Chúng ta hãy xem xét các câu hỏi về phương pháp luận để nghiên cứu một chủ đề như “xây dựng đồ thị của hàm tuyến tính phân số”. Thật không may, nghiên cứu của nó đã bị loại khỏi chương trình cơ bản và gia sư toán trong các lớp của anh ấy không đề cập đến nó thường xuyên như chúng tôi mong muốn. Tuy nhiên, lớp học toán Chưa có ai hủy bỏ phần thứ hai của GIA. Và trong Kỳ thi Thống nhất có khả năng thâm nhập vào nội dung của nhiệm vụ C5 (thông qua các tham số). Vì vậy, bạn sẽ phải xắn tay áo lên và tìm ra phương pháp giải thích trong bài học với một học sinh khá giỏi hoặc trung bình. Theo quy định, gia sư toán phát triển các phương pháp giải thích các phần chính chương trình giảng dạy ở trường trong 5-7 năm đầu làm việc. Trong thời gian này, hàng chục học sinh thuộc nhiều hạng mục khác nhau đã lọt qua mắt và tay của gia sư. Từ những đứa trẻ yếu đuối và bị bỏ rơi, những đứa trẻ bỏ học và trốn học đến những tài năng có mục đích.
Theo thời gian, gia sư toán sẽ nắm vững cách giải thích khái niệm phức tạp bằng ngôn ngữ đơn giản mà không làm mất đi tính đầy đủ và chính xác về mặt toán học. sản xuất phong cách cá nhân trình bày tài liệu, lời nói, đệm hình ảnh và ghi âm. Bất kỳ gia sư có kinh nghiệm nào cũng sẽ kể bài học với nhắm mắt lại, bởi vì anh ta biết trước những vấn đề nảy sinh khi hiểu tài liệu và những gì cần thiết để giải quyết chúng. Điều quan trọng là phải chọn những lời đúng và ghi chú, ví dụ cho đầu bài, giữa và cuối bài, cũng như soạn bài tập về nhà một cách chính xác.
Về một số kỹ thuật riêng để làm việc với chủ đề chúng ta sẽ nói chuyện trong bài viết này.
Gia sư dạy toán bắt đầu bằng đồ thị nào?
Bạn cần bắt đầu bằng việc xác định khái niệm đang được nghiên cứu. Hãy để tôi nhắc bạn rằng hàm tuyến tính phân số là một hàm có dạng . Việc xây dựng của nó liên quan đến việc xây dựng cường điệu phổ biến nhất sử dụng các kỹ thuật đơn giản nổi tiếng để chuyển đổi đồ thị. 
Trong thực tế, chúng chỉ đơn giản đối với chính gia sư. Cho dù giáo viên có đến sinh viên mạnh mẽ, với tốc độ tính toán và biến đổi vừa đủ, anh vẫn phải dạy riêng những kỹ thuật này. Tại sao? Ở trường lớp 9, đồ thị chỉ được xây dựng bằng phép dịch chuyển và không sử dụng các phương pháp cộng các số nhân (phương pháp nén và kéo dãn). Gia sư toán sử dụng biểu đồ nào? 
Đâu là nơi tốt nhất để bắt đầu? Theo tôi, tất cả việc chuẩn bị được thực hiện bằng cách sử dụng ví dụ về chức năng thuận tiện nhất 
. Tôi nên sử dụng cái gì khác? Lượng giác ở lớp 9 được học không dùng đồ thị (và trong sách giáo khoa đã được sửa đổi để phù hợp với điều kiện của kỳ thi cấp Nhà nước môn Toán cũng không được dạy). hàm bậc hai không có cùng “sức nặng phương pháp luận” trong chủ đề này như phần gốc. Tại sao? Ở lớp 9 tam thức bậc haiđược nghiên cứu kỹ lưỡng và sinh viên có khả năng giải quyết các vấn đề xây dựng mà không cần thay đổi. Biểu mẫu ngay lập tức gợi lên phản xạ mở dấu ngoặc, sau đó bạn có thể áp dụng quy tắc vẽ đồ thị tiêu chuẩn thông qua đỉnh của hình parabol và bảng giá trị. Với thao tác như vậy sẽ không thể thực hiện được và gia sư toán sẽ dễ dàng tạo động lực cho học sinh học tập hơn kỹ thuật chung những biến đổi. Sử dụng mô-đun y=|x| cũng không tự biện minh được, vì nó không được nghiên cứu kỹ càng từ gốc rễ và học sinh vô cùng sợ hãi nó. 
Ngoài ra, bản thân mô-đun (chính xác hơn là "treo" của nó) cũng được bao gồm trong số các phép biến đổi đang được nghiên cứu.
Vì vậy, gia sư không còn gì thuận tiện và hiệu quả hơn là chuẩn bị cho các phép biến đổi bằng cách sử dụng căn bậc hai. Bạn cần thực hành cách xây dựng đồ thị của những thứ như thế này. Chúng ta hãy coi sự chuẩn bị này là một thành công lớn. Trẻ có thể di chuyển và thậm chí nén/kéo dài đồ thị. Tiếp theo là gì?
Giai đoạn tiếp theo là học cách cô lập toàn bộ một phần. Có lẽ đây là nhiệm vụ chính của người gia sư môn toán, vì sau toàn bộ phần sẽ được phân bổ cô ấy sẽ tiếp quản chia sẻ của sư tử toàn bộ tải tính toán về chủ đề này. Điều cực kỳ quan trọng là chuẩn bị chức năng theo hình thức phù hợp với một trong các sơ đồ xây dựng tiêu chuẩn. Điều quan trọng nữa là phải mô tả logic của các phép biến đổi một cách dễ hiểu, dễ hiểu và mặt khác, chính xác và hài hòa về mặt toán học.
Hãy để tôi nhắc bạn rằng để xây dựng biểu đồ, bạn cần chuyển đổi phân số thành dạng 
. Chính xác cho việc này, và không phải cho 
, giữ nguyên mẫu số. Tại sao? Rất khó để thực hiện các phép biến đổi trên một đồ thị không chỉ bao gồm các phần mà còn có các tiệm cận. Tính liên tục được sử dụng để kết nối hai hoặc ba điểm di chuyển rõ ràng hoặc ít hơn bằng một đường. Trong trường hợp hàm không liên tục, bạn không thể tìm ra ngay điểm nào cần kết nối. Vì vậy, việc nén hoặc kéo dãn một cường điệu là vô cùng bất tiện. Gia sư toán chỉ có nghĩa vụ dạy học sinh cách thực hiện ca làm việc một mình.
Để làm được điều này, ngoài việc chọn toàn bộ phần, bạn còn cần loại bỏ hệ số khỏi mẫu số c.
Chọn phần nguyên của phân số
Làm thế nào để dạy làm nổi bật toàn bộ phần? Gia sư toán không phải lúc nào cũng đánh giá đầy đủ trình độ kiến thức của học sinh và mặc dù không có nghiên cứu chi tiếtĐịnh lý chia cho đa thức có số dư áp dụng quy tắc chia góc. Nếu giáo viên đảm nhận việc chia góc, anh ta sẽ phải dành gần một nửa bài học để giải thích về nó (tất nhiên nếu mọi thứ đều được chứng minh một cách cẩn thận). Thật không may, gia sư không phải lúc nào cũng có sẵn thời gian này. Tốt hơn hết là đừng nhớ bất kỳ góc nào cả.
Có hai hình thức làm việc với học sinh:
1) Gia sư cho học sinh xem một thuật toán làm sẵn bằng cách sử dụng một số ví dụ về hàm phân số.
2) Giáo viên tạo điều kiện tìm kiếm logic cho thuật toán này.
Đối với tôi, việc thực hiện con đường thứ hai là thú vị nhất cho việc dạy kèm và cực kỳ hữu ích. phát triển tư duy của học sinh. Với sự trợ giúp của một số gợi ý và chỉ dẫn nhất định, thường có thể dẫn đến việc phát hiện ra một trình tự nhất định bước đi đúng đắn. Ngược lại với việc thực hiện một cách máy móc một kế hoạch do ai đó vạch ra, một học sinh lớp 9 học cách tự mình tìm kiếm nó. Đương nhiên, mọi lời giải thích đều phải được thực hiện bằng ví dụ. Với mục đích này, chúng ta hãy lấy một hàm và xem xét nhận xét của giáo viên về logic tìm kiếm của thuật toán. Một gia sư toán hỏi: “Điều gì ngăn cản chúng ta thực hiện một phép biến đổi đồ thị tiêu chuẩn bằng cách dịch chuyển dọc theo các trục? Tất nhiên, sự hiện diện đồng thời của X ở cả tử số và mẫu số. Điều này có nghĩa là nó phải được loại bỏ khỏi tử số. Làm thế nào để làm điều này bằng cách sử dụng chuyển đổi danh tính? Chỉ có một cách - giảm phân số. Nhưng chúng ta không có các thừa số bằng nhau (trong ngoặc). Điều này có nghĩa là chúng ta cần cố gắng tạo ra chúng một cách nhân tạo. Nhưng làm thế nào? Bạn không thể thay thế tử số bằng mẫu số mà không có bất kỳ sự chuyển đổi giống hệt nào. Hãy thử biến đổi tử số để nó bao gồm dấu ngoặc đơn, bằng mẫu số. Hãy đặt nó ở đó cưỡng bức và “chồng” các hệ số sao cho khi chúng “ảnh hưởng” đến khung, tức là khi nó mở và thêm điều khoản tương tự, chúng ta sẽ nhận được đa thức tuyến tính 2x+3.
Gia sư toán chèn các khoảng trống cho các hệ số dưới dạng hình chữ nhật trống (như sách giáo khoa lớp 5–6 thường sử dụng) và đặt nhiệm vụ điền số vào các ô đó. Việc lựa chọn phải được thực hiện từ trái sang phải, bắt đầu từ lần vượt qua đầu tiên. Học sinh phải tưởng tượng mình sẽ mở khung như thế nào. Vì việc khai triển của nó sẽ chỉ dẫn đến một số hạng với X nên hệ số của nó phải bằng hệ số cao nhất ở tử số cũ 2x+3. Do đó, hiển nhiên ô vuông đầu tiên chứa số 2. Nó đã được lấp đầy. Gia sư toán nên dạy một phân số khá đơn giản hàm tuyến tính, với c=1. Chỉ sau đó, chúng ta mới có thể chuyển sang phân tích các ví dụ có vẻ ngoài khó chịu về tử số và mẫu số (bao gồm cả các hệ số phân số).
Hãy tiếp tục. Giáo viên mở ngoặc và ký kết quả ngay phía trên. 
Bạn có thể tô màu cho cặp yếu tố tương ứng. Đối với “thuật ngữ mở”, cần phải thêm một số như vậy từ khoảng trống thứ hai để có được hệ số tự do của tử số cũ. Rõ ràng đó là số 7.
Tiếp theo, phân số được chia thành tổng của các phân số riêng lẻ (tôi thường khoanh tròn các phân số bằng một đám mây, so sánh sự sắp xếp của chúng với cánh của một con bướm). Và tôi nói: “Hãy chia phần bằng một con bướm.” Học sinh nhớ rất rõ cụm từ này. 
Gia sư toán chỉ ra toàn bộ quá trình cô lập toàn bộ một bộ phận thành một dạng mà bạn có thể áp dụng thuật toán dịch chuyển hyperbol: 
Nếu mẫu số không có bằng một hệ số cao nhất thì trong mọi trường hợp bạn không nên để nó ở đó. Điều này sẽ mang lại cho cả gia sư và học sinh thêm đau đầu, gắn liền với nhu cầu chuyển đổi bổ sung và phức tạp nhất: nén - kéo dài. Đối với việc xây dựng sơ đồ của đồ thị tỷ lệ trực tiếp, loại tử số không quan trọng. Điều chính là để biết dấu hiệu của anh ấy. Sau đó, tốt hơn là chuyển hệ số cao nhất của mẫu số cho nó. Ví dụ: nếu chúng ta làm việc với hàm 
, thì chúng ta chỉ cần lấy 3 ra khỏi ngoặc và “nâng” nó vào tử số, tạo thành một phân số trong đó. Chúng ta có một biểu thức thuận tiện hơn nhiều cho việc xây dựng: Tất cả những gì còn lại là di chuyển nó sang phải và lên trên 2.
Nếu có một “điểm trừ” giữa toàn bộ phần 2 và phần còn lại thì nên đưa nó vào tử số sẽ tốt hơn. Nếu không, ở một giai đoạn xây dựng nhất định, bạn sẽ phải hiển thị thêm hyperbol so với trục Oy. Điều này sẽ chỉ làm phức tạp quá trình.
Nguyên tắc vàng của gia sư toán:
mọi hệ số bất tiện dẫn đến đối xứng, nén hoặc kéo giãn đồ thị đều phải chuyển sang tử số.
Thật khó để mô tả các kỹ thuật để làm việc với bất kỳ chủ đề nào. Luôn có một cảm giác có chút gì đó thiếu hiểu biết. Chúng ta có thể nói về hàm tuyến tính phân số ở mức độ nào là tùy bạn đánh giá. Gửi nhận xét và đánh giá của bạn đến bài viết (chúng có thể được viết vào hộp mà bạn nhìn thấy ở cuối trang). Tôi chắc chắn sẽ xuất bản chúng.
Kolpak A.N. Gia sư toán Matxcova. Strogino. Phương pháp dành cho gia sư.
Trang chủ > Văn họcthành phố cơ sở giáo dục
"Trung bình trường trung học Số 24"
Có vấn đề – tác phẩm trừu tượng
về đại số và nguyên tắc phân tích
Đồ thị của hàm hữu tỉ phân số
Học sinh lớp 11 A Natalia Sergeevna Tovchegrechko Giám sát công việc Valentina Vasilievna Parsheva giáo viên toán, giáo viên đại học hạng mục trình độ chuyên môn
Severodvinsk
Nội dung 3Giới thiệu 4Phần chính. Đồ thị hàm số hữu tỉ 6 Kết luận 17 Ngữ văn 18Giới thiệu
Vẽ đồ thị hàm số là một trong những chủ đề thú vị nhất V. toán học. Một trong những nhà toán học vĩ đại nhất của thời đại chúng ta, Israel Moiseevich Gelfand, đã viết: “Quá trình xây dựng đồ thị là một cách chuyển đổi các công thức và mô tả thành các hình ảnh hình học. Việc vẽ đồ thị này là một phương tiện để xem các công thức và hàm số cũng như xem các hàm số đó thay đổi như thế nào. Ví dụ, nếu nó được viết y=x 2, thì bạn sẽ thấy ngay một parabol; nếu y=x 2 -4, bạn thấy một parabol giảm đi bốn đơn vị; nếu y=4-x 2 thì bạn sẽ thấy parabol trước đó quay xuống. Khả năng nhìn thấy cả một công thức và cách giải thích hình học của nó cùng một lúc rất quan trọng không chỉ đối với việc học toán mà còn đối với các môn học khác. Đó là một kỹ năng sẽ theo bạn suốt đời, giống như khả năng đi xe đạp, đánh máy hoặc lái ô tô.” Trong bài học toán chúng ta xây dựng chủ yếu những đồ thị đơn giản nhất - đồ thị các hàm cơ bản. Chỉ đến lớp 11, các em mới học cách xây dựng các hàm phức tạp hơn bằng cách sử dụng đạo hàm. Khi đọc sách:- N.A. Virchenko, I.I. Lyashko, K.I. Shvetsov. Thư mục. Đồ thị chức năng. Kyiv “Naukova Dumka” 1979 V.S. Kramor. Lặp lại và hệ thống hóa khóa họcđại số và sự khởi đầu của phân tích. Moscow “Khai sáng” 1990 Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk. Đại số - lớp 8. Chương bổ sungĐẾN sách giáo khoa ở trường. “Khai sáng” Moscow, 1998 I.M. Gelfand, E.G. Glagoleva, E.E. Shnol. Hàm và đồ thị (kỹ thuật cơ bản). Nhà xuất bản MCNMO, Moscow 2004 S.M. Nikolsky. M.K. Potapov, N.N. Reshetnikov, A.V. Shevkin. Đại số và khởi đầu phân tích: SGK lớp 11.
Tôi thấy rằng các đồ thị hàm phức tạp có thể được xây dựng mà không cần sử dụng đạo hàm, tức là theo những cách cơ bản. Vì vậy, tôi chọn đề tài tiểu luận của mình: “Đồ thị hàm số hữu tỉ”.
Phần chính. Đồ thị của hàm hữu tỉ phân số
1. Phân số - hàm tuyến tính và đồ thị của nó
Chúng ta đã làm quen với hàm số có dạng y=k/x, trong đó k≠0, các tính chất và đồ thị của nó. Hãy chú ý đến một tính năng của chức năng này. Hàm y=k/x trên tập hợp số dương có đặc tính là với sự gia tăng không giới hạn các giá trị của đối số (khi x có xu hướng cộng vô cùng), các giá trị của hàm, trong khi vẫn dương, có xu hướng bằng 0. Khi đi xuống giá trị tích cựcđối số (khi x tiến tới 0), các giá trị của hàm tăng không giới hạn (y có xu hướng cộng vô cùng). Một hình ảnh tương tự được quan sát thấy trong bộ số âm. Trên biểu đồ (Hình 1), tính chất này được thể hiện ở chỗ các điểm của hyperbol, khi chúng di chuyển ra xa vô cùng (sang phải hoặc trái, lên hoặc xuống) tính từ gốc tọa độ, sẽ tiếp cận vô tận đường thẳng đường thẳng: trục x, khi │x│ có xu hướng cộng vô cực hoặc theo trục y khi │x│ có xu hướng tiến về 0. Dòng này được gọi là tiệm cận của đường cong.Cơm. 1
Hyperbol y=k/x có hai đường tiệm cận: trục x và trục y. Khái niệm về trò chơi tiệm cận vai trò quan trọng khi xây dựng đồ thị của nhiều hàm số. Bằng cách sử dụng các phép biến đổi của đồ thị hàm số mà chúng ta đã biết, chúng ta có thể di chuyển hyperbol y=k/x sang mặt phẳng tọa độ phải hoặc trái, lên hoặc xuống. Kết quả là chúng ta sẽ thu được đồ thị hàm số mới. Ví dụ 1.Đặt y=6/x. Hãy dịch hyperbol này sang phải 1,5 đơn vị, sau đó dịch đồ thị thu được lên 3,5 đơn vị. Với phép biến đổi này, các tiệm cận của hyperbol y=6/x cũng sẽ dịch chuyển: trục x sẽ đi thành đường thẳng y=3,5, trục y sẽ đi thành đường thẳng y=1,5 (Hình 2). Hàm mà chúng ta đã vẽ đồ thị có thể được xác định bằng công thức
.
Hãy biểu diễn biểu thức ở vế phải của công thức này dưới dạng phân số:
Điều này có nghĩa là Hình 2 thể hiện đồ thị của hàm được cho bởi công thức
.
Phân số này có tử số và mẫu số là nhị thức tuyến tính đối với x. Các hàm như vậy được gọi là hàm tuyến tính phân số.
, Ở đâu x là một biến, a,b, c, d – số đã cho, và c≠0 và
bc- quảng cáo≠0 được gọi là hàm tuyến tính phân số. Lưu ý rằng yêu cầu trong định nghĩa là c≠0 và
bc-ad≠0, đáng kể. Khi c=0 và d≠0 hoặc bc-ad=0 chúng ta thu được hàm tuyến tính. Thật vậy, nếu c=0 và d≠0 thì
.
Nếu bc-ad=0, c≠0, biểu thị b từ đẳng thức này thông qua a, c và d và thay nó vào công thức, chúng ta nhận được:
Vì vậy, trong trường hợp đầu tiên chúng ta có hàm tuyến tính cái nhìn tổng quát 
, trong trường hợp thứ hai – một hằng số 
. Bây giờ chúng ta hãy trình bày cách vẽ đồ thị hàm phân số tuyến tính nếu nó được cho bởi một công thức có dạng 
Ví dụ 2. Hãy vẽ đồ thị hàm số 
, tức là hãy trình bày nó dưới dạng 
: chọn toàn bộ phần của phân số, chia tử số cho mẫu số, ta được:
Vì thế, 
. Chúng ta thấy rằng đồ thị của hàm số này có thể thu được từ đồ thị của hàm y=5/x bằng cách sử dụng hai phép dịch chuyển liên tiếp: dịch hyperbola y=5/x sang phải 3 đơn vị, sau đó dịch hyperbola thu được 
tăng lên 2 đơn vị Với những sự dịch chuyển này, các tiệm cận của hyperbol y = 5/x cũng sẽ di chuyển: trục x lên trên 2 đơn vị và trục y sang phải 3 đơn vị. Để dựng đồ thị, ta vẽ các đường tiệm cận trong mặt phẳng tọa độ bằng một đường chấm chấm: đường thẳng y=2 và đường thẳng x=3. Vì hyperbol bao gồm hai nhánh nên để xây dựng mỗi nhánh chúng ta sẽ soạn hai bảng: một bảng cho x<3, а другую для x>3 (tức là điểm thứ nhất nằm ở bên trái giao điểm của các đường tiệm cận và điểm thứ hai nằm ở bên phải điểm đó):
Tôi thích bất kỳ phân số nào 
có thể được viết theo cách tương tự, làm nổi bật toàn bộ phần của nó. Do đó, đồ thị của tất cả các hàm tuyến tính phân số đều là hyperbol, theo nhiều cách khác nhau dịch chuyển song song trục tọa độ và kéo dài dọc theo trục Oy.
Ví dụ 3.
Hãy vẽ đồ thị hàm số 
.Vì chúng ta biết rằng đồ thị là một hyperbol, nên chỉ cần tìm các đường thẳng mà các nhánh (tiệm cận) của nó tiếp cận và một vài điểm nữa là đủ. Đầu tiên chúng ta tìm tiệm cận đứng. Hàm không được xác định trong đó 2x+2=0, tức là. tại x=-1. Do đó tiệm cận đứng là đường thẳng x = -1. Để tìm tiệm cận ngang, bạn cần xem các giá trị của hàm tiến đến đâu khi đối số tăng (bằng giá trị tuyệt đối), số hạng thứ hai trong tử số và mẫu số của phân số 
tương đối nhỏ. Đó là lý do tại sao
.
Vì thế, tiệm cận ngang– đường thẳng y=3/2. Hãy xác định các điểm giao nhau của hyperbola của chúng ta với các trục tọa độ. Tại x=0 ta có y=5/2. Hàm bằng 0 khi 3x+5=0, tức là. tại x=-5/3 Đánh dấu các điểm (-5/3;0) và (0;5/2) trên hình vẽ và vẽ các đường ngang tìm được và tiệm cận đứng, hãy xây dựng một biểu đồ (Hình 4).
Nói chung, để tìm tiệm cận ngang, bạn cần chia tử số cho mẫu số thì y=3/2+1/(x+1), y=3/2 là tiệm cận ngang.
2. Hàm hữu tỉ phân số
Hãy xét phân số hàm hợp lý
,
Trong đó tử số và mẫu số là đa thức bậc n và bằng thứ m. Gọi phân số đó là một phân số đúng (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и при том единственным образом, в виде суммы số hữu hạn các phân số cơ bản, dạng của nó được xác định bằng cách phân tích mẫu số của phân số Q(x) thành tích các thừa số thực: Nếu:
Trong đó k 1 ... k s là các nghiệm của đa thức Q (x), lần lượt có bội số m 1 ... m s và các tam thức tương ứng với các cặp chia động từ rễ phức tạp Q(x) bội số m 1 ... m t của một phân số có dạng
Gọi điện tiểu học phân số hợp lý loại thứ nhất, thứ hai, thứ ba và thứ tư tương ứng. Ở đây A, B, C, k – số thực; m và m - các số tự nhiên, m, m>1; một tam thức với các hệ số thực x 2 +px+q có nghiệm ảo. Rõ ràng, đồ thị của hàm hữu tỉ có thể thu được dưới dạng tổng các đồ thị của các phân số cơ bản. Đồ thị của hàm số
Ta thu được từ đồ thị của hàm số 1/x m (m~1, 2, ...) bằng cách sử dụng chuyển song song dọc theo trục x theo đơn vị tỷ lệ │k│ ở bên phải. Đồ thị hàm số dạng
Rất dễ dàng để xây dựng nếu bạn chọn mẫu số hình vuông hoàn hảo, rồi tiến hành lập đồ thị tương ứng của hàm 1/x 2. Vẽ đồ thị một hàm
bắt đầu xây dựng tích của đồ thị của hai hàm số:
y= Bx+ C Và
Bình luận. Vẽ đồ thị hàm số
Ở đâu a d-b c
0
, 
,
ở đâu n - số tự nhiên, có thể được thực hiện bởi sơ đồ chung nghiên cứu một hàm số và vẽ đồ thị trong một số ví dụ cụ thể bạn có thể xây dựng thành công một biểu đồ bằng cách thực hiện các phép biến đổi biểu đồ thích hợp; cách tốt nhấtđưa ra phương pháp toán cao hơn. Ví dụ 1. Vẽ đồ thị hàm số
.
Cô lập toàn bộ phần, chúng ta có
.
Phân số 
Hãy biểu diễn nó dưới dạng tổng của các phân số cơ bản:
.
Hãy xây dựng đồ thị hàm số:
Sau khi thêm các biểu đồ này, chúng ta sẽ có được biểu đồ hàm đã cho:
Hình 6, 7, 8 trình bày các ví dụ về xây dựng đồ thị hàm số 
Và 
. Ví dụ 2. Vẽ đồ thị một hàm 
:
(1); 
(2); 
(3); (4)
: 
(1); 
(2); 
(3); (4)
Phần kết luận
Khi thực hiện công việc trừu tượng: - làm rõ khái niệm về hàm tuyến tính phân số và hàm hữu tỉ phân số: Định nghĩa 1. Hàm tuyến tính phân số là một hàm có dạng , trong đó x là một biến, a, b, c và d là các số có c≠0 và bc-ad≠0. Định nghĩa 2. Hàm hữu tỉ phân số là một hàm có dạngỞ đâu n Xây dựng thuật toán vẽ đồ thị của các hàm số này; Có kinh nghiệm về các chức năng vẽ như: Tôi học cách làm việc với các tài liệu và tài liệu bổ sung, chọn lọc thông tin khoa học; - Tôi đã có kinh nghiệm thực hiện công việc đồ họa trên máy tính; - Tôi đã học cách viết tác phẩm trừu tượng dựa trên vấn đề. Chú thích. Trước thềm thế kỷ 21, chúng ta bị tấn công bởi vô số cuộc thảo luận và suy đoán về xa lộ thông tin và kỷ nguyên công nghệ sắp tới. Trước thềm thế kỷ 21, chúng ta bị tấn công bởi vô số cuộc thảo luận và suy đoán về xa lộ thông tin và kỷ nguyên công nghệ sắp tới. Tuyển tập này là số thứ năm do nhóm Phòng thí nghiệm-Thể dục Sư phạm Thành phố Mátxcơva số 1505 chuẩn bị với sự hỗ trợ của……. Bài viết cố gắng so sánh trên quy mô lớn các cách tiếp cận khác nhau về mối quan hệ giữa toán học và kinh nghiệm, vốn được phát triển chủ yếu trong khuôn khổ của chủ nghĩa tiên nghiệm và chủ nghĩa kinh nghiệm. Trong bài này chúng ta sẽ tìm hiểu hàm tuyến tính phân số, giải các bài toán sử dụng hàm tuyến tính phân số, mô đun, tham số. Chủ đề: Sự lặp lại Bài học: Hàm tuyến tính phân số Sự định nghĩa: Một chức năng của hình thức: Ví dụ: Hãy chứng minh rằng đồ thị của hàm phân số tuyến tính này là một hyperbol. Hãy lấy hai số đó ra khỏi ngoặc ở tử số và nhận được: Ta có x ở cả tử số và mẫu số. Bây giờ chúng ta biến đổi để biểu thức xuất hiện ở tử số: Bây giờ chúng ta hãy giảm số hạng phân số theo số hạng: Rõ ràng đồ thị của hàm số này là một hyperbol. Chúng ta có thể đề xuất phương pháp chứng minh thứ hai, đó là chia tử số cho mẫu số trong một cột: Đã nhận: Điều quan trọng là có thể dễ dàng xây dựng đồ thị của hàm phân số tuyến tính, đặc biệt là tìm tâm đối xứng của một hyperbol. Hãy giải quyết vấn đề. Ví dụ 1 - vẽ đồ thị của hàm số: Chúng tôi đã chuyển đổi chức năng này và nhận được: Để xây dựng biểu đồ này, chúng ta sẽ không dịch chuyển các trục hoặc chính hyperbol. Chúng tôi sử dụng một phương pháp tiêu chuẩn để xây dựng đồ thị hàm số, sử dụng sự hiện diện của các khoảng dấu không đổi. Chúng tôi hành động theo thuật toán. Đầu tiên, hãy kiểm tra hàm đã cho. Do đó, chúng ta có ba khoảng dấu không đổi: ở ngoài cùng bên phải () hàm có dấu cộng, sau đó các dấu thay thế, vì tất cả các nghiệm đều có bậc một. Vì vậy, trên một khoảng thì hàm số âm, trên một khoảng thì hàm số dương. Chúng tôi xây dựng một bản phác thảo của đồ thị trong vùng lân cận của các nghiệm và điểm gãy của ODZ. Chúng ta có: vì tại một điểm, dấu của hàm số thay đổi từ cộng sang trừ, đường cong đầu tiên nằm trên trục, sau đó đi qua 0 và sau đó nằm dưới trục x. Khi mẫu số của một phân số thực tế bằng 0, điều đó có nghĩa là khi giá trị của đối số tiến tới ba thì giá trị của phân số tiến tới vô cùng. Trong trường hợp này, khi đối số tiến tới bộ ba ở bên trái, hàm số âm và có xu hướng trừ vô cực, ở bên phải hàm số dương và để lại cộng vô cùng. Bây giờ chúng ta xây dựng một bản phác thảo đồ thị của hàm trong vùng lân cận của các điểm ở vô cực, tức là. khi đối số có xu hướng cộng hoặc trừ vô cùng. Trong trường hợp này, các số hạng không đổi có thể được bỏ qua. Chúng tôi có: Như vậy, ta có một tiệm cận ngang và một tiệm cận đứng, tâm của hyperbol là điểm (3;2). Hãy minh họa: Cơm. 1. Đồ thị hyperbol ví dụ 1 Các bài toán với hàm tuyến tính phân số có thể phức tạp do sự có mặt của mô đun hoặc tham số. Ví dụ: để xây dựng biểu đồ của hàm, bạn phải tuân theo thuật toán sau: Cơm. 2. Minh họa thuật toán Biểu đồ kết quả có các nhánh nằm trên trục x và bên dưới trục x. 1. Áp dụng mô-đun được chỉ định. Trong trường hợp này, các phần của biểu đồ nằm phía trên trục x vẫn không thay đổi và những phần nằm dưới trục được phản chiếu so với trục x. Chúng tôi nhận được: Cơm. 3. Minh họa thuật toán Ví dụ 2 - vẽ đồ thị hàm số: Cơm. 4. Đồ thị hàm số ví dụ 2 Hãy xem xét nhiệm vụ sau - xây dựng đồ thị của hàm số. Để làm điều này, bạn phải tuân theo thuật toán sau: 1. Vẽ đồ thị hàm số mô đun con Giả sử chúng ta có được biểu đồ sau: Cơm. 5. Minh họa thuật toán 1. Áp dụng mô-đun được chỉ định. Để hiểu cách thực hiện việc này, hãy mở rộng mô-đun. Do đó, đối với các giá trị hàm có giá trị đối số không âm sẽ không có thay đổi nào xảy ra. Về phương trình thứ hai, chúng ta biết rằng nó thu được bằng cách ánh xạ nó đối xứng qua trục y. ta có đồ thị của hàm số: Cơm. 6. Minh họa thuật toán Ví dụ 3 - vẽ đồ thị hàm số: Theo thuật toán, trước tiên bạn cần xây dựng đồ thị của hàm mô đun con, chúng tôi đã xây dựng sẵn (xem Hình 1) Cơm. 7. Đồ thị hàm số ví dụ 3 Ví dụ 4 - tìm số nghiệm của phương trình có tham số: Hãy nhớ lại rằng việc giải phương trình với một tham số có nghĩa là xem xét tất cả các giá trị của tham số và chỉ ra câu trả lời cho từng giá trị đó. Chúng tôi hành động theo phương pháp luận. Đầu tiên, chúng ta xây dựng đồ thị của hàm, chúng ta đã thực hiện điều này trong ví dụ trước (xem Hình 7). Tiếp theo, bạn cần mổ xẻ đồ thị với một họ đường cho các a khác nhau, tìm các điểm giao nhau và viết ra câu trả lời. Nhìn vào đồ thị ta viết đáp án: khi nào và phương trình có hai nghiệm; khi phương trình có một nghiệm; khi phương trình không có nghiệm. rìu +b Ở đâu x– biến, Một,b,c,d- một số con số và c ≠ 0, quảng cáo -bc ≠ 0. Tính chất của hàm tuyến tính phân số:
Đồ thị của hàm phân số tuyến tính là một hyperbol, có thể thu được từ hyperbol y = k/x bằng cách sử dụng các phép tịnh tiến song song dọc theo các trục tọa độ. Để làm được điều này, công thức của hàm tuyến tính phân số phải được trình bày dưới dạng sau: k Ở đâu N– số đơn vị mà hyperbol dịch chuyển sang phải hoặc sang trái, tôi– số đơn vị mà hyperbol di chuyển lên hoặc xuống. Trong trường hợp này, các tiệm cận của hyperbol được dịch chuyển về các đường thẳng x = m, y = n. Đường tiệm cận là một đường thẳng mà các điểm của đường cong tiến tới khi chúng di chuyển ra xa đến vô cùng (xem hình bên dưới). Đối với việc chuyển giao song song, hãy xem các phần trước. Ví dụ 1. Hãy tìm các tiệm cận của hyperbol và vẽ đồ thị hàm số: x + 8 Giải pháp: k Vì điều này x+ 8 ta viết dưới dạng: x – 2 + 10 (tức là 8 được ký hiệu là –2 + 10).
x+ 8 x – 2 + 10 1(x – 2) + 10 10 Tại sao biểu thức lại có dạng này? Câu trả lời rất đơn giản: thực hiện phép cộng (rút gọn cả hai số hạng về mẫu số chung) và bạn sẽ quay lại biểu thức trước đó. Nghĩa là, đây là kết quả của việc chuyển đổi một biểu thức nhất định. Vì vậy, chúng tôi đã nhận được tất cả các giá trị cần thiết: k = 10, m = 2, n = 1. Vì vậy, chúng ta đã tìm thấy các tiệm cận của hyperbola (dựa trên thực tế là x = m, y = n): Nghĩa là một tiệm cận của hyperbol chạy song song với trục y cách nó 2 đơn vị về bên phải và tiệm cận thứ hai chạy song song với trục x cách nó 1 đơn vị. Hãy xây dựng một biểu đồ của chức năng này. Để làm điều này chúng ta sẽ làm như sau: 1) Vẽ các đường tiệm cận trong mặt phẳng tọa độ bằng một đường chấm chấm – đường thẳng x = 2 và đường thẳng y = 1. 2) vì hyperbol bao gồm hai nhánh nên để xây dựng các nhánh này chúng ta sẽ biên soạn hai bảng: một cho x<2, другую для x>2. Đầu tiên chúng ta hãy chọn các giá trị x cho tùy chọn đầu tiên (x<2). Если x = –3, то: 10 Chúng tôi chọn ngẫu nhiên các giá trị khác x(ví dụ -2, -1, 0 và 1). Tính các giá trị tương ứng y. Kết quả của tất cả các tính toán thu được được nhập vào bảng: Bây giờ hãy tạo một bảng cho tùy chọn x>2:
;Môn học tự chọn là một trong những hình thức tổ chức hoạt động giáo dục, nhận thức và giáo dục - nghiên cứu của học sinh trung học phổ thông.
Tài liệuToán học và kinh nghiệm
Sách
Hàm tuyến tính phân số là hàm có dạng y = --- ,
cx +d
y = n + ---
x–m
y = ---
x – 2
Hãy biểu diễn phân số dưới dạng n + ---
x–m
--- = ----- = ------ = 1 + ---
x – 2 x – 2 x – 2 x – 2
y = 1 + --- = 1 – 2 = –1
–3
– 2