Diện tích và thể tích của lăng trụ tam giác đều. Diện tích đáy lăng kính: từ hình tam giác đến đa giác

Trong vật lý, lăng kính tam giác làm bằng thủy tinh thường được sử dụng để nghiên cứu quang phổ của ánh sáng trắng vì nó có thể phân giải nó thành các thành phần riêng lẻ. Trong bài viết này chúng ta sẽ xem xét công thức khối lượng

Lăng kính tam giác là gì?

Trước khi đưa ra công thức thể tích, chúng ta hãy xem xét các tính chất của hình này.

Để có được điều này, bạn cần lấy một hình tam giác có hình dạng bất kỳ và di chuyển nó song song với chính nó đến một khoảng cách nào đó. Các đỉnh của tam giác ở vị trí ban đầu và cuối cùng phải được nối bằng các đoạn thẳng. Đã nhận hình thể tích gọi là lăng kính tam giác. Nó bao gồm năm mặt. Hai trong số chúng được gọi là cơ sở: chúng song song và bằng nhau. Các đáy của lăng kính đang nói đến là các hình tam giác. Ba cạnh còn lại là hình bình hành.

Ngoài các cạnh, lăng kính được đề cập còn có đặc điểm là sáu đỉnh (ba đỉnh cho mỗi đáy) và chín cạnh (6 cạnh nằm trong các mặt phẳng của các đáy và 3 cạnh được hình thành bởi giao điểm của các cạnh). Nếu các cạnh bên vuông góc với các đáy thì lăng kính đó được gọi là hình chữ nhật.

Sự khác biệt lăng kính tam giác so với tất cả các hình khác của lớp này là nó luôn lồi (bốn, năm-, ..., lăng kính n-giác cũng có thể lõm).

Cái này hình chữ nhật, dựa trên tam giác đều.

Thể tích của lăng trụ tam giác tổng quát

Làm thế nào để tìm thể tích của một hình lăng trụ tam giác? Công thức trong cái nhìn tổng quát tương tự như vậy đối với bất kỳ loại lăng kính nào. Nó có ký hiệu toán học sau:

Ở đây h là chiều cao của hình, tức là khoảng cách giữa các đáy của nó, S o là diện tích của tam giác.

Giá trị của S o có thể được tìm thấy nếu biết một số tham số của tam giác, ví dụ: một cạnh và hai góc hoặc hai cạnh và một góc. Diện tích của một hình tam giác bằng một nửa tích của chiều cao của nó và chiều dài của cạnh mà chiều cao này bị hạ xuống.

Đối với chiều cao h của hình, dễ tìm nhất là lăng kính chữ nhật. TRONG trường hợp sau h trùng với độ dài cạnh bên.

Thể tích của lăng trụ tam giác đều

Công thức tổng quát thể tích của lăng trụ tam giác đã cho ở phần trước của bài viết có thể dùng để tính giá trị tương ứng của lăng trụ tam giác đều. Vì đáy là tam giác đều nên diện tích của nó bằng:

Bất cứ ai cũng có thể có được công thức này nếu họ nhớ rằng trong một tam giác đều, tất cả các góc đều bằng nhau và bằng 60 o. Ở đây ký hiệu a là độ dài cạnh của tam giác.

Chiều cao h là độ dài của cạnh. Nó không hề được kết nối với đế của một lăng kính thông thường và có thể lấy giá trị tùy ý. Do đó, công thức tính thể tích của hình lăng trụ tam giác là đúng loại trông như thế này:

Sau khi tính toán gốc, bạn có thể viết lại công thức này như sau:

Vì vậy, để tìm thể tích của một hình lăng trụ đều với đế hình tam giác, cần bình phương cạnh đáy, nhân giá trị này với chiều cao rồi nhân giá trị thu được với 0,433.

Loại công việc: 8
Chủ đề: Lăng kính

Tình trạng

Trong lăng trụ tam giác đều ABCA_1B_1C_1 cạnh đáy là 4 và sườn bênđều bằng 10. Tìm diện tích mặt cắt ngang của lăng trụ bằng mặt phẳng đi qua trung điểm của các cạnh AB, AC, A_1B_1 và A_1C_1.

Hiển thị giải pháp

Giải pháp

Hãy xem xét hình dưới đây.

Đoạn MN là đường giữa do đó tam giác A_1B_1C_1 MN = \frac12 B_1C_1=2. Tương tự như vậy, KL=\frac12BC=2. Ngoài ra, MK = NL = 10. Suy ra tứ giác MNLK là hình bình hành. Vì MK\song song AA_1 nên MK\perp ABC và MK\perp KL. Do đó tứ giác MNLK là hình chữ nhật. S_(MNLK) = MK\cdot KL = 20.

10\cdot 2 =

Loại công việc: 8
Chủ đề: Lăng kính

Tình trạng

Trả lời

Hiển thị giải pháp

Giải pháp

Thể tích của hình lăng trụ tứ giác đều ABCDA_1B_1C_1D_1 là 24 . Điểm K là giữa cạnh CC_1. Tìm thể tích của hình chóp KBCD.

Theo điều kiện, KC là chiều cao của hình chóp KBCD. CC_1 là chiều cao của lăng kính ABCDA_1B_1C_1D_1. Vì K là trung điểm của CC_1 nên KC=\frac12CC_1. Đặt CC_1=H thì KC=\frac12H . Cũng lưu ý rằng S_(BCD)=\frac12S_(ABCD). Sau đó, V_(KBCD)= \frac13S_(BCD)\cdot\frac(H)(2)= \frac13\cdot\frac12S_(ABCD)\cdot\frac(H)(2)= \frac(1)(12)\cdot S_(ABCD)\cdot H=\frac(1)(12)V_(ABCDA_1B_1C_1D_1). Kể từ đây,

10\cdot 2 =

V_(KBCD)=\frac(1)(12)\cdot24=2. Nguồn: “Toán học. Chuẩn bị cho kỳ thi Thống nhất năm 2017. Cấp độ hồ sơ

Loại công việc: 8
Chủ đề: Lăng kính

Tình trạng

" Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Hiển thị giải pháp

Giải pháp

Tìm diện tích xung quanh của một hình lăng trụ lục giác đều có cạnh đáy là 6 và chiều cao là 8. · h = 6a\cdot h, trong đó P cơ bản. h lần lượt là chu vi đáy và chiều cao của lăng trụ bằng 8, a là cạnh lục giác đều, bằng 6. Vì vậy, bên S. = 6\cdot 6\cdot 8 = 288.

10\cdot 2 =

Nguồn: “Toán học. Chuẩn bị cho kỳ thi Thống nhất năm 2017. Cấp độ hồ sơ." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Loại công việc: 8
Chủ đề: Lăng kính

Tình trạng

Nước được đổ vào một chiếc bình có hình lăng trụ tam giác đều. Nếu đổ vào một bình khác có cùng hình dạng thì mực nước sẽ bằng bao nhiêu cm có cạnh đáy gấp đôi bình thứ nhất? Thể hiện câu trả lời của bạn bằng cm.

Hiển thị giải pháp

Giải pháp

Gọi a là cạnh đáy của bình thứ nhất, khi đó 2 a là cạnh đáy của bình thứ hai. Theo điều kiện, thể tích chất lỏng V ở bình thứ nhất và bình thứ hai là như nhau. Chúng ta hãy biểu thị bằng H mức độ chất lỏng dâng lên trong bình thứ hai. Sau đó V= \frac12\cdot a^2\cdot\sin60^(\circ)\cdot40= \frac(a^2\sqrt3)(4)\cdot40, Và, V=\frac((2a)^2\sqrt3)(4)\cdot H. Từ đây \frac(a^2\sqrt3)(4)\cdot40=\frac((2a)^2\sqrt3)(4)\cdot H, 40=4H, H=10.

10\cdot 2 =

Nguồn: “Toán học. Chuẩn bị cho kỳ thi Thống nhất năm 2017. Cấp độ hồ sơ." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Loại công việc: 8
Chủ đề: Lăng kính

Tình trạng

Ở bên phải lăng kính lục giác ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 tất cả các cạnh đều bằng 2. Tìm khoảng cách giữa các điểm A và E_1.

Hiển thị giải pháp

Giải pháp

Tam giác AEE_1 là hình chữ nhật, vì cạnh EE_1 vuông góc với mặt phẳng đáy lăng trụ nên góc AEE_1 sẽ là góc vuông.

Khi đó, theo định lý Pythagore, AE_1^2 = AE^2 + EE_1^2. Hãy tìm AE từ tam giác AFE bằng định lý cosin. Mọi góc trong của một hình lục giác đều là 120^(\circ). Sau đó AE^2=

AF^2+FE^2-2\cdot AF\cdot FE\cdot\cos120^(\circ)=

2^2+2^2-2\cdot2\cdot2\cdot\left (-\frac12 \right).

Do đó, AE^2=4+4+4=12,

10\cdot 2 =

Nguồn: “Toán học. Chuẩn bị cho kỳ thi Thống nhất năm 2017. Cấp độ hồ sơ." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Loại công việc: 8
Chủ đề: Lăng kính

Tình trạng

AE_1^2=12+4=16, AE_1=4. Tìm diện tích xung quanh của một hình lăng trụ thẳng, ở đáy của nó là một hình thoi có các đường chéo bằng

Hiển thị giải pháp

Giải pháp

4\sqrt5 · và 8, và cạnh bên bằng 5.

Diện tích bề mặt bên của hình lăng trụ thẳng được tính bằng công thức cạnh S. = P cơ bản h = 4a\cdot h, trong đó P cơ bản. và h lần lượt là chu vi đáy và chiều cao của lăng kính bằng 5 và a là cạnh của hình thoi. Chúng ta hãy tìm cạnh của hình thoi bằng cách sử dụng thực tế là các đường chéo của hình thoi ABCD vuông góc với nhau và chia đôi bởi điểm giao nhau. Giả sử chúng ta cần tìm thể tích của một hình lăng trụ tam giác vuông, diện tích đáy bằng S và chiều cao bằng

Chúng ta hãy vẽ riêng đáy của lăng kính, tức là tam giác ABC (Hình 307, a) và dựng nó thành một hình chữ nhật, trong đó chúng ta vẽ một đường thẳng KM đi qua đỉnh B || AC và từ các điểm A, C hạ các đường thẳng AF, CE vuông góc xuống đường thẳng này. Ta được hình chữ nhật ACEF. Vẽ chiều cao ВD của tam giác ABC, ta thấy hình chữ nhật ACEF được chia thành 4 tam giác vuông. Hơn nữa, $\Delta$ALL = $\Delta$BCD và $\Delta$BAF = $\Delta$BAD. Điều này có nghĩa là diện tích hình chữ nhật ACEF tăng gấp đôi nhiều diện tích hơn tam giác ABC, tức là bằng 2S.

Với lăng kính có đáy ABC này, chúng ta sẽ gắn các lăng kính có đáy ALL và BAF và chiều cao h = 4a\cdot h, trong đó P cơ bản. và h lần lượt là chu vi đáy và chiều cao của lăng kính bằng 5 và a là cạnh của hình thoi. Chúng ta hãy tìm cạnh của hình thoi bằng cách sử dụng thực tế là các đường chéo của hình thoi ABCD vuông góc với nhau và chia đôi bởi điểm giao nhau.(Hình 307, b). Chúng ta thu được một hình bình hành hình chữ nhật có đáy ACEF.

Nếu phân tích hình bình hành này bằng một mặt phẳng đi qua các đường thẳng BD và BB', chúng ta sẽ thấy hình bình hành hình chữ nhật gồm 4 lăng kính có đáy BCD, ALL, BAD và BAF.

Các lăng kính có đáy BCD và BC có thể được kết hợp, vì các đáy của chúng bằng nhau ($\Delta$BCD = $\Delta$BCE) và các cạnh bên của chúng, vuông góc với cùng một mặt phẳng, cũng bằng nhau. Điều này có nghĩa là thể tích của các lăng kính này bằng nhau. Thể tích của lăng trụ có đáy BAD và BAF cũng bằng nhau.

Do đó, thể tích của một hình lăng trụ tam giác có đáy ABC bằng một nửa thể tích hình chữ nhật song song với cơ sở ACEF.

Ta biết thể tích của hình chữ nhật có hình bình hành tương đương với sản phẩm diện tích đáy của nó theo chiều cao, tức là trong trong trường hợp này bằng 2S h = 4a\cdot h, trong đó P cơ bản. và h lần lượt là chu vi đáy và chiều cao của lăng kính bằng 5 và a là cạnh của hình thoi. Chúng ta hãy tìm cạnh của hình thoi bằng cách sử dụng thực tế là các đường chéo của hình thoi ABCD vuông góc với nhau và chia đôi bởi điểm giao nhau.. Do đó thể tích của lăng trụ tam giác vuông này bằng S h = 4a\cdot h, trong đó P cơ bản. và h lần lượt là chu vi đáy và chiều cao của lăng kính bằng 5 và a là cạnh của hình thoi. Chúng ta hãy tìm cạnh của hình thoi bằng cách sử dụng thực tế là các đường chéo của hình thoi ABCD vuông góc với nhau và chia đôi bởi điểm giao nhau..

Thể tích của một hình lăng trụ tam giác vuông bằng tích của diện tích đáy và chiều cao của nó.

2. Thể tích của lăng trụ đa giác vuông.

Để tìm khối lượng của một dòng lăng kính đa giác, ví dụ như hình ngũ giác, có diện tích đáy S và chiều cao h = 4a\cdot h, trong đó P cơ bản. và h lần lượt là chu vi đáy và chiều cao của lăng kính bằng 5 và a là cạnh của hình thoi. Chúng ta hãy tìm cạnh của hình thoi bằng cách sử dụng thực tế là các đường chéo của hình thoi ABCD vuông góc với nhau và chia đôi bởi điểm giao nhau., hãy chia nó thành các lăng trụ tam giác (Hình 308).

Biểu thị diện tích đáy của các hình lăng trụ tam giác bằng S 1, S 2 và S 3, và thể tích của một hình lăng trụ đa giác đã cho là V, chúng ta thu được:

V = S 1 h = 4a\cdot h, trong đó P cơ bản. và h lần lượt là chu vi đáy và chiều cao của lăng kính bằng 5 và a là cạnh của hình thoi. Chúng ta hãy tìm cạnh của hình thoi bằng cách sử dụng thực tế là các đường chéo của hình thoi ABCD vuông góc với nhau và chia đôi bởi điểm giao nhau.+ S2 h = 4a\cdot h, trong đó P cơ bản. và h lần lượt là chu vi đáy và chiều cao của lăng kính bằng 5 và a là cạnh của hình thoi. Chúng ta hãy tìm cạnh của hình thoi bằng cách sử dụng thực tế là các đường chéo của hình thoi ABCD vuông góc với nhau và chia đôi bởi điểm giao nhau.+ S3 h = 4a\cdot h, trong đó P cơ bản. và h lần lượt là chu vi đáy và chiều cao của lăng kính bằng 5 và a là cạnh của hình thoi. Chúng ta hãy tìm cạnh của hình thoi bằng cách sử dụng thực tế là các đường chéo của hình thoi ABCD vuông góc với nhau và chia đôi bởi điểm giao nhau., hoặc

V = (S 1 + S 2 + S 3) h = 4a\cdot h, trong đó P cơ bản. và h lần lượt là chu vi đáy và chiều cao của lăng kính bằng 5 và a là cạnh của hình thoi. Chúng ta hãy tìm cạnh của hình thoi bằng cách sử dụng thực tế là các đường chéo của hình thoi ABCD vuông góc với nhau và chia đôi bởi điểm giao nhau..

Và cuối cùng: V = S h = 4a\cdot h, trong đó P cơ bản. và h lần lượt là chu vi đáy và chiều cao của lăng kính bằng 5 và a là cạnh của hình thoi. Chúng ta hãy tìm cạnh của hình thoi bằng cách sử dụng thực tế là các đường chéo của hình thoi ABCD vuông góc với nhau và chia đôi bởi điểm giao nhau..

Theo cách tương tự, công thức tính thể tích của một lăng trụ đứng có đa giác bất kỳ ở đáy được rút ra.

Có nghĩa, Thể tích của bất kỳ lăng kính bên phải nào đều bằng tích của diện tích đáy và chiều cao của nó.

Khối lượng lăng kính

Định lý. Thể tích của lăng kính bằng tích của diện tích đáy và chiều cao.

Đầu tiên chúng ta chứng minh định lý này cho lăng trụ tam giác, sau đó cho lăng trụ đa giác.

1) Vẽ (Hình 95) qua cạnh AA 1 của lăng trụ tam giác ABCA 1 B 1 C 1 một mặt phẳng song song với mặt BB 1 C 1 C, và qua cạnh CC 1 - một mặt phẳng song song với mặt AA 1 B 1 B; sau đó chúng ta sẽ tiếp tục các mặt phẳng của cả hai đáy của lăng kính cho đến khi chúng giao nhau với các mặt phẳng đã vẽ.

Khi đó chúng ta có một BD 1 hình song song, được chia bởi mặt phẳng chéo AA 1 C 1 C thành hai lăng trụ tam giác (một trong số đó là lăng trụ này). Hãy chứng minh rằng các lăng kính này có kích thước bằng nhau. Để làm điều này, chúng ta vẽ một phần vuông góc abcd. Mặt cắt ngang sẽ tạo ra một hình bình hành có đường chéo ac chia đôi tam giác bằng nhau. Lăng kính này có kích thước bằng một lăng kính thẳng có đáy $\Delta$ abc và chiều cao là cạnh AA 1. Một hình lăng trụ tam giác khác có diện tích bằng đường thẳng có đáy $\Delta$ adc và chiều cao là cạnh AA 1. Nhưng hai lăng kính thẳng với bằng nhau Và chiều cao bằng nhau bằng nhau (vì khi lồng vào nhau chúng được kết hợp), nghĩa là lăng kính ABCA 1 B 1 C 1 và ADCA 1 D 1 C 1 có kích thước bằng nhau. Từ đó thể tích của lăng kính này bằng một nửa thể tích của hình bình hành BD 1; do đó, biểu thị chiều cao của lăng kính bằng H, chúng ta thu được:

$$ V_(\Delta ex.) = \frac(S_(ABCD)\cdot H)(2) = \frac(S_(ABCD))(2)\cdot H = S_(ABC)\cdot H $$

2) Vẽ các mặt phẳng chéo AA 1 C 1 C và AA 1 D 1 D qua cạnh AA 1 của lăng kính đa giác (Hình 96).

Khi đó lăng kính này sẽ được cắt thành nhiều hình lăng trụ tam giác. Tổng thể tích của các lăng kính này tạo thành thể tích cần thiết. Nếu chúng ta biểu thị diện tích các căn cứ của chúng bằng b 1 , b 2 , b 3, và tổng chiều cao qua H, ta được:

thể tích lăng trụ đa giác = b 1H+ b 2H+ b 3H =( b 1 + b 2 + b 3) H =

= (diện tích ABCDE) H.

Kết quả. Nếu V, B và H là các số biểu thị thể tích, diện tích đáy và chiều cao của lăng trụ theo đơn vị tương ứng thì theo những gì đã được chứng minh, chúng ta có thể viết:

Vật liệu khác

Sự định nghĩa.

Đây là một hình lục giác có hai đáy hình vuông bằng nhau, và các mặt bên là hình chữ nhật bằng nhau

sườn bên- Cái này mặt chung hai mặt kề nhau

Chiều cao lăng kính- là đoạn thẳng vuông góc với đáy lăng kính

Lăng kính chéo- đoạn nối hai đỉnh của các đáy không thuộc cùng một mặt

Mặt phẳng chéo- mặt phẳng đi qua đường chéo của lăng kính và các cạnh bên của nó

Mặt cắt chéo - ranh giới của giao điểm của lăng kính và mặt phẳng chéo. Mặt cắt chéo đúng lăng kính tứ giác là một hình chữ nhật

Phần vuông góc (phần trực giao)- đây là giao điểm của lăng kính và một mặt phẳng được vẽ vuông góc với các cạnh bên của nó

Các phần tử của lăng trụ tứ giác đều

Hình vẽ cho thấy hai lăng trụ tứ giác đều, được biểu thị bằng các chữ cái tương ứng:

Hai đáy ABCD và A 1 B 1 C 1 D 1 bằng nhau và song song với nhau
Mặt bên AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C và CC 1 D 1 D, mỗi hình là một hình chữ nhật
Bề mặt bên- tổng diện tích các mặt bên của lăng kính
Toàn bộ bề mặt- tổng diện tích của tất cả các đáy và các mặt bên (tổng diện tích của các mặt bên và các đáy)
Các gân bên AA 1, BB 1, CC 1 và DD 1.
Đường chéo B 1 D
Đường chéo cơ sở BD
Mặt cắt chéo BB 1 D 1 D
Mặt cắt vuông góc A 2 B 2 C 2 D 2.

Tính chất của lăng trụ tứ giác đều

Hai đáy là hai hình vuông bằng nhau
Các căn cứ song song với nhau
Các mặt bên là hình chữ nhật
Các cạnh bên bằng nhau
Các mặt bên vuông góc với các đáy
Các gân bên song song với nhau và bằng nhau
Tiết diện vuông góc với tất cả các gân bên và song song với các đáy
góc mặt cắt vuông góc- thẳng
Tiết diện chéo của lăng trụ tứ giác đều là hình chữ nhật
Vuông góc (trực giao) song song với các đáy

Công thức của lăng trụ tứ giác đều

Hướng dẫn giải quyết vấn đề

Khi giải quyết vấn đề về chủ đề " lăng kính tứ giác đều" có nghĩa là:

lăng kính đúng- một lăng kính ở đáy nằm đa giác đều, và các gân bên vuông góc với các mặt phẳng của đế. Nghĩa là một lăng trụ tứ giác đều chứa ở đáy quảng trường. (xem tính chất của lăng trụ tứ giác đều ở trên) Ghi chú. Đây là một phần của bài học về các bài toán hình học (phần lập thể - lăng kính). Đây là những vấn đề khó giải quyết. Nếu bạn cần giải một bài toán hình học không có ở đây, hãy viết về nó trên diễn đàn. Để biểu thị hành động lấy lại căn bậc hai biểu tượng được sử dụng để giải quyết vấn đề√ .

Nhiệm vụ.

Trong một lăng trụ tứ giác đều, diện tích đáy là 144 cm 2 và chiều cao là 14 cm. Tìm đường chéo của lăng trụ và diện tích toàn phần.

Giải pháp.
Tứ giác đều là hình vuông.
Theo đó cạnh đáy sẽ bằng

√144 = 12 cm.
Từ đó đường chéo của đáy của hình lăng trụ đứng hình chữ nhật đều sẽ bằng
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Đường chéo của lăng trụ đều tạo thành bằng đường chéo đáy và chiều cao của lăng trụ tam giác vuông. Theo đó, theo định lý Pythagore, đường chéo của một lăng trụ tứ giác đều sẽ bằng:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Trả lời: 22 cm

Nhiệm vụ

Xác định tổng diện tích của một hình lăng trụ tứ giác đều nếu đường chéo của nó là 5 cm và đường chéo của mặt bên là 4 cm.

Giải pháp.
Vì đáy của một lăng trụ tứ giác đều là hình vuông nên chúng ta tìm cạnh của đáy (ký hiệu là a) bằng định lý Pythagore:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5

Chiều cao của mặt bên (ký hiệu là h) khi đó sẽ bằng:

H 2 + 12,5 = 4 2
h 2 + 12,5 = 16
giờ 2 = 3,5
h = √3,5

Tổng diện tích bề mặt sẽ bằng tổng diện tích xung quanh và gấp đôi diện tích đáy

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Đáp án: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Lăng kính trực tiếp. BỀ MẶT VÀ KHỐI LƯỢNG CỦA MỘT LÓT TRỰC TRỰC TIẾP.

§ 68. KHỐI LƯỢNG CỦA MỘT LỰA CHỌN TRỰC TIẾP.

1. Thể tích hình lăng trụ tam giác vuông.

Giả sử chúng ta cần tìm thể tích của một hình lăng trụ tam giác vuông, diện tích đáy bằng S và chiều cao bằng h = 4a\cdot h, trong đó P cơ bản. và h lần lượt là chu vi đáy và chiều cao của lăng kính bằng 5 và a là cạnh của hình thoi. Chúng ta hãy tìm cạnh của hình thoi bằng cách sử dụng thực tế là các đường chéo của hình thoi ABCD vuông góc với nhau và chia đôi bởi điểm giao nhau.= AA" = = BB" = SS" (hình 306).

Chúng ta hãy vẽ riêng đáy của lăng kính, tức là tam giác ABC (Hình 307, a) và dựng nó thành một hình chữ nhật, trong đó chúng ta vẽ một đường thẳng KM đi qua đỉnh B || AC và từ các điểm A, C hạ các đường thẳng AF, CE vuông góc xuống đường thẳng này. Ta được hình chữ nhật ACEF. Vẽ chiều cao ВD của tam giác ABC, ta thấy hình chữ nhật ACEF được chia thành 4 tam giác vuông. Hơn thế nữa /\ TẤT CẢ = /\ BCD và /\ VAF = /\ VAD. Điều này có nghĩa là diện tích hình chữ nhật ACEF gấp đôi diện tích tam giác ABC, tức là bằng 2S.

Với lăng kính có đáy ABC này, chúng ta sẽ gắn các lăng kính có đáy ALL và BAF và chiều cao h = 4a\cdot h, trong đó P cơ bản. và h lần lượt là chu vi đáy và chiều cao của lăng kính bằng 5 và a là cạnh của hình thoi. Chúng ta hãy tìm cạnh của hình thoi bằng cách sử dụng thực tế là các đường chéo của hình thoi ABCD vuông góc với nhau và chia đôi bởi điểm giao nhau.(Hình 307, b). Ta thu được hình chữ nhật có đáy hình bình hành
ACEF.

Nếu phân tích hình bình hành này bằng một mặt phẳng đi qua các đường thẳng BD và BB" ta sẽ thấy hình bình hành hình chữ nhật gồm 4 lăng trụ có đáy
BCD, TẤT CẢ, BAD và BAF.

Các lăng kính có cơ sở BCD và ALL có thể được kết hợp vì cơ sở của chúng bằng nhau ( /\ ВСD = /\ BSE) và các cạnh bên của chúng cũng bằng nhau, vuông góc với cùng một mặt phẳng. Điều này có nghĩa là thể tích của các lăng kính này bằng nhau. Thể tích của lăng trụ có đáy BAD và BAF cũng bằng nhau.

Do đó, hóa ra thể tích của một hình lăng trụ tam giác có đáy
ABC có thể tích bằng nửa thể tích hình hộp chữ nhật đáy ACEF.

Chúng ta biết rằng thể tích của một hình bình hành hình chữ nhật bằng tích của diện tích đáy và chiều cao của nó, tức là trong trường hợp này nó bằng 2S h = 4a\cdot h, trong đó P cơ bản. và h lần lượt là chu vi đáy và chiều cao của lăng kính bằng 5 và a là cạnh của hình thoi. Chúng ta hãy tìm cạnh của hình thoi bằng cách sử dụng thực tế là các đường chéo của hình thoi ABCD vuông góc với nhau và chia đôi bởi điểm giao nhau.. Do đó thể tích của lăng trụ tam giác vuông này bằng S h = 4a\cdot h, trong đó P cơ bản. và h lần lượt là chu vi đáy và chiều cao của lăng kính bằng 5 và a là cạnh của hình thoi. Chúng ta hãy tìm cạnh của hình thoi bằng cách sử dụng thực tế là các đường chéo của hình thoi ABCD vuông góc với nhau và chia đôi bởi điểm giao nhau..

Thể tích của một hình lăng trụ tam giác vuông bằng tích của diện tích đáy và chiều cao của nó.

2. Thể tích của lăng trụ đa giác vuông.

Để tìm thể tích của một hình lăng trụ đa giác vuông, ví dụ hình lăng trụ ngũ giác, có diện tích đáy S và chiều cao h = 4a\cdot h, trong đó P cơ bản. và h lần lượt là chu vi đáy và chiều cao của lăng kính bằng 5 và a là cạnh của hình thoi. Chúng ta hãy tìm cạnh của hình thoi bằng cách sử dụng thực tế là các đường chéo của hình thoi ABCD vuông góc với nhau và chia đôi bởi điểm giao nhau., hãy chia nó thành các lăng trụ tam giác (Hình 308).

Biểu thị diện tích đáy của các hình lăng trụ tam giác bằng S 1, S 2 và S 3, và thể tích của một hình lăng trụ đa giác đã cho là V, chúng ta thu được:

Theo cách tương tự, công thức tính thể tích của một lăng trụ đứng có đa giác bất kỳ ở đáy được rút ra.

Có nghĩa, Thể tích của bất kỳ lăng kính bên phải nào đều bằng tích của diện tích đáy và chiều cao của nó.

Bài tập.

1. Tính thể tích của một hình lăng trụ thẳng có hình bình hành ở đáy bằng cách sử dụng dữ liệu sau:

2. Tính thể tích của hình lăng trụ thẳng có hình tam giác ở đáy bằng cách sử dụng dữ liệu sau:

3. Tính thể tích của một hình lăng trụ thẳng có đáy là một tam giác đều có cạnh 12 cm (32 cm, 40 cm). Chiều cao lăng kính 60 cm.

4. Tính thể tích của một hình lăng trụ thẳng có đáy là tam giác vuông có hai chân lần lượt là 12 cm và 8 cm (16 cm và 7 cm; 9 m và 6 m). Chiều cao của lăng kính là 0,3 m.

5. Tính thể tích của hình lăng trụ thẳng có hình thang ở đáy các cạnh song song 18 cm và 14 cm và chiều cao của lăng kính là 40 cm.

6. Tính khối lượng của bạn lớp học(phòng tập thể dục, phòng của bạn).

7. Tổng diện tích của hình lập phương là 150 cm 2 (294 cm 2, 864 cm 2). Tính thể tích của khối lập phương này.

8. Chiều dài của viên gạch xây dựng là 25,0 cm, chiều rộng là 12,0 cm, chiều dày là 6,5 cm a) Tính thể tích của nó, b) Xác định trọng lượng của nó nếu 1. centimet khối gạch nặng 1,6 g.

9. Cần bao nhiêu viên gạch xây dựng để xây được một bức tường gạch đặc hình chữ nhật song song dài 12 m, rộng 0,6 m và cao 10 m? (Kích thước gạch từ bài tập 8.)

10. Chiều dài của một tấm ván được cắt sạch là 4,5 m, chiều rộng - 35 cm, độ dày - 6 cm a) Tính thể tích b) Xác định trọng lượng của nó nếu một deximét khối của tấm ván nặng 0,6 kg.

11. Có thể chất bao nhiêu tấn cỏ khô trong một vựa cỏ khô có mái đầu hồi (Hình 309), nếu chiều dài của vựa cỏ khô là 12 m, chiều rộng là 8 m, chiều cao là 3,5 m và chiều cao của sườn mái là 1,5 m? ( Trọng lượng riêng lấy cỏ khô là 0,2.)

12. Phải đào mương dài 0,8 km; Về mặt cắt, mương có dạng hình thang có đáy 0,9 m và 0,4 m, độ sâu của mương là 0,5 m (hình vẽ 310). Cần phải loại bỏ bao nhiêu mét khối đất?