Розкладання квадратних дужок. Урок "Розкладання на множники різниці n-х ступенів"

Розглядаючи множення багаточленів, ми запам'ятали кілька формул, а саме: формули для (a + b)², для (a – b)², для (a + b) (a – b), для (a + b)³ та для (a – b)³.

Якщо даний многочлен виявиться таким, що збігається з однією з цих формул, то його з'явиться можливим розкласти на множники. Напр., многочлен a² – 2ab + b², ми знаємо, дорівнює (a – b)² [або (a – b) · (a – b), тобто вдалося a² – 2ab + b² розкласти на 2 множники]; також

Розглянемо другий із цих прикладів. Ми бачимо, що даний тут багаточлен підходить до формули, що виходить від зведення в квадрат різниці двох чисел (квадрат першого числа, мінус добуток двійки на перше число і на друге плюс квадрат другого числа): x 6 є квадрат першого числа, а, отже , саме перше число є x 3 квадратом другого числа є останній член даного многочлена, тобто 1, саме друге число є, отже, також 1; твором двійки на перше число і друге є член –2x 3 , бо 2x 3 = 2 · x 3 · 1. Тому наш многочлен вийшов від зведення у квадрат різниці чисел x 3 і 1, тобто він дорівнює (x 3 – 1) 2 . Розглянемо ще четвертий приклад. Ми бачимо, що даний многочлен a 2 b 2 – 25 можна розглядати, як різницю квадратів двох чисел, а саме квадратом першого числа служить a 2 b 2 , отже, саме перше число є ab, квадратом другого числа є 25, чому саме друге число є 5. Тому наш многочлен можна розглядати таким, що вийшов від множення суми двох чисел на їх різницю, тобто.

(ab + 5) (ab - 5).

Іноді трапляється, що в даному багаточлен члени розташовані не в тому порядку, до якого ми звикли, напр.

9a 2 + b 2 + 6ab – подумки ми можемо переставити другий і третій члени, і тоді стане ясним, що наш тричлен = (3a + b) 2 .

… (переставимо подумки перший і другий члени).

25a 6 + 1 – 10x 3 = (5x 3 – 1) 2 тощо.

Розглянемо ще багаточлен

a 2 + 2ab + 4b 2 .

Ми бачимо, що перший член його являє собою квадрат числа a і третій член являє собою квадрат числа 2b, але другий член не є добутком двійки на перше число і на друге, - такий добуток було б дорівнює 2 · a · 2b = 4ab. Тому не можна застосувати до цього багаточлена формулу квадрата суми двох чисел. Якби хтось написав, що a 2 + 2ab + 4b 2 = (a + 2b) 2 , то це було б неправильно – треба ретельно розглянути всі члени многочлена, перш ніж застосовувати до нього розкладання на множники за формулами.

40. З'єднання обох прийомів. Іноді при розкладанні багаточленів на множники доводиться комбінувати прийом винесення загального множника за дужки і прийом застосування формул. Ось приклади:

1. 2a 3 – 2ab 2 . Винесемо спочатку загального множника 2a за дужки - отримаємо 2a (a 2 - b 2). Множник a 2 - b 2 у свою чергу, розкладається за формулою на множники (a + b) і (a - b).

Іноді доводиться застосовувати прийом розкладання за формулами багаторазово:

1. a 4 – b 4 = (a 2 + b 2) (a 2 – b 2)

Ми бачимо, що перший множник a 2 + b 2 не підходить до жодної зі знайомих формул; мало того, згадуючи особливі випадки поділу (п. 37), ми встановимо, що a 2 + b 2 (сума квадратів двох чисел) зовсім на множники не розкладається. Другий з отриманих множників a 2 - b 2 (різниця квадратом двох чисел) розкладається на множники (a + b) та (a - b). Отже,

41. Застосування особливих випадків розподілу. На підставі п. 37 ми можемо відразу написати, що, напр.

Розкладання многочленів на множники – це тотожне перетворення, у результаті якого многочлен перетворюється на твір кількох співмножників – багаточленів чи одночленів.

Існує кілька способів розкладання багаточленів на множники.

Спосіб 1. Винесення загального множника за дужку.

Це перетворення ґрунтується на розподільчому законі множення: ac + bc = c(a + b). Суть перетворення полягає в тому, щоб виділити у двох компонентах, що розглядаються, загальний множник і «винести» його за дужки.

Розкладемо на множники многочленів 28х3 – 35х4.

Рішення.

1. Знаходимо у елементів 28х3 і 35х4 спільний дільник. Для 28 та 35 це буде 7; для х 3 та х 4 – х 3 . Іншими словами, наш спільний множник 7х3.

2. Кожен із елементів подаємо у вигляді твору множників, один з яких
7х 3: 28х 3 – 35х 4 = 7х 3 ∙ 4 – 7х 3 ∙ 5х.

3. Виносимо за дужки загальний множник
7х 3: 28х 3 – 35х 4 = 7х 3 ∙ 4 – 7х 3 ∙ 5х = 7х 3 (4 – 5х).

Спосіб 2. Використання формул скороченого множення. "Майстерність" володінням цим способом полягає в тому, щоб помітити у виразі одну з формул скороченого множення.

Розкладемо на множники многочлен х 6 – 1.

Рішення.

1. До цього виразу ми можемо застосувати формулу різниці квадратів. І тому представимо х 6 як (х 3) 2 , а 1 як 1 2 , тобто. 1. Вираз набуде вигляду:
(х 3) 2 - 1 = (х 3 + 1) ∙ (х 3 - 1).

2. До отриманого виразу ми можемо застосувати формулу суми та різниці кубів:
(х 3 + 1) ∙ (х 3 – 1) = (х + 1) ∙ (х 2 – х + 1) ∙ (х – 1) ∙ (х 2 + х + 1).

Отже,
х 6 – 1 = (х 3) 2 – 1 = (х 3 + 1) ∙ (х 3 – 1) = (х + 1) ∙ (х 2 – х + 1) ∙ (х – 1) ∙ (х 2+х+1).

Спосіб 3. Угруповання. Спосіб угруповання полягає в об'єднанні компонентів многочлена таким чином, щоб над ними було легко здійснювати дії (складання, віднімання, винесення загального множника).

Розкладемо на множники многочленів х 3 – 3х 2 + 5х – 15.

Рішення.

1. Згрупуємо компоненти таким чином: 1-ий з 2-им, а 3-ий з 4-им
(Х 3 - 3х 2) + (5х - 15).

2. У виразі винесемо загальні множники за дужки: х 2 в першому випадку і 5 - в другому.
(х 3 - 3х 2) + (5х - 15) = х 2 (х - 3) + 5 (х - 3).

3. Виносимо за дужки загальний множник х – 3 та отримуємо:
х 2 (х - 3) + 5 (х - 3) = (х - 3) (х 2 + 5).

Отже,
х 3 – 3х 2 + 5х – 15 = (х 3 – 3х 2) + (5х – 15) = х 2 (х – 3) + 5(х – 3) = (х – 3) ∙ (х 2 + 5) ).

Закріпимо матеріал.

Розкласти на множники многочленів a 2 – 7ab + 12b 2 .

Рішення.

1. Представимо одночлен 7ab як суми 3ab + 4ab. Вираз набуде вигляду:
a 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2 .

Розкриємо дужки та отримаємо:
a 2 - 3ab - 4ab + 12b 2 .

2. Згрупуємо компоненти многочлена таким чином: 1-ий з 2-им і 3-ий з 4-им. Отримаємо:
(a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2).

3. Винесемо за дужки спільні множники:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = а(а – 3b) – 4b(а – 3b).

4. Винесемо за дужки загальний множник (а – 3b):
а(а – 3b) – 4b(а – 3b) = (а – 3 b) ∙ (а – 4b).

Отже,
a 2 - 7ab + 12b 2 =
= a 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 - 3ab - 4ab + 12b 2 =
= (a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2) =
= а (а - 3b) - 4b (а - 3b) =
= (а – 3b) ∙ (а – 4b).

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

При розв'язанні рівнянь і нерівностей нерідко виникає необхідність розкласти на множники многочлен, ступінь якого дорівнює трьом або вищим. У цій статті ми розглянемо, як це зробити найпростіше.

Як завжди, звернемося за допомогою до теорії.

Теорема Безустверджує, що залишок від розподілу многочлена на двочлен дорівнює .

Але для нас важлива не сама теорема, а слідство з неї:

Якщо число є коренем многочлена, то многочлен ділиться без залишку двочлен.

Перед нами стоїть завдання якимось способом знайти хоча б один корінь багаточлена, потім розділити багаточлен на , де - корінь багаточлена. В результаті ми отримуємо багаточлен, ступінь якого на одиницю менший, ніж рівень вихідного. А потім за потреби можна повторити процес.

Це завдання розпадається на дві: як знайти корінь багаточлена, і як розділити багаточлен на двочлен.

Зупинимося докладніше цих моментах.

1. Як знайти корінь багаточлена.

Спочатку перевіряємо, чи є числа 1 і -1 корінням багаточлена.

Тут нам допоможуть такі факти:

Якщо сума всіх коефіцієнтів многочлена дорівнює нулю, число є коренем многочлена.

Наприклад, у многочлен сума коефіцієнтів дорівнює нулю: . Легко перевірити, що коріння багаточлена.

Якщо сума коефіцієнтів многочлена при парних ступенях дорівнює сумі коефіцієнтів при непарних ступенях, число є коренем многочлена.Вільний член вважається коефіцієнтом при парному ступені, оскільки , а - парне число.

Наприклад, в многочлен сума коефіцієнтів при парних ступенях : , і сума коефіцієнтів при непарних ступенях : . Легко перевірити, що коріння багаточлена.

Якщо ні 1, ні -1 є корінням многочлена, то рухаємося далі.

Для наведеного багаточлена ступеня (тобто багаточлена, в якому старший коефіцієнт - коефіцієнт при - дорівнює одиниці) справедлива формула Вієта:

Де - коріння багаточлена.

Є ще формул Вієта, що стосуються інших коефіцієнтів многочлена, але нас цікавить саме ця.

З цієї формули Вієта випливає, що якщо коріння багаточлена цілочисленні, то вони є дільниками його вільного члена, який також є цілим числом.

Виходячи з цього, нам треба розкласти вільний член багаточлена на множники, і послідовно, від меншого до більшого, перевіряти, який із множників є коренем багаточлена.

Розглянемо, наприклад, багаточлен

Дільники вільного члена: ; ; ;

Сума всіх коефіцієнтів многочлена дорівнює , отже, число 1 перестав бути коренем многочлена.

Сума коефіцієнтів при парних ступенях:

Сума коефіцієнтів при непарних ступенях:

Отже, число -1 також є коренем многочлена.

Перевіримо, чи є число 2 коренем багаточлена: отже, число 2 є коренем багаточлена. Отже, за теоремою Безу, багаточлен ділиться без залишку на двочлен.

2. Як поділити багаточлен на двочлен.

Багаточлен можна розділити на двочлен стовпчиком.

Розділимо багаточлен на двочлен стовпчиком:

Є й інший спосіб розподілу многочлена на двочлен – схема Горнера.

Подивіться це відео, щоб зрозуміти, як ділити багаточлен на двочлен стовпчиком і за допомогою схеми Горнера.

Зауважу, що й при розподілі стовпчиком якийсь ступінь невідомого у вихідному многочлене відсутня, її місці пишемо 0 - як і, як із складанні таблиці для схеми Горнера.

Отже, якщо нам потрібно розділити багаточлен на двочлен і в результаті розподілу ми отримуємо багаточлен, то коефіцієнти багаточлена ми можемо знайти за схемою Горнера:

Ми також можемо використовувати схему Горнерадля того, щоб перевірити, чи є дане число коренем багаточлена: якщо число є коренем багаточлена , то залишок від поділу багаточлена дорівнює нулю, тобто в останньому стовпці другого рядка схеми Горнера ми отримуємо 0.

Використовуючи схему Горнера, ми "вбиваємо двох зайців": одночасно перевіряємо, чи є число коренем багаточлена і ділимо цей багаточлен на двочлен.

приклад.Розв'язати рівняння:

1. Випишемо дільники вільного члена, і шукатимемо коріння багаточлена серед дільників вільного члена.

Дільники числа 24:

2. Перевіримо, чи є число 1 коренем багаточлена.

Сума коефіцієнтів многочлена, отже, число 1 є коренем многочлена.

3. Розділимо вихідний багаточлен на двочлен за допомогою схеми Горнера.

А) Випишемо у перший рядок таблиці коефіцієнти вихідного многочлена.

Оскільки член, що містить відсутня, у тому стовпці таблиці, у якому має стояти коефіцієнт при пишем 0. Зліва пишемо знайдений корінь: число 1.

Б) Заповнюємо перший рядок таблиці.

В останньому стовпці, як і очікувалося, ми отримали нуль, ми розділили вихідний багаточлен на двочлен без залишку. Коефіцієнти многочлена, що у результаті поділу зображені синім кольором у другому рядку таблиці:

Легко перевірити, що числа 1 і -1 не є корінням багаточлена

В) Продовжимо таблицю. Перевіримо, чи є число 2 коренем багаточлена:

Так ступінь багаточлена, який виходить в результаті розподілу на одиницю меншою за ступінь вихідного багаточлена, отже і кількість коефіцієнтів і кількість стовпців на одиницю менша.

В останньому стовпці ми отримали -40 - число, що не дорівнює нулю, отже, багаточлен ділиться на двочлен із залишком, і число 2 не є коренем багаточлена.

В) Перевіримо, чи є число -2 коренем багаточлена. Так як попередня спроба виявилася невдалою, щоб не було плутанини з коефіцієнтами, я зітру рядок, що відповідає цій спробі:

Чудово! У залишку ми отримали нуль, отже, багаточлен розділився на двочлен без залишку, отже, число -2 є коренем багаточлена. Коефіцієнти многочлена, який у результаті поділу многочлена на двучлен у таблиці зображені зеленим кольором.

В результаті поділу ми отримали квадратний тричлен , коріння якого легко знаходиться за теоремою Вієта:

Отже, коріння вихідного рівняння:

{}

Відповідь: ( }

Поняття "багаточлен" і "розкладання многочлена на множники" по алгебрі зустрічаються дуже часто, адже їх необхідно знати, щоб легко проводити обчислення з великими багатозначними числами. У цій статті буде описано кілька способів розкладання. Всі вони досить прості у застосуванні, варто лише правильно підібрати потрібний у кожному конкретному випадку.

Поняття багаточлена

Багаточлен є сумою одночленів, тобто виразів, що містять лише операцію множення.

Наприклад, 2 * x * y - це одночлен, а ось 2 * x * y + 25 - багаточлен, який складається з 2 одночленів: 2 * x * y і 25. Такі багаточлени називає двочленами.

Іноді для зручності розв'язання прикладів з багатозначними значеннями вираз необхідно перетворити, наприклад, розкласти на деяку кількість множників, тобто чисел або виразів, між якими виробляється дія множення. Є низка способів розкладання многочлена на множники. Варто розглянути їх починаючи з найпримітивнішого, який застосовують ще у початкових класах.

Угруповання (запис у загальному вигляді)

Формула розкладання багаточлена на множники способом угруповання у загальному вигляді виглядає таким чином:

ac + bd + bc + ad = (ac + bc) + (ad + bd)

Необхідно згрупувати одночлени так, щоб у кожній групі з'явився спільний множник. У першій дужці це множник с, а другий - d. Це потрібно зробити для того, щоб потім винести його за дужку, тим самим спростивши обчислення.

Алгоритм розкладання на конкретному прикладі

Найпростіший приклад розкладання многочлена на множники способом угруповання наведено нижче:

10ас + 14bc - 25a - 35b = (10ас - 25а) + (14bc - 35b)

У першу дужку потрібно взяти доданки з множником а, який і буде загальним, а другу - з множником b. Зверніть увагу на знаки + і – у готовому вираженні. Ми ставимо перед одночленом той знак, який був у початковому виразі. Тобто, потрібно працювати не з виразом 25а, а з виразом -25. Знак мінус як би «приклеїти» до виразу, що стоїть за ним, і завжди враховувати його при обчисленнях.

На наступному кроці потрібно винести множник, який є загальним за дужку. Саме для цього і робиться угруповання. Винести за дужку - значить виписати перед дужкою (опускаючи знак множення) усі ті множники, які з точністю повторюються у всіх складових, що знаходяться у дужці. Якщо у дужці не 2, а 3 доданків і більше, загальний множник повинен утримуватися в кожному з них, інакше його не можна винести за дужку.

У нашому випадку - тільки по 2 доданків у дужках. Загальний множник одразу видно. У першій дужці – це а, у другій – b. Тут слід звернути увагу до цифрові коефіцієнти. У першій дужці обидва коефіцієнти (10 і 25) кратні 5. Це означає, що можна винести за дужку не тільки а, а й 5а. Перед дужкою виписати 5а, а потім кожну із доданків у дужках поділити на загальний множник, який був винесений, і також записати приватне у дужках, не забуваючи про знаки + і - З другою дужкою вчинити також, винести 7b, так як і 14 і 35 кратно 7.

10ас + 14bc - 25a - 35b = (10ас - 25а) + (14bc - 35b) = 5а (2c - 5) + 7b (2c - 5).

Вийшло 2 доданків: 5а(2c - 5) та 7b(2c - 5). Кожне з них містить загальний множник (увесь вираз у дужках тут збігається, значить, є загальним множником): 2с - 5. Його теж потрібно винести за дужку, тобто в другій дужці залишаються доданки 5а і 7b:

5а (2c - 5) + 7b (2c - 5) = (2c - 5) * (5а + 7b).

Отже, повний вираз:

10ас + 14bc - 25a - 35b = (10ас - 25а) + (14bc - 35b) = 5а (2c - 5) + 7b (2c - 5) = (2c - 5) * (5а + 7b).

Таким чином, багаточлен 10ас + 14bc - 25a - 35b розкладається на 2 множники: (2c - 5) та (5а + 7b). Знак множення між ними під час запису можна опускати

Іноді зустрічаються вирази такого типу: 5а 2 + 50а 3 тут можна винести за дужку не тільки а або 5а, а навіть 5а 2 . Завжди потрібно намагатися винести найбільший загальний множник за дужку. У нашому випадку, якщо розділити кожен доданок на загальний множник, то виходить:

5а 2/5а 2 = 1; 50а 3/5а 2 = 10а(при обчисленні частки кількох ступенів з рівними основами основа зберігається, а показник ступеня віднімається). Таким чином, у дужці залишається одиниця (у жодному разі не забувайте писати одиницю, якщо виносите за дужку цілком одне із доданків) і приватне від поділу: 10а. Виходить, що:

5а 2 + 50а 3 = 5а 2 (1 + 10а)

Формули квадратів

Для зручності обчислень було виведено кілька формул. Вони називаються формулами скороченого множення та використовуються досить часто. Ці формули допомагають розкласти на множники багаточлени, що містять ступеня. Це ще один ефективний метод розкладання на множники. Отже, ось вони:

• a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 -формула, що отримала назву "квадрат суми", тому що в результаті розкладання в квадрат береться сума чисел, укладена в дужки, тобто значення цієї суми множиться саме на себе 2 рази, а отже, є множником.
• a 2 + 2ab - b 2 = (a - b) 2 - Формула квадрата різниці, вона аналогічна попередньої. В результаті виходить різниця, укладена в дужки, що міститься у квадратному ступені.
• a 2 - b 2 = (a + b) (а - b)- це формула різниці квадратів, тому що спочатку багаточлен складається з 2 квадратів чисел або виразів, між якими виробляється віднімання. Мабуть, із трьох названих вона найчастіше використовується.

Приклади на обчислення за формулами квадратів

Обчислення з них виробляються досить просто. Наприклад:

1. 25x 2 + 20xy + 4y 2 - Використовуємо формулу "квадрат суми".
2. 25x2 є квадратом виразу 5х. 20ху - подвоєний твір 2 * (5х * 2у), а 4y 2 - це квадрат 2у.
3. Отже, 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2у) 2 = (5x + 2у)(5x + 2у).Даний многочлен розкладається на 2 множники (множники однакові, тому записується у вигляді виразу з квадратним ступенем).

Дії за формулою квадрата різниці виконуються аналогічно цим. Залишається формула різниця квадратів. Приклади на цю формулу дуже легко визначити та знайти серед інших виразів. Наприклад:

• 25а 2 - 400 = (5а - 20) (5а + 20). Оскільки 25а 2 = (5а) 2 , а 400 = 20 2
• 36х 2 - 25у 2 = (6х - 5у) (6х + 5у). Оскільки 36х 2 = (6х) 2 , а 25у 2 = (5у 2)
• з 2 - 169b2 = (с - 13b) (c + 13b). Оскільки 169b 2 = (13b) 2

Важливо, щоб кожен із доданків був квадратом будь-якого висловлювання. Тоді цей многочлен підлягає розкладанню на множники за формулою різниці квадратів. Для цього не обов'язково, щоб над числом стояв саме другий ступінь. Зустрічаються багаточлени, які мають великі ступеня, але однаково підходять до цих формул.

a 8 +10a 4 +25 = (a 4) 2 + 2*a 4 *5 + 5 2 = (a 4 +5) 2

У цьому прикладі а 8 можна як (a 4) 2 , тобто квадрат деякого выражения. 25 - це 5 2, а 10а 4 - це подвоєне твір доданків2 * a 4 * 5. Тобто цей вислів, незважаючи на наявність ступенів з великими показниками, можна розкласти на 2 множники, щоб згодом працювати з ними.

Формули кубів

Такі ж формули існують для розкладання на множники багаточленів, що містять куби. Вони трохи складніші за ті, що з квадратами:

• a 3 + b 3 = (а + b) (a 2 - ab + b 2)- цю формулу називають сумою кубів, тому що в початковому вигляді багаточлен є сумою двох виразів або чисел, укладених в куб.
• a 3 - b 3 = (а - b) (a 2 + ab + b 2) -формула, ідентична попередньої, позначена як різниця кубів.
• a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 - куб суми, в результаті обчислень виходить сума чисел або виразів, укладена в дужки і помножена сама на себе 3 рази, тобто в кубі
• a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = (a - b) 3 -Формула, складена за аналогією попередньої зі зміною лише деяких знаків математичних операцій (плюс і мінус), має назву "куб різниці".

Останні дві формули практично не використовуються з метою розкладання багаточлена на множники, оскільки вони складні, і досить рідко зустрічаються багаточлени, що повністю відповідають саме такій будові, щоб їх можна було розкласти за цими формулами. Але їх все одно потрібно знати, тому що вони будуть потрібні при діях у зворотному напрямку - при розкритті дужок.

Приклади на формули кубів

Розглянемо приклад: 64a 3 − 8b 3 = (4a) 3 − (2b) 3 = (4a − 2b)((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a−2b)(16a 2 + 8ab + 4b 2 ).

Тут взяті досить прості числа, тому відразу можна побачити, що 64а 3 – це (4а) 3 , а 8b 3 – це (2b) 3 . Таким чином, цей многочлен розкладається за формулою різниця кубів на 2 множники. Дії за формулою суми кубів провадяться за аналогією.

Важливо розуміти, що далеко не всі багаточлени підлягають розкладу хоча б одним із способів. Але є такі вирази, які містять більші ступені, ніж квадрат або куб, але їх також можна розкласти за формами скороченого множення. Наприклад: x 12 + 125y 3 =(x 4) 3 +(5y) 3 =(x 4 +5y)*((x 4) 2 − x 4 *5y+(5y) 2)=(x 4 + 5y)( x 8 − 5x 4 y + 25y 2).

У цьому прикладі міститься аж 12 ступінь. Але навіть його можна розкласти на множники за формулою суми кубів. Для цього потрібно представити х 12 як (x 4) 3 тобто як куб якого-небудь виразу. Тепер у формулу замість а потрібно підставляти саме його. Ну а вираз 125у 3 – це куб 5у. Далі слід скласти твір за формулою та провести обчислення.

Спочатку або у разі виниклих сумнівів, ви завжди можете провести перевірку зворотним множенням. Вам потрібно лише розкрити дужки в виразі, що вийшов, і виконати дії з подібними доданками. Цей метод відноситься до всіх перерахованих способів скорочення: як до роботи із загальним множником та угруповання, так і до дій за формулами кубів та квадратних ступенів.

Розкладання на множники рівняння – це процес знаходження таких членів чи виразів, які, будучи перемноженими, призводять до початкового рівняння. Розкладання на множники є корисним навичкою для вирішення основних завдань алгебри, і стає практично необхідним при роботі з квадратними рівняннями та іншими многочленами. Розкладання на множники використовується для спрощення рівнянь алгебри, щоб полегшити їх вирішення. Розкладання на множники може допомогти вам виключити певні можливі відповіді швидше, ніж ви зробите, вирішуючи рівняння вручну.

Кроки

Розкладання на множники чисел та основних алгебраїчних виразів

1. Розкладання на множники чисел.Концепція розкладання на множники проста, але практично розкладання на множники може бути непростим завданням (якщо дано складне рівняння). Тому для початку розглянемо концепцію розкладання на множники на прикладі чисел, продовжимо з простими рівняннями, а потім перейдемо до складних рівнянь. Множники цього числа - це числа, які при перемноженні дають вихідне число. Наприклад, множниками числа 12 є числа: 1, 12, 2, 6, 3, 4, оскільки 1 * 12 = 12, 2 * 6 = 12, 3 * 4 = 12.

   • Аналогічно ви можете розглядати множники числа як його дільники, тобто числа, на які ділиться дане число.
   • Знайдіть усі множники числа 60. Ми часто використовуємо число 60 (наприклад, 60 хвилин за годину, 60 секунд за хвилину і т.д.) і у цього числа досить багато множників.
     • Множники 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 та 60.

2. Запам'ятайте:члени висловлювання, що містять коефіцієнт (число) і змінну, також можуть бути розкладені на множники. Для цього знайдіть множники коефіцієнта за змінної. Знаючи, як розкласти члени рівнянь на множники, можна легко спростити дане рівняння.

   • Наприклад, член 12x може бути записаний у вигляді твору 12 і x. Ви також можете записати 12x як 3(4x), 2(6x) і т.д., розклавши число 12 на найбільш потрібні множники.
     • Ви можете розкладати 12x кілька разів поспіль. Іншими словами, ви не повинні зупинятися на 3(4x) чи 2(6x); продовжіть розкладання: 3(2(2x)) або 2(3(2x)) (очевидно, що 3(4x)=3(2(2x)) і т.д.)

3. Застосуйте розподільну властивість множення для розкладання на множники рівнянь алгебри.Знаючи, як розкласти на множники числа та члени виразу (коефіцієнти зі змінними), ви можете спростити нескладні рівняння алгебри, знайшовши загальний множник числа і члена виразу. Зазвичай задля спрощення рівняння необхідно знайти найбільший спільний дільник (НОД). Таке спрощення можливе завдяки розподільчій властивості множення: для будь-яких чисел а, b, вірна рівність a(b+c) = ab+ac.

   • приклад. Розкладіть на множники рівняння 12х + 6. По-перше, знайдіть НОД 12x та 6. 6 є найбільшим числом, яке ділить і 12x, і 6, тому ви можете розкласти це рівняння на: 6(2x+1).
   • Цей процес також вірний для рівнянь, у яких є негативні та дробові члени. Наприклад, х/2+4 може бути розкладено на 1/2(х+8); наприклад, -7x+(-21) може бути розкладено на -7(х+3).

   Розкладання на множники квадратних рівнянь

   1. Переконайтеся, що рівняння дано у квадратичній формі (ax 2 + bx + c = 0).Квадратні рівняння мають вигляд: ax 2 + bx + c = 0, де а, b, с - числові коефіцієнти, відмінні від 0. Якщо вам дано рівняння з однією змінною (х) і в цьому рівнянні є один або кілька членів зі змінною другого порядку Ви можете перенести всі члени рівняння на один бік рівняння і прирівняти його до нуля.

      • Наприклад, дано рівняння: 5x 2 + 7x - 9 = 4x 2 + x – 18. Воно може бути перетворене на рівняння x 2 + 6x + 9 = 0, яке є квадратним рівнянням.
      • Рівняння зі змінною х великих порядків, наприклад, x 3 x 4 і т.д. не є квадратними рівняннями. Це кубічні рівняння, рівняння четвертого порядку і таке інше (тільки якщо такі рівняння не можуть бути спрощені до квадратних рівнянь зі змінною х у ступені 2).

   2. Квадратні рівняння, де а = 1, розкладаються (x+d)(x+e), де d*е=с і d+е=b.Якщо це квадратне рівняння має вигляд: x 2 + bx + c = 0 (тобто коефіцієнт при x 2 дорівнює 1), то таке рівняння можна (але не гарантовано) розкласти на вищевказані множники. Для цього потрібно знайти два числа, які при перемноженні дають "с", а при додаванні - "b". Як тільки ви знайдете такі два числа (d і е), підставте їх у такий вираз: (x+d)(x+e), яке при розкритті дужок призводить до вихідного рівняння.

      • Наприклад, дано квадратне рівняння x 2 + 5x + 6 = 0. 3*2=6 та 3+2=5, тому ви можете розкласти дане рівняння на (х+3)(х+2).
      • У разі негативних членів внесіть такі незначні зміни до процесу розкладання на множники:
        • Якщо квадратне рівняння має вигляд x 2 -bx+c, воно розкладається на: (х-_)(х-_).
        • Якщо квадратне рівняння має вигляд x 2 -bx-c, воно розкладається на: (х+_)(х-_).
      • Примітка: пробіли можуть бути замінені на дроби чи десяткові числа. Наприклад, рівняння x 2 + (21/2) x + 5 = 0 розкладається на (х+10)(х+1/2).

   3. Розкладання на множники методом спроб і помилок.Нескладні квадратні рівняння можна розкласти на множники, просто підставляючи числа у можливі рішення, доки ви не знайдете правильного рішення. Якщо рівняння має вигляд ax 2 +bx+c де a>1, можливі рішення записуються у вигляді (dx +/- _)(ex +/- _), де d і е - числові коефіцієнти відмінні від нуля, які при перемноженні дають а. Або d, або e (або обидва коефіцієнти) можуть дорівнювати 1. Якщо обидва коефіцієнти дорівнюють 1, то скористайтеся способом, описаним вище.

      • Наприклад, дано рівняння 3x 2 - 8x + 4. Тут 3 має лише два множники (3 і 1), тому можливі рішення записуються у вигляді (3x +/- _)(х +/- _). У цьому випадку, підставивши замість пробілів -2, ви знайдете правильну відповідь: -2*3x=-6x та -2*х=-2x; - 6x+(-2x)=-8x та -2*-2=4, тобто таке розкладання при розкритті дужок призведе до членів вихідного рівняння.