Phần văn bản của ấn phẩm
Nội dung
Lời mở đầu………………………………..3 Chương I. Từ lịch sử số phức……….………4 Chương II. Cơ sở lý luận của phương pháp số phức............. 6 Chương III. Hình học tam giác trong số phức……..12 Chương IV. Giải pháp Các vấn đề về Kỳ thi Thống nhất và các kỳ thi Olympic khác nhau sử dụng phương pháp số phức………………………………..20 Kết luận……………………… ……… ……………………………….24 Thư mục…………………………..25
Giới thiệu
Tầm quan trọng to lớn của số phức trong toán học và ứng dụng của nó đã được biết đến rộng rãi. Đại số của số phức có thể được sử dụng thành công trong hình học cơ bản, lượng giác, lý thuyết về chuyển động và sự tương tự, cũng như trong kỹ thuật điện, cơ khí và vấn đề vật lý. Trong phép đo phẳng, phương pháp số phức cho phép bạn giải quyết vấn đề bằng cách tính toán trực tiếp bằng các công thức làm sẵn. Đây là sự đơn giản của phương pháp này so với vector và phương pháp phối hợp, bằng phương pháp biến đổi hình học, đòi hỏi học sinh phải có trí tuệ khá cao và tìm kiếm lâu dài. Trong nhiều thiên niên kỷ, hình tam giác đã là biểu tượng của hình học. Bạn thậm chí có thể nói rằng hình tam giác là một nguyên tử của hình học. Bất kỳ đa giác nào cũng có thể được chia thành các hình tam giác và việc nghiên cứu các tính chất của nó bắt nguồn từ việc nghiên cứu các tính chất của các tam giác thành phần của nó. Chúng ta hãy xem phương pháp số phức hoạt động như thế nào khi chứng minh tính chất của tam giác từ khóa học phép đo mặt phẳng, cũng như để giải các bài toán C-4 của Kỳ thi Thống nhất. 2
Chương I. Từ lịch sử của số phức,
Rõ ràng, lần đầu tiên, số lượng tưởng tượng được đề cập đến trong tác phẩm nổi tiếng “Nghệ thuật vĩ đại, hay về quy tắc đại số»Cardano (1545), như một phần của lời giải chính thức cho bài toán tính hai số có tổng bằng 10 và khi nhân với nhau cho ra 40. Đối với bài toán này, ông đã thu được phương trình bậc hai cho một trong các số hạng và tìm ra nghiệm của nó: 5 + √ − 15 và 5 − √ − 15 . Trong một bài bình luận về quyết định này, ông viết: “những điều này đại lượng phức tạp nhất vô dụng, mặc dù rất thông minh" và "Việc cân nhắc số học ngày càng trở nên khó nắm bắt, đạt đến một giới hạn tinh tế đến mức vô dụng." Khả năng sử dụng các đại lượng ảo khi giải phương trình bậc ba, trong trường hợp được gọi là tối giản (khi các nghiệm thực của đa thức được biểu diễn thông qua rễ khối số lượng ảo), được mô tả lần đầu tiên bởi Bombelli (1572). Ông là người đầu tiên mô tả các quy tắc cộng, trừ, nhân và chia số phức, nhưng vẫn coi chúng là một “phát minh” vô dụng và xảo quyệt. Các biểu thức biểu diễn dưới dạng a + b √ − 1, xuất hiện khi giải phương trình bậc hai và phương trình bậc ba, bắt đầu được gọi là "tưởng tượng" trong thế kỷ XVI-XVII trước sự xúi giục của Descartes, người đã gọi chúng như vậy, bác bỏ thực tế của chúng, và vì nhiều lý do chính khác nhà khoa học XVII nhiều thế kỷ, bản chất và quyền tồn tại của các đại lượng tưởng tượng dường như rất đáng nghi ngờ, giống như họ cho là đáng nghi ngờ vào thời điểm đó. số vô tỉ và thậm chí có giá trị âm. Mặc dù vậy, các nhà toán học đã mạnh dạn áp dụng phương pháp hình thứcđại số của các đại lượng thực và đại số phức, thu được kết quả thực chính xác ngay cả từ các đại số phức trung gian, và điều này không thể không truyền cảm hứng cho sự tự tin. Trong một thời gian dài, người ta vẫn chưa rõ liệu tất cả các phép tính trên số phức có dẫn đến kết quả phức hay thực hay không, hay liệu việc trích xuất một nghiệm có thể dẫn đến việc phát hiện ra một số loại số mới khác hay không. Bài toán biểu diễn nghiệm bậc n từ số đã chođã được giải quyết trong các tác phẩm của Moivre (1707) và Cotes (1722). Ký hiệu biểu thị đơn vị ảo được đề xuất bởi Euler (1777, xuất bản 1794), người đã lấy chữ cái đầu tiên của từ Latin để chỉ đơn vị này. tưởng tượng - tưởng tượng. Ông cũng mở rộng tất cả các hàm tiêu chuẩn, bao gồm cả logarit, sang miền phức. Euler cũng bày tỏ ý tưởng vào năm 1751 rằng trường số phức là trường đóng đại số. D'Alembert (1747) cũng đi đến kết luận tương tự, nhưng bằng chứng chính xác đầu tiên về thực tế này thuộc về Gauss (1799). Gauss đưa ra thuật ngữ "số phức" được sử dụng rộng rãi vào năm 1831, mặc dù thuật ngữ này trước đó đã được nhà toán học người Pháp Lazare Carnot sử dụng theo nghĩa tương tự vào năm 1803. 3
Mô hình số học (chuẩn) của số phức dưới dạng cặp số thực được xây dựng bởi Hamilton (1837); điều này đã chứng minh tính nhất quán của các đặc tính của chúng. Trước đó rất lâu, vào năm 1685, trong tác phẩm “Đại số”, Wallis (Anh) đã chỉ ra rằng rễ phức tạp một phương trình bậc hai với các hệ số thực có thể được biểu diễn dưới dạng hình học bằng các điểm trên mặt phẳng. Nhưng nó không được chú ý. Lần tiếp theo, cách giải thích hình học của số phức và các phép toán trên chúng xuất hiện trong tác phẩm của Wessel (1799). Cách biểu diễn hình học hiện đại, đôi khi được gọi là “sơ đồ Argand”, được đưa vào sử dụng sau khi công trình của J. R. Argand được xuất bản vào năm 1806 và 1814, trong đó lặp lại các kết luận của Wessel một cách độc lập. Các thuật ngữ “môđun”, “đối số” và “số liên hợp” đã được Cauchy đưa ra. Vì vậy, người ta phát hiện ra rằng số phức cũng thích hợp cho việc thực thi thuần túy. phép toán đại số cộng, trừ, nhân và chia các vectơ trên mặt phẳng, làm thay đổi rất nhiều đại số vectơ. 4
Chương II. Khái niệm cơ bản về phương pháp số phức
[
1
]
,
[2], [3] [4] Giải thích hình học của số phức Độ dài của một đoạn Cho một hình chữ nhật Hệ thống Descartes tọa độ trên mặt phẳng thì số phức z = x+iy (i 2 = -1) có thể liên kết một-một với điểm M của mặt phẳng có tọa độ x, y (Hình 1): z = x + iy ↔M (x, y ) ↔M (z) . Số z khi đó được gọi là tọa độ phức của điểm M. Vì tập hợp các điểm của mặt phẳng Euclide tương ứng một-một với tập hợp số phức nên mặt phẳng này còn được gọi là mặt phẳng số phức. Gốc O của hệ tọa độ Descartes được gọi là điểm đầu hoặc điểm 0 của mặt phẳng số phức. Khi = 0 số z là số thực. Số thực được biểu thị bằng các điểm trên trục x, đó là lý do tại sao nó được gọi là trục thực. Tại x=0, số z hoàn toàn là ảo: z=iy. Số ảo được biểu thị bằng các điểm trên trục y, đó là lý do tại sao nó được gọi là trục ảo. Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo. Khoảng cách từ đầu mặt phẳng O đến điểm M(z) được gọi là mô đun của số phức z và được ký hiệu là |z| hoặc r: | z | = r = | ôi | = √ x 2 + y 2 Nếu φ là góc định hướng tạo bởi vectơ ⃗ OM với trục x thì theo định nghĩa hàm sin và cosin sin φ = y r, cos φ = x r 5
từ đó x = r cos φ, y = r sin φ, và do đó z = r (cos φ + sin φ). Biểu diễn số phức z này được gọi là
lượng giác
ngực
hình thức.
Biểu diễn ban đầu z=x+iy được gọi là
đại số dạng số này. Tại biểu diễn lượng giác
góc được gọi là đối số của một số phức và cũng được ký hiệu là arg z: φ = arg z Nếu cho một số phức z = x + iy thì số ` z = x − iy được gọi là
(hoặc đơn giản
liên hợp
) với số z này. Khi đó, hiển nhiên số z cũng liên hợp với số `z. Các điểm M(z) và M 1 (` z) đối xứng qua trục x. Từ đẳng thức z = `z suy ra y = 0 và ngược lại. Nó có nghĩa là
một số bằng
liên hợp của nó là thực và ngược lại.
Các điểm có tọa độ phức z và -z đối xứng với điểm ban đầu O. Các điểm có tọa độ phức z và − `z đối xứng với trục y. Từ đẳng thức z = `z suy ra x = 0 và ngược lại. Do đó, điều kiện z =− ` z là tiêu chí cho một số thuần ảo. Với mọi số z, hiển nhiên | z | = | `z | =¿− z ∨¿∨−` z ∨¿ .
Tổng và sản phẩm
hai số phức liên hợp là số thực: z + `z = 2 z, z `z = x 2 + y 2 =¿ z 2 ∨¿. Một số liên hợp với tổng, tích hoặc thương của số phức 6
các số lần lượt là tổng, tích hoặc thương của các số liên hợp với các số phức đã cho: `z 1 + z 2 = `z 1 + `z 2 ; `z 1 z 2 = `z 1 `z 2 ; ` z 1: z 2 = `z 1: `z 2 Những đẳng thức này có thể được xác minh dễ dàng bằng cách sử dụng các công thức thực hiện các phép tính trên số phức. Nếu a và b lần lượt là tọa độ phức của các điểm A và B thì số c = a + b là tọa độ của điểm C, sao cho ⃗ OC = ⃗ OA + ⃗ OB (Hình 3). Số phức d = a − b tương ứng với điểm D sao cho ⃗ OD = ⃗ OA − ⃗ OB . Khoảng cách giữa hai điểm A và B là | ⃗BA | = | ⃗ OD | =¿ a − b ∨¿: ¿ AB ∨¿∨ a − b ∨¿ (1) Vì ¿ z ∨ 2 = z ` z , nên ¿ AB ∨ 2 =(a − b) (` a − ` b) . (2)
phương trình
z ` z = r 2
xác định một đường tròn có tâm
Về bán kính
r.
Quan hệ AC CB = λ, (λ ≠ − 1) trong đó điểm C chia phân khúc này AB, được biểu thị thông qua tọa độ phức của các điểm này như sau: λ = c − a b − c, λ = ` λ, từ đó c = a + λb 1 + λ (3) Với λ = 1, điểm C là trung điểm của đoạn AB và ngược lại. Khi đó: c = 1 2 (a + b) (4) Phép nhân số phức Phép nhân số phức được thực hiện theo công thức, Tức là | a b | = | một || b | và 7
Tính song song và vuông góc Sự cộng tuyến của ba điểm Cho các điểm A(a) và B(b) nằm trên mặt phẳng số phức. Các vectơ ⃗ OA và ⃗ OB cùng hướng khi và chỉ khi arg a = arg b, tức là khi arg a – arg b=arg a b =0 (khi chia số phức, đối số của số chia được trừ khỏi đối số của cổ tức). Rõ ràng là các vectơ này có hướng ngược nhau khi và chỉ khi arg a - arg b= arg a b = ± π. Các số phức có đối số 0, π, - π là số thực.
Tiêu chí cộng tuyến cho các điểm O, A, B:
Để các điểm A(a) và B(b) thẳng hàng với điểm ban đầu O thì thương a b phải là số thực, tức là a b = ` a ` b hoặc a `b = `a b (6 ) Bây giờ lấy các điểm A(a), B(b), C(c), D(d). Các vectơ ⃗ BA và ⃗ DC collie là không phải ary khi và chỉ khi các điểm được xác định bởi phức số a-b và с-d, thẳng hàng với phần đầu O. Lưu ý: 1. Dựa vào (6) ta có: ⃗ AB ∨¿ ⃗ CD↔ (a − b) (` c − ` d) =(` a − ` b ) (c − d) ; (8) 2. Nếu các điểm A, B, C, D thuộc đường tròn đơn vị z `z = 1 thì `a = 1 a; `b = 1b ; `c = 1c ; ` d = 1 d và do đó điều kiện (8) có dạng: ⃗ AB ∨¿ ⃗ CD↔ ab = cd ; (9) 3. Độ thẳng hàng của các điểm A, B, C được đặc trưng bởi sự thẳng hàng của các vectơ ⃗AB và ⃗AC. Sử dụng (8), ta thu được: (a − b) (` a −` c) =(` a − ` b) (a − c) (10) Đây là tiêu chuẩn để các điểm A, B, C thuộc về về cùng một đường thẳng. Nó có thể được biểu diễn dưới dạng đối xứng a (` b −` c) + b (` c −` a) + c (` a − ` b) = 0 (11) 8
Nếu điểm A và B thuộc đường tròn đơn vị z `z = 1 thì `a = 1 a; ` b = 1 b và do đó mỗi quan hệ (10) và (11) được biến đổi (sau khi rút gọn (a-b) thành như sau: c + ab ` c = a + b (12) Điểm A và B cố định, và điểm Chúng ta sẽ coi C là một biến, gọi lại tọa độ của nó là z. Khi đó mỗi hệ thức thu được (10), (11), (12) sẽ là phương trình của đường thẳng AB: (` a − ` b) z + (b − a) `z + a `b − b ` a = 0 , (10a) z + ab `z = a + b . Cụ thể, OA trực tiếp có phương trình a ` z = `. a z . Do đó, OA ⊥ OB↔ a b = − ` a ` b hoặc OA ⊥ OB↔a ` b + ` a b = 0 (13) Độ vuông góc của đoạn AB và CD được xác định bởi đẳng thức (a). − b) (` c − ` d) + (` a − ` b) (c − d) = 0 (14) Cụ thể, khi các điểm A, B, C, D thuộc đường tròn đơn vị z ` z = 1 , khi đó sự phụ thuộc (14) được đơn giản hóa: ab + cd = 0 (15) Tích vô hướng của vectơ được biểu diễn. tích vô hướng vectơ ⃗ OA và ⃗ OB qua tọa độ phức a và b của các điểm A và B. Đặt a=x 1 +iy 1 , b=x 2 +iy 2 . Khi đó a b + a b=(x 1 +iy 1)(x 2 −iy 2)+(x 1 −iy 1)(x 2 +iy 2)=2(x 1 x 2 +y 1 y 2)= 2 ⃗ OA∙⃗OB. Vì vậy, ⃗ OA ∙ ⃗ OB = 1 2 (a b + ab) (16) 9
Hãy để bây giờ bốn được đưa ra điểm tùy ý A(a), B(b), C(c), D(d) theo tọa độ phức tạp của chúng. Khi đó 2 ⃗ AB ∙ ⃗ CB = 1 2 (a-b)(c - d)+(a - b)(c-d) (17) Góc Ta đồng ý ký hiệu ∠ (AB ,CD) là góc định hướng dương đi qua trong đó vectơ ⃗ phải quay AB để nó cùng hướng với vectơ ⃗ CD. Khi đó, cos ∠ (AB, CD)= (d − c) (` b − ` a) +(` d −` c)(b − a) 2 | d − c || b − a | (18) sin ∠ (AB ,CD)= (d − c) (` b −` a) +(` d −` c)(b − a) 2 i | d − c || b − a | (19) Giao điểm của các cát tuyến với đường tròn Nếu các điểm A, B, C và D nằm trên đường tròn z `z = 1 thì tọa độ phức của giao điểm được tìm theo công thức `z = (a + b) − (c + d) ab − cd (20) Nếu AB vuông góc với CD thì z= 1 2 (a+b+c+d) (21) Giao điểm của các tiếp tuyến với đường tròn 10
Tọa độ phức của giao điểm của các tiếp tuyến với đường tròn z ` z =1 tại các điểm A(a) và B(b) của nó được tìm theo công thức z= 2ab a + b (22) Hình chiếu trực giao của một điểm lên một đường thẳng Hình chiếu trực giao của một điểm M(m) lên đường thẳng AB, trong đó A(a) và B(b) được tìm theo công thức Trong trường hợp A và B thuộc đường tròn đơn vị z= 1 2 (a + b + m − cb m) .
Chương III.
Hình học tam giác trong số phức
Trên mặt phẳng số phức, một tam giác được xác định bởi ba số phức tương ứng với các đỉnh của nó. Trọng tâm và trực tâm của một tam giác. [ 2 ] Biết rằng đối với trọng tâm G (giao điểm của các đường trung tuyến) của tam giác ABC và bất kỳ điểm O nào thì đẳng thức sau đây đúng: ⃗ OG = 1 3 (⃗ OA + ⃗ OB + ⃗ OC). Do đó, tọa độ phức g của trọng tâm G được tính theo công thức g = 1 3 (a + b + c) (23) Ta biểu diễn h tọa độ phức của trực tâm H của tam giác ABC thông qua tọa độ a, b, c các đỉnh của nó. Cho các đường thẳng AH, BH, CH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại các điểm A1, B1, C1 tương ứng. Giả sử đường tròn này có phương trình z ` z =1 thì theo (15) ta có: a 1 = − bc a , b 1 = − ca b , c 1 = − ab c Theo công thức (20) h = (a + a 1 ) −(b + b 1) a a 1 − bb 1 = ab + bc + ca abc = 1 a + 1 b + 1 c 11
h=a+b+c đến từ đâu. (24) Biểu thức thu được bao gồm tọa độ các đỉnh của tam giác đối xứng nhau, do đó đường cao thứ ba của tam giác đi qua giao điểm của hai tam giác đồng dạng [2,1] Tam giác ABC và A 1 B 1 C 1. giống nhau và có hướng giống hệt nhau (tương tự loại một), nếu B 1 =kAB, A 1 B 1 =kAC và các góc B 1 A 1 C 1 và BAC bằng nhau (các góc có hướng). Bằng cách sử dụng số phức, những đẳng thức này có thể được viết như sau: |a 1 −b 1 |=k|a−b|, |a 1 −c 1 |=k|a−c|,arg c 1 − a 1 b 1 − a 1 =arg c − a b − a . Hai đẳng thức tương đương với một với 1 − a 1 c − a = b 1 − a 1 b − a = σ , (25) trong đó σ là số phức, |σ|=k-hệ số tương tự. Nếu σ là số thực thì c 1 − a 1 c − a = ` c 1 − ` a 1 ` c − ` a , trong đó AC║A 1 C 1. Do đó, các tam giác ABC và A 1 B 1 C 1 là đồng nhất. Mối quan hệ (25) là cần thiết và đủ điều kiện sao cho các tam giác ABC và A 1 B 1 C 1 đồng dạng và có hướng bằng nhau. Nó có thể có dạng đối xứng ab 1 +bc 1 +ca 1 =ba 1 +cb 1 +ac 1 (25a) Tam giác bằng nhau If | σ | = 1 thì tam giác ABC và A 1 B 1 C 1 bằng nhau. Khi đó quan hệ (25) là dấu bằng nhau của các tam giác có hướng giống hệt nhau, và quan hệ (26) là dấu bằng nhau của các tam giác ngược chiều nhau. Hình tam giác đều Nếu bạn yêu cầu định hướng tam giác ABCđồng dạng với tam giác BCA định hướng thì tam giác ABC đều. 12
Do đó, từ (25) ta thu được điều kiện cần và đủ để tam giác ABC đều (a−b) 2 +(b−c) 2 +(c−a) 2 =0 (27) Diện tích tam giác (được tác giả chứng minh) Ta rút ra công thức tính diện tích S của tam giác ABC định hướng dương: S = 1 2 | AB || AC | sin ∠ (AB , AC)= 1 4i ((c − a) (` b − ` a) − (b − a) (` c − ` a)) = − 1 4i (a (` b − ` c) + b ('c − ` a) + c (` a − ` b)) hoặc S = i 4 (a (` b − ` c) + b (` c − ` a) + c (` a − ` b )) (28) Nếu tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn z ` z = 1 thì công thức (28) được chuyển về dạng: S = i 4 (a − b)(b − c)(c − a) abc (29) Định lý về đường trung bình của a tam giác (được tác giả chứng minh)
Định lý
. đường giữa của tam giác song song với đáy và bằng một nửa đáy. Bằng chứng. Gọi M, N là trung điểm của AB và BC thì m = b 2 ; n = b + c 2 . Vì z 2 =z ` z, nên MN 2 =(m-n)(` m - ` n)=(b 2 - b + c 2)(` b 2 – ` b + ` c 2)= b ` b 4 − b `b + b `c 4 − b ` b + `b c 4 + b ` b + b ` c + `b c + c `c 4 = c `c 4 13
4MN 2 =c ` c, AC 2 =(c-0)(c-0)=c ` c, do đó 4MN 2 = AC 2 hoặc 2MN=AC. Điều kiện (8) về sự thẳng hàng của vectơ MN và AC cũng thỏa mãn. , và do đó MN ║AC. Định lý Thales (được tác giả chứng minh)
Định lý
. Nếu ở một cạnh của một góc, các đường thẳng song song cắt các đoạn bằng nhau thì ở phía bên kia của góc chúng cắt các đoạn bằng nhau. Chứng minh Giả sử rằng c=kb. Khi đó nếu BD||CE thì ta có (b-d)(` c − 2 ` d ¿= (` b − ` d) (c − 2d) Mở ngoặc và đưa điều khoản tương tự, ta được phương trình b ` c − 2 b ` d −` c d = `b c − 2 `b d − c ` d Thay c bằng kb và ` c bằng k ` b , ta được bk ` b -2b ` d -dk `b = `b kb-2 `b d-kb `d . Đưa các số hạng tương tự một lần nữa và chuyển mọi thứ sang một bên, chúng ta nhận được 2b `d + dk `b − 2 `b d − kb `d =0. Chúng tôi sẽ lấy nó ra số nhân chung và chúng ta nhận được 2(b ` d − ` b d ¿+ k (` b d − b ` d) = 0. Do đó k=2, tức là c=2b. Tương tự, người ta chứng minh rằng f=3b, v.v. Định lý Pythagore ( được tác giả chứng minh) B tam giác vuông bình phương cạnh huyền bằng tổng chân vuông 14
Bằng chứng. Khoảng cách giữa hai điểm B và C bằng BC=|b-c|=b, BC 2 =b ` b. Vì |z| 2 = z ` z , thì AC 2 =(a-c)(c ` a − ` ¿ ¿=(a − 0) (` a - 0)=a ` a . AB 2 =(a-b)(` a − ` b ¿= a ` a − a ` b - ` a b+b ` b. Vì b là số thực, tức là b= ` b , nên -a ` b =− ab . a, tức là - ` ab = ab. Do đó, AB 2 = a ` a -a ` b - ` ab +b ` b = a ` a +b ` b = AC 2 +BC 2. Định lý Euler đã được chứng minh. đường thẳng (được tác giả chứng minh) Chứng minh trực tâm, trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác cùng nằm trên một đường thẳng (đường thẳng này gọi là đường thẳng Euler) và OG = 1/2GH 15.
Chứng minh: Điểm G(g) là trọng tâm của tam giác ABC, H(h) là trực tâm, O(o) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. Để các điểm này thẳng hàng thì đẳng thức (10) phải được thỏa mãn: (g-о)(` g - ` h ¿ -(` g − ` o ¿ (g − h) =0 Giả sử điểm O là gốc tọa độ thì g(` g - ` h ¿ - ` g (g − h) =g 2 -g ` h −¿ (g 2 - h `g ¿ =-g ` h + h `g (30) tọa độ phức của trực tâm được tính theo công thức (24) h=a+b+c, (30a) và tâm trực tâm theo công thức (23) g = 1 3 (a + b + c) (30c) Thay vào ( 30), ta được 1 3 (a+b +c)(` a + b + c)-(a+b+c)(` a + b + c 1 3 ¿))=0. Đẳng thức (10) là do đó thỏa mãn trọng tâm, trực tâm và tâm của tam giác ngoại tiếp OG=g= 1 3 (a+b+c) GH=h-g=a+b+c- 1 3 (a). +b+c)= 2 3 (a+b+c) Ta có OG= 1 2 GH Định lý đã được chứng minh 16.
Vòng tròn Euler (vòng tròn chín điểm). Chứng minh của tác giả Xét tam giác ABC. Hãy đồng ý rằng | OA | = | OB | = | OC | =1, tức là tất cả các đỉnh của tam giác đều thuộc đường tròn đơn vị z ` z = 1 (tâm đường tròn ngoại tiếp O là gốc tọa độ, bán kính là đơn vị chiều dài). Chứng minh rằng ba đáy của một tam giác tùy ý, trung điểm ba cạnh và trung điểm ba đoạn thẳng nối các đỉnh của nó với trực tâm nằm trên cùng một đường tròn và tâm của tam giác đó là trung điểm của đoạn OH , trong đó H là trực tâm của tam giác ABC. Vòng tròn như vậy được gọi là
vòng tròn Euler
. Gọi các điểm K, L, M là trung điểm các cạnh của tam giác ABC, các điểm Q, N, P là đáy các đường cao, các điểm F, E, D là trung điểm của ba đoạn thẳng nối các đỉnh của tam giác với trực tâm. Chứng minh các điểm D, E, F, K, L, M, N, P, Q thuộc cùng một đường tròn. Gán tọa độ phức tương ứng cho các điểm: k = a + b 2 , l = b + c 2 ; m = a + c 2 ,o 1 = h 2 = a + b + c 2 d = 2a + b + c 2 ; e = 2 c + a + b 2 ; f = 2 b + a + c 2 n = 1 2 (a + b + c − ab c) , q = 1 2 (a + c + b − ac b) , p = 1 2 (c + b + a − cb a) O 1 K = | o 1 − k | = | c 2 | ,O 1 L = | o 1 − l | = | một 2 | , O 1 M = | o 1 − m | = | b 2 | O 1 D = | o 1 − d | = | một 2 | ,O 1 E = | o 1 − e | = | c 2 | ,O 1 F = | o 1 − f | = | b 2 | O 1 N= | o 1 − n | = 1 2 | ab c | = 1 2 | một || b | | c | , O 1 Q= 1 2 | một || c | | b | , O 1 F= 1 2 | b || c | | một | . 17
Bởi vì tam giác ABC nội tiếp đường tròn z ` z = 1 thì | một | = | b | = | c | = 1,→ | một 2 | = | b 2 | = | c 2 | = 1 2 | một || b | | c | = 1 2 | một || c | | b | = 1 2 | b || c | | một | = 1 2 Vậy các điểm D, E, F, K, L, M, N, Q, F cùng thuộc một đường tròn Định lý Gauss Nếu một đường thẳng cắt các đường thẳng lần lượt chứa các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC tại điểm A 1, B 1 , C 1 thì trung điểm của các đoạn AA 1, BB 1, СС 1 thẳng hàng. Sử dụng (11), ta viết điều kiện cho sự thẳng hàng của các bộ ba điểm AB 1 C, CA 1 B, BC 1 A, A 1 B 1 C 1: 0,) b - a (c) a - c () c - b (a 0 ,) c - b a() b - a () a - c b(0,) a - c b() c - b () b - a c(0,) b - a (c) a - c () c - ba a (1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 b c a b (31) Nếu M, N, P là trung điểm của các đoạn AA 1, BB 1, CC 1 , thì ta phải chứng minh 0) () () ( n m p m p n p n m (32) Vì), (2 1), (2 1), (2 1) 1 1 1 c c p b b n a am thì đẳng thức được chứng minh (31) tương đương với: 0))(())(())((1 1 1 1 1 1 1 1 1 b b a a c c a a c c b b c c b b a a hoặc sau khi nhân: 0) () () () () () () () () () () () (1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 b a c b a với b a c b a c a c b a với b a c b a c b c b a c b a c b a c a (33) Bây giờ dễ dàng thấy rằng ( 33) thu được bằng cách cộng các đẳng thức (31).
Chương IV.
Giải các bài toán USE và các kỳ thi Olympic khác nhau bằng phương pháp số phức.
Bài 1. Kỳ thi Thống nhất -2012, P-4 Trên đường thẳng chứa đường trung tuyến AD của tam giác vuông ABC vuông góc C lấy điểm E cách đỉnh A một khoảng bằng 4. Tìm diện tích của tam giác BCE nếu BC=6, AC=4. Giải pháp đầu tiên. Theo định lý Pythagore AD=5. Khi đó ED=1 Cho điểm E nằm trên tia AD. Đường trung tuyến AD dài hơn AE và điểm E nằm bên trong tam giác ABC (Hình 1). Ta thả đường vuông góc EF từ điểm E xuống đường thẳng BC và xét các tam giác vuông đồng dạng DEF và DAC. Từ sự đồng dạng của các tam giác này ta tìm được: EF = AC ∙ ED AD = 4 5 19
Do đó, S BCE = 1 2 ∙ 6 ∙ 4 5 = 2,4. Bây giờ hãy điểm A nằm giữa E và D (Hình 2). Trong trường hợp này ED=9 và EF = AC ∙ ED AD = 36 5 . Khi đó S BCE = 1 2 ∙ 6 ∙ 36 5 = 21,6. Trả lời: 2,4; 21.6. Giải bài toán bằng số phức. Trường hợp I: điểm E nằm trên tia AD. Vì D là trung điểm của CB nên CD=3. Và vì CA=4 nên rõ ràng AD=5, tức là DE=1. Lấy điểm C làm điểm ban đầu, các đường thẳng CA và CB làm trục thực và trục ảo. Khi đó A(4), C(0), B(6i), D(3i), E(e). Các điểm A, E và D thẳng hàng thì e − 4 3i − e = 4 tức là e= 12i + 4 5 . Theo công thức (25) S CBE =│ `i 4 (e6 `i +6i(- ` e)│= e e − ¿ 6 i 2 4 ¿ ¿ =2.4 Trường hợp II: điểm A nằm giữa hai điểm D và E , thì 4 − e 3i − 4 = 4 5 , tức là e= 36 − 12 i 5 S CBE = | 3 i 2 2 (36 − 12 i 5 − − 36 − 12i 5) : 2.4 và 21.6 Để giải một bài toán trong Cách thứ nhất, cần phải có một số lần phỏng đoán, có thể không xuất hiện ngay lập tức mà phải sau khá nhiều lần suy luận. Tuy nhiên, nếu học sinh chuẩn bị tốt thì lời giải sẽ được hình thành ngay lập tức. cách thứ hai, chúng tôi sử dụng các công thức có sẵn, tiết kiệm thời gian tìm kiếm. Tuy nhiên, chúng tôi hiểu rằng nếu không biết các công thức thì không thể giải được bài toán bằng phương pháp số phức. Như bạn thấy, mỗi phương pháp đều có ưu và nhược điểm. .
Nhiệm vụ 2 (MIOO, 2011):
“Điểm M nằm trên đoạn AB. Trên đường tròn đường kính AB lấy điểm C cách các điểm A, M và B lần lượt là 20, 14 và 15. Tìm diện tích tam giác BMC." 20
Giải: Vì AB là đường kính của hình tròn nên ∆ ABC là hình chữ nhật, ∠ C = 90° Gọi C là điểm không mặt phẳng thì A(20i), B(15), M(z). Vì CM=14 nên đẳng thức z ` z = 196 là đúng, tức là điểm M ∈ một đường tròn có tâm tại điểm C và r=14. Hãy tìm giao điểm của đường tròn này với đường thẳng AB: Phương trình đường thẳng AB (10a): 20 i (15 −` z) + 15 (` z + 20 i) + z (− 20 i − 15) = 0 Thay thế ` z với 196 z và nhân toàn bộ phương trình với (4 i − 3) , chúng ta thu được phương trình bậc hai của z: 25 z 2 + 120 i (4 i − 3) z + 196 (4 i − 3) 2 = 0 z 1,2 = 2 (3 − 4 i) (6 i± √ 13) 5 Sử dụng công thức (28), ta tìm được diện tích ∆ MBC: S = i 4 (z (` b − ` c) + b (` c − ` z) + c (` z − ` b)) Trong đó c = 0, ` c = 0, b = 15, ` b = 15, ` z = 196 ∗ 5 2 (3 − 4 i) (6 i ± √ 13) Đã hoàn thành các phép biến đổi tương đương, ta được S = 54 ± 12 √ 13 mét vuông. các đơn vị Trả lời. 54 ± 12 √ 13 mét vuông các đơn vị Nếu bạn giải quyết được vấn đề phương pháp hình học, khi đó cần xét hai trường hợp khác nhau: Điểm thứ nhất M nằm giữa A và D; Thứ 2 - giữa D và B. 21
Khi giải một bài toán bằng phương pháp số phức, lời giải thu được có tính đối ngẫu do có hai điểm giao nhau của đường tròn và đường thẳng. Hoàn cảnh này cho phép chúng ta tránh được một sai lầm phổ biến.
Vấn đề 3
Các đường trung tuyến AA 1, BB 1 và CC 1 của tam giác ABC cắt nhau tại điểm M. Biết AB=6MC 1. Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông. Lời giải: Gọi C là điểm 0 của mặt phẳng và gán đơn vị thực cho điểm A. Vấn đề sau đó được rút gọn thành việc chứng minh rằng b là một số thuần ảo. AB 2 = (b − 1) (` b − 1) . M là tâm, tọa độ của nó là 1 3 b + 1 3 MC 1 2 = (1 3 b + 1 3 − 1 2 b − 1 2)(1 3 ` b + 1 3 − 1 2 ` b − 1 2) = 1 3 b (b + 1) (' b + 1) Vì AB=6MC 1, nên (b − 1) (' b − 1) = (b + 1) (' b + 1) . Sau khi thực hiện các phép biến đổi, chúng ta thu được b =− ` b, tức là b là một số ảo thuần túy, tức là góc C là một đường thẳng.
Nhiệm vụ 4.
22
Do quay 90° quanh điểm O, đoạn AB biến thành đoạn A "B". Chứng minh rằng đường trung tuyến OM của tam giác OAB " vuông góc với đường thẳng A " B . Lời giải: Cho tọa độ O, A, B lần lượt bằng 0,1, b. Khi đó điểm A " và B " sẽ có tọa độ a" = i và b" = bi, còn M ở giữa đoạn AB " sẽ có tọa độ m = 1 2 (1 + bi). Ta tìm được: a " − b m − 0 = i − b 1 2 (1 + bi) = 2 i (i − b) i − b = 2i số hoàn toàn là ảo. Dựa trên tiêu chí vuông góc (các đoạn AB và CD vuông góc khi và chỉ khi số a − b c − d hoàn toàn là ảo), các đường thẳng OM và A ’ B vuông góc.
Vấn đề 5
.
23
Từ đáy của đường cao của tam giác, các đường vuông góc được thả xuống hai cạnh không tương ứng với đường cao này. Chứng minh rằng khoảng cách giữa hai đáy của các đường vuông góc này không phụ thuộc vào việc chọn chiều cao của tam giác. Lời giải: Cho tam giác ABC và đường tròn ngoại tiếp nó có phương trình z `z = 1. Nếu CD là chiều cao của tam giác thì d = 1 2 (a + b + c − ab c) Tọa độ phức của hai đáy M và N của các đường vuông góc hạ từ điểm D xuống AC và BC lần lượt bằng m = 1 2 (a + c + d − ac ` d 2) n = 1 2 (b + c + d − bc ` d 2) Ta tìm được: m − n = 1 2 (a − b + c ` d ( b − a)) = 1 2 ( a − b) (1 − c ` d) = (a − b) (a − c) (b − c) 4 ab Vì | một | = | b | = 1 thì | m − n | = | (a − b) × (b − c) (c − a) | 4 . Biểu thức này đối xứng với a, b, c, tức là khoảng cách MN không phụ thuộc vào việc chọn chiều cao của tam giác.
Phần kết luận
24
"Chắc chắn! Tất cả các vấn đề có thể được giải quyết mà không cần số phức. Nhưng thực tế của vấn đề là đại số số phức là một vấn đề khác phương pháp hiệu quả giải các bài toán phẳng. Chúng ta chỉ có thể nói về việc chọn một phương pháp hiệu quả hơn cho một nhiệm vụ nhất định. Tranh chấp về ưu điểm của một phương pháp cụ thể sẽ vô nghĩa nếu chúng ta xem xét các phương pháp đó một cách tổng quát, không áp dụng vào một vấn đề cụ thể” [2]. Một vị trí lớn trong việc nghiên cứu phương pháp được chiếm giữ bởi một tập hợp các công thức. Đây là
nhược điểm chính
phương pháp và đồng thời
phẩm giá
, vì nó cho phép bạn giải đủ nhiệm vụ phức tạp theo công thức làm sẵn với các phép tính cơ bản. Ngoài ra, tôi tin rằng khi giải các bài toán đo mặt phẳng phương pháp này là phổ quát.
Thư mục
1. Markushevich A.I. Số phức và ánh xạ tuân thủ - M.: Nhà xuất bản Nhà nước về Văn học Lý thuyết và Kỹ thuật, 1954. - 52 tr. 25
2. Ponarin Ya. P. Đại số số phức trong các bài toán hình học: Sách dành cho học sinh các lớp toán phổ thông, giáo viên và sinh viên các trường đại học sư phạm - M.: MTsNMO, 2004. - 160 tr. 3. Shvetsov D. Từ phương trình Simson đến định lý Droz-Farny, Kvant. - Số 6, 2009. – tr. 44-48 4. Yaglom I. M. Các phép biến đổi hình học. Biến đổi tuyến tính và tròn. - Nhà xuất bản Văn học Kỹ thuật và Lý luận Nhà nước, 1956. – 612 tr. 5. Số phức Yaglom I.M. và ứng dụng của chúng trong hình học - M.: Fizmatgiz, 1963. - 192 tr. 6. Morkovich A.G. và những môn khác, Đại số và sự khởi đầu của phân tích toán học lớp 10. Trong 2 giờ Phần 1. Sách giáo khoa dành cho học sinh các cơ sở giáo dục phổ thông (cấp độ) - M.: Mnemosyne, 2012. - 343 tr. 7. Andronov I.K. Toán học về số thực và số phức - M.: Prosveshchenie, 1975. - 158 tr. 26
Ứng dụng
Định lý cổ điển hình học cơ bản
Định lý Newton.
Trong một tứ giác ngoại tiếp một đường tròn thì trung điểm các đường chéo thẳng hàng với tâm của đường tròn. 27
Bằng chứng. Chúng ta hãy lấy tâm của đường tròn làm gốc tọa độ, đặt bán kính của nó bằng 1. Chúng ta hãy biểu thị điểm tiếp xúc của các cạnh của tam giác tứ giác A o B o C o D o này bằng A, B, C, D (theo thứ tự hình tròn) (Hình 4). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các đường chéo A o C o và B o D o. Khi đó theo công thức giao điểm các tiếp tuyến của đường tròn z = 2ab a + b thì các điểm A o , B o , C o , D o sẽ có tọa độ phức lần lượt là: , 2 , 2 , 2 , 2 0 0 0 0 d c cd d c b bc c b a ab b d a ad a trong đó a, b, c, d là tọa độ phức của các điểm A, B, C, D. Do đó.) (2 1 ,) (2 1 0 0 0 0 d c cd b ab d b n c b bc d a ad c a m Tính toán.))(())((ad c b d c b a n m Vì, , 1 b ba a , 1 , 1 d d c c thì trực tiếp thấy n m n m Dựa vào (6) các điểm O, M, N thẳng hàng.
Định lý Pascal
.
Giao điểm của các đường thẳng chứa các cạnh đối diện của một hình lục giác nội tiếp nằm trên cùng một đường thẳng. 28
Bằng chứng. Cho lục giác ABCDEF và P FA CD N EF BC M DE AB ) () (,) () (,) () ( (Hình 6) nội tiếp trong một đường tròn (Hình 6). Chúng ta lấy tâm của đường tròn làm điểm 0 của mặt phẳng và bán kính của nó bằng một đơn vị chiều dài. Khi đó, theo (17), chúng ta có: ,) (,) (,) (fa cd a f d c p ef bc f e c b n. de ab e d ba m Tính) )(())((ef bc de ab ab fa ef de cd bc e b n m và tương tự .))(())((fa cd ef bc bc ab fa ef de cd f c p n Tiếp theo chúng ta tìm thấy: .))(())((de ab c f fa cd e b p n n m Vì các số f e d c b a lần lượt bằng nhau, f e d c b a 1 , 1 , 1 , 1, 1, 1, nên kiểm tra miệng cho thấy biểu thức tìm được trùng với liên hợp của nó, tức là nó là một số thực. Điều này có nghĩa là các điểm M, N, P thẳng hàng.
Định lý Monge.
Trong một tứ giác nội tiếp đường tròn, các đường thẳng đi qua trung điểm của các cạnh và. Mỗi đường chéo vuông góc với các cạnh đối diện và theo đó, đường chéo kia cắt nhau tại một điểm. Nó được gọi là điểm Monge của một tứ giác nội tiếp. Bằng chứng. Các đường phân giác vuông góc với các cạnh của tứ giác ABCD cắt nhau tại tâm của đường tròn ngoại tiếp mà chúng ta lấy làm điểm bắt đầu. Với mỗi điểm M(z) của đường trung trực với [AB] số b a b a z ) (2 1 thuần ảo. 29
Cụ thể, với z=0 thì bằng) (2) (b a b a . Với mỗi điểm N(z) của đường thẳng đi qua trung điểm của cạnh CD vuông góc với (AB), số b a d c z ) (2 1 sẽ cần phải là ảo thuần túy và ngược lại. Nhưng với z=) (2 1 d c b a nó bằng) (2 b a b a tức là thuần ảo. Do đó, điểm E có tọa độ phức) ( 2 1 d c ba a nằm trên đường thẳng đã cho. Và biểu thức này đối xứng qua các chữ cái a, b, c, d Do đó, năm đường thẳng còn lại được xây dựng tương tự chứa điểm E. 30.
- Chúng ta sẽ dựa trên những kết nối, không dựa trên những công thức máy móc.
- Hãy coi số phức là phần bổ sung cho hệ thống số của chúng ta, giống như số 0, số phân số hoặc số âm.
- Chúng tôi hình dung các ý tưởng bằng đồ họa để hiểu rõ hơn về bản chất chứ không chỉ trình bày chúng bằng văn bản khô khan.
Và của chúng tôi vũ khí bí mật: học bằng cách tương tự. Chúng ta sẽ tìm hiểu số phức bằng cách bắt đầu từ tổ tiên của chúng, số âm. Đây là một hướng dẫn nhỏ dành cho bạn:
Hiện tại, bảng này không có nhiều ý nghĩa, nhưng hãy để nó ở đó. Đến cuối bài viết, mọi thứ sẽ đâu vào đấy.
Chúng ta hãy thực sự hiểu số âm là gì
Số âm không đơn giản như vậy. Hãy tưởng tượng bạn là một nhà toán học châu Âu ở thế kỷ 18. Bạn có 3 và 4, và bạn có thể viết 4 – 3 = 1. Rất đơn giản.
Nhưng 3 – 4 là gì? Chính xác điều này có nghĩa là gì? Làm thế nào bạn có thể lấy đi 4 con bò từ 3 con bò? Làm sao bạn có thể có ít hơn không có gì?
Các số âm được coi là hoàn toàn vô nghĩa, một thứ gì đó “phủ bóng lên toàn bộ lý thuyết về các phương trình” (Francis Maceres, 1759). Ngày nay sẽ hoàn toàn vô nghĩa nếu coi số âm là thứ gì đó phi logic và vô ích. Hỏi giáo viên của bạn xem số âm có vi phạm môn toán cơ bản không.
Chuyện gì đã xảy ra thế? Chúng tôi đã phát minh ra một con số lý thuyết có những đặc tính hữu ích. Các số âm không thể chạm hoặc cảm nhận được, nhưng chúng rất giỏi trong việc mô tả các mối quan hệ nhất định (chẳng hạn như nợ). Đây là một ý tưởng rất hữu ích.
Thay vì nói “Tôi nợ bạn 30” và đọc các từ để xem mình thuộc phe đen hay đen, tôi chỉ cần viết “-30” và biết điều đó có nghĩa là gì. Nếu tôi kiếm được tiền và trả hết nợ (-30 + 100 = 70), tôi có thể dễ dàng viết giao dịch này bằng một vài ký tự. Tôi sẽ còn lại +70.
Dấu cộng và dấu trừ tự động nắm bắt hướng đi - bạn không cần cả câu để mô tả những thay đổi sau mỗi giao dịch. Toán học đã trở nên đơn giản hơn, tao nhã hơn. Việc số âm có “hữu hình” hay không không còn quan trọng nữa - chúng có những đặc tính hữu ích và chúng ta đã sử dụng chúng cho đến khi chúng trở nên vững chắc trong cuộc sống hàng ngày của chúng ta. Nếu ai đó bạn biết vẫn chưa hiểu bản chất của số âm thì bây giờ bạn sẽ giúp họ.
Nhưng chúng ta đừng coi thường đau khổ của con người: Số âm là một sự thay đổi thực sự trong nhận thức. Ngay cả Euler, thiên tài đã khám phá ra số e và nhiều hơn thế nữa, cũng không hiểu rõ về số âm như chúng ta ngày nay. Chúng được coi là kết quả tính toán "vô nghĩa".
Thật kỳ lạ khi mong đợi trẻ em có thể bình tĩnh hiểu những ý tưởng mà ngay cả những nhà toán học giỏi nhất cũng từng bối rối.
Nhập số ảo
Đó là câu chuyện tương tự với những con số ảo. Chúng ta có thể giải các phương trình như thế này suốt cả ngày:
Câu trả lời sẽ là 3 và -3. Nhưng hãy tưởng tượng rằng một người thông minh nào đó đã thêm một điểm trừ vào đây:
Được rồi được rồi. Đây là loại câu hỏi khiến mọi người phải rùng mình khi nhìn thấy nó lần đầu tiên. Bạn có muốn tính căn bậc hai của một số nhỏ hơn 0 không? Điều này là không thể tưởng tượng được! (Trong lịch sử thực sự đã có câu hỏi tương tự, nhưng sẽ thuận tiện hơn cho tôi khi tưởng tượng ra một nhà thông thái vô danh nào đó, để không làm các nhà khoa học ngày xưa phải xấu hổ).
Trông thật điên rồ, giống như những số âm, số 0 và số vô tỷ (số không lặp lại) nhìn lại ngày xưa. Không có ý nghĩa "thực sự" cho câu hỏi này, phải không?
Không, điều đó không đúng. Cái gọi là “số ảo” cũng bình thường như bất kỳ số nào khác (hoặc cũng bất thường): chúng là một công cụ để mô tả thế giới. Với cùng tinh thần mà chúng ta tưởng tượng rằng -1, 0,3 và 0 "tồn tại", giả sử rằng có một số i nào đó, trong đó:
Nói cách khác, bạn nhân i với chính nó để được -1. Chuyện gì đang xảy ra thế này?
Chà, lúc đầu chúng tôi chắc chắn rất đau đầu. Nhưng bằng cách chơi trò chơi "Hãy giả vờ rằng tôi tồn tại" chúng ta thực sự làm cho toán học trở nên đơn giản và tinh tế hơn. Những kết nối mới xuất hiện mà chúng ta có thể dễ dàng mô tả.
Bạn sẽ không tin vào tôi, cũng như những nhà toán học già nua gắt gỏng đó không tin vào sự tồn tại của -1. Tất cả các khái niệm mới xoắn não thành một cái ống đều khó nhận thức và ý nghĩa của chúng không hiện ra ngay lập tức, ngay cả đối với Euler tài giỏi. Nhưng như những con số âm đã cho chúng ta thấy, những ý tưởng mới lạ có thể cực kỳ hữu ích.
Bản thân tôi không thích thuật ngữ "số ảo" - có cảm giác như nó được chọn đặc biệt để xúc phạm đến cảm xúc của tôi. Số i cũng bình thường như những số khác, nhưng biệt danh “tưởng tượng” vẫn dính vào nó nên chúng ta cũng sẽ sử dụng nó.
Hiểu biết trực quan về số âm và số phức
Phương trình x^2 = 9 thực sự có nghĩa như sau:
Phép biến đổi nào của x, được áp dụng hai lần, biến 1 thành 9?
Có hai câu trả lời: "x = 3" và "x = -3". Nghĩa là, bạn có thể “tỷ lệ theo tỷ lệ” 3 lần hoặc “tỷ lệ theo tỷ lệ 3 và lật” (đảo ngược hoặc lấy kết quả nghịch đảo đều là cách hiểu của phép nhân với số âm).
Bây giờ chúng ta hãy nghĩ về phương trình x^2 = -1, có thể viết như sau:
Phép biến đổi nào của x, được áp dụng hai lần, biến 1 thành -1? Ừm.
- Chúng ta không thể nhân hai lần số dương vì kết quả sẽ khả quan.
- Chúng ta không thể nhân một số âm hai lần vì kết quả sẽ lại là số dương.
Thế còn... luân chuyển! Tất nhiên, nghe có vẻ bất thường, nhưng nếu chúng ta coi x là “sự quay 90 độ”, thì bằng cách áp dụng x hai lần, chúng ta sẽ thực hiện phép quay 180 độ theo trục tọa độ, và 1 sẽ biến thành -1!
Ồ! Và nếu chúng ta nghĩ về nó nhiều hơn một chút, chúng ta có thể thực hiện hai cuộc cách mạng trong theo hướng ngược lại, và cũng đi từ 1 đến -1. Đây là phép quay hoặc phép nhân "âm" với -i:
Nếu chúng ta nhân với -i hai lần, thì ở phép nhân đầu tiên chúng ta nhận được -i từ 1 và ở lần thứ hai -1 từ -i. Vì vậy thực sự có hai căn bậc hai-1: tôi và -i.
Cái này hay đấy! Chúng ta có một cái gì đó giống như một giải pháp, nhưng nó có nghĩa là gì?
- i là "chiều tưởng tượng mới" để đo số
- i (hoặc -i) là những gì các con số "trở thành" khi xoay
- Nhân với i là quay 90 độ ngược chiều kim đồng hồ
- Nhân với -i là xoay 90 độ theo chiều kim đồng hồ.
- Xoay hai lần theo một trong hai hướng sẽ cho -1: nó đưa chúng ta trở lại chiều "bình thường" của số dương và số âm (trục x).
Tất cả các số đều có 2 chiều. Đúng, điều đó thật khó chấp nhận, nhưng người La Mã cổ đại cũng khó chấp nhận như vậy. số thập phân hoặc phép chia dài. (Làm thế nào mà có nhiều số nằm trong khoảng từ 1 đến 2?). Trông lạ lùng như ai cách mới suy nghĩ trong toán học.
Chúng tôi hỏi "Làm thế nào để biến 1 thành -1 trong hai hành động?" và tìm ra câu trả lời: xoay 1 90 độ hai lần. Một cách suy nghĩ khá mới lạ trong toán học. Nhưng rất hữu ích. (Nhân tiện, cách giải thích hình học này về số phức chỉ xuất hiện hàng thập kỷ sau khi phát hiện ra số i).
Ngoài ra, đừng quên rằng thực hiện một vòng quay ngược chiều kim đồng hồ là kết quả tích cực- đây là một quy ước thuần túy của con người, và mọi thứ có thể đã hoàn toàn khác.
Tìm kiếm bộ
Chúng ta hãy đi sâu hơn một chút vào chi tiết. Khi bạn nhân các số âm (như -1), bạn sẽ nhận được một tập hợp:
- 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1
Vì -1 không thay đổi kích thước của số mà chỉ thay đổi dấu, nên bạn sẽ nhận được cùng một số với dấu “+” hoặc dấu “-”. Với số x bạn nhận được:
- x, -x, x, -x, x, -x…
Đây là một ý tưởng rất hữu ích. Số "x" có thể tượng trưng cho những tuần tốt và xấu. Hãy tưởng tượng rằng tuần tốt lành thay thế cái xấu; Đó là một tuần tốt lành; Tuần thứ 47 sẽ như thế nào?
X có nghĩa đây sẽ là một tuần tồi tệ. Hãy xem số âm "theo dấu" như thế nào - chúng ta có thể chỉ cần nhập (-1)^47 vào máy tính thay vì đếm ("Tuần 1 tốt, tuần 2 tệ... tuần 3 tốt..."). Những thứ liên tục thay đổi có thể được mô hình hóa hoàn hảo bằng cách sử dụng số âm.
Được rồi, điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta tiếp tục nhân với i?
Rất buồn cười, hãy đơn giản hóa điều này một chút:
Đây là điều tương tự được trình bày bằng đồ họa:
Chúng tôi lặp lại chu kỳ sau mỗi lượt thứ 4. Điều đó chắc chắn có ý nghĩa, phải không? Bất kỳ đứa trẻ nào cũng sẽ nói với bạn rằng quay sang trái 4 lần cũng giống như không quay gì cả. Bây giờ hãy tạm dừng các số ảo (i, i^2) và xem tổng số:
- X, Y, -X, -Y, X, Y, -X, -Y…
Chính xác cách mô hình số âm sự phản chiếu gương số, số ảo có thể mô hình hóa bất cứ thứ gì quay giữa hai chiều "X" và "Y". Hoặc bất cứ điều gì có sự phụ thuộc tuần hoàn, theo chu kỳ - bạn có ý tưởng gì không?
Hiểu số phức
Còn một chi tiết nữa cần xem xét: một con số có thể vừa là “thực” vừa là “ảo” không?
Thậm chí đừng nghi ngờ điều đó. Ai nói rằng chúng ta phải quay chính xác 90 độ? Nếu chúng ta đứng bằng một chân trên chiều “thực” và chân kia trên chiều “tưởng tượng”, nó sẽ trông giống như thế này:
Chúng ta đang ở điểm 45 độ, trong đó phần thực và phần ảo bằng nhau và bản thân số đó là “1 + i”. Nó giống như một chiếc xúc xích, có cả sốt cà chua và mù tạt - ai nói bạn phải chọn cái này hay cái kia?
Về cơ bản, chúng ta có thể chọn bất kỳ sự kết hợp nào giữa phần thực và phần ảo và tạo thành một hình tam giác từ tất cả những phần đó. Góc trở thành "góc quay". Số phức là tên gọi ưa thích của các số có phần thực và phần ảo. Chúng được viết là “a + bi”, trong đó:
- a - phần thực
- b - phần ảo
Không tệ. Nhưng chỉ còn lại một câu hỏi cuối cùng: Số phức “lớn” đến mức nào? Chúng ta không thể đo riêng phần thực hoặc phần ảo vì chúng ta sẽ bỏ lỡ bức tranh lớn.
Hãy lùi lại một bước. Kích cỡ số âm là khoảng cách từ điểm 0:
Đây là một cách khác để tìm giá trị tuyệt đối. Nhưng làm thế nào để đo cả hai thành phần ở góc 90 độ đối với số phức?
Đó là một con chim trên trời... hay một chiếc máy bay... Pythagoras đang đến giải cứu!
Định lý này xuất hiện ở bất cứ nơi nào có thể, ngay cả với những con số được phát minh ra sau định lý này 2000 năm. Đúng, chúng ta đang tạo một hình tam giác và cạnh huyền của nó sẽ bằng khoảng cách từ 0:
Mặc dù việc đo một số phức không đơn giản như việc “bỏ dấu -”, số phức có rất nhiều ứng dụng hữu ích. Chúng ta hãy nhìn vào một số trong số họ.
Ví dụ thực tế: Phép quay
Chúng ta sẽ không đợi đến vật lý đại học để thực hành số phức. Chúng ta sẽ làm điều này ngày hôm nay. Có rất nhiều điều có thể nói về chủ đề nhân số phức, nhưng bây giờ bạn cần hiểu điều chính:
- Nhân với một số phức quay một góc của nó
Hãy xem nó hoạt động như thế nào. Hãy tưởng tượng rằng tôi đang ở trên một chiếc thuyền, di chuyển theo lộ trình 3 đơn vị về phía Đông và 4 đơn vị về phía Bắc. Tôi muốn thay đổi hướng đi của mình 45 độ ngược chiều kim đồng hồ. Khóa học mới của tôi sẽ là gì?
Ai đó có thể nói “Thật dễ dàng! Tính sin, cosin, google giá trị tiếp tuyến... và sau đó..." Tôi nghĩ mình đã làm hỏng máy tính rồi...
Hãy cùng vượt qua một cách đơn giản: chúng ta đang đi trên đường 3 + 4i (góc đó là bao nhiêu không quan trọng, bây giờ chúng ta không quan tâm) và chúng ta muốn quay 45 độ. Vâng, 45 độ là 1 + i (đường chéo lý tưởng). Vì vậy, chúng tôi có thể nhân tỷ lệ của mình với con số này!
Đây là ý chính:
- Hướng ban đầu: 3 đơn vị Đông, 4 đơn vị Bắc = 3 + 4i
- Xoay ngược chiều kim đồng hồ 45 độ = nhân 1 + i
Khi nhân lên ta được:
Của chúng tôi cột mốc mới- 1 đơn vị về phía Tây (-1 về phía Đông) và 7 đơn vị về phía Bắc, các bạn có thể vẽ tọa độ trên đồ thị và theo dõi.
Nhưng! Chúng tôi tìm thấy câu trả lời trong 10 giây mà không cần bất kỳ hàm sin và cos nào. Không có vectơ, không có ma trận, không có sự theo dõi xem chúng ta đang ở góc phần tư nào. Đó là số học đơn giản và một ít đại số để tính ra phương trình. Số ảo rất tốt cho việc xoay vòng!
Hơn nữa, kết quả của phép tính như vậy rất hữu ích. Chúng ta có (-1, 7) thay vì góc (atan(7/-1) = 98,13, và rõ ràng là chúng ta đang ở góc phần tư thứ hai. Chính xác thì bạn dự định vẽ và làm theo góc đã cho như thế nào ? Sử dụng thước đo góc trong tay?
Không, bạn sẽ chuyển đổi góc thành cosin và sin (-0,14 và 0,99), tìm tỷ lệ gần đúng giữa chúng (khoảng 1 đến 7) và phác họa một hình tam giác. Và ở đây, các số phức chắc chắn sẽ giành chiến thắng - chính xác, nhanh như chớp và không cần máy tính!
Nếu bạn giống tôi, bạn sẽ thấy khám phá này thật đáng kinh ngạc. Nếu không, tôi e rằng toán học sẽ không làm bạn hứng thú chút nào. Lấy làm tiếc!
Lượng giác là tốt, nhưng số phức giúp việc tính toán dễ dàng hơn nhiều (như tìm cos(a + b)). Đây chỉ là một thông báo nhỏ; ở những bài viết sau tôi sẽ cung cấp cho bạn thực đơn đầy đủ.
Lạc đề về trữ tình: một số người nghĩ thế này: “Này, thay vì học một khóa Đông Bắc/Đông thì không tiện đâu. góc đơn giản cho sự đi qua của con tàu!
Có đúng không? Được rồi, nhìn vào của bạn tay phải. Góc giữa gốc ngón tay út và đầu ngón tay của bạn là bao nhiêu? ngón trỏ? Chúc may mắn với phương pháp tính toán của bạn.
Hoặc bạn có thể trả lời đơn giản: “Chà, đầu là X inch ở bên phải và Y inch lên trên” và bạn có thể làm gì đó với điều đó.
Số phức đang tiến gần hơn?
Chúng tôi đã xem xét những khám phá cơ bản của tôi trong lĩnh vực số phức giống như một cơn lốc xoáy. Hãy nhìn vào hình minh họa đầu tiên, bây giờ nó sẽ trở nên rõ ràng hơn.
Còn rất nhiều điều để khám phá trong những con số đẹp đẽ, tuyệt vời này, nhưng đầu óc tôi đã mỏi mệt rồi. Mục tiêu của tôi rất đơn giản:
- Thuyết phục bạn rằng số phức chỉ được coi là “điên rồ”, nhưng thực tế chúng có thể rất hữu ích (giống như số âm)
- Cho thấy số phức có thể đơn giản hóa một số vấn đề như phép quay như thế nào.
Nếu tôi có vẻ quan tâm quá mức đến chủ đề này thì có lý do cho điều đó. Những con số ảo đã là nỗi ám ảnh của tôi trong nhiều năm - sự thiếu hiểu biết khiến tôi khó chịu.
Nhưng thắp một ngọn nến vẫn tốt hơn là lội trong bóng tối dày đặc: đây là những suy nghĩ của tôi và tôi tin chắc rằng ánh sáng sẽ chiếu sáng trong tâm trí độc giả của tôi.
Phần kết: Nhưng chúng vẫn khá kỳ lạ!
Tôi biết họ vẫn trông kỳ lạ đối với tôi. Tôi đang cố gắng suy nghĩ như người đầu tiên khám phá ra con số không suy nghĩ.
Số không là một ý tưởng kỳ lạ, “cái gì đó” tượng trưng cho “không có gì”, và điều này không thể hiểu được theo bất kỳ cách nào. Rome cổ đại. Điều này cũng tương tự với số phức - đó là một cách suy nghĩ mới. Nhưng cả số 0 và số phức đều đơn giản hóa toán học rất nhiều. Nếu chúng ta chưa bao giờ giới thiệu những thứ kỳ lạ như hệ thống số mới, thì chúng ta vẫn sẽ đếm mọi thứ trên đầu ngón tay.
Tôi lặp lại sự tương tự này bởi vì rất dễ bắt đầu nghĩ rằng các số phức là "không bình thường". Hãy cởi mở với sự đổi mới: trong tương lai, mọi người sẽ chỉ nói đùa về việc ai đó cho đến thế kỷ 21 vẫn không tin vào số phức.
Ngày 23 tháng 10 năm 2015
KHẢ NĂNG SỬ DỤNG SỐ PHỨC
TRONG KHÓA TOÁN Ở TRƯỜNG GIÁO DỤC PHỔ THÔNG
Cố vấn khoa học:
Cơ sở giáo dục thành phố
Trường trung học Pervomaiskaya
Với. Thị trấn Kichmengsky
St. Zarechnaya 38
Công việc được trình bày được dành cho việc nghiên cứu số phức. Mức độ liên quan: giải nhiều bài toán vật lý và công nghệ dẫn đến phương trình bậc hai với sự phân biệt đối xử tiêu cực. Các phương trình này không có nghiệm trong miền số thực. Nhưng lời giải của nhiều bài toán như vậy có ý nghĩa vật lý rất rõ ràng.
Ý nghĩa thực tiễn: số phức và hàm biến phức được sử dụng trong nhiều vấn đề khoa học công nghệ; phương trình bậc hai.
Khu vực đối tượng: toán học. Đối tượng nghiên cứu: khái niệm và hoạt động đại số. Đối tượng nghiên cứu- số phức. Vấn đề: số phức không được học trong môn toán ở trường trung học, mặc dù chúng có thể được sử dụng để giải phương trình bậc hai. Khả năng đưa số phức vào Bài tập thi của Nhà nước thống nhất trong tương lai. Giả thuyết: Bạn có thể sử dụng số phức để giải phương trình bậc hai ở trường trung học. Mục tiêu: nghiên cứu khả năng sử dụng số phức khi học toán lớp 10 ở trường trung học cơ sở. Nhiệm vụ: 1. Nghiên cứu lý thuyết số phức 2. Xem xét khả năng sử dụng số phức trong môn toán lớp 10. 3. Xây dựng và kiểm tra các nhiệm vụ với số phức.
Đối với giải pháp phương trình đại số Không có đủ số thực. Do đó, việc cố gắng làm cho các phương trình này có thể giải được là điều tự nhiên, từ đó dẫn đến việc mở rộng khái niệm về số..gif" width="10" Height="65 src=">
https://pandia.ru/text/78/027/images/image005_18.gif" width="10" Height="62">.gif" width="97" Height="28 src=">
bạn chỉ cần đồng ý hành động theo các biểu thức đó theo các quy tắc của đại số thông thường và giả sử rằng
Năm 1572, một cuốn sách của nhà đại số người Ý R. Bombelli đã được xuất bản, trong đó các quy tắc đầu tiên cho các phép tính số học trên các số như vậy đã được thiết lập, cho đến việc trích xuất chúng. rễ khối. Cái tên “số ảo” được giới thiệu vào năm 1637. Nhà toán học và triết học người Pháp R. Descartes, và vào năm 1777, một trong những công trình lớn nhất nhà toán học VIII thế kỷ X..gif" width="58" Height="19"> là một ví dụ về việc sử dụng số phức khi học toán lớp 10. Do đó, số x có bình phương bằng –1, được gọi là đơn vị ảo và được ký hiệu là i. Do đó, , từ đó ..gif" width="120" Height="27 src=">.gif" width="100" Height="27 src=">8thgrade " href="/text/category/8_klass/" rel ="bookmark">lớp 8 môn đại số.- M.: Education, 1994.-P.134-139.
2. từ điển bách khoa nhà toán học trẻ / Comp. E-68. - M.: Sư phạm, 19с