سأتحدث في هذه المقالة عن كيفية تطبيق مهارة البحث في دراسة دالة: للعثور على قيمتها الأكبر أو الأصغر. وبعد ذلك سوف نقوم بحل العديد من المشاكل من المهمة B15 من افتح البنكالمهام ل.
كالعادة، دعونا نتذكر النظرية أولاً.
في بداية أي دراسة للدالة نجدها
للعثور على أعظم أو أصغر قيمةالدالة، فأنت بحاجة إلى التحقق من الفواصل الزمنية التي تزيد فيها الدالة والفترات التي تنخفض فيها.
للقيام بذلك، علينا إيجاد مشتقة الدالة وفحص فترات الإشارة الثابتة الخاصة بها، أي الفترات التي تحتفظ خلالها المشتقة بإشارتها.
الفترات التي يكون فيها مشتق الدالة موجبًا هي فترات زيادة الدالة.
الفترات التي يكون فيها مشتق الدالة سالبًا هي فترات تناقصية للدالة.
1 . دعونا نحل المهمة B15 (رقم 245184)
لحلها سنتبع الخوارزمية التالية:
أ) أوجد مجال تعريف الدالة
ب) دعونا نجد مشتقة الدالة.
ج) لنساويه بالصفر.
د) دعونا نجد فترات الإشارة الثابتة للدالة.
هـ) أوجد النقطة التي تأخذها الدالة أعلى قيمة.
و) أوجد قيمة الدالة عند هذه النقطة.
أقدم حلاً مفصلاً لهذه المهمة في الفيديو التعليمي:
من المحتمل أن متصفحك غير مدعوم. لاستخدام المدرب " ساعة امتحان الدولة الموحدة"، حاول التنزيل
ثعلب النار
2. دعونا نحل المهمة B15 (رقم 282862)
أوجد أكبر قيمة للدالة 
على الجزء
من الواضح أن الدالة تأخذ أكبر قيمة على المقطع عند النقطة القصوى، عند x=2. لنجد قيمة الدالة عند هذه النقطة:
الجواب: 5
3. دعونا نحل المهمة B15 (رقم 245180):
أوجد أكبر قيمة للدالة 
1. title="ln5>0">, , т.к. title="5>1">, поэтому это число не влияет на знак неравенства.!}
2. لأنه وفقًا لمجال تعريف الوظيفة الأصلية title = "4-2x-x^2>0)">, следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.!}
3. البسط يساوي الصفرفي . دعونا نتحقق مما إذا كان ODZ ينتمي إلى الوظيفة. للقيام بذلك، دعونا نتحقق مما إذا كان الشرط title="4-2x-x^2>0)"> при .!}
العنوان = "4-2(-1)-((-1))^2>0">,
هذا يعني أن النقطة تنتمي إلى الدالة ODZ
دعونا نتفحص إشارة المشتقة على يمين ويسار النقطة:
نرى أن الدالة تأخذ قيمتها الأكبر عند النقطة . والآن لنجد قيمة الدالة في:
ملاحظة 1. لاحظ أننا في هذه المشكلة لم نجد مجال تعريف الدالة: لقد قمنا فقط بإصلاح القيود والتحقق مما إذا كانت النقطة التي يكون عندها المشتق يساوي الصفر تنتمي إلى مجال تعريف الدالة. وتبين أن هذا كافٍ لهذه المهمة. ومع ذلك، هذا ليس هو الحال دائما. ذلك يعتمد على المهمة.
ملاحظة 2. عند دراسة السلوك وظيفة معقدةيمكنك استخدام هذه القاعدة:
- إذا كانت الدالة الخارجية لدالة معقدة تتزايد، فإن الدالة تأخذ قيمتها الأكبر عند نفس النقطة التي عندها وظيفة داخليةيأخذ القيمة الأكبر. يتبع هذا تعريف الدالة المتزايدة: الدالة تزداد في الفترة I if قيمة أعلىتتوافق الوسيطة من هذا الفاصل الزمني مع قيمة أكبر للدالة.
- إذا كانت الدالة الخارجية لدالة معقدة تتناقص، فإن الدالة تأخذ أكبر قيمة لها عند نفس النقطة التي تأخذ فيها الدالة الداخلية أصغر قيمة لها . يتبع ذلك تعريف الدالة المتناقصة: تتناقص الدالة في الفاصل الزمني I إذا كانت القيمة الأكبر للوسيطة من هذا الفاصل الزمني تتوافق مع قيمة أصغر للدالة
في مثالنا، تزيد الدالة الخارجية في نطاق التعريف بأكمله. تحت علامة اللوغاريتم يوجد تعبير - ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية، والتي، مع معامل رئيسي سلبي، تأخذ القيمة الأكبر عند هذه النقطة 
. بعد ذلك، نعوض بقيمة x هذه في معادلة الدالة والعثور على قيمته العظمى.
من الناحية العملية، الفائدة الأكبر هي استخدام المشتق للعثور على أكبر وأصغر قيم للدالة. ما علاقة هذا؟ تعظيم الأرباح وتقليل التكاليف وتحديد الحمل الأمثل للمعدات... بمعنى آخر، يتعين علينا في العديد من مجالات الحياة حل مشكلات تحسين بعض المعلمات. وهذه هي مهام إيجاد القيم الأكبر والأصغر للدالة.
تجدر الإشارة إلى أنه عادة ما يتم البحث عن القيم الأكبر والأصغر للدالة في فترة معينة X، وهي إما مجال الدالة بالكامل أو جزء من مجال التعريف. الفاصل الزمني X نفسه يمكن أن يكون قطعة، فاصل زمني مفتوح 
، فاصل لا نهائي.
سنتحدث في هذه المقالة عن إيجاد القيم الأكبر والأصغر بشكل صريح وظيفة معينةمتغير واحد y=f(x) .
التنقل في الصفحة.
أكبر وأصغر قيمة للدالة - التعاريف والرسوم التوضيحية.
دعونا نلقي نظرة سريعة على التعريفات الرئيسية.
أكبر قيمة للدالة 
ذلك لأي شخص 
عدم المساواة صحيح.
أصغر قيمة للدالة y=f(x) على الفاصل الزمني X تسمى هذه القيمة 
ذلك لأي شخص عدم المساواة صحيح.
هذه التعريفات بديهية: القيمة الأكبر (الأصغر) للدالة هي أكبر (أصغر) قيمة مقبولة في الفترة قيد النظر عند الإحداثي السيني.
نقاط ثابتة– هذه هي قيم الوسيطة التي يصبح عندها مشتق الدالة صفراً.
لماذا نحتاج إلى نقاط ثابتة عند إيجاد القيم الأكبر والأصغر؟ الجواب على هذا السؤال يأتي من نظرية فيرما. ويترتب على هذه النظرية أنه إذا كانت الدالة القابلة للتفاضل لها حد أقصى (حد أدنى محلي أو حد أقصى محلي) في مرحلة ما، فإن هذه النقطة تكون ثابتة. وبالتالي، فإن الدالة غالبًا ما تأخذ أكبر (أصغر) قيمة لها في الفاصل الزمني X في أحدها نقاط ثابتةمن هذه الفجوة.
كما أن الدالة يمكن أن تأخذ قيمها الأكبر والأصغر في كثير من الأحيان عند نقاط لا يوجد فيها المشتق الأول لهذه الدالة، ويتم تعريف الدالة نفسها.
دعنا نجيب على الفور على أحد الأسئلة الأكثر شيوعًا حول هذا الموضوع: "هل من الممكن دائمًا تحديد القيمة الأكبر (الأصغر) للدالة"؟ لا، ليس دائما. في بعض الأحيان تتطابق حدود الفاصل الزمني X مع حدود مجال تعريف الدالة، أو يكون الفاصل الزمني X لا نهائيًا. وبعض الدوال عند اللانهاية وعند حدود مجال التعريف يمكن أن تأخذ قيمًا كبيرة جدًا وصغيرة جدًا. في هذه الحالات، لا يمكن قول أي شيء عن القيمة الأكبر والأصغر للدالة.
من أجل الوضوح، سنقدم رسما توضيحيا. انظر إلى الصور وسيصبح الكثير أكثر وضوحًا.
على الجزء
في الشكل الأول، تأخذ الدالة القيم الأكبر (max y) والأصغر (min y) عند نقاط ثابتة تقع داخل المقطع [-6;6].
النظر في الحالة المبينة في الشكل الثاني. دعونا نغير المقطع إلى . في هذا المثال، يتم تحقيق أصغر قيمة للدالة عند نقطة ثابتة، والقيمة الأكبر عند النقطة التي يتوافق فيها الإحداثي الإحداثي مع الحد الأيمن للفاصل الزمني.
في الشكل 3، النقاط الحدودية للمقطع [-3;2] هي حدود النقاط المقابلة لأكبر وأصغر قيمة للدالة.
على فترة مفتوحة
في الشكل الرابع، تأخذ الدالة القيم الأكبر (max y) والأصغر (min y) عند نقاط ثابتة تقع داخل الفترة المفتوحة (-6;6).
في الفترة، لا يمكن استخلاص أي استنتاجات حول القيمة الأكبر.
في اللانهاية
في المثال المعروض في الشكل السابع، تأخذ الدالة القيمة الأكبر (max y) عند نقطة ثابتة مع الإحداثي السيني x=1، ويتم تحقيق أصغر قيمة (min y) على الحد الأيمن للفاصل الزمني. عند علامة ناقص اللانهاية، تقترب قيم الدالة بشكل مقارب من y=3.
خلال الفترة، لا تصل الدالة إلى القيمة الأصغر أو الأكبر. مع اقتراب x=2 من اليمين، تميل قيم الدالة إلى ناقص ما لا نهاية (الخط المستقيم x=2 هو الخط المقارب الرأسي) ، وبما أن الإحداثي السيني يميل إلى ما لا نهاية، فإن قيم الدالة تقترب بشكل مقارب من y=3. يظهر الرسم التوضيحي لهذا المثال في الشكل 8.
خوارزمية للعثور على أكبر وأصغر قيم للدالة المستمرة على القطعة.
دعونا نكتب خوارزمية تسمح لنا بالعثور على أكبر وأصغر قيم للدالة على القطعة.
- نجد مجال تعريف الوظيفة ونتحقق مما إذا كانت تحتوي على المقطع بأكمله.
- نجد جميع النقاط التي لا يوجد عندها المشتق الأول والموجودة في القطعة (عادةً ما توجد هذه النقاط في الدوال ذات الوسيطة تحت علامة المعامل وفي وظائف الطاقةمع الأس الكسرى). إذا لم تكن هناك مثل هذه النقاط، فانتقل إلى النقطة التالية.
- نحدد جميع النقاط الثابتة التي تقع ضمن المقطع. للقيام بذلك، نساويه بالصفر، ونحل المعادلة الناتجة ونختار الجذور المناسبة. إذا لم تكن هناك نقاط ثابتة أو لم يقع أي منها في المقطع، فانتقل إلى النقطة التالية.
- نحسب قيم الدالة عند نقاط ثابتة محددة (إن وجدت)، عند النقاط التي لا يوجد عندها المشتق الأول (إن وجد)، وكذلك عند x=a وx=b.
- من قيم الوظيفة التي تم الحصول عليها، نختار الأكبر والأصغر - ستكون القيم الأكبر والأصغر المطلوبة للوظيفة، على التوالي.
دعونا نحلل الخوارزمية لحل مثال للعثور على أكبر وأصغر قيم للدالة على القطعة.
مثال.
أوجد أكبر وأصغر قيمة للدالة
- على المقطع؛
- على المقطع [-4;-1] .
حل.
مجال الدالة هو المجموعة بأكملها أرقام حقيقية، باستثناء الصفر، أي. كلا القطاعين يقعان ضمن مجال التعريف.
أوجد مشتقة الدالة بالنسبة إلى: 
من الواضح أن مشتق الدالة موجود في جميع نقاط القطع و [-4;-1].
نحدد النقاط الثابتة من المعادلة. الوحيد الجذر الحقيقيهو س=2 . تقع هذه النقطة الثابتة في الجزء الأول.
في الحالة الأولى، نحسب قيم الدالة عند نهايات المقطع وعند النقطة الثابتة، أي بالنسبة لـ x=1 وx=2 وx=4: 
وبالتالي فإن القيمة الأكبر للدالة 
يتم تحقيقه عند x=1، وأصغر قيمة 
– عند س=2.
في الحالة الثانية، نحسب قيم الدالة فقط في نهايات المقطع [-4;-1] (نظرًا لأنه لا يحتوي على نقطة ثابتة واحدة): 
توصيات منهجية لدراسة موضوع "القيم المتعددة للدالة". القيم الأكبر والأصغر للدالة."
في الرياضيات نفسها الوسيلة الرئيسية
لتحقيق الحقيقة - الاستقراء والقياس.
المعطى: - الوظيفة. دعونا نشير 
- مجال تعريف الوظيفة.
مجموعة (مجال) قيم الدالة هي مجموعة كل تلك القيم التي يمكن أن تأخذها الدالة. 
.من الناحية الهندسية، يعني هذا إسقاط الرسم البياني للدالة على المحور 
.
إذا كان هناك نقطة 
بحيث لأي شخص 
من المجموعة هناك عدم المساواة 
، ثم يقولون أن الوظيفة الموجودة في المجموعة تأخذ دورها أصغر قيمة
إذا كانت هناك نقطة بحيث ينطبق عدم المساواة على أي من المجموعة 
، ثم يقولون أن الوظيفة الموجودة في المجموعة تأخذ دورها أعلى قيمة
.
يتم استدعاء الدالة يحدها أدناهعلى المجموعة إذا كان هذا الرقم موجودا 
. هندسيًا، هذا يعني أن الرسم البياني للدالة ليس أقل من الخط المستقيم 
.
يتم استدعاء الدالة يحدها فوقعلى المجموعة إذا كان هذا الرقم موجودا 
، أنه بالنسبة لأي مجموعة فإن عدم المساواة صحيح 
. هندسيًا، هذا يعني أن الرسم البياني للدالة ليس أعلى من الخط المستقيم 
يتم استدعاء الدالة محدودعلى المجموعة إذا كان يحدها هذه المجموعة من الأسفل والأعلى. تعني حدود الدالة أن الرسم البياني الخاص بها يقع داخل نطاق أفقي معين.
متباينة كوشي حول الوسط الحسابي والوسط الهندسي 
:
>
,
>0) مثال: 
أكبر وأصغر قيم الدالة على فترة
(القطعة، الفاصل الزمني، الشعاع)
خصائص الدوال المستمرة على فترة.
1. إذا كانت الدالة متصلة على قطعة فإنها تصل إلى الحد الأقصى والحد الأدنى لقيمتها عليها.
2. يمكن للدالة المستمرة أن تصل إلى قيمها القصوى والدنيا عند نهايات المقطع وداخله
3. إذا تم تحقيق القيمة الأكبر (أو الأصغر) داخل المقطع، فعندها فقط عند نقطة ثابتة أو حرجة.
خوارزمية للعثور على أكبر وأصغر القيم
وظيفة مستمرة على الجزء 
1. أوجد المشتقة 
.
2. البحث عن ثابتة و نقاط حرجة، الكذب داخل الجزء .
3. ابحث عن قيم الدالة عند النقاط الثابتة والحرجة المحددة وفي نهايات المقطع، أي. 
و 
.
4. من بين القيم التي تم العثور عليها، حدد الأصغر (سيكون هذا 
) والأعظم (هذا سيكون 
)
خصائص الدوال المستمرة الرتيبة على فترة:
الزيادة المستمرة على قطعة
تصل الدالة إلى أكبر قيمة لها عند 
، الأصغر – في 
.
التناقص المستمر على قطعة تصل الدالة إلى أكبر قيمة لها عند و صغرى عند .
إذا كانت قيمة الدالة 
غير سالبة على فترة ما، ثم هذه الدالة والدالة 
، حيث n عدد طبيعي، يأخذ القيمة الأكبر (الأصغر) عند نفس النقطة.
العثور على أكبر وأصغر القيم وظيفة مستمرةعلى الفاصل الزمني 
أو على شعاع
(مشاكل التحسين).
إذا كانت الدالة المستمرة لها نقطة نهاية واحدة على فترة أو شعاع وكان هذا الحد الأقصى أو الحد الأدنى، عند هذه النقطة يتم تحقيق القيمة القصوى أو الدنيا للدالة ( أو )
تطبيق خاصية رتابة الوظائف.
1. دالة معقدة مكونة من دالتين متزايدتين تزايدية.
2. إذا زادت الدالة وزادت الدالة 
يتناقص، ثم الوظيفة 
- التناقص.
3. مجموع دالتين متزايدتين (متناقصتين)، دالة متزايدة (تناقصية).
4. إذا كان في معادل. 
الطرف الأيسر عبارة عن دالة تزايدية (أو تناقصية)، ومن ثم يكون للمعادلة جذر واحد على الأكثر.
5. إذا كانت الدالة تتزايد (تتناقص)، والدالة تتناقص (تتزايد)، فإن المعادلة 
لديه حل واحد على الأكثر.
6. المعادلة 
له جذر واحد على الأقل إذا وفقط إذا 
ينتمي إلى معاني متعددة 
المهام 
.
تطبيق خاصية الوظائف المحدودة.
1. إذا كان الجانب الأيسر من المعادلة (عدم المساواة) ( 
أقل من أو يساوي عدد ما ( 
)، والجانب الأيمن أكبر من أو يساوي هذا الرقم ()، فيصمد النظام 
والتي يكون حلها هو حل المعادلة (التباين) نفسها.
مهام ضبط النفس
طلب:
3. أوجد جميع القيم التي المعادلة لها 
لديه الحل.
العمل في المنزل
1. أوجد أكبر قيمة للدالة:
، لو 
.
2. أوجد أصغر قيمة للدالة:
.
3. ابحث عن أكبر قيمة عددية للدالة:
.
تلك التي تتوافق مع أعظم. مثالي-...
توصيات منهجية للفصول العملية الموضوع: مقدمة. تاريخ موجز للغة اللاتينية. الأبجدية. علم الصوتيات
القواعد الارشاديةكبير، علوي، صغير، أمامي، الأقل, أعظم. 3) ترجمة: أ. مم. بالاتي وآخرون... معنىأ) العقدية ب) البارباميل ج) الكورتيكوتروبينوم د) الكولوسازوم هـ) كلية الأجوفيرين: وحدة MTD: لغة لاتينية المنهجي او نظامى توصيات ل ...
... . أكبرو الأصغر قيم المهام أعظمو الأقل قيم 2 14. المشتقات العكسية المهامالمشتق العكسي 2 15. مفهوم المعادلات التفاضليةأمثلة على استخدام المشتقات ل ...
توصيات منهجية للتدريب الذاتي للطلاب والطلاب في تخصص "التدريب البدني" كراسنودار
القواعد الارشادية... أعظمسرعة تعسفية حركة واحدةو الأصغر... متاح مجموعة من توصياتبواسطة... معنىلديه مزيج عقلاني من وسائل العمل العام والمحلي. 4. المنهجي او نظامى توصيات لمستقل دراسة ... المهام. هم أولئك ...
توصيات منهجية لاستخدام الكتب المدرسية "الجبر والتحليل الرياضي، 10"، "الجبر والتحليل الرياضي، 11" (المؤلفون: N. Ya. Vilenkin، O. S. Ivashev-Musatov، S. I. Shvartsburd) عند دراسة الموضوع على مستوى الملف الشخصي
القواعد الارشادية... , مجموعة من قيم المهام، أصفار المهام، فترات من علامة ثابتة المهام، حتى، غريب، الدورية. روتيني المهام، فترات الرتابة، النهايات المهام. أعظمو الأقل قيم المهام ...
في العديد من مجالات الحياة، قد تواجه حقيقة أنك تحتاج إلى حل شيء ما باستخدام الأرقام، على سبيل المثال، في الاقتصاد والمحاسبة، يمكنك معرفة الحد الأدنى والحد الأقصى لبعض المؤشرات فقط من خلال تحسين المعلمات المحددة. وهذا ليس أكثر من إيجاد أكبر وأصغر القيم شريحة معينةالمهام. الآن دعونا نلقي نظرة على كيفية العثور على أكبر قيمة للدالة.
العثور على أكبر قيمة: التعليمات
- تعرف على أي جزء من الوظيفة تحتاج إلى حساب القيمة، وقم بتعيينه بالنقاط. يمكن أن تكون هذه الفترة مفتوحة (عندما تكون الدالة مساوية للقطعة)، ومغلقة (عندما تكون الدالة على القطعة)، ولا نهائية (عندما لا تنتهي الدالة).
- أوجد الدالة المشتقة.
- أوجد النقاط على قطعة الدالة التي تكون فيها المشتقة صفرًا وجميع النقاط الحرجة. ثم احسب قيم الدالة عند هذه النقاط وحل المعادلة. ابحث عن الأكبر بين القيم التي تم الحصول عليها.
- الكشف عن قيم الوظائف نقاط النهاية، وتحديد الأكبر منهم
- قارن البيانات بأكبر قيمة ثم اختر القيمة الأكبر. ستكون هذه أكبر قيمة للدالة.
كيفية العثور على أكبر قيمة عددية للدالة؟ تحتاج إلى حساب ما إذا كانت الدالة زوجية أم فردية، ومن ثم حلها مثال محدد. إذا تم الحصول على الرقم بكسر، فلا تأخذه في الاعتبار؛ وستكون نتيجة أكبر قيمة صحيحة للدالة عددًا صحيحًا فقط.
دراسة مثل هذا الكائن التحليل الرياضيكوظيفة عظيمة معنىوفي مجالات العلوم الأخرى. على سبيل المثال، في تحليل إقتصاديمطلوب تقييم السلوك باستمرار المهامالربح، أي تحديد أعظمه معنىووضع استراتيجية لتحقيق ذلك.
تعليمات
يجب أن تبدأ دراسة أي سلوك دائمًا بالبحث عن مجال التعريف. عادة حسب الحالة مهمة محددةفمن الضروري تحديد أعظم معنى المهامإما على هذه المنطقة بأكملها، أو على فترة محددة منها بحدود مفتوحة أو مغلقة.
على أساس أن الأكبر هو معنى المهام y(x0)، حيث يوجد عدم المساواة لأي نقطة في مجال التعريف y(x0) ≥ y(x) (x ≠ x0). بيانياً، ستكون هذه النقطة هي الأعلى إذا تم وضع قيم الوسيطة على طول محور الإحداثي، والدالة نفسها على طول المحور الإحداثي.
لتحديد أعظم معنى المهام، اتبع الخوارزمية المكونة من ثلاث خطوات. يرجى ملاحظة أنه يجب أن تكون قادرًا على العمل مع المشتق من جانب واحد وكذلك حساب المشتق. لذا، دع بعض الوظائف y(x) تعطى وتحتاج إلى العثور على أعظمها معنىعلى فترة زمنية معينة مع القيم الحدودية A و B.
اكتشف ما إذا كانت هذه الفترة ضمن نطاق التعريف المهام. للقيام بذلك، تحتاج إلى العثور عليه من خلال النظر في جميع القيود الممكنة: وجود كسر في التعبير، الجذر التربيعيإلخ. مجال التعريف هو مجموعة قيم الوسيطات التي تكون الوظيفة منطقية لها. تحديد ما إذا كان الفاصل الزمني المحددمجموعتها الفرعية. إذا كانت الإجابة بنعم، فانتقل إلى المرحلة القادمة.
أوجد المشتقة المهاموحل المعادلة الناتجة بمساواة المشتقة بالصفر. بهذه الطريقة سوف تحصل على قيم ما يسمى بالنقاط الثابتة. قم بتقييم ما إذا كان واحد منهم على الأقل ينتمي إلى المجال A، B.
في المرحلة الثالثة، خذ بعين الاعتبار هذه النقاط واستبدل قيمها في الدالة. اعتمادًا على نوع الفاصل الزمني، قم بتنفيذ الخطوات الإضافية التالية. إذا كان هناك جزء من النموذج [A، B]، يتم تضمين نقاط الحدود في الفاصل الزمني؛ ويشار إلى ذلك بين قوسين. حساب القيم المهاملـ x = A وx = B. إذا الفاصل الزمني المفتوح(أ، ب)، يتم ثقب القيم الحدودية، أي. لا يتم تضمينها في ذلك. حل الحدود من جانب واحد لـ x→A وx→B. فاصل مشترك من النموذج [A، B) أو (A، B)، ينتمي أحد حدوده إليه، ولا ينتمي الآخر إليه. أوجد النهاية أحادية الجانب حيث أن x تميل إلى القيمة المثقوبة، واستبدل الآخر بها الدالة. فاصل زمني لا نهائي من جانبين (-∞، +∞) أو فترات لا نهائية من جانب واحد بالشكل: , (-∞, B). بالنسبة للحدود الحقيقية A وB، تابع وفقًا للمبادئ الموصوفة بالفعل، و تلك التي لا نهاية لها، ابحث عن حدود x→-∞ وx→+∞، على التوالي.
المهمة في هذه المرحلة