وظائفها وخصائصها

الدالة هي واحدة من أهم المفاهيم الرياضية.وظيفة يسمون مثل هذا الاعتماد للمتغير y على المتغير x حيث تتوافق كل قيمة للمتغير x مع قيمة واحدة للمتغير y.

عامل Xمُسَمًّى متغير مستقل أو دعوى.عامل فيمُسَمًّى المتغير التابع. ويقولون ذلك أيضاالمتغير y هو دالة للمتغير x . يتم استدعاء قيم المتغير التابعقيم الوظيفة.

إذا كان الاعتماد على المتغيرفي من متغيرX هي دالة، فيمكن كتابتها بإيجاز على النحو التالي:ذ= و( س ). (يقرأ:في يساويو منX .) رمزو( س) تشير إلى قيمة الدالة المقابلة لقيمة الوسيطة التي تساويX .

جميع قيم شكل المتغير المستقلمجال الوظيفة . جميع القيم التي يتخذها المتغير التابعنطاق الوظيفة .

إذا تم تحديد دالة بواسطة صيغة ولم يتم تحديد مجال تعريفها، فإن مجال تعريف الدالة يعتبر يتكون من جميع قيم الوسيطة التي تكون الصيغة منطقية لها.

طرق تحديد الوظيفة:

1. الطريقة التحليلية (يتم تحديد الدالة باستخدام صيغة رياضية؛

2. الطريقة الجدولية (يتم تحديد الدالة باستخدام جدول)

3. الطريقة الوصفية (يتم تحديد الوظيفة عن طريق الوصف اللفظي)

4. الطريقة الرسومية (يتم تحديد الدالة باستخدام الرسم البياني).

الرسم البياني الوظيفي استدعاء مجموعة جميع نقاط المستوى الإحداثي، التي تساوي حروفها قيم الوسيطة، والإحداثيات - قيم الوظيفة المقابلة.

الخصائص الأساسية للوظائف

1. وظيفة الأصفار

صفر الدالة هو قيمة الوسيطة التي تكون عندها قيمة الدالة تساوي صفرًا.

2. فترات الإشارة الثابتة للدالة

فترات الإشارة الثابتة للدالة هي مجموعات من قيم الوسيطات التي تكون فيها قيم الدالة موجبة فقط أو سالبة فقط.

3. زيادة (تناقص) وظيفة.

زيادة في فترة زمنية معينة، الدالة هي دالة تكون فيها القيمة الأكبر للوسيطة من هذا الفاصل الزمني تتوافق مع قيمة أكبر للدالة.

وظيفة ص = و ( س ) مُسَمًّى زيادة على الفاصل الزمني (أ؛ ب ), إذا لأي س 1 و س 2 من هذا الفاصل الزمني بحيثس 1 < س 2 , عدم المساواة صحيحو ( س 1 )< و ( س 2 ).

تنازلي في فترة زمنية معينة، الدالة هي دالة تكون فيها القيمة الأكبر للوسيطة من هذا الفاصل الزمني تتوافق مع قيمة أصغر للدالة.

وظيفة في = و ( س ) مُسَمًّى متناقصعلى الفاصل الزمني (أ؛ ب ) ، إذا كان لأي س 1 و س 2 من هذا الفاصل الزمني بحيث س 1 < س 2 , عدم المساواة صحيحو ( س 1 )> و ( س 2 ).

4. وظيفة زوجية (فردية).

حتى وظيفة - دالة مجال تعريفها متماثل بالنسبة للأصل ولأيX من مجال تعريف المساواةو (- س ) = و ( س ) . الرسم البياني للدالة الزوجية متماثل حول الإحداثي.

على سبيل المثال، ص = س 2 - حتى الوظيفة.

وظيفة غريبة- دالة مجال تعريفها متماثل بالنسبة للأصل ولأي Xمن مجال التعريف المساواة صحيحة و (- س ) = - و (س ). الرسم البياني للدالة الفردية متماثل بالنسبة إلى الأصل.

على سبيل المثال: ص = س 3 - وظيفة غريبة .

الدالة ذات الشكل العام ليست زوجية أو فردية (ص = س 2 +س ).

خصائص بعض الوظائف ورسوماتها

1. وظيفة خطية تسمى وظيفة النموذج , أين ك و ب - أرقام.

مجال تعريف الدالة الخطية هو مجموعةر أرقام حقيقية.

رسم بياني لوظيفة خطيةفي = kx + ب ( ك ≠ 0) هو خط مستقيم يمر بالنقطة (0؛ب ) وموازية للخطفي = kx .

مستقيم وغير موازي للمحورأوه، هو الرسم البياني لوظيفة خطية.

خصائص الدالة الخطية.

1. متى ك > 0 وظيفة في = kx + ب

2. متى ك < 0 وظيفة ص = kx + ب التناقص في مجال التعريف.

ذ = kx + ب ( ك ≠ 0 ) هو خط الأعداد بأكمله، أي كثيرر أرقام حقيقية.

في ك = 0 مجموعة من قيم الوظائفص = kx + ب يتكون من رقم واحدب .

3. متى ب = 0 و ك = 0 الدالة ليست زوجية ولا فردية.

في ك = 0 دالة خطية لها الشكلص = ب وفي ب ≠ 0 إنه حتى.

في ك = 0 و ب = 0 دالة خطية لها الشكلص = 0 وهو فردي وزوجي.

رسم بياني لوظيفة خطيةص = ب هو خط مستقيم يمر بالنقطة (0؛ ب ) وموازية للمحورأوه.لاحظ أنه عندما ب = 0 رسم بياني للوظيفةص = ب تتزامن مع المحور أوه .

5. متى ك > 0 لدينا ذلك في> 0، إذا و في< 0 إذا . في ك < 0 لدينا ذلك y > 0 إذاوفي< 0, если .

2. الوظيفة ذ = س 2

رأرقام حقيقية.

إعطاء متغيرX عدة قيم من مجال الوظيفة وحساب القيم المقابلة لهافيوفقا للصيغة ذ = س 2 ، نحن نصور الرسم البياني للوظيفة.

رسم بياني للدالة ذ = س 2 مُسَمًّى القطع المكافئ.

خصائص الدالة y = x 2 .

1. إذا X= 0 إذن ص = 0، أي. يحتوي القطع المكافئ على نقطة مشتركة مع محاور الإحداثيات (0؛ 0) - أصل الإحداثيات.

2. إذا س ≠ 0 , الذي - التي في > 0، أي جميع نقاط القطع المكافئ، باستثناء نقطة الأصل، تقع فوق المحور السيني.

3. مجموعة من القيم الوظيفيةفي = X 2 هي وظيفة تمتدفي = X 2 يتناقص.

X

3. الوظيفة

مجال هذه الدالة هو دالة الامتدادذ = | س | يتناقص.

7. تأخذ الدالة أصغر قيمة لها عند النقطةX،هو - هي يساوي 0. لا توجد قيمة أكبر.

6. وظيفة

نطاق الوظيفة: .

نطاق الوظيفة: .

الرسم البياني هو غلو.

1. الأصفار الوظيفية.

ذ ≠ 0، لا أصفار.

2. فترات ثبات العلامات،

لو ك > 0 إذن في> 0 في X > 0; في < 0 при X < О.

لو ك < 0, то في < 0 при X > 0; في> 0 في X < 0.

3. فترات الزيادة والنقصان.

لو ك > 0، فإن الدالة تتناقص كما .

لو ك < 0, то функция возрастает при .

4. الوظيفة الزوجية (الفردية).

الوظيفة غريبة.

ثلاثي الحدود مربع

معادلة النموذج الفأس 2 + bx + ج = 0، حيث أ , بو مع - بعض الأرقام، وأ≠ 0، دعا مربع.

في معادلة تربيعيةالفأس 2 + bx + ج = 0 معامل أمُسَمًّى المعامل الأول ب - المعاملات الثانية، مع - عضو حر.

صيغة جذور المعادلة التربيعية هي:

.

يسمى التعبير تمييزي المعادلة التربيعية ويرمز لهاد .

لو د = 0، إذن هناك رقم واحد فقط يحقق المعادلة الفأس 2 + bx + ج = 0. لكننا اتفقنا على القول إنه في هذه الحالة للمعادلة التربيعية جذران حقيقيان متساويان، والعدد نفسه مُسَمًّى جذر مزدوج.

لو د < 0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней.

لو د > 0، فإن المعادلة التربيعية لها جذرين حقيقيين مختلفين.

دعونا نعطي معادلة تربيعيةالفأس 2 + bx + ج = 0. منذ أ≠ 0، ثم قسمة طرفي هذه المعادلة علىأ، نحصل على المعادلة . الاعتقاد و , نصل إلى المعادلة حيث المعامل الأول يساوي 1. وتسمى هذه المعادلةمنح.

صيغة جذور المعادلة التربيعية أعلاه هي:

.

معادلات النموذج

أ س 2 + bx = 0, الفأس 2 + س = 0, أ س 2 = 0

يتم استدعاؤها المعادلات التربيعية غير كاملة. يتم حل المعادلات التربيعية غير المكتملة عن طريق تحليل الجانب الأيسر من المعادلة.

نظرية فييتا .

مجموع جذور المعادلة التربيعية يساوي نسبة المعامل الثاني إلى الأول مأخوذة بالإشارة المعاكسة، وحاصل الجذور هو نسبة الحد الحر إلى المعامل الأول، أي.

نظرية العكس.

إذا كان مجموع أي رقمينX 1 و X 2 يساوي ، وناتجهما متساويفإن هذه الأعداد هي جذور المعادلة التربيعيةأوه 2 + ب س + ج = 0.

وظيفة النموذج أوه 2 + ب س + جمُسَمًّى ثلاثي الحدود مربع. جذور هذه الدالة هي جذور المعادلة التربيعية المقابلةأوه 2 + ب س + ج = 0.

إذا كان مميز ثلاثية الحدود التربيعية أكبر من الصفر، فيمكن تمثيل هذه الثلاثية على النحو التالي:

أوه 2 + ب س + ج = أ(س-س 1 )(س-س 2 )

أين X 1 و X 2 - جذور ثلاثية الحدود

إذا كان مميز ثلاثية الحدود التربيعية صفرًا، فيمكن تمثيل هذه الثلاثية على النحو التالي:

أوه 2 + ب س + ج = أ(س-س 1 ) 2

أين X 1 - جذر ثلاثي الحدود.

على سبيل المثال، 3x 2 - 12س + 12 = 3(س - 2) 2 .

معادلة النموذج أوه 4 + ب X 2 + س= 0 يسمى المعادلة الرباعية. استخدام استبدال المتغير باستخدام الصيغةX 2 = ذ يتم اختزاله إلى معادلة تربيعيةأ ذ 2 + بواسطة + ج = 0.

دالة تربيعية

دالة تربيعية هي دالة يمكن كتابتها بواسطة صيغة النموذجذ = الفأس 2 + bx + ج ، أين س - متغير مستقل،أ , ب و ج - بعض الأرقام، وأ ≠ 0.

يتم تحديد خصائص الوظيفة ونوع الرسم البياني الخاص بها بشكل أساسي من خلال قيم المعاملأ والتمييز.

خصائص الدالة التربيعية

نِطَاق:ر;

نطاق القيم:

في أ > 0 [- د/(4 أ); ∞)

في أ < 0 (-∞; - د/(4 أ)];

حتى، غريب:

في ب = 0 وظيفة زوجية

في ب ≠ الدالة 0 ليست زوجية ولا فردية

في د> 0 صفرين: ,

في د= 0 واحد صفر:

في د < 0 нулей нет

فترات ثبات الإشارة:

إذا كان > 0، د> 0 ثم

إذا كان > 0، د= 0 إذن

هإذا كان > 0، د < 0, то

إذا أ< 0, د> 0 ثم

إذا أ< 0, د= 0 إذن

إذا أ< 0, د < 0, то

- فترات من الرتابة

ل> 0

في أ< 0

الرسم البياني للدالة التربيعية هوالقطع المكافئ – منحنى متماثل حول خط مستقيم المرور عبر قمة القطع المكافئ (رأس القطع المكافئ هو نقطة تقاطع القطع المكافئ مع محور التماثل).

لتمثيل دالة تربيعية، تحتاج إلى:

1) العثور على إحداثيات قمة القطع المكافئ ووضع علامة عليها في المستوى الإحداثي؛

2) بناء عدة نقاط أخرى تنتمي إلى القطع المكافئ؛

3) قم بتوصيل النقاط المحددة بخط ناعم.

يتم تحديد إحداثيات قمة القطع المكافئ بواسطة الصيغ:

; .

تحويل الرسوم البيانية الوظيفية

1. تمتد الرسوماتص = س 2 على طول المحورفي V|أ| مرات (في|أ| < 1 هو ضغط 1/|أ| مرة واحدة).

إذا، و< 0, произвести, кроме того, зеркальное отражение графика отно­сительно оси X (سيتم توجيه فروع القطع المكافئ للأسفل).

نتيجة: رسم بياني للدالةص = آه 2 .

2. النقل الموازي الرسومات الوظيفيةص = آه 2 على طول المحورX على| م | (إلى اليمين متى

م > 0 وإلى اليسار متىت< 0).

النتيجة: الرسم البياني الوظيفيص = أ(س - ر) 2 .

3. النقل الموازي الرسومات الوظيفية على طول المحورفي على| ن | (حتى عندص> 0 وأسفل عندن< 0).

النتيجة: الرسم البياني الوظيفيص = أ(س - ر) 2 + ص.

المتباينات التربيعية

عدم المساواة في النموذجأوه 2 + ب س + ج> 0 وأوه 2 + ب س + ج< 0، حيثX - عامل،أ , ب ومع - بعض الأرقام، وأ≠ 0 تسمى متباينات من الدرجة الثانية بمتغير واحد.

يمكن اعتبار حل متباينة من الدرجة الثانية في متغير واحد بمثابة إيجاد الفترات التي تأخذ فيها الدالة التربيعية المقابلة قيمًا موجبة أو سالبة.

حل عدم المساواة في النموذجأوه 2 + ب س + ج > 0 وأوه 2 + ب س + ج< 0 تابع على النحو التالي:

1) العثور على مميز ثلاثي الحدود من الدرجة الثانية ومعرفة ما إذا كان ثلاثي الحدود له جذور؛

2) إذا كان ثلاثي الحدود له جذور، ضع علامة عليها على المحورX ومن خلال النقاط المحددة يتم رسم قطع مكافئ بشكل تخطيطي، ويتم توجيه فروعه نحو الأعلىأ > 0 أو لأسفل متىأ< 0; إذا لم يكن لثلاثية الحدود جذور، فقم بتصوير القطع المكافئ الموجود في النصف العلوي من المستوى بشكل تخطيطيأ > 0 أو أقل عندأ < 0;

3) وجدت على المحورX الفواصل الزمنية التي تقع فيها نقاط القطع المكافئ فوق المحورX (إذا تم حل عدم المساواةأوه 2 + ب س + ج > 0) أو أسفل المحورX (إذا تم حل عدم المساواةأوه 2 + ب س + ج < 0).

مثال:

دعونا نحل عدم المساواة .

النظر في الوظيفة

الرسم البياني الخاص به عبارة عن قطع مكافئ، يتم توجيه فروعه إلى الأسفل (منذ ذلك الحين ).

دعنا نتعرف على كيفية تحديد موقع الرسم البياني بالنسبة للمحورX. دعونا نحل المعادلة لهذا . لقد حصلنا على ذلكس = 4. المعادلة لها جذر واحد. وهذا يعني أن القطع المكافئ يمس المحورX.

ومن خلال رسم القطع المكافئ بشكل تخطيطي، نجد أن الدالة تأخذ قيمًا سالبة لأيX، باستثناء 4.

يمكن كتابة الجواب هكذا:X - أي رقم لا يساوي 4.

حل المتباينات باستخدام طريقة الفترات

مخطط الحل

1. ابحث عن الأصفار وظيفة على الجانب الأيسر من عدم المساواة.

2. تحديد موضع الأصفار على محور الأعداد وتحديد تعددها (لوك أنا متساوي، فالصفر ذو تعدد زوجي إذاك أنا الغريب غريب).

3. ابحث عن علامات الوظيفة في الفترات بين أصفارها، بدءًا من الفترة الموجودة في أقصى اليمين: في هذه الفترة تكون الدالة الموجودة على الجانب الأيسر من المتراجحة موجبة دائمًا للشكل المحدد من عدم المساواة. عند الانتقال من اليمين إلى اليسار عبر صفر الدالة من فترة إلى فترة مجاورة، ينبغي مراعاة ما يلي:

إذا كان الصفر غريبا التعدد، علامة الدالة تتغير،

إذا كان الصفر زوجيًا التعدد، فعلامة الدالة محفوظة.

4. اكتب الجواب.

مثال:

(س + 6) (س + 1) (X - 4) < 0.

تم العثور على أصفار الدالة. إنهم متساوون:X 1 = -6; X 2 = -1; X 3 = 4.

دعونا نحدد أصفار الدالة على خط الإحداثياتو ( س ) = (س + 6) (س + 1) (X - 4).

دعونا نجد علامات هذه الدالة في كل فترة من الفترات (-∞؛ -6)، (-6؛ -1)، (-1؛ 4) و

يتضح من الشكل أن مجموعة حلول المتراجحة هي اتحاد الفترات (-∞؛ -6) و (-1؛ 4).

الجواب: (-∞ ; -6) و (-1؛ 4).

تسمى الطريقة المدروسة لحل المتبايناتطريقة الفاصل.

تسمى الدالة y=x^2 دالة تربيعية. الرسم البياني للدالة التربيعية هو القطع المكافئ. يظهر الشكل العام للقطع المكافئ في الشكل أدناه.

دالة تربيعية

الشكل 1. منظر عام للقطع المكافئ

كما يتبين من الرسم البياني، فهو متماثل حول محور أوي. يُسمى محور أوي بمحور تناظر القطع المكافئ. وهذا يعني أنه إذا قمت برسم خط مستقيم على الرسم البياني موازيا لمحور الثور فوق هذا المحور. وبعد ذلك سوف يتقاطع مع القطع المكافئ عند نقطتين. ستكون المسافة من هذه النقاط إلى محور أوي هي نفسها.

يقسم محور التماثل الرسم البياني للقطع المكافئ إلى قسمين. وتسمى هذه الأجزاء فروع القطع المكافئ. ونقطة القطع المكافئ التي تقع على محور التماثل تسمى رأس القطع المكافئ. أي أن محور التماثل يمر عبر قمة القطع المكافئ. إحداثيات هذه النقطة هي (0;0).

الخصائص الأساسية للدالة التربيعية

1. عند x =0، وy=0، وy>0 عند x0

2. تصل الدالة التربيعية إلى أدنى قيمة لها عند رأسها. يمين عند x=0; تجدر الإشارة أيضًا إلى أن الدالة ليس لها قيمة قصوى.

3. تتناقص الدالة على الفاصل الزمني (-∞;0] وتزيد على الفاصل الزمني)