Ví dụ tiêu chuẩn Cauchy của nghiệm sin 1 2. Kiểm định so sánh cho chuỗi có số hạng dương Kiểm định d'Alembert Kiểm định Cauchy Kiểm định Cauchy Tiêu chuẩn Cauchy cho chuỗi hội tụ

Ở đây chúng tôi đề xuất xem xét dấu tổng quát của sự tồn tại giới hạn hữu hạn của dãy,
.

Định nghĩa 3.5. Tiếp theo ,
, được gọi là cơ bản nếu với một số tùy ý
có một con số như vậy cái đó dành cho tất cả mọi người
bất bình đẳng giữ
.

Định nghĩa của dãy cơ bản thường được sử dụng thuận tiện dưới dạng sau.

Định nghĩa 3.6. Tiếp theo là cơ bản nếu với một số tùy ý
có một con số như vậy cái đó dành cho tất cả mọi người
và mọi số tự nhiên bất bình đẳng giữ
.

Định lý 3.13 (Tiêu chí Cauchy). Để một chuỗi hội tụ, điều cần thiết và đủ là nó phải cơ bản.

Bằng chứng. sự cần thiết. Hãy để trình tự ,
, hội tụ, nghĩa là tồn tại
. Hãy chọn
. Thế thì có một con số như vậy cái đó dành cho tất cả mọi người
bất đẳng thức xảy ra:
.

Cho phép
Và
, Sau đó

=

,

có nghĩa là trình tự là cơ bản.

Sự đầy đủ. Hãy để trình tự là cơ bản. Hãy chứng minh rằng nó hội tụ. Khó khăn nằm ở việc tìm ra một con số như vậy MỘT, đó là giới hạn của nó.

Hãy chia lập luận thành nhiều bước.

a) Chúng ta hãy chứng minh rằng bản chất cơ bản của dãy bao hàm tính bị chặn của nó. Hãy xem xét ε =1 thì tồn tại số đó N 1 điều đó trước mặt mọi người

N, tôi ≥ N 1 bất bình đẳng giữ
. Trước mặt mọi người N≥ N 1 hội chợ:

Đặt , a, thì với mỗi tự nhiên các bất đẳng thức được thỏa mãn
, đó là giới hạn.

b) Hãy chọn tự nhiên N. Hãy xem xét tập hợp
- một tập hợp các giá trị của các thành viên chuỗi có số không nhỏ hơn giá trị đã chọn N. Theo điều đã được chứng minh ở a) tập hợp X 1 giới hạn. Và từ những khoản đầu tư rõ ràng
theo đó mỗi tập hợp này đều bị chặn.

c) Xét hai dãy mới. Để đạt được mục đích này, với mỗi bộ
hãy biểu thị:
,
. Từ các phần nhúng được đưa ra ở b) theo sau trình tự tăng (
) và trình tự giảm (
). Đó là lý do tại sao
, nghĩa là các dãy đều đơn điệu và bị chặn và do đó hội tụ. Cũng lưu ý rằng đối với tất cả tự nhiên N sự bất bình đẳng là hiển nhiên
.

d) Hãy chứng minh rằng hiệu của hai dãy này có xu hướng tiến tới 0:
. Chúng ta hãy sử dụng điều kiện cơ bản. Đối với một số tùy ý
có một con số như vậy cái đó dành cho tất cả mọi người k ≥ N ε các bất đẳng thức được thỏa mãn
. Những bất đẳng thức này cho phép chúng ta kết luận rằng

Tại N≥ N ε . Kể từ đây,
.

e) Theo chứng minh ở phần c) dãy hội tụ, hãy
. Bởi vì
và sau đó từ bất đẳng thức
và từ bổ đề về hai cảnh sát thì suy ra rằng
. Tính đầy đủ đã được chứng minh. Định lý đã được chứng minh.

3.9. Tiếp theo. Giới hạn một phần

Định nghĩa 3.7. Cho phép ,
, là một dãy số nào đó và đặt ,
là dãy số tự nhiên tăng chặt. Sau đó, một chuỗi có dạng
,
, được gọi là dãy con của dãy .

Nếu một dãy không có giới hạn thì điều này không loại trừ khả năng tồn tại giới hạn đối với một dãy con nào đó.

Định nghĩa 3.8. Giới hạn riêng của dãy là giới hạn của một dãy con hội tụ nào đó.

Ví dụ 3.18. Cho phép
. Trình tự này phân kỳ (xem Phần 3.2), nhưng các trình tự con của nó
Và
lần lượt hội tụ về 1 và -1. Vậy những con số này là giới hạn một phần của dãy
.

Định lý 3.14. Hãy để trình tự ,
, hội tụ về số Một. Khi đó dãy con bất kỳ của nó cũng hội tụ về Một.

Bằng chứng. Cho phép
,
, - dãy con của dãy ,
. Bởi vì
là một dãy số tự nhiên tăng chặt thì
trước mặt mọi người
(điều này dễ chứng minh bằng quy nạp). Hãy chọn . Theo định nghĩa hội tụ MộtĐẾN
cho mọi người
.Định lý đã được chứng minh.

bất đẳng thức sẽ được thỏa mãn Bài toán 3.14

Chứng minh rằng để một dãy hội tụ thì điều kiện cần và đủ là mỗi dãy con của nó đều hội tụ. Bài toán 3.15.
Một Và
Một Chứng minh rằng từ điều kiện
Một.

nó theo sau đó Bài toán 3.16.

Cho một ví dụ về dãy số có đúng 10 giới hạn từng phần. Bài toán 3.17.

Cho ví dụ về dãy số mà mọi số thực đều là giới hạn riêng.

Chúng ta hãy xem xét câu hỏi về sự tồn tại của giới hạn từng phần trong trường hợp dãy bị chặn. Định lý 3.15 (Bolzano-Weierstrass).

Bằng chứng. Mọi dãy bị chặn đều chứa một dãy con hội tụ.
Do trình tự hạn chế nên chúng ta có thể chỉ định các số sau điều đó cho bất cứ ai
các bất đẳng thức được thỏa mãn
. Chia đoạn
một nửa. Khi đó ít nhất một nửa sẽ chứa vô số số hạng của dãy. Điều này xuất phát từ thực tế là dãy bao gồm vô số số hạng và chỉ có hai nửa. Chúng ta hãy chọn một nửa này và biểu thị nó bằng

, nếu cả hai đều như vậy thì bất kỳ cái nào trong số đó.
Tiếp theo, một đoạn
Hãy chia đôi lần nữa và chọn nửa chứa vô số số hạng của dãy. Chúng ta hãy biểu thị nó bằng . Tiếp tục quá trình này,
, chứa vô số số hạng của dãy này. Mỗi phân đoạn được xây dựng đều được chứa trong phân đoạn trước đó. Chiều dài phần
bằng , nghĩa là, có xu hướng về 0 khi tăng . Áp dụng bổ đề Cantor cho các phân đoạn lồng nhau, chúng ta thu được rằng các chuỗi
Và
có xu hướng đến giới hạn chung, chúng tôi biểu thị nó bằng MỘT.

Bây giờ chúng ta xây dựng một hội tụ để MỘT tiếp theo. BẰNG chọn bất kỳ thành viên nào của chuỗi
chứa trong
. BẰNG
chọn một thành viên như vậy của chuỗi
, được chứa trong
và số cái nào nhiều hơn (ở đây người ta sử dụng đoạn này
chứa vô số số hạng của dãy). Lập luận tương tự, trên -bước thứ như
chọn một thành viên như vậy của chuỗi
, được chứa trong
và số cái nào nhiều hơn
.
Chúng ta hãy nhớ lại rằng mỗi phân đoạn được xây dựng chứa vô số số hạng của dãy, xác định khả năng lựa chọn như vậy. Bởi vì
, MỘT
.Định lý đã được chứng minh.

, thì theo bổ đề về hai cảnh sát
Chúng ta biểu thị tập hợp tất cả các giới hạn từng phần của dãy bằng

. Định lý Bolzano-Weierstrass đã được chứng minh có thể được phát biểu lại như sau:
mọi dãy giới hạn đều có một tập hợp

giới hạn một phần không trống.
Ngoài ra, chúng ta lưu ý rằng từ giới hạn của dãy, theo định lý đi đến giới hạn của các bất đẳng thức, suy ra rằng tập hợp bị chặn
. Vì vậy có rất nhiều

có cạnh trên và dưới chính xác. Định nghĩa 3.9. ,
Cho phép
, là một dãy bị chặn và cho

,

là tập hợp tất cả các giới hạn riêng phần của nó. Giá trị .

lần lượt được gọi là giới hạn dưới và giới hạn trên của dãy ,Nó không trực tiếp theo định nghĩa này rằng các con số
thuộc về nhiều người

, nhưng dù sao cũng công bằng Định lý 3.16.

Bằng chứng. Giới hạn trên và giới hạn dưới của dãy giới hạn là giới hạn riêng của dãy đó.
Hãy chứng minh rằng có một dãy con như vậy
, Cái gì
<. Bởi vì , thì theo định nghĩa của giới hạn trên chính xác có
từ
, vì cái gì

. Tiếp theo, có
, mà và nói chung, đối với bất kỳ ai

sẽ có

, thỏa mãn các bất đẳng thức: Vì mọi là một giới hạn riêng thì bất kỳ lân cận nào chứa vô số số hạng dãy . Tiếp theo, có
. Vì vậy có một số . Tiếp theo, có

;
.

có một số Và Tiếp tục lý luận nhé mọi người

;
.

coi như
, thỏa mãn điều kiện

Dãy con được xây dựng theo cách này .

thỏa mãn bất đẳng thức .Định lý đã được chứng minh.

Đặc biệt, từ định lý đã được chứng minh, ta suy ra rằng không có dãy nào sao cho tập hợp tất cả các giới hạn riêng của nó là một khoảng bị chặn.

Chúng ta sẽ biểu thị giới hạn trên và giới hạn dưới của dãy bằng
Và
tương ứng. Là một trong những tính chất đặc trưng của các đại lượng này, ta chứng minh định lý sau.

Định lý 3.17 . Cho phép - trình tự giới hạn,
;
. Khi đó với mọi số dương mỗi bất đẳng thức
Và
chỉ thỏa mãn một tập hữu hạn các số hạng của dãy.

Bằng chứng. Hãy giả sử điều ngược lại. Cho tập hợp số các phần tử của dãy thỏa mãn bất đẳng thức
, vô tận. Hãy sắp xếp các số này theo thứ tự tăng dần nghiêm ngặt:
Sau đó trình tự tiếp theo
, thỏa mãn điều kiện
. Theo định lý Bolzano-Weierstrass, người ta có thể tách ra khỏi nó một dãy con hội tụ, giới hạn cái đó nhiều hơn . Rõ ràng là vậy

, và điều này mâu thuẫn với thực tế là - cạnh trên. Kết quả mâu thuẫn chứng minh định lý.

Sự định nghĩa. Dãy số (x n) được gọi là cơ bản (Chuỗi Cauchy), nếu với mọi e > 0 tồn tại một số N sao cho với mọi số N, thỏa mãn điều kiện N>=N và với mọi số tự nhiên P(p=1,2,3...) bất đẳng thức đúng:

|x n + p – x n |< e.

Định lý. (Tiêu chí Cauchy) . Để dãy (xn) hội tụ thì nó cần và đủ cơ bản.

Bằng chứng.

1) sự cần thiết. Hãy để x n à Một. Ta sửa một e > 0 tùy ý. Vì dãy (x n ) hội tụ đến giới hạn MỘT, thì với một số bằng e/2 tồn tại một số N như vậy trước mặt mọi người N >= N:

|x n – một|< đ/2. (1)

Nếu như P bất kỳ số tự nhiên nào thì với mọi n>=N nó sẽ là:

|x n + p – Một| < e/2. (2)

Vì mô đun của tổng hai số không vượt quá tổng mô đun của chúng nên từ bất đẳng thức (1) và (2) chúng ta thu được với mọi n >= N và với mọi số tự nhiên P chúng ta sẽ nhận được:

|x n + p – x n | = |<= |x n + p – Một+ | một|< | + |x n – < e, Þ |x n + p – x n |

2) e - điều này có nghĩa đây là một chuỗi cơ bản. sự đầy đủ< 1.

o |<= M, где M=max{|x1|,…|xn1|,1+|xSửa m o > n 1 ta có |x n - xÞ |x n |

o |) với mọi nÎN, tức là (x n) – có giới hạn. Điều này có nghĩa là theo định lý Bolzano-Weierstrass tồn tại một chuỗi hội tụ ( xn Điều này có nghĩa là theo định lý Bolzano-Weierstrass tồn tại một chuỗi hội tụ ( k ), Một k –> Một.

. Hãy chứng minh rằng (x n ) hội tụ đến

Với e > 0 cho trước: "e > 0 $K(e)О N:

|Điều này có nghĩa là theo định lý Bolzano-Weierstrass tồn tại một chuỗi hội tụ ("k>K(e) Þ Một| < e;

k –

Ngoài ra, do tính chất cơ bản của (x n) nên $n e = n(e): n k ,n > n e Þ |x n – x N< e/2

k | N Hãy đặt Nđ. thì với n > N e chúng ta có:

|x n – a|<= |x n – xÞ |x n – x ko | + |x Þ |x n – x ko – a|< e. А это и означает, что lim x n = Một #

15. Hai định nghĩa về giới hạn của hàm số tại một điểm và sự tương đương của chúng.

Def.1. (theo Cauchy). Cho hàm y=f(x): X à Y và một điểm Một là giới hạn của tập X. Số MỘT gọi điện giới hạn của hàm y=f(x) tại điểmMột , nếu với mọi e > 0 thì có thể xác định d > 0 sao cho mọi xÎX thỏa mãn các bất đẳng thức 0< |x-Một| < d, выполняется |f(x) – MỘT| < e.

Def.2. (theo Heine). Con số MỘTđược gọi là giới hạn của hàm số y=f(x) tại điểm Một, nếu với dãy (x n )Ì X, x n ¹a "nОN, hội tụ về Một, dãy giá trị hàm (f(x n)) hội tụ về số MỘT.

Định lý. Việc xác định giới hạn của hàm số theo Cauchy và theo Heine là tương đương nhau.

Bằng chứng. Gọi A=lim f(x) là giới hạn của hàm số y=f(x) theo Cauchy

và (x n )Ì X, x n ¹a "nОN – dãy hội tụ về Một, x n à Một.

Cho e > 0, ta tìm được d > 0 sao cho tại 0< |x-Một| < d, xÎX имеем |f(x) – MỘT| < e,

và từ d này chúng ta tìm được một số n d =n(d) sao cho với n>n d chúng ta có 0< |x n -Một| < d.

Nhưng khi đó |f(x n) – MỘT| < e, т.е. доказано, что f(x n)à MỘT.

Bây giờ hãy để số MỘT hiện tại có giới hạn của hàm số theo Heine, nhưng MỘT không phải là giới hạn Cauchy. Khi đó tồn tại e o > 0 sao cho với mọi nОN đều tồn tại x n ОX,

0 < |x n -a| < 1/n, для которых |f(x n)-A| >= ồ . Điều này có nghĩa là dãy (x n )Ì X, x n ¹a "nОN, x n à đã được tìm thấy Một như vậy

dãy (f(x n)) không hội tụ về MỘT. #

Tính duy nhất giới hạn của hàm số tại một điểm. Giới hạn cục bộ của hàm có giới hạn hữu hạn. Bảo toàn cục bộ dấu của hàm số có giới hạn bằng 0.

Định lý 1. Nếu $ lim f(x) = b О R với x à a thì giới hạn này người duy nhất.

Bằng chứng: Đừng như vậy.

lim f(x) = b 1 và lim f(x) = b 2 với x à a. b 1 ¹b 2

"(x n )О D(f), x n à a, x n ¹ a Þ f(x n) à b 1 (định nghĩa theo Heine)

"(x n )О D(f), x n à a, x n ¹ a Þ f(x n) à b 2 (định nghĩa theo Heine)

Đối với một dãy cụ thể (x n )М D(f). xn ’ à a, x n ¹ a Þ

Þ f(x n ’) à b 1 và f(x n ’)à b 2. Khi đó, theo định lý về tính duy nhất giới hạn của dãy, b 1 =b 2. #

Chắc chắn. Hàm số f(x) được gọi là giới hạn cục bộ đối với x à a nếu tồn tại các số d > 0 và M > 0 sao cho 0< |x-a| < d, xÎX имеем |f(x)|<=M.

Định lý 1 (về giới hạn địa phương). Nếu hàm f(x) có giới hạn tại điểm a thì nó bị chặn cục bộ với x à a.

Bằng chứng: Nếu tồn tại lim f(x) = A với x à a, thì ví dụ, với e=1 tồn tại d>0 sao cho với 0< |x-a| < d, xÎX, имеем |f(x)-A| < 1, а это значит,

|f(x)|<|A|+1=M. #

Định lý 2 (về bảo toàn dấu địa phương). Nếu như lim f(x) = A với x à a và A¹0 thì tồn tại d>0 sao cho

0 < |x-a| < d, xÎX и A>0 ta có f(x)>A/2, và tại 0< |x-a| < d, xÎX и A<0 имеем

f(x)< a/2, т.е. (0 < |x-a| < d)L(xÎX) Þ |f(x)| >|A|/2.

Bằng chứng: Hãy lấy e=|A|/2. Có d>0 sao cho

0 < |x-a| < d, xÎX имеем

A-|A|/2

Với A>0, từ bất đẳng thức bên trái ta thu được f(x) > A/2, và với A<0 из правого неравенства получаем f(x) < A/2. #

TIÊU CHÍ CAUCHY

1) K.K. Sự hội tụ của dãy số: theo thứ tự số (thực hoặc phức) xn,n=1, 2, . . ., có giới hạn, điều cần và đủ là đối với bất kỳ ai cũng tồn tại một số N sao cho với mọi đã tiến hành

Tiêu chí hội tụ của một dãy số được khái quát hóa thành tiêu chí hội tụ các điểm của một ma trận hoàn chỉnh. không gian.

Trình tự các điểm (xp) số liệu đầy đủ không gian hội tụ khi và chỉ khi với bất kỳ tồn tại nào như vậy N, rằng sự bất bình đẳng xảy ra với tất cả mọi người

2) K.K. giới hạn tồn tại của hàm n biến Giả sử f được xác định trên tập không gian Xre Rn và nhận các giá trị số (thực hoặc phức), MỘT -điểm giới hạn của tập X (hoặc ký hiệu, trong trường hợp này X là không bị chặn). Một giới hạn hữu hạn tồn tại khi và chỉ khi đối với mọi người đều có giới hạn đó U=U(Một) . điểm MỘT,điều đó với bất kỳ và sự bất bình đẳng giữ

Tiêu chí này khái quát hóa thành các ánh xạ tổng quát hơn: X- topo MỘT -, điểm giới hạn của nó mà tại đó khả năng đếm được giữ nguyên, Y- số liệu đầy đủ không gian và f - Xв Y.

Để có một giới hạn U=U cần và đủ để có một khu dân cư cho tất cả mọi người

(a).điểm tấn công rằng sự bất bình đẳng đúng cho tất cả X- 3) Q. cho sự hội tụ đều của một họ hàm. Cho phép điểm giới hạn của nó mà tại đó khả năng đếm được giữ nguyên, một số bộ, topo một không gian thỏa mãn tiên đề đếm đầu tiên tại điểm giới hạn, R là một số liệu hoàn chỉnh. không gian, f(). x, y topo một không gian thỏa mãn tiên đề đếm đầu tiên tại điểm giới hạn, R là một số liệu hoàn chỉnh. không gian, f(), - ánh xạ của tập Họ ánh xạ f( U=U(ánh xạ cho một tập cố định X vào H, hội tụ đều trên X nếu tồn tại một lân cận như vậy năm 0 ánh xạ cho một tập cố định X vào H, hội tụ đều trên X nếu tồn tại một lân cận như vậy) .điểm cái đó dành cho tất cả mọi người

và mọi bất đẳng thức đều được thỏa mãn điểm giới hạn của nó mà tại đó khả năng đếm được giữ nguyên,Đặc biệt, nếu tập hợp số tự nhiên và N, thì dãy hội tụ đều trên tập X khi và chỉ khi với bất kỳ tập nào tồn tại một số như vậy

rằng với mọi và mọi con số thì bất đẳng thức đúng N, 4) K. về sự hội tụ của một chuỗi: số hội tụ khi và chỉ nếu với bất kỳ số nào tồn tại một số như vậy

rằng với bất kỳ và tất cả các số nguyên, bất đẳng thức đúng

Đối với nhiều chuỗi, tiêu chí hội tụ tương tự được gọi. Tiêu chuẩn Cauchy-Stolz. Ví dụ, để

hội tụ trên tổng từng phần hình chữ nhật N, nó là cần thiết và đủ để bất cứ ai cũng có thể tìm thấy thứ gì đó như thế này điều đó với mọi người và mọi người trọn vẹn

bất đẳng thức được thỏa mãn

5) Q. đối với sự hội tụ đều của một chuỗi: giả sử các hàm xác định trên một tập X nhất định và lấy các giá trị bằng số. Để có được bộ truyện

hội tụ đều trên tập X,điều cần thiết và đủ là có một con số như vậy cho tất cả mọi người N,điều đó cho tất cả điều đó với mọi người và mọi người trọn vẹn

Tiêu chí này cũng mở rộng cho nhiều chuỗi, không chỉ cho chuỗi số, mà còn cho chuỗi có số hạng thuộc không gian Banach, tức là khi và p(x).are ánh xạ của tập X vào một nhóm nhất định.

6) Q. đối với sự hội tụ của các tích phân suy rộng: giả sử một hàm f được xác định trên một nửa khoảng, lấy các giá trị số trên đó và có thể tích phân với bất kỳ (Riemann hoặc Lebesgue) nào trên khoảng [ một, c]. Để

hội tụ, điều cần và đủ là với bất kỳ ai tồn tại sao cho với mọi thỏa mãn điều kiện thì bất đẳng thức đúng

Tiêu chí được xây dựng theo cách tương tự cho các tích phân không đúng thuộc các loại khác và cũng được khái quát hóa cho trường hợp hàm f phụ thuộc vào một số biến và các giá trị của nó nằm trong không gian Banach.

7) K.K. cho sự hội tụ đều của tích phân suy rộng: Cho hàm f( topo một không gian thỏa mãn tiên đề đếm đầu tiên tại điểm giới hạn, R là một số liệu hoàn chỉnh. không gian, f() .cho mỗi cố định ở đâu điểm giới hạn của nó mà tại đó khả năng đếm được giữ nguyên, một số tập hợp được xác định trên nửa khoảng lấy các giá trị số và có thể tích phân trên bất kỳ khoảng nào [ một, c]. Để

hội tụ đều trên tập Y, điều cần và đủ là với bất kỳ tập nào cũng có hội tụ thỏa mãn các điều kiện và mọi bất đẳng thức đúng

Tiêu chí này cũng mở rộng cho các tích phân không đúng của các loại khác, cho trường hợp hàm nhiều biến và các hàm có giá trị nằm trong không gian Banach.

Sáng.: C a u c h u A. L., Phân tích đại số, P., 1821; Stolz O., "Toán học. Ann.", 1884, Bd 24, S. 154-71; Dieudonne J., Nguyên tắc cơ bản của phân tích hiện đại, trans. từ tiếng Anh, M., 1964; Il'in V.A., Poznya to E.G., Nguyên tắc cơ bản của phân tích toán học, tái bản lần thứ 3, tập 1, M., 1971, tập 2, M., 1973; Kudryavtsev L. D., Khóa học phân tích toán học, t. . 1 - 2, M., 1981; 16] Nikolsky S.M., Khóa học phân tích toán học, tái bản lần 2, tập 1-2, M., 1975; Whittaker E. - T., V a tson J. - N., Khóa học phân tích hiện đại, trans. từ tiếng Anh, tái bản lần thứ 2, phần 1, M., 1963. L. D. Kudryavtsev.

Bách khoa toàn thư toán học. - M.: Bách khoa toàn thư Liên Xô.

I. M. Vinogradov.

Tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi số dương (tiêu chuẩn Cauchy) là tiêu chuẩn chính cho sự hội tụ của chuỗi số do Augustin Cauchy đưa ra. Một chuỗi dương hội tụ khi và chỉ khi dãy tổng riêng của nó bị chặn ở trên... Wikipedia

Tiêu chí ổn định Nyquist của Mikhailov là một trong những cách đánh giá tính ổn định của hệ thống điều khiển vòng kín bằng đáp ứng pha vòng hở của nó. Đây là một trong những tiêu chí ổn định tần số. Sử dụng tiêu chí này để đánh giá tính ổn định... ... Wikipedia

Tiêu chí ổn định Nyquist của Mikhailov là một trong những cách đánh giá tính ổn định của hệ thống điều khiển vòng kín bằng đáp ứng tần số pha biên độ của trạng thái mở của nó. Là một trong những tiêu chí tần suất... ... Wikipedia

Tiêu chí Cauchy là một chuỗi các phát biểu trong phân tích toán học: Tiêu chí về sự hội tụ của một chuỗi (xem Chuỗi cơ bản) làm cơ sở cho định nghĩa về một không gian đầy đủ. Tiêu chí cho sự hội tụ của dấu dương... ... Wikipedia

Tiêu chí tương tự là một đại lượng không thứ nguyên bao gồm các tham số vật lý thứ nguyên xác định hiện tượng vật lý đang được xem xét. Sự bình đẳng của tất cả các tiêu chí tương tự cùng loại đối với hai hiện tượng và hệ vật lý là cần thiết và... ... Wikipedia

- (Ca) tiêu chuẩn tương tự trong cơ học liên tục, biểu thị tỉ số giữa động năng và năng lượng nén của môi trường. Nó được sử dụng để nghiên cứu dao động của vật đàn hồi và dòng chảy của chất lỏng đàn hồi. Số Cauchy được biểu diễn như sau: , trong đó... ... Wikipedia

Thuật ngữ này có ý nghĩa khác, xem dấu hiệu Cauchy. Phép thử tích phân Cauchy Maclaurin là phép thử sự hội tụ của một chuỗi số dương giảm dần. Kiểm định Cauchy của Maclaurin cho phép giảm việc xác minh sự hội tụ của một chuỗi thành... ... Wikipedia

Thuật ngữ "kiểm định Cauchy" có thể đề cập đến một trong các phát biểu sau: Kiểm định căn thức Cauchy Tích phân Maclaurin Kiểm định Cauchy Tiêu chí Cauchy Xem thêm định lý Cauchy ... Wikipedia

Sách

Tính ổn định của các phần tử kết cấu trong điều kiện từ biến. Hướng dẫn học tập. Phần 1. Rods, M. N. Kirsanov. Hiện tượng ổn định biến dạng của các phần tử kết cấu thanh liên quan đến nhiễu loạn của dẫn xuất võng dưới tác dụng từ biến không giới hạn được xác định và nghiên cứu. Được quy định...

Tiếp theo (xn) thỏa mãn tình trạng Cauchy, nếu với mọi số thực dương ε > 0 tồn tại số tự nhiên N ε sao cho
(1) |x n - x m |< ε при n >N ε , m > N ε .

Dãy số thỏa mãn điều kiện Cauchy còn được gọi là trình tự cơ bản.

Điều kiện Cauchy có thể được biểu diễn dưới dạng khác. Cho m > n.< n , то поменяем n и m местами. Случай нас не интересует, поскольку при этом неравенство (1) выполняется автоматически. Имеем:
;
.
Nếu tôi

Ở đây p là số tự nhiên.

Khi đó điều kiện Cauchy có thể được phát biểu như sau: tình trạng Cauchy Tính nhất quán thỏa mãn
(2) , nếu có một số tự nhiên sao cho

cho và mọi p tự nhiên.

Số xuất hiện trong điều kiện Cauchy phụ thuộc vào ε.

Nghĩa là, nó là hàm của một biến thực ε, phạm vi của nó là tập hợp các số tự nhiên. Số cũng có thể được viết dưới dạng , như thông lệ để biểu thị các hàm số.

Tiêu chuẩn Cauchy cho sự hội tụ của dãy

Để một dãy số có giới hạn hữu hạn thì điều kiện cần và đủ là nó thỏa mãn điều kiện Cauchy.

Chứng minh tiêu chuẩn Cauchy cho sự hội tụ của dãy
.
Bằng chứng về sự cần thiết
(1.1) Cho dãy hội tụ đến giới hạn hữu hạn a:
Điều này có nghĩa là tồn tại một hàm nào đó sao cho với bất kỳ bất đẳng thức nào sau đây đều đúng:

Tại .
Cho dãy hội tụ đến giới hạn hữu hạn a:
Xem Định nghĩa giới hạn trình tự.
.
Hãy chứng minh rằng dãy thỏa mãn . Để làm điều này, chúng ta cần tìm một hàm sao cho với bất kỳ , các bất đẳng thức sau được thỏa mãn:

Ta hãy sử dụng các tính chất của bất đẳng thức và áp dụng (1.1):
Bất đẳng thức cuối cùng đúng với .
Hãy thay thế nó bằng .

Sau đó, với bất kỳ chúng ta có:

Tại ,

Ở đâu .

Sự cần thiết đã được chứng minh.
(2.1.1) Cho dãy hội tụ đến giới hạn hữu hạn a:

Bằng chứng về sự đầy đủ

Hãy để chuỗi thỏa mãn . Hãy chứng minh rằng nó hội tụ đến một số hữu hạn. Chúng tôi chia bằng chứng thành ba phần. Đầu tiên ta chứng minh dãy bị chặn. Sau đó chúng ta áp dụng , theo đó một dãy bị chặn có một dãy con hội tụ về một số hữu hạn. Và cuối cùng, chúng ta sẽ chứng minh rằng toàn bộ dãy hội tụ về số này.
;
;
;
;
.
Điều này chứng tỏ rằng với , các số hạng của dãy bị giới hạn. Vì, với , chỉ có hữu hạn số hạng nên toàn bộ dãy bị giới hạn.

Chúng ta hãy áp dụng định lý Bolzano–Weierstrass. Theo định lý này, một dãy bị chặn có một dãy con hội tụ về một số hữu hạn a nào đó.
.

Chúng ta hãy biểu thị một dãy con như .
Sau đó
Cho dãy hội tụ đến giới hạn hữu hạn a:
Hãy chứng minh rằng toàn bộ dãy hội tụ về số a. 1 Vì dãy thỏa mãn , nên có một số hàm mà các bất đẳng thức sau đây đúng với bất kỳ: /2 :
(2.3.1) Cho dãy hội tụ đến giới hạn hữu hạn a:

Chúng ta hãy lấy số hạng của dãy con hội tụ làm số hạng và thay thế ε bởi ε Hãy để chúng tôi sửa chữa n. Khi đó (2.3.1) là bất đẳng thức chứa một dãy trong đó số hữu hạn số hạng đầu tiên bị loại trừ. Số hữu hạn số hạng đầu tiên không ảnh hưởng đến sự hội tụ (xem Ảnh hưởng của số hữu hạn số hạng đến sự hội tụ của một dãy). Vì vậy, giới hạn của một dãy bị cắt cụt vẫn là a.
Cho dãy hội tụ đến giới hạn hữu hạn a:
Áp dụng
Cho dãy hội tụ đến giới hạn hữu hạn a:

tính chất của giới hạn gắn với bất đẳng thức
Cho dãy hội tụ đến giới hạn hữu hạn a:
Và

tính chất số học của giới hạn

, với , từ (2.3.1) ta có:
Hãy sử dụng bất đẳng thức hiển nhiên: .

Tiêu chuẩn Cauchy cho sự hội tụ của một dãy số là tiêu chuẩn tổng quát nhất cho sự hội tụ của một chuỗi số. Định lý 4 (Tiêu chí Cauchy). Để dãy số Y1 an hội tụ, điều cần và đủ là với mọi số e > O đều tồn tại một số N = N(e) sao cho với mọi n > N bất đẳng thức đúng cho mọi sử dụng tổng riêng 5P +P và Sn-\ của chuỗi đang xét J2 trong> bất đẳng thức (1) có thể viết dưới dạng Tiêu chuẩn Cauchy suy ra tiêu chuẩn cần thiết cho sự hội tụ của một chuỗi số. Định lý 5. Nếu kiểm định so sánh chuỗi đối với chuỗi có số hạng dương Kiểm định D'Alembert Kiểm định Cauchy Tiêu chí Cauchy về sự hội tụ của một chuỗi hội tụ, thì Giả sử trong Định lý 4, chúng ta thu được một bất đẳng thức đúng cho tất cả. số e > 0 tức là Hệ quả. Nếu lim an khác 0 hoặc không tồn tại thì chuỗi Ví dụ 1. Chuỗi số phân kỳ, vì Ví dụ 2. Chuỗi phân kỳ vì nó không tồn tại. Bình luận. Định lý 5 đưa ra điều kiện cần cho sự hội tụ của một chuỗi, nhưng nó chưa đủ, tức là điều kiện lim o = 0 cũng có thể được thỏa mãn đối với một chuỗi phân kỳ. Ví dụ 3. Xét một chuỗi số gọi là chuỗi điều hòa. Đối với chuỗi điều hòa, điều kiện cần để hội tụ được thỏa mãn, vì Sử dụng tiêu chuẩn Cauchy, chúng ta chứng minh rằng chuỗi này phân kỳ. Hãy đặt pp. Khi đó, bất đẳng thức thu được được thỏa mãn với bất kỳ n lớn tùy ý nào. Theo đó, với e ^ 5 và p = n thì bất đẳng thức (1) không đúng. Như vậy, do tiêu chuẩn Cauchy nên chuỗi điều hòa phân kỳ. Lưu ý quan trọng. Theo một nghĩa nào đó, chuỗi là sự tổng quát hóa của một tổng hữu hạn. Tuy nhiên, không giống như sau, các thuật ngữ trong đó có thể được nhóm và sắp xếp lại hoàn toàn tùy ý, đó là lý do tại sao tổng, như chúng ta biết, không thay đổi, các hành động với các thành viên của một chuỗi tùy ý phải được thực hiện cẩn thận - hậu quả có thể không phải lúc nào cũng có thể dự đoán được. Nếu trong một chuỗi phân kỳ (tiêu chí cần thiết cho sự hội tụ không được đáp ứng) chúng ta nhóm các nhóm lân cận theo cặp, thì chúng ta thu được một chuỗi hội tụ. Các số hạng của chuỗi hội tụ (xem ví dụ ở § 8) có thể được sắp xếp lại sao cho nó hội tụ. đến bất kỳ số nào và thậm chí phân kỳ. Cụ thể, chuỗi thu được bằng cách sắp xếp lại các số hạng của nó sẽ hội tụ về một nửa tổng của chuỗi ban đầu (ví dụ từ § 9). Việc trong các ví dụ này các số hạng của chuỗi có dấu khác nhau là rất có ý nghĩa. Định lý 6 (kiểm tra so sánh). Cho hai chuỗi có số hạng an và 6” dương. Nếu bất đẳng thức đúng với mọi số n thì từ sự hội tụ của chuỗi Y1 6n tuân theo sự hội tụ của chuỗi an, và từ sự phân kỳ của chuỗi Y1 On tuân theo sự phân kỳ của chuỗi Y1 6“. M Hãy tính tổng riêng của chuỗi (1) và (2) Từ điều kiện (3) của định lý suy ra 5П ^ Sn với mọi 1) Giả sử chuỗi (2) hội tụ, tức là có giới hạn của tổng riêng thứ n của nó Vì vậy, vì tất cả các số hạng của chuỗi này đều dương, nên do bất đẳng thức (3), nên do đó, tất cả các tổng riêng 5P của chuỗi (1) đều bị giới hạn và tăng khi n tăng, do đó. Do đó, dãy tổng riêng là hội tụ, nghĩa là sự hội tụ của chuỗi an. Trong trường hợp này, khi chuyển đến giới hạn của bất đẳng thức, ta thu được rằng Nhờ vào bất đẳng thức ta thu được phép kiểm so sánh đối với chuỗi có số hạng dương D. 'Kiểm định Alembert Kiểm định Cauchy Tiêu chí Cauchy về sự hội tụ của chuỗi tức là chuỗi bn phân kỳ. Bình luận. Định lý 6 vẫn đúng trong trường hợp khi bất đẳng thức an ^ bn được thỏa mãn không phải với mọi n, mà chỉ bắt đầu từ một số A nhất định:, nghĩa là, với mọi n ^ Jfc, vì việc thay đổi số hữu hạn các số hạng của chuỗi không không vi phạm sự hội tụ của nó. Ví dụ. Xét sự hội tụ của chuỗi sau: Ta có Vì chuỗi số hội tụ nên khi so sánh chuỗi ban đầu (4) cũng hội tụ. ) cũng phân kỳ. Định lý 6 vẫn đúng trong trường hợp bất đẳng thức tổng quát hơn. Ví dụ 3. Xét chuỗi 4 về sự hội tụ. Sử dụng bất đẳng thức sin x ^ x, đúng với mọi, ta tìm thấy vì chuỗi hội tụ, nên. bằng cách so sánh (ở đây A = y) chuỗi (5) này cũng hội tụ Hệ quả: Nếu có giới hạn hữu hạn khác 0 thì chuỗi (1) và (2) hội tụ hoặc phân kỳ đồng thời. với mọi số e > O, tồn tại một số N. sao cho với mọi n > N bất đẳng thức hoặc Do đó Nếu chuỗi (2) hội tụ thì chuỗi này hội tụ. Nhưng kể từ đó, theo Định lý 6, chuỗi ( 1) cũng sẽ hội tụ. Nếu chuỗi (2) phân kỳ thì nó phân kỳ và chuỗi (e được coi là nhỏ đến mức. Vì n dành cho mọi người nên theo Định lý 6, chuỗi (1) phân kỳ. Bình luận. Điều kiện của bổ đề tương đương với thực tế là các dãy сс và Lbn at tương đương nhau hoặc trong trường hợp I = 0, sự hội tụ của chuỗi (2) hàm ý sự hội tụ của chuỗi (1). Điều ngược lại là không đúng. Trong trường hợp L = +oo, sự phân kỳ của chuỗi (1) kéo theo sự phân kỳ của chuỗi (2). Điều ngược lại là không đúng. Ví dụ. Xét sự hội tụ của dãy số sau: 4 Hãy so sánh chuỗi số này với chuỗi điều hòa. Vì chuỗi điều hòa phân kỳ nên chuỗi này cũng phân kỳ. Khi đó chuỗi ban đầu hội tụ. §5. Kiểm định D'Alembert oo Định lý 7 (Kiểm định D'Alembert). Giả sử chuỗi an cho trước, trong đó tất cả an > 0. Nếu tồn tại giới hạn n =\ thì chuỗi hội tụ và chuỗi phân kỳ.4 Giả sử tồn tại một giới hạn trong đó Lấy q sao cho sao cho chuỗi đó hội tụ và chuỗi phân kỳ. Khi đó với một số bất kỳ, chẳng hạn với e = , sẽ có một số N sao cho với mọi n ^ N bất đẳng thức sẽ đúng. Đặc biệt, chúng ta sẽ có từ đâu cho tất cả Từ bất đẳng thức này, cho n lần lượt các giá trị. N, ta thu được Các số hạng của chuỗi không vượt quá các số hạng tương ứng của chuỗi hội tụ dưới dạng một chuỗi gồm các số hạng của cấp số nhân có mẫu số. Khi so sánh, chuỗi này hội tụ, nghĩa là chuỗi ban đầu an cũng hội tụ. Trong trường hợp bắt đầu từ một số N nhất định, bất đẳng thức sẽ được thỏa mãn, hoặc do đó, phân kỳ, vì cần thiết - dấu hiệu của sự hội tụ. Bình luận. Nếu hoặc không tồn tại thì phép kiểm D’Alembert không đưa ra câu trả lời về sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi. Ví dụ. Xét sự hội tụ của chuỗi sau: Đối với một chuỗi cho trước, chúng ta có Kiểm định so sánh đối với chuỗi có số hạng dương Kiểm định D'Alembert Kiểm định Cauchy Tiêu chí Cauchy cho sự hội tụ của một chuỗi Bằng kiểm định D'Alembert chuỗi hội tụ.