Tất cả các công thức đang được tiến hành. Cấp số cộng – dãy số

Cấp số cộng và hình học

Thông tin lý thuyết

Thông tin lý thuyết

	Cấp số cộng	Tiến trình hình học
Sự định nghĩa	Cấp số cộng MỘT là một dãy trong đó mỗi phần tử, bắt đầu từ phần tử thứ hai, bằng phần tử trước đó được cộng vào cùng một số d (d- sự khác biệt về tiến triển)	Tiến trình hình học b n là một dãy các số khác 0, mỗi số hạng của nó bắt đầu từ số thứ hai bằng số hạng trước đó nhân với cùng một số q (q- mẫu số của sự tiến triển)
Công thức lặp lại	Đối với bất kỳ tự nhiên N một n + 1 = một n + d	Đối với bất kỳ tự nhiên N b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
Công thức số hạng thứ n	một n = a 1 + d (n – 1)	b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0
Đặc tính đặc trưng
Tổng của n số hạng đầu tiên

Ví dụ về nhiệm vụ có nhận xét

Nhiệm vụ 1

Trong cấp số cộng ( MỘT) một 1 = -6, một 2

Theo công thức số hạng thứ n:

số 22 = một 1+ d (22 - 1) = một 1+ 21 ngày

Theo điều kiện:

một 1= -6 thì số 22= -6 + 21d.

Cần tìm sự khác biệt của tiến trình:

d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

số 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Trả lời : số 22 = -48.

Nhiệm vụ 2

Tìm số hạng thứ năm của cấp số nhân: -3; 6;....

Phương pháp thứ nhất (sử dụng công thức số hạng n)

Theo công thức tính số hạng thứ n của cấp số nhân:

b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

Bởi vì b 1 = -3,

Cách 2 (dùng công thức truy hồi)

Vì mẫu số của cấp số nhân là -2 (q = -2), nên:

b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Trả lời : b 5 = -48.

Nhiệm vụ 3

Trong cấp số cộng ( a n ) a 74 = 34; một 76= 156. Tìm số hạng thứ bảy mươi lăm của cấp số này.

Đối với cấp số cộng tính chất đặc trưng trông giống như .

Từ đó suy ra:

Hãy thay thế dữ liệu vào công thức:

Trả lời: 95.

Nhiệm vụ 4

Trong cấp số cộng ( một n ) một n= 3n - 4. Tìm tổng của mười bảy số hạng đầu tiên.

Để tìm tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng, hai công thức được sử dụng:

Cái nào ở trong trong trường hợp này sử dụng thuận tiện hơn?

Theo điều kiện, công thức cho số hạng thứ n của cấp số ban đầu đã biết ( MỘT) MỘT= 3n - 4. Tìm được ngay và một 1, Và số 16 mà không tìm thấy d. Vì vậy, chúng ta sẽ sử dụng công thức đầu tiên.

Đáp án: 368.

Nhiệm vụ 5

Trong cấp số cộng ( MỘT) một 1 = -6; một 2= -8. Tìm số hạng thứ hai mươi hai của cấp số nhân.

Theo công thức số hạng thứ n:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = một 1+ 21đ.

Theo điều kiện, nếu một 1= -6 thì số 22= -6 + 21d . Cần tìm sự khác biệt của tiến trình:

d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

số 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Trả lời : số 22 = -48.

Nhiệm vụ 6

Một số số hạng liên tiếp của cấp số nhân được viết:

Tìm số hạng của cấp số biểu thị bằng x.

Khi giải ta sẽ sử dụng công thức tính số hạng thứ n b n = b 1 ∙ q n - 1 Vì cấp tiến hình học. Thuật ngữ đầu tiên của sự tiến triển. Để tìm mẫu số của cấp số q, bạn cần lấy bất kỳ số hạng nào của cấp số đã cho và chia cho số hạng trước đó. Trong ví dụ của chúng tôi, chúng tôi có thể lấy và chia cho. Chúng ta thu được q = 3. Thay vì n, chúng ta thay 3 vào công thức, vì cần phải tìm số hạng thứ ba của một cấp số nhân cho trước.

Thay thế các giá trị tìm được vào công thức, chúng ta nhận được:

Trả lời : .

Nhiệm vụ 7

Từ cấp số cộng, được cho bởi công thức số hạng thứ n, chọn số hạng thỏa mãn điều kiện một 27 > 9:

Bởi vì điều kiện nhất định phải thỏa mãn số hạng thứ 27 của cấp số nhân, chúng ta thay 27 thay cho n trong mỗi cấp số trong bốn cấp số nhân. Ở cấp độ thứ 4, chúng ta nhận được:

Trả lời: 4.

Nhiệm vụ 8

Trong tiến trình số học một 1= 3, d = -1,5. Chỉ định giá trị cao nhất n mà bất đẳng thức đúng MỘT > -6.

Cấp độ đầu vào

Tiến trình số học. Lý thuyết chi tiết với các ví dụ (2019)

Dãy số

Vì vậy, hãy ngồi xuống và bắt đầu viết một số con số. Ví dụ:
Bạn có thể viết bất kỳ số nào và có thể có bao nhiêu số tùy thích (trong trường hợp của chúng tôi là có số đó). Cho dù chúng ta viết bao nhiêu số, chúng ta luôn có thể nói số nào là số đầu tiên, số nào là số hai, v.v. cho đến số cuối cùng, tức là chúng ta có thể đánh số chúng. Đây là một ví dụ về dãy số:

Dãy số
Ví dụ: đối với trình tự của chúng tôi:

Số được gán chỉ dành riêng cho một số trong dãy. Nói cách khác, không có số thứ ba trong dãy. Số thứ hai (như số thứ) luôn giống nhau.
Số kèm theo số gọi là số hạng thứ của dãy.

Chúng ta thường gọi toàn bộ chuỗi bằng một số chữ cái (ví dụ:) và mỗi thành viên của chuỗi này là cùng một chữ cái có chỉ số bằng số của thành viên này: .

Trong trường hợp của chúng tôi:

Hãy nói rằng chúng ta có dãy số, trong đó hiệu giữa các số liền kề là như nhau và bằng nhau.
Ví dụ:

vân vân.
Dãy số này được gọi là cấp số cộng.
Thuật ngữ "sự tiến bộ" được tác giả La Mã Boethius giới thiệu vào thế kỷ thứ 6 và được hiểu theo nghĩa rộng hơn. theo nghĩa rộng, giống như một dãy số vô hạn. Cái tên "số học" được chuyển từ lý thuyết về tỷ lệ liên tục được người Hy Lạp cổ đại nghiên cứu.

Đây là một dãy số, mỗi phần tử của nó bằng dãy số trước đó được cộng vào cùng một số. Con số này được gọi là hiệu của cấp số cộng và được chỉ định.

Cố gắng xác định dãy số nào là cấp số cộng và dãy số nào không:

Một)
b)
c)
d)

Hiểu rồi? Hãy so sánh câu trả lời của chúng tôi:
Là cấp số cộng - b, c.
không phải là cấp số cộng - a, d.

Hãy quay trở lại sự tiến triển nhất định() và cố gắng tìm giá trị của phần tử thứ của nó. tồn tại hai cách để tìm thấy nó.

1. Phương pháp

Chúng ta có thể cộng số cấp số vào giá trị trước đó cho đến khi đạt đến số hạng thứ của cấp số nhân. Thật tốt khi chúng ta không có nhiều điều để tóm tắt - chỉ có ba giá trị:

Vì vậy, số hạng thứ của cấp số cộng được mô tả bằng.

2. Phương pháp

Điều gì xảy ra nếu chúng ta cần tìm giá trị của số hạng thứ của cấp số nhân? Việc tính tổng sẽ khiến chúng ta mất hơn một giờ và thực tế là chúng ta sẽ không mắc lỗi khi cộng các số.
Tất nhiên, các nhà toán học đã nghĩ ra một cách mà không cần thiết phải cộng hiệu của một cấp số cộng với giá trị trước đó. Hãy nhìn kỹ hơn vào bức tranh được vẽ... Chắc chắn bạn đã nhận thấy một khuôn mẫu nào đó, đó là:

Ví dụ: hãy xem giá trị của số hạng thứ của cấp số cộng này bao gồm những gì:

Nói cách khác:

Hãy thử tự mình tìm giá trị của một phần tử của một cấp số cộng nhất định theo cách này.

Bạn đã tính toán chưa? So sánh ghi chú của bạn với câu trả lời:

Xin lưu ý rằng bạn nhận được số chính xác như trong phương pháp trước, khi chúng tôi thêm tuần tự các số hạng của cấp số cộng vào giá trị trước đó.
Hãy thử "phi nhân cách hóa" công thức này- hãy đưa cô ấy đến cái nhìn tổng quát và chúng tôi nhận được:

Phương trình cấp tiến số học.

Cấp số cộng có thể tăng hoặc giảm.

Tăng dần- cấp số trong đó mỗi giá trị tiếp theo của số hạng lớn hơn giá trị trước đó.
Ví dụ:

Giảm dần- cấp số trong đó mỗi giá trị tiếp theo của số hạng nhỏ hơn giá trị trước đó.
Ví dụ:

Công thức dẫn xuất được sử dụng để tính các số hạng theo cả số hạng tăng và giảm của cấp số cộng.
Hãy kiểm tra điều này trong thực tế.
Chúng ta được cho một cấp số cộng bao gồm những con số sau đây: Hãy kiểm tra xem số thứ của cấp số cộng này sẽ là bao nhiêu nếu chúng ta sử dụng công thức để tính nó:

Kể từ đó:

Vì vậy, chúng tôi tin rằng công thức hoạt động theo cả cấp số cộng giảm và tăng.
Hãy cố gắng tự tìm số hạng thứ và thứ của cấp số cộng này.

Hãy so sánh kết quả:

Thuộc tính cấp số cộng

Hãy phức tạp hóa vấn đề - chúng ta sẽ rút ra tính chất của cấp số cộng.
Giả sử chúng ta được đưa ra điều kiện sau:
- lũy tiến số học, tìm giá trị.
Dễ thôi, bạn nói và bắt đầu đếm theo công thức bạn đã biết:

À, vậy thì:

Hoàn toàn đúng. Hóa ra trước tiên chúng ta tìm, sau đó cộng nó vào số đầu tiên và có được thứ chúng ta đang tìm. Nếu cấp số nhân được biểu diễn bằng các giá trị nhỏ thì không có gì phức tạp, nhưng nếu chúng ta được cho các số trong điều kiện thì sao? Đồng ý, có khả năng xảy ra sai sót trong tính toán.
Bây giờ hãy nghĩ xem liệu có thể giải quyết vấn đề này trong một bước bằng cách sử dụng bất kỳ công thức nào không? Tất nhiên là có, và đó là những gì chúng tôi sẽ cố gắng đưa ra ngay bây giờ.

Chúng ta hãy biểu thị số hạng cần thiết của cấp số cộng vì công thức tìm nó đã được chúng ta biết - đây chính là công thức mà chúng ta đã rút ra lúc đầu:
, Sau đó:

số hạng trước đó của tiến trình là:
Số hạng tiếp theo của tiến trình là:

Hãy tóm tắt các điều khoản trước và tiếp theo của tiến trình:

Hóa ra tổng của các số hạng trước và sau của cấp số nhân là giá trị kép của số hạng cấp số nằm giữa chúng. Nói cách khác, để tìm giá trị của một số hạng lũy tiến với các giá trị liền trước và các giá trị kế tiếp đã biết, bạn cần cộng chúng lại và chia cho.

Đúng vậy, chúng ta có cùng số. Hãy bảo đảm vật liệu. Tự mình tính toán giá trị cho sự tiến triển, nó không khó chút nào.

Làm tốt! Bạn biết hầu hết mọi thứ về sự tiến triển! Vẫn còn phải tìm ra một công thức mà theo truyền thuyết, đã dễ dàng được suy ra bởi một trong những nhà toán học vĩ đại nhất mọi thời đại, “vua của các nhà toán học” - Carl Gauss...

Khi Carl Gauss 9 tuổi, một giáo viên đang bận kiểm tra bài làm của học sinh các lớp khác nên đã hỏi bài toán sau trong lớp: “Tính tổng của tất cả các số tự nhiên từ đến (theo các nguồn khác cho đến) bao gồm.” Hãy tưởng tượng sự ngạc nhiên của giáo viên khi một phút sau một trong những học sinh của ông (đây là Karl Gauss) đã đưa ra câu trả lời đúng cho bài tập, trong khi hầu hết các bạn cùng lớp của kẻ liều mạng sau khi tính toán lâu dài đều nhận được kết quả sai...

Carl Gauss thời trẻ đã nhận thấy một khuôn mẫu nhất định mà bạn cũng có thể dễ dàng nhận thấy.
Giả sử chúng ta có một cấp số cộng bao gồm các số hạng -th: Chúng ta cần tìm tổng các số hạng này của cấp số cộng. Tất nhiên, chúng ta có thể tính tổng tất cả các giá trị theo cách thủ công, nhưng nếu nhiệm vụ yêu cầu tìm tổng các số hạng của nó, như Gauss đang tìm kiếm thì sao?

Hãy để chúng tôi mô tả sự tiến triển được đưa ra cho chúng tôi. Hãy xem xét kỹ hơn các con số được đánh dấu và thử thực hiện các phép toán khác nhau với chúng.

Bạn đã thử nó chưa? Bạn đã nhận thấy điều gì? Phải! Tổng của chúng bằng nhau

Bây giờ hãy cho tôi biết, có tổng cộng bao nhiêu cặp như vậy trong tiến trình đưa ra cho chúng ta? Tất nhiên, chính xác là một nửa số đó.
Dựa trên thực tế là tổng hai số hạng của một cấp số cộng bằng nhau và các cặp số hạng giống nhau bằng nhau, ta thu được điều đó tổng số tiền bằng:
.
Do đó, công thức tính tổng các số hạng đầu tiên của bất kỳ cấp số cộng nào sẽ là:

Trong một số bài toán, chúng ta không biết số hạng thứ nhưng chúng ta biết sự khác biệt của cấp số nhân. Hãy thử thay công thức của số hạng thứ vào công thức tính tổng.
Bạn đã nhận được gì?

Làm tốt! Bây giờ chúng ta quay trở lại bài toán đã đặt ra cho Carl Gauss: tự mình tính xem tổng các số bắt đầu từ chữ th bằng bao nhiêu và tổng các số bắt đầu từ chữ th bằng bao nhiêu.

Bạn đã nhận được bao nhiêu?
Gauss nhận thấy rằng tổng các số hạng bằng nhau và tổng các số hạng bằng nhau. Đó là điều bạn quyết định à?

Trên thực tế, công thức tính tổng các số hạng của một cấp số cộng đã được chứng minh bởi nhà khoa học Hy Lạp cổ đại Diophantus vào thế kỷ thứ 3 và trong suốt thời gian này. những người hóm hỉnhđã sử dụng đầy đủ các tính chất của cấp số cộng.
Ví dụ, hãy tưởng tượng Ai Cập cổ đại và nhiều nhất xây dựng quy mô lớn thời điểm đó - việc xây dựng một kim tự tháp... Bức tranh cho thấy một mặt của nó.

Bạn nói sự tiến triển ở đây là ở đâu? Hãy quan sát cẩn thận và tìm ra mẫu số lượng khối cát ở mỗi hàng của bức tường kim tự tháp.

Tại sao không phải là một cấp số cộng? Tính xem cần bao nhiêu khối để xây một bức tường nếu gạch khối được đặt ở chân tường. Tôi hy vọng bạn sẽ không đếm khi di chuyển ngón tay trên màn hình, bạn có nhớ công thức cuối cùng và mọi điều chúng ta đã nói về cấp số cộng không?

Trong trường hợp này, sự tiến triển trông giống như như sau: .
Sự khác biệt cấp tiến số học.
Số số hạng của một cấp số cộng.
Hãy thay thế dữ liệu của chúng tôi vào các công thức cuối cùng (tính số khối theo 2 cách).

Phương pháp 1.

Phương pháp 2.

Và bây giờ bạn có thể tính toán trên màn hình: so sánh các giá trị thu được với số khối có trong kim tự tháp của chúng ta. Hiểu rồi? Làm tốt lắm, bạn đã nắm vững tổng các số hạng thứ n của một cấp số cộng.
Tất nhiên, bạn không thể xây dựng một kim tự tháp từ các khối ở chân đế, nhưng từ? Hãy thử tính xem cần bao nhiêu viên gạch cát để xây một bức tường với điều kiện này.
Bạn đã quản lý được chưa?
Câu trả lời đúng là khối:

Đào tạo

Nhiệm vụ:

Masha đang lấy lại vóc dáng cho mùa hè. Mỗi ngày cô ấy tăng số lần squat lên. Masha sẽ squat bao nhiêu lần trong một tuần nếu cô ấy tập squat trong buổi tập đầu tiên?
Tổng của tất cả các số lẻ có trong là bao nhiêu?
Khi lưu trữ nhật ký, người ghi nhật ký sẽ xếp chúng theo cách sao cho mỗi nhật ký lớp trên cùng chứa ít nhật ký hơn nhật ký trước đó. Có bao nhiêu khúc gỗ trong một khối xây, nếu nền của khối xây là khúc gỗ?

Câu trả lời:

Hãy xác định các tham số của cấp số cộng. Trong trường hợp này
(tuần = ngày).
Trả lời: Trong hai tuần, Masha nên tập squat mỗi ngày một lần.
Đầu tiên số lẻ, số cuối cùng
Sự khác biệt cấp tiến số học.
Tuy nhiên, số lượng số lẻ trong đó là một nửa, hãy kiểm tra thực tế này bằng cách sử dụng công thức tìm số hạng thứ của một cấp số cộng:
Số có chứa số lẻ.
Hãy thay thế dữ liệu có sẵn vào công thức:
Trả lời: Tổng của tất cả các số lẻ chứa trong đó bằng nhau.
Chúng ta hãy nhớ lại vấn đề về kim tự tháp. Đối với trường hợp của chúng tôi, a , vì mỗi lớp trên cùng bị giảm đi một bản ghi, nên tổng cộng có một loạt các lớp.
Hãy thay thế dữ liệu vào công thức:
Trả lời: Có những khúc gỗ trong khối xây.

Hãy tóm tắt lại

- một dãy số trong đó hiệu giữa các số liền kề bằng nhau và bằng nhau. Nó có thể tăng hoặc giảm.
Tìm công thức Số hạng thứ của một cấp số cộng được viết theo công thức - , trong đó là số lượng các số trong cấp số cộng.
Thuộc tính của các thành viên của một cấp số cộng- - số lượng các số đang tiến triển ở đâu.
Tổng các số hạng của một cấp số cộng có thể được tìm thấy theo hai cách:

, số lượng giá trị ở đâu.

TIẾN BỘ SỐ HỌC. CẤP TRUNG CẤP

Dãy số

Hãy ngồi xuống và bắt đầu viết một số con số. Ví dụ:

Bạn có thể viết bất kỳ số nào và có thể có bao nhiêu số tùy thích. Nhưng chúng ta luôn có thể nói cái nào là thứ nhất, cái nào là thứ hai, v.v., tức là chúng ta có thể đánh số chúng. Đây là một ví dụ về một dãy số.

Dãy số là một tập hợp các số, mỗi số có thể được gán một số duy nhất.

Nói cách khác, mỗi số có thể được liên kết với một số tự nhiên nhất định và một số duy nhất. Và chúng ta sẽ không gán số này cho bất kỳ số nào khác trong bộ này.

Số có số được gọi là thành viên thứ của dãy.

Sẽ rất thuận tiện nếu số hạng thứ của dãy có thể được xác định bằng một công thức nào đó. Ví dụ, công thức

đặt trình tự:

Và công thức là trình tự sau:

Ví dụ: một cấp số cộng là một dãy (số hạng đầu tiên ở đây bằng nhau và hiệu là). Hoặc (, sự khác biệt).

công thức số hạng thứ n

Chúng tôi gọi một công thức là hồi quy, trong đó, để tìm ra số hạng thứ, bạn cần biết số hạng trước đó hoặc một số số hạng trước đó:

Ví dụ, để tìm số hạng thứ của cấp số cộng sử dụng công thức này, chúng ta sẽ phải tính số hạng trước đó. Ví dụ, hãy để nó. Sau đó:

Chà, bây giờ bạn đã rõ công thức là gì chưa?

Trong mỗi dòng chúng tôi thêm vào, nhân với một số. Cái nào? Rất đơn giản: đây là số lượng thành viên hiện tại trừ đi:

Bây giờ thuận tiện hơn nhiều phải không? Chúng tôi kiểm tra:

Hãy tự mình quyết định:

Trong một cấp số cộng, hãy tìm công thức của số hạng thứ n và tìm số hạng thứ một trăm.

Giải pháp:

Số hạng đầu tiên bằng nhau. Sự khác biệt là gì? Đây là những gì:

(Đây là lý do tại sao nó được gọi là hiệu vì nó bằng hiệu của các số hạng liên tiếp của cấp số).

Vì vậy, công thức:

Khi đó số hạng thứ trăm bằng:

Tổng của tất cả các số tự nhiên từ đến là bao nhiêu?

Theo truyền thuyết, nhà toán học vĩ đại Karl Gauss, khi còn là một cậu bé 9 tuổi, đã tính được số tiền này trong vài phút. Ông nhận thấy rằng tổng của số đầu tiên và số cuối cùng bằng nhau, tổng của số thứ hai và số áp chót bằng nhau, tổng của số thứ ba và số thứ 3 tính từ cuối bằng nhau, v.v. Tổng cộng có bao nhiêu cặp như vậy? Đúng vậy, chính xác là một nửa số lượng của tất cả các số. Vì thế,

Công thức chung tính tổng các số hạng đầu tiên của bất kỳ cấp số cộng nào sẽ là:

Ví dụ:
Tìm tổng của tất cả số có hai chữ số, bội số.

Giải pháp:

Con số đầu tiên như vậy là thế này. Mỗi cái tiếp theo có được bằng cách thêm vào ngày trước đó. Như vậy, những con số chúng ta quan tâm có dạng cấp số cộng với số hạng đầu tiên và sự khác biệt.

Công thức của số hạng thứ cho tiến trình này:

Có bao nhiêu số hạng trong dãy số nếu tất cả chúng đều phải có hai chữ số?

Rất dễ dàng: .

Số hạng cuối cùng của quá trình tiến triển sẽ bằng nhau. Khi đó tổng:

Trả lời: .

Bây giờ hãy tự quyết định:

Mỗi ngày vận động viên chạy được nhiều mét hơn ngày hôm trước. Hỏi anh ta sẽ chạy tổng cộng bao nhiêu km trong một tuần nếu anh ta chạy km m vào ngày đầu tiên?
Một người đi xe đạp mỗi ngày đi được nhiều km hơn ngày hôm trước. Ngày đầu tiên anh ấy đi được km. Anh ta cần phải đi bao nhiêu ngày để đi được một km? Anh ta sẽ đi được bao nhiêu km trong ngày cuối cùng của cuộc hành trình?
Giá tủ lạnh ở cửa hàng mỗi năm đều giảm một lượng như nhau. Xác định giá của một chiếc tủ lạnh giảm bao nhiêu mỗi năm nếu được rao bán với giá rúp, sáu năm sau nó được bán với giá rúp.

Câu trả lời:

Điều quan trọng nhất ở đây là nhận biết cấp số cộng và xác định các tham số của nó. Trong trường hợp này, (tuần = ngày). Bạn cần xác định tổng các số hạng đầu tiên của tiến trình này:
.
Trả lời:
Ở đây nó được đưa ra: , phải được tìm thấy.
Rõ ràng, bạn cần sử dụng công thức tính tổng tương tự như trong nhiệm vụ trước đó:
.
Thay thế các giá trị:
Root rõ ràng là không phù hợp nên câu trả lời là.
Hãy tính quãng đường đã đi trong ngày cuối cùng bằng công thức của số hạng thứ:
(km).
Trả lời:
Được cho: . Tìm thấy: .
Nó không thể đơn giản hơn:
(chà xát).
Trả lời:

TIẾN BỘ SỐ HỌC. GIỚI THIỆU VỀ NHỮNG ĐIỀU CHÍNH

Đây là một dãy số trong đó hiệu giữa các số liền kề là như nhau và bằng nhau.

Cấp số cộng có thể tăng () và giảm ().

Ví dụ:

Công thức tìm số hạng thứ n của cấp số cộng

được viết theo công thức, ở đâu là số cấp số nhân.

Thuộc tính của các thành viên của một cấp số cộng

Nó cho phép bạn dễ dàng tìm thấy một số hạng của một cấp số nếu đã biết các số hạng lân cận của nó - số lượng các số trong cấp số đó ở đâu.

Tổng các số hạng của một cấp số cộng

Có hai cách để tìm số tiền:

Số lượng giá trị ở đâu.

Có, vâng: cấp số cộng không phải là đồ chơi dành cho bạn :)

Chà, các bạn ơi, nếu bạn đang đọc văn bản này thì bằng chứng giới hạn nội bộ cho tôi biết rằng bạn chưa biết cấp số cộng là gì, nhưng bạn thực sự (không, như thế: SOOOOO!) muốn biết. Vì vậy, tôi sẽ không làm phiền bạn bằng những lời giới thiệu dài dòng và sẽ đi thẳng vào vấn đề.

Đầu tiên, một vài ví dụ. Chúng ta hãy xem xét một số bộ số:

1; 2; 3; 4; ...
15; 20; 25; 30; ...
$\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Tất cả những bộ này có điểm gì chung? Thoạt nhìn thì không có gì. Nhưng thực ra có một cái gì đó. Cụ thể là: mọi phần tử tiếp theo khác với cái trước ở cùng một số.

Thẩm phán cho chính mình. Bộ đầu tiên chỉ đơn giản là các số liên tiếp, số tiếp theo nhiều hơn số trước một đơn vị. Trong trường hợp thứ hai, sự khác biệt giữa chuỗi số đứngđã bằng năm, nhưng sự khác biệt này vẫn không đổi. Trong trường hợp thứ ba, không có rễ nào cả. Tuy nhiên, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$ và $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, tức là. và trong trường hợp này, mỗi phần tử tiếp theo chỉ tăng thêm $\sqrt(2)$ (và đừng sợ rằng con số này là vô tỷ).

Vì vậy: tất cả các dãy như vậy được gọi là cấp số cộng. Hãy đưa ra một định nghĩa chặt chẽ:

Sự định nghĩa. Một dãy số mà mỗi số tiếp theo khác số trước đó một khoảng bằng nhau được gọi là cấp số cộng. Lượng chênh lệch giữa các số được gọi là chênh lệch lũy tiến và thường được biểu thị bằng chữ cái $d$.

Ký hiệu: $\left(((a)_(n)) \right)$ là chính tiến trình đó, $d$ là sự khác biệt của nó.

Và chỉ một vài lưu ý quan trọng. Thứ nhất, sự tiến triển chỉ được xem xét ra lệnh dãy số: chúng được phép đọc theo đúng thứ tự được viết - và không có gì khác. Các số không thể được sắp xếp lại hoặc hoán đổi.

Thứ hai, bản thân dãy có thể là hữu hạn hoặc vô hạn. Ví dụ, tập hợp (1; 2; 3) rõ ràng là một cấp số cộng hữu hạn. Nhưng nếu bạn viết ra điều gì đó theo tinh thần (1; 2; 3; 4; ...) - thì đây là sự tiến triển vô tận. Dấu chấm lửng sau số 4 dường như gợi ý rằng còn khá nhiều con số nữa sắp xuất hiện. Vô số, chẳng hạn.

Tôi cũng muốn lưu ý rằng sự tiến bộ có thể tăng hoặc giảm. Chúng tôi đã thấy những cái tăng dần - cùng một bộ (1; 2; 3; 4; ...). Dưới đây là ví dụ về sự tiến triển giảm dần:

49; 41; 33; 25; 17; ...
17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
$\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Được rồi, được rồi: ví dụ cuối cùng có vẻ quá phức tạp. Nhưng phần còn lại, tôi nghĩ, bạn hiểu. Vì vậy, chúng tôi đưa ra các định nghĩa mới:

Sự định nghĩa. Một cấp số cộng được gọi là:

tăng nếu mỗi phần tử tiếp theo lớn hơn phần tử trước;

ngược lại, giảm nếu mỗi phần tử tiếp theo nhỏ hơn phần tử trước.

Ngoài ra, còn có cái gọi là chuỗi "đứng yên" - chúng bao gồm cùng một số lặp lại. Ví dụ: (3; 3; 3; ...).

Chỉ còn lại một câu hỏi: làm thế nào để phân biệt tiến trình tăng dần với tiến trình giảm dần? May mắn thay, mọi thứ ở đây chỉ phụ thuộc vào dấu của số $d$, tức là. sự khác biệt về tiến triển:

Nếu $d \gt 0$, thì cấp số tăng dần;
Nếu $d \lt 0$, thì cấp số nhân rõ ràng đang giảm dần;
Cuối cùng, có trường hợp $d=0$ - trong trường hợp này toàn bộ quá trình tiến triển được giảm xuống thành một chuỗi dừng số giống nhau: (1; 1; 1; 1; ...), v.v.

Hãy thử tính hiệu $d$ cho ba cấp số giảm dần nêu trên. Để làm điều này, chỉ cần lấy hai phần tử liền kề bất kỳ (ví dụ: phần tử thứ nhất và thứ hai) và trừ số ở bên trái khỏi số ở bên phải. Nó sẽ trông như thế này:

41−49=−8;
12−17,5=−5,5;
$\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Như chúng ta có thể thấy, trong cả ba trường hợp, sự khác biệt thực sự đều âm. Và bây giờ chúng ta đã ít nhiều tìm ra các định nghĩa, đã đến lúc tìm hiểu cách mô tả các cấp số nhân và chúng có những đặc tính gì.

Thuật ngữ lũy tiến và công thức lặp lại

Vì các phần tử trong dãy của chúng ta không thể hoán đổi nên chúng có thể được đánh số:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left$ ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \Phải$\]

Các phần tử riêng lẻ của tập hợp này được gọi là thành viên của một cấp số cộng. Chúng được biểu thị bằng một số: thành viên thứ nhất, thành viên thứ hai, v.v.

Ngoài ra, như chúng ta đã biết, các số hạng lân cận của cấp số liên hệ với nhau theo công thức:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Tóm lại, để tìm số hạng thứ $n$ của một cấp số, bạn cần biết số hạng thứ $n-1$ và hiệu $d$. Công thức này được gọi là định kỳ, vì với sự trợ giúp của nó, bạn chỉ có thể tìm thấy bất kỳ số nào khi biết số trước đó (và trên thực tế, tất cả các số trước đó). Điều này rất bất tiện, vì vậy có một công thức xảo quyệt hơn giúp giảm bất kỳ phép tính nào về số hạng đầu tiên và sự khác biệt:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

Có lẽ bạn đã từng gặp công thức này. Họ thích đưa nó vào đủ loại sách tham khảo và sách giải pháp. Và trong bất kỳ cuốn sách giáo khoa toán học nhạy cảm nào, nó là một trong những cuốn sách đầu tiên.

Tuy nhiên, tôi khuyên bạn nên luyện tập một chút.

Nhiệm vụ số 1. Viết ba số hạng đầu tiên của cấp số cộng $\left(((a)_(n)) \right)$ if $((a)_(1))=8,d=-5$.

Giải pháp. Vì vậy, chúng ta biết số hạng đầu tiên $((a)_(1))=8$ và sự khác biệt của cấp số $d=-5$. Hãy sử dụng công thức vừa đưa ra và thay thế $n=1$, $n=2$ và $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(căn chỉnh)\]

Trả lời: (8; 3; −2)

Thế thôi! Xin lưu ý: sự tiến bộ của chúng tôi đang giảm dần.

Tất nhiên, $n=1$ không thể thay thế được - chúng ta đã biết số hạng đầu tiên. Tuy nhiên, bằng cách thay thế đơn vị, chúng tôi tin rằng ngay cả đối với số hạng đầu tiên, công thức của chúng tôi vẫn đúng. Trong những trường hợp khác, mọi thứ đều trở thành số học tầm thường.

Nhiệm vụ số 2. Viết ba số hạng đầu tiên của một cấp số cộng nếu số hạng thứ bảy của nó bằng −40 và số hạng thứ mười bảy của nó bằng −50.

Giải pháp. Hãy viết điều kiện bài toán bằng những thuật ngữ quen thuộc:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(căn chỉnh) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \Phải.\]

Tôi đặt dấu hiệu hệ thống vì những yêu cầu này phải được đáp ứng đồng thời. Bây giờ hãy lưu ý rằng nếu chúng ta trừ phương trình thứ nhất khỏi phương trình thứ hai (chúng ta có quyền làm điều này vì chúng ta có một hệ), chúng ta sẽ nhận được điều này:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(căn chỉnh)\]

Thật dễ dàng để tìm thấy sự khác biệt về tiến trình! Tất cả những gì còn lại là thay số tìm được vào bất kỳ phương trình nào của hệ. Ví dụ: trong lần đầu tiên:

\[\begin(ma trận) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(ma trận)\]

Bây giờ, đã biết số hạng đầu tiên và sự khác biệt, vẫn còn phải tìm số hạng thứ hai và thứ ba:

\[\begin(căn chỉnh) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(căn chỉnh)\]

Sẵn sàng! Vấn đề đã được giải quyết.

Đáp án: (−34; −35; −36)

Hãy lưu ý đặc tính thú vị của cấp số nhân mà chúng tôi đã khám phá: nếu chúng tôi lấy các số hạng $n$th và $m$th và trừ chúng với nhau, chúng tôi sẽ nhận được hiệu của cấp số nhân nhân với số $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

Một thuộc tính đơn giản nhưng rất hữu ích mà bạn chắc chắn cần biết - với sự trợ giúp của nó, bạn có thể tăng tốc đáng kể việc giải quyết nhiều vấn đề cấp tiến. Đây sáng đó ví dụ:

Nhiệm vụ số 3. Số hạng thứ năm của cấp số cộng là 8,4 và số hạng thứ mười là 14,4. Tìm số hạng thứ mười lăm của tiến trình này.

Giải pháp. Vì $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, và chúng ta cần tìm $((a)_(15))$, chúng ta lưu ý như sau:

\[\begin(căn chỉnh) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(căn chỉnh)\]

Nhưng theo điều kiện $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, do đó $5d=6$, từ đó chúng ta có:

\[\begin(căn chỉnh) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \end(căn chỉnh)\]

Đáp án: 20,4

Thế thôi! Chúng tôi không cần phải tạo bất kỳ hệ phương trình nào cũng như tính số hạng đầu tiên và hiệu - mọi thứ đã được giải chỉ trong vài dòng.

Bây giờ chúng ta hãy xem xét một loại vấn đề khác - tìm kiếm số hạng phủ định và khẳng định của một cấp số. Không có gì bí mật rằng nếu một tiến trình tăng lên và số hạng đầu tiên của nó là số âm, thì sớm hay muộn số hạng dương sẽ xuất hiện trong đó. Và ngược lại: số hạng của một lũy tiến giảm dần sớm hay muộn sẽ trở thành số âm.

Đồng thời, không phải lúc nào cũng có thể tìm thấy khoảnh khắc này một cách “trực diện” bằng cách lần lượt xem xét các yếu tố. Thông thường, các bài toán được viết theo cách mà nếu không biết công thức, việc tính toán sẽ mất vài tờ giấy - chúng ta sẽ ngủ quên trong khi tìm ra câu trả lời. Vì vậy, chúng ta hãy cố gắng giải quyết những vấn đề này một cách nhanh hơn.

Nhiệm vụ số 4. Có bao nhiêu số hạng phủ định trong cấp số cộng −38,5; −35,8; ...?

Giải pháp. Vì vậy, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, từ đó chúng ta tìm thấy ngay sự khác biệt:

Lưu ý rằng sự khác biệt là tích cực, do đó tiến trình tăng lên. Số hạng đầu tiên là số âm, vì vậy thực sự tại một thời điểm nào đó chúng ta sẽ bắt gặp những số dương. Câu hỏi duy nhất là khi nào điều này sẽ xảy ra.

Chúng ta hãy thử tìm xem tính âm của các số hạng tồn tại trong bao lâu (tức là lên đến số tự nhiên $n$):

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \phải. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \end(căn chỉnh)\]

Dòng cuối cùng yêu cầu một số lời giải thích. Vì vậy, chúng tôi biết rằng $n \lt 15\frac(7)(27)$. Mặt khác, chúng tôi chỉ hài lòng với các giá trị nguyên của số (hơn nữa: $n\in \mathbb(N)$), vì vậy số lớn nhất cho phép chính xác là $n=15$, và không có trường hợp nào là 16 .

Nhiệm vụ số 5. Trong cấp số cộng $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Tìm số một thuật ngữ tích cực sự tiến triển này.

Đây chính xác là vấn đề tương tự như vấn đề trước, nhưng chúng ta không biết $((a)_(1))$. Nhưng các số hạng lân cận đều đã biết: $((a)_(5))$ và $((a)_(6))$, vì vậy chúng ta có thể dễ dàng tìm thấy sự khác biệt của cấp số:

Ngoài ra, chúng ta hãy thử biểu diễn số hạng thứ năm thông qua số hạng đầu tiên và hiệu bằng cách sử dụng công thức chuẩn:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(căn chỉnh)\]

Bây giờ chúng ta tiến hành tương tự với nhiệm vụ trước đó. Chúng ta hãy tìm hiểu xem các số dương trong chuỗi của chúng ta sẽ xuất hiện tại điểm nào:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Rightarrow ((n)_(\min ))=56. \\ \end(căn chỉnh)\]

tối thiểu nghiệm số nguyên của bất đẳng thức này là số 56.

Xin lưu ý: trong nhiệm vụ cuối cùng tất cả đã xảy ra bất bình đẳng nghiêm ngặt, vì vậy tùy chọn $n=55$ sẽ không phù hợp với chúng tôi.

Bây giờ chúng ta đã học được cách giải những bài toán đơn giản, hãy chuyển sang những bài toán phức tạp hơn. Nhưng trước tiên, hãy nghiên cứu một tính chất rất hữu ích khác của cấp số cộng, nó sẽ giúp chúng ta tiết kiệm rất nhiều thời gian và các ô không bằng nhau trong tương lai :)

Giá trị trung bình số học và vết lõm bằng nhau

Chúng ta hãy xem xét một số số hạng liên tiếp của cấp số cộng tăng dần $\left(((a)_(n)) \right)$. Hãy thử đánh dấu chúng trên trục số:

Thuật ngữ của cấp số cộng trên trục số

Tôi đã đánh dấu cụ thể các thuật ngữ tùy ý $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$ chứ không phải một số $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$, v.v. Bởi vì quy tắc mà tôi sẽ cho bạn biết hiện hoạt động tương tự cho bất kỳ “phân đoạn” nào.

Và quy tắc rất đơn giản. Hãy nhớ lại công thức truy hồi và viết nó ra cho tất cả các thành viên được đánh dấu:

\[\begin(căn chỉnh) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(căn chỉnh)\]

Tuy nhiên, những đẳng thức này có thể được viết lại khác nhau:

\[\begin(căn chỉnh) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(căn chỉnh)\]

Vậy thì sao? Và thực tế là các số hạng $((a)_(n-1))$ và $((a)_(n+1))$ nằm ở cùng một khoảng cách với $((a)_(n)) $ . Và khoảng cách này bằng $d$. Điều tương tự cũng có thể nói về các thuật ngữ $((a)_(n-2))$ và $((a)_(n+2))$ - chúng cũng bị xóa khỏi $((a)_(n) )$ ở cùng một khoảng cách bằng $2d$. Chúng ta có thể tiếp tục đến vô tận, nhưng ý nghĩa được minh họa rõ ràng qua bức tranh

Các điều khoản của sự tiến triển nằm ở cùng một khoảng cách từ trung tâm

Điều này có ý nghĩa gì với chúng ta? Điều này có nghĩa là có thể tìm thấy $((a)_(n))$ nếu biết các số lân cận:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Chúng ta đã rút ra một phát biểu xuất sắc: mọi số hạng của một cấp số cộng đều bằng trung bình số học của các số hạng lân cận nó! Hơn nữa: chúng ta có thể lùi từ $((a)_(n))$ sang trái và sang phải không phải một bước mà là $k$ bước - và công thức sẽ vẫn đúng:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Những thứ kia. chúng ta có thể dễ dàng tìm thấy một số $((a)_(150))$ nếu chúng ta biết $((a)_(100))$ và $((a)_(200))$, bởi vì $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Thoạt nhìn, có vẻ như thực tế này không mang lại cho chúng ta điều gì hữu ích. Tuy nhiên, trong thực tế, nhiều bài toán được thiết kế đặc biệt để sử dụng giá trị trung bình số học. Hãy xem:

Nhiệm vụ số 6. Tìm tất cả các giá trị của $x$ sao cho các số $-6((x)^(2))$, $x+1$ và $14+4((x)^(2))$ là các số hạng liên tiếp của một cấp số cộng (theo thứ tự được chỉ ra).

Giải pháp. Bởi vì số được chỉ định là thành viên của một cấp số, đối với họ điều kiện của trung bình số học được thỏa mãn: phần tử trung tâm $x+1$ có thể được biểu diễn theo các phần tử lân cận:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(căn chỉnh)\]

Hóa ra là cổ điển phương trình bậc hai. Nguồn gốc của nó: $x=2$ và $x=-3$ là câu trả lời.

Đáp án: −3; 2.

Nhiệm vụ số 7. Tìm các giá trị của $$ mà các số $-1;4-3;(()^(2))+1$ tạo thành một cấp số cộng (theo thứ tự đó).

Giải pháp. Hãy thể hiện lại thành viên trung bình thông qua trung bình số học của các số hạng lân cận:

\[\begin(căn chỉnh) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \right.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(căn chỉnh)\]

Phương trình bậc hai nữa. Và một lần nữa có hai nghiệm: $x=6$ và $x=1$.

Trả lời: 1; 6.

Nếu trong quá trình giải một bài toán, bạn đưa ra một số con số khủng khiếp hoặc bạn không hoàn toàn chắc chắn về tính đúng đắn của các câu trả lời tìm được, thì có một kỹ thuật tuyệt vời cho phép bạn kiểm tra: chúng ta đã giải bài toán một cách chính xác chưa?

Giả sử trong bài toán số 6, chúng ta nhận được câu trả lời −3 và 2. Làm cách nào chúng ta có thể kiểm tra xem những câu trả lời này có đúng không? Hãy cắm chúng vào tình trạng ban đầu và xem điều gì sẽ xảy ra. Hãy để tôi nhắc bạn rằng chúng ta có ba số ($-6(()^(2))$, $+1$ và $14+4(()^(2))$), chúng phải tạo thành một cấp số cộng. Hãy thay thế $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(căn chỉnh)\]

Chúng ta có các số −54; −2; 50 chênh lệch 52 chắc chắn là một cấp số cộng. Điều tương tự cũng xảy ra với $x=2$:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(căn chỉnh)\]

Lại là một tiến trình, nhưng có chênh lệch là 27. Như vậy, vấn đề đã được giải quyết một cách chính xác. Những ai muốn có thể tự mình kiểm tra vấn đề thứ hai, nhưng tôi sẽ nói ngay: mọi thứ đều đúng ở đó.

Nói chung, trong khi giải quyết những vấn đề cuối cùng, chúng tôi đã gặp một vấn đề khác sự thật thú vị, điều này cũng cần được ghi nhớ:

Nếu ba số sao cho số thứ hai ở giữa số học đầu tiên và cuối cùng, những con số này tạo thành một cấp số cộng.

Trong tương lai, việc hiểu được tuyên bố này sẽ cho phép chúng ta "thiết kế" theo đúng nghĩa đen những tiến triển cần thiết, dựa vào điều kiện của bài toán. Nhưng trước khi tiến hành “xây dựng” như vậy, chúng ta nên chú ý đến một thực tế nữa, tiếp theo trực tiếp từ những gì đã được thảo luận.

Nhóm và tổng hợp các phần tử

Hãy quay trở lại trục số một lần nữa. Chúng ta hãy lưu ý rằng có một số thành viên của quá trình tiến triển, có lẽ nằm trong số đó. có giá trị rất nhiều thành viên khác:

Có 6 phần tử được đánh dấu trên trục số

Hãy thử biểu diễn “đuôi bên trái” thông qua $((a)_(n))$ và $d$, và “đuôi bên phải” thông qua $((a)_(k))$ và $d$. Nó rất đơn giản:

\[\begin(căn chỉnh) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(căn chỉnh)\]

Bây giờ lưu ý rằng số tiền sau đây bằng nhau:

\[\begin(căn chỉnh) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(căn chỉnh)\]

Nói một cách đơn giản, nếu chúng ta coi hai phần tử của tiến trình là điểm khởi đầu, tổng cộng chúng bằng một số $S$ nào đó, và sau đó bắt đầu bước từ các phần tử này sang các mặt đối diện(hướng về nhau hoặc ngược lại di chuyển ra xa) thì tổng các phần tử mà chúng ta sẽ gặp cũng sẽ bằng nhau$S$. Điều này có thể được thể hiện rõ ràng nhất bằng đồ họa:

Các vết lõm bằng nhau cho số lượng bằng nhau

Hiểu biết sự thật này sẽ cho phép chúng ta giải quyết vấn đề một cách cơ bản hơn cấp độ cao khó khăn hơn những gì chúng tôi đã xem xét ở trên. Ví dụ:

Nhiệm vụ số 8. Xác định hiệu của một cấp số cộng trong đó số hạng thứ nhất là 66, tích của số hạng thứ hai và thứ mười hai là nhỏ nhất có thể.

Giải pháp. Hãy viết ra tất cả những gì chúng ta biết:

\[\begin(căn chỉnh) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(căn chỉnh)\]

Vì vậy, chúng ta không biết sự khác biệt lũy tiến $d$. Trên thực tế, toàn bộ giải pháp sẽ được xây dựng xung quanh sự khác biệt, vì tích $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ có thể được viết lại như sau:

\[\begin(căn chỉnh) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(căn chỉnh)\]

Đối với những người trong xe tăng: Tôi lấy nó ra số nhân chung 11 từ khung thứ hai. Do đó, tích được yêu cầu là hàm bậc hai đối với biến $d$. Do đó, hãy xem xét hàm $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - đồ thị của nó sẽ là một parabol với các nhánh hướng lên, bởi vì nếu chúng ta mở rộng dấu ngoặc, chúng ta sẽ nhận được:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(căn chỉnh)\]

Như bạn có thể thấy, hệ số của số hạng cao nhất là 11 - đây là số dương, vì vậy chúng ta thực sự đang xử lý một parabol có các nhánh hướng lên:

lịch trình hàm bậc hai- parabol
Xin lưu ý: giá trị tối thiểu parabol này lấy $((d)_(0))$ tại đỉnh của nó với hoành độ. Tất nhiên, chúng ta có thể tính hoành độ này bằng cách sử dụng sơ đồ tiêu chuẩn (có công thức $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), nhưng sẽ hợp lý hơn nhiều khi lưu ý rằng đỉnh mong muốn nằm trên trục đối xứng của parabol, do đó điểm $((d)_(0))$ cách đều các nghiệm của phương trình $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(căn chỉnh) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(căn chỉnh)\]

Đó là lý do tại sao tôi không vội mở dấu ngoặc: ở dạng ban đầu, rễ rất rất dễ tìm. Do đó, hoành độ bằng giá trị trung bình số học−66 và −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Con số được phát hiện cho chúng ta điều gì? Với nó, sản phẩm được yêu cầu sẽ có giá trị nhỏ nhất(nhân tiện, chúng tôi chưa bao giờ tính toán $((y)_(\min ))$ - điều này không bắt buộc đối với chúng tôi). Đồng thời, con số này là sự khác biệt của tiến trình ban đầu, tức là. chúng tôi đã tìm thấy câu trả lời :)

Đáp án: −36

Nhiệm vụ số 9. Giữa các số $-\frac(1)(2)$ và $-\frac(1)(6)$ chèn ba số sao cho cùng với các số này, chúng tạo thành một cấp số cộng.

Giải pháp. Về cơ bản, chúng ta cần tạo một chuỗi gồm năm số, đã biết số đầu tiên và số cuối cùng. Hãy biểu thị các số còn thiếu bằng các biến $x$, $y$ và $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Lưu ý rằng số $y$ là số “ở giữa” trong dãy của chúng ta - nó cách đều các số $x$ và $z$, cũng như các số $-\frac(1)(2)$ và $-\frac (1)( 6)$. Và nếu từ các số $x$ và $z$ chúng ta đang ở ngay bây giờ chúng ta không thể nhận được $y$, khi đó tình hình sẽ khác khi kết thúc quá trình tiến triển. Hãy nhớ lại ý nghĩa số học:

Bây giờ, khi biết $y$, chúng ta sẽ tìm được các số còn lại. Lưu ý rằng $x$ nằm giữa các số $-\frac(1)(2)$ và $y=-\frac(1)(3)$ mà chúng ta vừa tìm thấy. Đó là lý do tại sao

Sử dụng lý luận tương tự, chúng tôi tìm thấy số còn lại:

Sẵn sàng! Chúng tôi tìm thấy cả ba số. Hãy viết chúng trong câu trả lời theo thứ tự chúng sẽ được chèn vào giữa các số ban đầu.

Trả lời: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Nhiệm vụ số 10. Giữa các số 2 và 42, hãy chèn một số số cùng với các số này tạo thành một cấp số cộng, nếu bạn biết rằng tổng của số đầu tiên, số thứ hai và số cuối cùng của các số được chèn là 56.

Giải pháp. Tuy nhiên, một vấn đề thậm chí còn phức tạp hơn được giải theo sơ đồ tương tự như các vấn đề trước đó - thông qua trung bình số học. Vấn đề là chúng ta không biết chính xác cần chèn bao nhiêu số. Do đó, chúng ta hãy giả sử để chắc chắn rằng sau khi chèn mọi thứ sẽ có chính xác $n$ số, số đầu tiên là 2 và số cuối cùng là 42. Trong trường hợp này, cấp số cộng cần thiết có thể được biểu diễn dưới dạng:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left$ 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \right$\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Tuy nhiên, lưu ý rằng các số $((a)_(2))$ và $((a)_(n-1))$ được lấy từ các số 2 và 42 ở các cạnh cách nhau một bước, tức là . vào trung tâm của chuỗi. Và điều này có nghĩa là

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Nhưng khi đó biểu thức viết ở trên có thể được viết lại như sau:

\[\begin(căn chỉnh) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(căn chỉnh)\]

Biết $((a)_(3))$ và $((a)_(1))$, chúng ta có thể dễ dàng tìm thấy sự khác biệt của cấp số:

\[\begin(căn chỉnh) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Mũi tên phải d=5. \\ \end(căn chỉnh)\]

Tất cả những gì còn lại là tìm các số hạng còn lại:

\[\begin(căn chỉnh) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(căn chỉnh)\]

Như vậy, ở bước thứ 9, chúng ta sẽ đến đầu bên trái của dãy - số 42. Tổng cộng, chỉ cần chèn 7 số: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Trả lời: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Các vấn đề về từ với sự tiến triển

Để kết luận, tôi muốn xem xét một vài điều tương đối nhiệm vụ đơn giản. Chà, đơn giản như vậy: đối với hầu hết học sinh học toán ở trường và chưa đọc những gì được viết ở trên, những vấn đề này có vẻ khó khăn. Tuy nhiên, đây là những loại bài toán xuất hiện trong OGE và Kỳ thi Thống nhất về toán học, vì vậy tôi khuyên bạn nên tự làm quen với chúng.

Nhiệm vụ số 11. Nhóm đã sản xuất được 62 bộ phận trong tháng 1 và trong mỗi tháng tiếp theo, họ đã sản xuất nhiều hơn 14 bộ phận so với tháng trước. Nhóm đã sản xuất bao nhiêu bộ phận trong tháng 11?

Giải pháp. Rõ ràng, số lượng các bộ phận được liệt kê theo tháng sẽ thể hiện cấp số cộng ngày càng tăng. Hơn thế nữa:

\[\begin(căn chỉnh) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

Tháng 11 là tháng thứ 11 trong năm nên ta cần tìm $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Vì vậy, 202 bộ phận sẽ được sản xuất vào tháng 11.

Nhiệm vụ số 12. Xưởng đóng sách đã đóng 216 cuốn sách trong tháng Giêng, và mỗi tháng tiếp theo xưởng đóng sách nhiều hơn tháng trước 4 cuốn. Hội thảo đã đóng bao nhiêu cuốn sách trong tháng 12?

Giải pháp. Mọi thứ đều giống nhau:

$\begin(căn chỉnh) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

Tháng 12 là tháng cuối cùng, tháng thứ 12 trong năm, vì vậy chúng tôi đang tìm kiếm $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Đây là câu trả lời - 260 cuốn sách sẽ được đóng bìa vào tháng 12.

Chà, nếu bạn đã đọc đến đây, tôi xin chúc mừng bạn: bạn đã hoàn thành xuất sắc “khóa học dành cho võ sĩ trẻ” về cấp số cộng. Bạn có thể chuyển sang bài học tiếp theo một cách an toàn, nơi chúng ta sẽ nghiên cứu công thức tính tổng lũy tiến, cũng như những bài học quan trọng và rất quan trọng. hậu quả hữu ích từ cô ấy.

Cấp độ đầu vào

Tiến trình số học. Lý thuyết chi tiết kèm ví dụ (2019)

Dãy số

Dãy số
Ví dụ: đối với trình tự của chúng tôi:

Trong trường hợp của chúng tôi:

Giả sử chúng ta có một dãy số trong đó hiệu giữa các số liền kề là như nhau và bằng nhau.
Ví dụ:

vân vân.
Dãy số này được gọi là cấp số cộng.
Thuật ngữ "tiến trình" được tác giả La Mã Boethius giới thiệu vào thế kỷ thứ 6 và được hiểu theo nghĩa rộng hơn là một dãy số vô hạn. Cái tên "số học" được chuyển từ lý thuyết về tỷ lệ liên tục được người Hy Lạp cổ đại nghiên cứu.

Cố gắng xác định dãy số nào là cấp số cộng và dãy số nào không:

Một)
b)
c)
d)

Hiểu rồi? Hãy so sánh câu trả lời của chúng tôi:
Là cấp số cộng - b, c.
không phải là cấp số cộng - a, d.

Chúng ta hãy quay lại tiến trình đã cho () và cố gắng tìm giá trị của số hạng thứ của nó. tồn tại hai cách để tìm thấy nó.

1. Phương pháp

Vì vậy, số hạng thứ của cấp số cộng được mô tả bằng.

2. Phương pháp

Ví dụ: hãy xem giá trị của số hạng thứ của cấp số cộng này bao gồm những gì:

Nói cách khác:

Hãy thử tự mình tìm giá trị của một phần tử của một cấp số cộng nhất định theo cách này.

Bạn đã tính toán chưa? So sánh ghi chú của bạn với câu trả lời:

Xin lưu ý rằng bạn nhận được số chính xác như trong phương pháp trước, khi chúng tôi thêm tuần tự các số hạng của cấp số cộng vào giá trị trước đó.
Hãy thử “phi cá nhân hóa” công thức này - hãy đặt nó ở dạng tổng quát và nhận được:

Phương trình cấp tiến số học.

Cấp số cộng có thể tăng hoặc giảm.

Tăng dần- cấp số trong đó mỗi giá trị tiếp theo của số hạng lớn hơn giá trị trước đó.
Ví dụ:

Giảm dần- cấp số trong đó mỗi giá trị tiếp theo của số hạng nhỏ hơn giá trị trước đó.
Ví dụ:

Công thức dẫn xuất được sử dụng để tính các số hạng theo cả số hạng tăng và giảm của cấp số cộng.
Hãy kiểm tra điều này trong thực tế.
Chúng ta được cho một cấp số cộng bao gồm các số sau: Hãy kiểm tra xem số thứ của cấp số cộng này sẽ là bao nhiêu nếu chúng ta sử dụng công thức của mình để tính nó:

Kể từ đó:

Vì vậy, chúng tôi tin rằng công thức hoạt động theo cả cấp số cộng giảm và tăng.
Hãy cố gắng tự tìm số hạng thứ và thứ của cấp số cộng này.

Hãy so sánh kết quả:

Thuộc tính cấp số cộng

À, vậy thì:

số hạng trước đó của tiến trình là:
Số hạng tiếp theo của tiến trình là:

Hãy tóm tắt các điều khoản trước và tiếp theo của tiến trình:

Đúng vậy, chúng ta có cùng số. Hãy bảo đảm vật liệu. Tự mình tính toán giá trị cho sự tiến triển, nó không khó chút nào.

Khi Carl Gauss 9 tuổi, một giáo viên đang bận kiểm tra bài làm của học sinh các lớp khác đã hỏi bài tập sau trong lớp: “Tính tổng của tất cả các số tự nhiên từ đến (theo các nguồn khác đến) bao gồm hết”. Hãy tưởng tượng sự ngạc nhiên của giáo viên khi một phút sau một trong những học sinh của ông (đây là Karl Gauss) đã đưa ra câu trả lời đúng cho bài tập, trong khi hầu hết các bạn cùng lớp của kẻ liều mạng sau khi tính toán lâu dài đều nhận được kết quả sai...

Bây giờ hãy cho tôi biết, có tổng cộng bao nhiêu cặp như vậy trong tiến trình đưa ra cho chúng ta? Tất nhiên, chính xác là một nửa số đó.
Dựa trên thực tế là tổng của hai số hạng của cấp số cộng bằng nhau và các cặp tương tự bằng nhau, chúng ta thu được tổng bằng:
.
Do đó, công thức tính tổng các số hạng đầu tiên của bất kỳ cấp số cộng nào sẽ là:

Bạn đã nhận được bao nhiêu?
Gauss nhận thấy rằng tổng các số hạng bằng nhau và tổng các số hạng bằng nhau. Đó là điều bạn quyết định à?

Trên thực tế, công thức tính tổng các số hạng của một cấp số cộng đã được nhà khoa học Hy Lạp cổ đại Diophantus chứng minh vào thế kỷ thứ 3, và trong suốt thời gian này, những người hóm hỉnh đã tận dụng tối đa các đặc tính của cấp số cộng.
Ví dụ, hãy tưởng tượng Ai Cập cổ đại và dự án xây dựng lớn nhất vào thời điểm đó - việc xây dựng một kim tự tháp... Bức tranh thể hiện một mặt của nó.

Trong trường hợp này, tiến trình trông như thế này: .
Sự khác biệt cấp tiến số học.
Số số hạng của một cấp số cộng.
Hãy thay thế dữ liệu của chúng tôi vào các công thức cuối cùng (tính số khối theo 2 cách).

Phương pháp 1.

Phương pháp 2.

Đào tạo

Nhiệm vụ:

Masha đang lấy lại vóc dáng cho mùa hè. Mỗi ngày cô ấy tăng số lần squat lên. Masha sẽ squat bao nhiêu lần trong một tuần nếu cô ấy tập squat trong buổi tập đầu tiên?
Tổng của tất cả các số lẻ có trong là bao nhiêu?
Khi lưu trữ nhật ký, trình ghi nhật ký sẽ xếp chúng theo cách sao cho mỗi lớp trên cùng chứa ít hơn một nhật ký so với lớp trước. Có bao nhiêu khúc gỗ trong một khối xây, nếu nền của khối xây là khúc gỗ?

Câu trả lời:

Hãy xác định các tham số của cấp số cộng. Trong trường hợp này
(tuần = ngày).
Trả lời: Trong hai tuần, Masha nên tập squat mỗi ngày một lần.
Số lẻ đầu tiên, số cuối cùng.
Sự khác biệt cấp tiến số học.
Tuy nhiên, số lượng số lẻ trong đó là một nửa, hãy kiểm tra thực tế này bằng cách sử dụng công thức tìm số hạng thứ của một cấp số cộng:
Số có chứa số lẻ.
Hãy thay thế dữ liệu có sẵn vào công thức:
Trả lời: Tổng của tất cả các số lẻ chứa trong đó bằng nhau.
Chúng ta hãy nhớ lại vấn đề về kim tự tháp. Đối với trường hợp của chúng tôi, a , vì mỗi lớp trên cùng bị giảm đi một bản ghi, nên tổng cộng có một loạt các lớp.
Hãy thay thế dữ liệu vào công thức:
Trả lời: Có những khúc gỗ trong khối xây.

Hãy tóm tắt lại

- một dãy số trong đó hiệu giữa các số liền kề bằng nhau và bằng nhau. Nó có thể tăng hoặc giảm.
Tìm công thức Số hạng thứ của một cấp số cộng được viết theo công thức - , trong đó là số lượng các số trong cấp số cộng.
Thuộc tính của các thành viên của một cấp số cộng- - số lượng các số đang tiến triển ở đâu.
Tổng các số hạng của một cấp số cộng có thể được tìm thấy theo hai cách:

, số lượng giá trị ở đâu.

TIẾN BỘ SỐ HỌC. CẤP TRUNG CẤP

Dãy số

Hãy ngồi xuống và bắt đầu viết một số con số. Ví dụ:

Dãy số là một tập hợp các số, mỗi số có thể được gán một số duy nhất.

Số có số được gọi là thành viên thứ của dãy.

Sẽ rất thuận tiện nếu số hạng thứ của dãy có thể được xác định bằng một công thức nào đó. Ví dụ, công thức

đặt trình tự:

Và công thức là trình tự sau:

Ví dụ: một cấp số cộng là một dãy (số hạng đầu tiên ở đây bằng nhau và hiệu là). Hoặc (, sự khác biệt).

công thức số hạng thứ n

Chúng tôi gọi một công thức là hồi quy, trong đó, để tìm ra số hạng thứ, bạn cần biết số hạng trước đó hoặc một số số hạng trước đó:

Ví dụ, để tìm số hạng thứ của cấp số cộng sử dụng công thức này, chúng ta sẽ phải tính số hạng trước đó. Ví dụ, hãy để nó. Sau đó:

Chà, bây giờ bạn đã rõ công thức là gì chưa?

Trong mỗi dòng chúng tôi thêm vào, nhân với một số. Cái nào? Rất đơn giản: đây là số lượng thành viên hiện tại trừ đi:

Bây giờ thuận tiện hơn nhiều phải không? Chúng tôi kiểm tra:

Hãy tự mình quyết định:

Trong một cấp số cộng, hãy tìm công thức của số hạng thứ n và tìm số hạng thứ một trăm.

Giải pháp:

Số hạng đầu tiên bằng nhau. Sự khác biệt là gì? Đây là những gì:

(Đây là lý do tại sao nó được gọi là hiệu vì nó bằng hiệu của các số hạng liên tiếp của cấp số).

Vì vậy, công thức:

Khi đó số hạng thứ trăm bằng:

Tổng của tất cả các số tự nhiên từ đến là bao nhiêu?

Theo truyền thuyết, nhà toán học vĩ đại Carl Gauss, khi còn là một cậu bé 9 tuổi, đã tính được số tiền này trong vài phút. Ông nhận thấy rằng tổng của số đầu tiên và số cuối cùng bằng nhau, tổng của số thứ hai và số áp chót bằng nhau, tổng của số thứ ba và số thứ 3 tính từ cuối bằng nhau, v.v. Tổng cộng có bao nhiêu cặp như vậy? Đúng vậy, chính xác là một nửa số lượng của tất cả các số. Vì thế,

Công thức chung tính tổng các số hạng đầu tiên của bất kỳ cấp số cộng nào sẽ là:

Ví dụ:
Tìm tổng của tất cả các bội số có hai chữ số.

Giải pháp:

Con số đầu tiên như vậy là thế này. Mỗi số tiếp theo có được bằng cách thêm vào số trước đó. Vì vậy, những con số chúng ta quan tâm tạo thành một cấp số cộng với số hạng đầu tiên và hiệu.

Công thức của số hạng thứ cho tiến trình này:

Có bao nhiêu số hạng trong dãy số nếu tất cả chúng đều phải có hai chữ số?

Rất dễ dàng: .

Số hạng cuối cùng của quá trình tiến triển sẽ bằng nhau. Khi đó tổng:

Trả lời: .

Bây giờ hãy tự quyết định:

Mỗi ngày vận động viên chạy được nhiều mét hơn ngày hôm trước. Hỏi anh ta sẽ chạy tổng cộng bao nhiêu km trong một tuần nếu anh ta chạy km m vào ngày đầu tiên?
Một người đi xe đạp mỗi ngày đi được nhiều km hơn ngày hôm trước. Ngày đầu tiên anh ấy đi được km. Anh ta cần phải đi bao nhiêu ngày để đi được một km? Anh ta sẽ đi được bao nhiêu km trong ngày cuối cùng của cuộc hành trình?
Giá tủ lạnh ở cửa hàng mỗi năm đều giảm một lượng như nhau. Xác định giá của một chiếc tủ lạnh giảm bao nhiêu mỗi năm nếu được rao bán với giá rúp, sáu năm sau nó được bán với giá rúp.

Câu trả lời:

Điều quan trọng nhất ở đây là nhận biết cấp số cộng và xác định các tham số của nó. Trong trường hợp này, (tuần = ngày). Bạn cần xác định tổng các số hạng đầu tiên của tiến trình này:
.
Trả lời:
Ở đây nó được đưa ra: , phải được tìm thấy.
Rõ ràng, bạn cần sử dụng công thức tính tổng tương tự như trong bài toán trước:
.
Thay thế các giá trị:
Root rõ ràng là không phù hợp nên câu trả lời là.
Hãy tính quãng đường đã đi trong ngày cuối cùng bằng công thức của số hạng thứ:
(km).
Trả lời:
Được cho: . Tìm thấy: .
Nó không thể đơn giản hơn:
(chà xát).
Trả lời:

TIẾN BỘ SỐ HỌC. GIỚI THIỆU VỀ NHỮNG ĐIỀU CHÍNH

Đây là một dãy số trong đó hiệu giữa các số liền kề là như nhau và bằng nhau.

Cấp số cộng có thể tăng () và giảm ().

Ví dụ:

Công thức tìm số hạng thứ n của cấp số cộng

được viết theo công thức, ở đâu là số cấp số nhân.

Thuộc tính của các thành viên của một cấp số cộng

Nó cho phép bạn dễ dàng tìm thấy một số hạng của một cấp số nếu đã biết các số hạng lân cận của nó - số lượng các số trong cấp số đó ở đâu.

Tổng các số hạng của một cấp số cộng

Có hai cách để tìm số tiền:

Số lượng giá trị ở đâu.

Loại bài học: học tài liệu mới.

Mục tiêu bài học:

mở rộng và nâng cao hiểu biết của học sinh về các vấn đề được giải bằng cấp số cộng; tổ chức cho học sinh hoạt động tìm kiếm khi suy ra công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng;
phát triển khả năng độc lập tiếp thu kiến thức mới và sử dụng kiến thức đã thu được để đạt được một nhiệm vụ nhất định;
phát triển mong muốn và nhu cầu khái quát hóa các sự kiện thu được, phát triển tính độc lập.

Nhiệm vụ:

tổng hợp, hệ thống hóa những kiến thức đã có về chủ đề “Cấp số học”;
suy ra công thức tính tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng;
hướng dẫn cách áp dụng các công thức đã thu được khi giải nhiệm vụ khác nhau;
hướng sự chú ý của học sinh đến quy trình tìm giá trị của một biểu thức số.

Thiết bị:

thẻ nhiệm vụ làm việc theo nhóm, cặp;
bảng điểm;
bài thuyết trình“Tiến trình số học.”

I. Cập nhật kiến thức cơ bản.

1. Làm việc độc lập theo cặp.

Tùy chọn thứ 1:

Định nghĩa cấp số cộng. Viết ra một công thức lặp lại xác định một cấp số cộng. Hãy cho một ví dụ về cấp số cộng và cho biết sự khác biệt của nó.

Tùy chọn thứ 2:

Viết công thức số hạng thứ n của cấp số cộng. Tìm số hạng thứ 100 của cấp số cộng ( MỘT}: 2, 5, 8 …
Lúc này, hai học sinh mặt sau các hội đồng đang chuẩn bị câu trả lời cho những câu hỏi tương tự.
Học sinh đánh giá bài làm của bạn mình bằng cách kiểm tra chúng trên bảng. (Tờ có câu trả lời được nộp.)

2. Khoảnh khắc trò chơi.

Nhiệm vụ 1.

Giáo viên. Tôi nghĩ đến một số cấp số cộng. Chỉ hỏi tôi hai câu hỏi để sau câu trả lời bạn có thể nhanh chóng gọi tên số hạng thứ 7 của cấp số nhân này. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Câu hỏi từ sinh viên.

Thuật ngữ thứ sáu của sự tiến triển là gì và sự khác biệt là gì?
Số hạng thứ tám của tiến trình là gì và sự khác biệt là gì?

Nếu không còn câu hỏi nào nữa, giáo viên có thể kích thích các em - “cấm” d (sự khác biệt), tức là không được phép hỏi sự khác biệt bằng bao nhiêu. Bạn có thể đặt câu hỏi: số hạng thứ 6 của lũy tiến bằng bao nhiêu và số hạng thứ 8 của lũy tiến bằng bao nhiêu?

Nhiệm vụ 2.

Trên bảng có 20 số: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Giáo viên đứng quay lưng về phía bảng. Học sinh gọi số đó và giáo viên ngay lập tức gọi chính số đó. Giải thích làm thế nào tôi có thể làm điều này?

Giáo viên ghi nhớ công thức học kỳ thứ n một n = 3n – 2 và thay thế các giá trị n đã chỉ định, tìm các giá trị tương ứng MỘT.

II. Dàn dựng nhiệm vụ giáo dục.

Tôi đề xuất giải quyết một vấn đề cổ xưa có từ thiên niên kỷ thứ 2 trước Công nguyên, được tìm thấy trên giấy cói của Ai Cập.

Nhiệm vụ:“Hãy nói cho bạn biết: chia 10 đấu lúa mạch cho 10 người, chênh lệch giữa mỗi người và hàng xóm của mình là 1/8 của đấu trường.”

Vấn đề này liên quan đến tiến trình số học của chủ đề như thế nào? (Mỗi người tiếp theo nhận thêm 1/8 số đo, nghĩa là chênh lệch là d=1/8, 10 người, nghĩa là n=10.)
Bạn nghĩ số đo số 10 có ý nghĩa gì? (Tổng tất cả các số hạng của cấp số nhân.)
Bạn cần biết thêm điều gì nữa để việc chia lúa mạch theo điều kiện của bài toán được dễ dàng và đơn giản? (Giai đoạn tiến triển đầu tiên.)

Mục tiêu bài học– thu được sự phụ thuộc của tổng các số hạng của cấp số vào số của chúng, số hạng đầu tiên và hiệu, đồng thời kiểm tra xem liệu bài toán thời xưa có được giải đúng hay không.

Trước khi suy ra công thức, chúng ta hãy xem người Ai Cập cổ đại giải quyết vấn đề như thế nào.

Và họ đã giải quyết nó như sau:

1) 10 thước đo: 10 = 1 thước đo – tỷ lệ trung bình;
2) 1 thước đo ∙ = 2 thước đo – nhân đôi trung bình chia sẻ.
Nhân đôi trung bình cổ phần là tổng số cổ phần của người thứ 5 và thứ 6.
3) 2 số đo – 1/8 số đo = 1 7/8 số đo – gấp đôi phần của người thứ năm.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 – phân số của một phần năm; v.v., bạn có thể tìm thấy chia sẻ của từng người trước và người tiếp theo.

Chúng tôi nhận được trình tự:

III. Giải quyết vấn đề.

1. Làm việc theo nhóm

Nhóm I: Tìm tổng của 20 số tự nhiên liên tiếp: S 20 =(20+1)∙10 =210.

Nói chung

Nhóm II: Tìm tổng các số tự nhiên từ 1 đến 100 (Truyền thuyết về Little Gauss).

S 100 = (1+100)∙50 = 5050

Phần kết luận:

Nhóm III: Tìm tổng các số tự nhiên từ 1 đến 21.

Giải: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Phần kết luận:

Nhóm IV: Tìm tổng các số tự nhiên từ 1 đến 101.

Phần kết luận:

Phương pháp giải quyết các vấn đề đang xem xét này được gọi là “Phương pháp Gauss”.

2. Mỗi nhóm trình bày cách giải quyết vấn đề trên bảng.

3. Tổng quát hóa các giải pháp đề xuất cho cấp số cộng tùy ý:

a 1, a 2, a 3,…, a n-2, a n-1, a n.
S n =a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +…+ a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Hãy tìm số tiền này bằng cách sử dụng lý luận tương tự:

4. Chúng ta đã giải quyết được vấn đề chưa?(Đúng.)

IV. Hiểu biết cơ bản và vận dụng các công thức thu được khi giải các bài toán.

1. Kiểm tra lời giải của một bài toán cũ bằng công thức.

2. Vận dụng công thức để giải các bài toán khác nhau.

3. Bài tập phát triển khả năng vận dụng công thức khi giải toán.

A) Số 613

Được cho: ( MỘT) - cấp số cộng;

(a n): 1, 2, 3, …, 1500

Tìm thấy: S1500

Giải pháp: , a 1 = 1 và 1500 = 1500,

B) Cho: ( MỘT) - cấp số cộng;
(a n): 1, 2, 3,…
S n = 210

Tìm thấy: N
Giải pháp:

V. Làm việc độc lập có sự xác minh lẫn nhau.

Denis bắt đầu làm công việc chuyển phát nhanh. Trong tháng đầu tiên, lương của anh ấy là 200 rúp, mỗi tháng tiếp theo tăng thêm 30 rúp. Tổng cộng anh ấy kiếm được bao nhiêu trong một năm?

Được cho: ( MỘT) - cấp số cộng;
a 1 = 200, d=30, n=12
Tìm thấy: S 12
Giải pháp:

Trả lời: Denis nhận được 4380 rúp trong năm.

VI. Hướng dẫn làm bài tập về nhà.

Phần 4.3 – tìm hiểu cách rút ra công thức.
№№ 585, 623 .
Tạo một bài toán có thể giải bằng cách sử dụng công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng.

VII. Tóm tắt bài học.

1. Bảng điểm

2. Tiếp tục câu

Hôm nay trên lớp tôi đã học...
Các công thức đã học...
Tôi tin rằng...

3. Bạn có thể tìm được tổng các số từ 1 đến 500 không? Bạn sẽ sử dụng phương pháp nào để giải quyết vấn đề này?

Tài liệu tham khảo.

1. Đại số lớp 9. Hướng dẫn cho cơ sở giáo dục. Ed. G.V. Dorofeeva. M.: “Khai sáng”, 2009.