من الصيغ المألوفة؛ علاوة على ذلك، وبالتذكير بحالات القسمة الخاصة (البند 37)، سنثبت أنه لا يمكن تحليل a 2 + b 2 (مجموع مربعي رقمين) على الإطلاق. يتحلل العامل الثاني من العوامل الناتجة a 2 – b 2 (الفرق بمربع رقمين) إلى عوامل (a + b) و (a – b). لذا،

41. تطبيق حالات خاصة بالقسمة. استنادا إلى الفقرة 37، يمكننا أن نكتب على الفور، على سبيل المثال،

يعد تحليل كثيرات الحدود بمثابة تحويل للهوية، ونتيجة لذلك يتم تحويل كثيرات الحدود إلى منتج عدة عوامل - كثيرات الحدود أو أحاديات الحد.

هناك عدة طرق لتحليل كثيرات الحدود.

الطريقة الأولى: إخراج العامل المشترك من الأقواس.

يعتمد هذا التحويل على قانون التوزيع للضرب: ac + bc = c(a + b). وجوهر التحول هو عزل العامل المشترك بين المكونين قيد النظر و"إخراجه" من الأقواس.

فلنحلل كثيرة الحدود 28x3 - 35x4.

حل.

1. ابحث عن القاسم المشترك للعنصرين 28x3 و 35x4. ل 28 و 35 سيكون 7؛ لـ x 3 و x 4 - x 3. بمعنى آخر، العامل المشترك لدينا هو 7x3.

2. نمثل كل عنصر من العناصر كحاصل ضرب العوامل، أحدها
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x.

3. نخرج العامل المشترك من الأقواس
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 – 5x).

الطريقة الثانية. استخدام صيغ الضرب المختصرة. "إتقان" استخدام هذه الطريقة هو ملاحظة إحدى صيغ الضرب المختصرة في التعبير.

دعونا نقوم بتحليل كثير الحدود x 6 – 1.

حل.

1. يمكننا تطبيق صيغة فرق المربعات على هذا التعبير. للقيام بذلك، تخيل x 6 كـ (x 3) 2، و1 كـ 1 2، أي. 1. التعبير سوف يأخذ الشكل:
(× 3) 2 – 1 = (× 3 + 1) ∙ (× 3 – 1).

2. يمكننا تطبيق صيغة مجموع وفرق المكعبات على التعبير الناتج:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

لذا،
س 6 – 1 = (x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x) 2 + س + 1).

الطريقة الثالثة: التجميع. تتمثل طريقة التجميع في الجمع بين مكونات كثيرة الحدود بطريقة تجعل من السهل إجراء العمليات عليها (الجمع والطرح والطرح للعامل المشترك).

دعونا نحلل كثيرة الحدود x 3 - 3x 2 + 5x - 15.

حل.

1. دعونا نجمع المكونات بهذه الطريقة: الأول مع الثاني، والثالث مع الرابع
(× 3 – 3× 2) + (5× – 15).

2. في التعبير الناتج، نخرج العوامل المشتركة من الأقواس: x 2 في الحالة الأولى و5 في الحالة الثانية.
(س 3 - 3س 2) + (5س - 15) = س 2 (س - 3) + 5(س - 3).

3. نأخذ العامل المشترك x - 3 من بين قوسين ونحصل على:
س 2 (س – 3) + 5(س – 3) = (س – 3)(س 2 + 5).

لذا،
س 3 – 3س 2 + 5س – 15 = (س 3 – 3س 2) + (5س – 15) = س 2 (س – 3) + 5(س – 3) = (س – 3) ∙ (س 2 + 5) ).

دعونا تأمين المواد.

عامل كثير الحدود a 2 – 7ab + 12b 2 .

حل.

1. دعونا نمثل وحيدة الحد 7ab كمجموع 3ab + 4ab. التعبير سوف يأخذ الشكل :
أ2 – (3ب + 4ب) + 12ب2.

دعونا نفتح الأقواس ونحصل على:
أ2 – 3ب – 4ب + 12ب2.

2. دعونا نجمع مكونات كثيرة الحدود بهذه الطريقة: الأول مع الثاني والثالث مع الرابع. نحن نحصل:
(أ2 – 3ب) – (4ب – 12ب2).

3. لنخرج العوامل المشتركة من الأقواس:
(أ 2 – 3ب) – (4ب – 12ب 2) = أ(أ – 3ب) – 4ب(أ – 3ب).

4. لنخرج العامل المشترك (أ – 3ب) من الأقواس:
أ(أ – 3ب) – 4ب(أ – 3ب) = (أ – 3 ب) ∙ (أ – 4ب).

لذا،
أ 2 - 7أ + 12 ب 2 =
= أ 2 - (3ب + 4ب) + 12ب2 =
= أ 2 – 3ب – 4ب + 12ب 2 =
= (أ2 – 3ب) – (4ب – 12ب2) =
= أ(أ – 3ب) – 4ب(أ – 3ب) =
= (أ – 3 ب) ∙ (أ – 4ب).

الموقع الإلكتروني، عند نسخ المادة كليًا أو جزئيًا، يلزم وجود رابط للمصدر الأصلي.

عند حل المعادلات والمتباينات، غالبًا ما يكون من الضروري تحليل كثيرة الحدود التي تبلغ درجتها ثلاثة أو أعلى. في هذه المقالة سننظر في أسهل طريقة للقيام بذلك.

كالعادة، دعونا ننتقل إلى النظرية للحصول على المساعدة.

نظرية بيزوتينص على أن الباقي عند قسمة كثيرة الحدود على ذات الحدين هو .

لكن المهم بالنسبة لنا ليس النظرية نفسها، بل نتيجة طبيعية منه:

إذا كان الرقم هو جذر كثيرة الحدود، فإن كثيرة الحدود تكون قابلة للقسمة على ذات الحدين دون باقي.

نحن نواجه مهمة إيجاد جذر واحد على الأقل لكثيرة الحدود، ثم قسمة كثير الحدود على أين يوجد جذر كثير الحدود. ونتيجة لذلك، نحصل على كثيرة حدود درجتها أقل من درجة الأصل. وبعد ذلك، إذا لزم الأمر، يمكنك تكرار العملية.

وتنقسم هذه المهمة إلى قسمين: كيفية العثور على جذر كثيرة الحدود، وكيفية تقسيم كثيرة الحدود على ذات الحدين.

دعونا نلقي نظرة فاحصة على هذه النقاط.

1. كيفية العثور على جذر كثير الحدود.

أولاً، نتحقق مما إذا كان الرقمان 1 و -1 هما جذور كثيرة الحدود.

الحقائق التالية ستساعدنا هنا:

إذا كان مجموع معاملات كثيرة الحدود يساوي صفرًا، فإن العدد هو جذر كثيرة الحدود.

على سبيل المثال، في كثيرة الحدود يكون مجموع المعاملات صفرًا: . من السهل التحقق من جذر كثير الحدود.

إذا كان مجموع معاملات كثيرة الحدود للقوى الزوجية يساوي مجموع معاملات كثيرة الحدود للقوى الفردية، فإن العدد هو جذر كثيرة الحدود.يعتبر الحد الحر معاملًا للدرجة الزوجية، حيث أن a هو رقم زوجي.

على سبيل المثال، في كثيرة الحدود مجموع معاملات القوى الزوجية هو: ومجموع معاملات القوى الفردية هو: . من السهل التحقق من جذر كثير الحدود.

إذا لم يكن 1 أو -1 جذورًا لكثيرة الحدود، فإننا ننتقل.

بالنسبة لكثيرة الحدود ذات الدرجة المخفضة (أي كثيرة الحدود التي يكون فيها المعامل الرئيسي - المعامل at - مساويًا للوحدة)، تكون صيغة فييتا صالحة:

أين هي جذور كثير الحدود.

هناك أيضًا صيغ فييتا تتعلق بالمعاملات المتبقية لكثيرة الحدود، لكننا مهتمون بهذه الصيغة.

من صيغة فييتا يتبع ذلك إذا كانت جذور كثيرة الحدود أعدادًا صحيحة، فهي مقسومة على حدها الحر، وهو أيضًا عدد صحيح.

بناء على هذا، نحتاج إلى تحليل الحد الحر لكثيرة الحدود إلى عوامل، وبالتسلسل، من الأصغر إلى الأكبر، نتحقق من أي من العوامل هو جذر كثير الحدود.

خذ بعين الاعتبار، على سبيل المثال، كثير الحدود

قواسم المصطلح الحر : ; ; ;

مجموع كل معاملات كثيرة الحدود يساوي، وبالتالي فإن الرقم 1 ليس جذر كثيرة الحدود.

مجموع معاملات القوى الزوجية:

مجموع معاملات القوى الفردية:

ولذلك، فإن الرقم -1 أيضًا ليس جذرًا لكثيرة الحدود.

دعونا نتحقق مما إذا كان الرقم 2 هو جذر كثيرة الحدود: وبالتالي، فإن الرقم 2 هو جذر كثيرة الحدود. وهذا يعني، وفقًا لنظرية بيزوت، أن كثيرة الحدود قابلة للقسمة على ذات الحدين دون باق.

2. كيفية تقسيم كثيرة الحدود إلى ذات الحدين.

يمكن تقسيم كثيرة الحدود إلى ذات الحدين بواسطة عمود.

اقسم كثيرة الحدود على ذات الحدين باستخدام عمود:

هناك طريقة أخرى لتقسيم كثيرة الحدود على ذات الحدين - مخطط هورنر.

شاهد هذا الفيديو لتفهم كيفية قسمة كثيرة الحدود على ذات الحدين بعمود، واستخدام مخطط هورنر.

ألاحظ أنه عند القسمة على عمود، إذا كانت هناك درجة معينة من المجهول مفقودة في كثيرة الحدود الأصلية، فإننا نكتب 0 في مكانها - بنفس الطريقة عند تجميع جدول لمخطط هورنر.

لذلك، إذا كنا بحاجة إلى قسمة كثيرة الحدود على ذات الحدين ونتيجة للقسمة نحصل على كثيرة الحدود، فيمكننا إيجاد معاملات كثيرة الحدود باستخدام مخطط هورنر:

يمكننا أيضا أن نستخدم مخطط هورنرللتحقق مما إذا كان الرقم المحدد هو جذر كثيرة الحدود: إذا كان الرقم هو جذر كثيرة الحدود، فإن الباقي عند قسمة كثيرة الحدود يساوي الصفر، أي في العمود الأخير من الصف الثاني من مخطط هورنر نحصل على 0.

باستخدام مخطط هورنر، "نقتل عصفورين بحجر واحد": نتحقق في نفس الوقت مما إذا كان الرقم هو جذر كثير الحدود ونقسم هذا كثير الحدود على ذو الحدين.

مثال.حل المعادلة:

1. دعونا نكتب مقسومات الحد الحر ونبحث عن جذور كثيرة الحدود بين مقسومات الحد الحر.

مقسومات 24:

2. دعونا نتحقق مما إذا كان الرقم 1 هو جذر كثيرة الحدود.

مجموع معاملات كثيرة الحدود، وبالتالي فإن الرقم 1 هو جذر كثيرة الحدود.

3. قم بتقسيم كثيرة الحدود الأصلية إلى ذات الحدين باستخدام مخطط هورنر.

أ) دعونا نكتب معاملات كثيرة الحدود الأصلية في الصف الأول من الجدول.

نظرًا لأن المصطلح المحتوي مفقود، في عمود الجدول الذي يجب أن يُكتب فيه المعامل نكتب 0. على اليسار نكتب الجذر الذي تم العثور عليه: الرقم 1.

ب) املأ الصف الأول من الجدول.

في العمود الأخير، كما هو متوقع، حصلنا على صفر؛ لقد قسمنا كثيرة الحدود الأصلية على ذات الحدين بدون باقي. معاملات كثيرة الحدود الناتجة عن القسمة موضحة باللون الأزرق في الصف الثاني من الجدول:

من السهل التحقق من أن الرقمين 1 و-1 ليسا جذورًا لكثيرة الحدود

ب) دعونا نواصل الجدول. دعونا نتحقق مما إذا كان الرقم 2 هو جذر كثيرة الحدود:

إذن درجة كثيرة الحدود، التي يتم الحصول عليها نتيجة القسمة على واحد، أقل من درجة كثيرة الحدود الأصلية، وبالتالي فإن عدد المعاملات وعدد الأعمدة أقل بمقدار واحد.

في العمود الأخير حصلنا على -40 - رقم لا يساوي الصفر، وبالتالي فإن كثير الحدود قابل للقسمة على ذات الحدين مع باقي، والرقم 2 ليس جذر كثير الحدود.

ج) دعونا نتحقق مما إذا كان الرقم -2 هو جذر كثيرة الحدود. وبما أن المحاولة السابقة فشلت، لتجنب الخلط مع المعاملات، سأقوم بمسح السطر المقابل لهذه المحاولة:

عظيم! لقد حصلنا على صفر كباقي، لذلك تم تقسيم كثيرة الحدود إلى ذات الحدين بدون باقي، وبالتالي فإن الرقم -2 هو جذر كثيرة الحدود. معاملات كثيرة الحدود التي يتم الحصول عليها عن طريق قسمة كثيرة الحدود على ذات الحدين موضحة باللون الأخضر في الجدول.

ونتيجة القسمة نحصل على ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية ، والتي يمكن العثور على جذورها بسهولة باستخدام نظرية فييتا:

إذن جذور المعادلة الأصلية هي:

{}

إجابة: ( }

يتم مواجهة مفاهيم "متعددة الحدود" و "تحليل متعدد الحدود" في الجبر في كثير من الأحيان، لأنك تحتاج إلى معرفتها من أجل إجراء العمليات الحسابية بسهولة بأعداد كبيرة متعددة الأرقام. سوف تصف هذه المقالة العديد من طرق التحلل. جميعها سهلة الاستخدام، كل ما عليك فعله هو اختيار الخيار المناسب لكل حالة على حدة.

مفهوم كثير الحدود

متعدد الحدود هو مجموع أحاديات الحد، أي التعبيرات التي تحتوي فقط على عملية الضرب.

على سبيل المثال، 2 * x * y هي أحادية الحد، لكن 2 * x * y + 25 هي كثيرة الحدود التي تتكون من وحدتين: 2 * x * y و 25. وتسمى هذه كثيرات الحدود ذات الحدين.

في بعض الأحيان، لتسهيل حل الأمثلة ذات القيم متعددة القيم، يجب تحويل التعبير، على سبيل المثال، متحلل إلى عدد معين من العوامل، أي الأرقام أو التعبيرات التي يتم من خلالها تنفيذ إجراء الضرب. هناك عدد من الطرق لتحليل كثير الحدود. يجدر النظر فيها بدءًا من الأكثر بدائية المستخدمة في المدرسة الابتدائية.

التجميع (السجل بشكل عام)

تبدو صيغة تحليل كثيرة الحدود باستخدام طريقة التجميع بشكل عام كما يلي:

أس + دينار بحريني + قبل الميلاد + إعلان = (AC + قبل الميلاد) + (إعلان + دينار بحريني)

من الضروري تجميع أحاديات الحد بحيث يكون لكل مجموعة عامل مشترك. في القوس الأول هذا هو العامل ج، وفي الثانية - د. يجب أن يتم ذلك من أجل إخراجه من القوس، وبالتالي تبسيط الحسابات.

خوارزمية التحلل باستخدام مثال محدد

أبسط مثال على تحليل كثير الحدود باستخدام طريقة التجميع موضح أدناه:

10ج + 14ج - 25أ - 35ب = (10ج - 25أ) + (14ج - 35ب)

في القوس الأول، عليك أن تأخذ الحدود مع العامل أ، الذي سيكون مشتركًا، وفي الثانية - مع العامل ب. انتبه إلى علامتي + و- في التعبير النهائي. نضع أمام وحيدة الحد الإشارة التي كانت في التعبير الأولي. وهذا هو، لا تحتاج إلى العمل مع التعبير 25A، ولكن مع التعبير -25. يبدو أن علامة الطرح "ملتصقة" بالتعبير الموجود خلفها ويتم أخذها في الاعتبار دائمًا عند الحساب.

في الخطوة التالية، عليك إخراج المضاعف، وهو أمر شائع، من بين قوسين. وهذا هو بالضبط ما تهدف إليه المجموعة. إن الوضع خارج القوس يعني أن تكتب قبل القوس (مع حذف علامة الضرب) جميع العوامل التي تتكرر تمامًا في جميع الحدود الموجودة بين القوسين. إذا لم يكن هناك حدين، بل ثلاثة حدود أو أكثر بين قوسين، فيجب تضمين العامل المشترك في كل منهما، وإلا فلن يمكن إخراجه من القوس.

في حالتنا، هناك مصطلحين فقط بين قوسين. المضاعف الإجمالي مرئي على الفور. في القوس الأول هو أ، وفي الثاني هو ب. هنا عليك الانتباه إلى المعاملات الرقمية. في القوس الأول، كلا المعاملين (10 و 25) من مضاعفات الرقم 5. وهذا يعني أنه ليس فقط a، ولكن أيضًا 5a يمكن إخراجهما من القوس. قبل القوس، اكتب 5أ، ثم قسّم كل حد من الحدود بين القوسين على العامل المشترك الذي تم إخراجه، واكتب أيضًا الناتج بين القوسين، دون أن تنسى علامتي + و - افعل الشيء نفسه مع القوس الثاني، خذ 7ب، بالإضافة إلى 14 و 35 من مضاعفات 7.

10ج + 14بج - 25أ - 35ب = (10ج - 25أ) + (14بج - 35ب) = 5أ(2ج - 5) + 7ب(2ج - 5).

حصلنا على حدين: 5أ(2ج - 5) و7ب(2ج - 5). يحتوي كل واحد منهم على عامل مشترك (التعبير بأكمله بين قوسين هو نفسه هنا، مما يعني أنه عامل مشترك): 2ج - 5. ويجب أيضًا إخراجه من القوس، أي أن المصطلحين 5أ و7ب سيظلان في القوس الثاني:

5أ(2ج - 5) + 7ب(2ج - 5) = (2ج - 5)*(5أ + 7ب).

وبالتالي فإن التعبير الكامل هو:

10ج + 14بج - 25أ - 35ب = (10ج - 25أ) + (14بج - 35ب) = 5أ(2ج - 5) + 7ب(2ج - 5) = (2ج - 5)*(5أ + 7ب).

وبالتالي، فإن كثير الحدود 10ac + 14bc - 25a - 35b ينقسم إلى عاملين: (2c - 5) و (5a + 7b). ويمكن حذف علامة الضرب بينهما عند الكتابة

في بعض الأحيان توجد تعبيرات من هذا النوع: 5a 2 + 50a 3، هنا يمكنك وضع الأقواس ليس فقط a أو 5a، ولكن حتى 5a 2. يجب عليك دائمًا محاولة وضع العامل المشترك الأكبر خارج القوس. في حالتنا، إذا قسمنا كل حد على عامل مشترك، نحصل على:

5أ 2 / 5أ 2 = 1؛ 50 أ 3 / 5 أ 2 = 10 أ(عند حساب حاصل قسمة عدة قوى ذات أسس متساوية، يتم الحفاظ على الأساس وطرح الأس). وبالتالي، تظل الوحدة بين القوسين (لا تنسَ بأي حال من الأحوال أن تكتب واحدة إذا أخرجت أحد الحدود من القوس) وحاصل القسمة: 10 أ. لقد أتضح أن:

5أ2 + 50أ3 = 5أ2 (1 + 10أ)

الصيغ المربعة

لسهولة الحساب، تم اشتقاق العديد من الصيغ. تسمى هذه صيغ الضرب المختصرة وتستخدم في كثير من الأحيان. تساعد هذه الصيغ في تحليل كثيرات الحدود التي تحتوي على درجات. هذه طريقة فعالة أخرى للتحليل. إذن ها هم:

• أ 2 + 2أ + ب 2 = (أ + ب) 2 -صيغة تسمى "مربع المجموع" ، لأنه نتيجة للتحلل إلى مربع ، يتم أخذ مجموع الأرقام الموجودة بين قوسين ، أي أن قيمة هذا المجموع مضروبة في نفسها مرتين ، وبالتالي فهي المضاعف.
• أ 2 + 2 أ ب - ب 2 = (أ - ب) 2 - صيغة مربع الفرق مشابهة للصيغة السابقة. والنتيجة هي الفرق، بين قوسين، الموجود في مربع القوة.
• أ 2 - ب 2 = (أ + ب)(أ - ب)- هذه صيغة للفرق بين المربعات، حيث أن كثير الحدود يتكون في البداية من مربعين من الأرقام أو التعبيرات، يتم إجراء الطرح بينهما. ربما، من بين الثلاثة المذكورة، يتم استخدامه في أغلب الأحيان.

أمثلة على العمليات الحسابية باستخدام الصيغ المربعة

الحسابات بالنسبة لهم بسيطة للغاية. على سبيل المثال:

1. 25x2 + 20xy + 4y 2 - استخدم صيغة "مربع المبلغ".
2. 25x2 هو مربع 5x. 20xy هو المنتج المزدوج لـ 2*(5x*2y)، و4y 2 هو مربع 2y.
3. وبالتالي، 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2y) 2 = (5x + 2y)(5x + 2y).ينقسم كثير الحدود هذا إلى عاملين (العوامل متماثلة، لذلك يتم كتابته كتعبير ذو قوة مربعة).

يتم تنفيذ الإجراءات التي تستخدم صيغة الفرق التربيعي بشكل مشابه لهذه الإجراءات. الصيغة المتبقية هي فرق المربعات. من السهل جدًا تحديد أمثلة هذه الصيغة والعثور عليها من بين التعبيرات الأخرى. على سبيل المثال:

• 25أ 2 - 400 = (5أ - 20)(5أ + 20). بما أن 25أ 2 = (5 أ) 2، و 400 = 20 2
• 36x 2 - 25y 2 = (6x - 5y) (6x + 5y). بما أن 36x 2 = (6x) 2، و25y 2 = (5y 2)
• ج2 - 169ب2 = (ج - 13ب)(ج+13ب). بما أن 169ب2 = (13ب)2

من المهم أن يكون كل مصطلح عبارة عن مربع لبعض التعبيرات. ثم يجب تحليل كثير الحدود هذا باستخدام صيغة فرق المربعات. ولهذا لا يشترط أن تكون الدرجة الثانية فوق العدد. هناك كثيرات الحدود التي تحتوي على درجات كبيرة، ولكنها لا تزال مناسبة لهذه الصيغ.

أ 8 +10أ 4 +25 = (أ 4) 2 + 2*أ 4 *5 + 5 2 = (أ 4 +5) 2

في هذا المثال، يمكن تمثيل الرقم 8 كـ (a 4) 2، أي مربع تعبير معين. 25 يساوي 5 2، و10أ يساوي 4 - هذا هو المنتج المزدوج للحدود 2 * أ 4 * 5. وهذا يعني أن هذا التعبير، على الرغم من وجود درجات ذات أسس كبيرة، يمكن تقسيمه إلى عاملين للعمل معهم لاحقًا.

صيغ المكعب

توجد نفس الصيغ لتحليل كثيرات الحدود التي تحتوي على مكعبات. إنها أكثر تعقيدًا قليلاً من تلك ذات المربعات:

• أ 3 + ب 3 = (أ + ب)(أ 2 - أ ب + ب 2)- تسمى هذه الصيغة مجموع المكعبات، حيث أن كثير الحدود في شكله الأولي هو مجموع تعبيرين أو رقمين محاطين بالمكعب.
• أ 3 - ب 3 = (أ - ب)(أ 2 + أ + ب 2) -يتم تحديد صيغة مماثلة للصيغة السابقة على أنها فرق المكعبات.
• أ 3 + 3 أ 2 ب + 3 أ ب 2 + ب 3 = (أ + ب) 3 - مكعب المجموع، نتيجة للحسابات، يتم وضع مجموع الأرقام أو التعبيرات بين قوسين وضربها في نفسها 3 مرات، أي أنها تقع في مكعب
• أ 3 - 3 أ 2 ب + 3 أ 2 - ب 3 = (أ - ب) 3 -الصيغة التي تم تجميعها عن طريق القياس مع الصيغة السابقة، والتي تغير فقط بعض علامات العمليات الرياضية (زائد وناقص)، تسمى "مكعب الفرق".

لا يتم استخدام الصيغتين الأخيرتين عمليا لغرض تحليل كثيرة الحدود، لأنها معقدة، ومن النادر العثور على كثيرات الحدود التي تتوافق تمامًا مع هذه البنية بالضبط بحيث يمكن تحليلها باستخدام هذه الصيغ. لكنك لا تزال بحاجة إلى معرفتها، لأنها ستكون مطلوبة عند العمل في الاتجاه المعاكس - عند فتح الأقواس.

أمثلة على صيغ المكعب

لنلقي نظرة على مثال: 64a 3 − 8b 3 = (4a) 3 − (2b) 3 = (4a − 2b)((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a−2b)(16a 2 + 8ab + 4b 2) ).

تم أخذ أرقام بسيطة جدًا هنا، لذلك يمكنك أن ترى على الفور أن 64a 3 هو (4a) 3، و8b 3 هو (2b) 3. وبالتالي، يتم توسيع متعدد الحدود هذا وفقًا لاختلاف صيغة المكعبات إلى عاملين. يتم تنفيذ الإجراءات باستخدام صيغة مجموع المكعبات عن طريق القياس.

من المهم أن نفهم أنه لا يمكن توسيع جميع كثيرات الحدود بطريقة واحدة على الأقل. ولكن هناك تعبيرات تحتوي على قوى أكبر من المربع أو المكعب، ولكن يمكن أيضًا توسيعها إلى أشكال الضرب المختصرة. على سبيل المثال: x 12 + 125y 3 =(x 4) 3 +(5y) 3 =(x 4 +5y)*((x 4) 2 − x 4 *5y+(5y) 2)=(x 4 + 5y) ( س 8 − 5س 4 ص + 25ص 2).

يحتوي هذا المثال على ما يصل إلى الدرجة الثانية عشرة. ولكن حتى يمكن تحليله باستخدام صيغة مجموع المكعبات. للقيام بذلك، عليك أن تتخيل x 12 كـ (x 4) 3، أي كمكعب لبعض التعبيرات. الآن، بدلًا من a، عليك استبداله في الصيغة. حسنًا، التعبير 125y 3 هو مكعب طوله 5y. بعد ذلك، تحتاج إلى إنشاء المنتج باستخدام الصيغة وإجراء العمليات الحسابية.

في البداية، أو في حالة الشك، يمكنك دائمًا التحقق من خلال الضرب العكسي. كل ما عليك فعله هو فتح الأقواس في التعبير الناتج وتنفيذ إجراءات بمصطلحات مماثلة. تنطبق هذه الطريقة على جميع طرق الاختزال المذكورة: سواء للعمل مع العامل المشترك والتجميع، أو للعمل مع صيغ المكعبات والقوى التربيعية.

تحليل المعادلة هو عملية إيجاد تلك الحدود أو التعبيرات التي تؤدي إلى المعادلة الأولية عند ضربها. يعد التحليل مهارة مفيدة لحل مسائل الجبر الأساسية، ويصبح ضروريًا تقريبًا عند التعامل مع المعادلات التربيعية ومتعددات الحدود الأخرى. يستخدم التحليل لتبسيط المعادلات الجبرية لتسهيل حلها. يمكن أن يساعدك التحليل في استبعاد بعض الإجابات المحتملة بشكل أسرع مما تفعله عن طريق حل المعادلة يدويًا.

خطوات

تحليل الأعداد والتعابير الجبرية الأساسية

1. أرقام التخصيم.إن مفهوم التخصيم بسيط، ولكن من الناحية العملية، يمكن أن يكون التخصيم صعبًا (إذا تم إعطاء معادلة معقدة). لذا، دعونا أولاً نلقي نظرة على مفهوم التحليل باستخدام الأرقام كمثال، ونستمر في المعادلات البسيطة، ثم ننتقل إلى المعادلات المعقدة. عوامل عدد معين هي الأرقام التي عند ضربها تعطي العدد الأصلي. على سبيل المثال، عوامل الرقم 12 هي الأرقام: 1، 12، 2، 6، 3، 4، حيث أن 1*12=12، 2*6=12، 3*4=12.

   • وبالمثل، يمكنك اعتبار عوامل الرقم بمثابة قواسمه، أي الأرقام التي يقبل الرقم القسمة عليها.
   • أوجد جميع عوامل الرقم 60. غالبًا ما نستخدم الرقم 60 (على سبيل المثال، 60 دقيقة في الساعة، 60 ثانية في الدقيقة، وما إلى ذلك) وهذا الرقم له عدد كبير جدًا من العوامل.
     • 60 مضاعفًا: 1، 2، 3، 4، 5، 6، 10، 12، 15، 20، 30 و60.

2. يتذكر:يمكن أيضًا تحليل مصطلحات التعبير الذي يحتوي على معامل (رقم) ومتغير. للقيام بذلك، أوجد عوامل المعامل للمتغير. بمعرفة كيفية تحليل حدود المعادلات، يمكنك بسهولة تبسيط هذه المعادلة.

   • على سبيل المثال، يمكن كتابة المصطلح 12x كحاصل ضرب 12 وx. يمكنك أيضًا كتابة 12x على هيئة 3(4x) و2(6x) وما إلى ذلك، مع تقسيم 12 إلى العوامل التي تناسبك بشكل أفضل.
     • يمكنك التعامل 12x عدة مرات على التوالي. بمعنى آخر، لا يجب أن تتوقف عند 3(4x) أو 2(6x)؛ تابع التوسيع: 3(2(2x)) أو 2(3(2x)) (من الواضح 3(4x)=3(2(2x)))، وما إلى ذلك)

3. تطبيق خاصية التوزيع للضرب على المعادلات الجبرية.بمعرفة كيفية تحليل الأعداد ومصطلحات التعبير (المعاملات مع المتغيرات)، يمكنك تبسيط المعادلات الجبرية البسيطة من خلال إيجاد العامل المشترك لعدد ومصطلح تعبيري. عادةً، لتبسيط المعادلة، تحتاج إلى إيجاد العامل المشترك الأكبر (GCD). هذا التبسيط ممكن بسبب خاصية التوزيع للضرب: لأي أرقام a، b، c، المساواة a(b+c) = ab+ac صحيحة.

   • مثال. قم أولاً بتحليل المعادلة 12x + 6. أولًا، أوجد gcd لـ 12x و6. 6 هو أكبر رقم يقسم كلاً من 12x و6، لذا يمكنك تحليل هذه المعادلة إلى: 6(2x+1).
   • تنطبق هذه العملية أيضًا على المعادلات التي تحتوي على حدود سالبة وكسرية. على سبيل المثال، يمكن تحليل x/2+4 إلى 1/2(x+8); على سبيل المثال، يمكن تحليل -7x+(-21) إلى -7(x+3).

   تحليل المعادلات التربيعية

   1. تأكد من أن المعادلة معطاة في الصورة التربيعية (ax 2 + bx + c = 0).المعادلات التربيعية لها الشكل: ax 2 + bx + c = 0، حيث a، b، c هي معاملات رقمية غير 0. إذا أعطيت معادلة بمتغير واحد (x) وفي هذه المعادلة يوجد حد واحد أو أكثر باستخدام متغير من الدرجة الثانية، يمكنك نقل جميع حدود المعادلة إلى أحد طرفي المعادلة وتسويتها بالصفر.

      • على سبيل المثال، في حالة المعادلة: 5x 2 + 7x - 9 = 4x 2 + x - 18. يمكن تحويل ذلك إلى المعادلة x 2 + 6x + 9 = 0، وهي معادلة تربيعية.
      • المعادلات ذات المتغير x للطلبات الكبيرة، على سبيل المثال، x 3، x 4، إلخ. ليست معادلات تربيعية هذه معادلات تكعيبية، ومعادلات من الدرجة الرابعة، وما إلى ذلك (ما لم يكن من الممكن تبسيط هذه المعادلات إلى معادلات تربيعية مع رفع المتغير x إلى الأس 2).

   2. المعادلات التربيعية، حيث a = 1، يتم توسيعها إلى (x+d)(x+e)، حيث d*e=c وd+e=b.إذا كانت المعادلة التربيعية المعطاة لك بالشكل: x 2 + bx + c = 0 (أي أن معامل x 2 هو 1)، فمن الممكن (ولكن ليس مضمونًا) توسيع هذه المعادلة لتشمل العوامل المذكورة أعلاه. للقيام بذلك، تحتاج إلى العثور على رقمين، عند ضربهما، يعطيان "ج"، وعند إضافتهما "ب". بمجرد العثور على هذين الرقمين (d وe)، عوض بهما في التعبير التالي: (x+d)(x+e)، والذي يؤدي عند فتح القوسين إلى المعادلة الأصلية.

      • على سبيل المثال، في حالة وجود معادلة تربيعية x 2 + 5x + 6 = 0. 3*2=6 و3+2=5، يمكنك تحليل هذه المعادلة إلى (x+3)(x+2).
      • بالنسبة للمصطلحات السالبة، قم بإجراء التغييرات الطفيفة التالية على عملية التحليل:
        • إذا كانت المعادلة التربيعية على الصورة x 2 -bx+c، فإنها تتوسع إلى: (x-_)(x-_).
        • إذا كانت المعادلة التربيعية على الصورة x 2 -bx-c، فإنها تتوسع إلى: (x+_)(x-_).
      • ملحوظة: يمكن استبدال المسافات بكسور أو أعداد عشرية. على سبيل المثال، يتم توسيع المعادلة x 2 + (21/2)x + 5 = 0 إلى (x+10)(x+1/2).

   3. التخصيم عن طريق التجربة والخطأ.يمكن تحليل المعادلات التربيعية البسيطة عن طريق استبدال الأرقام في الحلول الممكنة حتى تجد الحل الصحيح. إذا كانت المعادلة لها الصيغة ax 2 +bx+c، حيث a>1، تتم كتابة الحلول الممكنة في الصورة (dx +/- _)(ex +/- _)، حيث d وe معاملات عددية غير صفرية ، والتي عندما تضرب تعطي. يمكن أن يساوي d أو e (أو كلا المعاملين) 1. إذا كان كلا المعاملين يساوي 1، فاستخدم الطريقة الموضحة أعلاه.

      • على سبيل المثال، بالنظر إلى المعادلة 3x 2 - 8x + 4. هنا 3 له عاملان فقط (3 و1)، لذلك تتم كتابة الحلول الممكنة بالشكل (3x +/- _)(x +/- _). في هذه الحالة، باستبدال -2 للمسافات، ستجد الإجابة الصحيحة: -2*3x=-6x و -2*x=-2x; - 6x+(-2x)=-8x و -2*-2=4، أي أن مثل هذا التوسيع عند فتح القوسين سيؤدي إلى حدود المعادلة الأصلية.