لتسهيل النظر في دالة الأس، سننظر في 4 حالات منفصلة: دالة أس ذات أس طبيعي، ودالة أس ذات أس صحيح، ودالة أس ذات أس كسري، ودالة أس ذات أس غير نسبي.
دالة القدرة مع الأس الطبيعي
أولاً، دعونا نقدم مفهوم الدرجة ذات الأس الطبيعي.
التعريف 1
قوة الرقم الحقيقي $a$ مع الأس الطبيعي $n$ هي رقم يساوي حاصل ضرب عوامل $n$، كل منها يساوي الرقم $a$.
الشكل 1.
$a$ هو أساس الدرجة.
$n$ هو الأس.
دعونا الآن نفكر في دالة قوى ذات أس طبيعي وخصائصها ورسمها البياني.
التعريف 2
$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in N)$ تسمى دالة قوة ذات أس طبيعي.
لمزيد من الراحة، نفكر بشكل منفصل في دالة قوة ذات أس زوجي $f\left(x\right)=x^(2n)$ ودالة قوة ذات أس فردي $f\left(x\right)=x^ (2n-1)$ ($n\in N)$.
خصائص دالة القوة ذات الأس الطبيعي
$f\left(-x\right)=((-x))^(2n)=x^(2n)=f(x)$ -- الدالة زوجية.
منطقة القيمة -- $\
تقل الدالة بمقدار $x\in (-\infty ,0)$ وتزداد بمقدار $x\in (0,+\infty)$.
$f("")\left(x\right)=(\left(2n\cdot x^(2n-1)\right))"=2n(2n-1)\cdot x^(2(n-1) )))\جي 0$
تكون الوظيفة محدبة على نطاق التعريف بأكمله.
السلوك في نهايات المجال:
\[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^( 2n)\ )=+\infty \]
الرسم البياني (الشكل 2).
الشكل 2. رسم بياني للدالة $f\left(x\right)=x^(2n)$
خصائص دالة القوة ذات الأس الطبيعي الفردي
مجال التعريف هو كل الأعداد الحقيقية.
$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ -- الدالة فردية.
$f(x)$ مستمر على نطاق التعريف بأكمله.
النطاق هو كل الأعداد الحقيقية.
$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$
تزيد الوظيفة على نطاق التعريف بأكمله.
$f\left(x\right)0$، لـ $x\in (0,+\infty)$.
$f(""\left(x\right))=(\left(\left(2n-1\right)\cdot x^(2\left(n-1\right))\right))"=2 \left(2n-1\right)(n-1)\cdot x^(2n-3)$
\ \
الدالة مقعرة بالنسبة إلى $x\in (-\infty ,0)$ ومحدبة بالنسبة إلى $x\in (0,+\infty)$.
الرسم البياني (الشكل 3).
الشكل 3. الرسم البياني للدالة $f\left(x\right)=x^(2n-1)$
دالة الطاقة مع الأس الصحيح
أولاً، دعونا نقدم مفهوم الدرجة ذات الأس الصحيح.
التعريف 3
يتم تحديد قوة الرقم الحقيقي $a$ مع الأس الصحيح $n$ بواسطة الصيغة:
الشكل 4.
دعونا الآن نفكر في دالة قوى ذات أس صحيح وخصائصها ورسمها البياني.
التعريف 4
$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ تسمى دالة قوة ذات أس عدد صحيح.
إذا كانت الدرجة أكبر من الصفر، فإننا نأتي إلى حالة دالة قوى ذات أس طبيعي. لقد ناقشناها بالفعل أعلاه. بالنسبة إلى $n=0$ نحصل على دالة خطية $y=1$. ولنترك نظرها للقارئ. يبقى النظر في خصائص دالة القوة ذات الأس الصحيح السالب
خصائص دالة القدرة ذات الأس الصحيح السالب
مجال التعريف هو $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.
إذا كان الأس زوجيًا، تكون الدالة زوجية؛ وإذا كان فرديًا، تكون الدالة فردية.
$f(x)$ مستمر على نطاق التعريف بأكمله.
نِطَاق:
إذا كان الأس زوجيًا، فعندئذ $(0,+\infty)$; وإذا كان فرديًا، فعندئذٍ $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.
بالنسبة للأس الفردي، تنخفض الدالة إلى $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. إذا كان الأس زوجيًا، تنخفض الدالة إلى $x\in (0,+\infty)$. ويزيد بمقدار $x\in \left(-\infty ,0\right)$.
$f(x)\ge 0$ على نطاق التعريف بأكمله
في هذا الدرس، سوف نستمر في دراسة دوال القوة ذات الأس النسبي، والنظر في الدوال ذات الأس النسبي السالب.
1. المفاهيم والتعاريف الأساسية
دعونا نتذكر خصائص ورسومات دوال القوة ذات الأس الصحيح السالب.
حتى ن، :
وظيفة المثال:
جميع الرسوم البيانية لهذه الوظائف تمر عبر نقطتين ثابتتين: (1؛1)، (-1؛1). خصوصية الوظائف من هذا النوع هي تكافؤها، فالرسوم البيانية متناظرة بالنسبة لمحور المرجع.
أرز. 1. الرسم البياني للدالة
بالنسبة لـ n الغريب، :
وظيفة المثال:
جميع الرسوم البيانية لهذه الوظائف تمر عبر نقطتين ثابتتين: (1؛1)، (-1؛-1). خصوصية الوظائف من هذا النوع هي أنها غريبة، والرسوم البيانية متناظرة فيما يتعلق بالأصل.
أرز. 2. الرسم البياني للدالة
2. الدالة باستخدام الأس العقلاني السلبي والرسوم البيانية والخصائص
دعونا نتذكر التعريف الأساسي.
تسمى قوة الرقم غير السالب a مع الأس الإيجابي العقلاني رقمًا.
تسمى قوة الرقم الموجب a مع الأس السلبي العقلاني رقما.
بالنسبة للمساواة:
على سبيل المثال: 
; - لا يوجد تعبير، بحكم تعريفه، بدرجة ذات أس كسري سالب؛ موجود لأن الأس عدد صحيح، 
دعونا ننتقل إلى النظر في وظائف السلطة مع الأس السلبي العقلاني.
على سبيل المثال:
لرسم رسم بياني لهذه الوظيفة، يمكنك إنشاء جدول. سنفعل ذلك بشكل مختلف: أولاً سنقوم ببناء ودراسة الرسم البياني للمقام - وهو معروف لنا (الشكل 3).
أرز. 3. الرسم البياني للدالة
يمر الرسم البياني لوظيفة المقام عبر نقطة ثابتة (1؛1). عند رسم الرسم البياني للدالة الأصلية، تبقى هذه النقطة، بينما يميل الجذر أيضًا إلى الصفر، تميل الدالة إلى ما لا نهاية. وعلى العكس من ذلك، عندما تميل x إلى اللانهاية، تميل الدالة إلى الصفر (الشكل 4).
أرز. 4. الرسم البياني للوظيفة
لنفكر في وظيفة أخرى من عائلة الوظائف التي تتم دراستها.
ومن المهم أن بحكم التعريف
لنتأمل الرسم البياني للدالة في المقام: الرسم البياني لهذه الدالة معروف لدينا، فهو يزيد في مجال تعريفه ويمر بالنقطة (1؛1) (الشكل 5).
أرز. 5. الرسم البياني للدالة
عند رسم الرسم البياني للدالة الأصلية، تبقى النقطة (1؛1)، بينما يميل الجذر أيضًا إلى الصفر، وتميل الدالة إلى ما لا نهاية. وعلى العكس من ذلك، عندما تميل x إلى اللانهاية، تميل الدالة إلى الصفر (الشكل 6).
أرز. 6. الرسم البياني للدالة
تساعد الأمثلة المدروسة على فهم كيفية تدفق الرسم البياني وما هي خصائص الدالة قيد الدراسة - دالة ذات أس عقلاني سلبي.
تمر الرسوم البيانية لوظائف هذه العائلة عبر النقطة (1؛1)، وتتناقص الدالة على نطاق التعريف بأكمله.
نطاق الوظيفة: 
فالوظيفة لا تقتصر على الأعلى، بل تقتصر على الأسفل. الدالة ليس لها القيمة الأكبر ولا الأصغر.
الدالة مستمرة وتأخذ جميع القيم الموجبة من الصفر إلى زائد ما لا نهاية.
الدالة محدبة للأسفل (الشكل 15.7)
يتم أخذ النقطتين A و B على المنحنى، ويتم رسم مقطع من خلالهما، ويكون المنحنى بأكمله أسفل المقطع، ويتم استيفاء هذا الشرط لنقطتين عشوائيتين على المنحنى، وبالتالي تكون الدالة محدبة لأسفل. أرز. 7.
أرز. 7. تحدب الوظيفة
3. حل المشاكل النموذجية
ومن المهم أن نفهم أن وظائف هذه العائلة يحدها من الأسفل صفر، ولكنها لا تملك أدنى قيمة.
مثال 1 - العثور على الحد الأقصى والأدنى للدالة في الفترة)