Послідовності та їх види. Визначення числової послідовності

Числова послідовність.

Спочатку замислимося над самим словом: а що таке послідовність? Послідовність – це колись щось розташоване за чимось. Наприклад, послідовність дій, послідовність пір року. Або колись хтось розташований за кимось. Наприклад, послідовність людей у черзі, послідовність слонів на стежці до водопою.

Негайно прояснимо характерні ознакипослідовності. По перше, члени послідовностірозташовуються суворо в певному порядку . Так, якщо двох людей у черзі поміняти місцями, то це вже буде іншапослідовність. По-друге, кожному члену послідовностіможна присвоїти порядковий номер:

З числами все аналогічно. Нехай кожномунатурального значення за деяким правиломпоставлено у відповідність дійсне число. Тоді кажуть, що задана числова послідовність .

Так, у математичних завданняхна відміну від життєвих ситуаційпослідовність майже завжди містить нескінченно багаточисел.

При цьому:

Називають першим членомпослідовності;

– другим членомпослідовності;

– третім членомпослідовності;

– еннимабо спільним членомпослідовності;

Насправді послідовність зазвичай задається формулою загального члена, наприклад:

- Послідовність позитивних парних чисел:

Таким чином, запис однозначно визначає всі члени послідовності – це і є правило (формула), за яким натуральним значенням у відповідність ставляться числа. Тому послідовність часто коротко позначають загальним членом, причому замість «ікс» можуть використовуватись інші Латинські букви, наприклад:

Послідовність позитивних непарних чисел:

Ще одна поширена послідовність:

Як, напевно, багато хто помітив, змінна «ен» грає роль своєрідного лічильника.

Насправді з числовими послідовностями ми мали справу ще середніх класах школи. Згадаймо арифметичну прогресію. Визначення переписувати не буду, торкнемося самої суті на конкретному прикладі. Нехай перший член, а - крок арифметичної прогресії. Тоді:

- Другий член даної прогресії;

– третій член цієї прогресії;

- Четвертий;

- П'ятий;

І, очевидно, енний член задається рекурентноїформулою

Примітка: в рекурентної формуликожен наступний член виражається через попередній член або навіть через безліч попередніх членів.

Отримана формула малопридатна практично – щоб дістатися, скажімо, до , потрібно перебрати всі попередні члени. І в математиці виведено більш зручний вираз енного члена арифметичної прогресії: . У нашому випадку:

Підставте у формулу натуральні номери та перевірте правильність побудованої вище числової послідовності.

Аналогічні викладки можна провести для геометричній прогресії, енний член якої задається формулою , де перший член , а - знаменникпрогресії. У завданнях по матану перший член часто дорівнює одиниці.

Приклади:

прогресія задає послідовність ;

прогресія задає послідовність;

прогресія задає послідовність ;

прогресія задає послідовність .

Сподіваюся, всі знають, що –1 непарною мірою дорівнює –1, а парної – одиниці.

Прогресію називають нескінченно спадаючоюякщо (останні два випадки).

Давайте додамо до свого списку двох нових друзів, один з яких щойно постукав у матрицю монітора:

Послідовність на математичному жаргоні називають «мигалкою»:

Таким чином, члени послідовності можуть повторюватися. Так, у розглянутому прикладі послідовність складається з двох чисел, що нескінченно чергуються.

А чи буває так, що послідовність складається з однакових чисел? Звичайно. Наприклад, ставить нескінченна кількість"трійок". Для естетів є випадок, коли у формулі все ж таки формально фігурує «ен»:

Факторіал:

Лише згорнутий запис твору:

Не графоманія, знадобиться для завдань;-) Рекомендую осмислити-запам'ятати і навіть переписати в зошит. …Прийшло тут на думку одне питання: а чому ніхто не створює такі корисні графіті? Їде собі людина у поїзді, дивиться у вікно та вивчає факторіали. Панки відпочивають =)

Можливо, деяким читачам ще не до кінця зрозуміло, як розписати члени послідовності, знаючи загальний член. Той рідкісний випадок, коли контрольний постріл повертає до життя:

Розберемося із послідовністю .

Спочатку підставимо в енний член значення і уважно проведемо обчислення:

Потім підставимо наступний номер:

Четвірку:

Чого вже, тепер і відмінну позначку не соромно заробити:

Концепція межі послідовності.

Для кращого осмислення нижченаведеної інформації бажано РОЗУМІТИ, що таке межа функції. Звісно, у стандартному курсі математичного аналізуспочатку розглядають межу послідовності і лише потім межу функції, але річ у тому, що про саму сутність межі я вже докладно розповідав. Більше того, в теорії числова послідовність вважається окремим випадком функції, і людям, які знайомі з межею функції, буде помітно веселіше.

Запросимо на танець нехитру подругу:

Що відбувається, коли «ен» збільшується до безкінечності? Очевидно, що члени послідовності будуть нескінченно близьконаближатися до нуля. Це і є межа даної послідовності, яка записується наступним чином:

Якщо межа послідовності дорівнює нулю, то її називають нескінченно малою.

Теоретично математичного аналізу дається строго визначення межі послідовностічерез так звану епсілон-околиця. Цьому визначенню буде присвячена наступна стаття, а поки що розберемо його зміст:

Зобразимо на числовій прямій члени послідовності та симетричну щодо нуля (межі)

Тепер затисніть синю околицю ребрами долонь і починайте її зменшувати, стягуючи до межі (червоної точки). Число є межею послідовності, якщо для будь-якої заздалегідь обраної околиці (як завгодно малої)усередині неї виявиться нескінченно багаточленів послідовності, а ПОЗА нею – лише кінцевечисло членів (або взагалі жодного). Тобто епсілон-околиця може бути мікроскопічною, та й того менше, але «нескінченний хвіст» послідовності рано чи пізно зобов'язаний повністю зайти в дану околицю.

Є навіть таке завдання – довести межу послідовності, користуючись визначенням.

Послідовність теж нескінченно мала: з тією різницею, що її члени не стрибають туди-сюди, а підбираються до краю виключно праворуч.

Природно, межа може дорівнювати і будь-якому іншому кінцевого числа, елементарний приклад:

Тут дріб прагне нуля, і, межа дорівнює «двійці».

Якщо у послідовності існує кінцева межа , то вона називається схожій(зокрема, нескінченно малоюза ). У інакше – розходитьсяПри цьому можливі два варіанти: або межі зовсім не існує, або він нескінченний. У останньому випадкупослідовність називають нескінченно великий. Пронесемося галопом за прикладами першого параграфа:

Послідовності є нескінченно великими, оскільки їхні члени впевненим ходом просуваються до «плюс нескінченності»:

Арифметична прогресія з першим членом і кроком теж нескінченно велика:

До речі, розходиться і будь-яка арифметична прогресія, за винятком випадку з нульовим кроком – коли до конкретному числунескінченно додається. Межа такої послідовності існує і збігається з першим членом.

У послідовностей схожа доля:

Будь-яка нескінченно спадна геометрична прогресія, як ясно вже з назви, нескінченно мала:

Якщо знаменник геометричної прогресії, то послідовність нескінченно велика:

Якщо ж , наприклад, , то межі взагалі немає, оскільки члени невтомно стрибають то до «плюс нескінченності», то «мінус нескінченності». А здоровий глузді теореми матана підказують, що й щось кудись і прагне, це заповітне місце єдино.

Після невеликого викриття стає зрозуміло, що у нестримних метаннях винна «мигалка», яка, до речі, розходиться і сама собою.

Справді, для послідовності легко підібрати околицю, яка, скажімо, затискає лише число –1. В результаті нескінченна кількість членів послідовності («плюс одиниць») залишаться поза цією околицею. Але за визначенням, «нескінченний хвіст» послідовності з певного моменту (натурального номера) має повністюзаходити в БУДЬ-околицю своєї межі. Висновок: межі немає.

Факторіал є нескінченно великийпослідовністю:

Причому, росте він як на дріжджах, так, є числом, у якого понад 100 цифр (розрядів)! Чому саме 70? На ньому просить пощади мій інженерний мікрокалькулятор.

З контрольним пострілом дещо складніше, і ми якраз підійшли до практичної частини лекції, в якій розберемо бойові приклади:

Як визначити межу послідовності.

А ось зараз необхідно вміти вирішувати межі функцій як мінімум на рівні двох базових уроків: Межі. Приклади рішеньі Чудові межі. Тому що багато методів вирішення будуть схожі. Але насамперед проаналізуємо принципові відмінності межі послідовності від межі функції:

У межі послідовності «динамічна» змінна «ен» може прагнути тільки до «плюс нескінченності»– у бік збільшення натуральних номерів .

У межі функції «ікс» може бути спрямований будь-куди – до «плюс/мінус нескінченності» або до довільного дійсного числа.

Послідовність дискретна(перервна), тобто складається з окремих ізольованих членів. Раз, два, три, чотири, п'ять, вийшов зайчик погуляти. Для аргументу функції характерна безперервність, тобто «ікс» плавно, без пригод прагне того чи іншого значення. І, відповідно, значення функції так само безперервно наближатимуться до своєї межі.

По причині дискретностіу межах послідовностей зустрічаються свої фірмові речі, такі як факторіали, «мигалки», прогресії тощо. І зараз я постараюся розібрати межі, властиві саме для послідовностей.

Почнемо з прогресій:

Приклад 1

Рішення: щось схоже на нескінченно спадаючу геометричну прогресію, але чи вона це? Для ясності розпишемо кілька перших членів:

Оскільки , то йдеться про сумічленів нескінченно спадної геометричної прогресії, яка розраховується за формулою .

Оформляємо рішення:

Використовуємо формулу суми нескінченно спадної геометричної прогресії: . У даному випадку: - Перший член, - знаменник прогресії.

Головне, впоратися з чотириповерховістю дробу:

Є.

Приклад 2

Написати перші чотири члени послідовності та знайти її межу

Це приклад для самостійного рішення. Для усунення невизначеності в чисельнику потрібно застосувати формулу суми перших членів арифметичної прогресії:

, де - перший, а - енний член прогресії.

Оскільки в межах послідовностей «ен» завжди прагне «плюс нескінченності», то не дивно, що невизначеність – одна з найпопулярніших.
І багато прикладів вирішуються так само, як межі функцій!

Як визначити ці межі? Дивіться приклади №№1-3 уроку Межі. Приклади рішень.

А може бути щось складніше на кшталт ? Ознайомтеся із Прикладом №3 статті Методи розв'язання меж.

З формального погляду різниця буде лише в одній літері – там «ікс», а тут «ен».

Прийом той самий – чисельник і знаменник треба розділити на «ен» у старшому ступені.

Також у межах послідовностей досить поширена невизначеність. Як вирішувати межі начебто можна дізнатися із Прикладів №11-13 тієї ж статті.

Щоб розібратися з межею, зверніться до Прикладу №7 уроку Чудові межі(другий чудова межасправедливий і дискретного випадку). Рішення знову буде як під копірку з різницею в єдиній букві.

Наступні чотири приклади (№№3-6) теж «дволики», але практично чомусь більше характерні меж послідовностей, ніж меж функцій:

Приклад 3

Знайти межу послідовності

Рішення: спочатку повне рішення, потім покрокові коментарі:

(1) У чисельнику двічі використовуємо формулу .

(2) Наводимо подібні доданкиу чисельнику.

(3) Для усунення невизначеності ділимо чисельник і знаменник на («ен» у старшому ступені).

Як бачите, нічого складного.

Приклад 4

Знайти межу послідовності

Це приклад для самостійного рішення, формули скороченого множенняв допомогу.

У межах з показовимипослідовностями застосовується схожий метод поділу чисельника та знаменника:

Приклад 5

Знайти межу послідовності

Рішенняоформимо за тією ж схемою:

(1) Використовуючи властивості ступенів, Винесемо з показників все зайве, залишивши там тільки "ен".

(2) Дивимося, які показові послідовності є у межі: і вибираємо послідовність з найбільшимосновою: . З метою усунення невизначеності ділимо чисельник і знаменник на .

(3) У чисельнику та знаменнику проводимо почленное поділ. Оскільки є нескінченно спадаючою геометричною прогресією, вона прагне до нуля. І більше до нуля прагне константа, поділена на зростаючу прогресію: . Робимо відповідні позначки та записуємо відповідь.

Приклад 6

Знайти межу послідовності

Це приклад самостійного рішення.

Якось незаслужено залишився у забутті стильний почерк, властивий лише межі послідовності. Час виправити ситуацію:

Приклад 7

Знайти межу послідовності

Рішення: щоб позбутися «вічного суперника» потрібно розписати факторіали у вигляді творів Але перш, ніж приступити до математичного графіті, розглянемо конкретний приклад, Наприклад: .

Останнім множником у творі йде шістка. Що потрібно зробити, щоб отримати попередній множник? Відняти одиницю: 6 – 1 = 5. Щоб отримати множник, який розташовується ще далі, потрібно з п'ятірки ще раз відняти одиначку: 5 – 1 = 4. І так далі.

Не турбуйтесь, це не урок у першому класі корекційної школи, насправді ми знайомимося з важливим та універсальним алгоритмомпід назвою " як розкласти будь-який факторіал». Давайте розробимося з найзліснішим флудером нашого чату:

Очевидно, що останнім множником у творі буде .

Як отримати попередній множник? Відняти одиницю:

Як дістати прадіду? Ще раз відняти одиницю: .

Ну і ще на один крок просунемося вглиб:

Таким чином, наша чудовисько розпишеться так:

Із факторіалами чисельника все простіше, так, дрібні хулігани.

Оформляємо рішення:

(1) Розписуємо факторіали

(2) У чисельнику ДВА доданків. Виносимо за дужки все, що можна винести, у цьому випадку цей твір. Квадратні дужки, Як я десь пару разів говорив, відрізняються від круглих дужок тільки своєю квадратністю.

(3) Скорочуємо чисельник та знаменник на …. …хммм, флуду тут і справді багато.

(4) Спрощуємо чисельник

(5) Скорочуємо чисельник і знаменник на . Тут у певною міроюпощастило. У загальному випадкувгорі і внизу виходять пересічні багаточлени, після чого доводиться виконувати стандартну дію - ділити чисельник і знаменник на "ен" у старшому ступені.

Більш підготовлені студенти, які легко розкладають факторіали в думці, можуть вирішити приклад значно швидше. На першому кроці ділимо почленно чисельник на знаменник і подумки виконуємо скорочення:

Але спосіб з розкладанням все-таки ґрунтовніший і надійніший.

Приклад 8

Знайти межу послідовності

Як і будь-якому суспільстві, серед числових послідовностей трапляються екстравагантні особистості.

Теорема: твір обмеженої послідовностіна нескінченно малу послідовність є нескінченно мала послідовність.

Якщо вам не дуже зрозумілий термін «обмеженість», будь ласка, вивчіть статтю про елементарних функціяхта графіках.

Аналогічна теорема справедлива, до речі, і для функцій: твір обмеженої функціїна нескінченно малу функцію- Є нескінченно мала функція.

Приклад 9

Знайти межу послідовності

Рішення: послідовність – обмежена: , А послідовність - нескінченно мала, отже, за відповідною теореми:

Наводиться визначення числової послідовності. Розглянуто приклади необмежено зростаючих, схожих і послідовностей, що розходяться. Розглянуто послідовність, що містить усі раціональні числа.

Визначення.
Числовою послідовністю ( x n ) називається закон (правило), згідно з яким, кожному натуральному числу n = 1, 2, 3, . . . ставиться у відповідність деяке число x n.
Елемент x n називають n-м членомчи елементом послідовності.

Послідовність позначається як n -го члена, укладеного у фігурні дужки: .
, , .

Також можливі такі позначення: . Вони явно вказується, що індекс n належить безлічі натуральних чисел і сама послідовність має нескінченне число членів. Ось кілька прикладів послідовностей:Тобто числова послідовність - це функція, областю визначення якої є безліч натуральних чисел. Число елементів послідовності нескінченне. Серед елементів можуть зустрічатися члени, які мають

Головним чином нас буде цікавити питання - як поводяться послідовності, що при n прагне до нескінченності: .

Цей матеріал викладається в розділі Межа послідовності – основні теореми та властивості. А тут ми розглянемо кілька прикладів послідовностей.

Приклади послідовностей

Приклади послідовностей, що необмежено зростають
.
Розглянемо послідовність. Загальний член цієї послідовності.Випишемо кілька перших членів:

Видно, що зі зростанням номера n елементи необмежено зростають убік
.
позитивних значень . Можна сміливо сказати, що це послідовність прагне : при .Тепер розглянемо послідовність із загальним членом. Ось її кілька перших членів:Зі зростанням номера n елементи цієї послідовності необмежено зростають по

абсолютної величини

, але не мають
.
постійного знаку = 0 . Тобто ця послідовність прагне: при. = 0 Приклади послідовностей, що сходяться до кінцевого числа > 0 Розглянемо послідовність.

Її загальний член.
.
Перші члени мають такий вигляд: = 0 Видно, що зі зростанням номера n елементи цієї послідовності наближаються до свого граничного значення a
.
: при . > 0 Отже, кожен наступний член ближче до нуля, ніж попередній. У певному сенсі вважатимуться, що є наближене значення числа a = 0 з похибкою. = 0 Ясно, що зі зростанням n ця похибка прагне нуля, тобто вибором n , похибка можна зробити як завгодно малою. Причому для будь-якої заданої похибки ε

можна вказати такий номер N, що для всіх елементів з номерами більшими за N:, відхилення числа від граничного значення a не перевищить похибки ε:.

Далі розглянемо послідовність.

Її загальний член.

.
Ось кілька її перших членів:
,
У цій послідовності члени з парними номерами дорівнюють нулю. Члени з непарними n рівні. 1 = 0 Тому, зі зростанням n, їх величини наближаються до граничного значення a .:
,
У цій послідовності члени з парними номерами дорівнюють нулю. Члени з непарними n рівні. 2 = 2 .

Сама ж послідовність, зі зростанням n, не сходиться до жодного значення.

Послідовність із членами, розподіленими в інтервалі (0;1)
.
Тепер розглянемо цікавішу послідовність. На числовий прямий візьмемо відрізок. Поділимо його навпіл. Отримаємо два відрізки. Нехай
.
Кожен із відрізків знову поділимо навпіл. Отримаємо чотири відрізки. Нехай

.
Кожен відрізок знову поділимо навпіл. Візьмемо

І так далі. В результаті отримаємо послідовність, елементи якої розподілені в (0; 1) відкритому інтервалі .

Яку б ми не взяли крапку із закритого інтервалу , ми завжди можемо знайти члени послідовності, які виявляться як завгодно близько до цієї точки, або збігаються з нею.Тоді з вихідної послідовності можна виділити таку підпослідовність, яка сходитиметься до довільній точці

з інтервалу = 0 .
.
= 0 .

Тобто зі зростанням номера n, члени підпослідовності все ближче підходитимуть до наперед обраної точки. = 1 Наприклад, для точки a
.
можна вибрати наступну підпослідовність: = 1 .

Для точки a виберемо таку підпослідовність:Члени цієї підпослідовності сходяться до значення a

Оскільки існують підпослідовності, що сходяться до

різним значенням

, то сама вихідна послідовність не сходиться до жодного числа. Послідовність, що містить усі раціональні числа:
,
Тепер побудуємо послідовність, яка містить усі раціональні числа. Причому кожне раціональне число входитиме в таку послідовність нескінченне число разів.
Раціональне число r можна представити в

наступному вигляді де – ціле; - Натуральне.Нам потрібно кожному натуральному числу n поставити у відповідність пару чисел p і q так, щоб будь-яка пара p і q входила до нашої послідовності. (0; 0) Для цього на площині проводимо осі p і q. < 1 Проводимо лінії сітки через цілі значення p і q.

Тоді кожен вузол цієї сітки буде відповідати
.
раціональному числу . Усі безліч раціональних чисел буде представлено безліччю вузлів. Нам потрібно знайти спосіб пронумерувати всі вузли, щоби не пропустити жоден вузол. Це легко зробити, якщо нумерувати вузли квадратів, центри яких розташовані в точці(Див. малюнок). При цьому нижні частини квадратів з q

.
нам не потрібні. Тому вони не відображені на малюнку.

.
Кожен відрізок знову поділимо навпіл. Візьмемо

У такий спосіб ми отримуємо послідовність, що містить усі раціональні числа. Можна помітити, що будь-яке раціональне число входить до цієї послідовності нескінченне число разів. Справді, поруч із вузлом , у цю послідовність також входитимуть вузли , де - натуральне число. Але всі ці вузли відповідають тому самому раціональному числу.

Тоді з побудованої нами послідовності ми можемо виділити підпослідовність (що має нескінченну кількість елементів), всі елементи якої рівні наперед заданому раціональному числу. Оскільки побудована нами послідовність має підпослідовності, що сходяться до різним числам, то послідовність не сходиться до жодного числа.

Висновок

Тут ми дали точне визначення числової послідовності. Також ми порушили питання про її збіжність, ґрунтуючись на інтуїтивних уявленнях. Точне визначеннязбіжності розглядається на сторінці Визначення межі послідовності. Пов'язані з цим властивості та теореми викладені на сторінці

Числовою послідовністю називається числова функція, визначена на множині натуральних чисел .

Якщо функцію задати на безлічі натуральних чисел
, то безліч значень функції буде лічильним і кожному номеру
ставиться у відповідність число
. У цьому випадку кажуть, що задано числова послідовність. Число називають елементамиабо членами послідовності, а число - загальним або -М Членом послідовності. Кожен елемент має наступний елемент
. Це пояснює вживання терміна "послідовність".

Задають послідовність зазвичай або перерахуванням її елементів або вказівкою закону, за яким обчислюється елемент з номером , тобто. зазначенням її формули ‑го члена .

приклад.Послідовність
може бути задана формулою:
.

Зазвичай послідовності позначаються так: і т.п., де в дужках вказується її формула -го члена.

приклад.Послідовність
‑це послідовність

Безліч всіх елементів послідовності
позначається
.

Нехай
і
‑ дві послідовності.

З уммойпослідовностей
і
називають послідовність
, де
, тобто.

Р азністюцих послідовностей називають послідовність
, де
, тобто.

Якщо і ‑ постійні, то послідовність
,
називають лінійною комбінацією послідовностей
і
, тобто.

Творомпослідовностей
і
називають послідовність з -м членом
, тобто.
.

Якщо
, то можна визначити приватне
.

Сума, різниця, твір та приватна послідовність
і
називаються їх алгебраїчнимикомпозиціями.

приклад.Розглянемо послідовності
і
де. Тоді
, тобто. послідовність
має всі елементи, що дорівнюють нулю.

,
, тобто. всі елементи твору та приватного рівні
.

Якщо викреслити деякі елементи послідовності
так, щоб залишилося нескінченна безлічелементів, то отримаємо іншу послідовність, звану підпослідовністюпослідовності
. Якщо викреслити кілька перших елементів послідовності
, то нову послідовністьназивають залишком.

Послідовність
обмеженазверху(знизу), якщо безліч
обмежено зверху (знизу). Послідовність називають обмеженоюякщо вона обмежена зверху і знизу. Послідовність обмежена тоді й тільки тоді, коли обмежений її залишок.

Сходові послідовності

Кажуть що послідовність
сходиться, якщо існує число таке, що для будь-кого
існує таке
, що для будь-кого
, виконується нерівність:
.

Число називають межею послідовності
. При цьому записують
або
.

приклад.
.

Покажемо, що
. Задамо будь-яке число
. Нерівність
виконується для
, такого, що
, що визначення збіжності виконується для числа
. Значить,
.

Іншими словами
означає, що всі члени послідовності
із досить великими номерами мало відрізняється від числа , тобто. починаючи з деякого номера
(при) елементи послідовності знаходяться в інтервалі
, який називається -Навколо точки .

Послідовність
, межа якої дорівнює нулю (
, або
при
) називається нескінченно малою.

Щодо нескінченно малих справедливі твердження:

Сума двох нескінченно малих є нескінченно малою;

Твір нескінченно малої на обмежену величину є нескінченно малою.

Теорема .Для того щоб послідовність
мала межу, необхідно і достатньо щоб
, де - Постійна; – нескінченно мала .

Основні властивості послідовностей, що сходяться:

Властивості 3. і 4. узагальнюються на випадок будь-якого числа послідовностей, що сходяться.

Зазначимо, що при обчисленні межі дробу, чисельник і знаменник якого є лінійними комбінаціями ступенів , межа дробу дорівнює межівідносини старших членів (тобто членів, що містять найбільші ступені чисельника та знаменника).

Послідовність
називається:

Усі такі послідовності називають монотонними.

Теорема . Якщо послідовність
монотонно зростає і обмежена зверху, то вона сходиться і її межа дорівнює її точної верхньої грані; якщо послідовність зменшується і обмежена знизу, вона сходиться до своєї точної нижньої грані.

Поняття числової послідовності.

Нехай кожному натуральному числу nвідповідає число a n тоді говорять, що задана функція a n = f (n), яка називається числовою послідовністю. Позначається a n, n = 1,2, ... або (a n).

Числа a 1 ,a 2 ... називаються членами послідовності або її елементами, a n - загальним членом послідовності, n - номером члена a n .

За визначенням будь-яка послідовність містить безліч елементів.

Приклади числових послідовностей.

Арифметичнапрогресія – числова прогресія виду:

тобто послідовність чисел (членів прогресії), кожне з яких, починаючи з другого, виходить із попереднього додаванням до нього постійного числа d (кроку чи різниці прогресії):
.

Будь-який член прогресії може бути обчислений за формулою загального члена:

Будь-який член арифметичної прогресії, починаючи з другого, є середнім арифметичним попереднього та наступного члена прогресії:

Сума n перших членів арифметичної прогресії може бути виражена формулами:

Сума n послідовних членів арифметичної прогресії, починаючи з члена k:

Приклад суми арифметичної прогресії є сума низки натуральних чисел до n включно:

Геометричнапрогресія – послідовність чисел
(членів прогресії), у якій кожне наступне число, починаючи з другого, виходить з попереднього множенням його на певне число q (знаменник прогресії), де
,
:

Будь-який член геометричної прогресії може бути обчислений за формулою:

Якщо b 1 > 0 і q> 1, прогресія є зростаючою послідовністю, якщо 0

Свою назву прогресія отримала за своєю характерною властивістю:
тобто кожен член дорівнює середньому геометричному його сусідам.

Добуток перших nчленів геометричної прогресії можна розрахувати за формулою:

Добуток членів геометричної прогресії починаючи з k-ого члена, і закінчуючиn-им членом, можна розрахувати за формулою:

Сума перших членів геометричної прогресії:

Якщо

, то при
, і

при
.

Межа послідовності.

Послідовність називається зростаючою, якщо кожен її член більший за попередній. Послідовність називається спадною, якщо кожен її член менший за попередній.

Послідовність x n називається обмеженою, якщо існують такі числа mіM, такі, що для будь-якого натурального n виконується умова
.

Може статися, що всі члени послідовності (a n ) при необмеженому зростанні числаn наближатимуться до деякого числа.

Число a називають межею послідовності X n якщо для всякого Ε>0 знайдеться (залежне від Ε) числоn 0 =n o (Ε) таке, що для
виконується нерівність
для всіх (натуральних) n> n 0 .

У цьому випадку пишуть
або

Збіжність послідовностей.

Про послідовність, що має межею, кінцеве число говорять, що вона сходиться до a:

Якщо у послідовності немає кінцевої межі (обчислювальної), вона називатиметься розбіжною.

Геометричний зміст.

Якщо
, то довільну Ε околиця точкиa потраплять усі члени даної послідовності, крім останнього числа. Геометрично обмеженість послідовності означає, що її значення лежать на деякому відрізку.