اكتشفنا أن هناك X- المجموعة التي تكون فيها الصيغة التي تحدد الوظيفة منطقية. في التحليل الرياضيغالبًا ما يُشار إلى هذه المجموعة باسم د (مجال الوظيفة ). بدورهم كثير ييشار إليها باسم ه (نطاق الوظيفة ) وفي نفس الوقت دو هتسمى مجموعات فرعية ر(مجموعات أرقام حقيقية).

إذا تم إعطاء الوظيفة بصيغة، في حالة عدم وجود تحفظات خاصة، يتم النظر في نطاق تعريفها أعظم مجموعة، والتي تكون فيها هذه الصيغة منطقية، أي أكبر مجموعة من قيم الوسيطات التي تؤدي إلى قيم حقيقية للدالة . بمعنى آخر، مجموعة قيم الوسيطات التي تعمل عليها “الوظيفة”.

ل الفهم المشتركلا يحتوي المثال على صيغة بعد. يتم تحديد الوظيفة كأزواج من العلاقات:

{(2, 1), (4, 2), (6, -6), (5, -1), (7, 10)} .

ابحث عن مجال تعريف هذه الوظائف.

إجابة. العنصر الأول في الزوج هو المتغير س. نظرًا لأن مواصفات الوظيفة تحتوي أيضًا على العناصر الثانية للأزواج - قيم المتغير ذ، فإن الدالة تكون منطقية فقط لقيم x التي تتوافق معها قيمة معينةلعبة. أي أننا نأخذ جميع علامات X لهذه الأزواج بترتيب تصاعدي ونحصل منها على مجال تعريف الدالة:

{2, 4, 5, 6, 7} .

يعمل نفس المنطق إذا تم إعطاء الوظيفة بواسطة صيغة. يتم الحصول على العناصر الثانية فقط في الأزواج (أي قيم i) عن طريق استبدال قيم x معينة في الصيغة. ومع ذلك، للعثور على مجال الدالة، لا نحتاج إلى المرور عبر جميع أزواج X وY.

مثال 0.كيف يمكنك العثور على مجال تعريف الدالة i يساوي الجذر التربيعي لـ x ناقص خمسة (تعبير جذري x ناقص خمسة) ()؟ تحتاج فقط إلى حل عدم المساواة

س - 5 ≥ 0 ,

منذ لكي نتمكن من الحصول عليها القيمة الحقيقيةفي اللعبة، يجب أن يكون التعبير الجذري أكبر من أو يساوي الصفر. حصلنا على الحل: مجال تعريف الدالة هو جميع قيم x أكبر من أو تساوي خمسة (أو x ينتمي إلى الفترة من خمسة شاملة إلى زائد ما لا نهاية).

في الرسم أعلاه يوجد جزء من محور الأرقام. عليها، تكون منطقة تعريف الوظيفة قيد النظر مظللة، بينما في الاتجاه "الزائد" يستمر الفقس إلى أجل غير مسمى مع المحور نفسه.

إذا كنت تستخدم برامج الكمبيوتروالتي تنتج نوعًا من الإجابة بناءً على البيانات المدخلة، قد تلاحظ أنه بالنسبة لبعض قيم البيانات المدخلة يعرض البرنامج رسالة خطأ، أي أنه لا يمكن حساب الإجابة بمثل هذه البيانات. يتم تقديم هذه الرسالة من قبل مؤلفي البرنامج إذا كان التعبير الخاص بحساب الإجابة معقدًا للغاية أو يتعلق ببعض الأمور الضيقة مجال الموضوع، أو المقدمة من قبل مؤلفي لغة البرمجة، إذا كان الأمر يتعلق بذلك المعايير المقبولة عموماعلى سبيل المثال، الذي لا يمكن قسمته على صفر.

لكن في كلتا الحالتين لا يمكن حساب الإجابة (قيمة بعض التعبيرات) لأن التعبير غير منطقي بالنسبة لبعض قيم البيانات.

مثال (ليس رياضيًا تمامًا بعد): إذا قام البرنامج بعرض اسم الشهر بناءً على رقم الشهر في السنة، فعند إدخال "15" ستتلقى رسالة خطأ.

في أغلب الأحيان، يكون التعبير الذي يتم حسابه مجرد دالة. ولذلك فهم ليسوا كذلك قيم صالحةلم يتم تضمين البيانات مجال الوظيفة . وفي الحسابات اليدوية، من المهم أيضًا تمثيل مجال الدالة. على سبيل المثال، يمكنك حساب معلمة معينة لمنتج معين باستخدام صيغة تمثل دالة. بالنسبة لبعض قيم وسيطة الإدخال، لن تحصل على شيء عند الإخراج.

مجال تعريف ثابت

ثابت (ثابت) محدد لأي قيم حقيقية س ر أرقام حقيقية. يمكن أيضًا كتابة ذلك على النحو التالي: مجال تعريف هذه الدالة هو خط الأعداد بالكامل ]- ∞; + ∞[ .

مثال 1. أوجد مجال الدالة ذ = 2 .

حل. ولم يتم الإشارة إلى مجال تعريف الدالة، مما يعني أنه بموجب التعريف أعلاه يقصد بالمجال الطبيعي للتعريف. تعبير و(س) = 2 محددة لأي قيم حقيقية س، لذلك، هذه الوظيفةمحددة على المجموعة بأكملها ر أرقام حقيقية.

لذلك، في الرسم أعلاه، يتم تظليل خط الأعداد على طول الطريق من سالب ما لا نهاية إلى موجب ما لا نهاية.

منطقة تعريف الجذر نالدرجة العاشرة

في حالة إعطاء الوظيفة بواسطة الصيغة و ن- العدد الطبيعي:

مثال 2. ابحث عن مجال الدالة .

حل. على النحو التالي من التعريف، يكون جذر الدرجة الزوجية منطقيًا إذا كان التعبير الجذري غير سالب، أي إذا - 1 ≥ س≥ 1. ولذلك فإن مجال تعريف هذه الوظيفة هو [- 1؛ 1].

المنطقة المظللة لخط الأعداد في الرسم أعلاه هي مجال تعريف هذه الدالة.

مجال وظيفة السلطة

مجال دالة القدرة ذات الأس الصحيح

لو أ- موجب، فإن مجال تعريف الدالة هو مجموعة جميع الأعداد الحقيقية، وهي ]- ∞؛ + ∞[ ;

لو أ- سالب، فمجال تعريف الدالة هو المجموعة ]- ∞؛ 0[ ∪ ]0 ;+ ∞[ , أي خط الأعداد بالكامل باستثناء الصفر.

في الرسم المقابل أعلاه، يتم تظليل خط الأعداد بالكامل، ويتم ثقب النقطة المقابلة للصفر (لا يتم تضمينها في مجال تعريف الدالة).

مثال 3. ابحث عن مجال دالة .

حل. الفصل الدراسي الأول درجة كاملة x يساوي 3، ويمكن تمثيل درجة x في الحد الثاني كواحد - وهو أيضًا عدد صحيح. وبالتالي، فإن مجال تعريف هذه الدالة هو خط الأعداد بأكمله، وهو ]- ∞; + ∞[ .

مجال دالة القدرة ذات الأس الكسرى

في الحالة التي يتم فيها إعطاء الوظيفة بالصيغة:

إذا كانت موجبة، فإن مجال تعريف الدالة هو المجموعة 0؛ + ∞[ .

مثال 4. أوجد مجال الدالة .

حل. كلا المصطلحين في تعبير الوظيفة هما وظائف الطاقةمع الأسس الكسرية الإيجابية. وبالتالي، فإن مجال تعريف هذه الدالة هو المجموعة - ∞; + ∞[ .

مجال الدوال الأسية واللوغاريتمية

مجال الدالة الأسية

في حالة إعطاء دالة بواسطة صيغة، يكون مجال تعريف الدالة هو خط الأعداد بأكمله، وهو ] - ∞؛ + ∞[ .

مجال الدالة اللوغاريتمية

يتم تعريف الدالة اللوغاريتمية بشرط أن تكون وسيطتها موجبة، أي أن مجال تعريفها هو المجموعة ]0؛ + ∞[ .

ابحث عن مجال الدالة بنفسك ثم انظر إلى الحل

مجال الدوال المثلثية

مجال الوظيفة ذ= كوس( س) - أيضا كثيرة ر أرقام حقيقية.

مجال الوظيفة ذ= تيراغرام ( س) - تعيين ر أعداد حقيقية غير الأعداد .

مجال الوظيفة ذ= ctg( س) - تعيين ر الأعداد الحقيقية، باستثناء الأعداد.

مثال 8. أوجد مجال الدالة .

حل. وظيفة خارجية - اللوغاريتم العشريومجال تعريفه يخضع لشروط مجال التعريف وظيفة لوغاريتميةعلى الاطلاق. أي أن حجتها يجب أن تكون إيجابية. الوسيطة هنا هي جيب "x". وبتدوير بوصلة خيالية حول دائرة، نرى أن الشرط هو الخطيئة س> 0 تم انتهاكه بـ "x" يساوي الصفر، "pi"، اثنان، مضروبًا في "pi" وبشكل عام يساوي المنتج pi وأي عدد صحيح زوجي أو فردي.

وبالتالي، يتم تحديد مجال تعريف هذه الوظيفة من خلال التعبير

,

أين ك- عدد صحيح.

مجال تعريف الدوال المثلثية العكسية

مجال الوظيفة ذ= أركسين( س) - مجموعة [-1؛ 1].

مجال الوظيفة ذ= أركوس( س) - أيضًا المجموعة [-1؛ 1].

مجال الوظيفة ذ= أركانتان ( س) - تعيين ر أرقام حقيقية.

مجال الوظيفة ذ= أرككتج( س) - أيضا كثيرة ر أرقام حقيقية.

مثال 9. أوجد مجال الدالة .

حل. دعونا نحل عدم المساواة:

وهكذا نحصل على مجال تعريف هذه الوظيفة - المقطع [- 4؛ 4].

مثال 10. أوجد مجال الدالة .

حل. دعونا نحل متباينتين:

حل المتباينة الأولى:

حل المتباينة الثانية:

وهكذا نحصل على مجال تعريف هذه الوظيفة - الجزء.

نطاق الكسر

إذا تم إعطاء الوظيفة التعبير الكسري، حيث يكون المتغير في مقام الكسر، فإن مجال تعريف الدالة هو المجموعة ر الأعداد الحقيقية، باستثناء هذه سحيث يصبح مقام الكسر صفراً.

مثال 11. أوجد مجال الدالة .

حل. وبحل مساواة مقام الكسر بالصفر، نجد مجال تعريف هذه الدالة - المجموعة ]- ∞; - 2[ ∪ ]- 2 ;+ ∞[ .

كيف ؟
أمثلة على الحلول

إذا كان هناك شيء مفقود في مكان ما، فهذا يعني أن هناك شيئا ما في مكان ما

نواصل دراستنا لقسم "الدوال والرسوم البيانية"، والمحطة التالية في رحلتنا هي. مناقشة نشطة هذا المفهومبدأت بالمقالة عن المجموعات واستمرت في الدرس الأول عنها الرسوم البيانية الوظيفية، حيث نظرت إلى الوظائف الأولية، وعلى وجه الخصوص، مجالات تعريفها. لذلك، أوصي بأن تبدأ الدمى بأساسيات الموضوع، لأنني لن أتوقف عند بعض النقاط الأساسية مرة أخرى.

من المفترض أن يعرف القارئ مجال التعريف الوظائف التالية: خطي، تربيعي، وظيفة مكعبة، كثيرات الحدود، الأسي، الجيب، جيب التمام. يتم تعريفهم على (مجموعة الأعداد الحقيقية). بالنسبة للظلال والأقواس، فليكن، أسامحك =) - لا يتم تذكر الرسوم البيانية النادرة على الفور.

يبدو نطاق التعريف أمرًا بسيطًا، ويطرح سؤال منطقي: ما الذي ستتناوله المقالة؟ سأتناول في هذا الدرس المشكلات الشائعة المتعلقة بإيجاد مجال الدالة. وعلاوة على ذلك، سوف نكرر عدم المساواة مع متغير واحد، المهارات اللازمة لحلها والتي ستكون مطلوبة في المهام الأخرى الرياضيات العليا. المادة، بالمناسبة، هي جميع المواد المدرسية، لذلك ستكون مفيدة ليس فقط للطلاب، ولكن أيضا للطلاب. المعلومات، بالطبع، لا تدعي أنها موسوعية، ولكن هنا ليست أمثلة "ميتة" بعيدة الاحتمال، ولكن الكستناء المحمص، والتي مأخوذة من أعمال عملية حقيقية.

لنبدأ بالغوص السريع في الموضوع. باختصار عن الشيء الرئيسي: نحن نتحدث عن دالة لمتغير واحد. مجال تعريفها هو معاني كثيرة لـ "x"، من أجلها يخرجمعاني "اللاعبين". دعونا نفكر مثال مشروط:

مجال تعريف هذه الوظيفة هو اتحاد الفترات:
(ولمن نسي: - أيقونة التوحيد). بمعنى آخر، إذا أخذت أي قيمة لـ "x" من الفاصل الزمني، أو من، أو من، فسيكون لكل "x" قيمة "y".

بشكل تقريبي، حيث يكون مجال التعريف، يوجد رسم بياني للدالة. لكن نصف الفاصل الزمني ونقطة "tse" لم يتم تضمينهما في منطقة التعريف ولا يوجد رسم بياني هناك.

كيفية العثور على مجال الوظيفة؟ يتذكر الكثير من الناس قافية الأطفال: "حجر، مقص، ورق"، وفي في هذه الحالةويمكن إعادة صياغتها بأمان: "الجذر والكسر واللوغاريتم". وهكذا، إذا كنت مسار الحياةواجه كسرًا أو جذرًا أو لوغاريتمًا، فيجب أن تكون حذرًا للغاية على الفور! الظل، ظل التمام، أركسين، أركوسين أقل شيوعًا وسنتحدث عنها أيضًا. لكن أولاً، مقتطفات من حياة النمل:

مجال الدالة التي تحتوي على كسر

لنفترض أننا حصلنا على دالة تحتوي على جزء ما. كما تعلم، لا يمكنك القسمة على صفر: إذن هؤلاء لا يتم تضمين قيم "X" التي تحول المقام إلى الصفر في نطاق هذه الوظيفة.

لن أتطرق إلى أكثر من ذلك وظائف بسيطةيحب وما إلى ذلك، لأن الجميع يرى تمامًا النقاط التي لم يتم تضمينها في مجال تعريفهم. دعونا نلقي نظرة على الكسور الأكثر أهمية:

مثال 1

أوجد مجال الدالة

حل: لا يوجد شيء خاص في البسط، لكن المقام يجب أن يكون غير صفر. لنجعله يساوي الصفر ونحاول العثور على النقاط "السيئة":

المعادلة الناتجة لها جذرين: . قيم البيانات غير مدرجة في نطاق الوظيفة. في الواقع، استبدل أو في الدالة وسترى أن المقام يذهب إلى الصفر.

إجابة:نطاق التعريف:

يقرأ الإدخال كما يلي: "مجال التعريف هو جميع الأعداد الحقيقية باستثناء المجموعة التي تتكون من القيم " اسمحوا لي أن أذكرك أن رمز الشرطة المائلة العكسية في الرياضيات يشير إلى الطرح المنطقي، والأقواس المتعرجة تشير إلى المجموعة. يمكن كتابة الإجابة على نحو متكافئ كاتحاد من ثلاث فترات:

من يحب ذلك.

في نقاط تتحمل الوظيفة فواصل لا نهاية لها، والخطوط المستقيمة، تعطى بواسطة المعادلات نكون الخطوط المقاربة العموديةللرسم البياني لهذه الوظيفة. ومع ذلك، هذا موضوع مختلف قليلاً، ولن أركز عليه أكثر.

مثال 2

أوجد مجال الدالة

المهمة شفهية بشكل أساسي وسيجد الكثير منكم على الفور تقريبًا مجال التعريف. الجواب في نهاية الدرس.

هل سيكون الجزء دائمًا "سيئًا"؟ لا. على سبيل المثال، يتم تعريف الدالة على خط الأعداد بأكمله. بغض النظر عن قيمة "x" التي نأخذها، فإن المقام لن يصل إلى الصفر، علاوة على ذلك، سيكون دائمًا موجبًا: . وبالتالي فإن نطاق هذه الوظيفة هو: .

جميع الوظائف مثل محددة و مستمرعلى .

يكون الوضع أكثر تعقيدًا بعض الشيء عندما يكون المقام مشغولاً ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية:

مثال 3

أوجد مجال الدالة

حل: دعونا نحاول العثور على النقاط التي يصبح عندها المقام صفرًا. لهذا سوف نقرر معادلة تربيعية:

تبين أن المميز سلبي، مما يعني جذور حقيقيةلا، والدالة محددة على خط الأعداد بأكمله.

إجابة:نطاق التعريف:

مثال 4

أوجد مجال الدالة

وهذا مثال ل قرار مستقل. الحل والجواب في نهاية الدرس . أنصحك ألا تتكاسل في حل المشاكل البسيطة، حيث أن سوء الفهم سيتراكم مع المزيد من الأمثلة.

مجال الدالة ذات الجذر

يتم تعريف دالة الجذر التربيعي فقط لقيم "x" عندما التعبير الراديكالي غير سلبي: . وإذا كان الجذر يقع في المقام، فالشرط واضح: . حسابات مماثلة صالحة لأي جذر من الدرجة الإيجابية الزوجية: ومع ذلك، فإن الجذر هو بالفعل من الدرجة الرابعة دراسات الوظيفةأنا لا أتذكر.

مثال 5

أوجد مجال الدالة

حل: يجب أن يكون التعبير الجذري غير سلبي:

قبل الاستمرار في الحل، اسمحوا لي أن أذكركم بالقواعد الأساسية للتعامل مع عدم المساواة، المعروفة في المدرسة.

يرجى الملاحظة اهتمام خاص! الآن نحن نفكر في عدم المساواة مع متغير واحد- وهذا هو، بالنسبة لنا هناك فقط بعد واحد على طول المحور. من فضلك لا تخلط مع عدم المساواة بين متغيرينحيث هندسيا كل شيء مستوى الإحداثيات. ومع ذلك، هناك أيضًا مصادفات ممتعة! لذلك، بالنسبة لعدم المساواة، فإن التحولات التالية متكافئة:

1) يمكن نقل الشروط من جزء إلى آخر عن طريق تغيير (الشروط) الخاصة بها علامات.

2) يمكن ضرب طرفي المتراجحة بعدد موجب.

3) إذا ضرب طرفا المتراجحة في سلبيالرقم، فأنت بحاجة إلى التغيير علامة على عدم المساواة نفسها. على سبيل المثال، إذا كان هناك "أكثر"، فسيصبح "أقل". فإذا كان "أصغر من أو يساوي"، فسيصبح "أكبر من أو يساوي".

في المتراجحة نحرك "الثلاثة" إلى الجانب الأيمن مع تغيير الإشارة (القاعدة رقم 1):

دعونا نضرب طرفي المتراجحة في -1 (القاعدة رقم 3):

لنضرب طرفي المتراجحة في (القاعدة رقم 2):

إجابة:نطاق التعريف:

يمكن أيضًا كتابة الإجابة بعبارة مكافئة: "يتم تعريف الوظيفة عند".
هندسيًا، يتم تصوير منطقة التعريف من خلال تظليل الفواصل الزمنية المقابلة على محور الإحداثي السيني. في هذه الحالة:

أذكرك مرة أخرى معنى هندسيمجال التعريف – الرسم البياني للدالة يوجد فقط في المنطقة المظللة ويغيب عند .

في معظم الحالات، يكون التحديد التحليلي البحت لمجال التعريف مناسبًا، ولكن عندما تكون الوظيفة معقدة للغاية، يجب عليك رسم محور وتدوين الملاحظات.

مثال 6

أوجد مجال الدالة

هذا مثال يمكنك حله بنفسك.

عندما يكون هناك ذات حدين أو ثلاثي تربيعي تحت الجذر التربيعي، يصبح الوضع أكثر تعقيدًا قليلاً، والآن سنحلل تقنية الحل بالتفصيل:

مثال 7

أوجد مجال الدالة

حل: يجب أن يكون التعبير الجذري إيجابيًا تمامًا، أي أننا بحاجة إلى حل المتراجحة. في الخطوة الأولى، نحاول تحليل ثلاثية الحدود التربيعية:

المميز موجب، نبحث عن الجذور:

إذن القطع المكافئ يتقاطع مع المحور السيني في نقطتين، مما يعني أن جزء من القطع المكافئ يقع أسفل المحور (المتباينة)، وجزء من القطع المكافئ يقع فوق المحور (المتباينة التي نحتاجها).

وبما أن المعامل هو ، فإن فروع القطع المكافئ تشير إلى الأعلى. ويترتب على ما سبق أن المتباينة تتحقق على الفترات (فروع القطع المكافئ تتجه نحو الأعلى إلى ما لا نهاية)، ويقع رأس القطع المكافئ على الفترة الواقعة أسفل المحور السيني، وهو ما يتوافق مع المتباينة:

! ملحوظة: إذا لم تفهم التفسيرات بشكل كامل، يرجى رسم المحور الثاني والقطع المكافئ بأكمله! يُنصح بالعودة إلى المقالة والدليل الصيغ الساخنة لدورة الرياضيات المدرسية.

يرجى ملاحظة أنه تمت إزالة النقاط نفسها (غير مدرجة في الحل)، لأن متباينتنا صارمة.

إجابة:نطاق التعريف:

بشكل عام، يتم حل العديد من عدم المساواة (بما في ذلك تلك التي تم النظر فيها) من خلال العالمي طريقة الفاصل، والمعروف مرة أخرى من المنهج المدرسي. ولكن في حالات ذات الحدين المربعين وثلاثية الحدود، في رأيي، يكون تحليل موقع القطع المكافئ بالنسبة للمحور أكثر ملاءمة وأسرع. وسوف نقوم بتحليل الطريقة الرئيسية – الطريقة الفاصلة – بالتفصيل في المقال. وظيفة الأصفار. فترات الثبات.

مثال 8

أوجد مجال الدالة

هذا مثال يمكنك حله بنفسك. تعليقات العينة بالتفصيل على منطق الاستدلال + طريقة الحل الثانية وطريقة أخرى تحول مهمعدم المساواة، دون معرفة أن الطالب يعرج على ساق واحدة...، ... حسنًا... فيما يتعلق بالساق، ربما كنت متحمسًا، بدلاً من ذلك، على إصبع قدم واحد. إبهام.

هل يمكن تعريف دالة الجذر التربيعي على خط الأعداد بأكمله؟ بالتأكيد. جميع الوجوه المألوفة: . أو مجموع مماثل مع الأس: . في الواقع، لأي قيم "x" و"ka": إذن أيضًا و .

ولكن أقل مثال واضح: . هنا يكون المميز سالبًا (القطع المكافئ لا يتقاطع مع المحور السيني)، في حين أن فروع القطع المكافئ موجهة للأعلى، ومن هنا مجال التعريف: .

السؤال المعاكس: هل يمكن أن يكون مجال تعريف الدالة فارغ؟ نعم، والمثال البدائي يقترح نفسه على الفور حيث يكون التعبير الجذري سالباً لأي قيمة لـ "x"، ومجال التعريف: (أيقونة مجموعة فارغة). لم يتم تعريف مثل هذه الوظيفة على الإطلاق (بالطبع، الرسم البياني خادع أيضًا).

ذات جذور غريبة إلخ. كل شيء أفضل بكثير - هنا يمكن أن يكون التعبير الجذري سلبيًا. على سبيل المثال، يتم تعريف الدالة على خط الأعداد بأكمله. ومع ذلك، فإن الدالة لها نقطة واحدة لا تزال غير مدرجة في مجال التعريف، حيث تم تعيين المقام على الصفر. لنفس السبب لهذه الوظيفة يتم استبعاد النقاط.

مجال الدالة مع اللوغاريتم

الوظيفة المشتركة الثالثة هي اللوغاريتم. كعينة سأرسم اللوغاريتم الطبيعي، والذي يحدث في حوالي 99 مثالًا من أصل 100. إذا كانت دالة معينة تحتوي على لوغاريتم، فيجب أن يتضمن مجال تعريفها فقط قيم "x" التي تحقق عدم المساواة. إذا كان اللوغاريتم في المقام: إذن بالإضافة إلى ذلكشرط مفروض (منذ).

مثال 9

أوجد مجال الدالة

حل: وفقا لما سبق سنقوم بتأليف وحل النظام:

الحل الرسوميللدمى:

إجابة:نطاق التعريف:

سأتوقف عند واحد آخر نقطة فنية- ليس لدي المقياس المشار إليه ولم يتم تحديد الأقسام على طول المحور. السؤال الذي يطرح نفسه: كيفية عمل مثل هذه الرسومات في دفتر ملاحظات ورقة متقلب؟ هل ينبغي قياس المسافة بين النقاط بالخلايا بدقة وفقًا للمقياس؟ إنه أكثر قانونية وأكثر صرامة، بطبيعة الحال، على نطاق واسع، ولكن الرسم التخطيطي الذي يعكس الوضع بشكل أساسي هو أيضا مقبول تماما.

مثال 10

أوجد مجال الدالة

لحل المشكلة، يمكنك استخدام طريقة الفقرة السابقة - تحليل كيفية تحديد موقع القطع المكافئ بالنسبة للمحور السيني. الجواب في نهاية الدرس .

كما ترون، في عالم اللوغاريتمات، كل شيء يشبه إلى حد كبير الوضع مع الجذور التربيعية: الوظيفة (ثلاثية الحدود المربعة من المثال رقم 7) محددة على الفواصل الزمنية والوظيفة (مربع ذو الحدين من المثال رقم 6) على الفترة . من الغريب أن نقول إن وظائف الكتابة محددة على سطر الأعداد بأكمله.

معلومات مفيدة : مثير للاهتمام وظيفة نموذجية، يتم تعريفه على خط الأعداد بأكمله باستثناء النقطة. وفقًا لخاصية اللوغاريتم، يمكن ضرب "الاثنين" خارج اللوغاريتم، ولكن لكي لا تتغير الدالة، يجب وضع "x" تحت علامة المعامل: . وهذه واحدة أخرى لك" التطبيق العملي» الوحدة =). هذا هو ما عليك القيام به في معظم الحالات عند الهدم حتىدرجة، على سبيل المثال: . إذا كان أساس الدرجة موجباً بشكل واضح مثلاً فلا داعي لعلامة المعامل ويكفي استخدام القوسين: .

لتجنب التكرار، دعونا تعقيد المهمة:

مثال 11

أوجد مجال الدالة

حل: في هذه الدالة لدينا الجذر واللوغاريتم.

يجب أن يكون التعبير الجذري غير سالب: ، ويجب أن يكون التعبير تحت علامة اللوغاريتم موجبًا تمامًا: . لذلك لا بد من حل النظام:

يعرف الكثير منكم جيدًا أو يخمنون بشكل حدسي أن حل النظام يجب أن يرضي للجميعحالة.

من خلال فحص موقع القطع المكافئ بالنسبة للمحور، نتوصل إلى نتيجة مفادها أن المتباينة تتحقق بالفاصل الزمني (التظليل الأزرق):

ومن الواضح أن عدم المساواة يتوافق مع نصف الفترة "الحمراء".

إذ يجب استيفاء كلا الشرطين معًافإن حل النظام هو تقاطع هذه الفترات. " المصالح المشتركة» يتم استيفاءها في نصف الفترة.

إجابة:نطاق التعريف:

وليس من الصعب حل التفاوت النموذجي، كما هو موضح في المثال رقم 8، من الناحية التحليلية.

لن يتغير المجال الذي تم العثور عليه بالنسبة إلى "الوظائف المشابهة"، على سبيل المثال. أو . يمكنك أيضًا إضافة بعض الوظائف المستمرة، على سبيل المثال: أو مثل هذا: ، أو حتى هكذا: . كما يقولون، الجذر واللوغاريتم أمران عنيدان. الشيء الوحيد هو أنه إذا تم "إعادة ضبط" إحدى الوظائف على المقام، فإن مجال التعريف سيتغير (على الرغم من أنه في حالة عامةهذا ليس صحيحا دائما). حسنًا، في نظرية ماتان حول هذا اللفظي... أوه... هناك نظريات.

مثال 12

أوجد مجال الدالة

هذا مثال يمكنك حله بنفسك. يعد استخدام الرسم مناسبًا تمامًا، نظرًا لأن الوظيفة ليست الأبسط.

بضعة أمثلة أخرى لتعزيز المادة:

مثال 13

أوجد مجال الدالة

حل: دعونا نؤلف النظام ونحله:

تمت مناقشة جميع الإجراءات بالفعل في جميع أنحاء المقالة. دعونا نصور الفترة المقابلة للمتباينة على خط الأعداد، ووفقًا للشرط الثاني، نحذف نقطتين:

تبين أن المعنى غير ذي صلة على الإطلاق.

إجابة: مجال التعريف

القليل من التورية الرياضية على شكل مختلف من المثال الثالث عشر:

مثال 14

أوجد مجال الدالة

هذا مثال يمكنك حله بنفسك. ومن فاتته لم يحالفه الحظ ;-)

تم تخصيص القسم الأخير من الدرس لوظائف أكثر نادرة ولكنها "عاملة" أيضًا:

مجالات تعريف الوظيفة
مع الظلال، وظل التمام، وأركوسينات، وأركوسينات

إذا كانت بعض الوظائف تتضمن، فمن مجال تعريفها مستبعدنقاط ، أين ز- مجموعة من الأعداد الصحيحة. على وجه الخصوص، كما هو مذكور في المقال الرسوم البيانية وخصائص الوظائف الأولية، تحتوي الدالة على القيم التالية:

أي أن مجال تعريف الظل: .

دعونا لا نقتل كثيرًا:

مثال 15

أوجد مجال الدالة

حل: في هذه الحالة لن تدخل النقاط التالية في مجال التعريف:

لنضع "الاثنين" من الجانب الأيسر في مقام الجانب الأيمن:

نتيجة ل :

إجابة:نطاق التعريف: .

من حيث المبدأ، يمكن أيضًا كتابة الإجابة كاتحاد عدد لا نهائيفواصل زمنية، ولكن التصميم سيكون مرهقًا جدًا:

الحل التحليلي يتوافق تماما مع التحول الهندسي للرسم البياني: إذا تم ضرب وسيطة الدالة في 2، فسوف يتقلص الرسم البياني الخاص بها إلى المحور مرتين. لاحظ كيف تم تخفيض فترة الدالة إلى النصف، و نقاط الاستراحةتضاعف التردد. عدم انتظام دقات القلب.

قصة مماثلةمع ظل التمام. إذا تضمنت بعض الوظائف، فسيتم استبعاد النقاط من مجال تعريفها. على وجه الخصوص، بالنسبة لوظيفة الاندفاع التلقائي، فإننا نسجل القيم التالية:

بعبارة أخرى:

في الرياضيات هناك عدد صغير إلى حد ما وظائف أولية، والتي يقتصر نطاقها. جميع الوظائف "المعقدة" الأخرى هي مجرد مجموعات ومجموعات منها.

1. الدالة الكسرية - تقييد المقام.

2. جذر الدرجة الزوجية - تقييد التعبير الجذري.

3. اللوغاريتمات - القيود المفروضة على قاعدة التعبير اللوغاريتمي والتعبير اللوغاريتمي الفرعي.

3. المثلثية tg(x) وctg(x) - تقييد الوسيطة.

للظل:

4. الدوال المثلثية العكسية.

أركسين	جيب التمام القوس	قوس قزح، قوس قزح

بعد ذلك، يتم حل الأمثلة التالية حول موضوع "مجال تعريف الوظائف".

مثال 1

مثال 2

مثال 3

مثال 4

مثال 5

مثال 6

مثال 7

مثال 8

مثال 9

مثال 10

مثال 11

مثال 12

مثال 13

مثال 14

مثال 15

مثال 16

مثال لإيجاد مجال تعريف الدالة رقم 1

العثور على مجال تعريف أي وظيفة خطية، أي. وظائف الدرجة الأولى:

ص = 2س + 3 - تحدد المعادلة خطًا مستقيمًا على المستوى.

دعونا ننظر بعناية إلى الدالة ونفكر في ما هي القيم العددية التي يمكننا استبدالها في المعادلة بدلاً من المتغير x؟

دعونا نحاول استبدال القيمة x=0

بما أن y = 2 0 + 3 = 3 - فقد حصلنا على ذلك قيمة رقميةوبالتالي فإن الدالة موجودة للقيمة المحددة للمتغيرس = 0.

دعونا نحاول استبدال القيمة x=10

بما أن y = 2·10 + 3 = 23 - الدالة موجودة للقيمة المعطاة للمتغير x = 10.

دعونا نحاول استبدال القيمة x=-10

بما أن y = 2·(-10) + 3 = -17 - الدالة موجودة للقيمة المعطاة للمتغير x = -10.

تحدد المعادلة خطًا مستقيمًا على المستوى، والخط المستقيم ليس له بداية ولا نهاية، وبالتالي فهو موجود لأي قيم لـ x.

لاحظ أنه بغض النظر عن القيم العددية التي نستبدلها في دالة معينة بدلاً من x، فسنحصل دائمًا على القيمة العددية للمتغير y.

وبالتالي فإن الدالة موجودة لأي قيمة x ∈ R أو نكتبها هكذا: D(f) = R

نماذج كتابة الإجابة: D(f)=R أو D(f)=(-∞:+∞)أو x∈R أو x∈(-∞:+∞)

دعونا نستنتج:

بالنسبة لأي دالة على الصورة y = ax + b، مجال التعريف هو مجموعة الأعداد الحقيقية.

مثال لإيجاد مجال تعريف الدالة رقم 2

وظيفة النموذج:

ص = 10/(س + 5) - معادلة القطع الزائد

عند التعامل مع دالة كسرية، تذكر أنه لا يمكنك القسمة على صفر. وبالتالي فإن الدالة ستكون موجودة لجميع قيم x غير الموجودة

اضبط المقام على الصفر. دعونا نحاول استبدال بعض القيم التعسفية X.

عند x = 0 لدينا y = 10/(0 + 5) = 2 - الدالة موجودة.

لx = 10 لدينا ص = 10/(10 + 5) = 10/15 = 2/3- الوظيفة موجودة .

عند x = -5 لدينا y = 10/(-5 + 5) = 10/0 - الدالة غير موجودة في هذه المرحلة.

أولئك. لو وظيفة معينةكسور، فمن الضروري مساواة المقام بالصفر وإيجاد نقطة لا توجد عندها الدالة.

في حالتنا:

x + 5 = 0 → x = -5 - في هذه المرحلة، الدالة المحددة غير موجودة.

س + 5 ≠ 0 → س ≠ -5

من أجل الوضوح، دعونا نصورها بيانيا:

على الرسم البياني، نرى أيضًا أن القطع الزائد يقترب قدر الإمكان من الخط المستقيم x = -5، لكنه لا يصل إلى القيمة -5 نفسها.

نرى أن الدالة المعطاة موجودة في جميع نقاط المحور الحقيقي، باستثناء النقطة x = -5

نماذج تسجيل الاستجابة: د(و)=ص\(-5)أو د(و)=(-∞;-5) ∪ (-5;+∞) أو س ∈ ص\(-5)أو س ∈ (-∞;-5) ∪ (-5;+∞)

إذا كانت الدالة المعطاة كسرية، فإن وجود المقام يفرض شرطًا ألا يكون المقام مساويًا للصفر.

مثال لإيجاد مجال تعريف الدالة رقم 3

لنفكر في مثال لإيجاد مجال تعريف دالة ذات جذر ذو درجة زوجية:

لأن الجذر التربيعيلا يمكننا إلا أن نستخرج منها رقم غير سالبوبالتالي فإن الدالة تحت الجذر غير سالبة.

2x - 8 ≥ 0

دعونا نحل عدم المساواة البسيطة:

2x - 8 ≥ 0 → 2x ≥ 8 → x ≥ 4

الوظيفة المحددة موجودة فقط للقيم الموجودة x ≥ 4 أو د(و)= ∪ ∪

في الطريقة اللفظيةعند تحديد وظيفة، تحتاج إلى قراءة الشرط بعناية والعثور على القيود المفروضة على X هناك. أحيانًا تبحث العيون عن صيغ، لكن الكلمات تصفر متجاوزة الوعي نعم...) مثال من الدرس السابق:

يتم تحديد الدالة بالشرط: كل قيمة للوسيطة الطبيعية x مرتبطة بمجموع الأرقام التي تشكل قيمة x.

وتجدر الإشارة هنا إلى أننا نتحدث فقطيا القيم الطبيعية X. ثم د(و)سجلت على الفور:

د(و): س ∈ ن

كما ترون، نطاق الوظيفة ليس كذلك مفهوم معقد. يتطلب العثور على هذه المنطقة فحص الدالة وكتابة نظام المتباينات وحل هذا النظام. وبطبيعة الحال، هناك جميع أنواع الأنظمة، البسيطة والمعقدة. لكن...

سأفتحه سر صغير. في بعض الأحيان تبدو الوظيفة التي تحتاج إلى العثور على مجال تعريفها مخيفة. أريد أن أصبح شاحبًا وأبكي.) ولكن بمجرد أن أكتب نظام عدم المساواة... وفجأة، يتبين أن النظام أولي! علاوة على ذلك، في كثير من الأحيان، كلما كانت الوظيفة أكثر فظاعة، كلما كان النظام أبسط...

المعنوي: العيون تخاف، والرأس يقرر!)

تحتوي كل دالة على متغيرين - متغير مستقل ومتغير تابع، تعتمد قيمهما على قيم المتغير المستقل. على سبيل المثال، في الدالة ذ = و(س) = 2س + ذالمتغير المستقل هو "x" والمتغير التابع هو "y" (بمعنى آخر، "y" هي دالة لـ "x"). تسمى القيم الصالحة للمتغير المستقل "x" مجال الدالة، وتسمى القيم الصالحة للمتغير التابع "y" مجال الدالة.

خطوات

الجزء 1

العثور على مجال الوظيفة

تحديد نوع الوظيفة الممنوحة لك.نطاق قيم الدالة هو كل قيم "x" صالحة (موضوعة على المحور الأفقي)، والتي تتوافق مع قيم "y" صالحة. يمكن أن تكون الدالة تربيعية أو تحتوي على كسور أو جذور. للعثور على مجال الدالة، عليك أولاً تحديد نوع الدالة.

1. حدد الإدخال المناسب لنطاق الوظيفة.يتم كتابة نطاق التعريف بين مربع و/أو بين قوسين. قوس مربعينطبق عندما تكون القيمة ضمن نطاق الوظيفة؛ إذا كانت القيمة ليست ضمن نطاق التعريف، يتم استخدام قوسين. إذا كانت الدالة تحتوي على عدة مجالات غير متجاورة، فسيتم وضع رمز "U" بينها.

   • على سبيل المثال، نطاق [-2,10)U(10,2] يتضمن القيمتين -2 و2، ولكنه لا يتضمن القيمة 10.

2. ارسم رسمًا بيانيًا دالة تربيعية. الرسم البياني لهذه الوظيفة عبارة عن قطع مكافئ، يتم توجيه فروعه إما لأعلى أو لأسفل. بما أن القطع المكافئ يزيد أو ينقص على طول المحور السيني بأكمله، فإن مجال تعريف الدالة التربيعية هو جميع الأعداد الحقيقية. بمعنى آخر، مجال هذه الدالة هو المجموعة R (R تعني جميع الأعداد الحقيقية).

   • لفهم مفهوم الدالة بشكل أفضل، حدد أي قيمة لـ "x"، واستبدلها في الدالة وابحث عن قيمة "y". يمثل زوج القيم "x" و"y" نقطة ذات إحداثيات (x,y) تقع على الرسم البياني للدالة.
   • ارسم هذه النقطة على المستوى الإحداثي وقم بنفس العملية بقيمة x مختلفة.
   • من خلال رسم عدة نقاط على المستوى الإحداثي، تحصل على فكرة عامةحول شكل الرسم البياني للدالة.

3. إذا كانت الدالة تحتوي على كسر، فاجعل مقامه صفرًا.تذكر أنه لا يمكنك القسمة على صفر. لذلك، من خلال ضبط المقام على الصفر، ستجد قيم "x" ليست ضمن مجال الدالة.

   • على سبيل المثال، أوجد مجال الدالة f(x) = (x + 1) / (x - 1) .
   • المقام هنا هو: (x - 1).
   • قم بمساواة المقام بالصفر وابحث عن "x": x - 1 = 0; س = 1.
   • اكتب مجال تعريف الدالة. مجال التعريف لا يشمل 1، أي أنه يشمل جميع الأعداد الحقيقية باستثناء 1. وبالتالي، فإن مجال تعريف الدالة هو: (-∞,1) U (1,∞).
   • يُقرأ الترميز (-∞,1) U (1,∞) على النحو التالي: مجموعة جميع الأعداد الحقيقية باستثناء 1. رمز اللانهاية ∞ يعني جميع الأعداد الحقيقية. في مثالنا، يتم تضمين كافة الأعداد الحقيقية الأكبر من 1 والأقل من 1 في المجال.

4. إذا كانت الدالة تحتوي على جذر تربيعي، فيجب أن يكون التعبير الجذري أكبر من أو يساوي الصفر.تذكر أن الجذر التربيعي لـ أرقام سلبيةلم يتم استخراجها. ولذلك، فإن أي قيمة لـ "x" يصبح عندها التعبير الجذري سالبًا يجب استبعادها من مجال تعريف الدالة.

   • على سبيل المثال، أوجد مجال الدالة f(x) = √(x + 3).
   • تعبير جذري: (س + 3).
   • يجب أن يكون التعبير الجذري أكبر من أو يساوي الصفر: (x + 3) ≥ 0.
   • ابحث عن "x": x ≥ -3.
   • يتضمن مجال هذه الدالة مجموعة الأعداد الحقيقية الأكبر من أو تساوي -3. وبالتالي، فإن مجال التعريف هو [-3،∞).

   الجزء 2

   إيجاد مدى الدالة التربيعية

   1. تأكد من حصولك على دالة تربيعية.الدالة التربيعية لها الشكل: ax 2 + bx + c: f(x) = 2x 2 + 3x + 4. الرسم البياني لهذه الدالة عبارة عن قطع مكافئ، يتم توجيه فروعه إما لأعلى أو لأسفل. هناك طرق مختلفةإيجاد مدى قيم الدالة التربيعية.

      • أسهل طريقة للعثور على مدى دالة تحتوي على جذر أو كسر هي رسم الدالة بيانيًا باستخدام الآلة الحاسبة الرسومية.

   2. أوجد الإحداثي x لرأس الرسم البياني للدالة.بالنسبة للدالة التربيعية، أوجد الإحداثي x لرأس القطع المكافئ. تذكر أن الدالة التربيعية هي: ax 2 + bx + c. لحساب إحداثي x، استخدم المعادلة التالية: x = -b/2a. هذه المعادلة هي مشتقة الدالة التربيعية الأساسية وتصف المماس، المنحدرأيّ يساوي الصفر(المماس لرأس القطع المكافئ موازي للمحور X).

      • على سبيل المثال، أوجد مدى الدالة 3x 2 + 6x -2.
      • احسب إحداثي x لرأس القطع المكافئ: x = -b/2a = -6/(2*3) = -1

   3. أوجد إحداثي y لرأس الرسم البياني للدالة.للقيام بذلك، استبدل الإحداثيات "x" الموجودة في الدالة. الإحداثيات التي تم البحث عنهايمثل "y" القيمة الحدية لنطاق الوظيفة.

      • احسب إحداثي y: y = 3x 2 + 6x – 2 = 3(-1) 2 + 6(-1) -2 = -5
      • إحداثيات رأس القطع المكافئ لهذه الدالة هي (-1،-5).

   4. حدد اتجاه القطع المكافئ بإدخال قيمة x واحدة على الأقل في الدالة.اختر أي قيمة x أخرى وقم بتوصيلها بالوظيفة لحساب قيمة y المقابلة. إذا كانت قيمة "y" التي تم العثور عليها أكبر من الإحداثي "y" لرأس القطع المكافئ، فسيتم توجيه القطع المكافئ لأعلى. إذا كانت قيمة "y" التي تم العثور عليها أقل من الإحداثي "y" لرأس القطع المكافئ، فسيتم توجيه القطع المكافئ نحو الأسفل.

      • عوّض في الدالة x = -2: y = 3x 2 + 6x – 2 = y = 3(-2) 2 + 6(-2) – 2 = 12 -12 -2 = -2.
      • إحداثيات النقطة الواقعة على القطع المكافئ: (-2،-2).
      • تشير الإحداثيات التي تم العثور عليها إلى أن فروع القطع المكافئ موجهة نحو الأعلى. وبالتالي، فإن نطاق الدالة يشمل جميع قيم "y" التي تكون أكبر من أو تساوي -5.
      • نطاق قيم هذه الوظيفة: [-5، ∞)

   5. تتم كتابة مجال الوظيفة بشكل مشابه لمجال الوظيفة.يتم استخدام القوس المربع عندما تكون القيمة ضمن نطاق الدالة؛ إذا كانت القيمة ليست في النطاق، يتم استخدام قوس. إذا كانت الدالة تحتوي على عدة نطاقات غير متجاورة من القيم، فسيتم وضع رمز "U" بينها.

      • على سبيل المثال، النطاق [-2,10)U(10,2] يتضمن القيمتين -2 و2، ولكنه لا يتضمن القيمة 10.
      • مع رمز اللانهاية ∞، يتم استخدام الأقواس دائمًا.