Hình học đại số, giải tích thực và phức tạp, vật lý toán học và , cũng như ) đều chưa được giải. Hiện tại, 16 trong số 23 bài toán đã được giải, 2 bài còn lại là bài toán không đúng (một bài được trình bày quá mơ hồ nên không hiểu đã giải được hay chưa, bài còn lại còn lâu mới giải được, là bài toán vật lý, không phải toán học) . Trong 5 bài toán còn lại, có 3 bài không giải được và 2 bài chỉ giải được trong một số trường hợp.
Danh sách các vấn đề
| 1 | đã giải quyết | Bài toán Cantor về lũy thừa của sự liên tục () |
| 2 | đã giải quyết | Tính nhất quán của các tiên đề số học |
| 3 | đã giải quyết | Sự tương đương của kích thước bằng nhau |
| 4 | quá mơ hồ | Liệt kê các đường trong đó các đường trắc địa |
| 5 | đã giải quyết | Tất cả đều liên tục? |
| 6 | không phải toán học | Trình bày toán học của các tiên đề vật lý |
| 7 | đã giải quyết | Nếu như Một≠ 0, 1 - , và b- đại số, nhưng vô lý, có đúng vậy không? một b - |
| 8 | mở | Vấn đề số nguyên tố( Và ) |
| 9 | giải quyết một phần | Bằng chứng là nhất luật chung có đi có lại trong bất kỳ trường số nào |
| 10 | đã giải quyết | Vấn đề giải quyết |
| 11 | đã giải quyết | Nghiên cứu dạng bậc hai với các hệ số đại số tùy ý |
| 12 | mở | Mở rộng định lý Kronecker trên các trường Abelian sang một miền đại số tùy ý của tính hợp lý |
| 13 | đã giải quyết | Không thể giải quyết được phương trình tổng quát lũy thừa bảy sử dụng các hàm chỉ phụ thuộc vào hai biến |
| 14 | đã giải quyết | Chứng minh sự sinh hữu hạn của đại số các bất biến của một nhóm đại số |
| 15 | đã giải quyết | Sự chứng minh chặt chẽ của hình học tính toán của Schubert |
| 16 | giải quyết một phần | Số lượng và vị trí các hình bầu dục của đường cong đại số thực ở một bậc nhất định trên mặt phẳng; số lượng và vị trí của chu kỳ giới hạn đa thức trường vector cấp bằng trên máy bay |
| 17 | đã giải quyết | Biểu diễn một số hình dạng nhất định dưới dạng tổng các bình phương |
| 18 | giải quyết một phần | Sự lấp đầy không gian không đều bằng các khối đa diện đồng dạng. Việc đóng gói bóng dày đặc nhất |
| 19 | đã giải quyết | Các giải pháp biến phân thông thường có luôn mang tính phân tích không? |
| 20 | đã giải quyết | Nhiệm vụ chung về điều kiện biên (?) |
| 21 | đã giải quyết | Chứng minh sự tồn tại của phương trình vi phân tuyến tính với nhóm đơn thức cho trước |
| 22 | đã giải quyết | Thống nhất các phụ thuộc phân tích bằng cách sử dụng các hàm tự đồng cấu |
| 23 | đã giải quyết | Phát triển các phương pháp tính biến phân |
Chú thích cuối trang
- Kết quả của Cohen cho thấy cả giả thuyết liên tục lẫn sự phủ định của nó đều không mâu thuẫn (hệ thống tiêu chuẩn của các tiên đề lý thuyết tập hợp). Vì vậy, giả thuyết liên tục trong hệ thống tiên đề này không thể được chứng minh cũng như không thể bị bác bỏ.
- Theo Rowe và Gray (xem bên dưới), hầu hết các vấn đề đã được giải quyết. Một số trong số chúng không được xây dựng đủ chính xác, nhưng kết quả đạt được cho phép chúng tôi coi chúng là “đã được giải quyết”. Moat và Gray coi vấn đề thứ tư là một vấn đề quá mơ hồ để đánh giá liệu nó đã được giải quyết hay chưa.
- Rove và Gray cũng gọi vấn đề số 18 là "mở" trong cuốn sách năm 2000 của họ vì vấn đề đóng gói quả bóng (còn được gọi là vấn đề Kepler) chưa được giải quyết vào thời điểm đó, nhưng hiện nay được cho là đã được giải quyết (xem bên dưới). Những tiến bộ trong việc giải quyết vấn đề số 16 đã đạt được trong thời gian gần đây cũng như trong những năm 1990.
- Vấn đề số 8 có hai vấn đề đã biết, cả hai vẫn chưa được giải quyết. Bài toán đầu tiên trong số này là một trong bảy bài toán Giải thưởng Thiên niên kỷ được mệnh danh là "Bài toán Hilbert" của thế kỷ 21.
- Vấn đề #9 đã được giải quyết cho trường hợp Abelian; trường hợp phi Abelian vẫn chưa được giải quyết.
- Phát biểu về sự sinh hữu hạn của đại số bất biến được chứng minh cho nhóm rút gọn. Nagata vào năm 1958 đã xây dựng một phản ví dụ cho trường hợp chung. Người ta cũng chứng minh rằng nếu đại số của các bất biến của bất kỳ biểu diễn (hữu chiều) nào của một nhóm đại số được tạo ra một cách hữu hạn thì nhóm đó có tính rút gọn.
- Phần đầu tiên (đại số) của bài toán số 16 được phát biểu chính xác hơn như sau. Harnack đã chứng minh điều đó số lượng tối đa hình bầu dục bằng M=(n-1)(n-2)/2+1, và những đường cong như vậy tồn tại - chúng được gọi là đường cong M. Làm thế nào có thể sắp xếp các hình bầu dục của đường cong M? Bài toán này đã được giải tới mức n=6, và đối với mức n=8 thì khá nhiều điều đã được biết (mặc dù nó vẫn chưa được hoàn thành). Ngoài ra, có những phát biểu chung hạn chế cách sắp xếp các hình bầu dục của đường cong M - xem tác phẩm của chính Gudkov, Arnold, Roon, Hilbert (tuy nhiên, cần lưu ý rằng có sai sót trong chứng minh của Hilbert cho n= 6: một trong những trường hợp mà ông cho là không thể, hóa ra lại có thể xảy ra và được Gudkov xây dựng). Phần thứ hai (vi phân) vẫn mở ngay cả đối với các trường vectơ bậc hai - người ta thậm chí còn không biết có thể có bao nhiêu trường và thậm chí có tồn tại giới hạn trên. Ngay cả định lý hữu hạn riêng lẻ (rằng mọi trường vectơ đa thức đều có số chu trình giới hạn hữu hạn) cũng chỉ mới được chứng minh gần đây. Nó đã được coi là đã được chứng minh bởi Dulac, nhưng một sai sót đã được phát hiện trong chứng minh của ông, và định lý này cuối cùng đã được chứng minh bởi Ilyashenko và Ecal - mà mỗi người trong số họ phải viết một cuốn sách.
(hệ tiên đề chuẩn của lý thuyết tập hợp). Do đó, giả thuyết liên tục trong hệ tiên đề này không thể được chứng minh hay bác bỏ (với điều kiện là hệ tiên đề này nhất quán).
A. A. Bolibrukh. Những bài toán của Hilbert (100 năm sau)
Vấn đề đầu tiên của Hilbert: giả thuyết liên tục
Giả thuyết liên tục, bài toán đầu tiên của Hilbert, liên quan đến các bài toán cơ bản của toán học và lý thuyết tập hợp. Nó liên quan chặt chẽ đến những câu hỏi đơn giản và tự nhiên như “Bao nhiêu?”, “Nhiều hay ít?”, và hầu như bất kỳ học sinh trung học nào cũng có thể hiểu được vấn đề này là gì. Tuy nhiên, chúng tôi sẽ cần một số thông tin bổ sung để xây dựng nó.
Đặt tương đương
Hãy xem xét ví dụ sau. Có một bữa tiệc khiêu vũ ở trường. Làm thế nào để xác định ai có mặt nhiều hơn vào tối nay: gái hay trai?
Tất nhiên, bạn có thể đếm cả hai và so sánh hai số thu được. Nhưng câu trả lời sẽ dễ dàng hơn nhiều khi dàn nhạc bắt đầu chơi một điệu valse và tất cả các vũ công chia thành từng cặp. Sau đó, nếu tất cả mọi người có mặt đều nhảy múa, điều đó có nghĩa là mọi người đã tìm được một cặp, tức là có số nam và nữ bằng nhau. Nếu chỉ còn con trai thì sẽ có nhiều con trai hơn và ngược lại.
Phương pháp này, đôi khi tự nhiên hơn so với tính toán lại trực tiếp, được gọi là nguyên tắc ghép đôi, hoặc nguyên tắc tương ứng một-một.
Bây giờ chúng ta hãy xem xét một tập hợp các đối tượng có tính chất tùy ý --- nhiều. Các đối tượng trong một tập hợp được gọi là yếu tố. Nếu phần tử x bao gồm trong bộ X, điều này được ký hiệu như sau: x X. Nếu bộ X 1 chứa trong nhiều X 2, tức là tất cả các phần tử của tập hợp X 1 cũng là những phần tử X 2, sau đó họ nói rằng X 1--- tập hợp con X 2, và viết ngắn gọn như thế này: X 1 X 2.
Nhiều Chắc chắn, nếu nó có số phần tử hữu hạn. Các tập hợp có thể là hữu hạn (ví dụ: tập hợp học sinh trong một lớp) hoặc vô hạn (ví dụ: --- bộ mọi số tự nhiên 1,2,3,... ). Các tập hợp có phần tử là số được gọi số.
Cho phép X Và Y--- hai bộ. Họ nói rằng giữa những bộ này nó được thiết lập trao đổi một-một, nếu tất cả các phần tử của hai tập hợp này được chia thành các cặp có dạng (x,y), Ở đâu x X, yY và mỗi phần tử từ X và mỗi phần tử từ Y tham gia đúng một cặp.
Một ví dụ là khi tất cả các cô gái và chàng trai trong một bữa tiệc khiêu vũ được ghép đôi, và có một ví dụ về trận đấu một chọi một giữa nhiều cô gái và nhiều chàng trai.
Các tập hợp có thể thiết lập sự tương ứng một-một giữa chúng được gọi là tương đương hoặc mạnh mẽ như nhau. Hai tập hữu hạn là tương đương khi và chỉ khi chúng có cùng số phần tử. Vì vậy, thật tự nhiên khi cho rằng nếu một tập vô hạn tương đương với cái khác thì nó có “cùng số” phần tử. Tuy nhiên, dựa trên định nghĩa tương đương này, người ta có thể thu được những tính chất rất bất ngờ của các tập hợp vô hạn.
Bộ vô hạn
Chúng ta hãy xem xét bất kỳ tập hữu hạn nào và bất kỳ tập con nào của chính nó (không trống và không trùng với chính nó). Khi đó các phần tử trong tập con ít hơn, hơn là trong chính tập hợp đó, tức là một phần nhỏ hơn toàn bộ.
Các tập vô hạn có thuộc tính này không? Và liệu có hợp lý không khi nói rằng một tập hợp vô hạn có “ít” phần tử hơn tập hợp khác, cũng là vô hạn? Rốt cuộc, về hai tập hợp vô hạn hiện tại chúng ta chỉ có thể nói liệu chúng có tương đương hay không. Các tập vô hạn không tương đương có tồn tại không?
Tiếp theo, chúng tôi sẽ trả lời từng câu hỏi này một. Hãy bắt đầu bằng một câu chuyện vui câu chuyện tuyệt vời từ cuốn sách "Những câu chuyện về bộ" của N. Ya. Hành động diễn ra trong tương lai xa, khi cư dân của các thiên hà khác nhau có thể gặp nhau. Vì vậy, đối với tất cả những người du hành xuyên không gian, một khách sạn khổng lồ đã được xây dựng, trải dài trên nhiều thiên hà.
Trong khách sạn này vô số số(phòng), nhưng, như mong đợi, tất cả các phòng đều được đánh số và với bất kỳ số tự nhiên nào N có một phòng có số này.
Có lần một đại hội của các nhà vũ trụ học được tổ chức tại khách sạn này, trong đó có đại diện của tất cả các thiên hà tham gia. Vì cũng có vô số thiên hà nên tất cả các chỗ trong khách sạn đều đã bị chiếm giữ. Nhưng lúc này bạn của anh đã đến gặp giám đốc khách sạn và yêu cầu đưa anh vào khách sạn này.
“Sau một hồi suy nghĩ, giám đốc quay sang người quản lý và nói:
Đặt anh ấy ở vị trí số 1.
Tôi sẽ đặt người thuê căn phòng này ở đâu? --- quản trị viên ngạc nhiên hỏi.
Và chuyển anh ta đến số 2. Gửi người thuê từ số 2 đến số 3, từ số 3 đến số 4, v.v.
Nói chung là để khách ở trong phòng k, sẽ chuyển vào phòng k+1, như thể hiện trong hình sau:
Sau đó mọi người sẽ có lại số của mình và số 1 sẽ miễn phí.
Vì vậy, chúng tôi đã tìm cách tiếp đón vị khách mới --- chính xác là vì khách sạn có vô số phòng.
Ban đầu, những người tham gia hội nghị chiếm tất cả các phòng của khách sạn, do đó, giữa nhiều nhà vũ trụ học và nhiều nhà vũ trụ học một sự tương ứng 1-1 đã được thiết lập: mỗi nhà vũ trụ học được cấp một con số, trên cánh cửa có ghi số tự nhiên tương ứng. Thật tự nhiên khi cho rằng số lượng đại biểu bằng số lượng tự nhiên. Nhưng một người khác đến, anh ta cũng có chỗ ở, và số lượng cư dân tăng thêm 1. Nhưng một lần nữa, số lượng họ cũng giống như số tự nhiên: sau tất cả, mọi người đều vừa vặn trong khách sạn! Và nếu chúng ta biểu thị số lượng các nhà vũ trụ học bằng 0 , thì chúng ta có được "danh tính" 0 = 0 +1 . Không có kết thúc 0 tất nhiên là nó đã không được đáp ứng.
Chúng tôi đã đi đến một kết luận đáng ngạc nhiên: nếu bạn thêm một phần tử nữa vào một tập hợp tương đương, bạn sẽ nhận được một tập hợp tương đương. Nhưng hoàn toàn rõ ràng những gì các đại biểu vũ trụ học đại diện Phần trong số rất nhiều người đã định cư tại khách sạn sau khi có vị khách mới đến. Điều này có nghĩa là trong trường hợp này bộ phận không phải “nhỏ hơn” toàn bộ mà là “bằng” toàn bộ!
Vì vậy, từ định nghĩa về sự tương đương (không dẫn đến bất kỳ “sự kỳ lạ” nào trong trường hợp các tập hợp hữu hạn), ta suy ra rằng một phần của tập hợp vô hạn có thể tương đương với toàn bộ tập hợp.
Có thể đó nhà toán học nổi tiếng Bolzano, người đã cố gắng áp dụng nguyên tắc tương ứng một-một trong lý luận của mình, sợ những tác động bất thường như vậy nên đã không phát triển thêm lý thuyết này. Đối với anh điều đó có vẻ hoàn toàn vô lý. Nhưng Georg Cantor vào nửa sau thế kỷ 19 lại quan tâm đến vấn đề này, bắt đầu nghiên cứu và tạo ra lý thuyết tập hợp, một phần quan trọng của nền tảng toán học.
Hãy tiếp tục câu chuyện về khách sạn vô tận.
Vị khách mới “không ngạc nhiên khi sáng hôm sau được đề nghị chuyển đến # 1,000,000 . Chỉ là các nhà vũ trụ học muộn màng từ thiên hà VSK-3472 đã đến khách sạn và cần phải tiếp nhận thêm 999,999 người thuê nhà.”
Nhưng sau đó một số rủi ro đã xảy ra, và những người chơi tem đã đến cùng một khách sạn để dự đại hội. Ngoài ra còn có vô số người trong số họ --- một đại diện từ mỗi thiên hà. Làm thế nào để đặt tất cả chúng?
Nhiệm vụ này hóa ra rất khó khăn. Nhưng ngay cả trong trường hợp này, vẫn có một lối thoát.
“Trước hết, quản trị viên đã ra lệnh chuyển người thuê từ số 1 sang số 2.
Và chuyển người thuê từ #2 sang #4, từ #3 sang #6, nói chung là ra khỏi phòng N--- lên phòng 2n.
Giờ đây, kế hoạch của ông đã trở nên rõ ràng: bằng cách này, ông đã giải phóng vô số số lẻ và có thể chứa đựng những nhà sưu tập tem trong đó. Kết quả là, các số chẵn hóa ra lại bị các nhà vũ trụ học chiếm giữ, và các số lẻ lại thuộc về các nhà sưu tập tem... Một nhà sưu tập tem đang đứng xếp hàng N-m, chiếm phòng rồi 2n-1". Và một lần nữa mọi người đều có được chỗ ở trong khách sạn. Vì vậy, một hiệu ứng thậm chí còn đáng kinh ngạc hơn: khi kết hợp hai bộ, mỗi bộ tương đương với nhau , chúng ta lại thu được một tập hợp tương đương . tức là ngay cả khi chúng ta “nhân đôi” bộ đó, chúng ta sẽ có được một bộ tương đương với bộ ban đầu!
Bộ đếm được và không đếm được
Hãy xem xét chuỗi sau: . ( --- là tập hợp các số nguyên và --- tập hợp các số hữu tỷ, tức là tập hợp các số có dạng p/q, Ở đâu P Và q--- trọn, q0.) Tất cả các bộ này là vô hạn. Chúng ta hãy xem xét câu hỏi về sự tương đương của chúng.
Chúng ta hãy thiết lập sự tương ứng một-một giữa Và : chúng tôi tạo thành các cặp có dạng (n,2n) Và (-n,2n+1), N, cũng như một cặp đôi (0,1) (ở vị trí đầu tiên trong mỗi cặp là số từ , và vào ngày thứ hai --- từ ).
Có một cách khác để thiết lập sự tương ứng này, ví dụ, viết ra tất cả các số nguyên trong một bảng, như trong hình, và đi xung quanh nó dọc theo các mũi tên, gán một số nhất định cho mỗi số nguyên. Vì vậy chúng tôi" hãy tính toán lại" tất cả các số nguyên: mỗi z một số tự nhiên (số) được so sánh và với mỗi số có một số nguyên được gán cho số này. Trong trường hợp này, không cần thiết phải viết ra một công thức rõ ràng.
Như vậy, tương đương .
Mọi tập hợp tương đương với tập hợp số tự nhiên đều được gọi là đếm được. Một tập hợp như vậy có thể được “kể lại”: tất cả các phần tử của nó có thể được đánh số số tự nhiên.
Thoạt nhìn, có nhiều số hữu tỷ trên dòng hơn số nguyên. Chúng nằm dày đặc khắp mọi nơi: trong bất kỳ khoảng nhỏ tùy ý nào cũng có vô số chúng. Nhưng hóa ra có rất nhiều cũng đếm được Đầu tiên chúng ta chứng minh tính đếm được + (tập hợp tất cả các số hữu tỉ dương).
Hãy viết ra tất cả các yếu tố + vào bảng sau: ở dòng đầu tiên - tất cả các số có mẫu số là 1 (tức là số nguyên), ở dòng thứ hai - có mẫu số là 2, v.v. (xem hình). Mọi số hữu tỉ dương chắc chắn sẽ xuất hiện trong bảng này và hơn một lần ( ví dụ như số 1====... xảy ra ở mỗi hàng của bảng này ) .
Bây giờ chúng ta sẽ tính toán lại những con số này: theo các mũi tên, chúng ta gán một số cho mỗi số (hoặc bỏ qua số này nếu chúng ta đã gặp nó trước đó trong một mục khác). Vì chúng ta đang di chuyển dọc theo các đường chéo, chúng ta sẽ đi xung quanh toàn bộ bảng (nghĩa là sớm hay muộn chúng ta sẽ đến bất kỳ số nào).
Vì vậy, chúng tôi đã chỉ ra một cách để đánh số tất cả các số từ + , tức là họ đã chứng minh rằng + đếm được.
Lưu ý rằng phương pháp đánh số này không bảo toàn thứ tự: trong hai số hữu tỉ, số lớn hơn có thể xuất hiện sớm hơn hoặc có thể xuất hiện muộn hơn.
Còn số hữu tỉ âm và số 0 thì sao? Cũng giống như các nhà vũ trụ học và các nhà triết học trong khách sạn vô tận. Hãy đánh số + không phải tất cả các số tự nhiên mà chỉ có các số chẵn (không cho chúng các số 1, 2, 3, ... mà là 2, 4, 6, ...), chúng ta gán số 1 cho số 0 và gán số 1 cho tất cả các số hữu tỉ âm (theo cùng sơ đồ với dương) là số lẻ, bắt đầu bằng 3.
Bây giờ thế là xong số hữu tỉđược đánh số tự nhiên, do đó, đếm được.
Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra: Có lẽ tất cả các tập hợp vô hạn đều đếm được?
Hoá ra là thế --- tập hợp tất cả các điểm trên trục số là tập hợp không đếm được. Kết quả này do Cantor thu được vào thế kỷ trước đã gây ấn tượng rất mạnh đối với các nhà toán học.
Chúng ta hãy chứng minh điều này theo cách tương tự như Cantor đã làm: với sự trợ giúp quá trình chéo.
Như chúng ta đã biết, mỗi số thực x có thể được viết dưới dạng số thập phân:
x=A, 1 2 ... n ...,
Ở đâu MỘT--- một số nguyên, không nhất thiết phải dương mà là 1, 2, ..., n, ... --- số (từ 0 đến 9). Ý tưởng này là mơ hồ: ví dụ,
½=0,50000...=0,49999...
(trong một phiên bản của ký hiệu, bắt đầu từ chữ số thứ hai sau dấu thập phân, chỉ có số 0 và trong phiên bản kia - chỉ có số chín). Để làm cho hồ sơ rõ ràng, trong những trường hợp như vậy, chúng tôi sẽ luôn chọn tùy chọn đầu tiên. Khi đó mỗi số tương ứng với chính xác một trong các ký hiệu thập phân của nó.
Bây giờ chúng ta giả sử rằng chúng ta đã thành công trong việc tính toán lại tất cả các số thực. Sau đó chúng có thể được sắp xếp theo thứ tự:
x 1 =A, 1 2 3 4 ...
x 2 =B, 1 2 3 4 ...
x 3 =C, 1 2 3 4 ...
x 4 =D, 1 2 3 4 ...
Để đi đến mâu thuẫn, hãy xây dựng số sau y, cái mà không được tính, tức là không có trong bảng này.
Đối với bất kỳ số nào Một hãy xác định số như sau:
=
Hãy đặt 
(số này k Chữ số thứ sau dấu thập phân là 1 hoặc 2 tùy vào chữ số nào xuất hiện trên k- vị trí thứ sau dấu thập phân trong ký hiệu thập phân con số xk).
Ví dụ, nếu
x 1 = 2,1345...
x 2 = -3,4215...
x 3 = 10,5146...
x 4 = -13,6781...
.....................
Cái đó =0,2112...
Vì vậy, bằng cách sử dụng quy trình đường chéo, chúng ta có được một số thực y, không trùng với bất kỳ số nào trong bảng, bởi vì y khác với mọi người xkít nhất k chữ số thứ của phần thập phân khai triển, và hồ sơ khác nhau, như chúng ta biết, tương ứng với các số khác nhau.
Chứng minh giả thuyết liên tục có nghĩa là rút ra nó từ những tiên đề này. Bác bỏ nó có nghĩa là chỉ ra rằng nếu nó được thêm vào hệ thống tiên đề này thì sẽ thành ra mâu thuẫn một tập hợp các tuyên bố.
Giải quyết vấn đề
Hoá ra bài toán đầu tiên của Hilbert có lời giải hoàn toàn bất ngờ.
Năm 1963, nhà toán học người Mỹ Paul Cohen đã chứng minh rằng giả thuyết liên tục không thể được chứng minh hay bác bỏ.
Điều này có nghĩa là nếu chúng ta sử dụng hệ tiên đề Zermelo---Frenkel chuẩn ( ZF) và thêm vào đó giả thuyết liên tục như một tiên đề khác, thì hóa ra nhất quán hệ thống phê duyệt. Nhưng nếu để ZF thêm vào sự phủ định giả thuyết liên tục (tức là tuyên bố ngược lại), thì một lần nữa chúng ta nhận được nhất quán hệ thống phê duyệt.
Vì vậy, cả giả thuyết liên tục lẫn sự phủ định của nó đều không nó bị cấm rút khỏi hệ thống tiêu chuẩn tiên đề.
Kết luận này rất tác dụng mạnh và thậm chí còn được phản ánh trong văn học (xem epigraph).
Làm thế nào để đối phó với giả thuyết này? Thông thường nó chỉ đơn giản được gắn vào hệ thống tiên đề Zermelo-Frenkel. Nhưng mỗi khi họ chứng minh điều gì đó dựa trên giả thuyết liên tục, họ phải chỉ ra rằng nó đã được sử dụng trong chứng minh.
Bài toán nổi tiếng thứ hai mà David Hilbert đưa ra năm 1900 tại Paris vào ngày II Đại hội quốc tế các nhà toán học. Vẫn chưa có sự nhất trí trong cộng đồng toán học về việc liệu nó đã được giải quyết hay chưa. Vấn đề nghe có vẻ như thế này: Các tiên đề số học có mâu thuẫn hay không? Kurt Gödel đã chứng minh rằng tính nhất quán của các tiên đề số học không thể được chứng minh từ chính các tiên đề số học (trừ khi số học thực sự không nhất quán). Ngoài Gödel, nhiều người khác nhà toán học xuất sắc xử lý vấn đề này.
Quỹ Wikimedia.
2010.
Bài toán Hilbert thứ mười sáu là một trong 23 bài toán được David Hilbert đề xuất vào ngày 8 tháng 8 năm 1900 tại Đại hội các nhà toán học quốc tế lần thứ hai. Ban đầu, bài toán được gọi là “Bài toán tôpô của các đường cong và bề mặt đại số”... ... Wikipedia
Các bài toán Hilbert là một danh sách gồm 23 bài toán cơ bản trong toán học, được trình bày bởi David Hilbert tại Đại hội các nhà toán học quốc tế lần thứ hai ở Paris năm 1900. Sau đó, những vấn đề này (bao gồm các nền tảng của toán học, đại số, lý thuyết... ... Wikipedia
Bài viết này được đề nghị xóa. Bạn có thể tìm thấy lời giải thích về lý do và cuộc thảo luận tương ứng trên trang Wikipedia: Sẽ bị xóa / ngày 22 tháng 11 năm 2012. Trong khi quá trình thảo luận là ... Wikipedia
Các bài toán Hilbert là một danh sách gồm 23 bài toán cơ bản trong toán học, được trình bày bởi David Hilbert tại Đại hội các nhà toán học quốc tế lần thứ hai ở Paris năm 1900. Rồi những bài toán này (bao gồm các nền tảng của toán học, đại số, lý thuyết số, ... ... Wikipedia
TRONG định nghĩa cổ điển lý thuyết đại số(đôi khi còn gọi là lý thuyết đại số), nghiên cứu về đại số. các biểu thức (đa thức, hàm hữu tỉ hoặc tổ hợp của chúng) thay đổi theo một cách nhất định đối với tuyến tính không suy biến... ... Bách khoa toàn thư toán học
Về lý thuyết hệ thống động và các phương trình vi phân, chu trình giới hạn của trường vectơ trên một mặt phẳng hay nói chung hơn là trên bất kỳ đa tạp hai chiều nào là một quỹ đạo khép kín (định kỳ) của trường vectơ này, trong ... ... Wikipedia
logic- LOGIC (từ tiếng Hy Lạp logik (logos), từ, lý do, lý luận) khoa học về lý luận đúng (đúng). Theo truyền thống, lý luận bao gồm một chuỗi các câu, được gọi là tiền đề, từ đó có một câu duy nhất theo sau... ... Bách khoa toàn thư về nhận thức luận và triết học khoa học
Lý thuyết số là một nhánh của toán học chủ yếu nghiên cứu các số tự nhiên, số nguyên và các tính chất của chúng, thường liên quan đến các phương pháp phân tích toán học và các nhánh khác của toán học. Lý thuyết số chứa đựng nhiều vấn đề... ... Wikipedia
Một nhánh triết học nghiên cứu bản chất của các đối tượng toán học và các vấn đề nhận thức luận về kiến thức toán học. Triết lý Các vấn đề trong toán học có thể được chia thành hai nhóm chính: bản thể học và nhận thức luận. Nhân vật trừu tượng.... Bách khoa toàn thư triết học
- (Định lý Wolstenholme của Anh) phát biểu rằng đối với bất kỳ số nguyên tố nào, việc so sánh được thực hiện ở đâu là hệ số nhị thức trung bình. So sánh tương đương Không rõ số tổng hợp, thỏa mãn định lý Wolstenhall ... Wikipedia
Sách
- Lý thuyết giải tích phương trình vi phân. Tập 1, Ilyashenko Yu.S.. Cuốn sách được đề xuất là tập đầu tiên của bộ chuyên khảo gồm hai tập dành cho lý thuyết phân tích các phương trình vi phân. Phần đầu tiên của tập sách này trình bày lý thuyết hình thức và phân tích...
LỜI NÓI ĐẦU
Bộ sưu tập được cung cấp cho độc giả có văn bản báo cáo nổi tiếng “Các vấn đề toán học” của Hilbert được dịch sang tiếng Nga lần đầu tiên, được trình bày tại Đại hội các nhà toán học quốc tế lần thứ II, tổ chức tại Paris từ ngày 6 đến ngày 12 tháng 8 năm 1900.226 người tham gia Đại hội: 90 người từ Pháp, 25 người từ Đức, 17 người từ Hoa Kỳ, 15 người từ Ý, 13 người từ Bỉ, 9 người từ Nga, 8 người từ Áo và Thụy Sĩ, 7 người từ Anh và Thụy Điển, 4 người từ Thụy Điển từ Đan Mạch, 3 đại biểu từ Hà Lan, Tây Ban Nha và Romania, 2 đại biểu từ Serbia và Bồ Đào Nha, 4 đại biểu từ Nam Mỹ, Thổ Nhĩ Kỳ, Hy Lạp, Na Uy, Canada, Nhật Bản và Mexico mỗi nước cử một đại biểu.
Ngôn ngữ chính của Quốc hội là tiếng Anh, tiếng Pháp, tiếng Đức và tiếng Ý.
Henri Poincaré được bầu làm Chủ tịch Quốc hội, Charles Hermite vắng mặt (1822 - 1901) được bầu làm chủ tịch danh dự, E. Chuber (Vienna), K. Geyser (Zurich), P. Gordan (Erlangen), A. Greenhill (London) được bầu làm phó chủ tịch, L. Lindelof (Helsingfors), F. Lindemann (Munich), G. Mittag-Leffler (Stockholm), vắng mặt E. Moore (Chicago), M. A. Tikhomandritsky (Kharkov), V. Volterra (Turin) , G. Zeiten (Copenhagen), các thư ký của Quốc hội - I. Bendikson (Stockholm), A. Capelli (Naples), G. Minkowski (Zurich), I. L. Ptashitsky (St. Petersburg), và A. Whitehead (Cambridge) vắng mặt ).
E. Duporcq (Paris) được bầu làm Tổng thư ký Quốc hội.
Có sáu phần: 1) số học và đại số (chủ tịch D. Hilbert, thư ký E. Cartan),
Phần thứ 5 và thứ 6 ngồi cạnh nhau.Trong ngày khai mạc Đại hội cuộc họp chung báo cáo dài hai giờ đã diễn ra: M. Cantor “Về lịch sử toán học,” trong đó ông xem xét các công trình về lịch sử toán học, bắt đầu với J. Montucl và G. Libri, và V. Volterra về hoạt động khoa học E. Betti, F. Brioschi và F. Casorati.
Sau đó, các phiên họp đột phá bắt đầu, trong đó 46 báo cáo được đưa ra, trong đó có L. Dixon, G. Mittag-Leffler, D. Gilbert, J. Hadamard, A. Capelli, I. Fredholm, I. Bendixson, V. Volterra và những người khác .
Toán học Nga được đại diện tại Đại hội bằng một thông điệp duy nhất từ M.A. Tikhomandritsky "Về sự biến mất của chức năng N nhiều biến số."
Tại cuộc họp chung cuối cùng, G. Mittag-Leffler đã phát biểu, người đã nói về những năm gần đây cuộc đời của Weierstrass theo những bức thư ông gửi cho S.V. Kovalevskaya, và A. Poincaré, người đã viết báo cáo “Về vai trò của trực giác và logic trong toán học.”
Đây là cách Đại hội diễn ra, vào ngày 8 tháng 8, tại cuộc họp chung của phần 5 và phần 6, D. Hilbert đã đọc báo cáo “Các vấn đề toán học” của mình.
Như D. Sintsov* viết, “Thông điệp của Hilbert đã gây ra một số bình luận từ những người có mặt, họ chỉ ra rằng một số vấn đề mà Hilbert liệt kê đã được họ giải quyết hoàn toàn hoặc một phần”**. Vào thời điểm đó, Hilbert, giáo sư 38 tuổi tại Göttingen, đã được biết đến rộng rãi nhờ công trình nghiên cứu về lý thuyết bất biến và lý thuyết số đại số. Năm 1899, cuốn “Cơ sở hình học” nổi tiếng của ông được xuất bản, đánh dấu một kỷ nguyên về nền tảng của toán học. Tính linh hoạt đáng kinh ngạc và sức mạnh tổng quát của tài năng của Gilbert cho phép anh dễ dàng điều hướng khu vực khác nhau toán học, hầu hết trong số đó ông đều đạt được kết quả xuất sắc và đặt ra một số vấn đề quan trọng.
* D. M. Sintsov, Đại hội toán học quốc tế lần thứ hai, Vật lý-Toán học. Khoa học (2) 1, số 5 (1901), 129-137.
** Có lẽ số vấn đề trong văn bản gốc của báo cáo đã vượt quá 23 vấn đề.
Những vấn đề thú vị nhất, theo Hilbert, là “nghiên cứu về nó có thể kích thích đáng kể sự phát triển hơn nữa của khoa học”,Đây là những gì ông gợi ý cho các nhà toán học trong báo cáo của mình. Hai phần ba thế kỷ đã trôi qua kể từ đó. Các vấn đề của Hilbert vẫn còn phù hợp trong suốt thời kỳ này; những nhà toán học tài năng nhất. Sự phát triển các ý tưởng liên quan đến nội dung của các bài toán này đã chiếm một phần quan trọng của toán học trong thế kỷ 20.
Việc dịch phần chính của báo cáo (không bao gồm nội dung của các vấn đề thứ 15 và 23 và phần kết luận) được thực hiện bởi M. G. Shestopal từ văn bản xuất bản trong Gottinger Nachrichten (1900, 253-297), và được I. N. Bronstein và I. M. Yaglom, người đã thực hiện một số sửa đổi và thay đổi về mặt biên tập đối với nó. Nội dung của vấn đề thứ 15 và 23, cũng như phần cuối cùng của báo cáo, được dịch bởi A. V. Dorofeeva. Bản dịch bao gồm những phần bổ sung do Hilbert thực hiện cho việc xuất bản một báo cáo nằm trong tập thứ ba của Tuyển tập Tác phẩm của ông (Gesammelte Abhandlungen, Berlin, Springer, 1932-1935) - trong văn bản chúng được đặt trong ngoặc vuông. Bản dịch đã được kiểm tra bằng Bản dịch tiếng Anh(Bull. Amer. Math. Soc. 8, No. 10 (1902), 403-479), cũng với bản dịch được thực hiện tại văn phòng lịch sử toán học và cơ học của Đại học Tổng hợp Moscow bởi A. V. Dorofeeva và M. V. Chirikov * .
* Bản dịch này đóng vai trò là sự khởi đầu cho công việc phân tích lịch sử và toán học về các vấn đề của Hilbert, được thực hiện tại văn phòng lịch sử toán học và cơ học của Đại học quốc gia Moscow dưới sự hướng dẫn của giáo sư. K. A. Rybnikova.
Một khó khăn được biết đến là việc dịch một số thuật ngữ toán học cũ. Trong một số trường hợp, thuật ngữ tiếng Đức được đặt trong ngoặc đơn bên cạnh bản dịch và trong một trường hợp, thuật ngữ (Polarenprocess) không được dịch. Các dịch giả đã làm việc chăm chỉ để truyền tải đến độc giả Nga ngôn ngữ đặc biệt, đôi khi thậm chí thảm hại trong báo cáo của Hilbert. Các tác giả của các bình luận về vấn đề vui lòng đồng ý xem xét bản dịch của các vấn đề liên quan và thực hiện một số chỉnh sửa đáng kể.
Đánh giá ý nghĩa nổi bật mà báo cáo của Hilbert có vai trò đối với toán học trong thế kỷ 20. Chúng tôi hy vọng sẽ cho phép nhận xét về các vấn đề tạo nên phần thứ hai của bộ sưu tập. Việc tạo ra những bài bình luận như vậy, bao gồm một cái nhìn tổng quan về các kết quả chính đạt được theo hướng giải quyết các vấn đề của Hilbert, đã được thực hiện bởi từng tác giả *. Tuy nhiên, công việc thuộc loại này với sự tham gia của các chuyên gia nổi tiếng trong các lĩnh vực toán học liên quan đang được thực hiện, theo như chúng tôi biết, lần đầu tiên.
* L. Bieberbach, Dber die Einfluss von Hilbert Pariser Vortrag liber "Mathematische probleme", auf die Entwicklung der Matbematik in den letzen dreissig Jabren, Naturwissenschaften 18 (1930), 1101-1111; S. S. Demidov, Về lịch sử các vấn đề của Hilbert. IMI, tập. 17, "Khoa học", 1967, 91-121.
Việc xuất bản cuốn sách này đã được tạo điều kiện thuận lợi rất nhiều nhờ sự quan tâm và giúp đỡ của nhiều người, trong số đó cần phải kể đến những người tham gia hội thảo về lịch sử toán học và cơ học của Đại học Tổng hợp Moscow, đặc biệt là những người đứng đầu trường, Giáo sư I.G. Bashmkov, K.A. Rybnikova, A.P. Yushkevich, cố S.A. Yanovskaya, đồng thời là nhân viên của Viện Toán học mang tên V.A. Viện Hàn lâm Khoa học Steklov Liên Xô A.N. Parshin, người đã đưa ra lời khuyên và giúp đỡ rất nhiều để cải thiện việc xuất bản.
S. S. Demidov
MỘT VÀI TỪ VỀ VẤN ĐỀ CỦA HILBERT
Tại Đại hội Toán học Quốc tế ở Paris năm 1900, nhà toán học xuất sắc người Đức David Hilbert đã có bài thuyết trình với tựa đề “Các bài toán”. Báo cáo này sau đó đã được xuất bản nhiều lần dưới dạng nguyên bản và bản dịch *; Ấn bản mới nhất của bản gốc được tìm thấy trong tập thứ ba trong bộ sưu tập các tác phẩm của Gilbert **.* Xuất bản lần đầu trên Arcbiv f. Toán học. u Phys., Ill series, 1 (1901), 44-63, 213-237.
** D. Hilbert, Gesammelte Abhandlungen, tập.
Bản dịch tiếng Nga của báo cáo của Gilbert được in ở các trang tiếp theo.
Cả trước báo cáo năm 1900 của Hilbert lẫn sau báo cáo này, theo như tôi biết, các nhà toán học đều không đưa ra được báo cáo khoa học, bao gồm các vấn đề toán học nói chung *. Vì vậy, báo cáo của Hilbert hóa ra là một hiện tượng hoàn toàn độc đáo trong lịch sử toán học và văn học toán học. Và bây giờ, gần 70 năm sau khi Hilbert đưa ra báo cáo của mình, nó vẫn giữ được sự quan tâm và ý nghĩa.
* Báo cáo của nhà toán học Mỹ J. von Neumann tại Đại hội Toán học Quốc tế ở Amsterdam năm 1954 không phải là sự bác bỏ nhận định này: đúng là báo cáo của von Neumann có tên là “Những vấn đề chưa giải quyết được trong Toán học”, nhưng diễn giả đã bắt đầu báo cáo của mình với tuyên bố rằng ông sẽ coi việc bắt chước sự điên rồ Hilbert nói về các vấn đề của toán học nói chung, nhưng dự định chỉ giới hạn bản thân ở các vấn đề trong một số lĩnh vực toán học (chủ yếu là các lĩnh vực gần với giải tích hàm). Báo cáo của Von Neumann đã không được xuất bản - điều duy nhất được công bố về nó trong Kỷ yếu của Quốc hội Amsterdam là bản thảo của báo cáo không được cung cấp cho các nhà xuất bản; hình như nó không tồn tại Vì vậy, bản báo cáo này hiện chỉ có thể được đánh giá dựa trên hồi ức của những người đã nghe nó.
Hilbert có ảnh hưởng đặc biệt đến toàn bộ sự phát triển của toán học hiện đại, bao trùm hầu hết mọi lĩnh vực của tư duy toán học; điều này được giải thích bởi thực tế rằng Hilbert là một nhà toán học trong đó sức mạnh của tư duy toán học được kết hợp với bề rộng và tính linh hoạt hiếm có. Có thể nói, tính linh hoạt này hoàn toàn có ý thức: Hilbert liên tục nhấn mạnh rằng toán học là thống nhất, rằng các bộ phận khác nhau của nó luôn tương tác với nhau và với các khoa học tự nhiên, và rằng trong sự tương tác này không chỉ là chìa khóa để hiểu bản chất bản thân toán học, mà còn phương thuốc tốt nhất chống lại sự phân chia toán học thành những phần riêng biệt, không liên kết với nhau - một mối nguy hiểm trong thời đại chúng ta có sự tăng trưởng về số lượng rất lớn và sự chuyên môn hóa đáng sợ của nghiên cứu toán học
liên tục khiến bạn phải suy nghĩ về bản thân. VỚI sức mạnh to lớn và Hilbert nói với niềm tin chắc chắn, đặc biệt là ở phần cuối của báo cáo đáng chú ý của ông, về bản chất tổng thể của toán học như là nền tảng của mọi kiến thức khoa học tự nhiên chính xác. Niềm tin của ông về điều này phần lớn đóng vai trò là chủ đề chỉ đạo của toàn bộ báo cáo này và chắc chắn là trong nhiều trường hợp đã hướng dẫn tác giả trong việc lựa chọn các vấn đề toán học mà ông đưa ra.Báo cáo bắt đầu bằng một phần giới thiệu chung thú vị, tôi có thể nói là đầy cảm hứng, không chỉ nói về tầm quan trọng đối với toán học của một vấn đề đặc biệt “được đặt ra hợp lý”, mà còn đưa ra những nhận định về tính chặt chẽ của toán học, về mối liên hệ của toán học với khoa học tự nhiên và về những thứ khác liên quan đến mọi nhà toán học tích cực suy nghĩ về khoa học của mình. Khi kết thúc phần giới thiệu này, Hilbert, với sự khác biệt và niềm tin nổi bật, đã trình bày luận điểm chính của mình, “tiên đề” về khả năng quyết định trong theo nghĩa rộng Lời nói của bất kỳ vấn đề toán học nào cũng là một luận đề, nội dung của nó là niềm tin sâu sắc vào sức mạnh vô hạn của tri thức con người và một cuộc đấu tranh không thể hòa giải chống lại mọi thuyết bất khả tri - chống lại những điều phi lý. "Người ngu dốt" *, như Gilbert nói ở nơi khác.
* "Người ngu dốt"(lat.) - "chúng ta sẽ không biết"- một trong bài phát biểu nổi tiếng nhà sinh lý học E. Dubois-Reymond kết thúc (như áp dụng cho một số câu hỏi khoa học chưa rõ ràng) bằng câu cảm thán: “Ignoramus et ignorabimus” - chúng ta không biết và sẽ không biết!
Tiếp theo là vấn đề của chính họ. Họ bắt đầu với lý thuyết tập hợp (bài toán liên tục) và nền tảng của toán học, chuyển sang nền tảng của hình học, lý thuyết nhóm liên tục (bài toán thứ năm nổi tiếng về việc giải phóng khái niệm nhóm liên tục khỏi yêu cầu về khả vi) , đến lý thuyết số, đại số và hình học đại số và kết thúc bằng phân tích (phương trình vi phân, đặc biệt là đạo hàm riêng, phép tính biến phân). Một nơi đặc biệt chiếm lĩnh vấn đề thứ sáu - về tiên đề của lý thuyết xác suất và cơ học.
Về bản chất, các vấn đề của Hilbert rất không đồng nhất. Đôi khi đây là một câu hỏi được đặt ra cụ thể mà người ta tìm kiếm câu trả lời rõ ràng - có hoặc không - chẳng hạn như bài toán hình học thứ ba hoặc bài toán số học thứ bảy về số siêu việt. Đôi khi vấn đề được đặt ra ít rõ ràng hơn, chẳng hạn như trong vấn đề thứ mười hai (Hilbert đặc biệt chú ý đến nó). quan trọng), trong đó cần phải tìm cả dạng tổng quát của định lý Kronecker và lớp hàm tương ứng sẽ thay thế các hàm mũ và hàm mô đun.
Vấn đề thứ mười lăm về bản chất là vấn đề chứng minh toàn bộ lý thuyết về đa tạp đại số.
Đôi khi vấn đề dưới con số này thực sự chứa đựng một số vấn đề khác nhau, mặc dù có liên quan chặt chẽ với nhau. Cuối cùng, vấn đề thứ hai mươi ba về bản chất là vấn đề phát triển hơn nữa của phép tính biến phân.
Bây giờ, nhiều năm sau khi Hilbert đặt ra các vấn đề của mình, chúng ta có thể nói rằng chúng đã được đặt ra rất tốt. Chúng hóa ra là một đối tượng thích hợp để tập trung nỗ lực sáng tạo của các nhà toán học ở nhiều lĩnh vực khác nhau. hướng khoa học và trường học. Những nỗ lực này là gì và chúng đã dẫn đến kết quả gì, vấn đề nào của Hilbert đã được giải quyết và vấn đề nào chưa - người đọc có thể tìm hiểu về điều này, mặc dù không đầy đủ chi tiết, từ các nhận xét cho đến những vấn đề này.
Bản chất của những nhận xét này có phần không đồng nhất (phần lớn do bản chất của vấn đề quyết định) - một số nhận xét trong số đó có thể được hiểu bởi người đọc quen với toán học trong hai khóa đầu tiên của khoa cơ-toán học hoặc khoa vật lý-toán học của các trường đại học hoặc các viện sư phạm, trong khi một số khác lại yêu cầu trình độ toán học khá cao. Tôi nghĩ, trong mọi trường hợp, người đọc sẽ biết ơn tác giả của các bình luận,
điều này đã tạo điều kiện thuận lợi đáng kể cho việc làm quen với công trình thực sự xuất sắc của văn học toán học nói chung đó là báo cáo của Hilbert; Ngoài ra, từ những nhận xét, đối với tôi, dường như người ta có thể hiểu được tác động của báo cáo này đối với sự phát triển hơn nữa của toán học.P. S. Alexandrov
Ai trong chúng ta lại không muốn vén bức màn che giấu tương lai của mình để có thể nhìn thấu ít nhất một cái nhìn vào những thành công sắp tới về kiến thức của chúng ta và những bí mật phát triển của nó trong những thế kỷ tới? Những mục tiêu đặc biệt mà những bộ óc toán học hàng đầu của thế hệ tiếp theo sẽ đặt ra cho mình là gì? Những phương pháp mới và sự kiện mới nào sẽ được khám phá trong thế kỷ mới trên lĩnh vực tư tưởng toán học rộng lớn và phong phú?
Lịch sử dạy rằng sự phát triển của khoa học là liên tục. Chúng ta biết rằng mỗi thời đại đều có những vấn đề riêng mà thời đại sau sẽ giải quyết hoặc gạt sang một bên vì vô ích để thay thế chúng bằng những vấn đề mới. Để tưởng tượng bản chất có thể của sự phát triển kiến thức toán học trong tương lai gần, chúng ta phải lật lại trong trí tưởng tượng của mình những câu hỏi vẫn còn bỏ ngỏ, khảo sát những vấn đề đặt ra khoa học hiện đại và các giải pháp mà chúng tôi mong đợi trong tương lai. Đối với tôi, việc xem xét lại các vấn đề như vậy ngày nay, vào đầu thế kỷ mới, là đặc biệt hợp thời. Suy cho cùng, những cuộc hẹn hò trọng đại không chỉ khiến chúng ta nhìn lại quá khứ mà còn hướng suy nghĩ của chúng ta về một tương lai không xác định.
Không thể phủ nhận ý nghĩa sâu sắc của một số vấn đề nhất định đối với sự tiến bộ của khoa học toán học nói chung và vai trò quan trọng, mà họ đóng vai trò trong công việc của một nhà nghiên cứu cá nhân. Bất kỳ lĩnh vực khoa học nào cũng có thể tồn tại được miễn là nó có vô số vấn đề mới. Thiếu những vấn đề mới có nghĩa là tàn lụi hoặc ngừng lại phát triển độc lập. Cũng giống như nói chung mọi nỗ lực của con người đều gắn liền với mục tiêu này hay mục tiêu khác, sự sáng tạo toán học cũng gắn liền với việc hình thành các vấn đề. Sức mạnh của nhà nghiên cứu được học từ việc giải quyết vấn đề: anh ta tìm ra những phương pháp mới, những quan điểm mới, anh ta mở ra những chân trời rộng lớn và tự do hơn.
Rất khó và thường là không thể đánh giá trước một cách chính xác tầm quan trọng của một nhiệm vụ cụ thể; vì cuối cùng giá trị của nó sẽ được quyết định bởi những lợi ích mà nó mang lại cho khoa học. Điều này đặt ra câu hỏi: Có đặc điểm chung nào mô tả một bài toán hay không?
Một nhà toán học già người Pháp đã nói: “ Lý thuyết toán học chỉ có thể được coi là hoàn hảo khi bạn đã nói rõ ràng đến mức bạn cam kết giải thích nội dung của nó cho người đầu tiên bạn gặp." Yêu cầu về sự rõ ràng và dễ tiếp cận này, được nêu rõ ở đây liên quan đến một lý thuyết toán học, tôi sẽ thậm chí còn đặt vấn đề rõ ràng hơn trong mối quan hệ với một vấn đề toán học, nếu xét cho cùng thì nó vẫn được cho là hoàn hảo, sự rõ ràng và dễ tiếp cận sẽ thu hút chúng ta, trong khi sự phức tạp và nhầm lẫn sẽ đẩy lùi chúng ta.
Hơn nữa, một bài toán phải khó đến mức có thể thu hút chúng ta, đồng thời không hoàn toàn không thể tiếp cận được, để không khiến nỗ lực của chúng ta trở nên vô vọng; nó phải là dấu hiệu dẫn đường trên những con đường rối rắm dẫn đến những sự thật bị che giấu; và sau đó cô ấy nên thưởng cho chúng tôi niềm vui tìm ra giải pháp.
Các nhà toán học của thế kỷ trước đã cống hiến hết mình với lòng nhiệt thành để giải quyết các vấn đề khó khăn của từng cá nhân; họ biết giá trị của một nhiệm vụ khó khăn. Tôi sẽ chỉ nhớ lại câu chuyện của Johann Bernoulli bài toán về đường rơi nhanh nhất. Bernoulli nói khi công bố nhiệm vụ của mình: “Như kinh nghiệm cho thấy, không có gì thúc đẩy mạnh mẽ những trí tuệ cao siêu làm việc để làm phong phú kiến thức bằng việc xây dựng một câu hỏi khó và đồng thời”. nhiệm vụ hữu ích"Và vì vậy anh ấy hy vọng nhận được lòng biết ơn thế giới toán học, nếu anh ta, theo gương của những người như Mersenne, Pascal, Fermat, Viviani và những người khác (trước anh ta) cũng làm như vậy, đề xuất vấn đề với các nhà phân tích xuất sắc cùng thời với anh ta, để họ có thể kiểm tra nó như một tiêu chuẩn giá trị của phương pháp của bạn và đo lường điểm mạnh của bạn. Phép tính biến phân có nguồn gốc từ bài toán Bernoulli này và các bài toán tương tự khác.
Phát biểu nổi tiếng của Fermat là phương trình Diophantine
x n + y n = z n
không thể giải quyết được trong số nguyên x, y, z, trừ một số ngoại lệ rõ ràng. Vấn đề chứng minh tính bất định nàyđưa ra một ví dụ nổi bật về tác động kích thích mà một vấn đề đặc biệt và thoạt nhìn có thể coi là không đáng kể đối với khoa học. Vì, được thúc đẩy bởi bài toán Fermat, Kummer đã đi đến việc đưa ra các số lý tưởng và khám phá ra một định lý về sự phân tích duy nhất các số trong trường cyclotomic thành các số lý tưởng. thừa số nguyên tố- một định lý, nhờ sự khái quát hóa cho bất kỳ miền số đại số nào mà Dedekind và Kronecker thu được, hiện nay là trung tâm của lý thuyết hiện đại các con số và tầm quan trọng của nó vượt xa lý thuyết số trong lĩnh vực đại số và lý thuyết hàm số.
Hãy để tôi nhắc bạn về một vấn đề thú vị khác - vấn đề ba cơ thể. Thực tế là Poincaré đã tiến hành một nghiên cứu mới và nâng cao đáng kể quan điểm này nhiệm vụ khó khăn, đã dẫn đến những phương pháp hiệu quả và những nguyên tắc có ảnh hưởng sâu rộng được các nhà khoa học này đưa vào cơ học thiên thể, những phương pháp và nguyên tắc hiện đã được công nhận và áp dụng trong thiên văn học thực tế.
Cả hai bài toán được đề cập - bài toán Fermat và bài toán ba vật -, trong kho bài toán của chúng ta, đều như thể đối lập nhau: cực đầu tiên tượng trưng cho thành tựu tự do lý do thuần túy, thuộc lĩnh vực lý thuyết số trừu tượng, lý thuyết thứ hai được thiên văn học đưa ra và cần thiết cho kiến thức về những hiện tượng cơ bản đơn giản nhất của tự nhiên.
Tuy nhiên, điều đó thường xảy ra giống nhau vấn đề đặc biệt xuất hiện trong các lĩnh vực rất khác nhau của toán học. Vì thế, vấn đề đường ngắn nhấtđóng một vai trò lịch sử và cơ bản quan trọng đồng thời trong nền tảng của hình học, trong lý thuyết về đường cong và bề mặt, trong cơ học và trong phép tính biến phân. Và như F. Klein đã chứng minh một cách thuyết phục trong cuốn sách về khối hai mươi mặt *, bài toán về khối đa diện đềuđồng thời là quan trọng đối với hình học cơ bản, lý thuyết nhóm, lý thuyết đại số và lý thuyết phương trình vi phân tuyến tính!
* F. Klein, Vorlesungen uber das Ikosaeder und die Auflosung der Gleichungen von funften Grade, Leipzig, 1884.- Ghi chú biên tập.
Để làm nổi bật tầm quan trọng vấn đề cá nhân, Tôi cũng sẽ cho phép mình đề cập đến Weierstrass, người coi đó là một thành công lớn đối với bản thân khi sự kết hợp của các hoàn cảnh đã cho phép anh ấy giải quyết một vấn đề quan trọng như vậy khi bắt đầu sự nghiệp khoa học của mình, giống như bài toán Jacobi về phép nghịch đảo của tích phân elip.
Sau khi chúng tôi đã xem xét ý nghĩa chung các vấn đề trong toán học, chúng ta hãy chuyển sang câu hỏi toán học rút ra các vấn đề của nó từ nguồn nào. Không còn nghi ngờ gì nữa, những vấn đề đầu tiên và lâu đời nhất của mỗi lĩnh vực tri thức toán học đều nảy sinh từ kinh nghiệm và được thế giới hiện tượng bên ngoài trình bày cho chúng ta. Ngay cả các quy tắc đếm với số nguyên cũng được phát hiện ở giai đoạn đầu dọc theo con đường này. phát triển văn hóa của nhân loại, giống như bây giờ một đứa trẻ học cách áp dụng những quy tắc này phương pháp thực nghiệm. Điều tương tự cũng áp dụng cho các bài toán đầu tiên của hình học - các bài toán nhân đôi hình lập phương, bình phương hình tròn, những bài toán đã đến với chúng ta từ thời cổ đại, cũng như các bài toán về nhân đôi hình lập phương, bình phương hình tròn. vấn đề lâu đời nhất lý thuyết về phương trình số, lý thuyết về đường cong, phép tính vi phân và tích phân, phép tính biến phân, lý thuyết chuỗi Fourier và lý thuyết thế năng, chưa kể đến vô số vấn đề trong cơ học, thiên văn học và vật lý.
Với sự phát triển hơn nữa của bất kỳ bộ môn toán học nào, tâm trí con người, được khuyến khích bởi thành công, đã thể hiện tính độc lập; bản thân anh ấy đặt ra những vấn đề mới và hiệu quả, thường không có ảnh hưởng đáng chú ý thế giới bên ngoài, chỉ với sự trợ giúp của sự so sánh logic, khái quát hóa, chuyên môn hóa, phân chia và nhóm các khái niệm thành công, và sau đó chính anh ta xuất hiện như một tuyên bố về các vấn đề. Đây là cách họ phát sinh vấn đề về số nguyên tố và các vấn đề khác của số học, lý thuyết Galois, lý thuyết bất biến đại số, lý thuyết hàm Abelian và hàm tự đẳng cấu, và gần như đã phát sinh nói chung. tất cả các câu hỏi tinh tế của lý thuyết số và lý thuyết hàm hiện đại.
Trong khi đó, trong quá trình hoạt động sức mạnh sáng tạo tư duy thuần túy, thế giới bên ngoài một lần nữa khẳng định quyền lợi của mình: nó đặt ra cho chúng ta những câu hỏi mới bằng những dữ kiện thực tế của nó và mở ra cho chúng ta những lĩnh vực kiến thức toán học mới. Và trong quá trình đưa những lĩnh vực kiến thức mới này vào lĩnh vực tư duy thuần túy, chúng ta thường tìm ra câu trả lời cho những vấn đề cũ chưa được giải quyết và bằng cách này, tốt nhất là phát triển các lý thuyết cũ. Đối với tôi, dường như dựa trên sự lặp đi lặp lại và thay đổi liên tục này của trò chơi giữa tư duy và kinh nghiệm, dựa trên vô số sự tương đồng nổi bật và sự hài hòa dường như đã được thiết lập trước mà nhà toán học thường phát hiện ra trong các vấn đề, phương pháp và khái niệm thuộc các lĩnh vực kiến thức khác nhau.
Chúng ta hãy tập trung ngắn gọn vào câu hỏi đâu là những yêu cầu chung mà chúng ta có quyền đưa ra để giải một bài toán. Ý tôi là trước hết các yêu cầu giúp có thể xác minh tính đúng đắn của câu trả lời bằng cách sử dụng số hữu hạn kết luận và hơn nữa, trên cơ sở một số tiền đề hữu hạn làm cơ sở cho từng nhiệm vụ và phải được hình thành một cách chính xác trong từng trường hợp. Yêu cầu suy luận logic với sự trợ giúp của số lượng kết luận hữu hạn này không gì khác hơn là yêu cầu về tính chính xác của bằng chứng. Quả thực, yêu cầu về tính chặt chẽ, vốn đã trở thành tục ngữ trong toán học, tương ứng với nhu cầu triết học chung của tâm trí chúng ta; mặt khác, chỉ việc thực hiện yêu cầu này mới dẫn đến việc xác định được ý nghĩa đầy đủ về bản chất của nhiệm vụ và kết quả của nó. Một nhiệm vụ mới, đặc biệt nếu nó được tạo ra bởi các hiện tượng của thế giới bên ngoài, giống như một chồi non chỉ có thể phát triển và kết trái nếu được chăm sóc cẩn thận và tuân theo các quy tắc nghiêm ngặt của nghệ thuật làm vườn trên thân cây già. - nền tảng vững chắc của kiến thức toán học của chúng tôi.
Sẽ sai lầm lớnđồng thời nghĩ rằng sự chặt chẽ trong chứng minh là kẻ thù của sự đơn giản. Vô số ví dụ thuyết phục chúng ta điều ngược lại: các phương pháp nghiêm ngặt đồng thời là đơn giản nhất và dễ tiếp cận nhất. Mong muốn về sự chính xác dẫn đến việc tìm kiếm những bằng chứng đơn giản nhất. Mong muốn tương tự này thường mở đường cho các phương pháp tỏ ra hiệu quả hơn các phương pháp cũ, ít nghiêm ngặt hơn. Như vậy, lý thuyết về đường cong đại số, nhờ có thêm phương pháp nghiêm ngặt lý thuyết về chức năng của một biến phức tạp và việc sử dụng các phương tiện siêu việt một cách thích hợp đã được đơn giản hóa đáng kể và đạt được tính toàn vẹn cao hơn. Hơn nữa, bằng chứng về tính hợp pháp của việc áp dụng bốn phép tính số học cơ bản cho chuỗi lũy thừa, cũng như vi phân và tích phân từng số hạng của các chuỗi này và sự công nhận chuỗi lũy thừa dựa trên điều này. [như một công cụ để phân tích toán học - P.A. ], chắc chắn đã đơn giản hóa rất nhiều toàn bộ quá trình phân tích, đặc biệt là lý thuyết loại trừ và lý thuyết phương trình vi phân (cùng với các định lý tồn tại của nó).
Nhưng một ví dụ đặc biệt nổi bật minh họa quan điểm của tôi là phép tính biến phân. Việc nghiên cứu các biến thể thứ nhất và thứ hai của tích phân xác định đã dẫn tới những phép tính cực kỳ phức tạp, và các nghiên cứu tương ứng của các nhà toán học cũ thiếu đi sự chặt chẽ cần thiết. Weierstrass đã chỉ cho chúng ta con đường dẫn tới một nền tảng mới và hoàn toàn đáng tin cậy cho phép tính biến phân. Sử dụng ví dụ đơn giản và tích phân kép Tôi sẽ phác thảo ngắn gọn ở cuối báo cáo của mình rằng việc đi theo con đường này đồng thời dẫn đến sự đơn giản hóa đáng kinh ngạc trong phép tính các biến phân do thực tế là để thiết lập các tiêu chí cần và đủ cho giá trị tối đa và tối thiểu, việc tính toán biến thể thứ hai trở nên không cần thiết và thậm chí loại bỏ một phần nhu cầu suy luận tẻ nhạt liên quan đến biến thể đầu tiên. Tôi thậm chí không nói về những lợi thế phát sinh từ thực tế là không cần chỉ xem xét những biến thể mà giá trị đạo hàm của các hàm thay đổi không đáng kể.
Trình bày cho giải pháp đầy đủ vấn đề về yêu cầu tính chặt chẽ trong chứng minh, mặt khác, tôi muốn bác bỏ quan điểm cho rằng lý luận hoàn toàn chặt chẽ chỉ áp dụng được cho các khái niệm phân tích hoặc thậm chí chỉ riêng số học. Tôi coi quan điểm này, đôi khi được những bộ óc xuất chúng ủng hộ, là hoàn toàn sai lầm. Cách giải thích một chiều như vậy về yêu cầu chặt chẽ sẽ nhanh chóng dẫn đến việc bỏ qua mọi khái niệm nảy sinh từ hình học, cơ học, vật lý và làm dừng dòng chảy của [đến toán học - P.A. ] chất liệu mới từ thế giới bên ngoài và cuối cùng thậm chí dẫn đến việc bác bỏ khái niệm về số liên tục và số vô tỉ. Có dây thần kinh quan trọng nào quan trọng hơn dây thần kinh sẽ bị cắt khỏi toán học nếu hình học và vật lý toán học bị loại bỏ khỏi nó không? Ngược lại, tôi tin rằng bất cứ khi nào các khái niệm toán học bắt nguồn từ lý thuyết tri thức hoặc trong các lý thuyết hình học hoặc khoa học tự nhiên, toán học sẽ phải đối mặt với nhiệm vụ nghiên cứu các nguyên tắc cơ bản của các khái niệm này và do đó chứng minh các khái niệm này với sự trợ giúp của một cách đầy đủ và chính xác. các hệ thống tiên đề đơn giản sao cho độ chặt chẽ của các khái niệm mới và khả năng áp dụng chúng vào diễn dịch không hề thua kém các khái niệm số học cũ.
Các khái niệm mới cũng bao gồm các chỉ định mới. Chúng tôi chọn chúng theo cách sao cho chúng giống với những hiện tượng được coi là lý do hình thành các khái niệm này. Vì vậy, các hình hình học là những hình ảnh gợi nhớ các khái niệm không gian và do đó được tất cả các nhà toán học sử dụng. Ai không kết nối với hai bất đẳng thức a>b>c giữa ba đại lượng một, b, c, hình ảnh của bộ ba nằm thẳng hàng và người bạn tiếp theođằng sau nhau các điểm như một cách giải thích hình học của khái niệm “giữa”? Ai lại không sử dụng hình ảnh các đoạn thẳng và hình chữ nhật lồng vào nhau nếu cần tiến hành chứng minh đầy đủ và chặt chẽ một định lý khó về tính liên tục của hàm số hoặc sự tồn tại của một điểm giới hạn? Ai có thể làm được nếu không có hình tam giác, hình tròn có tâm cho trước hoặc không có bộ ba trục vuông góc với nhau? Hoặc ai muốn từ bỏ hình ảnh của một trường vectơ hoặc một họ đường cong, hoặc các bề mặt có đường bao của chúng - những khái niệm đóng vai trò thiết yếu như vậy trong hình học vi phân, trong lý thuyết phương trình vi phân, trong nền tảng của phép tính biến phân và trong các lĩnh vực kiến thức toán học thuần túy khác?
Ký hiệu số học là các hình hình học được viết, còn hình hình học là các công thức được vẽ, và không nhà toán học nào có thể làm được nếu không có những công thức được vẽ này, cũng như ông không thể từ chối đặt trong ngoặc hoặc mở chúng hoặc sử dụng các dấu giải tích khác khi tính toán .
Việc sử dụng các hình hình học như một phương tiện chứng minh chặt chẽ đòi hỏi phải có kiến thức chính xác và hoàn toàn thông thạo các tiên đề làm nền tảng cho lý thuyết về các hình này, và do đó, để những hình hình học này được đưa vào kho tàng dấu hiệu toán học chung, cần phải có một nghiên cứu tiên đề nghiêm ngặt về nội dung trực quan của chúng.
Cũng như khi cộng hai số, bạn không thể ký các chữ số của các số hạng theo thứ tự sai, nhưng bạn phải tuân thủ nghiêm ngặt các quy tắc, tức là các tiên đề số học chi phối các phép tính số học, do đó các phép tính trên ảnh hình học được xác định bởi các tiên đề làm nền tảng cho các phép tính hình học đó. khái niệm và mối liên hệ giữa chúng.
Sự giống nhau giữa tư duy hình học và số học còn được thể hiện ở chỗ trong nghiên cứu số học, chúng ta, cũng giống như trong việc xem xét hình học, truy tìm chuỗi suy luận logic đến tận cùng, ngay đến các tiên đề. Ngược lại, đặc biệt là trong cách tiếp cận vấn đề đầu tiên, trong số học, cũng giống như trong hình học, trước tiên chúng ta sử dụng một số kết hợp thoáng qua, vô thức, không hoàn toàn rõ ràng, dựa trên sự tin tưởng vào một số bản năng số học, vào tính hiệu quả của các ký hiệu số học, - không có điều đó chúng ta không thể tiến bộ trong số học cũng như chúng ta không thể tiến bộ trong hình học nếu không dựa vào sức mạnh của trí tưởng tượng hình học. Một ví dụ về lý thuyết số học hoạt động một cách chặt chẽ với khái niệm hình học và các dấu hiệu * có thể đóng vai trò là tác phẩm “Hình học của các con số” của Minkowski **.
** Leipzig, 1896.
Chúng ta hãy đưa ra một vài nhận xét nữa về những khó khăn mà các bài toán có thể gặp phải và cách khắc phục những khó khăn này.
Nếu chúng ta không tìm được lời giải cho một bài toán, lý do của điều này thường là do chúng ta chưa có được một quan điểm đủ tổng quát mà từ đó bài toán đang được xem xét dường như chỉ là một mắt xích riêng biệt trong một chuỗi các bài toán có liên quan. Khi tìm ra quan điểm này, chúng ta thường không chỉ làm cho vấn đề nhất định trở nên dễ tiếp cận hơn trong nghiên cứu mà còn nắm vững được phương pháp áp dụng cho các vấn đề liên quan. Các ví dụ bao gồm tích phân dọc theo đường cong do Cauchy đưa vào lý thuyết tích phân xác định và việc Kummer thiết lập khái niệm lý tưởng trong lý thuyết số. Cách tìm các phương pháp tổng quát này là thuận tiện và đáng tin cậy nhất, bởi vì nếu người ta đang tìm kiếm các phương pháp tổng quát mà không có bất kỳ nhiệm vụ cụ thể nào trong đầu, thì những tìm kiếm này phần lớn là vô ích.
Tôi tin rằng trong việc nghiên cứu các vấn đề toán học, chuyên môn hóa đóng vai trò quan trọng hơn cả khái quát hóa. Có thể trong hầu hết các trường hợp, khi chúng ta tìm kiếm câu trả lời cho một câu hỏi trong vô vọng, nguyên nhân thất bại của chúng ta là do những bài toán đơn giản và dễ hơn bài này vẫn chưa được giải hoặc chưa được giải quyết hoàn toàn. Sau đó, toàn bộ vấn đề là tìm ra những vấn đề dễ dàng hơn và thực hiện giải pháp của chúng bằng các phương tiện tiên tiến nhất, với sự trợ giúp của các khái niệm có thể khái quát hóa. Quy tắc này là một trong những đòn bẩy mạnh mẽ nhất để vượt qua những khó khăn trong toán học, và đối với tôi, dường như trong hầu hết các trường hợp, đòn bẩy này được đưa vào hoạt động, đôi khi một cách vô thức.
Đồng thời, cũng xảy ra trường hợp chúng ta đạt được câu trả lời không đủ điều kiện tiên quyết hoặc đi sai hướng dẫn đến không đạt được mục tiêu. Sau đó, nhiệm vụ nảy sinh là chứng minh tính không thể giải quyết được của vấn đề này theo các tiền đề được chấp nhận và hướng đi đã chọn. Những bằng chứng bất khả thi như vậy đã được thực hiện bởi các nhà toán học cũ, chẳng hạn, khi họ phát hiện ra rằng tỉ số giữa cạnh huyền của một tam giác vuông cân và cạnh của nó là số vô tỉ. Trong toán học hiện đại, việc chứng minh tính không thể giải quyết được một số vấn đề đóng vai trò vai diễn xuất sắc; ở đó chúng tôi tuyên bố rằng cũ như vậy và vấn đề khó khăn, để chứng minh tiên đề của sự song song, như bình phương của đường tròn hay nghiệm của phương trình bậc năm về căn thức, chúng ta vẫn nhận được một nghiệm chặt chẽ hoàn toàn thỏa mãn chúng ta, mặc dù theo một hướng khác với hướng đã được đưa ra. đầu tiên giả định.
Sự thật đáng kinh ngạc này, cùng với những nền tảng triết học khác, tạo ra trong chúng ta một niềm tin chắc chắn được mọi nhà toán học chia sẻ, nhưng chưa ai xác nhận bằng bằng chứng - niềm tin rằng mọi vấn đề toán học cụ thể chắc chắn phải có thể giải được quyết định nghiêm khắc* theo nghĩa là có thể nhận được câu trả lời cho câu hỏi được đặt ra, hoặc theo nghĩa là không thể giải quyết được nó sẽ được thiết lập và đồng thời tính tất yếu của mọi nỗ lực giải quyết nó sẽ được chứng minh.
* Chúng tôi cho rằng cần phải trình bày tuyên bố này, vốn có ý nghĩa quyết định đối với toàn bộ thế giới quan khoa học của Hilbert, trong bản gốc "...die uberzeugung, dass ein jedes bestimmte mathematische problem einer strengen Erieitung notwendig fahig sein muss." - Ghi chú P.A.
Hãy tưởng tượng một số vấn đề chưa được giải quyết, chẳng hạn, câu hỏi về tính vô tỷ của hằng số VỚI Euler - Mascheroni hay câu hỏi về sự tồn tại của vô số số nguyên tố có dạng 2N + 1 . Cho dù đối với chúng ta những vấn đề này có vẻ khó tiếp cận đến mức nào và cho dù hiện tại chúng ta đang đứng trước chúng bất lực đến mức nào, chúng ta vẫn có niềm tin vững chắc rằng giải pháp của họ với sự trợ giúp của một số lượng hữu hạn các kết luận logic vẫn phải thành công.
Tiên đề về khả năng giải quyết từng vấn đề đã cho này có phải chỉ là một đặc điểm tư duy toán học hoặc có lẽ có một quy luật chung liên quan đến bản chất bên trong tâm trí chúng ta, theo đó mọi câu hỏi mà nó đặt ra đều có thể được giải quyết nhờ nó? Xét cho cùng, trong các lĩnh vực kiến thức khác, có những vấn đề cũ đã được giải quyết một cách thỏa đáng nhất và mang lại lợi ích lớn nhất cho khoa học bằng cách chứng minh tính bất khả thi của giải pháp đó. Tôi nhớ vấn đề về di động vĩnh viễn(máy chuyển động vĩnh cửu) *. Sau những nỗ lực thiết kế vô ích máy chuyển động vĩnh viễn Ngược lại, bắt đầu khám phá các mối quan hệ phải tồn tại giữa các lực lượng tự nhiên, với giả định rằng di động vĩnh viễn không thể nào. Và việc phát biểu bài toán nghịch đảo này đã dẫn đến việc phát hiện ra định luật bảo toàn năng lượng, từ đó dẫn đến điều bất khả thi di động vĩnh viễn theo cách hiểu ban đầu về ý nghĩa của nó.
Niềm tin vào khả năng giải quyết của mọi vấn đề toán học giúp ích rất nhiều cho chúng tôi trong công việc; Chúng ta thường xuyên nghe thấy tiếng gọi bên trong mình: khi có vấn đề, hãy tìm giải pháp. Bạn có thể tìm thấy nó thông qua suy nghĩ thuần túy; vì trong toán học không có Ignorabimus! **
* Thứ tư. H. HeImholtz, Uber die Wechselwirkung der Naturkrafte und die darauf bezuglichen neuesten ErmittIungen der Physik, report in Konigsberg, 1854 (Bản dịch tiếng Nga: “Về sự tương tác của các lực tự nhiên,” trong tuyển tập G. Helmholtz, Popular Speeches, ed. 2, phần 1 , St. Petersburg, 1898. - Ghi chú biên tập. ).
** Xem chú thích cuối trang. - Ghi chú biên tập.
Có vô số vấn đề trong toán học, và khi một vấn đề được giải quyết, vô số vấn đề mới sẽ xuất hiện để thay thế nó. Trong tương lai, hãy cho phép tôi nêu tên một số vấn đề cụ thể từ các ngành toán học khác nhau, những vấn đề mà việc nghiên cứu chúng có thể kích thích đáng kể sự phát triển hơn nữa của khoa học.
Hãy chuyển sang những điều cơ bản về phân tích và hình học. Theo tôi, những sự kiện có ý nghĩa và quan trọng nhất của thế kỷ trước trong lĩnh vực này là việc nắm vững khái niệm số học về tính liên tục trong các công trình của Cauchy, Bolzano, Cantor và việc phát hiện ra hình học phi Euclide của Gauss, Bolyai và Lobachevsky. Do đó, tôi thu hút sự chú ý của bạn đến một số vấn đề thuộc các lĩnh vực này.<...>
1. Vấn đề của Cantor về sức mạnh của sự liên tục<...>Các vấn đề được đề cập chỉ là ví dụ về các vấn đề đó; nhưng chúng cũng đủ cho thấy khoa học toán học đã phong phú, đa dạng và rộng lớn như thế nào; Chúng ta phải đối mặt với câu hỏi liệu toán học có bao giờ trải qua những gì đã xảy ra với các ngành khoa học khác trong một thời gian dài hay không, liệu nó có bị phân rã thành các ngành khoa học tư nhân riêng biệt hay không, những đại diện của chúng sẽ hầu như không hiểu nhau và mối liên hệ giữa chúng sẽ do đó sẽ ngày càng trở nên ít hơn.2. Tính nhất quán của các tiên đề số học
3. Hai tứ diện có đáy bằng nhau và chiều cao bằng nhau.
4. Vấn đề trực tiếp như thế nào kết nối ngắn nhất hai điểm.
5. Khái niệm về một nhóm liên tục của các phép biến đổi Lie, không giả định tính khả vi của các hàm xác định nhóm.
6. Trình bày toán học các tiên đề vật lý.
7. Tính vô tỷ và tính siêu việt của một số con số.
8. Bài toán về số nguyên tố.
9. Bằng chứng về quy luật tương hỗ tổng quát nhất trong bất kỳ trường số nào.
10. Bài toán giải được phương trình Diophantine.
11. hình bậc hai với các hệ số đại số tùy ý.
12. Mở rộng định lý Kronecker trên các trường Abelian sang một miền đại số tùy ý của tính hợp lý.
13. Không thể giải phương trình bậc bảy tổng quát bằng hàm chỉ phụ thuộc vào hai biến.
14. Chứng minh tính hữu hạn của một số hệ thống hoàn chỉnh chức năng.
15. Sự chứng minh chặt chẽ về hình học tính toán của Schubert.
16. Bài toán tôpô của đường cong đại số và bề mặt.
17. Trình bày một số hình thức nhất định dưới dạng tổng các bình phương.
18. Xây dựng không gian từ các khối đa diện đồng dạng.
19. Lời giải của một bài toán biến phân đều có nhất thiết phải mang tính phân tích không?
20. Bài toán tổng quát về điều kiện biên.
21. Chứng minh sự tồn tại của phương trình vi phân tuyến tính với nhóm đơn thức cho trước.
22. Thống nhất các phụ thuộc giải tích bằng hàm tự đồng cấu.
23. Phát triển phương pháp tính biến phân
Tôi không tin vào điều đó và tôi không muốn nó. Khoa học toán học theo tôi, nó đại diện cho một tổng thể không thể chia cắt, một sinh vật mà khả năng tồn tại của nó được quyết định bởi sự gắn kết giữa các bộ phận của nó. Thật vậy, bất chấp tất cả những khác biệt về tài liệu toán học nói riêng, chúng ta vẫn thấy rất rõ bản sắc của các phương tiện phụ trợ logic, sự giống nhau trong việc hình thành các ý tưởng trong toán học nói chung và vô số sự tương tự trong các lĩnh vực khác nhau của nó. Chúng tôi cũng nhận thấy rằng lý thuyết toán học càng phát triển thì cấu trúc của nó càng hình thành hài hòa và thống nhất, đồng thời mở ra những mối liên hệ bất ngờ giữa các khu vực cho đến nay vẫn bị chia cắt. Điều đó xảy ra là với sự mở rộng của toán học, tính chất thống nhất của nó không bị mất đi mà ngày càng trở nên khác biệt.
Nhưng - chúng tôi hỏi - với việc mở rộng kiến thức toán học, chẳng phải cuối cùng cá nhân nhà nghiên cứu sẽ không thể bao quát được tất cả các phần của nó hay sao? Để trả lời, tôi muốn đề cập đến thực tế rằng bản chất của khoa học toán học là mọi thành công thực sự trong nó đều đi đôi với việc phát hiện ra các phương pháp hỗ trợ mạnh mẽ hơn và các phương pháp đơn giản hơn, đồng thời tạo điều kiện thuận lợi cho việc hiểu các lý thuyết trước đó và loại bỏ các lý thuyết trước đó. những khó khăn của những lý luận cũ; do đó, cá nhân nhà nghiên cứu, nhờ vào việc anh ta sẽ tiếp thu những điều mạnh mẽ hơn này AIDS và các phương pháp đơn giản hơn, việc điều hướng các lĩnh vực khác nhau của toán học sẽ dễ dàng hơn so với bất kỳ ngành khoa học nào khác.
Bản chất thống nhất của toán học là do bản thể bên trong khoa học này; Suy cho cùng, toán học là nền tảng của mọi khoa học chính xác. Và để hoàn thành mục đích cao cả này một cách hoàn hảo, cầu mong trong thế kỷ tới nó sẽ tìm thấy những bậc thầy lỗi lạc và vô số tín đồ cháy bỏng với lòng nhiệt thành cao cả *.
* Trong nguyên văn những từ này phát âm như sau: "Der einheitliche Charakter der Mathematik liegt im Inneren Wesendieser Wissenschaft begrundet; denn die Mathematik ist die Grundlage alles exakten naturwissenschaftlichen Erkennens. Damit sie diese hohe Bestimmung vollkommen erfulle, mogen ihr im neuen Jahrhundert geniale Meister erstehen und zahlreiche in edlem E ifer ergluhende Jungerl" - Ghi chú biên tập.