Một trong nhiệm vụ quan trọng nhất phép tính vi phân là sự phát triển ví dụ phổ biến nghiên cứu hành vi chức năng.
Nếu hàm y=f(x) liên tục trên khoảng , và đạo hàm của nó dương hoặc bằng 0 trên khoảng (a,b), thì y=f(x) tăng theo (f"(x)0) Nếu hàm y=f (x) liên tục trên đoạn , và đạo hàm của nó âm hoặc bằng 0 trên khoảng (a,b), thì y=f(x) giảm đi (f"(x)0 . )
Các khoảng trong đó hàm số không giảm hoặc không tăng được gọi là khoảng đơn điệu của hàm số. Tính đơn điệu của hàm số chỉ có thể thay đổi tại những điểm trong miền định nghĩa của nó mà tại đó dấu của đạo hàm bậc nhất thay đổi. Các điểm mà tại đó đạo hàm bậc nhất của hàm biến mất hoặc có điểm gián đoạn được gọi là tới hạn.
Định lý 1 (thứ 1 đủ điều kiện tồn tại cực trị).
Giả sử hàm y=f(x) được xác định tại điểm x 0 và có một lân cận δ>0 sao cho hàm này liên tục trên khoảng và khả vi trên khoảng (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) , và đạo hàm của nó bảo toàn dấu hiệu vĩnh viễn tại mỗi khoảng này. Khi đó nếu trên x 0 -δ,x 0) và (x 0 , x 0 +δ) dấu của đạo hàm khác nhau thì x 0 là điểm cực trị, còn nếu chúng trùng nhau thì x 0 không phải là điểm cực trị . Hơn nữa, nếu khi đi qua điểm x0 mà đạo hàm đổi dấu từ cộng sang trừ (sang trái x 0 f"(x)>0 thì x 0 là điểm cực đại; nếu đạo hàm đổi dấu từ trừ sang cộng (ở bên phải x 0 được thực hiện f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.
Điểm cực đại và cực tiểu được gọi là điểm cực trị của hàm, còn cực đại và cực tiểu của hàm được gọi là giá trị cực trị của hàm.
Định lý 2 (dấu cần thiết của cực trị địa phương).
Nếu hàm y=f(x) có cực trị tại x=x 0 hiện tại thì f’(x 0)=0 hoặc f’(x 0) không tồn tại.
Tại các điểm cực trị của hàm khả vi, tiếp tuyến của đồ thị của nó song song với trục Ox.
Thuật toán nghiên cứu hàm cực trị:
1) Tìm đạo hàm của hàm số.
2) Tìm điểm quan trọng, tức là các điểm tại đó hàm số liên tục và đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.
3) Xét lân cận của mỗi điểm và xét dấu của đạo hàm bên trái và bên phải của điểm này.
4) Xác định tọa độ các điểm cực trị của giá trị này điểm quan trọng thay thế vào chức năng này. Sử dụng đủ điều kiện để đạt cực trị, rút ra kết luận phù hợp.
Ví dụ 18. Xét hàm số y=x 3 -9x 2 +24x để tìm cực trị
Giải pháp.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Cho đạo hàm bằng 0, ta tìm x 1 =2, x 2 =4. TRONG trong trường hợp nàyđạo hàm được xác định ở mọi nơi; Điều này có nghĩa là ngoài hai điểm tìm được, không có điểm tới hạn nào khác.
3) Dấu của đạo hàm y"=3(x-2)(x-4) thay đổi theo khoảng như hình 1. Khi đi qua điểm x=2, đạo hàm đổi dấu từ cộng sang trừ, và khi đi qua điểm x=4 - từ âm sang dương.
4) Tại điểm x=2 hàm số có y tối đa =20, và tại điểm x=4 - y tối thiểu =16.
Định lý 3. (Điều kiện đủ thứ 2 để tồn tại cực trị).
Cho f"(x 0) và tại điểm x 0 tồn tại f""(x 0). Khi đó nếu f""(x 0)>0 thì x 0 là điểm cực tiểu, còn nếu f""(x 0)<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).
Trên một đoạn, hàm y=f(x) có thể đạt giá trị nhỏ nhất (y nhỏ nhất) hoặc giá trị lớn nhất (y cao nhất) tại các điểm tới hạn của hàm nằm trong khoảng (a;b) hoặc tại các đầu của đoạn.
Thuật toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm liên tục y=f(x) trên đoạn:
1) Tìm f"(x).
2) Tìm các điểm tại đó f"(x)=0 hoặc f"(x) không tồn tại và chọn từ chúng những điểm nằm bên trong đoạn thẳng.
3) Tính giá trị của hàm y=f(x) tại các điểm thu được ở bước 2), cũng như tại các điểm cuối của đoạn và chọn giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trong số chúng: chúng lần lượt là giá trị lớn nhất (y giá trị lớn nhất) và nhỏ nhất (y nhỏ nhất) của hàm trên khoảng.
Ví dụ 19. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số liên tục y=x 3 -3x 2 -45+225 trên đoạn thẳng.
1) Chúng ta có y"=3x 2 -6x-45 trên đoạn thẳng
2) Đạo hàm y" tồn tại với mọi x. Hãy tìm các điểm mà tại đó y"=0; chúng tôi nhận được:
3x2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 =-3; x 2 = 5
3) Tính giá trị của hàm số tại các điểm x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Đoạn này chỉ chứa điểm x=5. Giá trị lớn nhất tìm thấy của hàm là 225 và nhỏ nhất là số 50. Vậy y max = 225, y min = 50.
Nghiên cứu hàm số lồi
Hình vẽ thể hiện đồ thị của hai hàm số. Cái đầu tiên là lồi lên, cái thứ hai là lồi xuống.
Hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn thẳng và khả vi trong khoảng (a;b), được gọi là lồi lên (hướng xuống) trên đoạn này nếu, đối với axb, đồ thị của nó không cao hơn (không thấp hơn) so với tiếp tuyến được vẽ tại bất kỳ điểm M 0 (x 0 ;f(x 0)), trong đó axb.
Định lý 4. Giả sử hàm số y=f(x) có đạo hàm bậc hai tại bất kỳ điểm x bên trong nào của đoạn thẳng và liên tục tại hai đầu của đoạn này. Khi đó, nếu bất đẳng thức f""(x)0 được thỏa mãn trên khoảng (a;b), thì hàm lồi hướng xuống trên khoảng ; nếu bất đẳng thức f""(x)0 đúng trong khoảng (a;b), thì hàm lồi hướng lên trên .
Định lý 5. Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm bậc hai trên khoảng (a;b) và nếu nó đổi dấu khi đi qua điểm x 0 thì M(x 0 ;f(x 0)) là một điểm uốn.
Quy tắc tìm điểm uốn:
1) Tìm những điểm tại đó f""(x) không tồn tại hoặc biến mất.
2) Xét dấu f""(x) ở bên trái và bên phải của mỗi điểm tìm được ở bước đầu tiên.
3) Dựa vào Định lý 4, rút ra kết luận.
Ví dụ 20. Tìm điểm cực trị và điểm uốn của đồ thị hàm số y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.
Chúng ta có f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Rõ ràng, f"(x)=0 khi x 1 =0, x 2 =1. Khi đi qua điểm x=0 đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương nhưng khi đi qua điểm x=1 thì đạo hàm không đổi dấu. Điều này có nghĩa là x=0 là điểm nhỏ nhất (y min =12) và không có điểm cực trị tại điểm x=1. Tiếp theo, chúng tôi tìm thấy 
. Đạo hàm bậc hai triệt tiêu tại các điểm x 1 =1, x 2 =1/3. Dấu của đạo hàm bậc hai thay đổi như sau: Trên tia (-∞;) ta có f""(x)>0, trên khoảng (;1) ta có f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Do đó, x= là điểm uốn của đồ thị hàm số (chuyển từ lồi xuống sang lồi lên) và x=1 cũng là điểm uốn (chuyển từ lồi lên sang lồi xuống). Nếu x= thì y=; nếu thì x=1, y=13.
Thuật toán tìm tiệm cận của đồ thị
I. Nếu y=f(x) là x → a thì x=a là tiệm cận đứng.
II. Nếu y=f(x) khi x → ∞ hoặc x → -∞ thì y=A là tiệm cận ngang.
III. Để tìm tiệm cận xiên, chúng tôi sử dụng thuật toán sau:
1) Tính toán. Nếu giới hạn tồn tại và bằng b thì y=b là tiệm cận ngang; nếu , thì chuyển sang bước thứ hai.
2) Tính toán. Nếu giới hạn này không tồn tại thì không có đường tiệm cận; nếu nó tồn tại và bằng k thì chuyển sang bước thứ ba.
3) Tính toán. Nếu giới hạn này không tồn tại thì không có đường tiệm cận; nếu nó tồn tại và bằng b thì chuyển sang bước thứ tư.
4) Viết phương trình tiệm cận xiên y=kx+b.
Ví dụ 21: Tìm tiệm cận của hàm số 
1) 
2)
3)
4) Phương trình tiệm cận xiên có dạng
Sơ đồ nghiên cứu hàm số và xây dựng đồ thị của nó
I. Tìm miền định nghĩa của hàm số.
II. Tìm giao điểm của đồ thị hàm số với các trục tọa độ.
III. Tìm tiệm cận.
IV. Tìm các điểm cực trị có thể có.
V. Tìm điểm tới hạn.
VI. Sử dụng hình phụ, khám phá dấu của đạo hàm bậc nhất và đạo hàm bậc hai. Xác định vùng tăng, giảm của hàm số, tìm hướng lồi của đồ thị, các điểm cực trị và điểm uốn.
VII. Xây dựng một biểu đồ, có tính đến nghiên cứu được thực hiện trong đoạn 1-6.
Ví dụ 22: Vẽ đồ thị của hàm số theo sơ đồ trên
Giải pháp.
I. Miền xác định của hàm số là tập hợp tất cả các số thực ngoại trừ x=1.
II. Vì phương trình x 2 +1=0 không có nghiệm thực nên đồ thị của hàm số không có giao điểm với trục Ox mà cắt trục Oy tại điểm (0;-1).
III. Hãy để chúng tôi làm rõ câu hỏi về sự tồn tại của tiệm cận. Chúng ta hãy nghiên cứu hành vi của hàm số gần điểm gián đoạn x=1. Vì y → ∞ dưới dạng x → -∞, y → +∞ dưới dạng x → 1+, nên đường thẳng x=1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Nếu x → +∞(x → -∞), thì y → +∞(y → -∞); do đó, đồ thị không có tiệm cận ngang. Hơn nữa, từ sự tồn tại của giới hạn
Giải phương trình x 2 -2x-1=0 ta thu được hai điểm cực trị có thể xảy ra:
x 1 =1-√2 và x 2 =1+√2
V. Để tìm các điểm tới hạn, ta tính đạo hàm bậc hai:
Vì f""(x) không biến mất nên không có điểm tới hạn.
VI. Chúng ta hãy kiểm tra dấu của đạo hàm thứ nhất và thứ hai. Các điểm cực trị có thể cần xét: x 1 =1-√2 và x 2 =1+√2, chia miền tồn tại của hàm số thành các khoảng (-∞;1-√2),(1-√2;1 +√2) và (1+√2;+∞).
Trong mỗi khoảng này, đạo hàm vẫn giữ nguyên dấu: ở khoảng thứ nhất - cộng, ở khoảng thứ hai - trừ, ở khoảng thứ ba - cộng. Dãy dấu của đạo hàm bậc nhất sẽ được viết như sau: +,-,+.
Chúng tôi thấy rằng hàm số tăng tại (-∞;1-√2), giảm tại (1-√2;1+√2) và tăng trở lại tại (1+√2;+∞). Điểm cực trị: tối đa tại x=1-√2 và f(1-√2)=2-2√2 tối thiểu tại x=1+√2 và f(1+√2)=2+2√2. Tại (-∞;1) đồ thị lồi lên trên và tại (1;+∞) đồ thị lồi xuống dưới.
VII Hãy lập bảng các giá trị thu được
VIII Dựa trên số liệu thu được chúng ta xây dựng sơ đồ đồ thị của hàm số 
Nếu nhiệm vụ yêu cầu nghiên cứu đầy đủ hàm f (x) = x 2 4 x 2 - 1 với việc xây dựng đồ thị của nó, thì chúng ta sẽ xem xét nguyên tắc này một cách chi tiết.
Để giải bài toán loại này, bạn nên sử dụng các tính chất và đồ thị của hàm chính hàm cơ bản. Thuật toán nghiên cứu bao gồm các bước sau:
Yandex.RTB R-A-339285-1
Tìm miền định nghĩa
Vì nghiên cứu được thực hiện trên lĩnh vực định nghĩa của hàm nên cần phải bắt đầu từ bước này.
Ví dụ 1
Vì ví dụ này liên quan đến việc tìm các số 0 của mẫu số để loại chúng khỏi ODZ.
4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞
Kết quả là, bạn có thể nhận được gốc, logarit, v.v. Khi đó ODZ có thể được tìm kiếm nghiệm bậc chẵn loại g (x) 4 theo bất đẳng thức g (x) ≥ 0, cho logarit a g (x) theo bất đẳng thức g (x) > 0.
Nghiên cứu ranh giới của ODZ và tìm các tiệm cận đứng
Có các tiệm cận đứng tại các biên của hàm số khi giới hạn một phía tại các điểm đó là vô hạn.
Ví dụ 2
Ví dụ: xét các điểm biên bằng x = ± 1 2.
Khi đó cần nghiên cứu hàm số để tìm giới hạn một phía. Khi đó ta được: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f(x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f(x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (+ 0 ) 2 = + ∞
Điều này chứng tỏ giới hạn một phía là vô hạn, nghĩa là các đường thẳng x = ± 1 2 là các tiệm cận đứng của đồ thị.
Nghiên cứu hàm số chẵn hay lẻ
Khi điều kiện y (- x) = y(x) được thỏa mãn thì hàm số được coi là chẵn. Điều này cho thấy đồ thị nằm đối xứng với Oy. Khi điều kiện y (- x) = - y (x) được thỏa mãn thì hàm số được coi là lẻ. Điều này có nghĩa là tính đối xứng có liên quan đến gốc tọa độ. Nếu ít nhất một bất đẳng thức không được thỏa mãn, chúng ta thu được một hàm có dạng tổng quát.
Đẳng thức y (- x) = y (x) chỉ ra rằng hàm số chẵn. Khi xây dựng cần tính đến việc sẽ có sự đối xứng đối với Oy.
Để giải bất đẳng thức, người ta sử dụng các khoảng tăng giảm với các điều kiện lần lượt là f "(x) ≥ 0 và f" (x) ≤ 0.
Định nghĩa 1
Điểm cố định- đây là những điểm biến đạo hàm về 0.
Điểm tới hạn- đây là những điểm bên trong miền định nghĩa trong đó đạo hàm của hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.
Khi đưa ra quyết định, cần lưu ý những lưu ý sau:
- đối với các khoảng tăng giảm hiện có của bất đẳng thức dạng f " (x) > 0, các điểm tới hạn không được đưa vào nghiệm;
- các điểm mà tại đó hàm số được xác định không có đạo hàm hữu hạn thì phải đưa vào các khoảng tăng và giảm (ví dụ y = x 3, trong đó điểm x = 0 thì hàm số xác định thì đạo hàm tại đó có giá trị vô cùng điểm, y " = 1 3 x 2 3, y "(0) = 1 0 = ∞, x = 0 được tính vào khoảng tăng);
- Để tránh tranh chấp, nên sử dụng văn học toán học, được Bộ Giáo dục khuyến khích.
Bao gồm các điểm tới hạn trong các khoảng tăng và giảm nếu chúng thỏa mãn miền định nghĩa của hàm.
Định nghĩa 2
Vì xác định các khoảng tăng giảm của hàm số cần tìm:
- phái sinh;
- điểm quan trọng;
- chia miền định nghĩa thành các khoảng sử dụng các điểm tới hạn;
- xác định dấu của đạo hàm trên mỗi khoảng, trong đó + là tăng và - là giảm.
Ví dụ 3
Tìm đạo hàm trên miền định nghĩa f " (x) = x 2 " (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 " (4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .
Giải pháp
Để giải quyết bạn cần:
- tìm thấy điểm cố định, ví dụ này có x = 0;
- tìm các số 0 của mẫu số, ví dụ lấy giá trị 0 tại x = ± 1 2.
Chúng ta đặt các điểm trên trục số để xác định đạo hàm trên mỗi khoảng. Để làm điều này, chỉ cần lấy bất kỳ điểm nào trong khoảng và thực hiện phép tính là đủ. Tại kết quả tích cực Trên biểu đồ chúng ta mô tả +, có nghĩa là hàm đang tăng và - có nghĩa là hàm đang giảm.
Ví dụ: f " (- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9 > 0, nghĩa là khoảng đầu tiên bên trái có dấu +. Xét trên trục số.
Trả lời:
- hàm tăng theo khoảng - ∞; - 1 2 và (- 1 2 ; 0 ] ;
- có sự giảm trong khoảng [ 0 ; 1 2) và 1 2 ; + ∞ .
Trong sơ đồ, sử dụng + và -, độ dương và độ âm của hàm được mô tả và các mũi tên biểu thị sự giảm và tăng.
Điểm cực trị của hàm số là điểm tại đó hàm số được xác định và qua đó đạo hàm đổi dấu.
Ví dụ 4
Nếu chúng ta xem xét một ví dụ trong đó x = 0, thì giá trị của hàm trong đó bằng f (0) = 0 2 4 · 0 2 - 1 = 0. Khi dấu của đạo hàm thay đổi từ + thành - và đi qua điểm x = 0 thì điểm có tọa độ (0; 0) được coi là điểm cực đại. Khi dấu thay đổi từ - sang +, chúng ta đạt được điểm tối thiểu.
Độ lồi và độ lõm được xác định bằng cách giải các bất đẳng thức có dạng f "" (x) ≥ 0 và f "" (x) ≤ 0. Ít được sử dụng hơn là tên lồi xuống thay vì lồi và lồi lên thay vì lồi.
Định nghĩa 3
Vì xác định các khoảng lõm và lồi cần thiết:
- tìm đạo hàm bậc hai;
- tìm các số 0 của hàm đạo hàm bậc hai;
- chia vùng xác định thành các khoảng với các điểm xuất hiện;
- xác định dấu của khoảng
Ví dụ 5
Tìm đạo hàm thứ hai từ miền định nghĩa.
Giải pháp
f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3
Chúng ta tìm thấy các số 0 của tử số và mẫu số, trong ví dụ của chúng ta, chúng ta có các số 0 của mẫu số x = ± 1 2
Bây giờ bạn cần vẽ các điểm trên trục số và xác định dấu của đạo hàm bậc hai trong mỗi khoảng. Chúng tôi hiểu điều đó
Trả lời:
- hàm lồi từ khoảng - 1 2 ; 1 2 ;
- hàm số lõm từ các khoảng - ∞ ; - 1 2 và 1 2; + ∞ .
Định nghĩa 4
Điểm uốn– đây là một điểm có dạng x 0 ; f(x 0) . Khi tiếp tuyến với đồ thị của hàm số thì khi đi qua x 0 hàm số đổi dấu ngược lại.
Nói cách khác, đây là điểm mà đạo hàm bậc hai đi qua và đổi dấu, và tại chính các điểm đó nó bằng 0 hoặc không tồn tại. Tất cả các điểm được coi là miền của hàm.
Trong ví dụ, rõ ràng là không có điểm uốn vì đạo hàm bậc hai đổi dấu khi đi qua các điểm x = ± 1 2. Ngược lại, chúng không nằm trong phạm vi định nghĩa.
Tìm các tiệm cận ngang và xiên
Khi xác định hàm số ở vô cùng, bạn cần tìm các tiệm cận ngang và xiên.
Định nghĩa 5
tiệm cận xiênđược mô tả bằng các đường thẳng, được cho bởi phương trình y = k x + b, trong đó k = lim x → ∞ f(x) x và b = lim x → ∞ f(x) - k x.
Với k = 0 và b không bằng vô cùng, ta thấy tiệm cận xiên trở thành nằm ngang.
Nói cách khác, các đường tiệm cận được coi là các đường mà đồ thị của hàm tiến tới vô cùng. Điều này tạo điều kiện cho việc xây dựng nhanh chóng một đồ thị hàm số.
Nếu không có tiệm cận nhưng hàm số được xác định ở cả hai vô cực thì cần tính giới hạn của hàm tại các vô cực này để hiểu đồ thị của hàm sẽ hoạt động như thế nào.
Ví dụ 6
Hãy xem xét như một ví dụ rằng
k = lim x → ∞ f(x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f(x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4
là một tiệm cận ngang. Sau khi kiểm tra chức năng, bạn có thể bắt đầu xây dựng nó.
Tính giá trị của hàm tại các điểm trung gian
Để làm cho biểu đồ chính xác hơn, nên tìm một số giá trị hàm tại các điểm trung gian.
Ví dụ 7
Từ ví dụ chúng ta đã xem xét, cần tìm các giá trị của hàm tại các điểm x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = - 1 4. Vì hàm số chẵn nên ta được các giá trị trùng với các giá trị tại các điểm này, tức là ta được x = 2, x = 1, x = 3 4, x = 1 4.
Hãy viết và giải:
F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08
Để xác định cực đại, cực tiểu của hàm số, điểm uốn, điểm trung gian cần xây dựng các đường tiệm cận. Để chỉ định thuận tiện, các khoảng tăng, giảm, lồi và lõm được ghi lại. Chúng ta hãy nhìn vào hình ảnh dưới đây.
Cần phải vẽ các đường đồ thị đi qua các điểm đã đánh dấu, điều này sẽ cho phép bạn tiếp cận các đường tiệm cận bằng cách đi theo các mũi tên.
Điều này kết thúc việc khám phá đầy đủ chức năng. Có những trường hợp xây dựng một số hàm cơ bản sử dụng các phép biến đổi hình học.
Nếu bạn thấy văn bản có lỗi, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl+Enter